4.1中值定理

F ( x )＝3 x 2 f ( x ) x 3 f ( x ) ，可以用罗尔定理证明. 提问 2：设 f ( x ) C [1, 2] , f ( x ) D (1, 2) ,且 f (2) 8 f (1) ， (1, 2) , s .t . 3 f ( ) f ( ) 0 . 3 提示：构造函数 F ( x ) x f ( x ) ， F ( x )＝-3 x 2 f ( x ) x 3 f ( x ) ，
f ( x ) f ( x0 ) [或 f ( x ) f ( x0 ) ], x U ( x0 ) ， O x 若 f ( x ) D ( x0 ) ，则 f ( x0 ) 0 . 证明：由于 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) 0 , x U ( x0 ) ，那么 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 ,(因 x x0 0 ) x x0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 ,(因 x x0 0 ) , x x0 x x0 所以 f ( x0 ) 0 . 2.【罗尔 Rolle 定理】 y C 设 f ( x ) C [a , b ] , y f (x) f ( x ) D( a , b ) ,且 A B f (a ) f (b) ，
2
在区间 [ 1, 3] 上罗尔定理成立. 提示： f ( x ) x 2 x 3 ( x 3)( x 1) C [ 1, 3]
2
f ( x ) 2 x 2 D( 1, 3) ， f ( 1) f (3) 0 满足罗尔定理的条件， 所以 1 ( 1, 3) ，使得 f (1) 0 例 2 不用求出 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) 的导数,试判 别方程 f ( x ) 0 有几个实根.以及根所在的范围. 解： 显然 f ( x) 在区间 [1, 2] , [2, 3] 上都连续, f ( x ) 在区间 (1, 2) , (2, 3) 内都可导,且 f (1) f (2) f (3) ,

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第四章 中值定理与导数的应用
1、中值定理； 2、罗必塔法则； 3、函数单调性的判定法； 4、函数的极值及其求法； 5、最大值、最小值问题； 6、曲线的凹凸与拐点； 7、函数图形的描绘；
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§4.1 中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
f (x) 满 罗 尔 （ Rolle） 定 理 如 果 函 数 足 ： （ 1） 在 闭 区 间 [a, b]上 连 续 ； （ 2） 在 开 区 间 (a, b)内 可 导 ； （ 3） 在 区 间 端 点 的 函 数 值 相 等 ， (a, b) 内 即f (a) f (b)。 那 末 在 至 少 数 等 于 零 ， 即 ' f () 0
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几何解释:
y
C
y f( x )
o a
1
2
b x
在曲线弧 AB 上至少有一点 C , 在该点处的切 的 .
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f( x ) 在 [ a , b ] 连续 ,必有最大值 证 M 和最小值 m .
( 1 ) 若 M m .
则 f( x ) M .
由此得 f ( x ) 0 . ( a , b ), 都有 f ( ) 0 .





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由 于 是 在 上 的 最 大 值 ， f ( ) M f ( x ) [ a , b ]

[ a , b ] 因 此 不 论 是 正 的 还 是 负 的 ， 只 要 在 x x

上 ， 总 有
f( x ) f( )
f ( x ) f () 0
f ( ) 0 . 至少存在一个 ( 在 x , x 之间 ), 使得 0 1

【4-1-18】
四 柯西(cauchy)中值定理 1 定理： 设f ( x), g ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且g ′( x) ≠ 0, x ∈ (a, b)
f ′(ξ ) f (b) − f (a ) 则∃ξ ∈ (a, b), 使得 = g ′(ξ ) g (b) − g (a )
b−a
② 令θ = ξ − a ,
Q ξ ∈ ( a, b)
∴θ ∈ (0,1), ξ = a + θ (b − a )
∴ f (b) − f (a ) = f ′(a + θ (b − a))(b − a), θ ∈ (0,1)
③
再令b = a + h, 则有f (a + h) − f (a ) = f ′(a + θ h)h,
则F ( x)在[a, b]上满足Rolle定理的条件,∴ ∃ξ ∈ (a, b), 使F ′(ξ ) = 0
f ′(ξ ) f (b) − f (a ) f (b) − f (a ) 即f ′(ξ ) − g ′(ξ ), g ′(ξ ) ≠ 0, ∴ = g (b) − g (a ) g ′(ξ ) g (b) − g (a )
∴依x1 , x2的任意性知, f ( x)在[a, b]上严格单增
类似地有
若f ′( x) < 0, 则f ( x)在[a, b]上严格递减
【4-1-16】
例6 证明不等式
x < ln(1 + x) < x, x > 0 1+ x
证明： 证明： Q f ( x) = ln(1 + x)在[0, +∞)连续可导,
第四章 §4.1

(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 都有 f () 0.
由此得 f ( x ) 0. (a , b), ( 2) 若 M m .
f (a ) f (b ),
最值不可能同时在端点 取得. 设 M f (a ), 则在 (a , b) 内至少存在一点 使 f ( ) M .
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例2
证明 arcsin x arccos x ( 1 x 1). 2
1 1 x
2
证 设 f ( x ) arcsin x arccos x , x [1,1]
f ( x ) ( 1 1 x
2
) 0
f ( x) C ,
x [1,1]
f (t )在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x )
x 由上式得 ln(1 x ) , 1 1 1 又0 x 1 1 1 x 1, 1 x 1 x x x x, 即 ln(1 x ) x . 1 x 1 1 x
但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成 立三个条件缺一不可。
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例如, y x , x [1,1];
1
y
O
1 x
在[1,1]上除f (0)不存在外, 满足罗尔定理的 一切条件,但在内找不到一点能使 f ( x ) 0. y
又例如, f ( x) x, x [0,1), f (1) 0;
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几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.
y
C
M N