等腰梯形的性质与判定

正定镇中学仝树霞

1.等腰梯形在同一底上的两个底角相等.2.等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴.3.等腰梯形的对角线相等.等腰梯形的性质如何判定一个梯形是等腰梯形呢

有两腰相等的梯形是等腰梯形.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形吗？如是,请证明.如不是,请说明理由.答：是等腰梯形.

A

BCD如图，已知:在梯形ABCD中，

AD∥BC，∠B＝∠C .

求证：AB＝DC.

A

BCD

EA

BCDE

A

BCD

EF１.过D作DE∥AB，

交BC于E．2.分别延长BA、CD,它们相交于点E

3.作梯形的高AE、DF

在同一底上的两个角

相等的梯形是等腰梯形等腰梯形的判定定理：例题，求证：对角线相等的梯形是等腰梯形

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BD.

求证：AB=DC.A

BCD

E一、填空：

1.梯形的上、下底分别是2cm，7c m，一腰长为3cm，则另一腰x 的长度的取值范围是____________.

2. 一个梯形的上下底的长分别为1,4,对角线之长为3,4,则这个梯形的面积是___.2cm

6二、选择题

1.有两个角相等的梯形是（）

A .等腰梯形B. 直角梯形C .一般梯形

D.等腰梯形或直角梯形

2.下列命题中, ⑴有两个角相等的梯形是等腰梯形⑵有两条边相等的梯形是等腰梯形⑶两条对角线相等的梯形是等腰梯形⑷等腰梯形上下底边中点的连线垂直于底边。其中正确的命题共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个BD3.下列命题是假命题的是( )

A.等腰梯形的两条对角线相等B.对角线相等的四边形是等腰梯形C.等腰梯形是轴对称图形

D.梯形的两底之和小于两条对角线之和

4.四边形ABCD中, ∠A :∠B :∠C :∠D＝3 :3 :2:4（）

A.平行四边形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形B

C三.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠ABC=60°,BD平分∠ABC,BC=2AB.

求证:四边形ABCD是等腰梯形.

A

BCD

2.

第30讲梯形和等腰梯形的判定与性质

一、中考考什么（知识梳理）考点一：梯形及特殊梯形的定义：1、梯形：2、等腰梯形：3、直角梯形：考点二：(1)梯形的性质：

①两底平行②梯形的面积S= 12(a+b)h（2）等腰梯形的性质①、等腰梯形在同一底上的两个角。②、等腰梯形的对角线。③、等腰梯形的对角。考点二：等腰梯形的判定1、两腰相等的是等腰梯形。2、在同一底上的两个角的梯形是等腰梯形。3、两条对角线的梯形是等腰梯形。

二、重庆怎么考（例题精讲）例1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若BC=8，AD=2，则tan∠ABE=__________。

例2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90,∠C=45,AD=1,BC=4, E为AB中点，

EF∥DC交BC于F. 求EF的长. B F CA D

图2 FCB

DAEE

图1

等腰梯形的性质及判定

文章来源：现代教育报·思维训练 作者：李达 点击数：242 更新时间：2007-4-2 16:36:44

我们除了要准确掌握等腰梯形的性质和判定外，还需要知道等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴.

【例1】 等腰梯形的上底和腰相等，而一条对角线和它的一条腰垂直，则梯形各角的度数为 .

【分析】 根据题意画出图形，根据等腰梯形的性质和已知条件很容易求出角度.

解：依题意，画出图形如下：

∵ AD=AB ，∴ ∠1=∠2.

∵ AD∥BC ，∴ ∠2=∠3.∴ ∠1=∠3.

∵ 梯形ABCD为等腰梯形，

∴ ∠C=∠ABC=2∠3.

∵ BD⊥DC， ∴ ∠3+∠C=90°，

∴ 3∠3＝90° . ∴ ∠3＝30°.

∴ ∠C＝∠ABC=60°.

∴ ∠A＝∠ADC=120°.

【小结】 此题主要考查等腰梯形的性质——等腰梯形在同一底上的两个角相等.

【例2】 如下图，梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，试说明AC=CE.

【分析】 因为AD=BC，所以梯形ABCD是等腰梯形，所以对角线AC＝BD，现在要证AC=CE，可先证CE＝BD.如何证CE＝BD呢？我们自然能看出四边形CDBE是平行四边形.

解：连结BD. ∵ DC∥BE， DC=BE.

∴ 四边形BECD为平行四边形. ∴ CE=BD.

又∵ 梯形ABCD为等腰梯形，

∴ AC=BD. ∴ CE=AC.

【小结】 掌握等腰梯形的性质和平行四边形的判定方法是解此题的关键，本题还可以通过证明△ACD≌△CEB的方法得到AC=CE，有兴趣的同学不妨试一试.

【例3】 如下图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD为对角线，且AC⊥BD，AD=3，BC=7，求梯形ABCD的面积.

等腰三角形的性质与判定练习

基础知识

1.两个底角相等(简写为“等边对等角”)

2.底边的中线、高及顶角平分线三线合一.

3.等边三角形各内角都等于60°.

利用这些性质，可以解决有关三角形的边、角的证明及计算问题，也可以利用性质来进行有关线段、角的证明及计算问题.

等腰三角形的判定定理

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）

等腰三角形判定定理的推论

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等边三角形的判定方法（1）运用定义：三条边相等（2）三个角相等（3）有一个角是60°的等腰三角形

典型例题

例1 求证：等腰三角形两腰的中线相等.

已知△ABC中AB=AC，BD、CE为中线，求证BD=CE.

例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。求证：△DEF是等腰三角形。

例3. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，且ABD60°，ACD60°，求证：BD+DC=AB。

A

B D

C

例4. 如图所示，已知：△ABC中，AB=AC，在AB上取点D，在AC延长线上取点E，使BD=CE。连结DE交BC于点G。求证：DG=GE。

A

D

G

B C

E

例5. △ABC中，AB=AC，∠BAC=120°,D为BC上一点，DA⊥AB，AD=24,求BC.

分析：由已知等腰三角形顶角120°,可求出底角30°(∠B=30°)，可计算出∠C=∠CAD=30°.再利用等腰△ADC及有一个锐角为30°的Rt△ADB三边的关系求出结论.