中考数学压轴题之反比例函数(中考题型整理,突破提升)含详细答案

中考数学压轴题之反比例函数(中考题型整理,突破提升)含详细答案

一、反比例函数

1．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．

（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；

（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；

（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．

【答案】（1）解：k=4，S△PAB=15．

提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，

设AP与y轴交于点C，如图1，

把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1），

把点B（4，1）代入y= ，得k=4．

解方程组 ，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），

则点A与点B关于原点对称，

∴OA=OB，

∴S△AOP=S△BOP ，

∴S△PAB=2S△AOP ．

设直线AP的解析式为y=mx+n，

把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，

求得直线AP的解析式为y=x+3，

则点C的坐标（0，3），OC=3，

∴S△AOP=S△AOC+S△POC = OC•AR+ OC•PS

= ×3×4+ ×3×1= ，

∴S△PAB=2S△AOP=15；

（2）解：过点P作PH⊥x轴于H，如图2．

B（4，1），则反比例函数解析式为y= ，

设P（m， ），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，

联立 ，解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1，

联立 ，解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1，

∴M（m﹣4，0），N（m+4，0），

∴H（m，0），

∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4，

∴MH=NH，

∴PH垂直平分MN，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形；

（3）解：∠PAQ=∠PBQ．

理由如下：

过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．

可设点Q为（c， ），直线AQ的解析式为y=px+q，则有

，

解得： ，

∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1．

当y=0时， x+ ﹣1=0，

解得：x=c﹣4，

∴D（c﹣4，0）．

同理可得E（c+4，0），

∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4，

∴DT=ET，

∴QT垂直平分DE，

∴QD=QE，

∴∠QDE=∠QED．

∵∠MDA=∠QDE，

∴∠MDA=∠QED．

∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．

∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED，

∴∠PAQ=∠PBQ．

【解析】【分析】（1）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA=OB，由此可得S△PAB=2S△AOP ， 要求△PAB的面积，只需求△PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即△PMN是等腰三角形；（3）过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c， ），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c﹣4，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有∠QDE=∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ=∠PBQ．

2．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（ ，2）．

（1）求k的值；

（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= （k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．

【答案】（1）解：作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，

∵点D的坐标为（ ，2），

∴DO=AD=3，

∴A点坐标为：（ ，5），

∴k=5 ；

（2）解：∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x＞0）的图象上D′，

∴DF=D′F′=2，

∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）

∴2= ，解得x= ，

∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ，

∴菱形ABCD平移的距离为 ，

同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x＞0）的图象上，

菱形ABCD平移的距离为 ，

综上，当菱形ABCD平移的距离为 或 时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．

【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．

3．如图，反比例函数y1= 的图象与一次函数y2= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4，点P（1，m）在反比例函数y1= 的图象上． （1）求反比例函数的表达式；

（2）观察图象回答：当x为何范围时，y1＞y2；

（3）求△PAB的面积．

【答案】（1）解：把x=4代入y2= x，得到点B的坐标为（4，1）， 把点B（4，1）代入y1= ，得k=4．

反比例函数的表达式为y1=

（2）解：∵点A与点B关于原点对称， ∴A的坐标为（﹣4，﹣1），

观察图象得，当x＜﹣4或0＜x＜4时，y1＞y2

（3）解：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO， 设AP与y轴交于点C，如图，

∵点A与点B关于原点对称，

∴OA=OB，

∴S△AOP=S△BOP ，

∴S△PAB=2S△AOP ．

y1= 中，当x=1时，y=4，

∴P（1，4）．

设直线AP的函数关系式为y=mx+n，

把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，

则 ，

解得 ．

故直线AP的函数关系式为y=x+3，

则点C的坐标（0，3），OC=3，

∴S△AOP=S△AOC+S△POC

= OC•AR+ OC•PS

= ×3×4+ ×3×1

= ，

∴S△PAB=2S△AOP=15．

【解析】【分析】（1）把x=4代入y2= x，得到点B的坐标，再把点B的坐标代入y1=

，求出k的值，即可得到反比例函数的表达式；（2）观察图象可知，反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1＞y2的解集；（3）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，由点A与点B关于原点对称，得出OA=OB，那么S△AOP=S△BOP ， S△PAB=2S△AOP ． 求出P点坐标，利用待定系数法求出直线AP的函数关系式，得到点C的坐标，根据S△AOP=S△AOC+S△POC求出S△AOP= ，则S△PAB=2S△AOP=15．

4．抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．

（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；

（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；

（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB= ，求点M的坐标．

【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1）

∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）

∵顶点在直线y=x+3上，

∴﹣2+3=m﹣1，

得m=2；

（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，

∵点N在抛物线上，

∴点N的纵坐标为： a2+a+2，

即点N（a， a2+a+2）

在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a，

∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2 ，

=（ a2+a）2+（a2+4a）+4，

而NB2=（ a2+a+2）2 ，

=（ a2+a）2+（a2+4a）+4

∴NF2=NB2 ，

NF=NB

（3）解：连接AF、BF，

由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，

∴∠MAF=∠MFA，

∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，

∴MA∥NB，

∴∠AMF+∠BNF=180°

∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，

∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，

∵∠MAB+∠NBA=180°，

∴∠FBA+∠FAB=90°，

又∵∠FAB+∠MAF=90°，

∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，

又∵∠FPA=∠BPF，

∴△PFA∽△PBF，

∴ = ，PF2=PA×PB= ， 过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，

PG= = ，

∴PO=PG+GO= ，

∴P（﹣ ，0）

设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣ ，0）代入y=kx+b，

解得k= ，b= ，

∴直线PF：y= x+ ，

解方程 x2+x+2= x+ ，

得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），

当x=﹣3时，y= ，

∴M（﹣3， ）．

【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。

（2）过点F作FC⊥NB于点C，根据已知条件点N在抛物线上，可得出N点坐标，在Rt△FCN中，利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2 ， 用含a的代数式分别表示出进而得出NF2、NB2 ， 即可得出到NF=NB。

（3）要求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，再通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF2的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，由图像可知直线PF和抛物线相较于点M，建立方程求解，即可得点M的坐标。

5．对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如：下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.