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第13讲 植树问题

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第13讲 植树问题

【探究必备】

我们一般把以植树为内容，研究植树的棵数、树与树之间的距离

（棵距）和需要植树的总长度（总长）等数量间关系的问题，称为植树

问题。植树问题的基本数量关系是：棵距×间隔数=总距离。

植树问题一般有两种情况：

1. 在直线上植树，有三种情况：

（1）在一端距离中，两端都植树，数量关系式：棵数=间隔

数+1（开始一棵）

（2）在一端距离中，两端都不植树，数量关系式：棵数=间隔

数-1（末尾一棵）

（3）在一端距离中，一端不植一端植，数量关系式：棵数=间隔数

2. 在封闭曲线上植树，数量关系式：棵数=间隔数（相当于一端植

一端不植）

3. 有时也有在楼间植树，数量关系式：距离÷间隔-1=棵数（相当

于两端都不植），对在一段距离中双边都植树时，可先算出一边，然后

再乘以2。

【王牌例题】

例1、在一条公路的一侧从头到尾每隔25米栽一棵树苗，共栽了41棵。

这条公路长多少米？

分析与解答：根据数量关系“公路长=棵数×间隔数” ，要求这条公路的

长度，首先要求出间隔数，由于是从头到尾的植树，共植了41棵，因此

间隔数是41-1=40（个），所以这条公路长是25×40=100（米）。

例2、抗洪抢险英雄来我校做宣讲报告，学校组织鼓号队员在50米长的

道路两旁列队欢迎，每隔2米站一位队员，需要多少个队员？

分析与解答：解决这道题的关键是先求出间隔数，即50÷2=25（个），

因为是鼓号队，所以两端都站，则人数为25+1=26（人），由于是道路

两旁列队欢迎，所以总人数是26×2=52（人）。例3、有一正方形的草坪，草坪的每边栽了10棵松树（每个顶点上都栽

一棵），共栽了多少棵树？若每两棵松树间隔5米，沿着这个正方形的

草坪走一圈要走多少米？

分析与解答：由于草坪是正方形的，每边都栽10棵树，所以栽了

10×4=40（棵），由于4个顶点上都栽一棵，而这4棵被计算了2次，因

此应从总数中减去一次，故共栽了40-4=36（棵）；沿着这个正方形的

草坪走一圈要走多少米，这是求这个正方形的周长，应该先算出正方形

每边的长度，因为每边的两端都栽有数，所以间隔数为10-1=9（个），

又因为每两棵松树间隔5米，所以它的边长为5×9=45（米），那么正方

形的周长是45×4=180（米），即沿着这个正方形的草坪走一圈要走180

米。

例4、一根木料，锯成5段用了20分钟。另有同样的一根木料，如果以同

样的速度锯，40分钟可锯成几段？

分析与解答：这道题看似与植树问题无关，但仔细想，锯的木料段数就

相当于植树问题中的间隔数，锯的次数就相当于植树问题中的棵数，所

以可以用植树问题来解答。要求40分钟可锯即段，先应求出锯一次要几

分钟，由于锯成5段，只锯了5-1=4（次），所以每锯一次需要

20÷4=5（分钟），那么40分钟可以锯40÷5=8（次），因此要锯

8+1=9（段）。

例5、有一幢楼房高16层，相邻两层间都有18级台阶。某人从3层走到9

层，一共要登多少级台阶？

分析与解答：这道题看似也与植树问题无关，但仔细思考，每一层就相

当于栽的树，两层之间的距离相当于间隔数，所以像这样的楼梯问题也

可以用植树问题来解答。要求一共要登多少级台阶，先应计算出有多少

个间隔，即从3层走到9层，共有9-3=6（个），也就是说间隔数是6，由

于相邻两层间都有18级台阶，所以某人从3层走到9层一共要登

18×6=108（级）台阶。

【同步练习】1. 两栋楼房之间有条20米的小路，现要在小路的一旁每隔2米栽一棵

树，需要多少棵树苗？ 2. 在一条长600米的公路一旁等距离地埋设电线杆（开头不埋设），共

埋设了25根，每两根电线杆之间距离是多少米？ 3. 在长300米的道路两侧等距离从头到尾共插了62面彩旗，每两面彩旗

之间的距离是多少米？ 4. 一条公路等距离栽上了树，每两棵树相隔20米。爸爸早晨跑步，从第

1棵跑到第25棵树用了4分钟，爸爸平均每分钟跑了多少米？ 5. 某个学校有一个圆形花坛，绕它走一圈是150米。如果在花坛周围每

隔5米摆1盆四季青，再在每相邻的2盆四季青之间等距离地摆放4盆玫瑰

花，可摆四季青多少盆？玫瑰花多少盆？ 6. 一块三角形草坪，三条边分别是80米、100米、120米，在它的边上等

距离栽上桃树（顶点上都栽一棵），在每两棵桃树间等距离栽上4棵小

松树，共栽了15棵桃树。每两棵桃树间的距离是多少米？每两棵小松树

间的距离是多少米？ 7. 工地的钢筋工师傅切割一根长31米的铁丝。他先切割下1米长的一段，把剩下的切割成等长的小段，又切割了5次，求每小段铁丝长多少

米？ 8. 一种挂钟5点钟敲5下，8秒敲完。那么12点钟敲12下，几秒敲完？ 9. 一座楼房每上一层要走16级台阶，到小英家要走64级台阶，小英家住

在几层？ 10. 某人到11层大楼的第7层办事，不巧停电，电梯停开。若从1层走到3

层需要34秒，请问以同样的速度往上走到7层，还需要多少时间？ 【综合练习】

一、填空题。

1. 南门小学校园中间有一条长120米的道路，计划在道路一旁等距离摆

上大花盆。

（1）如果两端都摆，那么共需要 盆。

（2）如果两端都不摆，那么共需要 盆。

（3）如果只摆一端，那么共需要 盆。

（4）如果在路的两旁的两端都摆上，那么共需要 盆。

2. 某主题公园里有一个圆形池塘，它的周长是260米。在它四周每隔10

米栽种一棵柳树，在每两棵柳树之间安装两个座椅，一共栽了 棵柳

树，安了 个座椅。

3. 有一个正方形操场，每边都等距离地栽了11棵树，四个角各种1棵，

共种树 棵；若每两棵树之间的距离是10米，操场的周长是 米。

4. 一根粗细均匀的木料，锯下1段用2分钟。若以同样的速度：（1）锯

成8段要 分钟，（2）锯了18分钟，锯成了 段。

5. 时钟3点钟敲3下，3秒钟敲完。11点钟敲11下， 秒敲完。

6. 育才小学六（4）班有60人参加广播操比赛，他们每5人为一行，前后

每行间隔1米，队伍长 米。

二、解答题。

1. 在一条马路一侧从头到尾共植树140棵，每两棵树之间相隔5米，这条

马路长多少米？ 2. 学校开家长会时，在110米长的校园道路的一侧等距离插了11面彩旗

（一端不插），每相邻两面彩旗之间的距离是多少米？ 3. 在一条长1200米的公路两侧等距离栽树，路的每侧一端栽一端不栽，

一共栽了60棵树。每两棵树相距多少米？ 4. 一个圆形池塘周围长500米，在池塘的周围每隔10米栽一棵柳树，每

两棵柳树中间又栽2棵桃树。池塘周围一共栽了多少棵柳树？栽了多少

棵桃树？ 5. 一个房间长8米、宽6米，在房间顶部的四周每隔2米装一盏彩灯（四

角都装），共装了几盏彩灯？ 6. 一根粗细均匀的木料，锯成3段要6分钟。若以同样的速度锯了18分

钟，锯成了几段？ 7. 王叔叔到一栋办公楼的某楼层办事。这栋楼每层的台阶数都相等，王

叔叔从1层到3层共走了36级台阶，他到该楼层时共走了90级台阶。问王

叔叔到几层办事？ 8. 一个挂钟7点钟敲7下，12秒敲完。那么10点钟敲10下，几秒敲完？ 9. 某市区一道路的一侧每相隔12米有一个广告牌，明明骑自行车3分钟

内看到道路的一边有广告牌51个，明明平均每分钟骑多少米？ 10. 一条路的一侧原栽有小松树49棵（两端都栽），每两棵松树相隔15

米，道路扩宽后，现在要全部换栽成大的风景树，如果每两棵风景树之

间相隔20米，需要准备多少棵风景树？ 【搏击奥数】

1. 医院王护士对一位病人的体温每隔5小时做一次记录。做第12次记录

时，挂钟的时针恰好指向9，蚊做第1次记录时，时针指向几？ 2. 南门小学六年级420名学生去祭扫烈士墓，每4人排成一排，前后两排

学生相隔1米，队伍每分钟走82米。要全部通过一座60米的大桥需要多

少分钟？ 3. 小明和爸爸进行爬楼比赛，小明跑到3层时，爸爸恰好跑到5层。照这

样计算，爸爸爬到11层楼时，小明跑到几层楼？

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第13讲：容斥问题

第13讲：容斥问题

第13讲： 容斥问题

例1、六1班的所有男生至少喜环一种球类运动，有19人喜欢打篮球，有12人喜欢踢足球，有14人喜欢打排球，并且有8人既喜欢踢足球又喜欢打，有7人既喜欢打排球又喜欢打篮球，有5人既喜欢踢足球又喜欢打排球，有2人三种球都喜欢。那么六1班一共有多少男生？

例2、有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?

例3、在1到100的自然数中，既不是3的倍数也不是4与5的倍数的数有多少个？

例4、少年宫有100名学生，每人至少爱好体育、文艺和科学中的一项，其中，爱好体育的有58人，爱好文艺的有60人，爱好科学的有54人，三项都爱好的有20人，只爱好体育和科学的有15人，只爱好体育和文艺的有8人，有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好科学的有多少人？

例5、甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?

例6、如同所示，有三个面积各为24平方厘米的圆纸片放在桌面上，三个纸片共同重叠的面积是6平方厘米，三个纸片盖住的总面积是48平方厘米，图中阴影部分的面积之和是多少平方厘米？

练习

1、六一儿童节那天，全班同学去公园，每人至少玩一项，有30人划了船，20人爬了山，18人游览了长廊，其中，15人既划了船又爬了山，12人既划了船又游览了长廊，8人既爬了山又游览了长廊，5人三项都玩过，全班有多少个同学？

2、某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有多少人?

3、在1到200的自然数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的数有多少个？

4、某大学外语系有多位老师，其中，教英语的有48人，教日语的有43人，教法语的有40人，有15人既教英语又教日语，有10人既教英语又教法语，有8人既教日语又教法语，有6人这三种外语都能教，这所大学外语系共有多少位教师？

三年级奥数(教案)第13讲：植树问题(一)

三年级奥数(教案)第13讲：植树问题(一)

1 / 10 （ 三年级 ） 备课教员：×××

第十三讲 植树问题（一）

一、教学目标： 1. 三年级奥数（教案）第13讲：植树问题（一）

之间的几种关系,经历将数学问题抽象成数学模型的过

程。

2. 会应用植树问题的模型解决一些相关的实际问题,培养学

生的应用意识和解决问题的实践能力。

3. 感悟构建数学模型是解决实际问题的重要方法之一,在解

决实际问题中感受数学的价值。

二、教学重点： 理解和掌握在线段上的植树问题的几种情况。

三、教学难点： 理解并正确选择运用在线段上的植树问题的几种情况。

四、教学准备： PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

（谈话引入,渗透解题方法。）

师板书：一刀两断

师：这个成语需要替换一个字,就能够成为数学语言。 (把“断”换成“段”),

你理解这个词的意思吗?谁能用画的方式表示“一刀两段”？

(指名生板演画)

师：刚才我们用画的方式体会了“一刀两段”的意思,(板书：画)那两刀几段?

生：3段。

师：那么三刀几段?四刀几段?

生：三刀4段,四刀5段。

师：你怎么回答的这么快呢？

生：我找到了规律。 (板书：找)

师：什么规律呢？

生：段数都比刀数多1。

师：既然你找到了规律,那么如果是50刀能剪几段?如果要得到1000段,需要

几刀?

生：50刀能切51段。要得到1000段,需要999刀。

师：老师看到你没有画图,你怎么这么快就知道了答案?

生：根据规律推理出来的。(板书：推)

师：一个简单的草图,经过我们“画-找-推”,就得到了一个规律,并且让我

们解决了更复杂的问题,这就是以小见大。才上课几分钟我们就学到了一

种常用的解题方法,那么当我们碰到比较复杂的问题时,就可以从简单的

第3讲 植树问题

第3讲 植树问题

应用题入门之植树问题

知识点概述

1.相关名词:间隔，间隔数，间隔长（株距），路长，两端，两头，两侧，两边，两旁。

间隔数=路长÷间隔长;

2.棵树，间隔数的关系

两端植树，棵树＝间隔数＋1;

【例1】植树节到了，同学们在一条90米长的小路一旁栽树，每隔3米栽一棵。

（1）如两端都各栽一棵，需要多少棵树？

（2）如有一端栽树，需要多少棵树？

总结：

两端栽树，棵树=间隔数+1

一端栽树，棵树=间隔数⇔环形植树

【例2】在一个湖泊周围筑成720米的大堤，堤上每隔6米栽柳树一棵，然后在相邻的两棵柳树之间栽桃树2棵，大堤上栽柳树和桃树各多少棵？

【例3】小敏用同样的速度在校园的林荫道上散步，他从第1棵树走到了第6棵树用了10分钟，当他走了18分钟时应到达第几棵树？

【例4】把一根木头锯成4段需要6分钟，如果要锯成13段，需要多少分钟？

【例5】小平和小亮住在同一幢大楼里，小平住五楼，小亮住三楼，小平每天回家要走80级台阶，小亮回家要走多少级台阶？

【例6】牛牛爬楼梯，发现：

（1）从1楼到5楼需要40秒，那么，牛牛从一楼爬到十五楼需要多长时间？

（2）从第一层走到第三层需要爬36级台阶。那么牛牛从第一层爬到第十层需要爬多少级台阶？

【趣味大挑战】有块三角形土地，三条边的长度分别属120米，150米，80米。在边界上每隔10米种一棵树，三角形的每个顶点都必须种。一共要种多少棵树？

【知识点总结】

1、审题

两侧，两边，两旁，两端，两头

间隔数=路长÷间隔长

2、棵树，间隔数的关系

两端植树，棵树=间隔数＋1

一端植树，棵树=间隔数=环形棵树

3、考点

间隔数与棵树的关系

4、相关知识

a爬楼梯问题，关心楼梯数

b锯木头，刀数=段数－1

第四讲 植树问题

第四讲 植树问题

新育才学校三年级奥数系列讲座 第四讲 植树问题

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第四讲 植树问题

【名师导航】

在一定长度的线路上，等距离地安排若干个植树点，植树的棵数和与段数之间存在着某种关系，研究这种数量关系的问题通常被称为“植树问题”。植树问题一般分为两种情况：

（1）在直线段或不封闭的曲线上植树，如果头尾两端都种一棵树，那么植树的棵数比分的段数多1，即：棵数=段数+1；如果两端都不植树，那么棵数应比要分的段数少1，即：棵数=段数-1；如果一端植树，另一端不植树，则棵数与段数相等，即：棵数=段数。

（2）在封闭线路（例如，圆、正方形、长方形等）上种树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数就等于可分的段数，即：棵数=段数。

【经典例题】

【例1】（1）把一根15厘米长的绳子剪成3厘米长的小段，可以剪多少段？

（2）把一根15厘米长的绳子剪成3厘米长的小段，要剪几次？

（3）把一根15厘米长的绳子，每隔3厘米长分成一小段（不剪开），如果每一小段的两个端点都用红色涂上，共需要涂几处？

【例2】小明家住在四楼，每上一层楼要用1分钟，他从一楼走到四楼，需要几分钟呢？

【例3】小朋友们植树，先植了一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了10棵，第一棵和第十棵相距多少米？

【例4】在一条长40米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了22棵，已知相邻两棵树之间的距离相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？

【例5】有一段长25米的路，在路的一侧栽松树，从起点开始每隔5米栽1棵，一共可以栽多少棵？

新育才学校三年级奥数系列讲座 第四讲 植树问题

2 【例6】一根绳子在24秒内被切成了4段，用同样的速度把这根绳子切成6段，需要多少秒？