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电子的自旋角动量

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原子结构知识：原子结构中电子自旋和核自旋

原子结构知识：原子结构中电子自旋和核自旋

原子结构知识：原子结构中电子自旋和核自旋原子是构成物质的基本单位，其结构包括核和围绕核运动的电子。

在原子结构中，电子自旋和核自旋是两个非常重要的物理概念，它们对原子的性质和行为都有重要影响。

一、电子自旋1.电子自旋的概念电子自旋是电子固有的一种内禀性质，它并不是电子真正的旋转运动，而是描述电子的一种量子性质。

电子自旋可以用两种态来描述，即上自旋态和下自旋态，分别用↑和↓表示。

这两种态是对应于电子自旋在空间中的两个方向，它们之间没有中间态。

2.电子自旋的测量电子自旋的测量是基于量子力学的原理，它具有不确定性。

当进行电子自旋的测量时，不可能同时测量出电子的位置和自旋方向。

根据量子力学的测不准原理，测量电子的自旋方向会使得其位置的不确定性增加，反之亦然。

3.电子自旋的性质电子自旋在原子结构中具有重要的作用。

它决定了原子在外加磁场下的行为，从而影响了原子的磁性。

电子自旋还与化学键的形成和原子光谱的性质有关。

由于电子自旋的存在，原子的能级结构会呈现出一些特殊的规律，如Pauli不相容原理等。

4.康普顿散射电子自旋还与康普顿散射现象相关。

康普顿散射是指X射线与物质中的自由电子相互作用而发生散射的现象。

在康普顿散射中，X射线会与电子的自旋磁矩相互作用，使得散射角度发生变化，从而可以用来测量电子的自旋。

二、核自旋1.核自旋的概念核自旋是核子固有的自旋角动量，通常用I来表示。

与电子自旋类似，核子的自旋也具有量子性质，即其自旋角动量只能取离散的数值。

在自然界中，存在很多核素，它们的核自旋可以是整数或半整数。

2.核自旋的性质核自旋是核物理研究的重要参数之一，它与原子核的稳定性、核衰变、核磁共振等现象密切相关。

核自旋还可以影响原子的磁性和核荷分布，从而影响原子的化学性质。

3.核自旋共振核自旋可以通过核磁共振技术来研究。

核磁共振是一种利用核自旋的方法来研究物质结构和性质的技术。

在核磁共振中，外加磁场使得具有核自旋的原子核产生共振吸收信号，从而可以得到有关原子核的信息。

量子化学第五章 电子自旋和角动量

量子化学第五章 电子自旋和角动量

设
为一个体系中的任意两个角动量，
可能是两个轨道角动量或两个自旋角动量，或一个轨
道角动量一个自旋角动量。
46
量子化学 第五章
角动量量子数分别为 j1 和 j 2 ，
则
的本征值分别为:
其中
设
作用得到总角动量 ，即
47
量子化学 第五章
M 是一个向量，M＝ MxiMyjMzk
可以证明:
（i, j, k为单位矢量）
以 代表任一角动量,
、和
分别 代表 x, y, z 方向的分量.
则:
27
量子化学 第五章
上述算符间存在以下对易关系：
28
量子化学 第五章
假设： 是
共同的本征函数，

如果 j 和 mj 分别为标记 M 大小和方向的量子数。
则：
如果 M 指的是 M l ，则 j 和 mj 分别为l 和 m 。 如果 M 指的是 M s ，则 j 和 mj 分别为s 和 ms 。
量子化学 第五章
12
量子化学 第五章
(2)自旋算符的本征值
对电子而言，自旋量子数 s =1/2, 自旋磁量子 数为 ms=1/2, -1/2,
故 的本征值为
的本征值为 ms1 2 or1 2
(3)自旋算符的本征函数
用 和 分别表示向上自旋和向下自旋的状态。
13
量子化学 第五章
自旋波函数 是算符 的本征值为 的本征函数。 是算符 的本征值为 的本征函数。 是算符 的本征值为 的本征函数。
14
量子化学 第五章
(4)电子在中心力场中的运动 没有考虑电子自旋时，电子在中心力场中的运动的
定态波函数为： n ,l,m R n ,l(r)Y l,m (, )

量子化学第五章 电子自旋和角动量

量子化学第五章 电子自旋和角动量
不依赖于轨道运动的固有磁矩的假设。
后由著名的斯特恩—盖拉赫实验证实。斯特恩 是美国人，因为第一个发现电子自旋现象获得了 1946年的诺贝尔物理学奖。
4
量子化学 第五章
斯恩特-盖拉赫实验 装置参见右图, 一
束碱金属原子经过一个 不均匀磁场后射向屏幕， 实验发现原子束一分为 二，射向屏幕。
分析：实验体系中的原子肯定有两种不同的磁 矩，才会因与外磁场作用能不同，而导致分裂。
20
量子化学 第五章
比较(2)和(5)，可知 2＝ 1，则＝1
代入(1)和(4)，则有：
显然，在 (1 ,2, ,i, ,j, n)状态下,
的本征值为 +1或 -1.
P i j(1 ,2 , ,i, ,j, n ) (1 ,2 , ,i, ,j, n ) 称 (1 ,2, ,i, ,j, n)为对称波函数。 P i j(1 ,2 , ,i, ,j, n ) (1 ,2 , ,i, ,j, n )
不是一条谱线，而是两条靠得很近的谱线。
同样，钠的原子光谱 3p3s 跃迁的 D 线也是
两条靠得很近的谱线。 谱线的分裂一定是始态和终态存在着能级的差异。
3
量子状态和能级。 故双线光谱结构不可能因轨道运动不同而引起，
一定存在着电子的其它运动。 1925年,乌伦贝克和哥德斯密脱提出电子具有
设
为一个体系中的任意两个角动量，
可能是两个轨道角动量或两个自旋角动量，或一个轨
道角动量一个自旋角动量。
46
量子化学 第五章
角动量量子数分别为 j1 和 j 2 ，
则
的本征值分别为:
其中
设
作用得到总角动量 ，即
47
量子化学 第五章
M 是一个向量，M＝ MxiMyjMzk

电子自旋共振 实验报告

电子自旋共振 实验报告

电子自旋共振【实验原理】1. 电子的轨道磁矩和自旋磁矩电子的轨道磁矩为2l le e P m μ=-l P 为电子轨道运动的角动量，e 为电子电荷，e m 为电子质量。

轨道角动量和轨道磁矩分别为l l P μ== 电子的自旋磁矩s s e e P m μ=-s P 为电子自旋运动的角动量，e 为电子电荷，e m 为电子质量。

自旋角动量和自旋磁矩分别为s s P μ== 由公式可以看出电子自旋运动的磁矩与动量之间的比值是轨道轨道磁矩与角动量之间比值的2倍。

对于单电子的原子，总磁矩jμ与总角动量jP 之间有j j e e gP m μ=-其中()()()()111121j j l l s s g j j +-+++=++。

对单纯轨道运动g 为1，对于单纯自旋运动g 为2。

引入旋磁比γ，即有j j eP e gm μγγ==-在外磁场中jP 和jμ都是量子化的，因此jP 在外磁场方向上投影为()(),1,,1,2π==----z mhP m j j j j相应的磁矩jμ在外磁场方向上的投影为()(),1,,1,2γμπ==----z mhm j j j j由以上公式可得4z Bemgehmg m μμπ=-=-4B e ehm μπ=为玻尔磁子2. 电子自旋共振（电子顺磁共振） 由于原子总磁矩jμ的空间取向是量子化的，因此原子处在外磁场B 中时，磁矩与外磁场的相互作用也是量子化的，为2j B mhBE B mg B γμμπ=-=-=- 相邻磁能级之间的能量差为2hB E γπ∆=当向能量差为20hB E γπ∆=的原子发射能量为20hB h γνπ=光子时，原子将这个光子跃迁到高磁能级，这是发生在原子中的共振吸收跃迁现象，磁能级分裂是由电子自旋提供的就是“电子自旋共振”。

因此，电子自旋共振条件是光子的圆频率满足B ωγ=3. 电子自旋共振研究的对象如果分子中的原子所有的电子轨道都已成对填满了电子，自旋磁矩为0，没有固有磁矩，不会发生电子自旋共振。

量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加-概述说明以及解释

量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加-概述说明以及解释

量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加-概述说明以及解释1.引言1.1 概述量子力学是描述微观领域的物理学理论，它在20世纪初由一些杰出的科学家如普朗克、爱因斯坦等人奠定了基础。

在量子力学中，自旋角动量和轨道角动量是两个重要的概念。

自旋角动量是粒子固有的属性，类似于物体的自转。

它与粒子的旋转对称性有关，可以用半整数来表示。

经过实验证明，自旋角动量在微观领域中起着非常重要的作用，并且与一些基本粒子的特性紧密相关。

自旋角动量的量子化使得粒子的行为在某些情况下表现出了奇特的性质，例如自旋相互作用和贝尔不等式等。

轨道角动量是粒子的运动轨道引起的角动量，与粒子的运动速度和轨道形状有关。

它可以用整数来表示。

轨道角动量在描述粒子围绕某一点或某一轴旋转的过程中的动力学性质时非常有用。

例如，在原子物理学中，轨道角动量可以解释电子在原子轨道中的分布和运动方式。

在量子力学中，自旋角动量和轨道角动量可以进行叠加，形成新的总角动量。

这种叠加有一些独特的规则和性质，例如自旋角动量和轨道角动量相互作用会导致总角动量的取值范围发生变化。

这种角动量的叠加在理论和实验研究中非常常见，对于理解粒子行为和物理现象具有重要意义。

本文将通过介绍自旋角动量和轨道角动量的定义和性质，探讨它们在量子力学中的叠加规律和重要性。

此外，我们还将讨论量子力学中自旋角动量和轨道角动量的一些应用，并对文章进行总结和结论。

这样的研究不仅有助于深入理解量子力学的基本概念和原理，还为未来的量子技术和量子计算领域的发展提供了理论基础和实验指导。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章的结构是为了让读者更好地理解和组织文章内容，使其逻辑清晰、层次分明。

本文将按照以下结构展开讨论：2.正文：本部分将详细介绍自旋角动量和轨道角动量的定义和性质，并探讨它们的叠加效应。

具体包括以下几个方面的内容：2.1 自旋角动量的定义和性质：介绍自旋角动量的概念和定义，包括自旋角动量的量子化、自旋的本质和自旋之间的相关性质等内容。

自旋角动量轨道角动量总角动量关系

自旋角动量轨道角动量总角动量关系

自旋角动量、轨道角动量和总角动量是量子力学中经常讨论的重要概念。

它们之间的关系不仅在物理学中有着重要的意义，也涉及到了许多其他领域的问题。

在本文中，我将就自旋角动量、轨道角动量和总角动量之间的关系展开一次深入的探讨。

1. 自旋角动量自旋是微观粒子特有的一种内禀角动量，它不同于经典物理学中的角动量，是一种全新的物理量。

自旋可以用量子数s来描述，通常s=1/2的被称为自旋1/2粒子。

自旋对应了一个新的角动量，即自旋角动量，它是粒子旋转所带来的一种内禀角动量。

自旋角动量与粒子的自旋状态有关，具有两个投影方向，即自旋向上和自旋向下。

自旋角动量的测量值只能为ħ/2或-ħ/2。

2. 轨道角动量在量子力学中，电子在原子内的运动可以用波函数来描述，其中的位置坐标和动量算符是对易的。

由此，我们可以得出一个非常重要的结论：轨道角动量和位置、动量算符对易。

轨道角动量的大小由量子数l 来描述，取值范围为0到n-1，其中n是主量子数。

轨道角动量与电子的轨道运动有关，它的取值是量子化的，即ħ*√(l(l+1))。

轨道角动量在经典力学中对应了电子围绕原子核运动时所具有的角动量。

3. 总角动量总角动量是自旋角动量和轨道角动量之和，它对应了量子力学中的角动量算符。

总角动量的大小和夹角与自旋角动量和轨道角动量的大小和夹角有关。

总角动量的量子数可以用j来描述，其取值范围是|l-s|到l+s。

总角动量量子数的取值是离散的，而且总角动量和自旋角动量的测量值之间有一些特殊的关系。

在量子力学中，自旋角动量、轨道角动量和总角动量之间存在着一些非常有趣的关系。

通常来说，总角动量算符的本征态是由自旋和轨道角动量算符的本征态进行耦合得到的。

而总角动量和自旋角动量（或轨道角动量）之间还存在着一些相互影响和制约的关系。

对于原子中的电子来说，总角动量可以影响到能级的分裂和跃迁等现象，从而导致原子的一些特殊性质。

自旋角动量、轨道角动量和总角动量是量子力学中非常重要的概念，它们之间的关系涉及到了许多量子系统的性质和行为。

如何计算物体的电子自旋

如何计算物体的电子自旋

如何计算物体的电子自旋电子自旋是量子力学中的一个重要概念，它是电子在磁场中旋转的量子化表现。

电子自旋的计算涉及到量子数和泡利不相容原理。

以下是计算物体电子自旋的步骤：1.确定电子的量子数：电子的量子数包括主量子数n、角动量量子数l和磁量子数m。

主量子数n表示电子所处的能级，角动量量子数l表示电子在能级内的轨道形状，磁量子数m表示电子在轨道上的角动量方向。

2.确定电子自旋量子数：电子自旋量子数s有两种取值，分别为+1/2和-1/2。

根据泡利不相容原理，一个原子轨道上最多容纳两个电子，且这两个电子的自旋量子数必须相反。

3.计算电子自旋磁矩：电子自旋磁矩的大小由公式μ = gμ_B * S计算得出，其中g是电子自旋的朗德因子，μ_B是玻尔磁子，S是电子自旋量子数。

对于自由电子，g约为2。

4.考虑电子所处的磁场：在计算电子自旋时，需要考虑电子所处的磁场B。

电子自旋在磁场中的能量E由公式E = μ * B计算得出，其中μ是电子自旋磁矩，B是磁场强度。

5.计算电子自旋的角动量：电子自旋的角动量L = S * h / 2π，其中h是普朗克常数。

角动量的单位是弧度/秒。

6.分析电子自旋的极化：电子自旋可以在磁场中被极化，即电子的自旋方向趋向于与磁场方向一致。

电子自旋极化的程度可以用极化率ρ表示，ρ = (N_e * S) / (V * μ_0 * B)，其中N_e是电子数，V是体积，μ_0是真空磁导率。

通过以上步骤，可以计算出物体中电子的自旋。

需要注意的是，这些计算是基于量子力学理论的，实际上电子自旋的计算涉及到更复杂的原子和分子结构，以及电子间的相互作用。

习题及方法：1.习题：一个氢原子中有两个电子，求这两个电子的自旋量子数。

方法：根据泡利不相容原理，一个原子轨道上最多容纳两个电子，且这两个电子的自旋量子数必须相反。

因此，这两个电子的自旋量子数分别为+1/2和-1/2。

2.习题：一个碳原子中有六个电子，求这三个电子的自旋量子数。

周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第7章 自旋与全同粒子——第8章

周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第7章 自旋与全同粒子——第8章

（2）无耦合表象
力学量组
(
J12
,
J1z
,
J
2 2
,
J
2
z
)
也相互对易，相应的表象称为无耦合表象。无耦合表象的基
矢为：| j1m1 j2m2 。
五、光谱的精细结构
在无外场的情形下，电子自旋对原子能级和谱线有影响。在哈密顿量中体现在电子的自
旋和轨道运动之间的相互作用引起了附加项。体系的哈密顿量可表示为：
2
三、简单塞曼效应 1．简单塞曼效应概念 在没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为三条，这即是简单塞曼效应。
2．简单塞曼效应的物理机制
考虑氢原子或类氢原子在均匀外磁场中的情形。在较强的外磁场作用下，须考虑电子的
轨道磁矩和自旋磁矩与磁场 B 的相互作用。由于外磁场较强，可略去电子的自旋和轨道运
动之间的相互作用能量。此时，哈密顿量可表示为：
H
2
2me
2
U (r)
eB 2mec
(2Sz
Lz )
力学量组 (H , L2 , J 2 , J z ) 相互对易，其共同本征函数是定态薛定谔方程的解：
nlmms (r, ,, sz ) Rnl (r)Ylm ( ,)ms (sz )
则 Enlmms
Enl
eB 2mec
(m
2ms
)
EEnlnl22ememBBecec((mm11)), ,
。
(r , 2 ,t)
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在
z
表象中，s
z
的本征值为：
2
，相应的本征态为：
1 2

自旋和角动量

自旋和角动量

a c
b d




a c
b d

a 0 d 0
σX 简化为：
0 b x c 0
由力学 量算符 厄密性
ˆ
x

ˆ
x


0 c
b0


0 b*
c* 0



0 c
b0
得：b = c* (或c = b*)
σx2,σy2,σZ2 的本征值都是 。
即：

2 x

2 y

2 z
1
2. 反对易关系
基于σ的对易关系，可以证明 σ各分量之间满足反对易关系:
左乘σy
ˆ xˆ y ˆ yˆ x 0

ˆ yˆ z ˆ zˆ y 0 ˆ zˆ x ˆ xˆ z 0
2×1 的列矩阵，那末，电子自旋算符的
矩阵表示应该是 2×2 矩阵。
因为Φ1/2 描写的态，SZ有确定值 /2，所以Φ1/2 是 SZ 的本征态，本征
值为 /2，即有：
Sz1 2


2
1 2
矩阵形式


2

a c
b d


1
(r 0
,
t )

2

58 58
96 90
ÅÅ
3s1/2
（三）电子自旋假设
Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根据上述现象提出了 电子自旋假设
（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上
的投影只能取两个数值：


S
Sz 2

23-6电子自旋、四个量子数1

23-6电子自旋、四个量子数1

1 mS = ± 2
多电子原子系统， §23--10多电子原子系统，原子的壳层结构\
Multielectron Atomic System Shell Structure oAtoms
一）原子的壳层结构
1869年门捷列夫提出了元素周期表 大体上反映了元 年门捷列夫提出了元素周期表,大体上反映了元 年门捷列夫提出了元素周期表 素性质的周期性变化特性,第一个对元素周期表给予解 素性质的周期性变化特性 第一个对元素周期表给予解 释的是玻尔,他认为元素性质的周期性可以用原子内部 释的是玻尔 他认为元素性质的周期性可以用原子内部 电子在轨道上的排列来解释,并正确地预言了未发现的 电子在轨道上的排列来解释 并正确地预言了未发现的 72号元素的性质 但直到 号元素的性质.但直到 提出了泡利不相容 号元素的性质 但直到1925年泡利提出了泡利不相容 年泡利提出了 以后,人们才深刻地认识到元素的物理性质的周期 原理以后 原理以后 人们才深刻地认识到元素的物理性质的周期 性变化来源于电子组态的周期性变化或电子的“ 性变化来源于电子组态的周期性变化或电子的“壳层 结构” 结构”。
v B
SZ = mS h mS 称为自旋磁
1 量子数，它 mS = ± 2 只能取两个值： 只能取两个值：
1 − h 2
v S
1 ∴SZ = ± h 2
2）电子自旋角动量在空间的取向是 ） 量子化的， 在外磁场方向的投影 在外磁场方向的投影： 量子化的，S在外磁场方向的投影：
1 v v 2h S B
壳层---具有相同主量子数 的电子构成一个壳层 壳层 具有相同主量子数n的电子构成一个壳层 具有相同主量子数 4 1 2 3 5 6 主量子数 n 壳层符号 K L P M N O

电子自旋角动量和自旋磁矩课件

电子自旋角动量和自旋磁矩课件

04
自旋电子学应用
自旋电子存储器
总结词
自旋电子存储器是利用电子自旋的特性进行信息存储的设备，具有高存储密度、低能耗和长寿命等优 点。
详细描述
自旋电子存储器利用电子自旋的两种状态（向上和向下）来表示二进制信息中的0和1。通过改变电子 的自旋方向，可以实现信息的写入和读取。与传统的电荷存储方式相比，自旋电子存储器不需要依赖 电荷的移动，因此具有更快的读写速度和更高的稳定性。
在量子力学中的基础性
自旋角动量是量子力学中一个基本且 重要的物理量，是理解许多量子现象 的关键。
在固体物理中的应用
在固体物理中，电子自旋角动量对理 解材料的磁学和电子学性质至关重要 。
电子自旋角动量的历史与发展
早期发现
未来展望
自旋角动量的概念最初由乌伦贝克和 古德斯密特在1925年提出。
随着技术的进步，对电子自旋角动量 的研究和应用将更加深入和广泛。
发展自旋电子学的理论模型
01
建立精确的自旋电子学理论模型
基于量子力学和电磁学的基本原理，建立精确描述自旋电子行为的理论
模型。
02
发展高效的数值模拟方法
开发高效的数值模拟方法，对自旋电子器件进行精细化模拟和优化设计
。
03
探索自旋电子学的物理极限
通过理论分析和数值模拟，探索自旋电子学的物理极限，为新器件和新
发展历程
随着量子力学的发展，人们对自旋角 动量的理解不断深入，它在理论物理 和实验物理中都得到了广泛应用。
02
自旋磁矩的基本概念
定义与特性
定义
自旋磁矩是粒子自旋角动量与磁场的乘积，是粒子自旋的物 理量。
特性
自旋磁矩具有矢量性质，方向与自旋角动量的方向相同，大 小与粒子自旋和磁场的强度的乘积成正比。

第一讲电子自旋的实验证明及性质

第一讲电子自旋的实验证明及性质

总磁矩为：
Mz
dM z
Je d r2 sin2
meh
r sin
nlm
2
d
r2 sin2
meh
2
2 r sin
nlm
2
d
meh
2
2 r sin nlm 2 d
• 其中：d rddr，利用波函数 nlm 的归一 关系：
nlm 2 d nlm 2 r2 sin d ddr
• 根据轨道磁矩与轨道角动量的关系：
M¶
z
gL
e
2
L$z
• 假设这个关系定性地适用于所有角动量与
磁矩。由于原子核（质子或中子）的质量
远远大于电子的质量，所以核磁矩导致的
贡献要远远小于电子自旋磁矩的贡献。
• 对于氢原子基态而言，l=0，所以原子束分 裂是电子自旋磁矩导致的，取值个数为：； 所以电子自旋为1/2。
• •
令： 属于
1 2
(
S
z)
S
z
为 S2,S
的本征值
z
的共同本征自旋波函数，
ms 1/ 2
S 2, Sz 可互相对易，本征方程为
Sˆz 1
2
(Sz )
h 2
1
2
(Sz ), Sˆz 1 2
(Sz )
h 2
1 2
(Sz )
Sˆ
2
1
2
(Sz
)
3h 4
1
(S
z
),
Sˆ
2
1
(S
z
)
2
2
3h2 4
1 (Sz) 2
• 例如在轨道角动量l的取值中不包含半整数。 而角动量A则包含了半整数，因为它代表着 角动量的普遍性。

电子自旋角动量

电子自旋角动量

θe -iϕ ⎞ ⎛ a ⎞ sin sinθ ⎛a⎞ ⎟⎜ ⎟ = ±⎜ ⎟ -cos θ ⎠⎝b⎠ -cosθ ⎝b⎠
�
解出 a 和 b 即得相应于本征值 ±1 的本征态 χ ( ± ) ( n ) 为
⎧ θ⎞ ⎛ -iϕ 2 ⎪ ( + ) � ⎜ e cos 2 ⎟ ⎪ χ ( n) = ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ e iϕ 2 sin θ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ 2⎠ ⎨ ⎛ -iϕ 2 θ ⎞ ⎪ -e sin ⎟ ⎪ ( -) � ⎜ 2 ⎟ ⎪ χ ( n) = ⎜ θ iϕ 2 ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ e cos ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎩
Si =
ℏ 2 ℏ σi , 2 (i = x, y, z )
(7.5)
这里已经抽出 Si 的绝对数值 ，所以 σ i 的本征值只能为 ± 1 ，就是说，
σ i 为自逆矩阵。将 σ i 代入对易规则（7.4）式，就得到决定它们的下
列关系，
⎧ σ i , σ j = 2iε ijk σ k ⎨ 2 σi =σ0 ⎩
t Goudsmit 针对以上难以解释的实验现象，1925 年 Uhlenbeck 和 Goudsmi
提出假设：电子在旋转着，因而表现出称之为自旋的内禀角动量 s , 它
ℏ 2 � � 假定电子存在一个内禀磁矩 μ 并且和自旋角动量 s 之间的关系为（电 �
在任意方向的取值只能有 ± 两个数值。为使这个假设与实验一致，
子电荷为 -e ）
e � � μ= s μc
（7.1）
这表明，电子自旋的廻磁比是轨道廻磁比的两倍。于是，电子便具有
� 了 m,e, s, μ 共四个内禀的物理量。 根据实验事实用外加的方式引入电子 �
自旋这一内禀自由度之后，不仅原子的磁性性质，而且原子光谱本身 的一些精细结构，以及在外场下的多重分裂现象，也都得到了很好的 解释。 然而， 认为电子自旋角动量来源于电子旋转这一经典图象却立即 遭到否定。假设电子半径为 re ，作为定性的估算可以合理地假定

电子自旋角动量的升降算符

电子自旋角动量的升降算符
通讯作者 ： １ ７ ７ ４ ２ ７ １ ｌ ＠ｑ ｑ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
８ ０
哈尔滨师 范大学 自然科学学报
２ ０ １ ５年 第 ３ １卷
以（ ８ ）式代入 式 （ ５ ） ， 既得
ｒ Ｏ ＝ｉ ｏ － ， 等等
（ ６ ） ， （ ８ ）， （ ９ ）式 可 以统一 成一 个公 式
ｏ ｒ ｒ Ｏ ＝一Ｏ ｒ ｒ Ｏ （ ８ ）
ｓ ＝ ｓ ： ＋ ＋ ： 孚
收稿 日期 ： ２ ０ １ ５— ０ １ — ２ ３
（ ３ ）
类 似地 可证
（ ８ 一 ）
（ １ ） 至（ ３ ）式包 括了电子 自旋角动量的全部性
内蒙古 自治区高等教 育科 学“ 十二五 ” 规划课题项 目（ Ｎ Ｇ Ｉ Ｇ Ｈ ２ ０ １ ３ ０ ４ ８ ） ； 内蒙古 自治区高等学校科研项 目（ Ｎ Ｊ Ｚ Ｙ １ ３ ２ ８ １ ） ； 集宁师范学 院科学研究项 目（ ｊ ｓ ｋ ｙ ２ ０ １ ５ ０ ４ ７ ） ； 集宁师范学院科学研究项 目（ ｊ ｓ ｋ ｙ ２ ０ １ ５ ０ ４ ４ ）
（ １ ． 集宁师范学院 ； ２ ． 呼伦贝尔学院）
【 摘 要】利用电子 自旋角动量对 易关 系和 泡利矩 阵推导 出电子 自旋 角动量
的升 降算符 ， 然后 验 证 电子 自旋 角动 量升 降 算符 的性 质 ， 进 而将 这 个性 质应 用到 二
ｔ 一 一
电子体 系中的总 自旋角动量算符 ＝ ＋ ＝ （ ｏ ｒ ＋ ｏ ｒ ： ） 中， － Ａ － 计算 ， Ｓ ： 的具体
厶
函数表达式， 及 ｍ 状态的本征函数和本征值． 【 关键词 】电子 自旋角动量 ； 泡利矩阵； 升降算符； 共同本征函数

电子自旋角动量

电子自旋角动量

电子自旋角动量（electron spin angular momentum）是电子拥有的一种内在角动量，它是由电子自旋产生的。

电子自旋是一种物理现象，表明电子在原子的基态中具有一种固有的自旋状态。

电子自旋角动量是由电子自旋产生的，并且它是电子的一种内在属性。

电子自旋角动量是一种相对论性质，它是由电子自旋产生的，并且是电子的一种内在属性。

电子自旋角动量与电子的质量无关，它只与电子的自旋状态有关。

电子自旋角动量是一种相对论性质，它只在相对论框架下才有意义。

电子自旋角动量在化学和物理学中都有重要意义。

在化学中，电子自旋角动量可以用来解释化学键的形成机制和化学反应的机理。

在物理学中，电子自旋角动量与磁性相关，可以用来解释许多磁性现象。

16第7章概念1-自旋角动量的本征_[1]...

16第7章概念1-自旋角动量的本征_[1]...

ℏ 同理， 同理，λ = − （自旋朝下 ）对应的归一化本征矢为 2 sin(θ / 2) ↓n = iϕ −e cos(θ / 2)
讨论： 讨论：
ˆ S S 1. S x、ˆ y、ˆ z的本征矢 ˆ 可取任意值， （1） S z ：θ = 0 ，ϕ 可取任意值，取 ϕ = 0 ，则本征矢为
e− iϕ sin θ − cos θ ˆ 的本征值 λ = λ ′ ℏ 满足久期方程 Sn 2 ℏ cos θ = iϕ 2 e sin θ
解得
a ℏ 自旋朝上） 设 λ = （自旋朝上）对应的归一化本征矢为 ↑ n = ，则 2 b
ℏ cos θ − λ ′ e− iϕ sin θ =0 iϕ 2 e sin θ − cos θ − λ ′ ℏ λ=± λ ′ = ±1 2
ˆ χ 1 ( S ) = ℏ 0 −i 1 = ℏ 0 = i ℏ χ ( S ) Sy z z −1 2 2 i 0 0 2 i 2 2 ℏ 0 −i 0 ℏ −i = −i ℏ χ ( S ) ˆ 1 S y χ− 1 (S z ) = z = 2 0 2 2 2 2 i 0 1
θ
2
和 sin
2
θ
2
。
的概率： 也可以采取下面的办法求 S z = ±ℏ / 2 的概率：
S z = ±ℏ / 2 的概率分别为
Pz (↑) = ↑ z ↑n
2
cos(θ / 2) 2θ = (1 0 ) iϕ = cos 2 e sin(θ / 2)
2
Pz (↓) = ↓ z ↑n
第七章
一、自旋角动量 1.电子自旋角动量算符 实验测得： 实验测得： S n = ±ℏ / 2
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2
(x,t) dx 1

满足归一化条件的波函数称为归一化波函数。
（2）波函数的标准条件
• 单值（因为在任何一个小体积元内出现的概率是
唯一的）。
• 有限（概率不可能无限大）。
• 连续（概率不会在某处发生突变）。
1933诺贝尔物理学奖
E.薛定谔 量子力学的
广泛发展
二、薛定谔方程
质量为m的粒子，在势能函数U(r,t)的势场中运
动，当它的运动速度远小于光速时，其波函数所满
足的方程为

i H
t
式中：
Hˆ


2 2m
2 ( x2

2 y 2

2 z 2
)
U (r , t)
称哈密顿算符
U
(r , t)
:微观粒子所在势场的势能函数。
上式称薛定谔方程，是量子力学的基本假设 。
定态薛定谔方程
当U
阱外：(x) 0
阱内： 令
k2

2mE 2
得定态方程:
d 2x k2x 0
dx2
其通解：x sin kx
（3）根据标准条件确定k、
0 sin 0 a sin ka 0
又称为边界条件

0 ka n

U
(r )
时，波函数为:


(r ,t) (r ) f (t)
代入薛定谔方程得
i
(r) df

H[(r) f (t)]

f (t) H (r)
两边除以 (drt) f (t)
i df
1

H (r)
f dt (r)
左边是时间的函数，右边是空间坐标的函 数，只有两边都等于常数E才成立，即
i df E f dt
(2)
Hˆ(r)

E(r )
(3)
（２）式的解为
i Et
f (t) ce
（３）式称为定态薛定谔方程， r 只是空间坐标
的函数，如果给定了U (r) 和边界条件，就可根据该式求
出 (r) 。所以
i Et
(r,t) (r)e
在定态中：

mx

2.2 1030 (m
/
s)
例2：电子的波动性。原子的线度为10-10m，求原 子中电子速度的不确定量。
x

mx
1.2106 (m
/
s)
第2节 波函数和薛定谔方程
一、波函数及其统计解释
1、 波函数
一个沿x轴正向传播的平面波，其波动方程为：
y(x,t) Acos 2 (t x )
粒子运动状态的波函数的模的平方代表着微
观粒子在空间某点出现的概率密度（空间某点单 位体积内发现粒子的概率）。
p(r , t)

（r, t )
2

(r ,
t
)


(r ,
t
)
（1） 波函数的归一化条件
粒子在整个空间出现的概率为1，即
2
V (r ,t) dV 1
对于一维运动有：
势能函数为：
0 (0 x a) U (x) (x 0 , x a)
U
U
Ⅱ ⅠⅡ
U 0
x
O
a
（1）写出定态薛定谔方程
Hˆ 2 2 U x
2m 2x2
Hˆx


2 2m

d
2x
dx2


U
xx


Ex


屏
电子束
a缝
2 px
X方向的动量 px 的不确定量为：
p幕
py
px px p sin 第1级暗纹的衍射角满足： a sin
px x h
px x h
考虑到在两个第一级极小值之外还有电子出现，所以：
px x h
微观粒子的位置和动量的不确定关系：
i
Et) sin

a

x
(0 x a)
来描述，式中:E ，a为常量，A为任意常数。求：
(1)归一化波函数；
(2)概率密度；
(3)概率密度最大值的位置。
（本题与教材P191，【例18-3】类似）
第3节 薛定谔方程在一维定态问题中的应用 一、一维无限深势阱
金属中的自由电子可看作在一维无限深势阱中运动
x y
px p y

2 2
z pz

2
物理意义：
微观粒子的位置和 动量不能同时确定
这就是著名的海森伯不确定关系式
例1：子弹的粒子性。设子弹的质量为0.01kg，枪 口的直径为0.5cm，试用测不准关系计算子弹射出 枪口的横向速度。
x
将上式改写成复数形式：
i2 (t x )
(x,t) Ae
由德布罗意关系得
E , h
h
px
( x, t )

Ae
i
(
Et

px
x
)
将上式推广到三维空间后，得到
(r , t)


i
(
Et

pr )
Ae
上式称自由粒子的波函数 。
2、 波函数的统计解释
2 2m

d
2x
dx2

Ex
阱内

2 2m

d
2x
dx2

U
x
x

Ex阱外
（2）定态薛定谔方程的通解

2 2m

d
2x
dx2

Ex
阱内

2 2m

d
2x
dx2

U
x
x

Ex阱外
n

0,1,2,
当 n = 0 时得 x 0 ，在势阱中找到粒子的概
率为 0，与题目要求不符，舍去。
又因为当n = -1,-2,…分别与n = 1,2,…实际上是
代表着同一种概率分布状态, 所以
k n n 1,2,3,
a
0 x 0, x a
定态薛定谔方程的解为：x
p(r , t)

(r ,
t
)



(r ,
t
)

(r )
2
r满足的条件：
•标准条件（单值、有限、连续）。 •归一化条件。 •对坐标的一阶偏导必须存在且连续。
例：假设粒子只在一维空间中运动，其状态可用波
函数
0
(x 0, x a)
（x, t )


A exp(
1932诺贝尔物理学奖
W.海森伯 创立量子力学，
并导致氢的同素 异形的发现
第1节 不确定关系
微观粒子的空间位置要由概率波来描述，概率 波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时刻不具 有确定的位置和确定的动量。x电源自束a缝屏2
幕
衍射图样
X方向电子的位置不确定量为： x a
x
x a