平面向量(附例题,习题及答案)

向量的线性运算

一．教学目标

1.理解向量的概念；

2.掌握向量的线性运算；

3。理解向量线性运算的几何意义、向量共线的含义、平行向量基本定理；

4。理解平面向量基本定理,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示、平面向量的坐标运算；

5。理解用坐标表示平面向量的共线条件。

二．知识清单

1。向量基本概念

（1）向量的定义：既有 又有 称为向量；

（2）向量的大小(或称模）：有向线段的 表示向量的大小；

（3）零向量与单位向量： 叫做零向量， 叫做单位向量;

（4)共线向量与相等向量： 叫做共线向量（或平行向量），

叫做相等向量。

2。向量的线性运算

（1）向量的加法

a。向量加法的三角形法则、平行四边形法则和多边形法则.

b.向量加法满足的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

(2）向量的减法

a。定义:a—b=a+（—b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.

一个向量等于终点位置向量减始点位置向量，即AB=OB-OA.

b。三角形法则：“共始点,连终点，指向被减"。

（3）数乘向量

a.定义：一般地，实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa。

b.数乘向量满足的运算律：

（λ+μ）a=

λ（μa）=

λ（a+b)=

3。向量共线的条件与轴上向量坐标运算

(1）向量共线的条件

平行向量基本定理:如果 ，则 ；反之，如果 ，且 ,则一定存在 ，使 。

（2）轴上向量的坐标运算

4. 向量的分解与向量的坐标运算

（1）平面向量基本定理

如果 是一平面内的 的向量,那么该平面内的任一向量a，存在

，使 。

（2）平面向量的正交分解

定义: 把一个向量分解为 ，叫做把向量正交分解。 （3）向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_______作为基底。对于平面内的任一个向量， 由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y使得____________,这样，平面内的任一向量a都可由 __________唯一确定,我们把有序数对________叫做向量的坐标,记作___________此式叫做向量的坐标表 示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.

（4）向量的坐标运算

向量坐标的加减与数乘

若a=（a1，a2)，b=（b1，b2），则a+b=(a1+b1,a2+b2）,a-b=（a1-b1，a2—b2）,λa=(λa1，λa2).

（5)用平面向量坐标表示向量共线条件

两个向量a, b平行的条件：

a=λb，b≠0。

若a=（a1，a2），b=(b1,b2），代入上式，得(a1，a2)=λ(b1，b2）=(λb1，λb2)，

即 a1=λb1，a2=λb2,，整理得 a1b2—a2b1=0 ①

①式就是两个向量平行的条件。

若向量b不平行于坐标轴，即b1≠0,b2≠0，①式可化为a1:b1=a2：b2，即两个向量平行的条件是，相应坐标成 比例。

三．典型例题

例1。给出下列命题:①若｜a|=｜b|，则a=b； ②若A、B、C、D是不共线的四点，则DCAB是四边形为平行四边形的充要条件； ③若a=b，b=c，则a=c； ④a=b的充要条件是|a｜=｜b|且a∥b； ⑤若a∥b，b∥c,则a∥c。 其中，正确命题的序号是____________

例2．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设＝a，＝b，求BE．

例3。 已知向量a=2e1－3e2,b=2e1+3e2，c=2e1－9e2，其中e1、e2不共线，求实数λ、μ，使c=λa+μb.

例4。 设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同,t∈R，t为何值时,a，tb，（a＋b）三向量的终点在一条直线上？

例5.已知点A（2，3),B（－1，5），且AC＝31AB，求点C的坐标．

例6。 已知向量a＝(cos错误!，sin错误!)，b＝(cos错误!,sin错误!)，｜a－b|＝错误!,求cos(α－β）的值．

例7. 已知向量a＝(1， 2）,b＝(x, 1）,e1＝a＋2b，e2＝2a－b，且e1∥e2，求x．

例8. 在平行四边形ABCD中,A（1，1)，AB＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．

(1） 若AD＝（3，5)，求点C的坐标；

(2) 当｜AB|＝｜AD|时，求点P的轨迹．

四．巩固练习

1．BACDDBAC等于________．

2．若向量a＝（3，2），b＝（0，－1）,则向量2b－a的坐标是________．

3．已知A（－1，2），B(2,4），C（4，－3），D(x ，1），若AB与CD共线，则｜BD｜的值等于________．

4。已知向量等于则MNONOM21),1,5(),2,3(（ ）

A．)1,8( B．)1,8( C．)21,4( D．)21,4(

5．已知向量a＝（3，-1），b＝（-1，2），则—3a—2b的坐标是（ )

A．（7,1） B．(-7，-1） C．（—7,1） D．(7，—1）

6．已知a＝（-1,3）,b＝(x,—1）,且a∥b，则x等于（ ）

A．3 B．-3 C．错误! D．— 错误!

7．在平行四边形ABCD中，若ADABADAB，则必有( )

A．0AD B．0AB或0AD C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形

8．将xy2sin按向量a=（— 错误!,1)平移后的函数解析式是（ ） A M B C D

P A．1)32sin(xy B．1)32sin(xy

C．1)62sin(xy D．1)62sin(xy

9．已知），（），，（0823ABA，求线段AB的中点C的坐标。

10．设平面三点A（1，0)，B（0,1）,C（2，5)试求向量2AB＋AC的模。

五．作业反馈

1．将点A(2，4）按向量a＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A′的坐标是______．

2．已知BCCDyxBCAB且),3,2(),,(),1,6(∥DA,则x+2y的值为_____。

3．点（-3，4）关于点B(-6，5)的对称点是（ ）

A．（—3，5） B．（0,4.5） C．（-9，6) D．（3，-0.5）

4．已知点C在线段AB的延长线上，且则,,2CABCABBC等于（ )

A．3 B．错误! C．3 D．- 错误!

5．设两个非零向量a，b不共线,且ka+b与a+kb共线，则k的值为（ )

A．1 B．—1 C．1 D．0

6．已知向量a=（cos,sin）（R），b=(3,3)

（1）当为何值时，向量a、b不能作为平面向量的一组基底;

(2）求|a－b｜的取值范围。

答案 例1：②③；例2：解：BE＝AE－AB＝错误!(AB＋AC）－AB＝－错误!a＋错误!b

例3：解：c＝λa＋μb21e－92e＝（2λ＋2μ）1e＋(－3λ＋3μ)2e2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9λ ＝2，且μ＝－1

例4:解:设])(31[baabta （∈R）化简整理得：0)31()132(bta

∵不共线与ba，∴2123030132tt

故21t时，)(31,,babta三向量的向量的终点在一直线上．

例5：解AC＝31AB＝（－1，32），OC＝ACOA＝(1, 311)，即C（1, 311）

例6:解：|a－b｜＝55222552)cos(2cos22552＝55222552)cos(cos2＝53cos（α－β)＝257

例7：解:1e＝(1＋2x，4)，2e＝(2－x,3），1e∥2e3（1＋2x）＝4（2－x）x＝错误!

例8：解：（1）设点C的坐标为(x0，y0），

)5,1()5,9()0,6()5,3(00yxDBADAC

得x0＝10 y0＝6 即点C(10，6）

(2)

∵ADAB ∴点D的轨迹为(x－1)2＋(y－1)2＝36 (y≠1）

∵M为AB的中点 ∴P分BD的比为21

设P（x,y)，由B（7，1) 则D(3x－14，3y－2)

∴点P的轨迹方程为)1(4)1()5(22yyx

巩固练习：

1.

0；2。 (—3,4）；3. 错误!；4。 D；5。B；6。C;7。C；8。A；

9。 解：设).0,8()2,3(),(),,(yxAByxB

250283yxyx )2,1(2,1),2,5(CyxBCC

10。 解：∵ AB＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC＝（2－1，5－0)＝（1，5）．

∴ 2AB＋AC＝2(－1，1）＋(1，5）＝（－1，7）．

∴ |2AB＋AC|＝227)1(＝50．

作业反馈：