雷诺数的推导过程

非牛顿流体雷诺数计算公式

一、牛顿流体雷诺数计算公式回顾。

对于牛顿流体，雷诺数（Re）的计算公式为：Re=(ρ vd)/(μ)，其中ρ是流体的密度，v是流体的平均流速，d是特征长度（例如圆管直径等），μ是流体的动力粘度。

1. 幂律模型（Power - law model）非牛顿流体。

- 对于幂律流体，其本构方程为τ = Kγ̇^n，其中τ是剪切应力，K是稠度系数，γ̇是剪切速率，n是幂律指数（n < 1为假塑性流体，n = 1为牛顿流体，n>1为胀塑性流体）。

- 雷诺数计算公式为Re_np=frac{ρ v^2 - nd^n}{K<=ft((8v)/(d))^n - 1}。

- 推导过程：

- 对于幂律流体在圆管中的流动，壁面剪切应力τ_w与压力降Δ P的关系为τ_w=(Δ P d)/(4L)（L为管长）。

- 根据幂律流体本构方程τ_w = K<=ft((8v)/(d))^n。

- 然后通过量纲分析等方法，结合牛顿流体雷诺数的定义形式，推导出幂律流体的雷诺数表达式Re_np。

2. 宾汉模型（Bingham model）非牛顿流体。

- 宾汉流体的本构方程为τ=τ_0+μ_pγ̇（τ_0为屈服应力，μ_p为塑性粘度）。

- 其雷诺数计算公式为Re_B=(ρ vd)/(μ_p)<=ft(1 +(τ_0d)/(6μ_pv))。

- 推导过程：

- 在宾汉流体流动时，当剪切应力τ大于屈服应力τ_0时才会发生流动。 - 考虑到圆管中流动的特点，通过对宾汉流体在管内流动的受力分析，结合牛顿流体雷诺数的概念进行修正得到Re_B。

仅供参考# 1 雷诺数

流体力学中，雷诺数是流体惯性力与黏性力比值的量度，它是一个无量纲量。

雷诺数较小时，黏滞力对流场的影响大于惯性力，流场中流速的扰动会因黏滞力而衰减，流体流动稳定，为层流；反之，若雷诺数较大时，惯性力对流场的影响大于黏滞力，流体流动较不稳定，流速的微小变化容易发展、增强，形成紊乱、不规则的紊流流场。

目录

1 定义

o 1.1 管内流场

o 1.2 平板流

o 1.3 流体中的物体

▪ 1.3.1 流体中的球

o 1.4 搅拌槽

• 2 过渡流雷诺数

• 3 流动相似性

• 4 雷诺数的推导

• 5 参见

• 6 参考文献

定义

对于不同的流场，雷诺数可以有很多表达方式。这些表达方式一般都包括流体性质（密度、黏度）再加上流体速度和一个特征长度或者特征尺寸。这个尺寸一般是根据习惯定义的。比如说半径和直径对于球型和圆形并没有本质不同，但是习惯上只用其中一个。对于管内流动和在流场中的球体，通常使用直径作为特征尺寸。对于表面流动，通常使用长度。

管内流场

对于在管内的流动,雷诺数定义为:

仅供参考# 2

式中:

• 是平均流速 (国际单位: m/s)

• 管直径(一般为特征长度) (m)

• 流体动力黏度 (Pa·s或N·s/m²)

• 运动黏度 (ρ) (m²/s)

•

流体密度(kg/m³)

• 体积流量 (m³/s)

• 横截面积(m²)

假如雷诺数的体积流率固定，则雷诺数与密度（ρ）、速度的开方（）成正比；与管径（Ｄ）和黏度（ｕ）成反比

假如雷诺数的质量流率（即是可以稳定流动）固定，则雷诺数与管径（Ｄ）、黏度（ｕ）成反比；与√速度（）成正比；与密度（ρ）无关

平板流

对于在两个宽板(板宽远大于两板之间距离)之间的流动,特征长度为两倍的两板之间距离。

流体中的物体

对于流体中的物体的雷诺数,经常用Rep表示。用雷诺数可以研究物体周围的流动情况，是否有漩涡分离，还可以研究沉降速度。

1．平行四边形面积计算公式推导过程：

转化图形：

将平行四边形沿高剪开，拼成一个长方形。

寻找关系：

长方形的面积 = 长 × 宽

平行四边形的面积 = 底 × 高

推导公式：

平行四边形的面积=底×高

S= ɑ h

2．三角形面积计算公式推导过程：

转化图形：

将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。

寻找关系：

平行四边形的面积 = 底 × 高

2个三角形的面积 = 底 × 高

推导公式：

三角形的面积=平行四边行的面积÷2

=底×高÷2

S=ah÷2

3．梯形面积计算公式推导过程：

转化图形：

将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。

寻找关系：

平行四边形的面积 = 底 × 高

2个梯形的面积 = （上底+下底） × 高

推导公式：

梯形的面积 = 平行四边行的面积÷2

= 底 × 高÷2

=（上底+下底）× 高÷2

S=（a+b）×h÷2 = = =

= = =

= = =

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学习知识要善于思考，思考，再思考。——爱因斯坦

镜破不改光，兰死不改香。——孟郊

生活的全部意义在于无穷地探索尚未知道的东西，在于不断地增加更多的知识。—

做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。好比吃饭一样，要嚼得烂，方好消化，才会对人体有益。——陶铸

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CAPM模型的推导过程

我们由CML和市场组合M可以推出CAPM。假设我们要建立一个风险资产i和市场组合M的新的组合P，则P的预期收益和标准差的计算公式分别为：

E(rp)=xi E(ri)+ (1-xi) E(rm)

σp=[xi2σi2 +(1-xi)2 σm2 +2xi (1-xi) cov (ri, rm)]1/2

很显然，在允许卖空的条件下，资产i与M的有效资产组合的集合应在iMi’线上，与iMi’在M 点相切的线就是资本市场线，二者的斜率相同。即：

əE(rp) / əσp =[( E(rm)－rf)/ σM]

əE(rp) / əσp = ə E(rp) / əxi ÷əσp / əxi

=[ E(ri)－E(rm)]÷[（xi2σi2－σm2 ＋xi2σm2 + (1-2xi) cov (ri, rm)）/σp]

由于在切点M处，xi =0，σp=σM ，所以上式变为：

əE(rp) / əσp =[ E(ri)－E(rm)] σM /[ cov (ri, rm)－σm2] =[( E(rm)－rf)/ σM]

变形后得：

E(ri)= rf +[ E(rm)－rf)] cov (ri, rm)/ σm2

令βi= cov (ri, rm)/ σm2 ，则有：

E(ri)= rf +βi [ E(rm)－rf)]

这就是CAPM的传统形式。