第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结

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第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结

§1 二阶方程的分类

1． 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后2211212aaa的符号不变。

证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为

fcuububuauauayxyyxyxx212212112

经可逆变换

),(),(yxyx 0),(),(yxDD

化为 fucubuauaua22212112

其中

22212211222212111222212211112)(2yyxxyyxyyxxxyyxxaaaaaaaaaaaa

所以 yxyxyxyxxyyxaaaaaaa2211112222122221112222)(

22221112222222211),(),())(()(yxDDaaaaaxyyxyxyx

因0),(),(2yxDD，故与同号，即类型不变。

2． 判定下述方程的类型

（1）022yyxxuyux

（2）0)(2yyxxuyxu

（3）0yyxxxyuu （4）)010001(sgn0sgn2sgnxxxxxuuyuyyxyxx

(5) 0424zzyyxzxyxxuuuuu

解：(1)022yyxxuyux

因 022yx 当0,0yx时0,0x或0y时0。即在坐标轴上方程为抛物型，其余处为双曲型。

（2）0)(2yyxxuyxu

因 0)(2yx，在直线0yx上，0为抛物型，其余处0，为椭圆型。

（3）0yyxxxyuu

因xy在坐标轴上，0为抛物型；在一，三象限中，0，为椭圆型；在二，四象限中，0，为双曲型。

（4）0sgn2sgnyyxyxxxuuyu

因,sgnsgn1yx在坐标轴上0，为双曲型；在一，三象限内0，为抛物型；在二，四象限内0，为双曲型。

（5）0424zzyyxzxyxxuuuuu

因对应二次型为

2322312121424xxxxxxx

相应对称矩阵为

101042121

其特征方程为 60 0)446(10104212123

记 )446()(23f

经计算得：

28)6(1)5(,4)2(,3)1(,4)0(,7)1(ffffff

说明A的三个特征值分别在区间6,5,2,1,0,1中，故方程为双曲型的。

3． 化下列方程为标准形式

（1）0254yxyyxyxxuuuuu

（2）0222yyxyxxuyxyuux

（3）0yyxxyuu

（4）0)sin3(cos22yyyxyxxyuuxxuu

（5）0)1()1(22yxyyxxyuxuuyux

解：（1）0254yxyyxyxxuuuuu

因 0154，方程为椭圆型。

特征方程为

0542dxdydxdy

解之得 212,)2(,2cixxycxiyidxdy

因此引变换

xyx2

有 uuxu2 2222222222222442)2(2uuuuuuuxu

)1(uyu

222222)1()1(uuyu

uuuuyxu22222222)1()1(2

代入化简即得：

02222uuu

02)2(22yyyyxxuyxyuux

因 02222yxyx,方程为抛物型.

特征方程为 02)(222ydxdyxydxdyx

解之得 cxyxydxdy,

因此引变换

xxy

有 uxyuxu)(2

222232242222)(2)()(2uxyuxyuxyuxyuxu

xuyu1

uxxuxyuyxuxuyu2232222222211)(1

代入化简即得 )0(002xuux

(3) 0yyxxuu 61 因

000000yyyy

当y<0为双曲型.特征方程为0)(2ydxdy

解之得 cxyydxdy2,

因此引变换 yxyx22

有

uuxu

222222222uuuuxu

2121)())((yuyuyu

1221212222)())((2)(yuyuyuyu

2323)(21))(21(yuyu

代入化简得

0)()(21uuu

当y=0为抛物线型,已是标准形式.

当y>0为椭圆形.特征方程为0)(2ydxdy,

解之得 12,2,cyxicxiyiydxdy

因此引变换

yx2

有

uxu

2222uxu 21yuyu

)21(2312222yuyuyu

代入化简得

01uuu

(4) 0)sin3(cos22yyyxyxxyuuxxuu

因 04)sin3(cos22xx为双曲型.特征方程为

0)sin3(cos2)(22xdxdyxdxdy

解之得

2cosxdxdy

21212sin2sin2sin2sincxxycxxycxxycxxy

因此引变换

yxxyxxsin2sin2

有 )cos2()cos2(xuxuxu

uxuxuxuxuxxusinsin)cos2()cos4(2)cos2(2222222222

uuyu

22222222uuuyu

222222)cos2()cos2()cos2(uxuxuxyxu

代入化简得

0)(322uuu

(5) 0)1()1(22yxyyxxyuxuuyux

因 0)1)(1(22yx为椭圆形。特征方程为 62 011)(222xydxdy

即 2211xyidxdy

解之得 122)1ln()1ln(cxxiyy

因此引变换

)1ln()1ln(22yyxx

有 212)1(xuxu

uxxuxxu))1((1123222222

212)1(yuyu

uyyuyyu))1((1123222222

代入化简得

02222uu

4.证明两个自变量的二阶常系数双曲型方程或椭圆型方程一定可以经过自变量的变换及函数变换`veuu将它化成 fcvvv的形式.

证:已知可通过某个可逆变换将双曲型或椭圆型化为标准型

01fbububuauuu

其中a,b,c当原方程为常系数时为常数.

再令 ,(veuu)

有

)(vveveveuuuu

)(uvveuu

)2()2(22vuuvveuvvveuuu

代入方程得

0])()2()2([122fvdbuauvubvavveu 因 ue不等于零,且取2,2bua,消去ue得

0)2244()(12222uefvdbabavv

记 cbad4422,fefu)(1即得所求.

§2 二 阶 方 程 的 特 征 理 论

1、 求下列方程的特征方程和特征方向

242232222212)1(xuxuxuxu

232222212212)2(xuxuxutu

2222)3(yuxutu

解： 242232222212)1(xuxuxuxu

特征方程 24232221

又 124232221

所以 2124232221

引实参数,得特征方向为

sin21,cos21,sin21,cos21

232222212212)2(xuxuxutu