2018版高中数学人教B版必修二学案：第一单元 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球

1．1.3　圆柱、圆锥、圆台和球学习目标　1.认识组成我们生活世界的各种各样的旋转体.2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．

知识点一　圆柱、圆锥、圆台

思考1　圆柱、圆锥、圆台是怎样形成的？

　梳理　圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征(1)定义

Error!分别看作以所在的直线为旋转轴，将分别旋转一周而形成的曲面所围成{}{矩形直角三角形直角梯形}

的几何体→这类几何体叫旋转体．(2)相关概念

①高：在________的这条边(或它的长度)．

②底面：________的边旋转而成的圆面．

③侧面：________________旋转而成的曲面．

④母线：绕轴旋转的边．(3)图形表示

知识点二　球

思考　球可以看作半圆绕它的直径旋转一周而形成的吗？

　梳理　(1)定义：一个球面可以看作________绕着______________所在的直线旋转一周所形成

的曲面，________围成的几何体叫做球．(2)相关概念

①球心：形成球的半圆的________；球的半径：连接球心和球面上一点的________．

②球的直径：连接球面上两点并且通过________的线段．

③球的大圆：________________的平面截得的圆．

④球的小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆．

⑤两点的球面距离：在球面上，两点之间的最短距离，就是_______________________的长

度，把这个________叫做两点的球面距离．(3)圆形表示

特别提醒：球与球面是完全不同的两个概念，球指球面所围成的空间，而球面只指球的表面

部分．

知识点三　旋转体1．定义：由一个________________绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体．

2．轴：这条直线叫做旋转体的轴．

知识点四　组合体

思考　组合体是由简单几何体堆砌(或叠加)而成的吗？　

　梳理　由________、________、________、________等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体．

类型一　旋转体的结构特征

例1　下列命题正确的是________．(填序号)

①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；

⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；

⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．

反思与感悟　(1)判断简单旋转体结构特征的方法

①明确由哪个平面图形旋转而成．

②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．

跟踪训练1　下列命题：

①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；

②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；

③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；

④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．

其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3

类型二　简单组合体的结构特征

例2　如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰．分别以AB，CD，AD为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．

　反思与感悟　(1)平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象

所得旋转体的结构和组成．(2)必要时作模型培养动手能力．

跟踪训练2　如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？

　类型三　旋转体中的有关计算命题角度1　有关圆柱、圆锥、圆台的计算例3　一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；

(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．

　反思与感悟　用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全

等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相

似比，构设相关几何变量的方程组而得解．跟踪训练3　如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱3

的底面半径．

命题角度2　球的截面的有关计算例4　在球内有相距9 cm的两个平行截面面积分别为49π cm2和400π cm2，求此球的表面

积．

引申探究

若将把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截

面间的距离是________．　

　反思与感悟　设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆

心的轴截面．

跟踪训练4　设地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长等于

πR.求A、B两地间的球面距离．24

1．下列说法正确的是( )

A．圆锥的母线长等于底面圆直径

B．圆柱的母线与轴垂直

C．圆台的母线与轴平行

D．球的直径必过球心

2．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图1中的几何体的是( )图1

3．下面几何体的截面一定是圆面的是( )

A．圆台 B．球

C．圆柱 D．棱柱

4．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去

的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长为________ cm.5．湖面上浮着一个球，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24 cm，深为8 cm的

空穴，则球的半径为________ cm.

1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．

2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．

3．处理组合体问题常采用分割思想．

4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面

化的思想．答案精析

问题导学

知识点一

思考1　圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一边，直角三角形的一直角边、直角梯形

中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，分别旋转一周而形成的几何体．

梳理　(1)矩形的一边　直角三角形一直角边　直角梯形中垂直于底边的腰

(2)①轴上　②垂直于轴　③不垂直于轴的边知识点二

思考　不可以，这样形成的是球面，球面围成的几何体才是球．

梳理　(1)半圆　它的直径　球面

(2)①圆心　线段　②球心③球面被经过球心

⑤经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧　弧长

知识点三1．平面圆形

知识点四

思考　不是，组合体的组合方式有多种，可以堆砌，可以挖空等．

梳理　柱　锥　台　球

题型探究

例1　④⑤⑥

解析　①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形

垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④⑤⑥正确．

跟踪训练1　C

例2　解　(1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示．(2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆

锥．如图(2)所示．(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图(3)所示．

跟踪训练2　解　图(1)、图(2)旋转后的图形如图所示分别是图①、图②.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆

台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．

例3　解　(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．

由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.

又由题意知，腰长为12 cm，

所以高AM＝122－5－22

＝3(cm)．15

(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，

设截得此圆台的圆锥的母线长为l，

则由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20 cm.l－12l25

即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.

跟踪训练3　解　设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则由三角形相似，

得＝，R－rR342－22

即1－＝，解得r＝1.r212

即圆柱的底面半径为1.

例4　解　方法一　(1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O的大圆截面，C，C1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm，截面圆的半径分别为r cm，r1 cm.由πr＝49π，得r1＝7(r1＝－7舍去)，21

由πr2＝400π，得r＝20(r＝－20舍去)．

在Rt△OB1C1中，OC1＝＝，R2－r21R2－49

在Rt△OBC中，OC＝＝.R2－r2R2－400

由题意可知OC1－OC＝9，即－＝9，R2－49R2－400

解此方程，取正值得R＝25.(2)若球心在两截面之间，如图(2)所示，OC1＝，OC＝.R2－49R2－400

由题意可知OC1＋OC＝9，即＋＝9.R2－49R2－400

整理，得＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．R2－400

综上所述，此球的半径为25 cm.

∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．方法二　(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC＝R2－49，OC2＝R2－400，21

两式相减，得OC－OC2＝400－4921

⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，

∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，

∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，

∴R＝25 cm.(以下略)引申探究　1或7

解析　画出球的截面图，如图所示．

两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：

①两个平行截面在球心的两侧，

②两个平行截面在球心的同侧．

对于①，m＝＝4，n＝＝3，52－3252－42

两平行截面间的距离是m＋n＝7；