第５１卷第２期 ２０１２年３月 石油物探 ＧＥＯＰＨＹＳＩＣＡＬ ＰＲ０ＳＰＥＣＴＩＮＧ Ｆ０Ｒ ＰＥＴＲ０ＬＥＵＭ Ｖｏ１．５１。Ｎｏ．２ Ｍａｒ．，２０１２
文章编号：１０００—１４４１（２０１２）０２—０１４６—０５
改进的曲率计算方法及其效果分析
李福强 一，贺振华 ，文晓涛 ，蒋文杰。，蒋首进 。，李如山
（１．成都理工大学地球物理学院，四川成都６１００５９；２．成都理工大学油气藏地质及开发工程国家
重点实验室，四川成都６１００５９；３．中国矿业大学安全工程学院，江苏徐州２２１１１６）
摘要：计算曲率的常用方法是使用３×３网格单元对局部曲面作最小二乘法逼近。这种网格逼近法在求取曲率
值的同时带来了大量噪声，使一些细微的构造被淹没而无法显示。为此，对３×３网格单元拟合曲面求取曲率属
性的算法进行了改进，采用５×５和７×７网格单元对局部曲面进行最小二乘法拟合，推导出详细的计算公式。
ＹＹ地区实际地震资料计算结果对比表明，利用改进方法计算曲率时噪声干扰大大减少，能有效区分出断层及
一些细微的构造特征，证明５×５网格、７×７网格拟合曲面求取曲率公式是正确的。
关键词：泰勒公式；曲率；网格；差分方法 ．
ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１０００—１４４１．２０１２．０２．００６
中图分类号：Ｐ６３１．４ 文献标识码：Ａ
曲率属性是一种数学属性，应用到地震勘探领
域能够很好地揭示地质构造［１｛］。褶皱越严重曲率
值越大，背斜表现为正曲率，向斜表现为负曲率，水
平层段的曲率为零。鉴于一维曲率属性对水平地
层、单斜和复杂的地质构造缺乏检测能力，Ｒｏ—
ｂｅｒｔｓ［９］利用３×３平面网格拟合曲面计算曲率属
性，给出了详细的计算公式，使得曲率属性成为地
震解释的一大亮点ｌ６］。Ｍａｒｆｕｒｔ等将Ｒｏｂｅｒｔｓ研究
的成果推广到沿层曲率属性的提取，派生出地震属
性解释的新方法，并很快得到了推广应用Ｅｉｏ－１２］。
第３６卷第５期 ２０１５年９月 吉首大学学报（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｓｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．３６ ＮＯ．５ Ｓｅｐｔ．２０１５
文章编号：１００７—２９８５（２０１５）０５—０００７—０６
测地曲率计算公式的推导方法
邢家省 ，白 璐 ，罗秀华
（１．北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室，
北京１００１９１；２．平顶山教育学院，河南平顶山４６７０００）
摘要：考虑曲面上曲线测地曲率计算公式的推导问题，运用向量的外积运算，给出了直接推导的计算公式；在曲面正
交曲线坐标网下，给出测地曲率计算公式的２种来源过程，并由此得出Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ公式的推导方法．
关键词：测地曲率；正交曲线；坐标网；Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ公式
中图分类号：Ｏ１８６．１ 文献标志码：Ａ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｃｎｋｉ．ｊｄｘｂ．２０１５．０５．００２
关于曲面上曲线测地曲率的计算公式，文献［１］中采用的是利用曲面论基本方程给出的推导过程，需
要准备的知识较多，证明过程相当繁杂；文献［２—６］中在曲面正交曲线坐标网下，给出测地曲率计算的Ｌｉ—
ｏｕｖｉｌｌｅ公式 卜 的直接证明．笔者运用向量的外积运算法则，就可以直接给出测地曲率的计算公式．在正交
曲线坐标网下，给出了推导测地曲率的简化公式的２种过程，并指出Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ公式的２种来源，利用直接
方法给出测地线方程的最终形式．
１ 曲面上曲线测地曲率的定义
设曲面 的参数方程为三：ｒ＝＝：ｒ（ ， ），（“， ）∈△．若ｒ（ ， ）具有二阶连续偏导数，且ｒ ×ｒ ≠０，
称则曲面 为Ｃ。类的正则曲面．现在任固定曲面三上一点Ｐ（“， ），并设Ｔ 为曲面三在Ｐ点的切平面．
曲线厂：ｒ＝：＝ｒ（ （ｓ）， （ｓ））是三上过Ｐ点的一曲线，其中Ｓ是曲线的自然参数．设，ｌ为曲面 在Ｐ点
曲率的概念及计算公式
概念
来源：为了平衡曲线的弯曲程度。
平均曲率，这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度。其中表示曲线段AB上切线变化的角度，为AB弧长。
计算公式的推导：
由于，所以要推导与ds的表示法，ds称为曲线弧长的微分。
因为，所以。
令，同时用代替得
所以或
具体表示；
1、时，
2、时，
3、时，（令）
再推导，因为，所以，两边对x求导，得，推出。 下面将与ds代入公式中：
，即为曲率的计算公式。
曲率半径：
一般称为曲线在某一点的曲率半径。
几何意义为在该点做曲线的法线（在凹的一侧），在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。
曲率的概念及计算公式
1 概念
来源 ： 为了平衡曲线的弯曲程 度。
平均曲率，这个定义描述了AB
曲线上的平均弯曲程度。其中表⽰曲线段AB上切线变化的⾓度，为AB弧长。
例：对于圆，
。所以：圆周的曲率为，是常数。
⽽直线上
，所以，即直线“不弯曲”。对于⼀个点，如A点，为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令，即定义，为了⽅便使⽤，⼀般令曲率为正数，即：。
2 计算公式的推导：
由于，所以要推导与ds的表⽰法，ds称为曲线弧长的微分（T5-28，P218）因为，所以。
令
，同时⽤代替得
所以或具体表⽰；1、时，2、时，3、时，（令）
再推导，因为
，所以，两边对x求导，得，推出
。
下⾯将与ds代⼊公式中：，即为曲率的计算公式。
3 曲率半径：
⼀般称为曲线在某⼀点的曲率半径。
⼏何意义（T5-29）如图为在该点做曲线的法线（在凹的⼀侧），在法线上取圆⼼，以ρ为半径
做圆，则此 圆称为该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及⼀阶、两阶稻树。
应⽤举例：求上任⼀点的曲率及曲率半径（T5-30）解：由于：
所以：
，
