矩阵论研究报告

目录1、介绍 (2)2、现实应用 (2)2.1、图像处理 (3)2.1.1、背景 (3)2.1.2、理论基础 (3)2.1.3、应用 (3)2.2电路分析 (4)2.2.1、背景 (4)2.2.2、理论基础 (4)2.2.3、应用 (5)2.3、谱分析 (5)2.3.1、背景 (5)2.3.2、理论基础 (5)2.3.3、应用 (6)3、结论 (6)参考文献 (7)矩阵论若干分析及应用摘要：矩阵论不仅是数学学科，也是理工学科重要的数学工具。

许多学科新的理论和方法的产生和发展就是矩阵论创造性应用和推广的结果，毫无夸张地说，矩阵理论在物理力学、信号与信息处理、通信、电子、图像处理、大数据分析、控制系统等众多领域最具创造性和灵活性，并起着不可代替作用的数学工具。

本文列举矩阵论若干相关知识点分别在图像处理、电路分析、谱分析法中的应用，相信在相关介绍和分析之后，大家会意识到矩阵论在现实应用中的强大之处。

关键词：矩阵论数学工具应用1、介绍矩阵这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。

而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。

从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。

在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。

先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。

凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。

1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。

文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。

另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。

“矩阵论”课程研究报告科目：矩阵理论及其应用教师：舒永录姓名：朱月学号：20140702057t 专业：机械工程类别：学术上课时间：2014 年9月至2014年12 月考生成绩：阅卷评语：阅卷教师(签名)相关变量的独立变换摘要：用矩阵的理论及方法来处理实际生活中或现代工程中的各种问题已越来越普遍。

在工程中引进矩阵理论不仅是理论的表达极为简洁，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是毋庸置疑的。

本文将矩阵论的知识用于解决实用机械可靠性设计问题。

正文一、问题描述在建立机械系统可靠性模型时，一般总假设个元素间关于强度相互独立。

但是实际中，各元素间关于应力和强度又往往是相关的，并且这种相关性有时会对系统的可靠度产生显著影响。

对于一些随机变量之间不是完全相关，但也不是完全独立的情况，就要进行相关变量的独立变换。

二、方法简述设系统的基本变量为),,(21n x x x X ，⋯⋯，各变量之间相关，则随机变量x 的n 维正态概率密度函数为[1])1()()(21exp ||2()(1212⎭⎬⎫--⎩⎨⎧-=---X X T X X nX C X C X f μμπ）式中⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=2321232212131212),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(21nX n n n n X n X X x x x x x x x x x x x x x x x x x x C σσσ称为随机变量X 的协方差矩阵。

矩阵中的任意元素),cov(j i x x 是变量i x 与变量j x 的协方差，|C X |是协方差矩阵的行列式，1-X C 是协方差矩阵的逆矩阵，X ，Xμ及)X X μ-（是n 维列向量 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=n n X n X n x x X x x μμμμμμ 1111,,X显然，当n=1时，有[][]2122X /1,||,σσσ===-X X C C C 即变为以为正态分布的概率密度函数。

矩阵分析实验报告学院：电气学院专业：控制工程姓名：XXXXXXXX学号：211208010001矩阵分析实验报告实验题目利用幂法求矩阵的谱半径实验目的与要求1、 熟悉matlab 矩阵实验室的功能和作用；2、 利用幂法求矩阵的谱半径；3、 会用matlab 对矩阵分析运算。

实验原理理念谱半径定义：设n nA C⨯∈，1λ，2λ，3λ， ，j λ， n λ是A 的n 个特征值，称()max ||j jA ρλ=为关于A 的谱半径。

关于矩阵的谱半径有如下结论：设n nA C⨯∈，则（1）[]()()kkA A ρρ=；（2）22()()()H H A A AA A ρρ==。

由于谱半径就是矩阵的主特征值，所以实验换为求矩阵的主特征值。

算法介绍定义：如果1λ是矩阵A 的特征值，并且其绝对值比A 的任何其他特征值的绝对值大，则称它为主特征值。

相应于主特征值的特征向量1V 称为主特征向量。

定义：如果特征向量中最大值的绝对值等于单位值（例如最大绝对值为1），则称其为是归一化的。

通过形成新的向量'12=c n V （1/）[v v v ]，其中c=v 且1max {},j i n i ≤≤=v v 可将特征向量 '12n [v v v ]进行归一化。

设矩阵A 有一主特征值λ，而且对应于λ有唯一的归一化特征向量V 。

通过下面这个称为幂法（power method ）的迭代过程可求出特征对λ，V ，从下列向量开始：[]'0=111X （1）用下面递归公式递归地生成序列{}k X ：k k Y AX =k+111k k X Y c +=（2）其中1k c +是k Y 绝对值最大的分量。

序列{}k X 和{}k c 将分别收敛到V 和λ：1lim k X V =和lim k c λ= （3）注：如果0X 是一个特征向量且0X V ≠，则必须选择其他的初始向量。

幂法定理：设n ×n 矩阵A 有n 个不同的特征值λ1，λ2，···，，λn ，而且它们按绝对值大小排列，即：123n λλλλ≥≥≥⋅⋅⋅≥ (4)如果选择适当的X 0，则通过下列递推公式可生成序列{[()()()]}12k kk k n X x x x '=⋅⋅⋅和{}k c ： k k Y AX = (5)和：111k k k X Y c ++=(6)其中： ()1k k j c x +=且{}()()1max k k j i i nx x ≤≤=(7)这两个序列分别收敛到特征向量V 1和特征值λ1。

“矩阵论”课程研究报告科目：矩阵理论及应用教师：舒永录姓名：张晋红学号：20140702109 专业：机械工程类别：学术上课时间：2014 年09月至2014 年12月考生成绩：阅卷评语：阅卷教师(签名)航班问题摘要：针对城市路线选择中的航道数目统计问题，采用最小多项式的方法，得出了城市A 到B 的某个数目的相连的航班数目和不超过某个数目的相连的航班数目。

本文所提出的方法适用于多城市间航道统计问题。

正文一、问题描述一家航空公司经营A 、B 、C 、D 和H 五个城市的航线业务，其中H 为中心城市。

各个城市间的路线见图1。

图 1假设你想从A 城市飞往B 城市，因此要完成这次路线，至少需要两个相连的航班，即A →H 和H →B 。

如果没有中转站的话，就不得不要至少三个相连的航班。

那么问题如下：(1) 从A 到B ，有多少条路线刚好是三个相连的航班；(2) 从A 到B ，有多少条路线要求不多于四个相连的航班。

二、方法简述定义：设A 是n 阶方阵，若存在多项式)(λf ，使得()f 0A =，即()f A 是零矩阵，称)(λf 是矩阵A 的零化多项式。

下面指出两点：1）对任何n 阶方阵A ，都存在零化多项式。

因为线性空间n n K ⨯是2n 维的，故E , A ,……,2n A 必线性相关。

故存在不全为0的数0122,,......,n k k k k ，使220122......n n k k k k ++++=0E A A A即多项式220122().....n n f k k k k λλλλ=++++是A 的零化多项式。

2）任何矩阵的零化多项式不唯一。

因为若)(λf 是A 的零化多项式，则)()(λλg f 也是A 的零化多项式，这里的)(λg 可以是任意的非零多项式。

定理（Hamliton-Caley 定理）设111()||n n n n f a a a λλλλλ--=-=++++ E A则11()...n n n n f a a a -=+++=0A A A A E定义：在n 阶方阵A 的所有零化多项式中，次数最低的首一多项式，称为A 的最小多项式，记为)(λm 。

《矩阵论》课外报告利用矩阵论的方法解决豌豆概率问题学院：重庆大学机械工程学院报告人：陈宇学号： 201107020342011年12月陈宇：《矩阵论》课外报告I摘 要本文通过运用矩阵论的知识，成功的解决了一个概率的问题。

在本文中，将“豌豆概率问题”转化为一个1×4矩阵与一个4×4的矩阵k 次幂相乘的问题来进行求解。

利用Hamilton-Cayley 定理对4×4矩阵的k 次幂进行求解，通过计算，求得经k →∞，含有豌豆的壳出现在每个位置的概率.基本理论： Hamilton-Cayley 定理：设则A ,其中t,,使==,。

矩阵的理论与方法在处理各种问题已经越来越普遍；无论是在在控制、通信还是在信号处理等领域中，均大量使用矩阵的方式来描述各种输入输出量之间的关系。

因此矩阵的理论与方法已经成为现代工程技术中重要的数学基础。

本文通过对“豌豆概率问题”运用矩阵的方法进行描述，将“豌豆概率问题”转换为一个根据Hamilton-Cayley 定理求解A k 的问题，来对“豌豆概率问题”进行求解。

用G=[P(1), P(2), P(3), P(4)]表示含有豌豆的壳出现在四个位置上的概率，写成1×4矩阵形式，矩阵元素取值范围为[0,1]。

矩阵的第一个元素表示含有豌豆的壳在第一个位置的概率，第二个元素表示含有豌豆的壳在第二个位置的概率，以此类推。

如[1,0,0,0]表示有豌豆的壳在第一个位置的概率为1，在其余位置概率为0。

为求解此问题，我们可假定豌豆初始位置在壳#1，用矩阵B 表示初始时候的概率，即:[]0001B = （2.1）用矩阵A 中的元素a ij 表示豌豆从第i 个壳移到第j 个壳的概率，即：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01002102100210210010A （2.2）那么经过k 次移动后，含有豌豆的壳在四个位置的概率可以表示为：G=B ·A k （2.3）只要得出k A ，就可以求出最后的结果，而k A 就可以用Hamilton-Cayley 定理来解决。

线性代数中的矩阵论研究在线性代数中，矩阵论是一个重要的研究领域，它以矩阵为基础，探讨了矩阵的性质、操作以及在各个领域中的应用。

本文将介绍线性代数中矩阵论的一些基本概念和应用。

一、矩阵的定义与基本概念矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，通常用方括号或圆括号来表示。

矩阵的行数与列数决定了矩阵的维度和阶数。

在矩阵中，我们可以进行加法、数乘、乘法等操作。

二、矩阵的运算1. 加法：两个相同维度的矩阵可以进行加法运算，即将对应位置的元素相加。

2. 数乘：矩阵的数乘即将矩阵的每个元素乘以一个相同的数。

3. 乘法：两个矩阵相乘时，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

三、矩阵的性质1. 转置：将矩阵的行与列对调，得到的矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

2. 逆矩阵：对于方阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称B为A的逆矩阵。

3. 行列式：对于一个方阵，它的行列式是一个标量值，用于刻画矩阵的性质。

4. 秩：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大个数。

四、矩阵的应用1. 线性方程组：解线性方程组可以转化成矩阵运算的形式，通过行列式、逆矩阵等概念来求解方程组的解。

2. 特征值与特征向量：对于一个方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=kx，其中k为标量，则k为A的特征值，x为对应的特征向量。

特征值与特征向量在很多实际问题中有着重要的应用，如物理的振动问题和Google搜索引擎的排名算法等。

3. 矩阵的对角化：对于某些特殊的矩阵，可以通过相似变换将其变为对角矩阵，简化运算的复杂度。

4. 线性映射：矩阵可以用来表示线性映射，利用矩阵的性质可以对线性映射进行研究。

总结：线性代数中的矩阵论是一个广泛研究的领域，它涉及到矩阵的定义与基本概念、矩阵的运算以及矩阵在各个领域中的应用。

通过对矩阵的研究，我们可以更好地理解线性代数的基本理论，以及在实际问题中的应用。

“矩阵理论及其应用”课程研究报告科目：矩阵理论及其应用教师：蒋卫生姓名：学号:专业：机械电子工程类别：学术上课时间：2013 年10 月至2013 年12 月考生成绩：阅卷评语：阅卷教师(签名)最小二乘法问题摘要：无论在哪个专业领域，都不可避免的要面对测量所得到的一批数据。

这些数据看似杂乱无章，但对于特定的时间却是符合特定的规律。

而要发现这些规律必须借助一定的手段。

矩阵理论作为一门具有强大功能的学科再此发挥了它重要的作用。

用矩阵论的理论来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍了。

在工程技术中引进矩阵理论不仅使理论的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是不容质疑的，更由于计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了崭新的研究途径。

矩阵理论与方法已成为研究现代工程技术的数学基础。

因此，对于数据的处理采用最小二乘法是最恰当不过的了。

关键词：数据处理，矩阵理论，最小二乘法正文一、引言最小二乘法已有近200年的发展历史，它首先由Gauss K F提出并被应用于天文计算中，现已被广泛地用来解决各种技术问题。

在过去的30多年里，它已被成功地应用到过程控制系统的参数估计领域，数字计算机技术又使最小二乘原理更有实践价值。

参数估计现在模型结构已知时，用实验法所取得的数据来确定表征系统动力学模型中的参数。

最小二乘法原理提供了一个数学程序，通过它可以获得一个在最小方差意义下与实践数据拟合最好的模型，它在稳态系统数学模型的回归分析方面应用已很成熟，在动态系统的参数辨识方面也取得了许多重要成果，其参数估计的收敛性质也得到了深入的研究，可以说在参数估计领域中最小二乘方法已达到了完善的程度。

本文讨论的问题如下：一颗导弹从敌国发射，通过雷达我们观测到了它的飞行轨迹，具体有如下数据：i0 1 2 3 4我国军情处分析得出该导弹沿抛物线轨道飞行。

问题：预测该导弹在什么水平距离着地。

二、预备知识基本术语解释从整体上考虑近似函数()p x 同所给数据点(),0,1,()i i i m x y = 误差()()0,1,i i i r p x y i m =-= 的大小，常用的方法有以下三种： ∞—范数：绝对值的最大值0max||i i m r ≤≤1—范数：误差绝对值的和m||i i r =∑2—范数(欧式范数)：误差平方和m20i i r =∑的算术平方根。

一、 报告摘要在已知曲线大致模型的情况下，运用曲线拟合最小二乘法，使得观测数据与曲线模型数据之间的误差平方和最小。

进而求得曲线的模型参数，并由所求的曲线模型进行分析预测。

二、 题目内容一颗导弹从敌国发射，通过雷达我们观测到了它的飞行轨迹，具体有如下数据：我国军情处分析得出该导弹沿抛物线轨道飞行。

问题：预测该导弹在什么水平距离着地。

三、 基本术语1. 内积设V 是实数域R 上的线性空间，如果V 中任意两个向量,αβ都按某一个确定的法则对应于惟一确定的实数，记作(,)αβ，并且(,)αβ满足i. 对任意的,V αβ∈，有(,)(,)αββα=ii. 对任意的,,V αβγ∈，有(,)(,)(,)a αβγγβγ+=+ iii. 对任意的,,k R V αβ=∈有(,)(,)k k αβαβ=iv.对任意的V α∈，有(,)0αα≥。

当且仅当0α=时，(,)0αα=则称(,)αβ为向量,αβ的内积。

如无特殊说明的，我们认为对任意向量1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ== ，其内积(,)αβ为1122(,)n n a b a b a b αβ=+++2. 范数如果V 是数域K 上的线性空间，且对于V 的任以向量χ，对应于一个实数函数χ，它满足如下三个条件。

i. 非负性 当0χ≠时0χ>；当0χ=时，0χ=；ii. 齐次性 ,a a V χχχ=∈；iii.三角不等式,,V χζχζχζ+≤+∈；则称χ为V 上χ的范数。

可以证明对于向量12(,,,)n χξξξ= 的长度χ=是一种范数，我们称为2-范数，记为2χ。

3. 线性方程组设有n 个未知数m 个方程的线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⋅⋅⎪⎪+++=⎩ 可以写成以向量x 为未知元的向量方程Ax b =则A 为该方程的系数矩阵，(,)B A b =为增广矩阵。

研究生“矩阵论”课程课外作业姓名：学号：学院：专业：类别：上课时间：成绩：邻接矩阵在解决航班问题中的应用摘要：邻接矩阵能够简便和直观地表示不同城市之间的航班路线信息，有效地解决了两个城市之间相邻航班的路线数量问题。

关键词：邻接矩阵；有向图；航班路线；宽度优先搜索1 引言最优化的概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在其他各方面的前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果。

因此，最优化问题已成为控制理论和现代数学的一个重要研究课题。

而航班问题则是最优化问题在实际中的一个具体研究对象，包括最少换乘、最短路径、最少时间等问题。

在实际中，两个城市之间的航班信息可以用一个有向图表示出来。

邻接矩阵可以简单、直观地将有向图表示成一个数学模型，便于人们研究。

2 邻接矩阵邻接矩阵是一个表示顶点之间相邻关系的二维数组。

它和一个存放顶点的一维数组组合在一起又可以构成一个逻辑结构。

设G(V,E)是一个有向图，图G 的顶点为V(G)={n v v v ,,21, }。

称矩阵A(a ij )n n ⨯是图G(V,E)的邻接矩阵，其中⎩⎨⎧∉∈=)(,0)(,1G E v v G E v v a ji j i ij 。

有向图的邻接矩阵由元素0和1组成，当顶点i v 到顶点j v 有向连接时，1=ij a 。

邻接矩阵对角线上的元素都为0。

3 邻接矩阵在航班问题中的应用3.1 问题描述一家航空公司经营A 、B 、C 、D 和H 五个城市的航线业务，其中H 为中心城市。

各个城市间的路线见图1。

图 1假设你想从A 城市飞往B 城市，因此要完成这次路线，至少需要两个相连的航班，即A →H 和H →B 。

如果没有中转站的话，就不得不要至少三个相连的航班。

那么问题如下:(1)从A 到B ，有多少条路线刚好是三个相连的航班；(2)从A 到B ，有多少条路线要求不多于四个相连的航班。

3.2 模型的建立与宽度优先搜索先考虑描述航班信息的数学模型。

凯莱矩阵论的研究报告
矩阵论是数学中的一个重要分支，它主要研究矩阵之间的运算规律和性质。

凯莱矩阵论是矩阵论的一个重要分支，它以法国数学家亚瑟·凯莱的名字命名。

凯莱矩阵论的研究对象是矩阵的特征值和特征向量。

凯莱定理是凯莱矩阵论的核心结果之一，它表明一个矩阵的特征值等于其特征多项式的根。

凯莱矩阵论还研究了矩阵的相似变换、对角化和正交化等性质。

研究凯莱矩阵论主要有以下几个方面：
1. 特征值与特征向量的计算：通过凯莱定理，可以通过求解特征多项式的根来计算矩阵的特征值。

特征向量可以通过解特征方程来得到。

研究如何高效地计算特征值和特征向量是凯莱矩阵论的一个重要课题。

2. 矩阵对角化：对于一个可对角化的矩阵，可以通过相似变换将其转化为对角矩阵，从而简化矩阵的运算和分析。

凯莱矩阵论研究如何确定一个矩阵是否可对角化，以及如何求解对角化的变换矩阵。

3. 矩阵正交化：正交矩阵在很多应用领域中具有重要的作用，如信号处理、图像处理等。

凯莱矩阵论研究如何将一个一般的矩阵正交化，从而得到一个正交矩阵。

4. 应用领域：凯莱矩阵论在很多领域中有广泛的应用，如量子力学、振动力学、系统控制等。

研究凯莱矩阵论在这些领域中的应用是该研究的重要方向之一。

总之，凯莱矩阵论是矩阵论的一个重要分支，它研究矩阵的特
征值和特征向量，以及相关的运算规律和性质。

通过研究凯莱矩阵论，可以深入理解和应用矩阵理论的基本概念和方法。

研究生数学研究：线性代数与矩阵论导论研究生阶段是对数学学科的深入研究和专业发展的重要时期。

在数学领域中，线性代数与矩阵论是一门基础而广泛应用的学科，被广泛用于解决各种实际问题以及其他数学领域的研究中。

什么是线性代数与矩阵论？线性代数与矩阵论是研究向量空间和线性变换的数学学科。

它研究线性方程组以及线性方程组在向量空间中的几何解释。

同时，矩阵论是线性代数的一个重要分支，它主要关注矩阵的代数性质和运算。

线性代数的基础概念在学习线性代数之前，我们首先需要了解一些基础概念。

首先，线性代数是研究向量空间的学科，而向量是具有大小和方向的量。

在二维空间中，向量可以用一个二维坐标表示。

在三维空间中，向量可以用一个三维坐标表示。

此外，线性代数还涉及向量的加法和乘法运算，以及向量之间的点积和叉积等运算。

向量空间向量空间是线性代数的核心概念之一。

一个向量空间是具有一组基础向量的集合，它包含了所有由这些基础向量线性组合而成的向量。

线性代数通过研究向量空间的性质和结构来解决线性方程组和线性变换等问题。

线性方程组线性方程组是线性代数中的重要问题之一。

一个线性方程组由一组线性方程组成，其中未知量的系数是实数或复数。

解线性方程组的问题可以转化为在对应的向量空间中寻找特定的向量或空间。

线性方程组的求解方法解线性方程组的方法有很多种，包括高斯消元法、矩阵法和向量法等。

其中，高斯消元法是一种非常常用和基础的方法，它通过进行一系列的行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形式，从而求解方程组的解。

线性变换线性变换是线性代数中的重要概念之一。

一个线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的映射，它保持向量空间的线性性质。

线性变换可以用矩阵表示，其中矩阵的每一列对应于向量空间中的一个基向量。

线性变换的应用线性变换在实际问题中有广泛的应用。

例如，线性变换可以用于图像处理和计算机图形学中的空间变换，也可以用于信号处理和通信系统中的数据编码和解码，还可以用于机器学习和统计学中的数据分析和模型建立等。

一、实验目的1. 理解矩阵的基本概念和性质。

2. 掌握矩阵的运算方法，包括加法、减法、乘法、转置等。

3. 学习矩阵的行列式、逆矩阵、秩和迹的计算方法。

4. 熟悉矩阵的分解方法，如三角分解、Cholesky分解等。

5. 通过实验加深对矩阵论理论的理解和应用。

二、实验原理矩阵论是线性代数的一个重要分支，主要研究矩阵及其运算。

矩阵在自然科学、工程技术、经济学等领域都有广泛的应用。

本实验主要涉及以下内容：1. 矩阵的基本运算：矩阵的加法、减法、乘法、转置等。

2. 矩阵的行列式、逆矩阵、秩和迹的计算方法。

3. 矩阵的分解方法，如三角分解、Cholesky分解等。

三、实验仪器与软件1. 仪器：计算机2. 软件：MATLAB四、实验内容1. 矩阵的基本运算（1）编写MATLAB程序，计算矩阵A和B的加法、减法、乘法、转置。

（2）验证矩阵运算的性质，如结合律、分配律等。

2. 矩阵的行列式、逆矩阵、秩和迹的计算（1）编写MATLAB程序，计算矩阵A的行列式、逆矩阵、秩和迹。

（2）验证计算结果与理论值的一致性。

3. 矩阵的分解方法（1）编写MATLAB程序，对矩阵A进行三角分解（LU分解）。

（2）编写MATLAB程序，对矩阵A进行Cholesky分解。

（3）验证分解结果与理论值的一致性。

4. 应用实例（1）使用矩阵运算解决实际问题，如线性方程组的求解。

（2）使用矩阵分解方法解决实际问题，如求解最小二乘问题。

五、实验步骤1. 编写MATLAB程序，实现矩阵的基本运算。

2. 编写MATLAB程序，计算矩阵的行列式、逆矩阵、秩和迹。

3. 编写MATLAB程序，对矩阵进行三角分解和Cholesky分解。

4. 对实验结果进行分析，验证理论值与实验结果的一致性。

5. 使用矩阵运算和分解方法解决实际问题。

六、实验结果与分析1. 矩阵的基本运算实验结果与分析通过编写MATLAB程序，实现了矩阵的加法、减法、乘法、转置等基本运算。

实验结果与理论值一致，验证了矩阵运算的性质。

“矩阵论”课程研究报告科目：矩阵理论及其应用教师：XXX姓名：XXX 学号：20140802XXX 专业：仪器科学与技术类别：学术上课时间：2014年9月至2014年12月考生成绩：阅卷评语：阅卷教师(签名)矩阵数的应用摘要： 矩阵是工程程技术以及经济管理等领域的不可缺少的数学工具，凡是用到矩阵的地方，基本上都要涉及矩阵数。

是数学上向量数对矩阵的一个自然推广。

在工程实际中应用很广，本文先对矩阵数知识做一个梳理，然后结合应用实际介绍了矩阵数的具体应用。

关键字：矩阵数，基本知识，相关应用一、引言用矩阵的理论与方法来处理现在工程技术中的各种问题已越来越普遍。

在工程技术中引进矩阵理论不仅是理论表达极为简洁，而且对理论的实质刻画也更为深刻，例如系统工程，优化方法，稳定性理论等，无不与矩阵理论发生紧密的结合。

在工程及计算数中，特别是数值代数中，研究数值方法的收敛性稳定性及误差分析等问题，数理论显的十分重要。

矩阵理论是数学的一个重要分支，在多种工程学科中都有极其重要的应用。

特别是对线性控制系统深入研究的需要推动了矩阵理论的发展，使矩阵理论的容更加丰富多彩。

矩阵数在网络理论、数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识，因而大大推动了矩阵数的研究，使得这一学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重要分支。

二、预备知识2.1 矩阵数的定义由于一个n ×n 矩阵可以看成是一个拉直了的n ×n 维向量，因此可以按定义向量数的方法来定义矩阵数，但矩阵之间还有乘法运算，因此，对于n ×n 矩阵A ，定义数如下：设A 、B ∈n C ⨯n ，C ∈c ,按某一法则在n C ⨯n 上定义一个A 的实值函数，极为A ,它满足以下4个条件1. 非负性 如果A ≠0，则A >02. 齐次性 如果A=0，则A =0;3. 三角不等式 B A +B A +≤4. 相容性 B A AB ≤ 则称A 为矩阵数或乘积数。

科研训练总结数学科学学院柏慧荣2910102024本学期我参加了学院组织的科研训练讨论课，我参与的方向主要是研究矩阵理论。

虽然上课时间不多，但收获颇丰。

首先，讨论课是采取学生上讲台授课的形式，形势比较新颖，极大地激发了我的积极性。

由于要讲授内容，所以对课本要把握的更透彻，不能只是简单的搞懂就行。

这种形式极大地锻炼了我的表达能力，也更加感受到了老师们在讲台上的魅力。

另外，还增强了我的自习能力，教会了我该如何去学习。

关于所学内容矩阵理论，首先，矩阵理论是数学的一个重要分支，同时在数值分析，最优化方法，微分方程，控制理论，数学模型及各种工程学科如数字图像处理、现代控制系统、机器人技术有极其重要的作用。

课堂上我们主要学习的是一些矩阵理论的基础知识，如线性代数基础，向量与矩阵的范数，通过这些内容的学习既是对高等代数的复习，又是对矩阵理论理解的加深，为以后更深一步的学习和研究打下基础。

最让我感兴趣的的是矩阵理论在实际生活和科研中的应用。

比如老师向我们介绍了用矩阵只是可以解释鸟儿在迁徙时候的队形是最佳队形，这让我感到很新奇，同时让我知道了矩阵的作用之大，激发了我对矩阵理论的学习兴趣。

矩阵理论更多的应用于科研研究中。

像在字图像处理、现代控制系统、机器人技术就要经常要用到矩阵理论。

比如矩阵求逆在3D程序中很常见，主要应用于求Billboard矩阵。

按照定义的计算方法乘法运算，严重影响了性能。

在需要大量Billboard矩阵运算时，矩阵求逆的优化能极大提高性能。

再比如矩阵图法就是在复杂的质量问题中，往往存在许多成对的质量因素．将这些成对因素找出来，分别排列成行和列，其交点就是其相互关联的程度，在此基础上再找出存在的问题及问题的形态，从而找到解决问题的思路。

这次科研讨论课是我第一次接触科研，让我意识到科研并不是遥不可及的。

我以后一定会更多的关注科研，接触科研，争取走上科研之路！。

数学建模报告一、报告题目：《排污问题》二、报告人信息：姓名：****** 学号：2012********** 学院：机械工程学院 专业：机械制造及其自动化 三、报告摘要：本报告运用了微分方程以及矩阵理论方面的基本知识，建立了关于排污问题的数学模型，求解出经过时间0t >后，每个排污桶里面所含有的污染物的浓度以及所剩余的污染物的质量。

本题对于类似问题的求解以及相关问题的推广应用具有重要的意义！ 四、欲解决的题目内容：考虑体积均为V 加仑的三个装满脏水的桶，刚开始在编号为i 的桶里面含有污染物c i磅。

为了排除污染物，所有的水龙头同时打开，使得新鲜水以r 加仑/秒的速度流进3号桶顶部，同时在它的底部的水龙头也以r 加仑/秒的速度流进2号桶顶部，而2号桶的底部的水龙头同时也以r 加仑/秒的速度流进1号桶顶部，最后1号桶的底部以r 加仑/秒的速度把水排向其他地方。

问题：当水龙头开后，在任何有限时间0t >时，每个箱子中含的污染物有多少磅？ 五、基本术语解释：（1）'0()()lim()x f x x f x f x x∆→+∆-=∆；（2）AB C =即矩阵的乘法（矩阵A 的第i 行每个元素乘以矩阵B 的第j 列的对应元素之和作为矩阵C 中第i 行第j 列的元素）。

六、基本理论阐述：本题由实际生活中的排污问题抽象出具体的数学模型，建立浓度的关系式，根据微分方程求解出每个桶排放到下个桶时候的浓度（关于时间t 的函数），然后再根据本桶起始污染物的质量加上本桶上一个桶排放到本桶污染物的质量最后减去本桶排放到下一个桶的污染物的质量即是本桶在t 时刻所剩余的污染物的质量。

根据这个原理就可以求解出在任何有限时间0t >时，每个桶中含的污染物有多少磅。

七、报告正文：由题目内容的描述可知：刚开始的时候1号桶、2号桶、3号桶里面含有的污染物分别为c 1、c 2、c 3磅。

假设在时间t 时刻3号桶、2号桶、1号桶排出的污染物的浓度分别为3()x t ，2()x t ，1()x t ，而3号桶、2号桶、1号桶所剩余的污染物的质量分别为：3()y t 、2()y t 、1()y t 。

矩阵论总结
矩阵论是一个较为全面的线性代数学科，其关注的是矩阵（线性变换）的理论研究。

它经常被用来解决各种复杂的数学问题，特别是和非线性反应、扭曲和传感器等相关的问题。

主要的目的是通过分析矩阵来研究各种问题的解决方案。

矩阵论和线性代数有紧密的联系，因为它们都是关于矩阵的数学学科。

然而，矩阵论更多的是关注矩阵变换的数学原理，而线性代数更多地关注数学函数本身，如矩阵乘积和运算符等。

矩阵论有一定的基础概念，其中最基本的是矩阵的行的线性组合、列的线性组合、它们的内积等。

这些都是构成矩阵变换的基本概念，研究这些概念有助于我们理解矩阵的特征，从而更好地分析各种问题。

矩阵论中还有许多其他重要知识，如二次型和特征值分解等。

这些概念对理解矩阵变换都有重要意义，且有助于我们更好地解决复杂问题。

此外，矩阵论中有许多实用工具，如矩阵求解器、矩阵唯一分解及代数法则等，可以帮助我们解决复杂的矩阵问题，充分发挥矩阵的优势。

在实际应用中，矩阵论也有一些重要的应用。

如在信号处理中，矩阵论可以用来分析系统的特征，从而实现信号的运算和处理；在机器学习中，矩阵论可以用来训练模型并优化模型参数；在数据分析中，可以利用矩阵论来做更加深入的数据分析，以挖掘有用的知识。

总而言之，矩阵论是一门涉及到系统分析、机器学习、信号处理和有效数据分析等多个领域的数学学科，它以其独特的视角深入研究矩阵变换，从而帮助我们搞清楚复杂问题的解决方案。

矩阵论在方程解耦及最小二乘法中的应用摘要：模态（也称为固有振动模态，或主模态）是多自由度线性系统的一种固有属性，可由系统的特征值(也称为固有值）与系统的特征矢量(也称为固有矢量，或者主振型）二者共同来表示的；它们分别从时空两个方面来刻画系统的振动特性。

模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型,其可以使得耦合方程组解耦。

作用于一个n维自由度系统,可以转换到模态坐标下来解耦，确定在模态坐标下响应，然后通过线性变换得到物理坐标下的响应。

惯常使用中,将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数[1］.在科学实验和工程计算中，我们希望从给定的数据出发,构造一个近似函数,使数据点均在离曲线的上方或下方不远处,所求的曲线称为拟合曲线，它既能反映数据的总体分布，又不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性，使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小，这就是最小二乘法。

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，使这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小[2］，则需要范数的知识。

关键字：模态，方程解耦,最小二乘一、引言数学中解耦是指使含有多个变量的数学方程变成能够用单个变量表示的方程组，即变量不再同时共同直接影响一个方程的结果，从而简化分析计算.通过适当的控制量的选取，坐标变换等手段将一个多变量系统化为多个独立的单变量系统的数学模型，即解除各个变量之间的耦合.对离散型函数（即数表形式的函数）考虑数据较多的情况。

若将每个点都当作插值节点，则插值函数是一个次数很高的多项式，比较复杂，而且由于龙格振荡现象,这个高次的插值多项式可能并不接近原函数。

最小二乘法在实际工程数据处理中应用广泛,在工程问题中，使用最小二乘法根据两个变量的几组实验数据可12以轻松的找出这两个变量的函数关系的近似表达式,拟合成一条曲线来反映所给数据点总趋势[5]。