人教版高中数学选修1-2第二章合情推理与演绎证明 同步教案

学生姓名 性别 年级 学科 数学

授课教师 上课时间 年 月 日 第（ ）次课

共（ ）次课 课时：2课时

教学课题 人教版 选修1-2第二章合情推理与演绎证明 同步教案

教学目标 1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理和演绎推理基本的分析问题法，认识归纳推理、类比推理、演绎推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法

2、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

教学重点与难点 1了解合情推理、演绎推理的含义，能利用归纳、类比进行简单的推理。

2.用归纳、类比、演绎进行推理，做出猜想。

教学过程

知识梳理

1．合情推理

(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

2．演绎推理

(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．

例题精讲

【题型一、归纳推理】

【例1】观察下列等式：

可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________(n∈N*，用含有n的代数式表示)．

方法总结： 所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论．

巩固训练

1、已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3＋17＜210，7.5＋12.5＜210，8＋2＋12－2＜210，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式________．

2、已知111()1()23fnnNn，经计算: 35(2),(4)2,(8),22fff (16)3,f7(32)2f，推测当2n时，有__________________________.

3、观察（1）tan10tan20tan20tan60tan60tan101oooooo

（2）tan5tan10tan10tan75tan75tan51oooooo。

【题型二、类比推理】

【例2】在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC＝12(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________”．

【方法技巧】(1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．

巩固训练

已知命题：“若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m＜n，m，n∈N*)，则am＋n＝b·n－a·mn－m”．现已知数列{bn}(bn＞0，n∈N*)为等比数列，且bm＝a，bn＝b(m＜n，m，n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm＋n＝_______

【题型三、演绎推理】

【例3】数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n∈N＋)．证明：

(1)数列Snn是等比数列；

(2)Sn＋1＝4an.

【方法技巧】演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．

巩固训练

1.、已知函数f(x)＝ 2x－12x＋1(x∈R)．

(1)判定函数f(x)的奇偶性；

(2)判定函数f(x)在R上的单调性，并证明．

课后作业

【基础巩固】

1、(人教A版教材习题改编)数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )．

A．28 B．32 C．33 D．27

2、某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )．

A．白色 B．黑色

C．白色可能性大 D．黑色可能性大

3、给出下列三个类比结论：

①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；

②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；

③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.

其中结论正确的个数是( )．

A．0 B．1 C．2 D．3

4、“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝13x是指数函数(小前提)，所以函数y＝13x是

增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )．

A．大前提错误导致结论错

B．小前提错误导致结论错

C．推理形式错误导致结论错

D．大前提和小前提错误导致结论错

5、设函数f(x)＝xx＋2(x>0)

观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，

f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，

f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，

f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.

【能力提升】

1、学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两

位学生,那么这组学生最多有( )

A.2人 B.3人 C.4人 D.5人

2、甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,

甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;

乙说:我没去过C城市;

丙说:我们三人去过同一城市.

由此可判断乙去过的城市为 .

3、(2014陕西,14,5分)观察分析下表中的数据:

多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)

三棱柱 5 6 9

五棱锥 6 6 10

立方体 6 8 12

猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是 .

4、对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn),记T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n),其中max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}表示Tk-1(P)和a1+a2+…+ak两个数中最大的数.

(1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;

(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P':(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小;

(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论)