2013届北京朝阳区高三数学文科一模试卷及答案
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2013届北京朝阳区高三数学文科一模试卷及答案
2 / 9 北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题（文史类） 2013.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 设集合{02}Axx，集合2{log0}Bxx，则AB 等于
A．|2xx B．|xx0 C．|02xx
D．|12xx
2．已知i是虚数单位，若复数(1i)(2i)a是纯虚数，则实数a等于
A．2 B．12 C．12 D．2
3.“1k”是“直线0xyk与圆221xy 相交”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 执行如图所示的程序框图．若输入3x，则输开始
0k
5xx
1kk结束 输是 否
输出k 23?x
3 / 9
4 / 9
A．124 B．112 C．16 D．12
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9. 已知数列1,,9a是等比数列，数列121,,,9bb是等差数列，则12abb的值为 .
10.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且222bcabc，则A= ．
11.若关于x，y的不等式组10,10,10xyxaxy（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 .
12.已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0,5(1F，点P在双曲线上，且线段1PF的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是 ，离心率是 .
5 / 9 C
B
D1 C1 A D E 13.在直角三角形ABC中，90ACB，2ACBC，点P是斜边AB上的一个三等分点，则CPCBCPCA
．
14. 将连续整数1,2,,25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知函数2()sincoscos1222xxxfx.
（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求函数()fx在[,]上的最小值.
16. （本小题满分14分）
在长方体1111ABCD-ABCD中，12AA=AD=，E是棱CD上
6 / 9 的一点．
（Ⅰ）求证：1AD平面11ABD；
（Ⅱ）求证：11BEAD；
（Ⅲ）若E是棱CD的中点，在棱1AA上是否存在点P，
使得DP∥平面1BAE？若存在，求出线段AP的长；
若不存在，请说明理由．
17. （本小题满分13分）
某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
组别 分组 频数 频率
第1组 [50，60） 8 0.16
第2组 [60，70） a ▓
第3组 [70，80） 20 0.40
第4组 [80，90） ▓ 0.08
第5组 [90，100] 2 b
合计 ▓ ▓ 频率组距 频率
成绩（分） 频率分布直方图
0.040
x
▓
0.008 ▓
50 60 80 70 90 100 y
7 / 9
（Ⅰ）写出,,,abxy的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.
（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；
（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.
18. （本小题满分13分）
已知函数1()()2ln()fxaxxaxR．
（Ⅰ）若2a，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；
（Ⅱ）求函数()fx的单调区间.
19. （本小题满分14分）
已知直线:1()lxmymR与椭圆22:109xyCtt相交于,EF两点，与x轴相交于点B，且当0m时，83EF.
8 / 9 （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点A的坐标为(3,0)，直线AE，AF与直线3x分别交于M，N两点.
试判断以MN为直径的圆是否经过点B?并请说明理由.
20. （本小题满分13分）
将正整数21,2,3,4,,n（2n）任意排成n行n列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,ab（ab）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.
（Ⅰ）当2n时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（Ⅱ）若ija表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1in，1jn），且满足(1),(1),ijijinijainijnij，
，请分别写出3,4,5n时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（Ⅲ）对于由正整数21,2,3,4,,n排成的n行n列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合222{1,2,,}nnnnn，记其“特征值”为，求证： 1.nn
9 / 9
北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题答案（文史类） 2013.1
一、选择题：
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）
答案 D A A C B C D A
二、填空题：
题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14）
答案 310 3 3 1422yx；5 4 45；
85
（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）
三、解答题：
（15）（本小题满分13分）
10 / 9 解：（Ⅰ）1cos()sincos1222xxxfx
111sincos222xx …………………………………………2分
21sin().242x ……………………………………………4分 所以函数()fx的最小正周期为2. …………………………………………6分
由322242kxk，kZ，则52244kxk.
则函数()fx单调减区间是5[2,2]44kk，kZ. ………………9分
(Ⅱ)由x，得7244x. ………………………………………11分
则当342x，即54x时，()fx取得最小值212. …………………13分
（16）（本小题满分14分）
11 / 9 解：（Ⅰ）在长方体1111ABCD-ABCD中，
因为11AB面11ADDA，
所以111ABAD． ………………………………………………………………2分
在矩形11ADDA中，因为12AA=AD=，所以11ADAD．……………………4分
所以1AD面11ABD. ………………………………………………………5分
（Ⅱ）因为ECD，所以1BE面11ABCD，
由（Ⅰ）可知，1AD面11ABCD， …………………………………………7分
所以11BEAD． …………………………………………………………………8分
（Ⅲ）当点P是棱1AA的中点时，有DP∥平面1BAE． ………………………9分
理由如下：
在1AB上取中点M，连接PM,ME．
12 / 9 因为P是棱1AA的中点，M是1AB的中点，
所以PM∥11AB，且1112PMAB．……10分
又DE∥11AB，且1112DEAB．
所以PM∥DE，且PMDE，
所以四边形PMED是平行四边形，
所以DP∥ME．…………………………11分
又DP面1BAE，ME面1BAE，
所以DP∥平面1BAE． …………………………………………………………13分
此时，1112APAA． …………………………………………………………14分
（17）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意可知，16,0.04,0.032,0.004abxy．……………………4分
（Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为,,,ABCD，第5组共有2人，记为,XY． A1 B1 C
B
D1 C1 A D E
P M
13 / 9 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有,,,,,,,ABACADBCBDCDAXAY，,,,,,,BXBYCXCYDXDYXY
共15种情况．…………………………………………………………………………6分
设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E， …………7分
有,AXAY，,,,,,,BXBYCXCYDXDYXY共9种情况．
……………8分
所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是93()155PE．
答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35. ……………10分
（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F，有,,,,,,ABACADBCBDCDXY共7种情况． …………………………………………………………………………11分
所以7()15PF
答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是
