高考数学一轮复习 12.3不等式选讲课件

1不等式选讲第2讲证明不等式的基本方法练习理选修4.5

1.[2015·重庆高考]若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.

答案－6或4

解析当a≤－1

时，f(x)＝－3x＋2a－1x≤a

x－2a－1a

3x－2a＋1x>－1，

∴f(x)

min＝－a－1，∴－a－1＝5，∴a＝－6.

当a>－1

时，f(x)＝－3x＋2a－1x≤－1

－x＋2a＋1－1

3x－2a＋1x>a，

∴f(x)

min＝a＋1，∴a＋1＝5，∴a＝4.

综上，a＝－6或a＝4.

2．不等式|2x＋1|－2|x－1|>0的解集为________．

答案x|

x>1

4

解析|2x＋1|－2|x－1|>0⇔|2x＋1|>2|x－1|⇔(2x＋1)2

>4(x－1)2

⇔12x>3⇔x>1

4，

∴原不等式的解集为x|

x>1

4.

3．[2016·南昌月考]若实数a，b，c满足a2

＋b2

＋c2

＝4，则3a＋4b＋5c的最大值为

________．

答案

102

解析由柯西不等式得(3a＋4b＋5c)2

≤(a2

＋b2

＋c2

)(9＋16＋25)＝200，所以－

10

2≤3a＋4b＋5c≤102，所以3a＋4b＋5c的最大值为

102.

4．[2015·黄陵一模]设关于x的不等式|x|＋|x－1|

＝2，则不等式的解

集为________；若不等式的解集为∅，则a

的取值范围是________．

答案－1

2

，3

2(－∞，1]

解析a

＝2时，不等式|x

|＋|x

－1|<2可化

为x

≤0

－x

＋1－x

<2

或0

<1

x

＋1－x

<2或

x

≥1

x

＋x

－1<2，解得－1

2

≤0或0

<1或1≤x

<3

2，即－1

2

<

3

2，

故不等式的解集为－1

2

，3

2.

因为|x

|＋|x

－1|≥|x

－(x

－1)|＝1，所以若不等式|x

|＋|x

－1|

的解集为∅，则a

的

取值范围是(－∞，1]．

5．[2015·江苏高考]解不等式x

＋|2x

＋3|≥2.

解

原不等式可化为x

<－3

2

－x

－3≥2

或x

≥－3

2

3x

＋3≥2.

1 不等式选讲 第1讲 绝对值不等式练习 理 选修4.5

[A组·基础达标练]

1．不等式3≤|5－2x|<9的解集为( )

A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7]

C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7)

答案 D

解析

 |2x－5|<9|5－2x|≥3⇒ －9<2x－5<92x－5≥3或2x－5≤－3

得(－2,1]∪[4,7)，故选D.

2．若不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a等于( )

A．－8 B．－4

C．2 D．8

答案 B

解析 由|ax＋2|<6可知－80时－8a

3．已知a∈R，若关于x的方程x2＋x＋a－14＋|a|＝0有实根，则a的取值范围是( )

A.0，14 B.0，14

C.0，14 D.0，14

答案 A

解析 ∵关于x的方程x2＋x＋a－14＋|a|＝0有实根，

∴Δ＝1－4a－14＋|a|≥0，

∴a－14＋|a|≤14.

当a≤0时，a－14＋|a|＝14－2a≤14，

∴a＝0； 2 当0

∴0

当a>14时，a－14＋|a|＝a－14＋a＝2a－14≤14，

∴a≤14无解．综上可知0≤a≤14.

4．[2014·江西高考]对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( )

A．1 B．2

C．3 D．4

答案 C

解析 易知|x－1|＋|x|≥1，当且仅当0≤x≤1时等号成立；|y－1|＋|y＋1|≥2，当且仅当－1≤y≤1时等号成立．故|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.

5．[2015·烟台一模]若关于x的不等式|x－2|＋|x＋3|

A．(－∞，1] B．(－∞，1)

第3讲 基本不等式

1．重要不等式

a2＋b2≥012ab(a，b∈R)(当且仅当02a＝b时等号成立)．

2．基本不等式ab≤a＋b2

(1)基本不等式成立的条件：03a>0，b>0；

(2)等号成立的条件：当且仅当04a＝b时等号成立；

(3)其中a＋b2叫做正数a，b的05算术平均数，ab叫做正数a，b的06几何平均数.

3．利用基本不等式求最大、最小值问题

(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，

那么当07x＝y时，x＋y有08最小值2P.(简记：“积定和最小”)

(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，

那么当09x＝y时，xy有10最大值S24.(简记：“和定积最大”)

1．常用的几个重要不等式

(1)a＋b≥2ab(a>0，b>0)． (2)ab≤a＋b22(a，b∈R)．

(3)a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．

(4)ba＋ab≥2(a，b同号)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

2．利用基本不等式求最值的两个常用结论

(1)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若ax＋by＝1，则有1x＋1y＝(ax＋by)1x＋1y＝a＋b＋byx＋axy≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2.

(2)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若ax＋by＝1，则有x＋y＝(x＋y)ax＋by＝a＋b＋ayx＋bxy≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2.

1．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则ab的最大值为( )

A．1 B．14

C．12 D．22

答案 B

解析 ∵a>0，b>0，∴1＝a＋b≥2ab，∴ab≤14，当且仅当a＝b＝12时等号成立，即ab的最大值为14.故选B．

2．(2020·福建龙岩模拟)若x<0，则x＋1x( )

A．有最小值，且最小值为2

B．有最大值，且最大值为2

东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案069A

1 不等式选讲（2）（教案）A

一、 基本知识点：

(1).含有参数不等式的解法

例1:解关于x的不等式 34422mmmxx

解：原不等式等价于 3|2|mmx

当03m即3m时 )3(232mmxmmx或

∴333mxmx或

当03m即3m时 0|6|x ∴x6

当03m即3m时 xR。

例2、解关于x的不等式 )20(,1)(cot232xx

解：当1cot即(0,4)时 0232xx ∴x>2或x<1

当1cot即=4时 xφ

当)1,0(cot即(4,2)时 0232xx ∴1

(2). 不等式的证明方法:比较法（差0法，商1法）

例3;若实数1x，求证：.)1()1(32242xxxx

证明：采用差值比较法：

2242)1()1(3xxxx

=3242422221333xxxxxxx

=)1(234xxx

=)1()1(222xxx

=].43)21[()1(222xx

,043)21(,0)1(,122xxx且从而 东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案069A

2 ∴ ,0]43)21[()1(222xx

∴ .)1()1(32242xxxx

讨论：若题设中去掉1x这一限制条件，要求证的结论如何变换？

例4、已知,,Rba求证.abbababa

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。