专转本高数知识点整理

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一、函数。

1. 函数的概念。

- 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的非空数集。如果对于每个数 x∈

D，变量 y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y =

f(x)，x∈ D。其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D称为函数的定义域。

- 函数的两要素：定义域和对应法则。

2. 函数的性质。

- 单调性：设函数 y = f(x) 在区间(a,b)内有定义，如果对于(a,b)内任意两点x_1和x_2，当x_1时，有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），则称函数y = f(x)在区间(a,b)内是单调增加（或单调减少）的。

- 奇偶性：设函数y = f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈ D，有f(-x)=f(x)，则称y = f(x)为偶函数；如果f(-x)= - f(x)，则称y = f(x)为奇函数。

- 周期性：设函数y = f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数T，使得对于任意x∈ D有(x± T)∈ D，且f(x + T)=f(x)恒成立，则称函数y = f(x)为周期函数，T称为函数的周期。

3. 反函数。

- 设函数y = f(x)的定义域为D，值域为W。如果对于W中的每一个y 值，在D中有且只有一个x 值使得y = f(x)，则在W上定义了一个函数，称为函数y = f(x)的反函数，记作x = f^-1(y)。习惯上，将y = f(x)的反函数记作y = f^-1(x)。

二、极限。

1. 极限的定义。 - 数列极限：设{a_n}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数varepsilon（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n > N时，不等式| a_n-a|都成立，那么就称常数a是数列{a_n}的极限，或者称数列{a_n}收敛于a，记作lim_n→∞a_n=a。

- 函数极限（x→ x_0）：设函数f(x)在点x_0的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数varepsilon（不论它多么小），总存在正数δ，使得当0 <| x - x_0|

- 函数极限（x→∞）：设函数f(x)当| x|大于某一正数时有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数varepsilon（不论它多么小），总存在正数X，使得当|

x|>X时，不等式| f(x)-A|都成立，那么就称常数A是函数f(x)当x→∞时的极限，记作lim_x→∞f(x)=A。

2. 极限的计算方法。

- 四则运算法则：设lim_x→ x_{0}f(x)=A，lim_x→ x_{0}g(x)=B，则。

- lim_x→ x_{0}(f(x)± g(x))=lim_x→ x_{0}f(x)±lim_x→ x_{0}g(x)=A± B

- lim_x→ x_{0}(f(x)· g(x))=lim_x→ x_{0}f(x)·lim_x→ x_{0}g(x)=A· B

- lim_x→ x_{0}(f(x))/(g(x))=frac{lim_x→ x_{0}f(x)}{lim_x→

x_{0}g(x)}=(A)/(B)(B≠0)

- 两个重要极限。

- lim_x→0(sin x)/(x) = 1

- lim_x→∞(1+(1)/(x))^x=e或lim_x→0(1 + x)^(1)/(x)=e

- 等价无穷小替换：当x→0时，sin xsim x，tan xsim x，1 - cos

xsim(1)/(2)x^2，e^x-1sim x，ln(1 + x)sim x等。 三、连续。

1. 连续的定义。

- 设函数y = f(x)在点x_0的某一邻域内有定义，如果lim_x→

x_{0}f(x)=f(x_0)，则称函数y = f(x)在点x_0处连续。

- 函数y = f(x)在区间(a,b)内连续，如果函数y = f(x)在(a,b)内每一点都连续；函数y = f(x)在[a,b]上连续，如果函数y = f(x)在(a,b)内连续，且在x = a处右连续（lim_x→ a^+f(x)=f(a)），在x = b处左连续（lim_x→ b^-f(x)=f(b)）。

2. 间断点及其分类。

- 设函数y = f(x)在点x_0的某去心邻域内有定义，如果函数f(x)在点x_0处不连续，则称x_0为函数f(x)的间断点。

- 第一类间断点：设x_0是函数y = f(x)的间断点，如果lim_x→ x_{0^-}f(x)和lim_x→ x_{0^+}f(x)都存在，则称x_0为第一类间断点。其中如果lim_x→ x_{0^-}f(x)=lim_x→ x_{0^+}f(x)，则x_0称为可去间断点；如果lim_x→ x_{0^-}f(x)≠lim_x→

x_{0^+}f(x)，则x_0称为跳跃间断点。

- 第二类间断点：设x_0是函数y = f(x)的间断点，如果lim_x→ x_{0^-}f(x)和lim_x→ x_{0^+}f(x)至少有一个不存在，则称x_0为第二类间断点。

四、导数。

1. 导数的定义。

- 设函数y = f(x)在点x_0的某邻域内有定义，当自变量x在x_0处取得增量Δ

x（Δ x≠0且x_0+Δ x仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量Δ y = f(x_0+Δ x)-f(x_0)，如果极限lim_Δ x→0(Δ y)/(Δ x)=lim_Δ x→0frac{f(x_0+Δ x)-f(x_0)}{Δ x}存在，则称函数y = f(x)在点x_0处可导，并称这个极限为函数y = f(x)在点x_0处的导数，记作f^′(x_0)或y^′|_x = x_{0}或(dy)/(dx)|_x = x_{0}。

2. 导数的几何意义。 - 函数y = f(x)在点x_0处的导数f^′(x_0)在几何上表示曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线斜率。

3. 求导公式与求导法则。

- 基本求导公式。

- (C)^′=0（C为常数）

- (x^n)^′=nx^n - 1（n∈ R）

- (sin x)^′=cos x

- (cos x)^′=-sin x

- (tan x)^′=sec^2x

- (cot x)^′=-csc^2x

- (sec x)^′=sec xtan x

- (csc x)^′=-csc xcot x

- (e^x)^′=e^x

- (a^x)^′=a^xln a（a>0,a≠1）

- (ln x)^′=(1)/(x)

- (log_ax)^′=(1)/(xln a)（a>0,a≠1）

- 求导法则。

- (u± v)^′=u^′± v^′

- (uv)^′=u^′v + uv^′

- ((u)/(v))^′=frac{u^′v - uv^′}{v^2}(v≠0) - 复合函数求导法则：设y = f(u)，u = g(x)，且f(u)和g(x)都可导，则复合函数y = f(g(x))的导数为y^′=f^′(u)g^′(x)。

五、微分。

1. 微分的定义。

- 设函数y = f(x)在某区间内有定义，x_0及x_0+Δ x在这区间内，如果函数的增量Δ y = f(x_0+Δ x)-f(x_0)可表示为Δ y = AΔ x+o(Δ x)（其中A是不依赖于Δ x的常数），那么称函数y = f(x)在点x_0是可微的，而AΔ x叫做函数y = f(x)在点x_0相应于自变量增量Δ x的微分，记作dy，即dy = AΔ x。

2. 微分与导数的关系。

- 函数y = f(x)在点x可微的充要条件是函数y = f(x)在点x可导，且dy =

f^′(x)dx。

3. 微分的计算。

- 根据dy = f^′(x)dx，先求出函数的导数f^′(x)，再乘以dx即可得到微分。

六、中值定理。

1. 罗尔定理。

- 设函数y = f(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)f(a)=f(b)。则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f^′(ξ)=0。

2. 拉格朗日中值定理。

- 设函数y = f(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导。则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f^′(ξ)(b - a)。

3. 柯西中值定理。 - 设函数f(x)和g(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导，且g^′(x)≠0。则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=frac{f^′(ξ)}{g^′(ξ)}。

七、导数的应用。

1. 函数的单调性。

- 设函数y = f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。如果在(a,b)内f^′(x)>0，则函数y = f(x)在[a,b]上单调递增；如果在(a,b)内f^′(x)<0，则函数y = f(x)在[a,b]上单调递减。

2. 函数的极值。

- 设函数y = f(x)在点x_0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任意x≠

x_0，有f(x)（或f(x)>f(x_0)），则称f(x_0)是函数y = f(x)的一个极大值（或极小值），点x_0称为函数y = f(x)的极大值点（或极小值点）。

- 函数取得极值的必要条件：设函数y = f(x)在点x_0处可导，且在x_0处取得极值，则f^′(x_0)=0。

- 函数取得极值的第一充分条件：设函数y = f(x)在点x_0的某邻域内可导且f^′(x_0) = 0。

- 当x时，f^′(x)>0，当。