充分条件、必要条件、充要条件
本节需要将逻辑推理关系这点重点掌握，把逻辑推理关系熟记。
知识提炼
“若p,则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们说，由p可推出q记作：p⇒q，并且说p叫q的充分条件，同时q叫p的必要条件。
例题：指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
（1）p：x=y；q：x2=y2;
（2）p:三角形的三条边相等；q:三角形的三个角相等；
解：（1）因x=y⇒x2=y2,即p⇒q.所以p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）因三角形的三条边相等⇒三角形的三个角相等，即p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件。又因：三角形的三个角相等⇒三角形的三条边相等，即q⇒p。则q也是p的充分条件，p也是q的必要条件；
变式：
（a）p：x=1或x=2,q:x2-3x+2=0；
（b）p：x=2或x=3,q:x-3=x-3.
解：（a）因x=1或x=2⇒x2-3x+2=0,即p⇒q。则p是q的充分条件，q是p 的必要条件又因x2-3x+2=0⇒x=1或x=2.则q也是p的充分条件，p也是q的必要条件。
（b）因x=2或x=3/⇒x-3=x-3，但x-3=x-3⇒x=2或x=3.即p/⇒q，而q⇒p。所以q是p的充分条件，p是q的必要条件。
特征：
①充分条件的特征是：“有它就行，没它未必不行”；
当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我
的妈妈．”那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”
呢？为什么？
因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于说明你是她的孩子
②必要条件的特征是：“没它不行，有它未必行”；
例：没有氧气，人类就不能生存；有了氧气，人类未必就能生存．我们说，氧气是
人类生存的必要条件．
③充要条件的特征是：“有它就行，没它不行”．
1、从逻辑推理关系看：
①若条件p⇒结论q，但结论q条件p，则条件p是结论q的充分不必要条
件；
②若结论q⇒条件p，但结条件p结论q，则条件p是结论q的必要不充分
条件；
③若条件p⇒结论q，且结论q⇒条件p，则条件p是结论q的充要条件；
④若条件p结论q，但结论q条件p，则条件p是结论q的既不充分又不
必要条件；
注意：逻辑推理关系用来判断充分条件、必要条件、充要条件的依据。需要重点掌握
例、如果A⇒B⇔C，那么A、B、C之间有什么关系？
A⇒B说明A是B的充分条件，B⇔C说明B与C互为充要条件，又由A⇒B⇔C知A⇒C，
2、从集合与集合之间的关系上看：
若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则
①若A⊆B，则A是B的充分条件；
②若A⊇B，则A是B的必要条件；
③若A = B，则A是B的充要条件；
注意：集合关系用来判断小范围可以退出大范围，但大范围推不出小范围。
例、p:m能被6整除，q:m能被3整除，p是q的什么条件？
解析：因为m能被6整除范围小，而m能被3整除范围大，p⇒q，但q p，所以p是q的充分但不必要条件。
变式：
1、x2－1＜0是（x＋2）（x－3）＜0的什么条件？
2、x≤－1是x≤1 的条件．
小结：
对于两个不等式而言：
（ⅰ）解集范围小的成立，则解集范围大的也成立；但是，反过来不能成立．（ⅱ）若两个不等式的解集无包含与被包含关系，则它们相互都不能推得
3、充要条件的判断方法
（1）定义法：
①分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；
②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；
③下结论：根据推式及定义下结论.
（2）等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题.
（3）逆否法（这是等价法的一种特殊情况）
①若┒p⇒┒q，则p是q的必要条件, q是p的充分条件；
②若┒p⇒┒q，且┒q┒p，则p是q的必要非充分条件；
③若┒p⇔┒q，则p与q互为充要条件；
④若┒p┒q，且┒q┒p,则p是q的既不充分，也不必要条件.
注意：对比“p⇒q，则p是q的充分条件”和“┒p⇒┒q，则p是q的必要条件”
例：“p：x≠2或y≠3”是“q：x+y≠5”的什么条件？
解析：因为┒p：x=2且y=3，┒q：x+y=5，而┒p⇒┒q，且┒q┒p，所以q⇒ p
且p q，即p是q的必要不充分条件。
练习2：指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？
即A是C的充分条件。
（1）p:(x-2)(x-3)=0；q:x-2=0；
（2）p：同位角相等；q：两直线平行。
（3）p：x=3，q：x2=9；
（4）p：四边形的对角线相等；q：四边形是平形四边形。
（5）2
3
+；q：2x+3=x2 .
x
p=
2
:x
x
解：（1）因x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0,而(x-2)(x-3)=0/⇒x-2=0.所以p是q的必要
而不充分条件。
（2）因同位角相等⇔两直线平行，所以p是q的充要条件。
（3）因x=3⇒x2=9,而x2=9/⇒x=3，所以p是q的充要分而不必要条件。
（4）因四边形的对角线相等/⇒四边形是平行四边形，又四边形是平四边形/⇒四
边形的对角线相等。所以p是q的既不充分也不必要条件。
（5）因0
3
:2=
(
2
2
3
)
x
x
p,解得x=0或x=3.q:2x+3=x2得
x
x
+x
-
+
⇔
=
x
x=-1或x=3。则有p/⇒q,且q/⇒p,所以p是q的既不充分也不必要条件。
例2：设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的什么
条件？
解：由“x∈M或x∈P”可得知：x∈P，又由“x∈M∩P”可得：x∈{x|2则由x∈P⇏x∈{x|2
