创新设计(浙江专用)2017届高考数学二轮复习 教师用书3 专题四-专题五

2017届高考数学二轮复习 教师用书3 专题四-专题五

第1讲 立体几何中的计算与位置关系

高考定位 (1)以三视图和空间几何体为载体考查面积与体积，难度中档偏下；(2)以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题；空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第(1)问.

真 题 感 悟

1.(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是(

)

A.17π B.18π

C.20π D.28π

解析 由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和，易得球的半径为2，则得S＝78×4π×22＋3×14π×22＝17π，故选A.

答案 A

2.(2016·全国Ⅲ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )

A.18＋365 B.54＋185

C.90 D.81

解析 由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3，3，45，几2 何体的表面积S＝3×6×2＋3×3×2＋3×45×2＝54＋185.

答案 B

3.(2016·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.

解析 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm、2 cm、2 cm，其直观图如下：

其体积V＝2×2×2×4＝32(cm3)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm2).

答案 72 32

4.(2016·浙江卷)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体P－BCD的体积的最大值是________.

解析 设PD＝DA＝x，

在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，

∴AC＝AB2＋BC2－2·AB·BC·cos∠ABC

＝4＋4－2×2×2×cos 120°＝23，

∴CD＝23－x，且∠ACB＝12(180°－120°)＝30°，

∴S△BCD＝12BC·DC×sin∠ACB＝12×2×(23－x)×12＝12(23－x).

要使四面体体积最大，当且仅当点P到平面BCD的距离最大，而P到平面BCD的最大距离为x.

则V四面体PBCD＝13×12(23－x)x＝16[－(x－3)2＋3]，由于0＜x＜23，故当x＝3时，V四面体PBCD的最大值为16×3＝12.

答案 12

考 点 整 合

1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系. 3

2.几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正，高平齐，宽相等.

3.空间几何体的两组常用公式

(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：

①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；

②S锥侧＝12ch′(c为底面周长，h′为斜高)；

③S台侧＝12(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)；

④S球表＝4πR2(R为球的半径).

(2)柱体、锥体和球的体积公式：

①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；

②V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；

③V球＝43πR3.

4.直线、平面平行的判定及其性质

(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.

(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.

(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.

(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.

5.直线、平面垂直的判定及其性质

(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.

(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.

(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

热点一 空间几何体的表面积与体积的求解

[微题型1] 以三视图为载体求几何体的面积与体积 4 【例1－1】 (1)(2016·衡水大联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，则该多面体的体积为( )

A.203 B.8

C.223 D.163

(2)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )

A.28＋65

B.30＋65

C.56＋125

D.60＋125

解析 (1)由图知此几何体为边长为2的正方体裁去一个三棱锥.

所以此几何体的体积为2×2×2－13×12×1×2×2＝223.故选C.

(2)由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，

其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，

BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.

∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5.

又CD⊥BD，CD⊥AE，则CD⊥平面ABD，故CD⊥AD，

所以AC＝41，且S△ACD＝10.

在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝25.

在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，

故S△BCD＝10，且BC＝41.

在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10.

在△ABC中，AB＝25，BC＝AC＝41，则AB边上的高h＝6，故S△ABC＝12×25×6＝65.

因此，该三棱锥的表面积为S＝30＋65.

答案 (1)C (2)B

探究提高 截割体、三棱锥的三视图是高考考查的热点和难点，解题的关键是由三视图还原为直观图，首先确定底面，再根据正视图、侧视图确定侧面. 5 [微题型2] 求多面体的体积

【例1－2】 (1)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，FB，DE，BD则几何体EFC1－DBC的体积为( )

A.66 B.68

C.70 D.72

(2)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________.

解析 (1)如图，连接DF，DC1，那么几何体EFC1－DBC被分割成三棱锥D－EFC1及四棱锥D－CBFC1，那么几何体EFC1－BDC的体积为V＝13×12×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.

故所求几何体EFC1－DBC的体积为66.

(2)利用三棱锥的体积公式直接求解.

VD1－EDF＝VF－DD1E＝13S△D1DE·AB＝13×12×1×1×1＝16.

另解(特殊点法)：让E点和A点重合，点F与点C重合，

则VD1－EDF＝13×S△ACD×D1D＝13×12×1×1×1＝16.

答案 (1)A (2)16

探究提高 (1)求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.

(2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法求解. 6 [微题型3] 与球有关的面积、体积问题

【例1－3】 (1)如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为( )

A.8π B.16π

C.32π D.64π

(2)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为( )

A.26 B.36

C.23 D.22

解析 (1)由三视图可知，几何体为一横放的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为2，平面SAB⊥平面ABCD，易知SA＝SB＝22.如图所示.故可补全为以DA、SA、SB为棱的长方体，

故2R＝DA2＋SA2＋SB2＝32＝

42，

∴R＝22，∴S表＝4πR2＝32π.

(2)法一 (排除法)V＜13×S△ABC×2＝36，排除B、C、D，选A.

法二 (直接法)：在Rt△ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，所以SA＝4－1＝3.同理，SB＝3.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因为△SAC≌△SBC，所以BD⊥SC，AD＝BD，故SC⊥平面ABD，且△ABD为等腰三角形.因为∠ASC＝30°，故AD＝12SA＝32，则△ABD的面积为12×1×AD2－122＝24，则三棱锥S－ABC的体积为13×24×2＝26.

答案 (1)C (2)A

探究提高 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 【训练1】 (1)(2017·东营模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) 7

A.54 B.60

C.66 D.72

(2)(2016·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(

)

A.16 B.13

C.12 D.1

解析 (1)还原为如图所示的直观图，S表＝S△ABC＋S△DEF＋S矩形ACFD＋S梯形ABED＋S梯形CBEF＝12×3×4＋12×3×5＋5×3＋12×(2＋5)×4＋12×(2＋5)×5＝60.

(2)由三视图知，三棱锥如图所示：由侧视图得高h＝1，

又底面积S＝12×1×1＝12.

所以体积V＝13Sh＝16.

答案 (1)B (2)A

热点二 空间中的平行与垂直

[微题型1] 空间线面位置关系的判断

【例2－1】 已知平面α、β，直线m，n，给出下列命题：

①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；

②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；

③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；