隐函数及参数方程导数

隐函数参数方程的三阶导数公式

隐函数参数方程的三阶导数公式

隐函数参数方程是数学分析中的一个重要概念，常常被用来描述一个变量与另一个或多个变量之间的关系。隐函数参数方程的解析式不一定可以显式地表达出研究变量的函数表达式，但通过求导可以获得变量的一些重要性质。其中，三阶导数是隐函数参数方程求解中的一个极其重要的概念。

一、隐函数参数方程的定义

隐函数参数方程是指在某个函数表达式中，包含有除主参数以外的其他参数。例如，y=f(x)+g(x,z)中的z为隐含的参数，这个方程就可以写成y=f(x,z)，z=g(x,y)的形式，这样就把隐含的参数z变成了主参数，便于进一步的分析。

在实际问题中，经常出现一种情况，即在研究某个关系的时候，我们往往没有直接表达出函数关系的式子，但是我们可以通过一定的手段，得到这些变量的某些关系。这时候，我们就可以通过隐函数参数方程来表示我们的问题，并继续研究它的特性和性质。

二、隐函数参数方程的求导

在对隐函数参数方程进行求导时，我们需要注意到以下几个问题： （1）对于隐含参数的求导方式

对于隐函数参数方程y=f(x,z)来说，在求导时要按照链式法则进行，即：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}\cdot\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$$

（2）对于一阶导数的求解

当我们求出了隐函数y=f(x,z)的一阶导数，我们就可以利用一阶导数来求解二阶和三阶导数，这时候需要采用隐函数参数方程的各种求导公式。

（3）三阶导数的求解

在实际问题中，我们常常需要求解隐函数参数方程的三阶导数，难度也就相应的增加。但是，如果我们掌握了隐函数参数方程的三阶导数公式，便可以更好地解决这些问题。

三、隐函数参数方程的三阶导数公式

1 章节题目 第六节 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率

内容提要 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导

对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导

参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则

相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率

重点分析 隐函数求导法则

参数方程求导

难点分析 利用对数求导法求导

由参数方程确定的函数的高阶导数求法

习题布置 138P：1（单）、2、4（1）（3）、5（1）（3）、7、10、12

备注 2 教 学 内 容

一、隐函数的导数

定义: .)(称为隐函数由方程所确定的函数xyy

.)(形式称为显函数xfy

0),(yxF)(xfy隐函数的显化

问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?

隐函数求导法则:

用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

例1.,00xyxdxdydxdyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程

解：,求导方程两边对x

0dxdyeedxdyxyyx

解得,yxexyedxdy,0,0yx由原方程知

000yxyxxexyedxdy=1

例2：.,)23,23(,333在该点的法线通过原点并证明曲线的切线方程上点求过的方程为设曲线CCxyyxC

解：,求导方程两边对xyxyyyx333322

)23,23(22)23,23(xyxyy.1

所求切线方程为)23(23xy.03yx即

2323xy法线方程为,xy即显然通过原点.

例3.)1,0(,144处的值在点求设yyxyx

解：求导得方程两边对x

)1(04433yyyxyx 3 得代入1,0yx;4110yxy

求导得两边再对将方程x)1(

04)(122123222yyyyyxyx

1 习题3.4

1. 验证：

(1) 函数

xy



ln满足关系式d

1e

dyy

x

x

；

(2)

函数





xxxxx

yln

满足关系式'ln'yxyy

.

2. 求由下列方程所确定的隐函数)(xyy的导数d

dy

x：

(1) 

xyy

；

(2) 

axyyx

(0a

)；

(3) 1ey

yx

；

(4) )cos(sinyxxy

.

3. 求下列方程所确定的隐函数)(xyy

在点0x处的导数：

(1) xxyxy)ln()sin(

；

(2) eln0

1xyy

x

；

(3) 2

ecos()e1xy

xy



.

4. 设)(xfy

是由方程yxyln

所确定的隐函数.

(1) 求)('xf

；(2) 又设()

()(ln)efx

gxfx

, 求)1('g

.

5. 求曲线33

30xyxy

在点33(2,4)

处的切线方程和法线方程.

6.

求证：星形线





ayx

(0a

)在两坐标轴间的切线长度为常数.

7. 求下列参数方程表示的函数的导数d

dy

x和d

dx

y：

(1)











;,

ttytx

(2) 2

2

23

;

1

3

,

1at

x

t

at

y

t















 其中0a

.

8. 求下列参数方程表示的函数在指定点处的导数d

dy

x：

(1)





,arctan),ln(

tytx

在t

处；

(2)





),cos(sin),sin(cos

tttaytttax

在



t及



t

处.

9. 求下列参数方程表示的曲线在给定点处的切线方程和法线方程：

(1) 2e,

e,t

tx

y









 在t

处; (2)





,cos,sin

tytx

在



t

处.

10. 验证下列参数方程表示的函数满足对应的关系式： (1) 1,

1xt

yt











满足'0yyx

；(2) 21ln

- 1 - 隐函数参数方程的三阶导数公式

隐函数参数方程的三阶导数公式是指在隐函数参数方程中，对于一个函数y=f(x)，当x可以用t表示时，其导数和高阶导数可以表示为关于t的函数。具体公式为：

$$frac{d^3y}{dx^3}=frac{d}{dt}left(frac{d^2y}{dx^2}right)cdotfrac{dx}{dt}-frac{d^2y}{dx^2}cdotleft(frac{d^2x}{dt^2}right)cdotleft(frac{dx}{dt}right)^{-3}+frac{d}{dt}left(frac{d^2y}{dxdt}right)cdotleft(frac{dx}{dt}right)^{-2}-frac{d^2y}{dxdt}cdotleft(frac{d^2x}{dt^2}right)cdotleft(frac{dx}{dt}right)^{-4}$$

其中，$frac{dy}{dx}$表示函数y关于x的一阶导数，$frac{d^2y}{dx^2}$表示函数y关于x的二阶导数，$frac{d^2y}{dxdt}$表示函数y关于x和t的混合二阶导数，$frac{dx}{dt}$表示x关于t的导数，$frac{d^2x}{dt^2}$表示x关于t的二阶导数。

这个公式可以用于求解隐函数参数方程中的高阶导数，对于一些复杂的问题求解非常有用。同时，如果我们知道了函数y在某个点的三阶导数和一些相关的参数，我们也可以通过这个公式推导出在该点的一些相关的导数。