安徽省芜湖市无为县第一中学2018-2019学年高三数学文上学期期末试卷含解析
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安徽省芜湖市无为县第一中学2018-2019学年高三数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
参考答案：
D
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：利用向量的加减法可得，故有 OP=OF2=c=OF1，可得PF1⊥PF2，由条件可得∠PF1F2=30°，由sin30°== 求出离心率．
解答： 解：∵，∴，
∴﹣=0，OP=OF2=c=OF1，∴PF1⊥PF2，
Rt△PF1F2 中，∵，∴∠PF1F2=30°．
由双曲线的定义得 PF1﹣PF2=2a，∴PF2=， sin30°====，∴2a=c（﹣1），
∴=+1，
故选D．
点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的简单性质的应用，其中，判断△PF1F2是直角三角形是解题的关键．
2. 已知奇函数在单调递增，则满足的的取值范围是（ ）
A． B. C. D.
参考答案：
A
3. 在下面四个图中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f ′(x)的图象，则f(－1)等于( )
A. B.－
C. D.－或
参考答案：
B
f ′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，其图象开口向上，故图形不是(2)，(3)；由于a≠0，故图形不是(1)，∴f ′(x)的图象为(4)，∴f ′(0)＝0，∴a＝1或－1，由图知a≠1，∴a＝－1，∴f(x)＝x3－x2＋1，∴f(－1)＝－，故选B.
4. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入，则输出的（ ）
A．26 B．48
C．57 D．64
参考答案：
A
考点：算法流程图及识读．
5. 执行如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
D
【考点】EF：程序框图．
【分析】根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，分段讨论满足y=x的x值，最后综合讨论结果可得答案．
【解答】解：根据已知中的程序框图可得：
该程序的功能是计算并输出分段函数
y=的函数值
当x≤1时，y=x3=x，解得x=﹣1或x=0或x=1，这三个x值均满足条件；
当1＜x≤3时，y=3x﹣3=x，解得x=，满足条件；
当x＞3时， =x，解得x=﹣1或x=1，这两个x值均不满足条件；
综上所述，满足条件的x值的个数是4个．
故选D
【点评】本题考查的知识点是程序框图，分析出程序的功能是解答的关键． 6. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
先根据三角函数的定义求出，然后再根据二倍角的余弦公式求出．
【详解】∵为角终边上一点，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查三角函数的定义和倍角公式，考查对基础知识的掌握情况和转化能力的运用，属于基础题．
7. 下列说法正确的是（ ）
A．若直线与平面只有1个交点，则线面垂直
B．过平面外一点只能做一条直线与平面平行
C．球面上任意不同三点可确定一个平面
D．两平面相交可以只有1个公共点
参考答案：
C
略 8. 把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）
A．
B． C． D．
参考答案：
B
9. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由已知及三角形内角和定理，诱导公式可得===，再结合正弦定理即可得解．
【解答】解：∵A+B+C=π，A=2B，
∴===．
再结合正弦定理得：．
故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键，属于基础题．
10.
已知集合则S∩T等于
A．S B．T C． D．φ
参考答案：
答案：A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设，其中满足，则的最小值为__ ____
参考答案：
12. 已知A、B、C三点共线，O为直线外任意一点，且，则 的最小值为
参考答案：
略
13. 已知在等差数列{an}中，a1，a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a2+a1009+a2016的值为 ．
参考答案：
15
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系可得a1+a2017=10再利用等差数列的性质即可得出． 【解答】解：∵a1，a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根，
∴a1+a2017=10=2a1009，
∵数列{an}是等差数列，
则a2+a1009+a2016=3a1009=15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14. 已知正方形ABCD的边长为1，当每个取遍±1时，的最小值是________；最大值是_______.
参考答案：
0
【分析】
本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.
【详解】
要使的最小，只需要
，此时只需要取
此时
等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正。
比如
则.
点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题。
【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
15. 若在[－1,+∞)上单调递减，则a的取值范围是________.
参考答案：
【分析】
由已知得在，上单调递增，且由此能求出的取值范围．
【详解】解：函数在，上单调递减，
在，上单调递增，
，
解得．
故答案为：
【点睛】本题考查复合函数的单调性，实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．
16. 某住宅小区计划植树不少于60棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数等于_____________.
参考答案：
5 17. 已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M的坐标为(2,0)，若AM为的角平分线，则___________.
参考答案：
【分析】
由题意可知：A在y轴左侧，3，根据椭圆的性质可知：|AF1|+|AF2|＝2a＝10，即可求得|AF2|的值．
【详解】解：由题意可知：∠F1AM＝∠MAF2，设A在y轴左侧，
∴3，
由|AF1|+|AF2|＝2a＝10，
A在y轴右侧时，|AF2|，
故答案为：．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 不等式选讲
己知长方体的三条棱长分别为a、b、c，其外接球的半径为
(I)求长方体体积的最大值：
(II)设，求的最大值
参考答案：
(I) (II)12解析：解:(1)由题意可知 ，
由三个正数的基本不等式可得 ，
即 ，所以
长方体体积的最大值;…………………………5分
(2)，根据柯西不等式，有
，
， 当且仅当“”即“”时，
取得最大值12.…
略
19. 设，函数.
（1）若，求函数的极值与单调区间；
（2）若函数的图象在处的切线与直线平行，求的值；
（3）若函数的图象与直线有三个公共点，求的取值范围.
参考答案：
解：
（1）时，，当时，，当，或时，，所以，的单调减区间为，单调增区间为和；当时，有极小值，当时，有极大值.
(2) ，所以，此时，切点为，切线方程为，它与已知直线平行，符合题意.
(3)当时，，它与没有三个公共点，不符合题意.
当时，由知，在和上单调递增，在上单调递减，又，，所以，即，
又因为，所以；
当时，由知，在和上单调递减，在上单调递增，又，，所以，即，又因为，所以；
综上所述，的取值范围是.
略
20. 已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；
（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．
