大学物理(第四版)课后习题及答案 机械振动
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13 机械振动解答
13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m，周期T=1.0s，初相ϕ=3π/4。试写出它的运动方程，并做出x--t图、v--t图和a--t图。 13-1
分析 弹簧振子的振动是简谐运动。振幅A、初相ϕ、角频率ω是简谐运动方程x=Acos(ωt+ϕ)的三个特征量。求运动方程就
要设法确定这三个物理量。题中除A、ϕ已知外，
ω可通过关系式ω=
2π
确定。振子运动的速度T
和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。 解
因ω=
2π
，则运动方程 T
⎛2πt⎛
x=Acos(ωt+ϕ)=Acos t+ϕ⎛
⎛T⎛ 第 2 页 共 27 页 根据题中给出的数据得
x=(2.0⨯10-2m)cos[(2πs-1)t+0.75π]
振子的速度和加速度分别为
v=dx/dt=-(4π⨯10-2m⋅s-1)sin[(2πs-1)t+0.75π]
a=d2x/dt2=-(8π2⨯10-2m⋅s-1)cos[(2πs-1)t+0.75π
x-t、v-t及a-t图如图13-l所示
π⎛⎛
13-2 若简谐运动方程为x=(0.01m)cos⎛(20πs-1)t+⎛，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和
4⎛⎛
初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。
13-2
分析 可采用比较法求解。 将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x=Acos(ωt+ϕ)作比较，即可求得各特征量。 运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果。
解 （l）将x=(0.10m)cos[(20πs-1)t+0.25π]与x=Acos(ωt+ϕ)比较后可得：振幅A= 0.10 m，角频率ω=20πs-1，初相ϕ=0.25π，则周期 T=2π/ω=0.1s，频率ν=1/T=10Hz。 （2）t= 2s时的位移、速度、加速度分别为 第 3 页 共 27 页 x=(0.10m)cos(40π+0.25π)=7.07⨯10-2m v=dx/dt=-(2πm⋅s-1)sin(40π+0.25π)
a=d2x/dt2=-(40π2m⋅s-2)cos(40π+0.25π)
13-3 设地球是一个半径为R的均匀球体，密度ρ5.5×103kg•m。现假定沿直径凿一条隧道。
-3
若有一质量为m的质点在此隧道内做无摩擦运动。（1）证明此质点的运动是简谐振动；（2）计算其周期。
13-3
分析 证明方法与上题相似。 分析质点在隧道内运动时的受力特征即可。
证（l）取图13-3所示坐标。 当质量为m的质点位于x处时，它受地球的引力为
F=-G
mxm
x2
式中G为引力常量，mx是以x为半径的球体质量，即mx=4πρx3/3。令k=4πρGm/3，则质点受力
F=-4πρGmx/3=-kx
因此，质点作简谐运动。 （2）质点振动的周期为
T=2πm/k=π/Gρ=5.07⨯10s 第 4 页 共 27 页 3
13-4 如图所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2，物体在光滑斜面上振动。（1）证明其运动仍是简谐振动；（2）求系统的振动频率。
13-4
分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）。 为此，建立如图13-4（b）所示的坐标。 设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O，Ox轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力。 利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率ν。 证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2，则由物体受力平衡，有
mgsinθ=k1x1=k2x2
按图（b）所取坐标，物体沿x轴移动位移x时，两弹簧又分别被拉伸x1"和x2"，即x=x1"+x2"。 则物体受力为
F=mgsinθ-k2(x2+x2")=mgsinθ-k1(x1+x1")
将式（1）代人式（2）得 F=-k1x"1=-k2x2"
由式（3）得x1"=-F/k1、x2"=-F/k2，而x=x1"+x2"，则得到 第 5 页 共 27 页 F=-k1k2/(k1+k2)x=-kx
式中k=k1k2/(k1+k2)为常数，则物体作简谐运动，振动频率
ν=ϖ/2π=
12π
k/m=
12π
k1k2/(k1+k2)/m
讨论（1）由本题的求证可知，斜面倾角θ对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响。 事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动。 而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因。 （2）如果振动系统如图13-4（c）（弹簧并联）或如图13-4（d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为ν=
1
2π
k1+k2)/m
读者可以一试。 通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的 第 6 页 共 27 页 13-5 为了测得一物体得质量m，将其挂在一弹簧上让其自由振动，测得振动频率ν1=1.0Hz。而将另一质量m"=0.5kg的物体单独挂在该弹簧上时，测得振动频率ν2=2.0Hz。设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量。 13-5
分析 物体挂在弹簧上组成弹簧振子系统，其振动频率ν=频率ν的方法可求出未知物体的质量。
解 由分析可知，ν∝/m，则有ν1/ν2=m"/m。
根据题中绘出的数据可得物体的质
12π
k/m，即ν∝/m。采用比较
量为
m=m"(ν2/ν1)2=2.0kg
13-6 在如图所示的装置中，一劲度系数为k的弹簧，一端固定在墙上，另一端连接一质量为m1的物体A，置于光滑水平桌面上。现通过一质量为m、半径为R的定滑轮B（可视为匀质圆盘）用细绳连接另一质量为m2的物体C，设细绳不可伸长，且与滑轮间无相对滑动，求系统的振动角频率。
13-6
分析 这是一个由弹簧、物体A、C和滑轮B组成的简谐运动系统。 求解系统的振动频率可采用两种方法。 （1）从受力分析着手。 如图13-6（b）所示，设系统处于平衡状态第 7 页 共 27 页 时，与物体A相连的弹簧一端所在位置为坐标原点O，此时弹簧已伸长x0，且kx0=m2g。 当弹簧沿Ox轴正向从原点O伸长x时，分析物体A、C及滑轮B的受力情况，并分别列出它们的动力学方程，可解得系统作简谐运动的微分方程。 （2）从系统机械能守恒着手。 列出系统机械能守恒方程，然后求得系统作简谐运动的微分方程。
解1 在图13-6（b）的状态下，各物体受力如图13-6（c）所示。 其中F=-k(x+x0)i。 考虑到绳子不可伸长，对物体A、B、C分别列方程，有
d2x
FT1-k(x+x0)=m12
dtd2x
m2g-FT2=m22
dt
(1)(2)
(3) (4)
1d2x
(FT2-FT1)R=Jα=mR2
2dt
kx0=m2g 第 8 页 共 27 页 方程（3）中用到了FT1=FT1"、FT2=FT2"、J=mR2/2、及α=a/R。 联立式（l）-式（4）
可得
d2xk
+x=0 2dtm1+m2+m/2
则系统振动的角频率为
ϖ=k/(m1+m2+m/2)
解2 取整个振动装置和地球为研究系统，因没有外力和非保守内力作功，系统机械能守恒。 设物体平衡时为初始状态，物体向右偏移距离X（此时速度为对v、加速度为a）为末状态，则由机械能守恒定律，有
121111
kx0=-m2gx+m1v2+m2v2+Jϖ2+k(x+x0)2 22222
在列出上述方程时应注意势能（重力势能和弹性势能）零点的选取。 为运算方便，选初始状态下物体C所在位置为重力势能零点；弹簧原长时为弹性势能的零点。 将上述方程对时间求导得
0=-m2gv+m1v
dvdvdv
+m2v+Jϖ+k(x+x0)2 dtdtdt 第 9 页 共 27 页 将J=mR2/2、ϖR=v、dv/dt=d2x/dt2和m2g=kx0代人上式，可得
d2xk
+x=0 2dtm1+m2+m/2
式（6）与式（5）相同，表明两种解法结果一致。
17-7 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m,周期T=0.50s。当t=0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置向负方向运动；（3）物体在..x=1.0×10-2m处，向负方向运动；（4）物体在..x= -1.0×10-2m处，向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。
13-7
分析 在振幅A和周期T已知的条件下，确定初相中是求解简谐运动方程的关键。初相的确定通常有两种方法。（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t= 0时， x=
xo和v=v0来确定ϕ值。 （2）旋转矢量法：如图 13-7（a）所示，将质点P在Ox轴上振动的初始位置x0和速度v0的方向与旋转矢量图相对应来确定ϕ。 旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用。 解 由题给条件知 A=2.0⨯10-2m，ϖ=2π/T=4πs-1，而初相ϕ可采用分析中的两种不同方法来求。 第 10 页 共 27 页 解析法：根据简谐运动方程x=Acos(ωt+ϕ)，当 t＝0时有x0=Acosϕ，v0=-Aϖsinϕ。 当
cosϕ1=1，则ϕ1=0； （1）x0=A时，
（2）x0=A时， cosϕ2=0，则ϕ2=±，因v0 0，取ϕ2=；
22
（3）x0=1.0⨯10-2m时， cosϕ3=0.5，则ϕ3=±，因v0 0，取ϕ3=；
33 （4）x0=-1.0⨯10-2m时，cosϕ4=-0.5，则ϕ4=π±
ππ
ππ
π3
，因v0 0，取ϕ4=
4π
；3
旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转关量图，如图13-7（b）所示，它们所对应的初相分别为ϕ1=0，ϕ1=π/2，ϕ1=π/3，ϕ1=4π/3。
振幅A、角频率ω、初相ϕ均确定后，则各相应状态下的运动方程为 （1）x=(2.0⨯10-2m)cos(4πs-1)t （2）
