大学物理课后习题及答案机械振动

大学物理(第四版)课后习题及答案

机械振动(总16页)

--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--

--内页可以根据需求调整合适字体及大小-- 2 13 机械振动解答

13-1 有一弹簧振子，振幅A=×10-2m，周期T=，初相=3π/4。试写出它的运动方程，并做出x--t图、v--t图和a--t图。

13-1

分析 弹簧振子的振动是简谐运动。振幅A、初相、角频率是简谐运动方程tAxcos的三个特征量。求运动方程就要设法确定这三个物理量。题中除A、已知外，可通过关系式T2确定。振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。

解 因T2，则运动方程

tTtAtAx2coscos

根据题中给出的数据得

]75.0)2cos[()100.2(12tsmx

振子的速度和加速度分别为

]75.0)2sin[()104(/112tssmdtdxv

75.0)2cos[()108(/112222tssmdtxda

x-t、v-t及a-t图如图13-l所示

13-2 若简谐运动方程为4)20(cos)01.0(1tsmx，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。

13-2

分析 可采用比较法求解。 将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式tAxcos作比较，即可求得各特征量。 运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果。

解 （l）将]25.0)20cos[()10.0(1tsmx与tAxcos比较后可得：振幅A=

m，角频率120s，初相25.0，则周期 sT1.0/2，频率HzT10/1。

（2）t= 2s时的位移、速度、加速度分别为

mmx21007.7)25.040cos()10.0(

)25.040sin()2(/1smdtdxv )25.040cos()40(/2222smdtxda

13-3 设地球是一个半径为R的均匀球体，密度ρ×103kg•m-3。现假定沿直径凿一条隧道。若有一质量为m的质点在此隧道内做无摩擦运动。（1）证明此质点的运动是简谐振动；（2）计算其周期。

13-3

分析 证明方法与上题相似。 分析质点在隧道内运动时的受力特征即可。

证（l）取图13-3所示坐标。 当质量为m的质点位于x处时，它受地球的引力为

2xmmGFx

式中G为引力常量，mx是以x为半径的球体质量，即3/43xmx。令3/4Gmk，则质点受力

kxGmxF3/4

因此，质点作简谐运动。

（2）质点振动的周期为

sGkmT31007.5/3/2

13-4 如图所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2，物体在光滑斜面上振动。（1）证明其运动仍是简谐振动；（2）求系统的振动频率。

13-4 分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）。 为此，建立如图13-4（b）所示的坐标。

设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O，Ox轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力。 利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率。

证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2，则由物体受力平衡，有

2211sinxkxkmg

按图（b）所取坐标，物体沿x轴移动位移x时，两弹簧又分别被拉伸'1x和'2x，即''21xxx。 则物体受力为

)'(sin)'(sin111222xxkmgxxkmgF

将式（1）代人式（2）得

''2211xkxkF

由式（3）得2211/'/'kFxkFx、，而''21xxx，则得到

kxxkkkkF)/(2121

式中)/(2121kkkkk为常数，则物体作简谐运动，振动频率

mkkkkmk/)/(21/212/2121

讨论（1）由本题的求证可知，斜面倾角对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响。 事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动。 而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因。 （2）如果振动系统如图13-4（c）（弹簧并联）或如图13-4（d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为mkk/)(2121

读者可以一试。 通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的

13-5 为了测得一物体得质量m，将其挂在一弹簧上让其自由振动，测得振动频率Hz0.11。而将另一质量kgm5.0'的物体单独挂在该弹簧上时，测得振动频率Hz0.22。设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量。

13-5

分析 物体挂在弹簧上组成弹簧振子系统，其振动频率mk/21，即m/1。采用比较频率的方法可求出未知物体的质量。 5 解 由分析可知，m/1，则有mm/'/21。 根据题中绘出的数据可得物体的质量为

kgmm0.2)/('212

13-6 在如图所示的装置中，一劲度系数为k的弹簧，一端固定在墙上，另一端连接一质量为m1的物体A，置于光滑水平桌面上。现通过一质量为m、半径为R的定滑轮B（可视为匀质圆盘）用细绳连接另一质量为m2的物体C，设细绳不可伸长，且与滑轮间无相对滑动，求系统的振动角频率。

13-6

分析 这是一个由弹簧、物体A、C和滑轮B组成的简谐运动系统。 求解系统的振动频率可采用两种方法。 （1）从受力分析着手。 如图13-6（b）所示，设系统处于平衡状态时，与物体A相连的弹簧一端所在位置为坐标原点O，此时弹簧已伸长x0，且gmkx20。 当弹簧沿Ox轴正向从原点O伸长x时，分析物体A、C及滑轮B的受力情况，并分别列出它们的动力学方程，可解得系统作简谐运动的微分方程。 （2）从系统机械能守恒着手。 列出系统机械能守恒方程，然后求得系统作简谐运动的微分方程。

解1 在图13-6（b）的状态下，各物体受力如图13-6（c）所示。 其中ixxkF)(0。 考虑到绳子不可伸长，对物体A、B、C分别列方程，有

22101)(dtxdmxxkFT (1)

22222dtxdmFgmT (2)

221221)(dtxdmRJRFFTT (3)

gmkx20 (4) 方程（3）中用到了RamRJFFFFTTTT/2/''22211、及、、。 联立式（l）-式（4）可得

02/2122xmmmkdtxd

则系统振动的角频率为

)2//(21mmmk

解2 取整个振动装置和地球为研究系统，因没有外力和非保守内力作功，系统机械能守恒。 设物体平衡时为初始状态，物体向右偏移距离X（此时速度为对v、加速度为a）为末状态，则由机械能守恒定律，有

2022221220)(2121212121xxkJvmvmgxmkx

在列出上述方程时应注意势能（重力势能和弹性势能）零点的选取。 为运算方便，选初始状态下物体C所在位置为重力势能零点；弹簧原长时为弹性势能的零点。 将上述方程对时间求导得

20212)(0xxkdtdvJdtdvvmdtdvvmgvm

将02222//2/kxgmdtxddtdvvRmRJ和、、代人上式，可得

02/2122xmmmkdtxd

式（6）与式（5）相同，表明两种解法结果一致。

17-7 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A=×10-2m,周期T=。当t=0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置向负方向运动；（3）物体在..x=×10-2m处，向负方向运动；（4）物体在..x= ×10-2m处，向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。

13-7

分析 在振幅A和周期T已知的条件下，确定初相中是求解简谐运动方程的关键。初相的确定通常有两种方法。（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t= 0时， x= xo和0vv来确定值。 （2）旋转矢量法：如图 13-7（a）所示，将质点P在Ox轴上振动的初始位置x0和速度v0的方向与旋转矢量图相对应来确定。 旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用。 解 由题给条件知 mA2100.2，14/2sT，而初相可采用分析中的两种不同方法来求。

解析法：根据简谐运动方程tAxcos，当 t＝0时有cos0Ax，sin0Av。 当

（1）；，则时，01cos110Ax

（2）；，取，因，则时，2020cos20220vAx

（3）；，取，因，则时，3035.0cos100.1303320vmx

（4）；，取，因，则时，34035.0cos100.1404420vmx

旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转关量图，如图13-7（b）所示，它们所对应的初相分别为01，2/1，3/1，3/41。

振幅A、角频率、初相均确定后，则各相应状态下的运动方程为

（1）tsmx)4cos()100.2(12

（2）]2)4cos[()100.2(12tsmx

（3）]3)4cos[()100.2(12tsmx

(4）]34)4cos[()100.2(12tsmx

13-8 有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物体时，伸长量为×10-2m。若使物体上下振动，且规定向下为正方向。（1）t=0时，物体在平衡位置上方×10-2m处，由静止开始向下运动，求运动方程。（2）t=0时，物体在平衡位置并以s的速度向上运动，求运动方程。

13-8

分析 求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A、，和。 其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m及弹簧劲度系数k）决定的，即mk/，可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A和初相需要根据初始条件确定。