考研数学二(线性代数)-试卷21

考研数学二（线性代数）-试卷21

(总分：58.00，做题时间：90分钟)

一、 选择题(总题数：8，分数：16.00)

1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

解析：

2.设A，B为两个n阶矩阵，下列结论正确的是( )．

（分数：2.00）

A.｜A+B｜=｜A｜+｜B｜

B.若｜AB｜=0，则A=O或B=O

C.｜A-B｜=｜A｜-｜B｜

D.｜AB｜=｜A｜｜B｜ √

解析：解析：(A)、(C)显然不对，设，显然A，B都是非零矩阵，但AB=O， 所以｜AB｜=0，(B)不对，选(D)．

3.设A，B都是n阶可逆矩阵，则( )．

（分数：2.00）

A.(A+B) * =A * +B *

B.(AB) * =B * A * √

C.(A-B) * =A * -B *

D.(A+B) * 一定可逆

解析：解析：因为(AB) * =｜AB｜(AB) -1 =｜A｜｜B｜B -1 A -1 =｜B｜B -1 ．｜A｜A -1 =B * A * ， 所以选(B)．

4.设 则B -1 为( )．

（分数：2.00）

A.A -1 P 1 P 2

B.P 1 A -1 P 2

C.P 1 P 2 A -1 √

D.P 2 A -1 P 1

解析：解析：B=AE 14 E 23 或B=AE 23 E 14 即B=AP 1 P 2 或B=AP 2 P 1 ，所以B -1 =P 2 -1 P 1 -1 A -1 或 B -1

=P 1 -1 P 2 -1 A -1 ，注意到E ij -1 =E ij ，于是B -1 =P 2 P 1 A -1 或B -1 =P 1 P 2 A -1 ，选(C)．

5.若向量组α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性相关，且向量α 4 不可由向量组α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，则下列结论正确的是( )．

（分数：2.00）

A.α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关

B.α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关 √

C.α 1 ，α 2 ，α 4 线性无关

D.α 1 ，α 2 ，α 4 线性相关

解析：解析：若α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，因为α 4 不可由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，所以α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关，矛盾，故α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关，选(B)．

6.设A是m×n矩阵，且m>n，下列命题正确的是( )．

（分数：2.00）

A.A的行向量组一定线性无关

B.非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多组解

C.A T A一定可逆 D.A T A可逆的充分必要条件是r(A)=n √

解析：解析：若A T A可逆，则r(A T A)=n，因为r(A T A)=r(A)，所以r(A)=n；反之，若r(A)=n，因为r(A T A)=r(A)，所以A T A可逆，选(D)．

7.与矩阵A=相似的矩阵为( )．

（分数：2.00）

A.

B.

C.

D. √

解析：解析：A的特征值为1，2，0，因为特征值都是单值，所以A可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与A相同且可以对角化，所以选(D)．

8.设，则A与B( )．

（分数：2.00）

A.合同且相似

B.相似但不合同

C.合同但不相似 √

D.既不相似又不合同

解析：解析：显然A，B都是实对称矩阵，由｜λE-A｜=0，得A的特征值为λ 1 =1，λ 2 =2，λ 3 =9， 由｜λE-B｜=0，得B的特征值为λ 1 =1，λ 2 =λ 3 =3，因为A，B惯性指数相等，但特征值不相同，所以A，B合同但不相似，选(C)．

二、 填空题(总题数：5，分数：10.00)

9.

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：）

解析：解析：

10.设A=，且存在三阶非零矩阵B，使得AB=O，则a= 1，b= 2

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）

填空项1:__________________ （正确答案：1）

解析：解析：A→，因为，AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又B≠O，于是r(B)≥1，故r(A)≤2，从而a=2，b=1．

11.设η为非零向量，A=，η为方程组AX=0的解，则a= 1，方程组的通解为 2．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3，k(-3，1，2) T）

解析：解析：AX=0有非零解，所以｜A｜=0，解得a=3，于是A= 方程组AX=0的通解为k(-3，1，2) T ．

12.设A= ，｜A｜>0且A * 的特征值为-1，-2，2，则α 11 +α 22 +α 33 = 1．

（分数：2.00） 填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-2）

解析：解析：因为｜A * ｜=｜A｜ 2 =4，且｜A｜>0，所以｜A｜=2，又AA * =｜A｜E=2E，所以A -1 =

A * ，从而A -1 的特征值为 ，-1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则A的特征值为-2，-1，1，于是α

11 +α 22 +α 33 =-2-1+1=-2．

13.设A=有三个线性无关的特征向量，则a= 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）

解析：解析：由｜λE-A｜= =(λ+1)(λ-1) 2 =0得λ 1 =-1，λ 2 =λ 3 =1． 因为A有三个线性无关的特征向量，所以r(E-A)=1，解得a=4．

三、 解答题(总题数：15，分数：32.00)

14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

__________________________________________________________________________________________

解析：

15.

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案： =a 1 a 2 …a n-1 +a n (a 1 a 2 …a n-2 +a n-1 D n-2 ) =a 1 a 2 …a n-1 +a 1 a

2 …a n-2 a n +a n a n-1 D n-2 )

解析：

16.设α是n维单位列向量，A=E-αα T ．证明：r(A)＜n．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：A 2 =(E-αα T )(E-αα T )=E-2αα T +αα T ．αα T ，因为α为单位列向量，所以α T α=1，于是A 2 =A．由a(E-A)=O得r(A)+r(E-A)≤n，又由r(A)+r(E-A)≥r[A+(E-A)]=r(E)=n，得r(A)+r(E-A)=n．因为E-A=αα T ≠O，所以r(E-A) =r(αα T )=r(α)=1，故r(A)=n-1＜n)

解析：

17.设A为n阶矩阵，证明：r(A * )= ，其中n≥2．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：AA * =A * A=｜A｜E． 当r(A)=n时，｜A｜≠0，因为｜A * ｜=｜A｜ n-1 ，所以｜A * ｜≠0，从而r(A * )=n； 当r(A)=n-1时，由于A至少有一个n-1阶子式不为零，所以存在一个M ij ≠0，进而 A ij ≠0，于是A * ≠O，故r(A * )≥1，又因为｜A｜=0，所以AA * =｜A｜E=O，根据矩 阵秩的性质有r(A)+r(A * )≤n，而r(A)=n-1，于是得r(A * )≤1，故r(A * )=1； 当r(A) *=O，故r(A*)=0．)

解析：

18.设α 1 ，α 2 ，…，α n 为n个n维列向量，证明：α 1 ，α 2 ，…，α n 线性无关的充分必要条件是

（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：令A=(α

1 ，α

2 ，…，α n )，A T A= ，r(A)=r(A

T A)，向量组α 1 ，α 2 ，…，α

n 线性无关的充分必要条件是r(A)=n，即r(A

T A)=n或｜A T

A｜≠0，从而α 1 ，α

2

，…，α n

线性无关的充分必要条件是 )

解析：

19.设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a，b，c且不全为零，又B=且AB=O，求方程组Ax=0的通解．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：由AB=O得r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1 (1)当k≠9时，因为r(B)=2，所以r(A)=1，方程组Ax=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取B的第1、3两列，故通解为

(k 1 ，k 2 为任意常数)； (2)当k=9时，r(B)=1，1≤r(A)≤2， 当r(A)=2时，方程组Ax=0的通解为C

(C为任意常数)； 当r(A)=1时，A的任意两行都成比例，不妨设a≠0， )

解析：

20.

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案： 则(Ⅱ)可写为BY=0，因为β 1 ，β 2 ，…，β n 为(Ⅰ)的基础解系，因此r(A)=n，β 1 ，β 2 ，…，β n 线性无关，Aβ 1 =Aβ 2 =…=Aβ n =0 A(β 1 ，β 2 ，…，β

n )= BA T =O α 1 T ，α 2 T ，…，α n T 为BY=0的一组解，而r(B)=n，α 1 T ，α 2 T ，…，α n T 线性无关，因此α 1 T ，α 2 T ，…，α n T 为BY=0的一个基础解系．)