考研数学三(线性代数)-试卷19

考研数学三（线性代数）-试卷19

(总分：60.00，做题时间：90分钟)

一、 选择题(总题数：9，分数：18.00)

1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

解析：

2.设A=E—2ξξ T ，其中ξ=（x 1 ，x 2 ，…，x n ） T ，且有ξ T ξ=1。则 ①A是对称矩阵； ②A 2

是单位矩阵； ③A是正交矩阵； ④A是可逆矩阵。 上述结论中，正确的个数是（ ）

（分数：2.00）

A.1

B.2

C.3

D.4 √

解析：解析：A T =（E—2ξξ T ） T =E T 一（2ξξ T ） T =E—2ξξ T =A，①成立。 A 2 =（E—2ξξ

T ）（E—2ξξ T ）=E一4ξξ T +4ξξ T ξξ T =E一4ξξ T +4ξ（ξ T ξ）ξ T =E，②成立。 由①、②，得A 2 =AA T =E，故A是正交矩阵，③成立。 由③知正交矩阵是可逆矩阵，且A —1 =A T ，④成立。 故应选D。

3.设A为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是（ ）

（分数：2.00）

A.A T

B.A 2

C.A *

D.2A √

解析：解析：因A为正交矩阵，所以AA T =A T A=E，且|A| 2 =1。而（2A）（2A） T =4AA T =4E，故2A不为正交矩阵。所以选D。 事实上，由A T （A T ） T =A T A=E，（A T ） T A T =AA T =E，可知A T 为正交矩阵。 由A 2 （A 2 ） T =A（AA T ）A T =AA T =E，（A 2 ） T A 2 =A T （A T ）A=A T A=E，可知A 2 为正交矩阵。 由A * =|A|A —1 =|A|A T ，可得 A * （A * ） T =|A|A T （|A|A）=|A| 2 A T A=|A| 2 E=E，（A * ） T A * =（|A|A）|A|A T =|A| 2 AA T =|A| 2 E=E，故A * 为正交矩阵。

4.已知向量组α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关，则向量组（ ）

（分数：2.00）

A.α 1 —α 2 ，α 2 —α 3 ，α 3 —α 4 ，α 4 —α 1 线性无关

B.α 1 +α 2 ，α 2 +α 3 ，α 3 +α 4 ，α 4 +α 1 线性无关

C.α 1 +α 2 ，α 2 +α 3 ，α 3 +α 4 ，α 4 —α 1 线性无关 √

D.α 1 +α 2 ，α 2 +α 3 ，α 3 —α 4 ，α 4 —α 1 线性无关

解析：解析：排除法 通过观察可知 （α 1 —α 2 ）+（α 2 —α 3 ）+（α 3 —α 4 ）+（α 4 —α 1 ）=0， （α 1 +α 2 ）一（α 2 +α 3 ）+（α 3 +α 4 ）一（α 4 +α 1 ）=0， （α 1 +α 2 ）一（α 2

+α 3 ）+（α 3 —α 4 ）+（α 4 —α 1 ）=0， 即选项A，B，D中的向量组均线性相关，所以选C。

5.某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为 ，则自由变量可取为 ①x 4 ，x 5 ； ②x 3 ，x 5 ； ③x 1 ，x 5 ； ④x 2 ，x 3 。 那么正确的共有（ ）

（分数：2.00）

A.1个

B.2个 √

C.3个

D.4个 解析：解析：因为系数矩阵的秩r（A）=3，则n—r（A）=5—3=2，故应当有两个自由变量。由于去掉x 4 ，x 5 两列之后，所剩三阶矩阵为 因为其秩与r（A）不相等，故x 4 ，x 5 不是自由变量。同理，x 3 ，x 5 不能是自由变量。向x 1 ，x 5 与x 2 ，x 3 均可以是自由变量，因为行列式 都不为0。所以应选B。

6.设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，n均为m×n矩阵，现有四个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则r（A）≥r（B）；②若r（A）≥r（B），则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则r（A）=r（B）；④若r（A）=r（B），则Ax=0与Bx=0同解。以上命题中正确的有（ ）

（分数：2.00）

A.①②

B.①③ √

C.②④

D.③④

解析：解析：由于线性方程组Ax=0和Bx=0之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以②，④显然不正确，利用排除法，可得正确选项为B。 下面证明①，③正确： 对于①，由Ax=0的解均是Bx=0的解可知，方程组Bx=0含于Ax=0之中。从而Ax=0的有效方程的个数（即r（A））必不少于B=0的有效方程的个数（即r（B）），故r（A）≥r（B）． 对于③，由于A，B为同型矩阵，若Ax=0与Bx=0同解，则其解空间的维数（即基础解系包含解向量的个数）相同，即 n—r（A）=n—r（B），从而r（A）=r（B）。

7.设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A * 的特征值之一是 （ ）

（分数：2.00）

A.λ —1 |A| n

B.λ —1 |A| √

C.λ|A|

D.λ|A| n

解析：解析：设向量x（x≠0）是与λ对应的特征向量，则Ax=λx。两边左乘A * ，结合A * A=|A|E得 A

* Ax=A * （λx）， 即 |A|x=λA * x， 从而 A * Ax= 可见A * 有特征值 =λ —1 |A |。所以应选B。

8.设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A～B，则下列命题中 ①AB～BA； ②A 2 ～B 2 ； ③ T ～B T ； ④A

—1 ～B —1 。 正确的个数为（ ）

（分数：2.00）

A.1

B.2

C.3

D.4 √

解析：解析：因A～B，可知存在可逆矩阵P，使得P —1 AP=B，于是 P —1 A 2 P=B 2 ，P T A T （P T ） —1

=B T ，P —1 A —1 P=B —1 ， 故 A 2 ～B 2 ，A T ～B T ，A —1 ～B —1 。 又由于A可逆，可知A —1 （AB）A=BA，即AB～BA。故正确的命题有四个，所以选D。

9.下列二次型中是正定二次型的是（ ）

（分数：2.00）

A.f 1 =（x 1 —x 2 ） 2 +（x 2 —x 3 ） 2 +（x 3 —x 1 ） 2

B.f 2 =（x 1 +x 2 ） 2 +（x 2 —x 3 ） 2 +（x 3 +x 1 ） 2

C.f 3 =（x 1 +x 2 ） 2 +（x 2 +x 3 ） 2 +（x 3 —x 4 ） 2 +（x 4 —x 1 ） 2

D.f 4 =（x 1 +x 2 ） 2 +（x 2 +x 3 ） 2 +（x 3 +x 4 ） 2 +（x 4 —x 1 ） 2 √ 解析：解析：f=x T Ax正定

对任意的x≠0，均有x T

Ax＞0；反之，若存在x≠0，使得f=x

T Ax≤0则f或A不正定。 A选项因f 1

（1，1，1）=0，故不正定。 B选项因f

2 （—1，1，1）=0，故不正定。

C选项因f 3 （1，—1，1，1）=0，故不正定。 由排除法，故选D。

二、 填空题(总题数：10，分数：20.00)

10.行列式

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：—2（x 3 +y 3 ））

解析：解析：将后两列加到第一列上 =—2（x 3 +y 3 ）。

11.设三阶方阵A与B相似，且|2E+A|=0。已知λ 1 =1，λ 2 =—1是方阵B的两个特征值，则|A+2AB|= 1。

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：18）

解析：解析：由|2E+A|=0，可得|—2E—A|=0，即λ=—2是A的一个特征值。因A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，λ 1 =1，λ 2 =—1也是A的特征值，所以A、B的特征值均为λ 1 =1，λ 2 =—1，λ 3 =—2，则E+2B的三个特征值分别为3，—1，—3。从而可得|A|=λ 1 λ 2 λ 3 =2，|E+2B|=3×（—1）×（—3）=9，故|A+2AB|=|A（E+2B）|=|A|．|E+2B|=18。

12.设α，β均为三维列向量，β T 是β的转置矩阵，如果αβ T = ，则α T β= 1。

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5）

解析：解析：设α=（α 1 ，α 2 ，α 3 ） T ，β=（b 1 ，b 2 ，b 3 ） T ，则 而 α T β=（α

1 ，α 2 ，α 3 ） =a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ， 可以看出α T β就是矩阵αβ T 的主对角线元素的和，所以 α T β=1+6+（—2）=5。

13.设 A * 为A的伴随矩阵，则（A * ） —1 = 1。

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）

解析：解析：由A * =|A|A —1 可得（A * ） —1 =

14.已知则秩r（AB+2A）= 1。

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）

解析：解析：因为AB+2A=A（B+2E），且是可逆矩阵，所以r（AB+2A）=r（A）。 对A作初等行变换，则因此可得r（AB+2A）=2。

15.已知向量α 1 =（1，2，—1，1） T ，α 2 =（2，0，t，0） T ，α 3 =（0，—4，5，t） T 线性无关，则t的取值范围为 1。

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：（一∞，+∞））