中考数学反比例函数-经典压轴题含答案解析
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中考数学反比例函数-经典压轴题含答案解析
一、反比例函数
1．如图，反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），直线y=﹣x+b（b≠0）与双曲线y=
在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．
（1）求k的值；
（2）当b=﹣2时，求△OCD的面积；
（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．
【答案】 （1）解：∵反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），
∴k=﹣1×4=﹣4；
（2）解：当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，
∵y=0时，﹣x﹣2=0，解得x=﹣2，
∴C（﹣2，0），
∵当x=0时，y=﹣x﹣2=﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴S△OCD= ×2×2=2
（3）解：存在．
当y=0时，﹣x+b=0，解得x=b，则C（b，0），
∵S△ODQ=S△OCD ， ∴点Q和点C到OD的距离相等，
而Q点在第四象限，
∴Q的横坐标为﹣b，
当x=﹣b时，y=﹣x+b=2b，则Q（﹣b，2b），
∵点Q在反比例函数y=﹣ 的图象上，
∴﹣b•2b=﹣4，解得b=﹣ 或b= （舍去），
∴b的值为﹣ ．
【解析】【分析】（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=﹣4；（2）当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C（﹣2，0），D（0，﹣2），然后根据三角形面积公式求解；（3）先表示出C（b，0），根据三角形面积公式，由于S△ODQ=S△OCD ， 所以点Q和点C到OD的距离相等，则Q的横坐标为（﹣b，0），利用直线解析式可得到Q（﹣b，2b），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b•2b=﹣4，然后解方程即可得到满足条件的b的值．
2．如图，点P（ +1， ﹣1）在双曲线y= （x＞0）上．
（1）求k的值；
（2）若正方形ABCD的顶点C，D在双曲线y= （x＞0）上，顶点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，求点C的坐标．
【答案】（1）解：点P（ ， ）在双曲线 上，
将x= ，y= 代入解析式可得：
k=2； （2）解：过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，∠CBA=90°，
∴∠FBC+∠OBA=90°，
∵∠CFB=∠BOA=90°，
∴∠FCB+∠FBC=90°，
∴∠FBC=∠OAB，
在△CFB和△AOB中，
，
∴△CFB≌△AOB（AAS），
同理可得：△BOA≌△AED≌△CFB，
∴CF=OB=AE=b，BF=OA=DE=a，
设A（a，0），B（0，b），
则D（a+b，a）C（b，a+b），
可得：b（a+b）=2，a（a+b）=2，
解得：a=b=1．
所以点C的坐标为：（1，2）．
【解析】【分析】（1）由待定系数法把P坐标代入解析式即可；（2）C、D均在双曲线上，它们的坐标就适合解析式，设出C坐标，再由正方形的性质可得△CFB≌△AOB△BOA≌△AED≌△CFB，代入解析式得b（a+b）=2，a（a+b）=2，即可求出C坐标.
3．如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．
所以双曲线的解析式为y=﹣ ．
设点B的坐标为（m，﹣m）．
∵点B在双曲线上，
∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．
∵点B在第四象限，
∴m=2．
∴B（2，﹣2）．
将点A、B、C的坐标代入得： ，
解得： ．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．
（2）解：如图1，连接AC、BC．
令y=0，则x2﹣3x=0，
∴x=0或x=3，
∴C（3，0），
∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，
∵点D是直线AB与x轴的交点，
∴D（1，0），
∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；
（3）解：存在，理由：如图2，
由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣ ）2﹣ ，
∴原抛物线的顶点坐标为（ ，﹣ ），
∴抛物线向左平移 个单位，再向上平移 个单位，
而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），
∴平移后点A（﹣ ， ），B（ ， ），
∴点A关于y轴的对称点A'（ ， ），
连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，
由对称性知，∠APE=∠BPE，
∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，
∵B（ ， ），A'（ ， ），
∴直线A'B的解析式为y=3x﹣ ，
∴P（0，﹣ ）．
【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；
（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；
（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.
4．已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y= （k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为s，且s=1+ ．
（1）当n=1时，求点A的坐标；
（2）若OP=AP，求k的值；
（3）设n是小于20的整数，且k≠ ，求OP2的最小值．
【答案】（1）解：过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，
当n=1时，s= ，
∴a= = ．
（2）解：解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，
∴△OPA是等腰直角三角形． ∴m=n= ．
∴1+ = •an．
即n4﹣4n2+4=0，
∴k2﹣4k+4=0，
∴k=2．
解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，
∴△OPA是等腰直角三角形．
∴m=n．
设△OPQ的面积为s1
则：s1= ∴ •mn= （1+ ），
即：n4﹣4n2+4=0，
∴k2﹣4k+4=0，
∴k=2．
（3）解：解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，
∴△OPQ∽△OAP．
设：△OPQ的面积为s1 ， 则 =
即： = 化简得：
化简得：
2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0
（k﹣2）（2k﹣n4）=0，
∴k=2或k= （舍去），
∴当n是小于20的整数时，k=2．
∵OP2=n2+m2=n2+ 又m＞0，k=2，
∴n是大于0且小于20的整数．
当n=1时，OP2=5，
当n=2时，OP2=5，
当n=3时，OP2=32+ =9+ = ， 当n是大于3且小于20的整数时，
即当n=4、5、6…19时，OP2的值分别是：
42+ 、52+ 、62+ …192+ ，
∵192+ ＞182+ ＞32+ ＞5，
∴OP2的最小值是5．
【解析】【分析】（1）利用△OPA面积定义构建关于a的方程，求出A的坐标；（2）由已知OP=AP，PA⊥OP，可得△OPA是等腰直角三角形， 由其面积构建关于n的方程，转化为k的方程，求出k;（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,,在n的范围内求出OP2的最值.
5．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO ， 求点D的坐标．
【答案】（1）解：∵OB=4，OE=2， ∴BE=OB+OE=6．
∵CE⊥x轴，
∴∠CEB=90°．
在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO= ，
∴CE=BE•tan∠ABO=6× =3，
结合函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）．
∵点C在反比例函数y= 的图象上，
∴m=﹣2×3=﹣6， ∴反比例函数的解析式为y=﹣
（2）解：∵点D在反比例函数y=﹣ 第四象限的图象上， ∴设点D的坐标为（n，﹣
）（n＞0）．
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO= ，
∴OA=OB•tan∠ABO=4× =2．
∵S△BAF= AF•OB= （OA+OF）•OB= （2+ ）×4=4+ ．
∵点D在反比例函数y=﹣ 第四象限的图象上，
∴S△DFO= ×|﹣6|=3．
∵S△BAF=4S△DFO ，
∴4+ =4×3，
解得：n= ，
经验证，n= 是分式方程4+ =4×3的解，
∴点D的坐标为（ ，﹣4）．
【解析】【分析】（1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；（2）由点D在反比例函数在第四象限的
