高等数学(上下册)自测题及参考答案

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高等数学考试题目及答案

高等数学考试题目及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个函数是奇函数？A. $ f(x) = x^2 $B. $ f(x) = x^3 $C. $ f(x) = x^4 $D. $ f(x) = \sin(x) $答案：B2. 极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$ 的值是多少？A. 0B. 1C. $\infty$D. -1答案：B3. 以下哪个积分是发散的？A. $\int_0^1 \frac{1}{x^2} dx$B. $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx$C. $\int_0^1 \frac{1}{x} dx$D. $\int_1^\infty \frac{1}{x} dx$答案：C4. 函数 $ f(x) = e^x $ 的导数是什么？A. $ e^x $B. $ e^{-x} $C. $ \ln(e) $D. $ 1 $答案：A5. 以下哪个级数是收敛的？A. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$B. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$C. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$D. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$答案：C6. 函数 $ y = \ln(x) $ 的二阶导数是什么？A. $ \frac{1}{x^2} $B. $ \frac{1}{x} $C. $ -\frac{1}{x} $D. $ -\frac{1}{x^2} $答案：A7. 以下哪个函数是周期函数？A. $ f(x) = e^x $B. $ f(x) = \sin(x) $C. $ f(x) = x^2 $D. $ f(x) = \ln(x) $答案：B8. 以下哪个函数是偶函数？A. $ f(x) = x^3 $B. $ f(x) = x^2 $C. $ f(x) = \sin(x) $D. $ f(x) = \cos(x) $答案：D9. 函数 $ y = x^2 $ 的不定积分是什么？A. $ \frac{x^3}{3} $B. $ \frac{x^2}{2} $C. $ \frac{x^3}{2} $D. $ \frac{x^4}{4} $答案：A10. 以下哪个函数是单调递增的？A. $ f(x) = e^{-x} $B. $ f(x) = \ln(x) $C. $ f(x) = -x^2 $D. $ f(x) = x^3 $答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 4 $ 的最小值是 ________。

完整)高等数学考试题库(附答案)

完整)高等数学考试题库(附答案)高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）。

1.下列各组函数中，是相同的函数的是（）。

A）f(x)=ln(x^2)和g(x)=2lnxB）f(x)=|x|和g(x)=x^2C）f(x)=x和g(x)=x^2/xD）f(x)=2|x|和g(x)=1/x答案：A2.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处连续，则a=（）。

A）1B）0C）-1D）2答案：A3.曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程为（）。

A）y=x-1B）y=-(x+1)C）y=(lnx-1)(x-1)D）y=x答案：C4.设函数f(x)=|x|，则函数在点x=0处（）。

A）连续且可导B）连续且可微C）连续不可导D）不连续不可微答案：A5.点x=0是函数y=x的（）。

A）驻点但非极值点B）拐点C）驻点且是拐点D）驻点且是极值点答案：A6.曲线y=4|x|/x的渐近线情况是（）。

A）只有水平渐近线B）只有垂直渐近线C）既有水平渐近线又有垂直渐近线D）既无水平渐近线又无垂直渐近线答案：B7.∫f'(1/x^2)dx的结果是（）。

A）f(1/x)+CB）-f(x)+CC）f(-1/x)+CD）-f(-x)+C答案：C8.∫ex+e^(-x)dx的结果是（）。

A）arctan(e^x)+CB）arctan(e^(-x))+CC）ex-e^(-x)+CD）ln(ex+e^(-x))+C答案：D9.下列定积分为零的是（）。

A）∫π/4^π/2 sinxdxB）∫0^π/2 xarcsinxdxC）∫-2^1 (4x+1)/(x^2+x+1)dxD）∫0^π (x^2+x)/(e^x+e^(-x))dx答案：A10.设f(x)为连续函数，则∫f'(2x)dx等于（）。

A）f(1)-f(0)B）f(2)-f(0)C）f(1)-f(2)D）f(2)-f(1)答案：B二．填空题（每题4分，共20分）。

大学高等数学上下考试题库(及答案)

高数试题1（上）及答案一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）.（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（）.（A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dx x x ++⎰②()0a > ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1．作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题1．2-2．33-３．２４．arctan ln x c+５．２三．计算题１①2e②162.11xyx y'=+-3. ①11ln||23xCx+++②22ln||x a x C-++③()1xe x C--++四．应用题１．略２．18S=《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭(B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121xx e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰②)0a > ③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π 三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc + ②()22ln x a x c +++ ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、填空题(每小题3分, 共24分)1. 函数219y x=-的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x t d e dt dx -=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin xx e x →-; 2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120xedx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解.八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x+-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)xr r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d = 6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （）.A 、2sinxB 、 2sin x -C 、 C x +2sinD 、2sin 2x -7、⎰=+dx xx ln 2（）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C x x++-2ln 18、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx（）. A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 xe y y y 22=+'+'' 的一个特解为（）.A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分； 4、求不定积分⎰++11x dx ；5、求定积分⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ；4、C x x +++-+)11ln(212；5、)12(2e- ； 6、C x y =-+2212 ；四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（）.A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a xx ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C xxdx 211tan 7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0 D 、241a π 10、方程（）是一阶线性微分方程.A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是，最小值是；4、=⎰-113cos xdx x；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxeC e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x x x ； 3、dx xx 221)1(1-- ； 4、C x ++ln 22 ； 5、)12(2e- ； 6、x e x y 122-= ；四、1、 29； 2、图略《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz＝（）.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y = 二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z 2_____________________________.4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程xe y y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫⎝⎛31,1，求此曲线方程 .《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（）. A.0 B.1 C.1- D.216.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.cxe y = B.xce y = C.xe y = D.xcxe y = 二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________. 3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________. 4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解. 四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dt x d -=22.当0=t 时，有0x x =，0v dtdx=）《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,22 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 2217、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

高等数学上册和下册练习题完整版2(附答案)

《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1. 收敛的数列必有界.（）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量.（）3. 闭区间上的间断函数必无界.（）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（）5. 若在点可导，则也在点可导.（）6. 若连续函数在点不可导，则曲线在点没有切线.（）7. 若在[]上可积，则在[]上连续.（）8. 若在（）处的两个一阶偏导数存在，则函数在（）处可微.（）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（）10. 设偶函数在区间内具有二阶导数，且 , 则为的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1. 设，则.2. 若，则.3. 设单调可微函数的反函数为, 则.4. 设, 则.5. 曲线在点切线的斜率为.6. 设为可导函数,,则.7. 若则.8. 在[0,4]上的最大值为.9. 广义积分.10. 设D为圆形区域.三、计算题（每题5分，共40分）1. 计算.2. 求在（0，+）内的导数.3. 求不定积分.4. 计算定积分.5. 求函数的极值.6. 设平面区域D是由围成，计算.7. 计算由曲线围成的平面图形在第一象限的面积.8. 求微分方程的通解.四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明： .2. 设在闭区间[上连续，且证明：方程在区间内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、判断题. 将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.二、填空题.（每题2分，共20分）1.；2. 1；3. 1/2；4.；5. 2/3 ；6. 1 ；7. ；8. 8 ；9. 1/2 ； 10. 0.三、计算题（每题5分，共40分）1.解：因为且，=0由迫敛性定理知： =02.解：先求对数3.解：原式===24.解：原式=====4/55.解：故或当时，，且A=（0，0）为极大值点且当时，，无法判断6.解：D=== = ==7.解：令，；则，8.解：令，知由微分公式知：四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设=0令即：原式成立。

大学高数下册试题及答案

大学高数下册试题及答案《高等数学》测试题一一、选择题1．设有直线及平面，则直线A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交. 2．二元函数在点处A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，则＝A．； B．；C．D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝A．7；B．；C．；D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式A．；B．；C．；D．. 二、填空题1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；2．设，则＝；3．设为正向一周，则0 ；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数； 5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 . 三、设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解：方程两边取全微分，则解出从而四、已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：，从而五、计算累次积分）. 解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解：先二后一比较方便，七．计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解：由对称性从而八、计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、设二阶连续可导函数，适合，求．解：由已知即十一、求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。

令，则由推出，的坐标为附加题：1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2．求幂级数的收敛区间及和函数. 解：从而收敛区间为，3．将展成以为周期的傅立叶级数. 解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。

《高等数学》测试题和答案自测题一答案 (6)

自测题六一、判断题（将“√”或“×”填入相应的括号内）．（每题2分，共20分）．1．以)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(为顶点的三角形为是等边三角形（）．2．方程042222=+-++y x z y x 代表一个空间球面（）．3．方程0943=+-y x 代表一个空间柱面（）．4．方程122222=-+z y x 代表一个旋转曲面（）．5．极限y x xy y x +→→00lim 存在（）． 6．若函数),(y x f z =在点),(000y x P 处连续，则在该点处有极限（）．7．若函数),(y x f z =在点),(000y x P 处的两个偏导数存在，则函数必在该点连续（）．8．若函数),(y x f z =在点),(000y x P 处的两个偏导数存在且连续，则函数在该点可微（）．9．),(y x f z =的两个混合偏导数xy z y x z ∂∂∂∂∂∂22,未必相等（）． 10．二元可微函数),(y x f z =的极值点只能是使0=∂∂=∂∂yz x z 的点（）．二、单项选择题（每题2分，共20分）．1．平面2=y ( )．（A ）垂直于xoz 面；（B ）平行于xoy 面；（C ）平行于xoz 面；（D ）平行于oy 轴． 2．方程1222222=++cz b y a x 所表示的曲面是( )．（A ）椭圆抛物面；（B ）双叶双曲面；（C ）单叶双曲面；（D ）椭球面.3．下列各组函数中，定义域相同的是( )．（A ）2211ln yx z --=与2211y x z --=；（B ）2211y x z -+-=与y x z arcsin arcsin +=；（C ）221111y x z -+-=与2222)1()1(y x z -+-=；（D ）3-+=y x z 与922-+=y x z ．4．二元函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是xOy 平面上的区域( ). （A ）x y y x 4,1222≤≤+；（B ）0,4,122222≠+≤<+y x x y y x ；（C ）x y y x 4,1222<<+；（D ）0,4,122222≠+<≤+y x x y y x . 5．空间曲线⎩⎨⎧+==++Γ.,2:22222y x z z y x 在xOy 面上的投影为（）．（A ）222=+y x ；（B ）122=+y x ；（C ）⎩⎨⎧==+.0,222z y x ；（D ）⎩⎨⎧==+.0,122z y x ． 6．函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(),,(00'00'y x f y x f y x 存在是该点连续的( ).（A ）充分条件而非必要条件；（B ）必要条件而非充分条件；（C ）充分必要条件；（D ）即非充分条件又非必要条件．7．若),(y x f z =在点),(000y x P 处的两个偏导数存在，则在该点（）．（A ）有极限；（B ）连续；（C ）可微；（D ）有切线．8．已知2)()(y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则a 等于( ). （A ）1-；（B ）0；（C ）1；（D ）2．9．函数221y x z +-=的极值点是( ).（A ）驻点；（B ）不可微点；（C ）间断点；（D ）可微但全微分不为零的点．10．可使y x yx u -=∂∂∂22成立的函数是( ). （A ）;2122xy y x u += （B ）;52122-++-=y x e e xy y x u （C ）;2122xy y x u -= （D ）234xy y x xy u -+=．三、填空题（每题4分，共20分）． 1．过点)3,0,0(),0,2,0(),0,0,1(C B A 的平面方程为.2．锥面02222=-+z y x 和平面2=y 的交线是. 3．=+-+→→yx xy y x 11lim 00. 4．方程z y y x =确定了函数),(y x z z =，则=∂∂⋅∂∂y z x z ． 5．设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则.______)1,1,0('=-x f四、计算题（每题10分，共30分）．1．设,n z y x z y x u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=求.,,du z u x u ∂∂∂∂ 2．求函数xy z =在区域122≤+y x 上的最值．3．某地两个工厂共同生产同种产品供应市场，各厂产量分别为y x ,单位时，成本函数分别为7032,181622221++=++=y y C x x C ．已知该产品的需求函数为p Q 4130-=，其中p 为售价，且需求量即为两厂的总产量．求使该产品取得最大利润时的总产量、各工厂产量、产品售价及最大利润．五、证明题（10分）．设方程0),(=y x F 确定隐函数)(x f y =，且),(y x F 存在二阶连续偏导数，证明32'222)()(2)(d d y x yy y x xy y xx F F F F F F F F x y ''''-'''+'''-=.。

高数自测题三套及参考答案

自测题一一、判断题（每小题3分，共30分）1、集合{}1,2A =，集合{}1,3,4B =，则{}1,2,3,4AB =。

（）2、函数()cos f x x =是有界函数。

（）3、函数(1)(2)()(2)x x f x x -+=+，()1g x x =-表示同一函数。

（）4、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0x f x x →存在的充分条件但非必要条件。

（） 5、1sin lim=∞→xxx 。

（）6、)(x f 在0x x =处极限不存在，则)(x f 在0x 处不连续。

（）7、()155xx x -'=⋅ 。

（）8、集合{}1,2A =，集合{}1,3,4B =，则{}2A B -=。

（） 9、当0x →时，sin ~x x ，则330sin limlim 0sin x x x x x xx x →∞→--==。

（）10、1lim(1)xx x e →∞+=。

（）二、选择题（每小题3分，共15分）1、设集合{}36A x x =<<，集合{}5B x x =>，则A B =（）。

.A {}5x x > .B [5,)+∞ .C {}56x x << .D (3,)+∞2、已知2,1()1,1x e x f x x x ⎧<-⎪=⎨-≥-⎪⎩，则(0)f =（）。

.A -1 .B 0 .C 1 .D 23、下列数列n x 中，收敛的是（）。

A . 1n x n =B . nn x n n 1)1(--=C. 1(1)n n x +=-D.(1)nn x n =-4、332356lim 87n n n n n →∞--=-（）。

3.8A .0B 1.2C .D ∞ 5、若32()1f x x x x =-++，则(0)f ''=（）。

.0A .1B .2C .2D - 三、填空题（每小题3分，共15分）1、函数()f x =_______________。

(完整版)高等数学测试题及解答(分章)

第一单元函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

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范文范例参考《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 3 分，共 30 分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A ）f x ln x2和 g x2ln x（ B）（C ）f x x 和g x2x（D ）f x| x | 和g x x2f x| x |g x1和xsin x 4 2x02．函数f x ln 1x在 x 0 处连续，则a（） .a x0（A ）0（ B）1（D）2（C）143．曲线y x ln x 的平行于直线 x y 1 0 的切线方程为（） .（A ）y x 1（ B）y( x 1)（C ）y ln x 1x 1（D）y x 4．设函数f x| x |，则函数在点x0 处（） .（A ）连续且可导（ B）连续且可微（ C ）连续不可导（ D）不连续不可微5．点x0 是函数y x4的（）.（A ）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点6．曲线y1） .的渐近线情况是（| x |（A ）只有水平渐近线（ B）只有垂直渐近线（ C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线7．f11）. x x2dx 的结果是（（A ）1C1C1C （D） f1f（ B）f（ C ）f C x x x x8．dxxe e x的结果是（）.（A ）arctane xC（）arctan exC（C）xexC（D）xex)CB e ln( e9．下列定积分为零的是（） .（A ）4arctanx dx（B）4x arcsin x dx （C） 1e x e x1x2x sin x dx 1x212dx （D）44110 ．设f x为连续函数，则1f 2x dx 等于（） . 0（A ）f 2f0（B）1f 11 f 0 （C）1f 2 f 0 （D） f 1 f 0 22二．填空题（每题 4 分，共 20 分）f x e 2x1x0在 x 0处连续，则 a1．设函数x.a x02．已知曲线 y f x在 x 2 处的切线的倾斜角为5，则 f2. 6x3． y的垂直渐近线有条.x 2 14．dx. x 1ln2 x5．2x4 sin x cosx dx.2WORD 格式整理范文范例参考三．计算（每小题 5 分，共 30分）1．求极限12 xx sin x① lim x② limx x e x2x x 012．求曲线y ln x y 所确定的隐函数的导数y x.3．求不定积分①dx②dx a0③ xe x dxx1x 3x2a2四．应用题（每题10 分，共 20 分）1．作出函数y x33x2的图像.2．求曲线y22x 和直线 y x 4 所围图形的面积.WORD 格式整理范文范例参考《高数》试卷 1 参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7． D 8．A 9．A 10． C二．填空题1． 22 ．3 ２４． arctanln x c５．２３．3三．计算题１① e 2② 12. y x16 xy 13. ① 1 ln |x 1| C ② ln | x 2a 2x | C③ e x x 1 C2x 3四．应用题１．略２．S 18《高数》试卷2（上）一. 选择题 ( 将答案代号填入括号内 ,每题 3 分,共 30 分 )1.下列各组函数中 ,是相同函数的是 ().(A)f xx 和 g xx 2(B)f xx 2 1 和 y x 1x 1(C)f xx 和 g xx(sin 2 x cos 2 x)(D)f xln x 2 和 g x2ln xsin 2 x 1x1 x12.设函数 fx2x 1，则 limf x（）.x 2x11x1(A) 0(B)1(C)2(D) 不存在3.设函数 y f x 在点 x 0 处可导，且 fx >0, 曲线则 yf x 在点 x 0 , f x 0处的切线的倾斜角为 {}.(A)0 (B)2(C)锐角(D)钝角4.曲线 y ln x 上某点的切线平行于直线 y 2x 3 ,则该点坐标是 ().(A)2,ln1(B)2, ln1(C)1,ln 2(D)1 , ln 222225.函数y x2e x及图象在1,2 内是().(A) 单调减少且是凸的(B)单调增加且是凸的(C) 单调减少且是凹的(D) 单调增加且是凹的6.以下结论正确的是 ().(A)若 x0为函数y f x的驻点 ,则x0必为函数y f x的极值点 .(B)函数 y f x 导数不存在的点,一定不是函数 y f x的极值点 .(C)若函数 y f x在 x0处取得极值,且f x0存在,则必有 f x0=0.(D)若函数 y f x在 x0处连续,则f x0一定存在 .WORD 格式整理范文范例参考17.设函数 y f x的一个原函数为x2e x,则f x=().1111(A) 2 x 1 e x(B)2x e x(C)2x 1 e x(D)2xe x8.若 f x dx F x c ,则 sin xf cosx dx().(A) F sin x c(B)F sin x c(C)F cos x c(D)F cos x c9.设 F x1f xdx =().为连续函数 , 则2(A) f1f0(B) 2f1f0(C)2 f 2f0 (D) 2 f1f0210. 定积分ba b 在几何上的表示(). dxa(A) 线段长b a(B)线段长 a b (C)矩形面积a b 1 (D)矩形面积b a1二.填空题 (每题 4 分,共 20 分)ln1x2x 0, 在x01.设 f x1cos x连续 ,则a =________.a x02.设 y sin 2x ,则 dy_________________ d sin x .3.函数 yx1的水平和垂直渐近线共有_______条 . x214.不定积分x ln xdx______________________.5.定积分1x2 sin x1___________. 11x2dx三.计算题 (每小题 5 分,共 30分 )1.求下列极限 :① lim12x 1② lim2arctanxx1x 0xx2.求由方程 y1xe y所确定的隐函数的导数y x.3.求下列不定积分 :① tan x sec3xdx②dx a0③x2e x dxx2a2四.应用题 (每题 10 分,共 20 分)1.作出函数 y1x3x 的图象.(要求列出表格)32.计算由两条抛物线：y2x, y x2所围成的图形的面积.WORD 格式整理范文范例参考《高数》试卷 2 参考答案一.选择题： CDCDB CADDD二填空题： 1. －2 2. 2sin x 3.3 4.1x2 ln x1x2c 5.242三. 计算题： 1.2②1 2.y e y① ex y23.① sec3 x c② ln x2a2x c③ x22x 2 e x c3四.应用题： 1.略 2.S 13《高数》试卷3（上）一、填空题 (每小题 3分,共 24分)1.函数 y1的定义域为 ________________________.9x22.设函数 f x sin 4x , x0则当 a =_________时, f x 在 x0处连续 .x,a,x03.函数 f (x)x2x21的无穷型间断点为 ________________. 3x24.设 f ( x) 可导,y f (e x ) ,则 y____________.5.limx21_________________. 2x2x5x6.1x3 sin 2 x dx =______________.1 x4x217.d x2e t dt_______________________.dx 08.y y y30 是_______阶微分方程.二、求下列极限 ( 每小题 5 分,共15分)xx 1x311.lim e;2.lim;3.lim12.x 0sin x x 3x9x2x 三、求下列导数或微分 (每小题 5分, 共15分)1.yx x,求 y (0) . 2.y e cos x ,求 dy . 2求dy.3.设 xy e x y ,dx四、求下列积分(每小题 5分, 共15分)1.12sin x dx . 2.x ln(1x)dx . x3.1e2x dx五、 (8 分 )求曲线xtcost在 t处的切线与法线方程 . y12WORD 格式整理范文范例参考六、 (8 分 )求由曲线 yx 21, 直线 y 0, x 0 和 x 1所围成的平面图形的面积 , 以及此图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积 .七、 (8 分 )求微分方程 y 6 y13 y 0 的通解 .八、 (7 分 )求微分方程 yy e x 满足初始条件 y 10的特解.x《高数》试卷 3 参考答案一． 1． x 32. a 43. x 24. e x f '(e x )5.16.07. 2 xe x 28. 二阶2二 .1.原式 = lim x1x 0x2. lim11 x 3 x3 63.原式 = lim[(11 11)2 x ] 2 e 2x2x三 .1.2.y'212)2, y '(0)(x2dysin xe cos x dx3.两边对 x 求写： yxy ' e x y (1 y ')e x yyxy yy 'e x yx xyx四.1.原式 = lim x2cos x Cx2212.原式 = lim(1)xx)2x)]x)d (lim(1 2x d [lim(12x= x22lim(1 x)1 1 x dx x lim(1 x) 1 ( x 11 ) dx22 x 2 21 x=x22lim(1 x) 1 [ xx lim(1 x)]C22 23.原式 =11 2 x2 x 1 1 20 e d (2 x) 1 e 0( e 1)222五.dysin tdy t1 且 t2 , y 1dxdx2切线： y1 x,即 y x 122法线： y1( x),即 y x 122六. S11 21320 ( x1)dx ( xx) 022V11)2dx12x21)dx(x2( x4( x 52 x 2 x) 10 285 315七.特征方程 : r 2 6r 13 0r 3 2iye 3 x (C 1 cos2 x C 2 sin 2 x)11dxxdx八. y e xdx C )( e e x1 xC ][ (x 1e)x由 y x 1 0,C0y x 1 e xx《高数》试卷4（上）WORD 格式整理范文范例参考一、选择题（每小题 3 分）1、函数 y ln(1 x) x 2 的定义域是（） . A2,1B2,1C 2,1D2,12、极限 lim e x的值是（） .xA 、B 、C 、D 、不存在3、 limsin(x 1) （） .x 1 1 x 2 1 1A 、 1B 、 0C 、2D 、24、曲线 y x 3x 2 在点 (1,0) 处的切线方程是（）A 、 y2( x1)B 、 y 4( x 1)C 、 y 4x 1D 、 y 3( x 1)5、下列各微分式正确的是（） .A 、 xdx d (x 2 )B 、 cos 2xdx d(sin 2x)C 、 dx d (5 x)D 、 d (x 2 ) (dx) 26、设f (x)dx2 cosxC ，则f ( x) （） .2A 、 sin xB 、22 ln x ） .7、dx （xxxxsinC 、 sinC D 、 2 sin222A 、2 1ln 2x CB 、 1( 2 ln x) 2Cx 2 22C 、 ln 2 ln xC1 ln xCD 、x 28、曲线 y x 2 ， x 1 ， y0 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积 V（） .1 x 4dx1ydyA 、B 、1(1y) dy1(1 x 4)dxC 、D 、1e xdx9、e x（） .11 e2 e1 e1 2eA 、 ln2B 、 lnC 、 lnD 、 ln23210 、微分方程 yy y2e 2 x 的一个特解为（） .A 、 y3 e 2x B 、 y3 e x C 、 y2 xe 2 x D 、 y2 e 2 x7777二、填空题（每小题4 分）1、设函数 y xe x ，则 y；2 、如果 lim3sin mx2 , 则 m .x 0 2x313cos xdx3、 x；14、微分方程 y 4 y 4 y0 的通解是.5、函数 f ( x) x 2 x在区间0,4上的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题 5 分）1、求极限lim 1 x 1 x ； 2 、求y 1cot 2 x ln sin x 的导数；x 0x2 WORD 格式整理范文范例参考x314 、求不定积分dx；3、求函数y的微分；xx3111eln x dx ；dy x5、求定积分6、解方程1；e dx y 1 x2四、应用题（每小题10 分）1、求抛物线y x 2与y 2 x 2所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数y 3x2x3的图象.参考答案一、 1、C；2、D；3、C ；4、B；5、C ；6、B；7、B；8、A ；9、A ；10、D；二、 1、(x2)e x； 2 、4；3、0； 4 、y(C1 C 2 x)e 2 x；5、8，0 9三、1、 1 ； 2 、cot 3 x ； 3 、 6 x2dx ； 4 、2 x 1 2 ln(1x 1) C ；5、2(21) ；6、y2 2 1 x2 C ；( x31) 2e四、1、8；32、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题 3 分）1、函数 y2x1的定义域是（） . lg( x 1)A 、2,10,B、1,0( 0,)C 、(1,0)(0,)D、( 1,)2、下列各式中，极限存在的是（） .A 、x B、lim arctan x C 、lim sin x D 、lim 2x l i mc o sx0x x x3、 lim (x) x（） .x 1 xA 、e B、e2 C 、1 D 、1e4、曲线 y x ln x 的平行于直线x y 1 0 的切线方程是（） .A 、y x B、y(ln x1)( x1)C 、y x1D、y(x1)5、已知 y xsin 3x，则 dy（） .A 、( cos3x3sin 3x)dx B、(sin 3x3x cos3x)dxC 、(cos 3x sin 3x)dxD 、(sin 3x x cos3x)dx6、下列等式成立的是（） .WORD 格式整理范文范例参考A 、x dx1x 1 CB 、 a x dx a x ln x C11C 、cosxdxsin x CD 、 tan xdxCx 217、计算e sin x sin xcos xdx 的结果中正确的是（） .A 、 e sin x CB 、 e sin x cos x CC 、 e sin x sin x CD 、 e sin x (sin x 1) C8、曲线 yx 2 ， x1 ， y0 所围成的图形绕 x 轴旋转所得旋转体体积 V（）.1x 4dx1A 、B 、ydy1 (1 y) dy1 (1 x 4)dxC 、D 、a a 2x 2dx （） . 9、设 a ﹥ 0 ，则A 、 a2B 、 a2C 、 1a2D 、 1a 224410 、方程（）是一阶线性微分方程 .A 、 x 2ylnyB 、 y e x y 0xC 、 (1x 2 ) yy sin yD 、 xy dx ( y 2 6x)dy 0二、填空题（每小题 4 分）1、设 f ( x)e x 1, x， lim f ( x)；，则有 lim f (x)ax b, xx 0 x 02、设 y xe x ，则 y；3、函数 f ( x)ln(1x 2 ) 在区间1,2 的最大值是，最小值是；14、 x 3cos xdx；15、微分方程y 3 y 2 y 0 的通解是.三、计算题（每小题 5 分）1、求极限 lim (11 x23 ) ； x 1x x 22、求y1 x2 arccosx 的导数；3、求函数 yx 的微分；1 x 24、求不定积分1dx ；x 2ln x5、求定积分eln x dx ；1e6、求方程x2y xy y 满足初始条件y( 1 ) 4 的特解.2WORD 格式整理范文范例参考四、应用题（每小题10 分）1、求由曲线y 2 x2和直线x y 0 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数y x 36x 29x 4的图象.参考答案（ B 卷）一、 1、B；2、A；3、D；4、C ；5、B；6、C ；7、 D；8、 A；9、D；10、B.二、 1、 2 ， b ； 2 、( x2)e x； 3 、ln 5 ， 0 ；4、 0 ；5、C1e x C 2 e2x.三、1、1； 2 、arccos1； 3 、1dx；x x3 1 x2(1 x2 ) 1 x 24、2 2 ln x C ；1)；2215、2(2 6 、y e x；e x四、 1、92、图略；2WORD 格式整理。

高等数学测试题及答案1-9章全

高等数学测试题及答案1-9章全第1章自测题一、选择题1. 若函数()f x 在点0x 处的极限存在，则（）Ａ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，并且等于极限值；Ｂ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，但不一定等于极限值；Ｃ ()f x 在点0x 处的函数值可以不存在；Ｄ如果0()f x 存在的话，一定等于极限值 . 答案： C ．提示：根据极限的定义．2．下列函数中，在点2x =处连续的是（） .Ａ ln(2)x -；Ｂ 22x -；Ｃ 242x y x -=-；Ｄ答案： B ．提示：A 与C 在2x =处无意义，D 在2x =处左连续．3.函数53sin ln x y = 的复合过程是( )A x w w v v u u y sin ,,ln ,35====B x u u y sin ln ,53== ;C x u u y sin ,ln 53== ;D x v v u u y sin ,ln ,5=== . 答案：A ．4.设,0(),0x e x f x a x x ⎧<⎪=⎨+⎪⎩≥ ，要使()f x 在0x =处连续，则a ＝（）Ａ 2 ；Ｂ 1 ；Ｃ 0 ；Ｄ -1 .答案： B ．提示：0lim ()lim e e 1x x x f x --→→===，00lim ()lim()x x f x a x a ++→→=+=．二、填空题5．函数()34f x x =-的反函数是 . 答案：43x y +=．提示：反表示为43y x +=．6. 函数y 的复合过程是 .答案：2ln ,,cos y u v v t t x ====．7. 若2()f x x =， ()x g x e =，则[()]f g x = ，[()]g f x = .答案： 22[()](e )e x x f g x ==，2[()]x g f x e =． 8. 函数1()ln(2)f x x =-的连续区间为 .答案：(2,3)和(3,)+∞. 提示：20x ->且ln 20x -≠．三、解答题9．设函数ln ,01()1,122x x f x x x x ⎧<⎪=-<⎨⎪>⎩≤≤ ，(1) 求()f x 的定义域；(2) 作出函数图像；(3) 讨论()f x 在1x =及2x =处的连续性 .解 (1) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞． (2) 函数图像为第1题图(3) 观察图像知，函数()f x 在1x =处连续，在2x =处不连续性．10．指出函数2πsin (3)4y x =-是有哪些简单函数复合而成的．解 2π,sin ,34y u u v v x ===-．11．计算下列各极限：（1） 22125lim 1x x x x →-+++ ；（2）221241lim 232x x x x →-+-；（3） 32lim(2)x x x →- ；（4）224lim 2x x x →--+；（5） 221lim()x x x→∞- ；（6）2241lim 232x x x x →∞-+-.解（1） 22125125lim2111x x x x →-++-+==++；（2）2211122241(21)(21)214lim lim lim (21)(2)25232x x x x x x x x x x x x →→→--++===-+++-；（3） 33222lim(2)lim 2lim 484x x x x x x x →→→-=-=-=- ；（4）22224(2)(2)lim lim lim (2)422x x x x x x x x x →-→-→---+==-=-++；（5） 222121lim()lim lim 000x x x x x xx →∞→∞→∞-=-==-= ；（6）22221441limlim 2322322x x x x x x x x→∞→∞--==+-+-．12. 利用高级计算器计算下列各极限：（1）2lim sinx x x→∞ ；（2）3x → ；（3）lim x →+∞ （4）21lim()xx x x→∞+.解（1）2lim sin2x x x→∞= ；（2）314x →=；（3）x →∞=0；（4）221lim()e xx x x→∞+=.四、应用题1．若某厂每天生产某种产品60件的成本为300元，生产80件的成本为340元．求这种产品的线性成本函数，并求每天固定成本和生产一件产品的可变成本为多少？解 300602(),,()180234080180a b a C Q aQ b C Q Q a b b =+=⎧⎧=+⇒⇒∴=+⎨⎨=+=⎩⎩；固定成本为180元，一件产品的变动成本为2元.2．甲向乙购买一套价值300万元的房子，乙提出三种付款方式：（1）全部付现款，可以优惠10万元；（2）先首付100万元，余款每隔一年付40万元，但每次付款必须加还40万元产生的利息（按年利率5%计算），5年后还清；（3）先首付200万元，一年后付余款100万元，但必须加还100万元的利息（按年利率5%计算）；分别计算这三种付款方式实际付款金额．解（1）300—10=290（万元）；（2）234510040(15%)40(15%)40(15%)40(15%)40(15%)332.076513++++++++++=万元；（3）（3）200100(15%)305++=万元．第2章自测题一、选择题1.过曲线2y x x =-上M 点处切线斜率为1，M 点坐标为（）. A.()1,0；B.()1,1；C.()0,0；D.()0,1.答案： A ．提示：切线斜率为211,1k x x =-==，0y =．2.设在0x =处可导，则0(2)(0)lim h f h f h→-=（）.A.0；B.2(0)f '-；C.(0)f '；D.2(0)f '.答案： D ．提示：00(2)(0)(02)(0)lim lim 22(0)2h h f h f f h f f h h→→-+-'=⋅=3.函数()f x 在点0x x =取得极大值，则必有（）. A.()00f x '=；B.()00f x '<；C ()00f x '=且()00f x =；D.()0f x '等于零或不存在.答案： D ．提示：()0f x '等于零或不存在的点都是可能的极值点． 4.函数sin y x x =-在[]0,π上的最大值是（）.； B.0； C.π-； D.π. 答案： C. 提示：因为cos 10y x '=-≤，所以函数单调递减．最大值为()f ππ=-5.函数e arctan x y x =+在区间[]1,1-上（）. A.单调减少；B.单调增加；C.无最大值；D.无最小值．答案： B ．提示：因为2101x y e x'=+>+． 6.d d yx=（）.C.D.答案： C ．提示：0,y y ''==． 7. 设()211f x x =+ (0)x >，则()f x '=（）. A.21(1)x -+； B.21(1)x +；C.；. 答案： C ．提示：()f x，所以y '= 8.设32,2t x te y t t -==+，则1t dydx =-=（） A.2e -； B.2e -； C.2e; D.2e答案：C ．提示：因为262ttdy t tdx e te--+=-，所以12t dy dx e =-= 9.设(),()y f u u x ϕ==，则dy =（）A.()f u dx '；B.()()f x x dx ϕ''C.()()f u x dx ϕ''；D.()()f u x du ϕ'' 答案： C ．提示：根据复合函数求导法则．二、填空题10.已知某商品的收益为375)(Q Q Q R -=，则其边际收益=')(Q R 解 2375)(Q Q R -='11.函数1x y e -=在2x =-处的切线斜率为．解 13222xx x k y e e -=-=-'==-=．12.曲线()21f x x =-在区间上是单调增加函数. 解 ()2f x x '=-，所以在(,0)-∞上是单调增加函数． 13.如果2,0.01x x =∆=，则22()x d x == ．解 2220.01()20.04x x x d x x x==∆==⋅∆=．14.函数x y xe -=在[]1,2-上的最大值为 .解 (1)x y e x -'=-，得驻点1x =，12(1),(1),(2)f f e f e e=-=-=，所以最大值为2(2)f e=．15.如果2sin 2y x =，则y '= ．解 2sin 2cos222sin 4y x x x '=⋅⋅=．16. 某需求曲线为1003000Q P =-+，则20P =时的需求弹性E = 解 202020()(100)21003000P P P P P E Q P Q P ==='=-=--=-+ ． 17.已知ln 2y x =，则y ''= ．解 211,y y x x'''==-．三、计算题18. 求下列函数的导数（1）(1y =+ （2）cos πy =+解y =解231(1)3y x -'=⋅+。

完整)高等数学练习题附答案

完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续，则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2，铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2}，f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1}，则g(f(x))=2-x^2，x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时，e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小，则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x)，x∈(0,1]三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。

+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。

2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。

高等数学考试题库(附答案解析)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）.（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（）.（A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xe C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dxx x ++⎰ ②()220dx a x a >-⎰ ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1．作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题 1．2- 2．- ３．２４．arctanln x c + ５．２三．计算题１①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ①11ln ||23x C x +++②ln ||x C + ③()1x e x C --++四．应用题１．略２．18S =《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }.(A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ). (A) ()121x x e - (B)12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '.3.求下列不定积分: ①3tan sec x xdx ⎰ ②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x td e dt dx -=⎰8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin xx e x →-; 2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2. ln(1)x x dx +⎰.3.120xedx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==--四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)xr r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y e e edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、214、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx =C 、)5(x d dx --=D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （）. A 、2sin x B 、 2sin x- C 、 C x +2sin D 、2sin 2x -7、⎰=+dx xx ln 2（）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx（）. A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 xe y y y 22=+'+'' 的一个特解为（）.A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e - ； 6、C x y =-+2212 ；四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（）.A 、 x x cos lim 0→B 、x x arctan lim ∞→C 、x x sin lim ∞→D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C xxdx 211tan 7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0D 、241a π 10、方程（）是一阶线性微分方程. A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是，最小值是；4、=⎰-113cos xdx x；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxeC e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x xx ； 3、dx x x 221)1(1-- ；4、C x ++ln 22 ；5、)12(2e- ； 6、x e x y 122-= ；四、1、 29； 2、图略。

高等数学上下试题及答案

高等数学（上）试题及答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 20=+→xx x 。

2、当k时，⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=00e)(2x k x x x f x 在0=x 处连续．3、设x x y ln +=,则______=dydx4、曲线x e y x −=在点（0，1）处的切线方程是5、若∫+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则=)(x f 。

二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1、若函数xxx f =)(，则=→)(lim 0x f x （）A 、0B 、1−C 、1D 、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为（）A.)0(1ln+→x xB.)1(ln →x xC.)0(cosx →x D.)2(422→−−x x x 3、满足方程0)(=′x f 的x 是函数)(x f y =的（）．A．极大值点B．极小值点C．驻点D．间断点4、下列无穷积分收敛的是（）A 、∫+∞sin xdxB 、dxe x ∫+∞−02C 、dx x∫+∞1D 、dxx∫+∞15、设空间三点的坐标分别为M （1，1，1）、A （2，2，1）、B （2，1，2）。

则AMB ∠=A 、3πB 、4πC 、2πD 、π三、计算题（每小题7分，本题共56分）1、求极限xx x 2sin 24lim−+→。

2、求极限)111(lim 0−−→x x e x 3、求极限2cos 12limx dt e x tx ∫−→4、设)1ln(25x x e y +++=，求y ′5、设)(x y f =由已知⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2，求22dx yd 6、求不定积分dx x x∫+)32sin(127、求不定积分xx e xd cos ∫8、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=011011)(x xx e x f x，求∫−20d )1(xx f 四、应用题（本题7分）求曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 以及A 饶y 轴旋转所产生的旋转体的体积。

高数下-自测题(含答案)

自测题一参考答案一. 解答下列各题. 1.设2(,)(1)arcsinf x y x y =+-⋅, 求'(1,1)x f .解：2(,1) f x x =，'(,1)2x f x x∴=， '(1,1)2x f ∴=2.已知,, a b c为单位向量,且满足0a b c ++=,计算 a b b c c a ⋅+⋅+⋅.解：0a b c++=，()0a a b c∴⋅++=， 10a b a c ∴+⋅+⋅=；同理，()0b a b c ⋅++= ， 10a b b c ∴+⋅+⋅=； ()c a b c⋅++= ， 10a cbc ∴+⋅+⋅=故有 ()320a b b c c a+⋅+⋅+⋅=，即32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-3.设,x z x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中f具有二阶连续偏导数, 求2z x y∂∂∂.解：''''12121z x f xf y f f xyf f xy y ∂⎡⎤=+⋅+⋅=++⎢⎥∂⎣⎦，2''''''''''''12111122212222222''2''''1211222322zx x x x x f x f xf xy f x f f f x f x y y y y y y x x xf f xyf f y y∂⎛⎫⎡⎛⎫⎤⎛⎫⎡⎛⎫⎤=⋅+⋅-++⋅+⋅-+-+⋅+⋅-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎣⎝⎭⎦=-+-4. 设函数(,)z z x y =由方程222z x y z y f y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定, 其中f具有一阶连续的导数,求z z yxx y∂∂-∂∂.解：'22z x xf z∂=∂-，''22z y f fz y yf z-+∂=∂-，''2xz xf fz z yyxxyf z-∂∂∴-=∂∂-5. 求过点(1,0,1)M -, 且与直线0:20x y Lx y z +=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面方程.解：直线L 的方向矢量{}1101,1,2111i j k s ==---，所以平面的法矢量为s，故所求的平面方程为(1)(0)2(1)0x y z ----+=，即230x y z ---=6. 求曲面228x yzz +=在点0(2,2,1)M 处的切平面和法线方程.解：在点0(2,2,1)M 处，法矢量{}4ln 2,4ln 2,16ln 2n=-//{}1,1,4-，所以切平面方程为：(2)(2)4(1)0x y z -+---=，即 40x y z +-=，法线方程为：221114x y z ---==-二. 设''()'()()y p x y q x y f x ++=的三个特解是x , x e , 2x e , 求此微分方程满足条件(0)1y =,'(0)3y =的特解.解：由线性方程解的结构定理知，该方程的通解为()()212x x y C e x C e x x=-+-+ ()()212'1211x x y C e C e ∴=-+-+，将初始条件(0)1y =, '(0)3y =代入得121131C C C =+⎧⎨=+⎩1212C C =-⎧⇒⎨=⎩ 所以原方程的所求特解为2*2x xy e e =-三. 设()f x 是连续函数, 且满足方程20()()()xx f x e x t f t dt =--⎰, 求()f x .解：整理方程200()()()x xx f x e x f t dt tf t dt =-+⎰⎰，两边对x 求导，得 20'()2()xx f x e f t dt=-⎰，再对x 求导，得 2''()4()x f x e f x =-，求解此方程得通解为： 2124()cos sin 5xf x C x C x e =++，由初始条件 (0)1,'(0)f f ==得，1212,55C C ==，所以2124()cos sin 555xf x x x e =++四. +=.解：设0000(,,)M x y z 为曲面上任一点，过0M 切平面的法矢量 n ⎧=⎨⎩，切平面方程为)))0000x x y y z z -+-+-=，即++=该切平面在三个坐标轴的截距为所以2+==五. 在椭球面22221x y z ++=上求距离平面26x y z +-=的最近点和最近距离, 最远点和最远距离. 解：椭球面22221x y z ++=上的点(,,)x y z 到平面26x y z +-=的距离的平方为：()221266d x y z =+--设 ()()22222621F x y z x y z λ=+--+++-由()()()'''222426402262022620210x y z F x y z x F x y z y F x y z z x y z λλλ⎧=+--+=⎪=+--+=⎪⎨=-+--+=⎪⎪++-=⎩得点1111,,222M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2111,,222M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由问题可知，最大值和最小值必定存在，故所求最近点为1111,,222M ⎛⎫-⎪⎝⎭，最近距离为()1d M =；最远点为2111,,222M ⎛⎫--⎪⎝⎭，最远距离为()2d M =自测题二参考答案六. 解答下列各题. 7. 若L 为曲线1,02yx x x =--≤≤,计算()Lx y ds+⎰.解：1211()(1(1)22Lx y ds x x dx +=-+-=+⎰⎰⎰8. 计算∑, 其中∑是22z x y =+上1z ≤的部分曲面.解：原式D=()2214Dx y dxdy⎡⎤=++⎣⎦⎰⎰()2120143d d πθρρρπ=+=⎰⎰9. 设()22222()x y t F t fx y dxdy+≤=+⎰⎰, 求'()F t .解：()()2220()2ttF t d fd f d πθρρρπρρρ==⎰⎰⎰，所以 ()2'()2F t t ft π=10. 设L 为椭圆22143x y +=,其周长记为a , 求()22234 Lxyx y ds++⎰.解：原式()212 Lxyds =+⎰212 L Lxyds ds=+⎰⎰01212a a=+=11. 把1()34f x x =+展为形如0(1)nn n a x ∞=-∑的幂级数, 并确定其收敛区间.解：1()34f x x=+174(1)x =+-11471(1)7x =⋅+-014(1)(1)77n nn x ∞=⎡⎤=⋅--⎢⎥⎣⎦∑14(1)(1)7n nn n n x ∞+==--∑由4117x -<得收敛区间为31144x -<<12. 证明()211()()y x dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰.证明：交换积分次序，有左22111100()()y y xxdx e f x dy f x dx e dy ==⎰⎰⎰⎰2110()yx f x e dx =⎰()210()xe ef x dx =-⎰=右，故得证七. 求由曲面22z x y =+及221222z x y =--围成的立体的体积.解：VdV Ω=⎰⎰⎰22221220d d dz πρρθρρ-=⎰⎰⎰()2302123d πρρρ=-⎰24π=八. 计算(s in )(c o s )xx LIey my dx e y m dy =-+-⎰, L 是从点(,0)A a 沿上半圆周22x y ax +=到(0,0)的弧段.解：由格林公式，有sin x Pe y my=-，cos x Q e y m=-，cos x yP e y m=-，cos x xQ e y =，()22(sin )(cos )(sin )(cos )(sin )(cos )0228xx Lx x x x L O AO AxyDDI ey m y dx e y m dy e y m y dx e y m dy e y m y dx e y m dya m a Q P dxdy m dxdym ππ+=-+-=-+---+-⎛⎫=--==⋅⋅=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰九. 求幂级数12n nn x n ∞=⋅∑的收敛域及其和函数.解： 12nna n =⋅， 111(1)2limlim212n n nn n n a n Ra n +→∞→∞++⋅∴==⋅=⋅，所以收敛区间为(2,2)x ∈-当2x=-时，级数为1(1)n n n∞=-∑收敛，当2x=时，级数为11n n ∞=∑发散，故原级数的收敛域为[2,2)x ∈-设1()2nnn x S X n ∞==⋅∑，[2,2)x ∈-，则有111111'()222212n n x S X x x∞-=⎛⎫==⋅=⎪-⎝⎭-∑，所以 012()'()ln22xxS x S t dt dt tx===--⎰⎰，[2,2)x ∈-十. 计算曲面积分3311 y y Ix dydz f y dzdx f dxdy z z y z ∑⎡⎛⎫⎤⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎰⎰, 其中()f u 有连续导数,∑为曲面221z x y =++与平面2z =围成的立体表面外侧.解：利用高斯公式，3Px =，31y Q f y z z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1y Rf y z ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()xy z I P Q R dv Ω=++⎰⎰⎰()2233x y dv Ω=+⎰⎰⎰221230132d d dz πρπθρρ+==⎰⎰⎰。

(完整)高等数学考试题库(附答案)

高等数学考试题库(附答案)1. 解析：求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。

2. 解析：求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。

3. 解析：求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

4. 解析：求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

5. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。

6. 解析：求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。

7. 解析：求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。

8. 解析：求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。

9. 解析：求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。

10. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。

11. 解析：求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。

12. 解析：求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。

13. 解析：求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

14. 解析：求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

15. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

16. 解析：求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

17. 解析：求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。

18. 解析：求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

19. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。

20. 解析：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

高等数学上、下册考试试卷及答案6套[1]

高等数学上册试卷A 卷一填空题（每题2分，共10分） 1． 2()d f x dx ⎰= ；２. 设f (x )=e -x ，则(ln )f x dx x'⎰= ；３．比较积分的大小：11_________(1)x e dx x dx +⎰⎰；４.函数1()2(0)x F x dtx ⎛=> ⎝⎰的单调减少区间为；５. 级数()(0)nn n a x b b ∞=->∑，当x =0时收敛，当x =2b 时发散，则该级数的收敛半径是；二、求不定积分（每小题4分，共16分）1.； 2．sin x xdx ⎰；３．；4. 已知sin xx是f (x )的一个原函数，求()xf x dx '⎰. 三、求定积分（每小题4分，共12分）１．520cos sin 2x xdx π⎰；２．121(x dx -⎰；３．设1,当0时1()1,当0时1xx xf x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩求20(1)f x dx -⎰四、应用题（每小题5分，共15分）1．计算由曲线y =x ２，x =y ２所围图形的面积；２.由y =x 3、x =2、y =0所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转体的体积.3. 有一矩形截面面积为20米2，深为5米的水池，盛满了水，若用抽水泵把这水池中的水全部抽到10米高的水塔上去，则要作多少功?（水的比重1000g 牛顿/米3 ）五、求下列极限（每题5分，共10分）1．222222lim 12n n n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭；2. 设函数f (x )在(0，+∞)内可微，且f (x )满足方程11()1()xf x f t dt x=+⎰，求f (x )。

六、判断下列级数的敛散性（每题5分，共15分）1. 21sin32n n n n π∞=∑； 2. 2111n n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑； 3.()1ln 1nn nn∞=-∑；七、求解下列各题（每题5分，共10分）1. 求幂级数111n n x n +∞=+∑的收敛域及和函数；2．将函数21()32f x x x =++展开成（x +4）的幂级数。

高等数学教材测评题及答案

高等数学教材测评题及答案1. 基础知识题1.1 计算题1.1.1 求导数求函数 f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1 的导数。

解:f'(x) = 3x^2 + 4x - 31.1.2 求不定积分求函数 f(x) = 3x^2 + 2x + 1 的不定积分。

解:∫f(x)dx = x^3 + x^2 + x + C1.2 理论题1.2.1 泰勒展开简要介绍泰勒展开的概念和用途。

解:泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法。

它利用函数在某一点的导数值来近似表示函数在该点附近的取值，可以在数值计算、函数逼近等领域应用。

2. 应用题2.1 极限题计算函数 f(x) = sin(x) / x 在 x趋近于0时的极限。

解:lim(x→0) sin(x) / x = 12.2 曲线图形题画出函数 f(x) = x^2 + 2x - 1 的图像，并标注出函数的拐点、极值点和零点。

解:（在此处插入函数图像的描述和示意图）3. 计算题3.1 二重积分计算二重积分∬DxydA，其中 D是由抛物线 y = x^2 和直线 y = 4 - x^2 所围成的区域。

解:∬DxydA = ∫∫Dxy dxdy= ∫(-2^0.5 ～2^0.5) ∫(x^2 ～ 4 - x^2) xy dy dx= ∫(-2^0.5 ～ 2^0.5) [x(y^2/2)]_(x^2 ～ 4 - x^2) dx= ∫(-2^0.5 ～ 2^0.5) [x((4 - x^2)^2/2 - (x^2)^2/2)] dx= ∫(-2^0.5 ～ 2^0.5) [(2x^5 - 4x^3) / 2] dx= 03.2 无穷级数判断级数∑(n=1 to ∞) (1/2^n) 是否收敛，若收敛，计算其和。

解:由等比级数的性质可知，该级数收敛，并且其和为 S = 1。

4. 答案1.1.1 求导数f'(x) = 3x^2 + 4x - 31.1.2 求不定积分∫f(x)dx = x^3 + x^2 + x + C1.2.1 泰勒展开泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法。

高等数学习题解答与自我测试

高等数学习题解答与自我测试一、数列（1）求有理数列{an}的前 n 项和 Sn解：若 a1，a2，…，an 为有理数列，前 n 项和Sn = a1+ a2 + … + an（2）已知数列 {an} 满足 a1=1，a2=3，a3=5，an+2=2an+1-an （n≥1）求数列{an}的通项公式解：观察数列发现 an=2n-1 为数列的通项公式，即 an=2n-1（n≥1）二、复数（1）求复数 z1=1+i、z2=2-i的共轭复数解：若z1=x1+yi，则其共轭复数为 z1*=x1-yi，即共轭复数为1-i、2+i。

（2）若复数 z1和z2 满足z1z2=4，求 z1 的共轭复数解：若 z1=a+bi，则有a2+b2 = 4，则 z1*=a-bi，所以 z1 的共轭复数为 a-bi。

三、矩阵（1）求矩阵 A=|1 2|，|2 3|的行列式解：令 a = |1 2| , b = |2 3|，则A的行列式为 detA = ab-ba=1 x 3 -2 x 2 =1（2）求矩阵：A=|1 0 2|，|3 4 0|，|1 0 -1|的伴随矩阵解：令 a=|1 0 2| , b=|3 4 0| , c=|1 0 -1|，则A的伴随矩阵为 A*=| -4 0 2 | ,| 3 -1 0| , |-1 0 1|四、函数（1）求函数 f(x)=x2+2x-3 的导数解：f (x)=x2+2x-3 ，f’(x)=2x+2 。

（2）求函数f（x）=3x4 -3x2 +2x -2 的极大值、极小值解：f′(x)=12x3- 6x +2，由f‘(x)=0 得 x1=1， x2=-1/2，x3=1/2，由此f第一次导数无穷大点为 x1=1， x2=-1/2，第二次导数为f’‘(x)=18x2 - 6，由f‘’(x)>0 得f在（-∞，x2），（x2,x3），（x3,+∞）的函数值递减，分别求出 f（x1）、 f（x2）、 f（x3）的极大值和极小值，即为该函数的极大值和极小值。

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高等数学标准化作业参考答案（内部使用）山东交通学院土木工程学院，山东济南SHANDONG JIAOTONG UNIVERSITY第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. ()3limsin tan ln 12x x xx →=-+ .2. 21lim2x x x →=+- . 3.已知212lim 31x x ax bx →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1,0,0ax x x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是，铅直渐近线是 .6. 曲线()121e xy x =-的斜渐近线方程为 .二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 .A. 充分条件但非必要条件B. 必要条件但非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦ . A. 22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩ B. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D. 22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3. 下列各式中正确的是 .A ．01lim 1e x x x +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.1lim 1e x x x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D. -11lim 1e xx x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4. 设0→x 时，tan e1x-与n x 是等价无穷小，则正整数n = .A. 1B. 2C. 3D. 4 5. 曲线221e 1ex x y --+=- .A. 没有渐近线B. 仅有水平渐近线C. 仅有铅直渐近线D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 6．下列函数在给定区间上无界的是 . A.1sin ,(0,1]x x x ∈ B. 1sin ,(0,)x x x ∈+∞ C. 11sin ,(0,1]x x x ∈ D. 1sin ,(0,)x x x∈+∞三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.22lim x →2．()120lim ex xx x -→+3.()1lim 123nn nn →∞++4．21sinlimx x5. 设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()21lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦L .6．1402e sin lim 1e xx x x x →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭7．0lim x +→四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）1.2212lim 22x ax x bx x →-+=-+-2．(lim 1x x →-∞=五、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）六、设sin sin sin ()lim sin x t xt x t f x x -→⎛⎫= ⎪⎝⎭，求()f x 的间断点并判定类型. （本题7分）七、设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（本题6分）第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.设()f x 在0x 可导，且00()0,()1f x f x '==，则01lim h hf x h →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 2.设21cos f xx ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x '= . 3.d x = . 4.设sin (e )xy f =，其中()f x 可导，则d y = .5.设y =12y ⎛⎫'=⎪⎝⎭. 6.曲线1sin xy x y =+在点1,ππ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.下列函数中，在0x =处可导的是 .A.||y x =B.|sin |y x =C.ln y x =D.|cos |y x = 2.设()y f x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则000(2)()limx f x x f x x x→+--=V V V V .A.6B.6-C.16D.16-3.设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义，若当(,)x δδ∈-时恒有2|()|f x x ≤，则0x =是()f x 的 .A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且(0)0f '=D.可导的点，且(0)0f '≠4.设2sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，则在0x =处()f x 的导数 .A.0B.1C.2D.不存在5.设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x =-V 时，相应的函数增量y V 的线性主部为0.1，则(1)f '= .A.1-B.0.1C.1D.0.5三、解答题（共67分）1.求下列函数的导数（每小题4分，共16分）(1)(ln e x y =+(2))11y⎫=⎪⎭(3)aaxa x ay x a a =++(4)cos (sin )xy x =2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分） (1)2ln sin y x x x =+(2)21cot e xy =(3)y x=3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1）2cos ln y x x = （2）11xy x-=+4.设e ,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =可导，试求a 与b .（本题6分）5.设sin ,0()ln(1),0x x f x x x <⎧=⎨+≥⎩，求'()f x .（本题6分）6.设函数()y y x =由方程22ln 1x xy y-=所确定，求d y .（本题6分）7.设()y y x =由参数方程ln tan cos 2sin t x a t y a t⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，求22d d ,d d y y x x .（本题6分）8.求曲线3213122t x t y t t +⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩在1t =处的切线方程和法线方程.（本题5分）第三章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1.若0,0a b >>均为常数，则3lim 2x xxx a b →⎛+⎫=⎪⎝⎭.2.2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭. 3.30arctan limln(12)x x xx →-=+ .4.曲线2e xy -=的凹区间，凸区间为 .5.若()e x f x x =，则()()n fx 在点x = 处取得极小值.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1.设,a b 为方程()0f x =的两根，()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，则()f x '0=在(,)a b 内 .A.只有一个实根B.至少有一个实根C.没有实根D.至少有两个实根2.设()f x 在0x 处连续，在0x 的某去心邻域内可导，且0x x ≠时，0()()0x x f x '->，则0()f x 是 .A.极小值B.极大值C.0x 为()f x 的驻点D.0x 不是()f x 的极值点 3.设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0()lim1||x f x x →''=，则 . A.(0)f 是()f x 的极大值 B.(0)f 是()f x 的极小值C ．(0,(0))f 是曲线的拐点D ．(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 不是曲线的拐点 4.设()f x 连续，且(0)0f '>，则0δ∃>，使 .A.()f x 在(0,)δ内单调增加.B.()f x 在(,0)δ-内单调减少.C.(0,)x δ∀∈，有()(0)f x f >D.(,0)x δ∀∈-，有()(0)f x f >.三、解答题(共73分)1.已知函数()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，证明在(0,1)内至少存在一点ξ使得()()tan f f ξξξ'=-.（本题6分）2.证明下列不等式（每小题9分，共18分）（1）当0a b <<时，ln b a b b ab a a--<<.（2）当02x π<<时，2sin x x x π<<.3.求下列函数的极限（每小题8分，共24分）（1）0e e 2lim sin x x x xx x-→---（2）21sin 0lim(cos )x x x →（3）10(1)elimxx x x→+-4.求下列函数的极值（每小题6分，共12分）（1）1233()(1)f x x x =-（2）2,0()1,0x x x f x x x ⎧>=⎨+<⎩5.求2ln xy x=的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.（本题6分）6.证明方程1ln 0ex x +=只有一个实根.（本题7分）第四章自测题一、填空题(每小题3分,共12分)1．设()arcsin d xf x x x C =+⎰，则1()d x f x =⎰． 2已知()F x 是()f x 的一个原函数，且2()()1xF x f x x=+，则()f x = ． 3．x = ． 4．d x= ．二、单项选择题(每小题3分,共12分)1．设33()d f x x x C '=+⎰，则()f x 等于．A ．312x C + B ．5395x C + C ．3559x C + D ．5335x C +2．设()f x 的原函数为1x，则()f x '等于．A ．ln xB ．1xC ．21x -D ．32x3．2d x x x =⎰ ．A ．22xxx C -+ B ．222ln 2(ln 2)x xx C -+ C ．22ln (ln 2)2xxx x C -+ D ．222xx C +4．1tan 1tan d xx x-=+⎰．A ．ln 1sin 2x C ++B ．ln cos sin x xC ++C ．ln sec2tan 2ln cos2x x x C +++D ．ln 1tan 22ln sec x x C +-+三、求下列不定积分（每小题4分，共76分）1．(1ln )d x x x +⎰ 2．x3．2ln(1)(2)d x xx +-⎰ 4．e x x ⎰5．arctan 21e d xx x x+⎰ 6．551(1)d x x x x -+⎰7．cos (cos sin )e e e d x xx x x x -⎰ 8．21arctan1d x x x +⎰9．sin 22sin d xx x +⎰ 10．x11．2124d xx x x ++⎰ 12．322arccos (1)d x x x -⎰13．sin sin 2e d x x x ⎰ 14．15．4cos d x x ⎰ 16．17．25613d x x x x +-+⎰ 18．d x19．(1sin )1cos e d x x x x++⎰第五章自测题1．求21lim n n→∞+L （本题6分）2．求1ln ee d x x x ⎰（本题6分）3．已知sin ,01(),12x x f x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，求0()()d xF x f t t =⎰．（本题7分）4．设()y y x =由22000e d yx t t t +=⎰⎰确定，求d d yx ．（本题6分）5．()f x 具有连续导数，(0)0f =，02(),0()0,0d x tf t t x x xx ⎧⎪≠Φ=⎨⎪=⎩⎰，求(0)'Φ．（本题7分）6．求220x ⎰．（本题6分）7．求20ln(1)(2)1d x x x +-⎰．（本题6分）8．⑴证明()[()()]0d d aaa f x x f x f x x -=+-⎰⎰⑵求244cos 1d e x xx ππ--+⎰．（本题8分）9．设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()0f x '≤，1()()d xaF x f t t x a =-⎰，证明：在(,)a b 内有()0F x '≤．（本题7分） 10．求101d e x x+⎰（本题6分）11．求131231(1)e d x x x x+-⎰（本题6分）12．设()f x 在2[0,]l 上连续，证明20()()d xF x tf t t =⎰在(,)l l -上是偶函数．（本题5分）13．求x （本题6分）14．求12(1)e d xx x x +⎰（本题6分）15．已知2()e xf x -=，求10()()d f x f x x '''⎰．（本题6分）16．求11(2)d xx x -+⎰（本题6分）第六章自测题一、填空题（每小题4分，共28分）1．曲线1y x=与直线,2y x x ==所围成的平面图形的面积A = ． 2．曲线23y x =-与直线2y x =围成平面图形的面积A = ． 3．由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积V = ． 4．曲线上21arctan ,ln(1)2x t y t ==+相应于01t ≤≤的一段弧的长度s = ．5.设曲线的极坐标方程为e (0)a a θρ=>，则该曲线上相应于θ从0变到2π的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积A = ． 6.心形线4(1cos )ρθ=+和直线0,2πθθ==所围成的图形绕极轴旋转所形成旋转体的体积V = ．7．质点以2sin()t t 米/秒作直线运动，则从时刻1t =秒到2t =程等于米．二、单项选择题（每小题4分，共24分）1.由抛物线(1cos )a ρθ+=与射线0θ=及23θπ=所围成的图形面积为．A ．22a B 2a C 2 D 2 2．设(),()f x g x 在[],ab 上连续且()()g x f x m <<，则由曲线()y f x =与直线()y g x = 围成的平面图形绕直线y m =旋转而成的旋转体的体积V = ．A ．[][]2()()()()d ba m f x g x f x g x x π-+-⎰ B ．[][]2()()()()d ba m f x g x f x g x x π---⎰C ．[][]()()()()d ba m f x g x f x g x x π-+-⎰ D ．[][]()()()()d ba m f x g x f x g x x π---⎰3.由曲线32sin (0)y x x π=≤≤与x 轴所围成平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为． A ．43 B ．43π C ．223π D ．23π4.摆线的一拱与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积V = . A ．2220(1cos )d a t t ππ-⎰ B ．[]2220(1cos )d (sin )aa t a t t ππ--⎰C ．[]2220(1cos )d (sin )a t a t t ππ--⎰ D ．2220(1cos )d aa t t ππ-⎰5.曲线21ln(1)(0)2y x x =-≤≤的弧长等于 .．A ．ln 3B ．1ln 32-C ．12D ．1ln 32+6．如图6.2，x 轴上有一线密度为常数μ，长度为l 的细杆，有一质量为m 的质点到杆右端的距离为a ，已知引力参数为k ，则质点和细杆之间引力的大小为．A ．02d ()l km x a x μ--⎰ B ．20d ()l km x a x μ-⎰ C ．022d ()l km x a x μ-+⎰ D ．220d ()lkm x a x μ+⎰三、计算题（每小题7分，共42分）1．直线y x =将椭圆2236x y y +=分为两部分.设小块面积为A ，大块面积为B ，求AB的值.2．求曲线ln y x =(26)x ≤≤的一条切线，使得该切线与直线2,6x x ==及曲线ln y x =所围成的平面图形面积最小.3．求由曲线1sin y x =+与直线0,0,y x x π===围成的曲边梯形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积．4.设()x ρρ=是抛物线y =(,)M x y 处的曲率半径，()s s x =是该抛物线上介于点(1,1)A 与M 之间的弧长，计算d d sρ.5．设抛物线2y ax bx c =++过原点，当01x ≤≤时，0y ≥，又已知该抛物线与直线1x =及x 轴所围成图形的面积为13.试确定,,a b c 的值，使此图形绕x 轴旋转一周而成旋转体的体积为最小.6．一底为8cm,高为6cm 的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm ，试求它每面所受的压力.四、用定积分的元素法证明：由平面图形0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 2()d b aV xf x x π=⎰.（本题6分）第七章自测题一、填空题（每小题3分，共24分）1．设a r =()2,5,1-，b r =()1,3,2,问λ与μ有怎样的关系，λa r +μb r与z 轴垂直． 2．若已知向量a r =()3,4,0,b r =()1,2,2,则a r ,b r夹角平分线上的单位向量为． 3．若两个非零向量a r ,b r的方向余弦分别为111cos ,cos ,cos αβγ和222cos ,cos ,cos αβγ，设a r ,b r夹角为ϕ，则cos ϕ= ．4．过直线122232x y z -+-==-且与平面3250x y z +--=垂直的平面方程为． 5．直线1l :158121x y z --+==-与直线2l :623x y y z -=⎧⎨-=⎩的夹角θ= ． 6．点()3,-4,4到直线452221x y z ---==-的距离为． 7．曲线2221x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在xoy 面上的投影曲线为．8．与两直线112x y t z t=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z ++-==都平行，且过原点的平面方程为．二、单项选择题（每小题3分，共12分）1．点P ()3,2,2-在平面32210x y z -+-=上的投影点是．A ．()3,1,2-B ．301720,,777⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．()7,2,1 D ．()2,21,3-- 2．直线224213x y z -+-==-与平面4x y z ++=的关系是． A ．直线在平面上 B ．平行 C ．垂直 D ．三者都不是 3．两平行平面23490x y z -++=与234150x y z -+-=的距离为．A ．629 B ．2429 CD4．xoz 平面上曲线()e 0xz x =>绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为．Ae x = B ．22e x y z += C ．22e xy z += D．z =三、计算题（共64分）1．化简()()()a b b c c a ⎡⎤+⋅+⨯+⎣⎦r r r r r r．（本题5分）2．求与坐标原点O 及点A ()2,3,4距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程，它表示怎样的曲面？（本题6分）3．将空间曲线方程222160x y z x z ⎧++=⎨+=⎩化为参数方程．（本题5分）4．求中心点在直线247045140x y z x y z +--=⎧⎨++-=⎩上且过点A ()0,3,3和点B ()1,3,4-的球面方程．（本题6分）5．求通过直线0230x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩且平行于直线23x y z ==的平面方程．（本题7分）6．点P ()2,1,1--关于平面π的对称点为1P ()-2,3,11，求π的方程．（本题7分）7．直线10:10x y z L x y z +--=⎧⎨-++=⎩在平面:0x y z π++=上投影直线L 0的方程．（本题7分）8．求过直线5040x y z x z ++=⎧⎨-+=⎩且与平面48120x y z --+=成4π角的平面方程．（本题7分）9．求过点P ()2,1,3且与直线l :11321x y z+-==-垂直相交的直线方程．（本题7分）10．直线过点A ()3,5,9--且和直线1l :3523y x z x =+⎧⎨=-⎩,2l :47510y x z x =-⎧⎨=+⎩相交，求此直线方程．（本题7分）第八章自测题一、填空题（每小题3分，共27分）1．极限()22122lim 1x y x y x y-+→→+= .2．设u =,则(1,2,1)d u -= . 3．设2(,,)e xf x y z yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则(0,1,1)x f -= .4．设,x y z f xy g y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中f ，g 均可微，则z x ∂=∂ . 5．设(,)z z x y =是由方程()x mz y nz ϕ-=-所确定（,m n 为常数，ϕ为可微函数），则z zmn x y∂∂+=∂∂ . 6．函数u xy yz xz =++在点(1,2,3)P 处沿P 点向径方向的方向导数为 . 7．函数222z x y =+在点(1,1)处的梯度为.8．曲面222327x y z +-=在点(3,1,1)处的切平面方程为 .9．曲线44t x =，33t y =，22t z =的平行于平面320x y z ++=的切线方程为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．若二元函数(,)f x y 在00(,)x y 处可微，则在00(,)x y 点下列结论中不一定成立的是 .A. 连续B. 偏导数存在C. 偏导数连续D. 切平面存在2．函数z =在点(0,0)处 .A ．不连续 B. 偏导数存在 C. 任一方向的方向导数存在 D. 可微 3．设(,)(,)f x y x y x y ϕ=-，其中(,)x y ϕ在(0,0)的某邻域内连续，若(0,0)x f ，(0,0)y f 存在，则(0,0)ϕ= .A ．0B ．1C ．2D ． 4. 设(0,0)1x f =，(0,0)2y f =，则 . A ．(,)f x y 在(0,0)点连续 B. (0,0)d (,)d 2d f x y x y =+ C.(0,0)cos 2cos flαβ∂=+∂，其中cos ,cos αβ为l 的方向余弦D. (,)f x y 在(0,0)点沿x 轴负方向的方向导数为1-5. 函数22(,)f x y x y =在点(2,1)沿方向l i j =+r r r的方向导数为 .A ．16 B．28 D 三、解答题(共58分)1．设二元函数,()x z f xy yg x y y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求2zx y∂∂∂.（本题8分）2. 求由方程22ln()0xz xyz xyz -+=所确定的函数(,)z z x y =的全微分.（本题8分）3．设,u v 是,x y 的函数，且01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩，求ux ∂∂.（本题8分）4. 设球面2221x y z ++=在点0(0,0,1)P 处的外法线方向为n r ，求函数23u x y z =++在0P 点沿方向n r的方向导数.（本题8分）5. 求曲线2222242x y z x y x⎧++=⎪⎨+=⎪⎩在点P 处的切线方程和法平面方程.（本题9分）6. =，(0)a >上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .（本题8分）7. 求二元函数2(,)(4)z f x y x y x y ==--在由直线6x y +=，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 的边界上的最大值和最小值.（本题9分）第九章自测题一、填空题（每小题4分，共24分）1.若积分区域D 是由0x =，1x =，0y =，1y =围成的矩形区域，则e d d =x y Dx y +⎰⎰ .2. 把二重积分20d (,)d I y f x y x =⎰化为极坐标形式，则I = .3. 交换积分次序111422104d (,)d d (,)d yyy f x y x y f x y x +=⎰⎰⎰ .4. 二重积分d DI y x y =⎰⎰，若D 为222x y a +≤的上半部分，则I = . 5. 设区域D 是以(0,0)，(1,1)和(0,1)为顶点的三角形，则2e d d =yDx y -⎰⎰ . 6. 设Ω：0x a ≤≤，0y b ≤≤，0z c ≤≤，则d =xyz V Ω⎰⎰⎰ .二、单项选择题（每小题3分，共24分）1. 设区域222{(,)|,0,0}D x y x y a a y =+≤>≥，则22()d d =Dx y x y +⎰⎰ . A.3d d ar r πθ⎰⎰ B.2d d ar r πθ⎰⎰ C. 3202d d ar r ππθ-⎰⎰ D. 2202d d ar r ππθ-⎰⎰ 2.设(,)d d D I f x y x y =⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及双曲线1xy =所围成的区域，则I = . A.21222111112d (,)d =d (,)d +d (,)d y xy xy f x y x x f x y y x f x y y ⎰⎰⎰⎰⎰⎰B.11212112122d (,)d =d (,)d +d (,)d xy x yy f x y x x f x y y x f x y y ⎰⎰⎰⎰⎰⎰C.21222111112d (,)d =d (,)d +d (,)d y xyxy f x y x x f x y y x f x y y ⎰⎰⎰⎰⎰⎰D.21222111112d (,)d =d (,)d +d (,)d x yxyy f x y y y f x y x y f x y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰3．设0xd (,)d aI x f x y y =⎰，转化为极坐标后，I = .A.2cos 20d (cos ,sin )d a f r r r r πθθθθ⎰⎰ B. 2sin 204d (cos ,sin )d a f r r r r πθπθθθ⎰⎰C.2sin 20d (cos ,sin )d a f r r r πθθθθ⎰⎰D. 2cos 204d (cos ,sin )d a f r r r r πθπθθθ⎰⎰4. 设(,)f x y 连续,且(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+⎰⎰,D 是由0y =,2y x=,1x =围成,则(,)f x y = .A. xyB. 2xyC. 18xy +D. 1xy + 5. 设有空间闭区域{}22221(,,),0x y z x y z R z Ω=++≤≥，{222(,,)x y z x y Ω=++}22,0,0,0z R x y z ≤≥≥≥，则有___________.A. 12d 4d x v x v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B. 12d 4d y v y v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C.12d 4d z v z v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D. 12d 4d xyz v xyz v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰6.球面22224x y z a ++=与柱面222(0)x y ax a +=>所围成的立体的体积V = .A. 2cos 204d a r πθθ⎰⎰B. 2cos 208d a r r πθθ⎰⎰C. 2cos 204d a r r πθθ⎰⎰D. 2cos 202d a r r πθπθ-⎰⎰7. 两半径为R 的直交圆柱体所围立体的表面积S = . A.4d R x x ⎰⎰B.8d Rx y ⎰⎰C.4d R x x ⎰D. 016d Rx y ⎰⎰8. 设V 是曲面2221()2z x y z =++与22z x y =+所围成较小部分，则V = .A. 221d d d r r r z πθ⎰⎰⎰B. 2101d d d rr r z πθ⎰⎰⎰C.22110d d d r r r r z πθ-⎰⎰⎰D. 2211d d d r r r z πθ⎰⎰⎰三、计算题(共52分)1. 计算d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线21y x =-与21y x =-所围成的区域.（本题8分） 2. 11sin d d y xy x x⎰⎰（本题8分）3.设平面薄片所占的区域D 为由直线2x =，y x =及双曲线1xy =所围成的，且其密度函数为22(,)x u x y y=，求此薄片的质量.（本题8分）4.d Dx y ⎰⎰,其中D 是由222+x y π=和222+4x y π=围成的区域.（本题9分） 5.d d d z x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω由不等式222xy z z ++≥和2222x y z z ++≤所确定.（本题9分）6. 设一均匀物体(密度1ρ=)占有的闭区域Ω是由曲线220y zx ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所形成的曲面与平面2z =和8z =所围成的，求物体关于z 轴的转动惯量.（本题10分）第十章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1．已知螺旋线cos sin x R t y R t z bt =⎧⎪=⎨⎪=⎩上每一点密度等于该点到原点距离的平方，则t 从0到2π的第一回旋部分的质量为．2．设222(,,)f x y z x y z =++，则((,,))f x y z rot grad = ． 3．设(,)P x y ，(,)Q x y 在单连域G 内有一阶连续的偏导数，则(,)d (,)d LP x y x Q x y y+⎰在G 内为某一函数(,)u x y 的全微分的充要条件是在G 内恒成立．4．2d L y s ⎰Ñ= ，其中L 为球面2222x y z R ++=与平面0x y z ++=的交线．5．d d y x z ∑⎰⎰= ，其中∑为y x =，01x ≤≤，01z ≤≤右侧．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．2222d d ()()L y x I x y x y x y -=+++⎰i ，因为22222()P Q y x x y x y ∂∂-==∂∂+，所以．A ．对任意曲线L ，0I =B ．在L 为不含原点的闭区域的边界线时，0I =C ．因为P x∂∂，Q y ∂∂在原点不存在，故对任意曲线，0I ≠ D ．在L 包含原点时0I =，不包含原点时0I ≠2．设L 为椭圆22143x y +=，其周长为a ，则22(234)d L xy x y s ++⎰i = ． A ．a B ．2a C ．4a D ．12a 3．设L 为任何不经过0y =的区域D 内的曲线()()222222d d aa Lx x x y x x y y y y+++⎰与路径无关，则a = ．A ．12-B ．13-C ．52D ．324．∑为三个坐标面与平面123y zx ++=所围成的四面体表面的外侧，则(1)d d d d d d x y z y z x x y ∑+++⎰⎰Ò= ．A ．1B ．2C ．3D ．135．设∑为222()z x y =-+在xoy 平面上方部分的曲面，则d S ∑⎰⎰= ．A ．20d d r πθ⎰⎰B ．200d d r πθ⎰⎰C ．2220d (2d r r πθ-⎰⎰ D ．20d d r πθ⎰三、计算题（每小题10分，共70分）1．22d d Ly x x x y y -⎰i，其中L 是圆周222x y a +=沿顺时针方向．2．()d x y z S ∑++⎰⎰，其中∑是平面y z a +=被圆柱面222x y a +=所截得的部分．3．计算d d 2d d yz z x x y ∑+⎰⎰，其中∑是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分．4．2d d d d ()d d xy y z x z x x z x y ∑+++⎰⎰，其中∑是平面226x y z ++=在第一卦限部分的上侧．5．()()e sin d e cos d x xL I y b x y x y ax y ⎡⎤=-++-⎣⎦⎰，其中0a >，0b >，L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧段．6．验证2232(38)d (812e )d yx y xy x x x y y y ++++在xoy 面内是某一函数(,)u x y 的全微分，并求(,)u x y ．7．在变力2(1)()F y i x y j =++-r r r 作用下，一质点沿曲线(1)y ax x =-从点(0,0)移动到点(1,0)，试确定参数a ，使变力F r作的功最小．第十一章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1．11(1)npn n ∞=-∑收敛，则p 的范围 . 2．幂级数1nn n a x∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为 .3．幂级数111(1)n n n nx ∞--=-∑的和函数为 .4．函数2()ln(1)f x x x =++在0x =处幂级数展开式为 . 5．函数1,0()1,0x f x x ππ--≤<⎧=⎨≤<⎩在[,]ππ-上展开为傅里叶级数，它的和函数为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设正项级数1nn u∞=∑收敛，则级数收敛.A．n ∞= B ．11n n u ∞=∑ C ．1(1)nn n u ∞=-∑ D ．1n n nu ∞=∑ 2．若级数1nn u∞=∑收敛于S ，则级数11()nn n uu ∞-=+∑ .A ．收敛于2SB ．收敛于12S u +C ．收敛于12S u -D ．发散 3．若级数21nn a∞=∑，21nn b∞=∑都收敛，则级数1n nn a b∞=∑ .A ．一定条件收敛B ．一定绝对收敛C ．一定发散D ．可能收敛也可能发散4．函数项级数1n ∞=的收敛域是 . A ．1x > B ．1x < C ．1x <或3x > D ．13x << 5．设0λ>，0n a >（1,2,n =L ），且级数1nn a∞=∑收敛，则级数1(1)n ∞=-∑A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．是否收敛与λ的取值有关三、判定下列级数的收敛性.（每小题8分，共24分）1．1(ln )nn nn ∞=∑2．12ln 2n nn n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑3．1n x ∞=∑⎰四、判断下列级数的收敛性，若收敛，条件收敛还是绝对收敛？（本题16分）1．1(1)nn ∞=-∑2．111n n n n -∞=+五、求幂级数12121(1)n nn n x n∞-=+-∑的收敛域及和函数.（本题10分）六、将函数21()32f x x x =++展开为4x +的幂级数，并求收敛区间.（本题10分）七、将函数2,02()1,2xl x l f x l x l⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩展开为正弦级数并指出展开式成立的范围.（本题10分）第十二章自测题一、填空题（每小题3分，共24分）1.微分方程()d ()d x y y x y x +=-的类型是 .2.微分方程sec d csc d x y x x =满足(0)2y π=的特解为 .3.若()f x 满足20()d ln 22x t f x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则()f x = . 4. 微分方程d d xx y y+=的通解为 .5. 以1r =-为二重特征根，i ±为共轭复特征根的四阶常系数线性齐次微分方程是 .6.设曲线()y f x =在其上任一点上凹，且曲率与322(1)y '+的积为sin x ，在点(0,0)处的切线平行于直线y x =-.则曲线所满足的微分方程及初始条件为 .7.微分方程20yy y '''+=满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解为 . 8. 微分方程2()d 2d 0y x x x y +-=满足初始条件6(1)5y =的特解为 .二、单项选择题（每小题3分，共18分）1．下列函数中是方程0y y '''+=的通解的是 .A. 12sin cos y C x C x =+B. e xy C -= C. 1y C = D. 12e xy C C -=+ 2.设()f x 在(0,)+∞内有二阶连续导数，且21()()(1)2,()d 0x f x f t f f x t x t '=--=⎰，则 ()f x = .A. 1x +B. 21x + C. 31x + D. 41x + 3. 微分方程cos y y x x ''+=的一个特解形式为 .A. ()cos ax b x +B. ()cos ()sin x ax b x x cx d x +++C. ()sin x ax b x +D. ()cos ()sin ax b x cx d x +++4.设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个特解，若0()0f x >且0()0f x '=，则()f x 在0x 处 .A. 取得极大值B. 取得极小值C. 不取得极值D. 不能确定 5.设()f x 可微且满足20()()d 0,(0)0x f x f x x f '+=≠⎰，则 .A. (0)f 是()f x 的极小值B. (0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点C. ()f x 的值域是(,)-∞+∞D. (0)f 是()f x 的最大值6.已知函数()y y x =在任意点x 处的增量21yy x x α∆=∆++，且当0x ∆→时，α是x ∆的高阶无穷小，(0)y π=.则(1)y = .A. 2πB. πC. 4e π D. 4e ππ三、求解下列微分方程的通解（每小题6分，共24分）1．()2d 4d 0y x x x y +-=2．()2d 2d 0x y x xy y -+=3.2222d 21d d 1d y y y x y x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭4.25sin 2y y y x '''++=四、求下列微分方程满足初始条件的特解（每小题7分，共21）1．d 2ln d y x y x x x +=，1(1)9y =-2．22d d yx xy y x+=，(1)1y =3.4e ,(0)0,(0)1xy y x y y '''-===五、设0()sin e ()d xt f x x f x t t =+-⎰，若()f x 连续，求满足条件的()f x .（本题6分）六、验证函数3693()()13!6!9!(3)!nx x x x x y x n -∞<<+∞=++++++L L 满足微分方程e xy y y '''++=，并利用该结论计算幂级数30(3)!nn n x ∞=∑的和函数. （本题7分）高等数学(上下)各章自测题参考答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. 14-2. 6-3. 7a =，5b =4. 2a =-5. 水平渐近线是0y =，铅直渐近线是3x =6. 21y x =+ 二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. C2. D3. D4. A5. D 6．C 三、求下列极限（每小题5分，共35分）解：1.2222(1)(3)(3)lim lim 04(2)4x x x x x x x →→→+-+===-.2．()()11112222200lim elim e 1lim 1e 11e e xxx x xxxx x x x x x x x ----→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦()22222020e 1e 111e 1lim 2lim e 22e e 120lim 1e 11eee x x x xx x x x x x x x xx x x x →→⎛⎫⎛⎫-⎛⎫-⎛⎫- ⎪- ⎪-⋅- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎝⎭→⎛⎫⎡⎤=+-+=⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭213e e e ---=⋅=.3. ()1312333,31233n n n nnn n<++<⋅∴<++<Q又()11,lim 1233nn nn n →∞=∴++=.4．2111sinsin sinlimlim lim lim 112x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞==⋅=. 5.()()()()()()22ln 1ln 2ln 1limln 12lim n n f f f n f f f n n n →∞→∞+++=⎡⎤⎣⎦L L ()()222ln 12ln ln limlim22n n n n a n aan n →∞→∞++++===L . 6．1144002e sin 2e sin 2lim lim 1111e 1e x x x x x x x x x x --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 11114444000e 2e 12e sin 2e sin sin lim lim lim 1e 1e e e 1x x x xx x x x x x x x x x x x x +++-→→→-⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭301lim 1e xx +-→=+=，所以，原式1=.7．(2002lim lim lim 012x x x x x +++→→→===+. 四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）解：1.据题意设222()2ax x bx x x ϕ-+=+-，则22(1)(2)()ax x b x x x ϕ-+=--，令1x =得 20a b -+=，令2x =得440a b ++=，故2,4a b =-=．2．左边22(1)lim lim lim x x x x a x b ⎡⎤--+⎢⎥===右边1=故[]lim (1)1x a x b →-∞--=，则1,2a b ==-．五、解：000011lim ()lim lim lim ln (0)0x x x x x x x x a b a b af x f x x x b→→→→---==-=≠=，故()f x 在0x =处不连续，所以0x =为()f x 得第一类（可去）间断点．六、解：sin lnsin sin sin ()lim ex t t x xt xf x -→=，而sin lnsin sin lim ln limsin sin sin sin sin 1sin t xt x tx t x x t t x x x x→→=-- sin ln 11sin lim sin sin sin 1sin t x t x x x t x x x →⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==-，故sin ()e x xf x =，0,(1,2,)x x k k π===±±L 都是 ()f x 的间断点，sin 0lim ()lim ee x xx x f x →→==，故0x =为()f x 的第一类（可去）间断点，(1,2,)x k k π==±±L 均为()f x 的第二类间断点．七、证明：设1()()2F x f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，显然()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，而1(0)(0)2F f f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()11122F f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222111111(0)(0)(0)1(1)2(0)(0)222222F F f ff f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21(0)02f f ⎡⎤⎛⎫=--≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故由零点定理知：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()0F ξ=，即1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.1-2. 3221sin x x3.()C4. sin sin e cos (e )d x xy xf x '=5.1-6.212y x πππ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭或 2322y x ππ=-+ 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. D2. A3. C4. D5. D三、解答题（共67分）解：1.(1)(ln e x y '⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦2e x x ⎛⎫=x=.(2))11y ⎛⎫⎫'=-+⎪⎭⎝12⎛⎫=-11x ⎫=+⎪⎭.(3) 11ln ln ln aa xa ax a a x y a x a a ax a a a a --'=+⋅+⋅1112ln (ln )a a xa a x a a x a xaxa a a a -+-=++.(4) 两边取对数得ln cos ln sin y x x =，两边求导数得1sin ln sin cot cos y x x x x y'=-+，cos (sin )(sin ln sin cot cos )x y x x x x x '=-+. 2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分） (1) 22d d(ln sin )(ln 1cos 2)d y x x x x x x x =+=++⋅.(2)222111cot cot cot 2222111211d d e e 2cot csc d cot csc e d x x xy x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-⋅-=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(3) 2d d 2d y x x ⎛⎫⎛ == ⎝⎝. 3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1）2cos (sin )ln y x x x '=-2cos xx+2cos sin 2ln x x x x =-+，22sin 22cos (sin )cos cos 22ln x x x x x y x x x x ⋅--⎛⎫''=-⋅⋅-+⎪⎝⎭22sin 4ln sin 2cos x x x x xx x ⋅+=-.（2）22(1)(1)2(1)(1)x x y x x ----'==-++，44(1)(1)x y x -+''=-+34(1)x =+.4.首先 ()f x 在1x =处连续，故11lim ()e=lim ()x x f x f x a b -+→→==+，故e a b +=，其次，1+00(1)(1)e e lim lim x x x f x f x x --∆∆→∆→+∆--=∆∆0e 1lim e e x x x-∆∆→-==∆， 00(1)(1)(1)()lim lim x x f x f a x b a b a x x++∆→∆→+∆-+∆+-+==∆∆，由于()f x 在 1x =处可导，故e a =，故e a =，0b =. 5.00()(0)sin lim lim 10x x f x f x x x --→→-==-，00()(0)ln(1)lim lim 10x x f x f x x x++→→-+==-，故(0)1f '=，由于()f x 在0x >，0x <时均可导，故cos ,0()1,01x x f x x x<⎧⎪'=⎨≥⎪+⎩.6.方程可变形为 22ln ln 1x y xy --=，两边求微分得221d d d 2d 0x y y x xy y x y---=，故3222d d 2y xy y x x x y -=+. 7.22d ()cos cos cos sin tan 1d ()1sin sin sec sin 2sin 2tan 2y y t a t t t tt t x x t t t t a t t '====='-⎛⎫- ⎪- ⎪⎪⎝⎭， 2242d d (tan )sec sec sin d 1d ()()sin sin y y t t t t x x x t x t a a t t '⎛⎫ ⎪'⎝⎭====''⎛⎫- ⎪⎝⎭.。