初等矩阵的逆矩阵的三个公式

初等矩阵的逆矩阵的三个公式

初等矩阵是在单位矩阵的基础上进行某些简单的行变换或列变换

得到的矩阵。它们具有许多重要的性质和应用。在矩阵论中，初等矩

阵的逆矩阵也是一个非常重要的概念。下面将介绍初等矩阵的逆矩阵

的三个公式。

第一个公式是关于初等行变换的逆矩阵，即将一个矩阵A通过一

次初等行变换得到矩阵B，那么矩阵B的逆矩阵乘以A就等于单位矩阵。

具体来说，如果B是通过将A中的第i行与第j行交换得到的，其中i

不等于j，那么B的逆矩阵乘以A等于单位矩阵，即B^-1 * A = I。

这个公式告诉我们，通过交换两行可以消去一个初等行变换。

第二个公式是关于初等列变换的逆矩阵，与第一个公式类似。如

果B是通过将A中的第i列与第j列交换得到的，其中i不等于j，那

么A乘以B的逆矩阵等于单位矩阵，即A * B^-1 = I。这个公式表明，

通过交换两列可以消去一个初等列变换。

第三个公式是关于初等矩阵的逆矩阵的乘法规律。假设A是通过

对单位矩阵进行一次初等行变换得到的矩阵，B是通过对单位矩阵进行

一次初等列变换得到的矩阵，那么A的逆矩阵乘以B的逆矩阵等于对

单位矩阵进行这两次初等变换得到的矩阵的逆矩阵，即(A * B)^-1 =

B^-1 * A^-1。这个公式告诉我们，逆矩阵的乘法顺序与初等变换的顺

序相反。 初等矩阵的逆矩阵的三个公式为我们解决线性方程组和矩阵的相

似性等问题提供了有效的工具。通过这些公式，我们可以快速地计算

出初等矩阵的逆矩阵，并应用到具体问题中。同时，这些公式也揭示

了矩阵的内在结构和变换规律的一些重要性质，具有重要的指导意义。

总之，初等矩阵的逆矩阵的三个公式是矩阵论中的重要概念，通

过对初等行变换和初等列变换的理解，我们可以根据这些公式来进行

矩阵的运算和求解。在实际应用中，这些公式的应用广泛，能够帮助

我们解决各种与矩阵相关的问题。因此，深入理解和应用初等矩阵的

逆矩阵的三个公式对于学习和研究线性代数和矩阵论具有重要意义。

求二.三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀

1.问题的提出

在各类理工科的课程中,往往有求解矩阵逆矩阵的问题,标题本身固然简略,但是假如按照教材给出的办法盘算的话,要费一些时光,更恐怖的是盘算进程不免有误,轻易造成成果出错.经由一些研讨,我们发明,大部分求解逆矩阵的标题,都是请求解二阶.三阶矩阵的逆.针对此问题,给出学生响应的记忆口诀,帮忙学生快速求解.

2.常识储备

1.1 对于n阶方阵,假如同时消失一个n阶方阵,使得AB=BA=E

则称A阵可逆,并把方阵B成为方阵A的逆矩阵,记作A1

1.2 n阶行列式的各个元素的代数余子式组成的矩阵,叫做A的陪同矩阵,如下：

1.3 方阵A可逆的充分须要前提是,当A可逆时,

3.二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀

记忆口诀：主对换,次换号,除以行列式

推导： 假设,,且A可逆,那么依据常识储备1.2

所以呢,

4.三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀

记忆口诀：除以行列式,别忘却. 去一行,得一列,二变号,余不变,231312

1） 整体要除以行列式,不克不及忘却

2） 去失落第一行,得到矩阵残剩两行,求得逆矩阵第一列

3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231 312 纪律得到数字加了一个负号,其余的第一列,第三列不加负号 对于三阶矩阵,且A可逆

（1）

先剖析公式（1）的第一列,研讨如下表格

表1

1 2 3

1 d e f

2 g h i

公式（1）矩阵的第一列是表1所有元素的组合,组合纪律称为（231312纪律）

Step1: 表格1 第一行的第二.三.一列乘以第二行的三.一.二列得到ei , fg , dh

Step2： 表格1中第二行的二.三.一列乘以第一行的三.一.二列得到hf , id , ge

Step3： 由step1得到的数据减去step2得到的数据,得到公式（1）的第一列.

求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀

1、问题的提出

在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。

2、知识储备

1.1 对于n阶方阵，如果同时存在一个n阶方阵，使得 AB=BA=E

则称A阵可逆，并把方阵B成为方阵A的逆矩阵，记作A-1

1.2 n阶行列式A的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A的伴随矩阵，如下：

112111222212......*.......nnnnnnAAAAAAAAAA

1.3 方阵A可逆的充分必要条件是0A，当A可逆时，*1AAA

3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀

记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式

推导： 假设abAcd，,,,abcdR，且A可逆，那么根据知识储备1.2 *dbAca

所以呢，*1dbcaAAAA

4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀

记忆口诀：除以行列式，别忘记。 去一行，得一列，二变号，余不变，231 312

1） 整体要除以行列式，不能忘记

2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列

3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231 312 规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号

对于三阶矩阵33,abcAdefARghi，且A可逆

1()1()()eihfbihcbfceAfgidcgiacdafAdhgeahgbaehd （1）

先分析公式（1）的第一列，研究如下表格

表1

求逆矩阵的三种方法

求逆矩阵的三种方法

1.待定系数法

待定系数法顾名思义是一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

对于这个题来说，左边是题目中的矩阵，右边是假设的三阶矩阵

[1 -4 -3] | [a b c]

[1 -5 -3] | [d e f]

[-1 6 4] | [g h i]

接下来该说说矩阵的乘法，两个矩阵相乘，内部决定可乘与否，外部决定新形状

形如A[3*1]与B[2*3]不可乘，A[3*3]与B[3*1]可乘A*B=C3*1（三行一列的矩阵）

其核心是第一个矩阵第一行的每个数字，各自乘以第二个矩阵第一列对应位置的数字，然后乘积相加就可以得到，换句话说，结果矩阵的第M行与第N列交叉的位置的那个值等于第一个矩阵的第M行与第二个矩阵第N列对应位置的每个数字的乘积之和。

过程如下

[a-4d-3g b-4e-3h c-4f-3i ] | [1 0 0]

[a-5d-3g b-5e-3h c-5f-3i ] | [0 1 0]

[-a+6d+4g -b+6d+4g -c+6c+4i ] | [0 0 1]

九个未知数九个方程

a-4d-3g=1 a=2

b-4e-3h=0 b=2

c-4f-3i=0 c=3

a-5d-3g=0 >>> d=1

b-5e-3h=1 >>> e=-1 c-5f-3i=0

>>> f=0

-a+6d+4g=0 g=-1