导数在高中数学解题中的应用探究

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导数在高中数学解题中的应用探析

作者：洛松扎西

来源：《读写算》2013年第11期

摘要：近几年来，导数的相关知识一直是高考命题的重点与热点。将导数这一概念引入到高中数学教学中，不仅使高中数学的教学更显活力，同时也为函数的求解过程提供了更简单更灵活的解题工具。利用导数可以更便捷的解决高中数学中一些用传统方法难以解决的问题，并且能够提高解题的准确率与速度，在实际问题的解决中也能发挥作用。本文通过阐述导数在分析函数及在相关问题中的求解方式，对其在高中数学解题过程中的应用进行探讨。

关键词：导数 高中数学 解题 应用

1.引言

近些年来，导数作为高中数学中的新增知识点成为了各地高考命题的重点。相关数据显示，在2006年和2007年两年的高考中，全国各地的试卷都涉及到了对于导数知识的考查[1]。导数是微积分中的基础知识，对于实际问题的解决及函数问题的研究具有推动作用。对导数知识的考查一般都从不同的角度进行，而且也会和解析几何、函数、不等式等相关知识点综合起来进行命题，需要学生在牢固掌握导数相关知识的基础上能够灵活的加以运用，并且还要将数学知识应用到解决实际问题之中。所以对于高中学生来说，在高考复习过程中，要加强对导数知识的温习与巩固，并增强在解决数学问题中将相关知识灵活运用的能力[2]。

2.导数在解决高中数学问题中的应用

2.1对函数的单调性进行判断时导数的应用

高中数学中函数的单调性一直是重点内容，它表示的是在一定的区间内，随着自变量的变化，因变量产生的变化情况。在还没有将导数的知识引入其中前，常根据函数单调性的定义对函数的单调性进行判断。即在特定的区间内，如果函数中的因变量随着自变量变大也跟着变大则该函数为增函数，因变量随着自变量的增大而变小则是减函数，而相应的区间则是其相应的单调区间。这种方法对于简单的函数进行单调性判断尚可，一旦遇到较复杂的函数，则这种判断方法会极为繁杂，而且往往难以予以准确证明。而引入导数的概念后，就可以利用导数进行函数单调性的判断了，这种判断方法既准确又迅速。在用导数对函数单调性进行判断时，如果是要判断f（x）这一函数在区间[m，n]上的单调性，则只需对其在此区间上求导，所得的导数如果大于零，则该函数在区间[m，n]上单调递增，反之则是单调递减。在利用导数对函数的单调性进行判断时，最重要的是要对一些常见函数的求导方法清楚并能够熟练掌握，同时要说明函数具有的单调性及其相应的区间。

第 1 页 共 4 页 导数在中学数学中的应用

导数是高中数学选修课中的重要内容，在中学数学的许多问题上起到居高临下和以简驭繁的作用，是解决实际问题强有力的数学工具。运用导数的思想方法和基本理论来解决中学数学中有关函数性质的讨论与应用。本文主要通过例证来探讨导数在中学数学中的应用。

一、中学数学中导数的简介

1、导数的意义。导数的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛的应用开创了向近代数学过渡的新时期；为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。在新课程的选修模块中，通过导数的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内容，感受导数在解决实际问题中的作用。

2、导数在中学教材的背景。在学生初次接触导数的概念时，给学生一个形象的背景支持，使学生充分认识导数的几何意义和物理意义，对于学生正确理解导数的概念是非常重要的。

在中学阶段导数概念学习的起点是极限，即从数列→数列的极限→函数的极限→导数。这种概念的建立具有严密的逻辑性和系统性，但也产生一些问题：高中生很难理解极限形式化的定义，继而影响对导数的本质理解。因此，教科书没有介绍任何形式的极限定义及相关知识，而从变化率入手，用形象直观的“逼近”的方法定义导数，用“趋近于”、“无限逼近于”、“趋第 2 页 共 4 页 于”、“无限变小”等通俗易懂的词对极限过程的描述，这样进行处理有三个方面的好处：一是避免学生认知水平和知识学习间的矛盾；二是将更多的经历放于对导数本质的理解；三是学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解。

3、导数的基本内容。在中学阶段导数的基本内容主要有：导数概念及几何意义；基本初等函数的求导法则和导数的四则运算；函数单调性与其导数的关系；函数在某点取极值的充要条件；生活中的优化问题。

二、导数在中学数学中的应用

1、与曲线的切线有关问题。处理与曲线的切线有关问题时，主要是理解导数的几何意义：f在某一点p的导数f”就是曲线y=f在x=x0处切线的斜率。

理化空间　

论导数在高中数学中的应用　

周萍　

吉林省德惠市德惠实验中学　

摘要：在高中数学中导数部分的知识是相当重要的部分，　

它是高中数学后继课程的基础也是高考中的热点问题，蕴含　

着丰富的数学思想，在数学解题中的运用广泛。在高中数学中　

引入导数增添了高中数学的活力，让数学题目的解答变得更　

加灵活、简单。本文主要是对导数在高中数学中的应用进行探　

索，希望能够在导数的学习和使用中起到一定的作用。　关键词：高中数学导数解题　

导数是新课改下新增的内容，这一内容在高中数学的比　

重越来越多，导数在数学中的引入加深了学生对于函数的理　

解，激发了学生的创新思维，并且能够引导学生将数学知识运　

用到实际生活中极大地激发了学生对于学习数学的积极性。　

但是对于初学者来说，导数的学习还是有一定的难度的，所以　

必须弄清导数的定义及其性质，并且慢慢地将其运用到实际　解题中去，这样才能实现对导数的透彻理解。在人教版高中数　

学中就有“导数及其运用”一章，在本文中笔者结合着课本内　

容对导数在高中数学中的运用进行一个新角度的总结。　

一、导数在代数解题中的运用　

（一）利用导数求函数单调性　

在高中数学的学习中会遇到判断函数单调性或是求函数　

单调区间的问题，对于这个问题利用导数是特别容易解决的，　

正如人教版高中数学中“导数及其运用”一章中的“导数在研　究函数中的应用”一节就是运用导数来解决函数问题的内容，　

这是因为导数有这样的性质，对于函数ｙ＝ｆ（ｘ）在某个区间（ａ，　

ｂ）上，如果ｆ　（ｘ）＞０，那么函数ｙ＝ｆ（ｘ）在这个区间上是单调递增　

的，如果ｆ，（ｘ）＜０，那么函数ｙ＝ｆ（ｘ）在这个区间上是单调递减的，　

如果ｆ（ｘ１＝０，那么函数ｙ－－ｉｆ（ｘ）是常数函数，根据导数的这一性　

质，对于函数单调性的求解就非常容易了。　

例：对于函数　ｘ）＝ｘ３＋３ｘ２＋６ｘ求其单调区间。　分析：对于这一道题目，我们观察发现它的最高次幂是３　

次，直接运用函数图像去观察函数的单调区间是十分困难的，　

导数在高中数学课程中的应用

新乡市一中数学组 李凤德

[摘 要]导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力．因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题．

[关键词]导数 新课程 应用

一、 知识地位分析

导数是高中数学新教材中新增的知识之一,体现了现代数学思想，在研究函数性质时，有独到之处。纵观2010年各地的新课程高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容。内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。今年是我省新教材实施的第一届高考，虽然去年已然考察这方面的内容，但作为新教材的新增内容，仍应引起我们足够的重视。复习中注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用。

二、 导数在解题中的应用

导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点．这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具．将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义．下面举例探讨导数的应用．

（一）利用导数解决函数问题

⒈利用导数求函数的解析式

用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了．

例1 设函数dcxbxaxy23的图像与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为0412yx，若函数在2x处取得极值0，试确定函数的解析式． 解 因为函数dcxbxaxy23的图像与y轴交点为P点，所以P点的坐标为d,0，又曲线在P点处的切线方程为412xy，P点坐标适合方程，从而4d，又切线斜率12k，故在0x处的导数120xy，而cbxaxy232，cyx0，从而12c，又函数在2x处取得极值0，所以