圆与阴影部分的面积计算

第 1 页 共 14 页 初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项

一、圆的面积计算公式：S=R2，圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的1360，圆心角是n度的扇形面积等于圆的面积的360n，扇形的弧长等于l=180nR,S扇=12lR。

二、运用公式法、割补法、拼凑法、等积变化法、平移法、旋转法、构造方程法等方法求组合图形的面积。

三、运用割补法、平移法、旋转法、等积变换法、容斥原理求阴影部分面积。

1、弓形面积

弓形的面积可以转化为扇形的面积与三角形的面积之差，如下图所示，弓形AmB的面积S弓形=S扇性AOB-S△AOB

弓形的面积可以转化为：扇形的面积与三角形的面积之和，如下图所示弓形AmB的面积S弓形= S扇性AOB+S△AOB

注：①当弓形所含的弧是劣弧时如甲图所示，弓形AmB的面积S弓形=S扇性AOB-S△AOB

②当弓形所含的弧是优弧时，如图乙所示，AnB的面积S弓形= S扇性AOB+S△AOB

③当弓形所含的弧是半圆时，弓形的面积S弓形=12S圆

如图：半径OA=6cm,C为OB的中点，∠AOB=120°，求阴影部分面积S。

（右：乙图）

解：由图形可知，S阴影ABC=S扇性ABO-S△ACO，而S扇形ABO=21206360=12，S△ACO=12×6×3×sin60°=932，所以S阴影ABC=(93122)cm2。

2、割补法

凡求与圆有关的不规则图形面积问题，一般都要把它转化为三角形、扇形、弓形的面积来求解，在进行复杂的图形的面积计算时，时常通过添加辅助线，把图形分割成若干个基本图形求解，这种求解的方法是经常用到的。

如图：⊙O中的弦AC=2cm，圆周角∠ABC=45°,求图中阴影部分的面积。（部分与整体） 第 2 页 共 14 页

阴影部分面积计算

Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

阴影部分面积计算

一、直接和间接方法求阴影部分面积

例1：已知右面的两个正方形边长分别为6分米和4分米，求图中阴影部分的面积。

1、如图，ABCD是一个长12厘米，宽5厘米的长方形，求阴影部分三角形ACE的面积。

2、已知正方形甲的边长是8厘米，正方形乙的面积是36平方厘米，那么图中阴影部分的面积是多少

3、求右图中阴影部分图形的面积及周长。

二、割补法求阴影部分的面积

例1：求下图中阴影部分的面积。

1.求右图中阴影部分的面积。

2.求右图中阴影部分的面积。

三、等量代换法求阴影部分的面积

例3：右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）

1、下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）

例4：在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。

1、在右图中，三角形EDF的面积比三角形ABE的面积大75平方厘米，已知正方形ABCD的边长为15厘米，(1)求三角形ACF的面积（2）DF的长是多少厘米

四、平移法求面积

例4：右图是一块长方形公园绿地，绿地长24米，宽16米，中间有一条宽为2米的道路，求草地（阴影部分）的面积。

1、下图的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。

五、等高求面积

例5：如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）

1．求下图中阴影部分的面积。

2、如图，这个长方形的长是9厘米，宽是8厘米，A和B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。

六、按一定的比求面积

把下图三角形的底边BC四等分，在下面括号里填上“＞”、“＜”或“=”。

求与圆相关的阴影部分面积的十大方法

（一）、相加法（分割法）：将不规则图形分割成成几个基础规则图形，分

别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。

例：下图只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后相加即可。

（二）、相减法：将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的

面积之差。例：下图只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。

（三）、直接求法：根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积。

例：下图阴影部分的面积，分析发现它是一个底为2，高为4的三角形，就可以直接求面积了。

（四）、重新组合法：将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，

重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可。S阴影=S半圆+S正方形

S阴影=S正方形-S圆

S阴影=S三角形例：下图可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。

（五）、辅助线法：根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规

则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可。例：下图虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法计算2个三角形面积之和更简便。

（六）、割补法：把原图形的一部分切割下来，补在图形中的另一部分，使

之成为规则图形，从而使问题得到解决。

例：下图只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半。

（七）、平移法：将图形中某一部分切割下来，平行移动到一恰当位置，使

之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积。S阴影=S正方形-S圆

S阴影=S正方形

÷2S阴影=S三角形①+S三角形②例：下图可先沿中间切开，把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

（八）、旋转法：

将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴

旋转一定角度，贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，

便于求出面积。

例：下图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，

专题：与圆有关的面积计算

计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。

例1. 如图1，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD和CD⌒围成的阴影部分图形的面积为_________。

例2. 如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，ADE⌒为14圆，求阴影部分面积

1．（3分）（2014莱芜）如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． π B． 2π C． D． 4π 2．（3分）（2014潍坊15题）如图，两个半径均为的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 _______ ．（结果保留π）

3．（4分）（2012日照15题）如图1，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图2，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1 S2（用“＞”、“＜”或“=”填空）．

4．（3分）（2013烟台18题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为 ．

5.（2012日照16题）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）.则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为_____________.

6．（3分）（2013莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）

A． B． C． D．