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二阶线性偏微分方程的分类与小结

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第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结

一 两个自变量的二阶线性方程

1 方程变换与特征方程

两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成

fcuububuauauayxyyxyxx212212112 ①

它关于未知函数u及其一、二阶偏导数都是线性的，其中fucbbaaa，，，，，，，21221211都是自变量yx,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D内都连续，而且221211aaa，，不全为0 。

设),(000yxM是D内给定的一点，考虑在0M的领域内对方程进行简化。取自变量变换

),(yx,),(yx

其中它们具有二连续偏导数，而且在0M处的雅可比行列式。

),(),(yxyxyx

=xyyx-

根据隐函数存在定理，在0M领域内存在逆变换,

),(xx,),(yy

因为

xxxuuu，yyyuuu

xxxxxxxxxxuuuuuu222

yyyyyyyyyyuuuuuu222 xyxyyxxyyxxxxyuuuuuu)(

将代入①使其变为

FCuuBuBuAuAuA212212112

经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,AAA不全为0。并可验证

222112122211212))((xyyxaaaAAA

这表明，在可逆变换下22211212AAA与2211212aaa保持相同的正负号。

定理 在0M的领域内，不为常数的函数),(yx是偏微分方程0222212211yyxxaaa之解的充分必要条件是：Cyx),(是常微分方程的

0)(2)(22212211dxadxdyadya

通解。

2 方程的类型及其标准形式

根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程：

11221121212aaaaadxdy，11221121212aaaaadzdy

(1) 若在0M的邻域内02211212aaa时，方程可以化为uu___2_1FuCuBuB，该式称为双曲线方程的标准形式，其中___2_1,,,FCBB是自变量、的已知函数。

(2) 若0M的邻域内02211212aaa时，可将方程简化成FCuuBuBuA2122，该式称为抛物型方程的标准形式，其中FCBBA,,,,2122是自变量、的已知函数。

(3) 若0M的邻域内02211212aaa时，可将方程简化成FCuuBuBuuA2111)(，该式称为椭圆型方程的标准形式，其中FCBBA,,,,2111是自变量、的已知函数。

总之，根据2211212aaa的正负号能将yyxyxxuauaua2212112

fcuububyx21简化成三种标准形式。

定义 若在区域D中),(000yxM点处满足02211212aaa(或是=0，或是<0)，则称方程yyxyxxuauaua2212112fcuububyx21在该点0M处是双曲线的(或是抛物型的，或是椭圆型的)。

二 n个自变量的二阶线性方程

1 方程的分类

n个自变量的二阶线性偏微分方程一般可以表示成

fcuubuuanixinjixxijiji11, ①

其中ija，ib，c，f都是自变量nxx,...,1的已知函数，假设它们在n维空间中某一区域内连续，而且不全为0。

在区域内某点),...,(0010nxxM处，由二阶导数项的系数可构成相应的二次型

),...,(1nq=njixxijjia1,=)(ijTa ②

其中Tn),...,(1，而)(ija是n阶对称矩阵。

定义2 如果在点0M的二次型②为非退化且是不定的，即它恰有n个非零特征值，而且特征值的符号不全相同，则称方程①在点0M是双曲线型。如果其中1n个非零特征值同号，只有一个非零特征值与它们异号，则称方程在点0M是狭义双曲线型的。如果其中不只一个非零特征值是异号的，则称方程在点0M是超双曲线型的。

定义3 如果在点0M的二次型②为非退化的，即它至少有一个零特征值，则称方程①在点0M是抛物型。如果只有一个零特征值，而另外1n个非零特征值同号，则称方程在点0M是狭义抛物型的。如果是其它有零特征值的情形，则称方程在点0M是广义抛物型的。

定义4 如果在点0M的二次型②为正定或负定的，即它恰有n个同号的非零特征值，则称方程在0M点是椭圆型的。

2 方程的简化

当方程①中二阶偏导数项的系数ija全是常数时，相应的二次型②是常系数实二次型。根据线性代数的理论，运用配方法或者正交变换法，总可找到一个可逆线性变换)(ijp，即

nikikp1 ni,...,1

其中)(ijp是可逆矩阵，将二次型),...,(1nq化成标准形),...,(1nQ，即

),...,(1nq=)(ijTa=))(()(ijijTijTpap=

=2211...nnu=),...,(1nQ

其中))(()(ijijTijpap=n . 1，而且i=1或-1或0。

可取转置矩阵Tijp)(构造自变量可逆线性变换xpTij)(，即

nkkkiixp1，ni,...,1 就能将在区域内方程①简化为

niiniiiiiB11+FCu。

三 小结

前面各章的各种定解问题具有的一个共同的特点――偏微分方程与定解条件关于未知函数及其导数都是线性的，称这些业解问题都是线性问题。线性问题普遍成立有叠加原理。叠加原理是前面各章介绍的各种方法的基础。

另一方面，二阶偏微分方程可以分成双曲线型、抛物型和椭圆型，由于它们描述了物理与工程技术中不同的自然现象，所以，它们不仅在二阶偏导数项系数的代数方面有差异，而且在定解条件与性态方程有本质区别。常系数齐次波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程分别是三类方程的典型代表。

为了使定解问题能反映实际现象的客观规律，而且符合数学上适定性的要求，对于不同类型的偏 微分方程，需要给予足够、恰当的定解条件。

另外，定解条件是否保证定解问题是适定的，还与解的含义有关。

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偏微分方程重点知识点总结

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一、偏微分方程的基本概念

1. 偏导数

偏微分方程是指含有多个自变量的函数的偏导数的方程。在一元函数中，我们只需要考虑函数关于一个自变量的变化率，而在多元函数中，我们需要考虑函数关于每一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念。

假设有一个函数f(x, y)，它对x的偏导数记作∂f/∂x，对y的偏导数记作∂f/∂y。分别表示函数f关于x和y的变化率。

2. 偏微分方程的定义

偏微分方程是一类包含多个自变量的偏导数的方程。它通常表示物理、化学或工程问题中的一些基本规律。偏微分方程通常可以用数学语言描述为

F(x, y, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2,…) = 0

其中u是未知函数，x和y是自变量，F是已知函数。

二、偏微分方程的分类

1. 齐次偏微分方程和非齐次偏微分方程

齐次偏微分方程是指方程中不含有常数项或只含有未知函数及其偏导数项的方程，非齐次偏微分方程是指方程中含有常数项或者其他函数的项的方程。

2. 线性偏微分方程和非线性偏微分方程

线性偏微分方程是指偏微分方程中未知函数及其各阶偏导数只含一次且不含未知函数的乘积的方程，非线性偏微分方程是指未知函数及其各阶偏导数含有未知函数的乘积的方程。

3. 定解问题

定解问题是指在偏微分方程中，给出一些附加条件，使得可以从整个解的集合中找到符合这些条件的特定解。定解问题通常包括边界条件和初始条件。

三、偏微分方程的解法

1. 分离变量法

分离变量法是对于一些特定形式的偏微分方程，可以通过假设解具有特定的形式来进行求解。例如，对于一些可以分离变量的方程，我们可以假设解为u(x, y) = X(x)Y(y)，然后将方程进行变形，从而可以将偏微分方程化简为两个常微分方程，然后对这两个常微分方程分别求解。

2. 特征线法

对于二阶线性偏微分方程，可以通过引入特征线的方法进行求解。特征线方法可以将二阶偏微分方程化为两个一阶偏微分方程，然后对这两个一阶偏微分方程进行分别求解。

偏微分方程的分类

偏微分方程的分类

偏微分方程的分类

偏微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。根据方程中未知函数的自变量的个数和方程中出现的最高阶导数的个数不同，可以将偏微分方程分为几类。

一、偏微分方程的分类

1. 一阶偏微分方程：当方程中出现的最高阶导数为一阶导数时，我们称之为一阶偏微分方程。一阶偏微分方程在物理学和工程学中有着广泛的应用，如热传导方程、波动方程等。

2. 二阶偏微分方程：当方程中出现的最高阶导数为二阶导数时，我们称之为二阶偏微分方程。二阶偏微分方程是偏微分方程中最为常见的一种，例如泊松方程、亥姆霍兹方程等。

3. 高阶偏微分方程：除了一阶和二阶偏微分方程之外，还存在高阶偏微分方程，即方程中出现的最高阶导数大于二阶导数的情况。高阶偏微分方程在某些特定的领域中有着重要的应用，如梁-爱因斯坦方程等。

4. 线性偏微分方程：线性偏微分方程是指方程中未知函数及其导数之间是线性关系的偏微分方程。线性偏微分方程的性质相对容易研究，通常可以通过变量分离、特征线法等方法求解。

5. 非线性偏微分方程：非线性偏微分方程是指方程中未知函数及其导数之间是非线性关系的偏微分方程。非线性偏微分方程的性质较为复杂，通常需要借助数值方法或者变换方法求解。

6. 椭圆型偏微分方程：椭圆型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数满足某些条件，使得方程在解析性质上类似于椭圆形的偏微分方程。椭圆型偏微分方程在静电场、稳态热传导等问题中有着重要应用。

7. 抛物型偏微分方程：抛物型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数在某些条件下，使得方程在解析性质上类似于抛物线的偏微分方程。抛物型偏微分方程在热传导、扩散等问题中有着广泛的应用。

8. 双曲型偏微分方程：双曲型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数在某些条件下，使得方程在解析性质上类似于双曲线的偏微分方程。双曲型偏微分方程在波动传播、振动等问题中有着重要的应用。

二、结语

(高等数学)偏微分方程

(高等数学)偏微分方程

第十四章 偏微分方程

物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科.

本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在二阶方程中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法,黎曼方法,势位方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法.

§1 偏微分方程的一般概念与定解问题

[偏微分方程及其阶数] 一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式不止一个，就称为偏微分方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数.

[方程的解与积分曲面] 设函数u在区域D内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u代入方程后，能使它在区域D内成为恒等式，就称u为方程在区域D中的解，或称正规解. ),,,(21nxxxuu 在n+1维空间),,,,(21nxxxu中是一曲面，称它为方程的积分曲面.

[齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程] 对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程.如

yxfuyxcyuyxbxuyxa,,,,

就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f(x,y).若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的.

[拟线性方程与半线性方程] 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程.如

0,,,,,,,,,,,,22222122211uyxcyuuyxbxuuyxayuuyxayxuuyxaxuuyxa

二阶偏微分

二阶偏微分

- 1 - 二阶偏微分

一阶偏微分方程是一类应用广泛的偏微分方程，它给出了解析函数和的全局解，求解一般比较容易。但是对于一些特殊形式的函数却无法计算其偏导数或者全微分。对此，我们在一阶偏微分的基础上引入一个叫做二阶偏微分的概念。

首先介绍一下二阶偏微分的定义：设，称为[(或[)的二阶偏微分。这里要说明的是二阶偏微分是偏微分的线性变换，而不是偏微分的概念本身。偏微分概念可以等价地表示为：其中。二阶偏微分是基于对齐次多项式函数的偏导数和全微分的深入研究而引入的，它可以求解任意一类多元函数的偏导数或者全微分，但是由于是深层次的研究，目前只有在应用研究方面被广泛使用。

2。二阶偏微分的几何意义当某一多元函数为齐次多项式函数时，可以构造一个函数，使得这个函数可以看作是以的中心，围绕的旋转曲面，因此称为的二阶偏微分。那么通过构造与这个曲面上的所有点成中心对称的曲面族，就可以确定的一组二阶偏微分。现在让我们以这个二阶偏微分为背景，来研究一下多元函数的全微分和全导数。 3。二阶偏微分在求解微分方程中的应用

3。先来看看二阶偏微分在求解微分方程中的应用。 4。上面已经给出了二阶偏微分在求解微分方程中的应用的几个例子。我们再来看一下二阶偏微分的另外两种应用。

我们再来看看下面这个例子。要想求解系统对初始状态的偏导数，首先求解系统的方程，然后确定系统的零输入和零状态响应。其次根 - 2 - 据已知条件求出系统对初始状态的偏导数。根据偏微分求导数的原理，利用便可得到对初始状态的偏导数。最后从已知条件求出系统对初始状态的偏导数。 5。对于一些特殊的非线性方程，由于普通方法难以处理，常采用二阶偏微分的方法来处理。二阶偏微分的引入大大简化了对非线性方程的处理。

5。最后来说一下二阶偏微分的几何意义。对于一些特殊的非线性方程，由于普通方法难以处理，常采用二阶偏微分的方法来处理。对于线性方程，用普通方法求出的各偏微分，必须依靠各偏微分的和才能得到整个偏微分方程。而二阶偏微分则提供了另外一种处理方法，通过求各偏微分，直接得到方程的解。 6。由此可见，二阶偏微分对于一些实际问题有很好的应用前景，尤其是一些复杂的实际问题。