北京朝阳高三一模数学(理)试题及答案
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知识改变命运
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试（理工类）
2015．4
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110 分）两部分
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题 ：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项 ．
1. 已知集合 A 1,2,m ，B 1,m .若 B A，则 m
A. 0 B. 2 C. 0 或 2 D. 1 或 2
2
2.已知点 A（1,y0 ） （y0 0）为抛物线 y 2px p 0 上一点 .若点 A到该抛物线焦点的距离为
3 ，则 y0
5.某商场每天上午 10点开门，晚上 19
点停止进入． 在如图所示的框图中， t表示整点时刻， a(t )表示时间段 [t 1,t) 内进入商场人次， SB. 2 C. 2 2 D. 4
3.在 ABC 中，若 π6
A ， cosB 6 ， BC 6 ,则 AC
A. 4 2 B.4 C.2 3 D. 4 3
3
a 2 ”的 精品文档 你我共享
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表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为 了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填
A. t 17?
B． t 19?
C ． t 18?
D． t 18?
6.设 x1,x2,x3均为实数，且 31x1
log2(x1 1) 13x2
log3 x2 31x3
log2 x3
则
A. x1 x3 x2 B. x3 x2 x1 C. x3 x1 x2 D. x2 x1 x3 精品文档 你我共享
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7.在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A(1,0) , B (1,1)，且 BOP 90 . 设
OP OA kOB (k R) ， 则 OP
1
A . 2 B. 2
2 C. 2 D.2
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30分．把答案填在答题卡上 ．
1 2i
9.i 为虚数单位，计算 1 i _______________ .
10. _________________________________________________________________ 设 Sn 为等差数列 an 的前 n项和 .若 a3 a8 3 ， S3 1,则通项公式 an = __________________________________ .
11. 在极坐标中，设 0，0 2π，曲线 2 与曲线 sin 2 交点的极坐标为 _________________ .
12. 已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种 队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 . （用数字作答）
2x y 0,
2x y 0,
13. 设 z 3x y，实数 x， y 满足 0 y t, 其中 t 0．若 z 的最大值为 5，则实数 t 的 值为 ，此时 z 的最小值为 _______ .
14．将体积为 1 的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体， 第二次再将剩余的
每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，如此下去，共进行了 n（n N ） 次.则第一次挖去的几何体的体积是 _________________ ；这 n 次共挖去的所有几何体的体积和是 8. 设集合 M = (x0,y0) x02 y02 20,x0 Z,y0 Z ，则 M 中元素的个数为
A. 61 B. 65 C. 69 D.84 精品文档 你我共享
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三、解答题：本大题共
6
小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
15．(本小题满分 13 分)
已知函数 f(x) cos x 3sin xcosx， x R .
Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期和单调递减区间；
Ⅱ)设 x m (m R)是函数 y f ( x)图象的对称轴，求 sin4m 的值．
16．(本小题满分 13 分)
如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，
其中，频率分布直方图的分组区间分别为 50,60 ， 60,70 ， 70,80 ， 80,90 ， [90,100] .
Ⅰ)求全班人数及分数在 [80,100] 之间的频率；
Ⅱ)现从分数在 [80,100] 之间的试卷中任取 3 份分析学生失分情况，设抽取的试卷分
数在[90,100] 的份数为 X ，求 X 的分布列和数学期望． 据此解答如下问题． 精品文档 你我共享
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17．（本小题满分 14 分）
如图，正方形 ADEF与梯形 ABCD 所在平面互相垂直， 已知 AB // CD, AD CD ，
1
AB AD CD
2.
（Ⅰ）求证 : BF // 平面 CDE ；
Ⅱ）求平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值
（ Ⅲ ） 线 段 EC 上 是 否 存 在 点 M ，
EM
若存在，求出 EC 的值；若不存在，说明理由
18．（本小题满分 13 分）
2
x
f（x） alnx （a 1）x
已知函数 2 ， a R ．
（Ⅰ） 当 a 1时，求函数 f（x） 的最小值；
（Ⅱ） 当 a 1时，讨论函数 f（x） 的零点个数 .
19.（本小题满分 14 分）
22 已知椭圆 C: x2 y2 1（a b 0）的一个焦点为 F （2,0） ，离心率为 6 ．过焦点 F
a2 b2 3
的直线 l与椭圆 C交于 A,B两点，线段 AB中点为 D ， O为坐标原点，过 O，D 的直线 交椭圆于 M,N 两点．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）求四边形 AMBN 面积的最大值． 使 得 平 面 BDM 平 面 B D F？ 精品文档 你我共享
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20.(本小题满分 13 分)
若数列 { an }中不超过 f (m)的项数恰为 bm(m N* ) ，则称数列 {bm}是数列 {an}的生成数 列，称相应的函数 f (m)是{an} 生成 { bm}的控制函数．设 f(m) m2 ．
(Ⅰ)若数列 { an }单调递增，且所有项都是自然数， b1 1，求 a1；
(Ⅱ)若数列 {an} 单调递增，且所有项都是自然数， a1 b1,求a1；
(Ⅲ)若an 2n(n 1,2,3 ) ，是否存在 {bm}生成{an}的控制函数 g(n) pn2 qn r (其中 常数 p,q,r Z )？使得数列 {an}也是数列 {bm} 的生成数列？若存在，求出 g(n)；若 不存在，说明理由 .精品文档 你我共享
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解：（Ⅰ）由已知，函数 f（x） cos2 x 3sin xcosx
1
12(1 cos2x) + 3sin2x
2
sin(2 x π)
函数 f （x） 的最小正周期为 T π.
π π 3 π π 2π
当 2kπ 2x 2kπ 时( k Z )，即 kπ+ x kπ+ 时，函数 f (x) 为减函数 .即
2 6 2 6 3 函数 f （x）的单调减区间为 kπ+ 6 ,kπ+ 23 ， .9 分
Ⅱ） 由 x m是函数 y f （x） 图象的对称轴， 则 2m π=kπ π（ k Z ），即 m 1k ，
6 2 2 6
3
k Z.则4m 2k 3 .则sin 4m 23 .13 分
16. （本小题满分 13 分）
解 ：（ Ⅰ ） 由 茎 叶 图 可 知 ， 分 布 在 [50,60） 之 间 的 频 数 为 4 ， 由直方图，频率为
0.0125 10 0.125 ，
4 所以全班人数为 32 人．
0.125
所以分数在 [80,100]之间的人数为 32- （4+ 8+ 10） = 10人.
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数学答案（理工类） 2015． 4
、选择题（满分 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B A D A B
C
、填空题（满分 30 分）
题号 9 10 11 12 13 14
答案 13
i
22 n1
3 2,2 72 2; 1 1 1 n ;1 ( )n 22
注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）
三、解答题 （满分 80 分）
15.（本小题满分 13 分）
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分数在 [80,100] 之间的频率为 10 0.3125 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .4 分
32
Ⅱ）由（Ⅰ）知，分数在 [80,100] 之间的有 10份，分数在 [90,100] 之间的人数有
0.0125创10 32=4 份，由题意， X 的取值可为 0,1,2,3 ．
P(X 0) C63
C10 1，
，
6 P(X 1) 12
C4C6 C130
C42C16 3
P(X 2) C130 10 ， C43 P(X 3) 3
C10 30
