大学高等数学第一单元测试试卷A卷

--《高等数学1（一)》课程考试试卷(A 卷参考答案)注意:1、本试卷共3页; ２、考试时间:120分钟; 3、姓名、学号必须写在指定地方。

一. 单项选择题，请将答案填入题后的方括号内(每小题2分， 共２０分）1.与函数()f x =[ C ]. Ａ．lnx B.21()2ln x C ．lnx Ｄ.ln x2．若(1)(2)(3)(4)(5)lim (32)x x x x x x x αβ→∞-----=-,则α与β的值为［ D ]. Ａ．11,3αβ== B ．15,3αβ== C.511,3αβ== D ．515,3αβ==３．设函数()y f x =在点0x 处可导,dy 为()f x 在0x 处的微分,当自变量x 由0x 增加到0x x +∆时， 极限0limx y dyx∆→∆-∆等于[ B ]．A ．－１ Ｂ.0 C ．1 D.∞4.若()f x 在x a =的某个邻域内有定义,则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是[ D ].A ．1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在 Ｂ．0(2)()lim h f a h f a h h→+-+存在Ｃ.0()()lim2h f a h f a h h →+--存在 D.0()()lim h f a f a h h→--存在5．已知函数1sin ,0(),0x x f x xax b x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续，则a 与b 等于[ C ]．A.1,1a b ==B.0,a b R =∈ C ．,0a R b ∈= D.,a R b R ∈∈6.若函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-,则下列结论中正确的是[ B ].Ａ.3,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极小值点B.0,3a b ==-,且1x =为函数()f x 的极小值点 C ．1,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极大值点D.0,3a b ==-,且1x =为函数()f x 的极大值点７．设1()1f x x =-，其n 阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项()n R x 等于[ Ｃ ]. A.11,(01)(1)(1)n n x n x θθ++<<+- B ．11(1),(01)(1)(1)n n n x n x θθ++-<<+-C.12,(01)(1)n n x x θθ++<<- D.11(1),(01)(1)n n n x x θθ++-<<-8.若sin 2x 为函数()f x 的一个原函数，则()xf x dx ⎰等于[ Ｄ ]． A.sin 2cos2x x x C ++ B ．sin 2cos2x x x C -+Ｃ．1sin 2cos 22x x x C -+ D.1sin 2cos 22x x x C ++9．若非零向量,,a b c 满足0a b ⋅=与0a c ⨯=，则b c ⋅等于[ A ]． A ．0 B ．-1 C.1 D.310.直线2020x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是[ Ｃ ］.A ．直线在平面内B ．平行C ．垂直 D.相交但不垂直二.填空题(每小题2分，共１0分)1.一质点作直线运动，其运动规律为426s t t t =-+,则速度增加的时刻t = １ . 2．若21arctan (1)2y x x ln x =-+，则dy =arctan xdx . ３．已知21adx x π+∞-∞=+⎰，则a = １ .４．已知()xf x e =，则()f lnx dx x'=⎰ x C + ． 5.设向量,,m n p 满足0m n p ++=,且6m =，8n =,10p =,则m n n p p m ⨯+⨯+⨯= 1４4 ．三．求解下列各题（每小题5分，共10分）1．11lim(1)21n n n +→∞-+解：原式=((21)(1)1)/21lim(1)21n n n -+-+→∞-+ 2 ＝(21)(1/2)(1/2)11lim(1)lim(1)2121n n n n n -+-→∞→∞-⋅-++ ４1/2e -= ５2．20(13)lim (sec cos )x ln x x x →+-解:原式＝203cos lim (1cos )(1cos )x x xx x →-+ 2=2023cos lim1(1cos )2x x x x x →+ 4=6 5四. 求解下列各题（每小题6分,共12分）1.若方程arctan 1xyy e =+确定了y 是x 的函数,求函数y 的微分dy . 解：原方程两边同时对x 求导，有2()1xyy e y xy y ''=++ 则22(1)1(1)xy xy y y e y x y e +'=-+ ４ 则22(1)1(1)xyxyy y e dy dx x y e +=-+ 62．设参数方程21cos x t y t⎧=+⎨=⎩确定了y 是x 的函数,求22d ydx .解：sin 2dy tdx t-=３ 222cos sin 122t t td y t dx t-=- 5 3sin cos 4t t tt-= 6五.求解下列各题(每小题６分,共18分)1.222()lnx dx xlnx +⎰解：原式=212()()d xlnx xlnx ⎰ ４2C xlnx-=+ 6 2.222max{,}x x dx -⎰解：原式＝0122221x dx xdx x dx -++⎰⎰⎰ 4323012201[][][]323x x x -=++ 5＝１1/2 ６3．设21sin ()x tf x dt t =⎰,求10()xf x dx ⎰解：21100()()()2x xf x dx f x d =⎰⎰ ２221100[()](())22x x f x d f x =-⎰ 422112200sin 02sin 2x x xdx x x dx x =-=-⎰⎰ 2101[cos ]2x =cos112-= 6六. (本题10分)y已知星形线33cos sin x a ty a t ⎧=⎨=⎩如右图所示，其中0a >， a 1） 计算星形线的全长； a - ０ a x2） 求星形线与坐标轴所围成图形的面积.解：1）长度4L =⎰2 a -4=⎰４6a = ５2)面积024202443sin cos a S ydx a t tdt π==-⎰⎰ 82422012sin cos at tdt π=⎰238a π= 1０七． (本题７分)已知某直角三角形的边长之和为常数,求该直角三角形面积的最大值. 解：设两直角边与斜边分别为,,x y z ,其和为常数k ，所求面积为S因x y z k ++=及222x y z +=,则222()kx k y x k -=- 3则221224()kx xk S xy x k -==-，且222(24)()4()k x kx k S x x k -+'=-有驻点22x k -= ５则22max34S k -==为所求 7八. (本题7分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线方程. 解：记直线111:321x y zL +-==-,设过点(2,1,3)M 且垂直相交于直线1L 的平面为π 则平面π方程为3(2)2(1)(3)0x y z -+---= ２令11321x y zt +-===-则13,12,x t y t z t =-+=-+=- 代入平面π得3/7t =，即交点为2133(,,)777A - 4以12624(,,)777MA --=为所求直线的方向向量得到所求直线为:213214x y z ---==- 7九. (本题6分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续且0()1f x <<，试判断方程02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有几个实根,并证明你的结论. 证：记0()2()1x g x x f t dt =--⎰则10(0)10,(1)1()0g g f t dt =-<=->⎰2且0()1f x <<知()2()0g x f x '=->,即在闭区间[0,1]上单调增加 ４ 故02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有一个实根 6。

高数第一章测试题高等数学作为大学课程中的重要基础学科，对于很多同学来说是一个不小的挑战。

而第一章往往是为后续的学习打下基石的关键部分。

接下来，就让我们一起通过这份测试题来检验一下对第一章知识的掌握程度。

一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、函数＼（f(x) ＝＼frac{1}｛x 1}＼）的定义域为（）A ＼（x ＼neq 1\）B ＼（x ＞ 1\）C ＼（x ＜ 1\）D ＼（x ＼neq 0\）2、设＼（f(x) ＝＼sqrt{x}＼），则＼（f(f(4)）＼）的值为（）A 2B ＼（＼sqrt{2}＼）C 4D ＼（＼sqrt{4}＼）3、当＼（x ＼to 0\）时，下列函数中与＼（x\）等价无穷小的是（）A ＼（x^2\）B ＼（＼sin x\）C ＼（1 ＼cos x\）D ＼（e^x 1\）4、函数＼（f(x) ＝ x^3 3x ＋ 1\）的单调递增区间是（）A ＼（（＼infty, －1)＼）和＼（（1, ＋＼infty)＼）B ＼（（－1,1)＼）C ＼（（＼infty, ＋＼infty)＼）D 以上都不对5、曲线＼（y ＝ x^2 ＋ 1\）在点＼（（1, 2)＼）处的切线方程为（）A ＼（2x y ＝ 0\）B ＼（x 2y ＋ 3 ＝ 0\）C ＼（2x ＋ y 4 ＝ 0\）D ＼（x ＋ 2y 5 ＝ 0\）6、设函数＼（f(x)＼）在＼（x ＝ 0\）处连续，且＼（f(0) ＝2\），则＼（＼lim_{x ＼to 0} f(x)＼）的值为（）A 0B 1C 2D 不存在二、填空题（每题 5 分，共 30 分）1、函数＼（f(x) ＝＼ln(x ＋ 1)＼）的导数为________。

2、极限＼（＼lim_{x ＼to 1} ＼frac{x^2 1}｛x 1}＼）的值为________。

3、曲线＼（y ＝ e^x\）在点＼（（0, 1)＼）处的切线斜率为________。

大学数学1试题（A）参考答案一、选择题1. 答案：C解析：题目中要求求出f(x)=3x2-7x+5的导数。

根据求导法则，导数的求法为f'(x)=[3*(2x)^(2-1)-7*(1x)^(1-1)]，即f'(x)=6x-7。

根据选项，可知C选项是正确答案。

2. 答案：B解析：题目中要求求出f(x)=2sin(x)+cos(x)的导数。

根据求导法则，导数的求法为f'(x)=2*cos(x)-sin(x)。

根据选项，可知B选项是正确答案。

3. 答案：A解析：题目中要求求出下列等差数列的前n项和。

根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。

根据选项，可知A选项是正确答案。

4. 答案：D解析：题目中要求求出平面上一点到x轴的距离。

根据平面几何知识，点P(x,y)到x轴的距离为|y|，即D选项是正确答案。

5. 答案：C据求导法则，在极值点处的导数为零。

对函数f(x)求导得到f'(x)=3x2-3=0，解得x=±1。

根据选项，可知C选项是正确答案。

二、填空题1. 答案：-√3解析：题目中要求求出方程x2+3x+3=0的解。

根据二次方程求根公式，解出x=(-b±√(b2-4ac))/(2a)，代入a=1，b=3，c=3，可得到x=(-3±√(3^2-4*1*3))/(2*1)，计算得x=-√3。

2. 答案：15解析：题目中要求求出3,5,7...97的等差数列的前n项和，根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n 为项数。

根据选项，可得n=16，代入公式计算得Sn=16*(3+97)/2=15*100/2=1500/2=750。

3. 答案：-1解析：题目中要求求出方程sin(x)=cos(x)的解。

根据三角函数的定义，sin(x)=cos(π/2-x)，即sin(x)=sin(π/2-x)，因此x=π/2-x+2kπ，化简得到x=-1/2+2kπ，其中k为整数。

08-09学年第一学期《高等数学A1》试卷(A卷得分：题号一二三四五六得分阅卷人一、填空题（每小题3分，共18分）1．设，则。

2．曲线的斜渐近线为。

3．设函数处处可导，则。

4. 。

5.已知，则满足的特解为。

6. 函数。

二、计算下列各题（满分18分，每小题6分）1. 求解：2．求定积分的值。

解：3. 求不定积分解：三、解答题（满分16分，每小题8分）1. 求解：原式=2．求的值。

解：而故四、应用题（满分16分，每小题8分）1、求心形线的全长。

解：2、试求的经过点，且在此点与相切的积分曲线。

解：由得：，由题设可得：，得：，所以所求的积分曲线为：五、综合题（满分16分，每小题8分）1、设常数，试确定函数在内的零点的个数。

解：，令得驻点。

由于当时，，即在单调递增，当时，，即在单调递减，所以在取得最大值，而所以在及各有的一个零点，即在内的零点的个数为2.2、求曲线的极值、拐点和凹凸区间。

解：令得驻点，令得单增（凸）极大值（）单减（凸）拐点（）单减（凹）六、证明题（满分16分，每小题8分）1、设试证明存在，并求。

证明：先证明由于，所以，假设，则，所以由数学归纳法，对一切，有。

下面证明单调递增。

由单调有界原理可得：存在，记为，则由可得：，解得：或（舍去）。

2、设函数在上连续，在内可导，，证明至少存在一点使得。

证明：取，则在上连续，在内可导，并且，由罗尔中值定理得：至少存在一点，使得：，即，因此。

4．k 取何值时，函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0,20,2tan )(x k x x x x x f 在0=x 处连续.5.判别函数11arctan )(2++=xx x x f 在0=x 处的间断点的类型.6.用极限定义证明：123182lim 23=--→x x x .（δε-定义）.7.求极限n n n 25sin 2lim ∞→。

8.求极限145lim 1---→x x x x 。

9.若0)11lim(2=--++∞→b ax x x x ，试确定常数a 、b 的值.10.已知函数)(x f 在],[b a 上连续，且b b f a a f 2)(,2)(≤≥，证明存在],[b a ∈ξ，使得ξξ2)(=f 。

5.判别函数11arctan )(2++=xx x x f 在0=x 处的间断点的类型.解：函数在0=x 处无定义，所以函数在0=x 处间断，…………3分又)(lim 0x f x →)11arctan (lim 20++=→xx x x 1100=++=，所以0=x 是第一类可去间断点.…….10分6.用极限定义证明：123182lim 23=--→x x x .（δε-定义）.证明：0>∀ε，要使|123)3)(3(2||123182|2--+-=---x x x x x ε<-=-+=|3|2|1262|x x ，………….4分只要2|3|ε<-x 。

取2εδ=，………….8分则当δ<-<|3|0x 时，有|123182|2---x x ε<-=|3|2x ，从而有123182lim 21=--→x x x 。

………….10分7.求极限n n n 25sin 2lim ∞→。

解：n n n 25sin 2lim ∞→=nn n 2125sin lim ∞→--------------------------------------------------------------------------------5分52525sin lim ⋅=∞→nn n 5=-----------------------------------------------------------------------10分8.求极限145lim 1---→x x x x 。

第 1 页 共 3 页考生答题不得过此线··················密····························封·························线···························· 院系 专业年级 班级 姓名 学号··················装····························订·························线····························一、填空题(本大题含12个小题，每小题2分,共24分)1．当0→x 时，x cos 1-是x 的 阶无穷小.2．若⎩⎨⎧≥+<=0 ,0,)(x x a x e x f x 在x =0处连续，则=a ___________.3. 函数231)(22+--=x x x x f 的可去间断点是 . 4. 曲线x e y -=在)1,0(处的切线方程为 .5. 落在平静水面上的石头，产生同心波纹.若最外一层波半径的增大速率是6m/s,则在2s 末扰动水面面积增大的速率是 .6.曲线 232++=x x y 在1=x 处的曲率为______ .7.x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 取极值，则=a .8.若x 的一个原函数是)(x f 且0)0(=f 则=)(x f __ . 9.小轿车以每小时72公里速度直线行驶，到某处需减速停车.设小轿车以等加速度2/5-s m 刹车，则从开始刹车到停车，小轿车驶过的距离为_______.10.=+⎰-dx x x x 411)sin ( ______ .11.反常积分⎰+∞+0211dx x =______ . 12.2x y =与x y =2所围成平面图形的面积为__ . 二、计算题（每小题7分，共56分）13．求极限 31lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛+x x x x14．求极限xx xx x sin sin lim20-→15．设函数)(x y y =由方程y xe y -=1确定，求dy16．求由参数方程⎩⎨⎧+==)1ln(arctan 2t y t x 所确定的函数的一阶导数dx dy17．求不定积分 dx x x ⎰+)ln 23(118．求不定积分xdx x ln 2⎰ 19．求定积分⎰++40122dx x x20．求定积分⎰-23cos cos πdx x x三、应用与证明（共20分，其中第21,22题各7分，第23题6分）21．证明： 当x >1时，x 2>x13-22．某地区的防空洞的截面拟建成矩形加半圆.截面总面积为5平方米.问底宽为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省.23．一圆柱形的贮水桶高为5米，底圆半径为3米，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功.。

第一章 函数与极限综合测试题A 卷一、填空题（每小题4分,共20分） 1、21lim(1)xx x→∞-= .2、当0x →+时,无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价,则常数A= .3、已知函数()f x 在点0x =处连续,且当0x ≠时,函数1()2x f x -=,则函数值 (0)f = . 4、111lim[]1223(1)n n n →∞+++⋅⋅+ = .5、若lim ()x f x π→存在,且sin ()2lim ()x xf x f x x ππ→=+-,则lim ()x f x π→= .二、选择题（每小题4分,共20分）1、当0x →+时, 无穷小量是 [ ].（A ） 1sin x x （B ） 1x e （C ） ln x (D) 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的 [ ]. （A ） 连续点 （B ） 第一类非可去间断点 （C ） 可去间断点 (D) 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的 [ ]. （A ） 充分非必要条件 （B ） 必要非充分条件 （C ） 充要条件 (D) 无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x→∞++=,则常数a 等于 [ ]. （A ）1- （B ）0 （C ）1 (D) 2 5、极限201limcos 1x x e x →--等于 [ ].（A ） ∞ （B ）2 （C ）0 (D) 2- 三、解答题（共60分）1、（7分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n →∞--- . 2、（7分）求极限 3tan sin limx x xx →-. 3、（7分）求极限 123lim()21x x x x +→∞++. 4、（7分）求极限1x e →-5、（7分）设3214lim 1x x ax x x →---++ 具有极限l ,求,a l 的值.6、（8分）设3()32,()(1)n x x x x c x αβ=-+=-,试确定常数,c n ,使得()()x x αβ .7、（7分）试确定常数a ,使得函数21sin 0()0x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续.8、（10分）设函数()f x 在开区间(,)a b 内连续,12a x x b <<<,试证:在开区间(,)a b 内至少存在一点c ,使得11221212()()()()(0,0)t f x t f x t t f c t t +=+>>.综合测试题A 卷答案一、填空题1、2e - 2、3 3、0 4、1 5、1 二、选择题1、（A ）2、（C ）3、（D ）4、（A ）5、（D ） 三、解答题1、原式=132411111lim()()()lim 223322n n n n n n n n →∞→∞-++⋅⋅⋅=⋅= .2、 原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x xx x x x x x x →→→--===.3、原式= 232lim (1)(1)lim(1)2121x x x x x x x eee →∞→∞+-++++===.4、原式=201sin 12lim 2x x xx →=.5、 因为1lim(1)0x x →-+=,所以 321lim(4)0x x ax x →---+=,因此 4a =,代入原式得321144(1)(1)(4)limlim 1011x x x x x x x x l x x →-→---++--===++. 6、 此时,()()x x αβ7、 当0x >时,()f x 连续,当0x <时,()f x 连续.20001lim ()lim sin 0,lim ()lim()x x x x f x x f x a x a x+-→→→→===+= 所以,当0a =时,()f x 在0x =连续,因此,当0a =时,()f x 在(,)-∞+∞内连续. 8、 因为()f x 在(,)a b 内连续,12a x x b <<<,所以 ()f x 在12[,]x x 上连续,由连续函数的最大值、最小值定理知,()f x 在12[,]x x 上存在最大值M 和最小值m,即在12[,]x x 上,()m f x M ≤≤,所以12112212()()()()t t m t f x t f x t t M +≤+≤+,又因为 120t t +>,所以32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)α→=-+=-+-+=∴==- x x x x x x x x c n c x c112212()()t f x t f x m M t t +≤≤+,由连续函数的介值定理知:存在12(,)(,)c x x a b ∈⊂,使得112212()()()t f x t f x f c t t +=+.第一章 函数与极限综合测试题B 卷一、填空题（每小题5分,共30分） 1、若()2110x x f x x x ++⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭,则()f x =2、ln 12sin x x →+=3、102lim arccos xx x π→⎛⎫= ⎪⎝⎭4、limn →∞⋅=5、121limn n n n n n ββαααβ→∞⎡-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 6、()lim 1txtxt x e f x e →+∞+=+,()f x 的间断点是二、选择题（每小题5分,共30分）1、(),012,12,12x x f x x x x <<⎧⎪==⎨⎪-<≤⎩的连续区间为 [ ] .（A ）[]0,2； （B ）()0,2； （C ）[)(]0,11,2 ； （D ）()(]0,11,2 .2、01sinlimsin x x x x→的值为 [ ]. （A ）1 （B ）∞ （C ）不存在 （D ）0.3、若222lim 22x x ax bx x →++=--,则必有 [ ]. （A ）2,8a b == （B ）2,5a b == （C ）0,8a b ==- （D ）2,8a b ==-. 4、若0x →时,()f x 为无穷小,且()f x 是2x 的高阶无穷小, 则()20limsin x f x x→= [ ].（A ）0 （B ）1 （C ）∞ （D ）12. 5、()11121arccot1xxe f x xe-=+,则0x =是()f x 的 [ ]. （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点 （C ）无穷间断点 （D ）振荡间断点.6、(),0,0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩,要使()f x 在0x =处连续,则a = [ ].（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-. 三、计算题（每小题6分,共30分） 1、求13521lim 2482n n n →∞-⎛⎫++++⎪⎝⎭ .2、讨论函数()221lim1nn n x f x x x →∞-=+的连续性,若有间断点,判别其类型. 3、设()()()4,1,2122,1x ax bx x x x f x x ⎧++≠≠-⎪-+=⎨⎪=⎩在1x =处连续,求,a b 的值.4、求22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫+++⎪++++++⎝⎭ . 5、求()()222ln sin limln 2x xx x e x e x x→+---.四、证明题（共10分）1、若()f x 在[],a b 上连续,12n a x x x b <<<<< ,证明:在[]1,n x x 上必有ξ,使()()()()121n f f x f x f x nξ=+++⎡⎤⎣⎦ .综合测试B 卷答案一、填空题1、()20x x x -≠; 2、2; 3、2e π-; 4、2; 5、2βα+; 6、0x =二、选择题1、(D)2、(C)3、(D)4、(A)5、(B)6、(B) 三、计算题 1、()12121231,2,222n n n n n n n --++=-= ,13521lim 3.2482n n n →∞-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭2、()22,11lim0,11,1nnn x x x f x x x x x x →∞⎧->⎪-===⎨+⎪<⎩,1x =±也是第一类（跳跃）间断点.3、,2,3a b ==-.4、()()221111221n n n n n x n n n n n ++≤≤++++,由夹逼准则1lim 2n n x →∞=. 5、 原式()()222222002sin ln 1ln sin ln lim lim ln ln ln 1x x x x x x x x x x e e e x e x e e →→⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭==⎛⎫--- ⎪⎝⎭2222222000sin sin lim lim lim 1x x xx x x x x e x x e e x e xx --→→→==-=-=-- . 四、证明题因为()f x 在[],a b 上连续,[][]1,,n x x a b ⊂,故()f x 在[]1,n x x 上连续,因而在[]1,n x x 上()f x 必有最大值M 和最小值m .于是()(),1,2,i m f x Mi n ≤≤= ,作和,有()1ni i nm f x nM =≤≤∑,于是()11ni i m f x M n =≤≤∑.由介值定理的推论,[]1,n x x 上连续的函数()f x 必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值,即存在[]1,n x x ξ∈,使()()11ni i f f x n ξ==∑.。

大学数学试题a及答案大学数学试题A一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数是（）。

A. 2x+2B. 2x+1C. x^2+2D. 2x答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 以下哪个函数是偶函数（）。

A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = xD. f(x) = x^2 + x答案：B4. 以下哪个级数是收敛的（）。

A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...C. 1 + 1/2 + 2/3 + 3/4 + ...D. 1 + 2 + 4 + 8 + ...答案：B5. 矩阵A = [1 2; 3 4]的行列式是（）。

A. 2B. -2C. 10D. -10答案：C6. 以下哪个积分是正确的（）。

A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫e^x dx = e^x + CD. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C答案：D7. 以下哪个方程的解是x = 2（）。

A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 - 3x + 2 = 0C. x^2 - 5x + 6 = 0D. x^2 - 6x + 8 = 0答案：B8. 以下哪个是二阶偏导数（）。

A. ∂^2f/∂x∂yB. ∂f/∂xC. ∂^2f/∂x^2D. ∂f/∂y答案：A9. 以下哪个是二重积分（）。

A. ∫∫f(x, y) dx dyB. ∫f(x) dxC. ∫f(y) dyD. ∫∫f(x) dx答案：A10. 以下哪个是线性方程组（）。

A. x + y = 3B. x^2 + y^2 = 1C. x + 2y = 5D. x^3 + y^3 = 1答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^3 - 3x的极值点是______。

高数大一考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个不是基本初等函数？A. 指数函数B. 对数函数C. 分段函数D. 三角函数2. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1在区间（-∞，+∞）内的最大值是：A. 1B. -1C. 0D. 23. 设函数f(x) = x^2 + 3x + 2，求f(x)的最小值：A. -1B. 0C. 1D. 24. 以下哪个选项是极限lim (x->2) [(x^2 - 4)/(x - 2)]的值？A. 0B. 4C. 8D. 不存在5. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 3，a4 = 13，求此等差数列的A. 2B. 3C. 4D. 56. 以下哪个选项是不定积分∫1/(4+3x^2) dx的解？A. 1/3 arctan(x/2)B. 1/2 arctan(x/2)C. 1/3 arctan(x)D. 1/2 arctan(x)7. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(x)的导数f'(x)：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)8. 以下哪个选项是定积分∫[0, π/2] x^2 dx的值？A. π^2/4B. π^2/3C. π^3/6D. π^3/39. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求E(X)的值：A. λB. λ^2C. 1/λD. 2λ10. 以下哪个选项是二元函数z = xy在区域D：x^2 + y^2 ≤ 1上的A. 1B. 0C. -1D. 不存在二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x) = √x在区间[0, 4]上可导，则f'(x) = ________。

12. 设数列{bn}的通项公式为bn = 2n - 1，该数列的前n项和Sn =________。

《高等数学》考试试卷A 卷及答案解析一．填空题（共24分，每小题3分）1．设函数x y z =，则__________________________=dz .2．方程333z e xyz e -=确定()y x z z ,=，则__________________=∂∂x z. 3. 曲线t t x sin -=，t y cos 1-=，2sin 2tz =在π=t 处切线方程为_________________________________________.4. 函数2u x y z =+在点(2,1,0)M 处最大的方向导数为__________________.5. 交换二次积分222(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，得__________________=I .6.设平面曲线)10(:2≤≤=x x y L ，则曲线积分__________________=⎰ds x L.7. 幂级数∑∞=12n n n x n的收敛域是 ________________________.8. 微分方程022=+'-''y y y 的通解为___________________________.二、选择题（共12分，每小题3分）1. 设曲面2232y x z +=在点)5 , 1 , 1(M 处的切平面方程为064=+-+λz y x ，则λ=（ ）.(A) 15- (B) 0 (C) 5- (D) 52. 函数),(y x f 在点),(y x 处可微是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的（ ）. (A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件3. 设曲线L 是单位圆周122=+y x 按逆时针方向，则下列曲线积分不等于零的是（ ）.(A) ds y L⎰ (B) ds x L⎰ (C) dx y xdy L⎰+ (D) ⎰+-L y x ydxxdy 224. 下列级数中收敛的是（ ）.(A) ∑∞=122n n n (B) ∑∞=+12n n n(C) ∑∞=+1)2121(n n n (D) ∑∞=133n n n三、解答题：(共59分)1.（7分）求二元函数()3132,23---=y x xy y x f 的极值. 2. （7分）设函数2,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()v u f ,具有二阶连续偏导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂2 , .3．（7分）计算二重积分dxdy xy D⎰⎰2，其中D 是由圆周422=+y x 与y 轴所围成的右半区域.4．（7分）将函数())1ln(x x f +=展成1-x 的幂级数，并写出可展区间5．（7分）计算曲面积分(2)I xy x y z dS ∑=+++⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限中的部分.6. （8分） 求微分方程x xe y y y 223=+'-''的通解.7． （8分）计算曲线积分()()y d y xy dx yx x I L⎰+-+-=2322其中L 为曲线22x x y -=从)0,2(A 到)0,0(O 的弧段.8．（8分）利用高斯公式计算曲面积分()()d xdy x z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-+++=33332,其中∑为由上半球面224y x z --=与锥面22y x z +=围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.四．（5分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数, 且()()f x f x α'<, 其中01α<<. 任取实数0a , 定义1ln (),1,2,3n n a f a n -==.证明：级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.《高等数学》考试试卷A 卷答案一、填空题（共24分，每小题3分） 1. dy xy ydx y dz x x 1ln -+= 2. 3z z yzx e xy ∂=∂- 3.2022-=-=-z y x π4.5. 2(,)xI dx f x y dy =⎰⎰6.()11127. )21, 21[- 8. )sin cos (21x c x c e y x +=二、选择题（共12分，每小题3分） 1. C 2. B 3. D 4. D 三、解答题（共64分） 1. （7分）解： 令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=022022y x f x y f yx 得驻点⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==22y x 2 分 x f xx 2-=，2=xy f ，2-=yy f 4 分 在（0，0）处， 2 , 2 , 0-===C B A04 2<-=-B AC ， ∴（0，0）为非极值点. 5 分在（2，2）处 2 , 2 , 04-==<-=C B A04 2>=-B AC ∴ 1)2 , 2(=f 为函数),(y x f 的极大值. 7 分2.（7分） 解：2121f xy f yx z '+'=∂∂ 3分)21(212f xy f yy y x z '+'∂∂=∂∂∂ ])([ 22])([11222212221221112x f yx f xy f x x f y x f y f y ''+-''+'+''+-''+'-= 223122113212221f y x f y x f yx f x f y ''+''-''-'+'-= 7 分3. （7分） 解：⎰⎰⎰⎰--=224 0222y Dxdx dy y dxdy xy3分⎰--=2 2 22)4(21dy y y 5 分 1564)4(2 0 42=-=⎰dy y y 7 分4. （7分）解：1(1)ln(1)1n n n x x n ∞+=-+=+∑ 11≤<-x 1 分)211ln(2ln )]1(2ln[)1ln(-++=⋅-+=+x x x 3分10)21(1)1(2ln +∞=∑-+-+=n n n x n∑∞=++-+-+=011)1(2)1()1(2ln n n n nx n 6分 1211≤-<-x ⇒ 31≤<-x 7分5.（7分）解：:1z x y ∑=--dS ∴== 2分(2DI xy ∴=+⎰⎰4分1102xDdx xydy dxdy -=+⎰5分()13202xx x dx =-++6分12=7分6.（8分）解 （1）先求微分方程023=+'-''y y y 的通解Y特征方程 0232=+-r r 即 0)1)(2(=--r r ，21=r ，12=rx x e c e c Y 221+= 3 分（2）求原方程的一个特解*y 2 =λ 是特征方程的根，故设 x x e bx ax e b ax x y 222)()(+=+=*5分令bx ax x Q +=2)(，则b ax x Q +='2)(，a x Q 2)(=''将)(x Q '，)(x Q ''代入方程x x Q p x Q ='++'')()2()(λ 得 x b ax a =++22则 ⎩⎨⎧=+=1212b a a ， 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==021b a ， x xe y 221=*7 分 所求通解 x x x xe e c e c y 222121++= 8 分7.（8分） 解：⎰++-+-OAL dy y xy dx yx x )2()(322dxdy x y dxdy y Px Q DD)()(22⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂= 3 分 ⎰⎰⋅=θd ρd cos 2 0220 ρρθπ5 分⎰==20 443cos 4ππθθd 6 分dy y xy dx yx x I OA ⎰+-+--=)2()(43322π 7 分2434320-=-=⎰ππxdx 8 分8. （8分） 解：由高斯公式dV z y x I )333(222⎰⎰⎰Ω++= 3 分2244 03 sin d d r dr ππθφφ=⎰⎰⎰ 6 分192(152π=- 8 分9.（5分）解：对任意设2n ≥,由拉格朗日中值定理，有111212121'()ln ()ln (),()n n n n n n n n n n f a a f a f a a a a a f ξαξ----------=-=-<-2 分其中1n ξ-介于1n a -与2n a -之间. 于是有11101,2,.n n n a a a a n α---<-=3分又级数1101n n a a α∞-=-∑收敛, 由比较审敛法知级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.5分。

高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分）分） 1、 当0x ®+时，（A ）无穷小量。

）无穷小量。

A 1sin x x B 1x e C ln x D 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<ìï==íï->î的（C ）。

A 连续点连续点 B 第一类非可去间断点第一类非可去间断点 C 可去间断点可去间断点 D 第二类间断点第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。

A 充分非必要条件充分非必要条件 B 必要非充分条件必要非充分条件 C 充要条件充要条件 D 无关条件无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x®¥++=，则常数a 等于（A ）。

A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限21lim cos 1x x e x ®--等于（D ）。

A ¥ B 2 C 0 D -2 二、填空题（每小题4分，共20分）分）1、21lim(1)x x x®¥-=22e -2、 当0x ®+时，无穷小ln(1)Ax a =+与无穷小sin 3x b =等价，则常数A=3 3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ¹时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f =0 4、 111lim[]1223(1)n n n ®¥+++··+=1 5、 若lim ()x f x p®存在，且sin ()2lim ()x xf x f x xp p®=+-，则lim ()x f x p ®=1 二、解答题二、解答题1、（7分）计算极限分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n ®¥---解：原式=132411111lim()()()lim 223322n n n n n n n n ®¥®¥-++···=·=2、（7分）计算极限分）计算极限 30tan sin lim x x x x®- 解：原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x x x x x x x x x ®®®--===3、（7分）计算极限分）计算极限 123lim()21x x xx x +®¥++ 解：原式= 11122112221lim(1)lim(1)121211lim(1)lim(1)1122x x x x x x x x x e x x +++®¥®¥+®¥®¥+=+++=+·+=++ 4、（7分）计算极限分）计算极限 201sin 1lim 1x x x x e ®+-- 解：原式=201sin 12lim 2x x xx ®=5、（7分）设3214lim 1x x ax x x ®---++ 具有极限l ，求,a l 的值的值 解：因为1lim(1)0x xx ®-+=，所以，所以 321lim(4)0x x ax x ®---+=， 因此因此 4a = 并将其代入原式并将其代入原式321144(1)(1)(4)limlim 1011x x x x x x x x l x x ®-®---++--===++6、（8分）设3()32,()(1)nx x x x c x a b =-+=-，试确定常数,c n ，使得()()x x a b解：解： 32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)x x x x x x x x c n c x ca ®=-+=-+-+=\==- 此时，()()x x ab 7、（7分）试确定常数a ，使得函数21sin 0()0x x f x x a x x ì>ï=íï+£î在(,)-¥+¥内连续内连续解：当0x >时，()f x 连续，当0x <时，()f x 连续。

第一单元 测试题一 填空（4X10=40）1 11)(-=x e x f , 2. 1y = 3. e 4. A-= 3, 5.a= 4, l =10 6. a=0 7. a 8 . 13- 9.cos (sin )(cot cos sin lnsin )x x x x x x - ,10.!2二、选择题 (4X6=24) ABBBDD三．计算说明： 计算1-4 题在学完第三章后可以用洛比达法则。

1.（5分）22001sin 1lim lim 21x x x x x x e →→==- 2、（5分）计算极限 2cos()sin()sin sin 22lim lim x a x a x a x a x a x ax a →→+--=-- 2cos()()22lim limcos()cos 2x a x a x a x a x a a x a →→+-+===- 个别同学用导数定义，也可以。

3 . （5分） 计算极限 该题应该为0x →33000224sin 3cos3cos 4sin lim lim lim tan 2tan 2tan 2x x x x x x x x x x x x →→→-=-30023cos 4lim lim 222x x x x x x x→→=-=4 . （5分） 计算极限000002322131ln 2ln 31lim lim lim lim lim ln 6tan 2tan 2tan 2222x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→+---=+=+= 5.（5分）求函数212111()lim n n n n x f x x x x+++→∞+=-+的间断点并判断类型。

解： 1,0||11,||1()2,10,1x x x f x x x ⎧<<⎪⎪⎪>=⎨⎪=⎪=-⎪⎩ 因为 0lim (),x f x →=∞ 0x =为无穷间断点。

2017/2018学年第一学期 高等数学A1课程考核试卷 A ■、B□参考答案一、填空题或选择填空题 (每小题 3分，满分15分) 1. 当0x →1−与是等价无穷小，则ax 12a=；(等价无穷小112x −∼) 2. 设，则(1)1f ′=0(1)(1)lim2x f x f x x→+−−=；(导数定义 00(1)(1)(1)(1)(1)(1)limlim 2(1)2x x f x f x f x f f x f f x x x →→+−−+−−−⎡⎤′=+=⎢⎥−⎣⎦=0) 3. 若函数由确定，则()y y x =e e xyx y +−=0d d x y x==；(微分形式：0d (0x y y =′=)d x xyy x y y )(隐函数求导：当时，，0x =0y =e e 0′′++−=，则e e x y y+′=，进而)(0)1y ′=y x−4. 设函数3()f x x =−x ，则在内(0,1)B()A 存在ξ，使得()2f ξ′=− ()B 存在ξ，使得()0f ξ′= ()C 存在ξ，使得()2f ξ′= (存在)D ξ，使得()3f ξ′=；(罗尔定理：()f x 在[0上连续，在(0内可导，,1],1)(0)(1)f f =，由罗尔定理知，(0,1)ξ∃∈，使得()0f ξ′=) 5. 若()f x 满足201()()d 11xf x f t t x =++∫，则C()A (0)0f ′= ()B (0)1f ′= ()C (0)2f ′= 无法确定()D (0)f ′的值.(导数定义结合洛必达法则和积分上限函数求导：(0)1f =，00022000()(0)(0)lim lim li 1()d ()d m lim 22(0)2(1)2121()x x x xx x f t t f t t f x f f f x f x x x x x x →→→→−′=====+++∫∫=)二、计算下列各题（每小题6分，共48分）1. 10(1)e limxx x x →+−； (0洛必达法则或者等价无穷小)解：(洛必达法则结合幂指函数求导)11ln(1)ln(1)20000(1)ln(1)(1)e 1lim lim lim e lim e 1x x x x x x x x x x x x x x x x x ++→→→→′⎡⎤+⎢⎥−+′⎡⎤+−⎣⎦+===⋅⎢⎥⎣⎦ln(1)22000(1)ln(1)ln(1)elim elime lim e lim (1)23232x xx x x x x x x x x x x x x x x +→→→→−++−+−−=⋅=⋅=⋅=+++2.(等价无穷小结合洛必达法则) 1ln(1)ln(1)1200000ln(1)1(1)e eee(e1)ln(1)limlimlimelim elim x x x xxx x x x x x x x x x xxxx++−→→→→→x +−+−−−+−==== 0011e 1elimelim 22(1)x x x x x x x →→−−+==+2=−. 2. 设33cos ,sin ,x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 求22π4d d x y x =； (参数方程求导)解：2d 3cos sin d x t t =−t , 2d 3sin cos d y t t t =, 22d 3sin cos tan d 3cos sin y t t t x t t==−−， 22224d 3cos si sec 1d 3o n c n t t y ts si t t −==−, 22π4d d 3x y x==. x3.∫； (三角换元)解：令tan x t =，则2d sec d x t t =2csc d ln |csc cot |ln t t t t C C ==−+=∫+； 4.2(2+3)d 25x xx x ++∫；(分母二次的有理函数----凑微分)解：222222(2+3)d (25)+1d d(25)1d(1)252525(1)4x x x x x x x x x x x x x x x ′++++==+++++++++∫∫∫∫+ 211ln (25)arc tan 22x x x C +=++++； 5.e 1eln d x x ∫； (去绝对值，分部积分)解：[][]e 1e1e11111ee e2ln d (ln )d ln d ln ln 2e x x x x x x x x x x x x =−+=−−+−=−∫∫∫；6.1x +∞∫；(反常积分，倒代换)解：令1x t =，则21d d x t t =−，111211002(1)x t t t −+∞⎡⎤===−+=⎢⎥⎣⎦∫∫∫2；7. 求微分方程满足，2()0y y y ′′′−=(0)1y =(0)2y ′=的解； (可降阶微分方程) 解：令d d y p x =，则d d p y py ′′=，代入方程得2d 0d p y p p y −=，从而d 0d py p y−=，(舍) 0p = 分离变量得d d p yp y=，两边积分得 1ln ||ln ||ln ||p y C =+，则1p C y = 由，(0)1y =(0)2y ′=得，则12C =d 2d yy x=，分离变量的d 2d y x y =， 两边积分得2ln ||2ln ||y x C =+，即22e xy C =，由(0)1y =得21C =，故2e xy =；8. 求函数的极值.2(1)y x x =−3)解：，(,D =−∞+∞32222(1)3(1)(1)(52)y x x x x x x x ′=−+−=−−当，0x =2x =，1x =时， 0y ′= 故极小值为()53125y =−(0)0y =.，极大值为 三、(8分) 设0α>，讨论函数1sin ,0(),x x f x xx αβ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性与可导性.解：因0α>，则01lim sin0x x xα→=，(0)f β= 当0β=时，，0lim ()(0)0x f x f →==100()(0)1(0)limlim sin x x f x f f x x xα−→→−′== 当1α>时，；当(0)0f ′=01α<≤时，(0)f ′不存在. 故当0α>，0β≠时，()f x 在0x =处不连续且不可导. 当01α<≤，0β=时，()f x 在0x =处连续但不可导.当1α>，0β=时，()f x 在处连续且可导.0x = 四、(8分) 求由曲线y x =，及ln y x =0y =，1y =围成平面图形的面积，并求此图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.为积分变量)：面积121003(e )d e e 22yy y A y y ⎡⎤=−=−=−⎢⎥⎣⎦∫ y 解：(选择 体积131004π2π(e )d 2πe e 33y y yx y V y y y y ⎡⎤=−=−−=⎢⎥⎣⎦∫； 为积分变量): 面积[]121ee10103d (1ln )d ln e 22x A x x x x x x x x ⎡⎤=+−=+−+=−⎢⎥⎣⎦∫∫x (选择 体积131ee 22221014ππd π(1ln )d ππln 2ln 233x x V x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+−=+−+−=⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫. 五、(7分) 求微分方程369e xy y y ′′′−+=的通解.解: 特征方程: 特征根 269r r −+=0123r r ==，对应齐次方程通解 312()e x Y C C x =+ 因3λ=是特征重根 设非齐次方程特解为23*e xy ax =， 代入方程得12a =故所求通解23312*()e e 2xxx y Y y C C x =+=++.六、(6分) 设()f x 是[0上单调递减连续函数，证明：对于任意,1](0,1)a ∈，成立不等式1()d ()d a f x x a f x x ≥∫∫.证明: 令0()d ()a f x x g a a=∫， (构造函数，利用单调性证明) (a 为自变量)0a <<1 则02()()d ()af a a f x xg a a⋅−′=∫，由积分中值定理知，()d ()a f x x f a ξ=⋅∫，0a ξ<<从而()()()f a f g a aξ−′=，因()f x 在[0上单调减少，则,1]()()f a f ξ≤，进而，故在(0上单调减少，，()0g a ′≤()g a ,1)10()(1)()d g a g f x x ≥=∫即1()d ()d a f x x a f x x ≥∫∫，(01)a <<.(另法) 令 (为了利用单调性，分割区间)100()()d ()d a g a f x x a f x x =−∫∫ 则11()()d (()d ()d )(1)()d ()d aa a aag a f x x a f x x f x x a f x x a f x x =−+=−−∫∫∫∫∫ 由积分中值定理知，10()d ()a f x x f a ξ=⋅∫，01a <，12()d ()(1)af x x f a ξ=⋅−∫，a 21<<<ξξ 从而12()(1)()(1)()g a a a f a a f ξξ=−⋅⋅−−⋅⋅因()f x 在[0上单调减少，,1]1201a ξξ<<<<，则12()()f f ξξ≥故，即()0g a ≥1()d ()d a f x x a f x x ≥∫∫，(01)a <<.七、(8分) 设()f x ，在[,上具有二阶导数，()g x ]a b ()()f a g a =，()()f b g b =，()()f x g x ≠，且在内(,)a b ()f x 与取得相等的最大值.()g x 证明：(1) 存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ=；(2) 存在(,)a b η∈，使得()()f g ηη′′′′=. 证明：(1) 若()f x 与均在()g x 0x 点取得相等的最大值，即00()()f x g x =，取0(,)x a b ξ=∈即可 若()f x 与分别在点()g x 1x 与点2x 取得最大值，即12()()f x g x M ==，不妨设12x x <令，则在()()()F x f x g x =−()F x 12[,]x x 上连续，且1111()()()()0F x f x g x M g x =−=−>， 2222()()()()0F x f x g x f x M =−=−<由零点定理知，12(,)(,)x x a b ξ∃∈⊂，使得()0F ξ=，即()()f g ξξ=.(2) 因()()f a g a =，()()f g ξξ=，()()f b g b =，则()()()0F a F F b ξ===()F x 在[,]a ξ，[,]b ξ上连续，在(,)a ξ，(,)b ξ内可导， ()()()0F a F F b ξ===由罗尔定理知，1(,)a ξξ∃∈，2(,)b ξξ∈，使得1()0F ξ′=，2()0F ξ′=()F x ′在12[,]ξξ上连续，在12(,)ξξ内可导， 12()()F F ξξ′′=由罗尔定理知，12(,)(,)a b ηξξ∃∈⊂，使得()0F η′′=，即()()f g ηη′′′′=.。

绪论单元测试1.高等数学的核心内容是（）A:无穷级数B:集合论C:微积分D:实数理论答案:C2.微积分的创始人是（）.A:拉格朗日B:牛顿C:莱布尼茨D:柯西答案:BC3.高等数学的研究对象是（）.A:变量B:实数C:集合D:常量答案:A4.魏尔斯特拉斯给出了极限的精确定义.（）A:对B:错答案:A5.高等数学的研究方法是极限方法。

（）A:对B:错答案:A第一章测试1.若的定义域为,,则的定义域为（）.A:B:C:D:答案:C2.( ).A:不存在B:C:答案:B3.( ).A:B:C:D:答案:C4.设，则( ).A:是的第一类间断点，是的第二类间断点B:都是的第二类间断点C:是的第二类间断点，是的第一类间断点D:都是的第一类间断点答案:C5.若在上连续，没有零点，但在上某点处的函数值为正，则在上 ( ).A:至少有一点，使为负B:每点的函数值都为正C:每点的函数值都为非负D:每点的函数值都为负答案:B第二章测试1.若，则( ).A:B:C:D:答案:A2.设可导，若是奇函数，则 ( ).A:是偶函数B:的奇偶性不能确定C:是奇函数D:是非奇非偶函数答案:A3.设由方程所确定，则 ( ).A:B:C:D:答案:A4.设由参数方程确定了函数，则 ( ).A:C:D:答案:D5.设，则( ).A:B:C:D:答案:C第三章测试1.( ).A:1B:2C:4D:3答案:A2.函数的极小值是( ).A:1.5B:3C:2D:4答案:B3.( ).A:在单调增加B:在单调增加，在单调减少.C:在单调减少，在单调增加.D:在单调减少答案:B4.函数 ( ).A:在上是凸的，在上是凹的B:在上是凹的，在上是凸的C:在上是凸的，在上是凹的D:在上是凹的，在上是凸的答案:A5.A:有且仅有1个实根B:有且仅有2个实根C:有无穷多个实根D:无实根答案:A。

《高等数学1（一）》课程考试试卷(A 卷参考答案)注意：1、本试卷共3页； 2、考试时间:120分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方。

一. 单项选择题，请将答案填入题后的方括号内(每小题2分， 共20分)1．与函数2()f x ln x =相同的函数是[ C ]. A ．lnx B ．21()2ln x C ．lnx D ．ln x2．若(1)(2)(3)(4)(5)lim (32)x x x x x x x αβ→∞-----=-，则α与β的值为[ D ]. A ．11,3αβ== B ．15,3αβ== C ．511,3αβ== D ．515,3αβ==3．设函数()y f x =在点0x 处可导，dy 为()f x 在0x 处的微分，当自变量x 由0x 增加到0x x +∆时， 极限0limx y dyx∆→∆-∆等于[ B ].A ．－1B ．0C ．1D ．∞4．若()f x 在x a =的某个邻域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是[ D ].A ．1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在B ．0(2)()lim h f a h f a h h→+-+存在C ．0()()lim2h f a h f a h h →+--存在 D ．0()()lim h f a f a h h→--存在5．已知函数1sin ,0(),0x x f x xax b x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续，则a 与b 等于[ C ].A ．1,1a b ==B ．0,a b R =∈C ．,0a R b ∈=D ．,a R b R ∈∈6．若函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-，则下列结论中正确的是[ B ].A ．3,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极小值点B ．0,3a b ==-，且1x =为函数()f x 的极小值点C ．1,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极大值点D ．0,3a b ==-，且1x =为函数()f x 的极大值点7．设1()1f x x =-，其n 阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项()n R x 等于[ C ]. A ．11,(01)(1)(1)n n x n x θθ++<<+- B ．11(1),(01)(1)(1)n n n x n x θθ++-<<+-C ．12,(01)(1)n n x x θθ++<<-D ．11(1),(01)(1)n n n x x θθ++-<<-8．若sin 2x 为函数()f x 的一个原函数，则()xf x dx ⎰等于[ D ]. A ．sin 2cos 2x x x C ++ B ．sin 2cos 2x x x C -+C ．1sin 2cos 22x x x C -+ D ．1sin 2cos 22x x x C ++9．若非零向量,,a b c满足0a b ⋅= 与0a c ⨯= ，则b c ⋅ 等于[ A ].A ．0B ．－1C ．1D ．310．直线2020x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是[ C ].A ．直线在平面内B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直二．填空题(每小题2分，共10分)1．一质点作直线运动，其运动规律为426s t t t =-+，则速度增加的时刻t = 1 . 2．若21arctan (1)2y x x ln x =-+，则dy =arctan xdx . 3．已知21adx x π+∞-∞=+⎰，则a = 1 .4．已知()xf x e =，则()f lnx dx x'=⎰ x C + . 5．设向量,,m n p 满足0m n p ++=，且6m = ，8n = ，10p = ，则m n n p p m ⨯+⨯+⨯=144 .三．求解下列各题（每小题5分，共10分)阅卷人 得分阅卷人 得分阅卷人 得分三峡大学试卷 教学班号 序号 班级学号 姓名密 封 线1．11lim(1)21n n n +→∞-+解：原式=((21)(1)1)/21lim(1)21n n n -+-+→∞-+ 2=(21)(1/2)(1/2)11lim(1)lim(1)2121n n n n n -+-→∞→∞-⋅-++ 41/2e -= 52．20(13)lim (sec cos )x ln x x x →+-解：原式=203cos lim (1cos )(1cos )x x xx x →-+ 2=223cos lim1(1cos )2x x x x x →+ 4=6 5四. 求解下列各题（每小题6分，共12分)1．若方程arctan 1xyy e =+确定了y 是x 的函数，求函数y 的微分dy . 解：原方程两边同时对x 求导，有2()1xyy e y xy y ''=++ 则22(1)1(1)xy xyy y e y x y e+'=-+ 4 则22(1)1(1)xyxyy y e dy dx x y e +=-+ 62．设参数方程21cos x t y t⎧=+⎨=⎩确定了y 是x 的函数，求22d ydx .解：sin 2dy tdx t-= 3 222cos sin 122t t td y t dx t-=- 5 3sin cos 4t t tt-= 6五．求解下列各题（每小题6分，共18分)1．222()lnx dx xlnx +⎰解：原式=212()()d xlnx xlnx ⎰ 42C xlnx-=+ 6 2．222max{,}x x dx -⎰解：原式=0122221x dx xdx x dx -++⎰⎰⎰ 4323012201[][][]323x x x -=++ 5=11/2 63．设21sin ()x tf x dt t =⎰，求10()xf x dx ⎰解：21100()()()2x xf x dx f x d =⎰⎰ 2221100[()](())22x x f x d f x =-⎰ 422112200sin 02sin 2x x xdx x x dx x =-=-⎰⎰ 2101[cos ]2x =cos112-= 6六. （本题10分）y阅卷人 得分阅卷人 得分阅卷人 得分已知星形线33cos sin x a ty a t⎧=⎨=⎩如右图所示，其中0a >， a 1） 计算星形线的全长； a - 0 a x 2） 求星形线与坐标轴所围成图形的面积.解：1）长度 2224()()dy dx L dt dt dtπ=+⎰2 a - 222249sin cos a t tdt π=⎰46a = 52）面积024202443sin cos a S ydx a t tdt π==-⎰⎰ 82422012sin cos at tdt π=⎰238a π= 10七. （本题7分）已知某直角三角形的边长之和为常数，求该直角三角形面积的最大值. 解：设两直角边与斜边分别为,,x y z ，其和为常数k ，所求面积为S因x y z k ++=及222x y z +=，则222()kx k y x k -=- 3则221224()kx xk S xy x k -==-，且222(24)()4()k x kx k S x x k -+'=- 有驻点222x k -= 5 则22max132241282S k k -==+为所求 7八. （本题7分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线方程. 解：记直线111:321x y zL +-==-，设过点(2,1,3)M 且垂直相交于直线1L 的平面为π 则平面π方程为3(2)2(1)(3)0x y z -+---= 2令11321x y zt +-===-则13,12,x t y t z t =-+=-+=- 代入平面π得3/7t =，即交点为2133(,,)777A - 4以12624(,,)777MA --= 为所求直线的方向向量得到 所求直线为：213214x y z ---==- 7九. （本题6分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续且0()1f x <<，试判断方程02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有几个实根，并证明你的结论. 证：记0()2()1x g x x f t dt =--⎰则10(0)10,(1)1()0g g f t dt =-<=->⎰2且0()1f x <<知()2()0g x f x '=->，即在闭区间[0,1]上单调增加 4 故02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有一个实根 6阅卷人 得分阅卷人 得分阅卷人 得分。

《高等数学》（上册） 单元自测题第1章 函数与极限专业 班级 姓名 学号一、 填空题：1．设()xx x f +-=11，则()[]x f f =_________________。

2. =+-∞→nn nn n 3232lim _________________。

3. =-∞→x x x 2)11(lim _________________。

4． =++∞→xx x x 1sin 2332lim 2___________________。

5． 已知0→x 时()11312-+ax与1cos -x 是等价无穷小，则=a __________。

6． 函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=0,1sin ,0, 0 ,0, e 1x x x x x x f x的连续区间是_____ _____。

二、 选择题：1．函数)12arcsin(412-+-=x x y 的定义域是（ ）。

（A ）)2,0[； （B ）)2,2(-； （C ）]4,0[； (D) ]4,2(-。

2．已知极限0)2(lim 2=++∞→kn nn n ，则常数=k （ ）。

(A) 1- ； (B) 0 ；(C) 1； (D) 2 。

3．若()A x f x x =→0lim ，则下面选项中不正确的是（ ）。

(A) α+=A x f )(，其中α为无穷小； (B))(x f 在0x 点可以无意义；(C))(0x f A = ； (D) 若0>A ，则在0x 的某一去心邻域内0)(>x f 。

4． 当0→x 时，下列哪一个函数不是其他函数的等价无穷小（ ）。

(A) 2sin x ； (B) 2cos 1x -； (C) ()21ln x +； (D) ()1e -x x 。

5．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=0),1ln(10,0,sin )(x x x x b x x ax x f 在点0=x 处连续，则常数b a ,的值为（ ）。

贵州工程应用技术学院《 高等数学 》第一章函数、极限、连续单元测试题（A)一、填空题1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln )(=ϕ，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域为 。

2.xx x sin lim ∞→= 。

3.当0→x 时，a x a -+3)0(>a 与k x 为等价无穷小，则=k 。

4.函数23122+--=x x x y 的间断点是 。

5. 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数xx x f 1sin )(=，则函数值(0)f = 。

二、选择题1.如果0lim ()x x f x →+与0lim ()x x f x →-存在，则 （ ）A.0lim ()x x f x →存在且00lim ()()x x f x f x →=B.0lim ()x x f x →存在但不一定有00lim ()()x x f x f x →= C.0lim ()x x f x → 一定不存在 D.0lim ()x x f x →不一定存在 2. 当+→0x 时，以下为无穷小量的是 （ ）A. 1sin x xB. 1x eC. ln xD. 1sin x x3.函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的 （ )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 无关条件4.已知0)(lim 3=→x f x ，且1)3(=f ，那么 （ ）A. ()f x 在3=x 处连续 B.()f x 在3=x 处不连续 C. )(lim 3x f x →不存在 D.1)(lim 3=→xx f x 5. 当-∞→x 时，x arctan 的极限为 （ ）A.2πB. ∞C. 2π- D.不存在,但有界6. 函数()cos f x x x =在(,)-∞+∞内是 （ ）A. 有界函数;B. 奇函数;C. 单调函数;D. 偶函数.7．下列说法正确的是 ( )A. sin 2y x =的最小正周期是2π；B. 函数(),()1x f x g x x==是相等函数； C. 严格单调函数必存在反函数； D. 函数x y a =与x y a -=的图形关于x 轴对称. 8. 1lim3sin 3n n n →∞= （ ） A. 0 ； B. 1 ； C.x 1 ； D. x . 9. 当x →0时，x cos 1-是关于2x 的 ( )A. 同阶无穷小；B. 低阶无穷小；C. 高阶无穷小；D. 等价无穷小.10. 设223,0,()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨+>⎩,则0lim ()x f x -→= ( ) A. 2； B. -2； C. -1； D. 3.三、判断题1. 若数列}{n x 不收敛，则数列}{n x 一定无界。