初中数学平方根知识总结

本章复习本章的知识网络结构：知识梳理一．数的开方主要知识点：【1】平方根：1.如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。

因此：2.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；3.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。

（3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？【算术平方根】：1.如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±B ．24±= C.81的平方根是3± D.0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ） A.981±= B.14.314.3-=-ππ C.3927-=- D.235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。

（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。

【数学公式】初中开根号基础公式如果一个非负数x的平方等于a，即x²=a，（a≥0），那么这个非负数x叫做a的算术平方根。

求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，即开根号的公式为√a。

1.√ab=√a·√b﹙a≥0b≥0﹚这个可以交互使用。

这个最多运用于化简，如：√8=√4·√2=2√22.√a／b=√a÷√b﹙a≥0b﹥0﹚3.√a²=|a|（其实就是等于绝对值）这个知识点是二次根式重点也是难点。

当a＞0时，√a²=a（等于它的本身）当a=0时，√a²=0当a＜0时，√a²=－a(等于它的相反数)4.分母有理化：分母不能有二次根式或者不能含有二次根式。

⑴当分母中只有一个二次根式，那么利用分式性质，分子分母同时乘以相同的二次根式。

如：分母是√3，那么分子分母同时乘以√3。

⑵当分母中含有二次根式，利用平方差公式使分母有理化。

具体方法，如：分母是√5 －2（表示√5与2的差）要使分母有理化，分子分母同时乘以√5＋2（表示√5与2的和）1.将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开（竖式中的11’56），分成几段，表示所求平方根是几位数；2.根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）；3.从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；4.把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（3×20除256，所得的最大整数是4，即试商是4）；5.用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（3×20+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）；6.用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。

【数学知识点】数学平方根口诀表1.平方根口诀表负数方根不能行，零取方根仍为零。

正数方根有两个，符号相反值相同。

2作根指可省略，其它务必要写明。

负数只有奇次根，算术方根零或正。

2.1到20的平方数口诀表1²=1、2²=4、3²=9、4²=16、5²=25、6²=36、7²=49、8²=64、9²=81、10²=100、11²=121、12²=144、13²=169、14²=196、15²=225、16²=256、17²=289、18²=324、19²=361、20²=400。

①一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。

显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。

②如果一个正数x的平方等于a，即x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。

③规定：0的平方根是0。

④负数在实数范围内不能开平方，只有在复数范围内，才可以开平方根。

例如：-1的平方根为±1，-9的平方根为±3。

⑤平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。

平方根和算术平方根都只有非负数才有。

被开方数是乘方运算里的幂。

求平方根可通过逆运算平方来求。

开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。

若x的平方等于a，那么x就叫做a的平方根，即正负根号a=正负x。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

初中数学什么是平方根平方根是数学中一个重要的概念，指的是一个数的平方等于给定的数。

在初中数学中，学生通常会学习平方根的定义、性质和计算方法。

给定一个非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，那么x被称为a的平方根，记作√a。

平方根是求解平方方程的一种方法，即x²=a。

平方根有两个解，一个是正的平方根，另一个是负的平方根。

但在初中数学中，我们通常只考虑非负实数的平方根。

下面是平方根的一些基本性质：1. 非负实数的平方根是非负实数。

即对于任意非负实数a，√a ≥ 0。

2. 平方根的平方等于原数。

即对于任意非负实数a，(√a)² = a。

3. 平方根具有乘法性质。

即对于任意非负实数a和b，√(a*b) = √a * √b。

4. 平方根具有除法性质。

即对于任意非负实数a和b，√(a/b) = √a / √b（其中b不等于0）。

5. 平方根的和或差不能直接计算。

即对于任意非负实数a和b，√(a+b) ≠ √a + √b 和√(a-b) ≠ √a - √b。

在初中数学中，学生通常会使用近似的方法来计算平方根，如使用平方根表、计算器或近似公式。

其中最常用的方法是使用计算器来求解非负实数的平方根。

对于求解无理数的平方根，如√2、√3等，我们通常使用近似的方法。

通过不断逼近，可以得到一个近似的值，但无法得到精确的值，因为这些数无法表示为有理数。

平方根在数学和实际应用中有着广泛的应用。

它在几何学、物理学、工程学等领域中都有重要的作用。

对于初中数学学生来说，理解和掌握平方根的概念和运算方法，能够帮助他们解决实际问题，培养数学思维和推理能力。

平方与平方根数学中的平方与平方根是我们在初中阶段学习的重要内容，它们在解决问题、计算和理解数学概念等方面起着关键作用。

本文将从平方的定义、平方的性质、平方根的定义和性质以及实际应用等方面进行论述，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些概念。

一、平方的定义和性质平方是指一个数与自己相乘的运算。

例如，2的平方表示为2²，即2乘以2，结果为4。

同样地，3的平方表示为3²，即3乘以3，结果为9。

我们可以发现，平方的结果是一个数的倍数。

平方有一些重要的性质。

首先，任何一个正数的平方都是正数。

这是因为一个正数与自己相乘，结果必然是正数。

其次，任何一个负数的平方都是正数。

这是因为负数与自己相乘，结果也是正数。

最后，0的平方等于0。

这是因为0乘以任何数都等于0。

二、平方根的定义和性质平方根是指一个数的平方等于给定数的运算。

例如，4的平方根表示为√4，即一个数的平方等于4，结果是2。

同样地，9的平方根表示为√9，即一个数的平方等于9，结果是3。

平方根也有一些重要的性质。

首先，任何一个正数都有两个平方根，一个是正数，一个是负数。

例如，4的平方根是2和-2。

其次，任何一个负数没有实数平方根。

这是因为负数的平方不可能等于一个正数。

最后，0的平方根等于0。

这是因为0乘以任何数都等于0。

三、平方与平方根的实际应用平方与平方根在实际生活中有广泛的应用。

以下是一些例子：1. 面积计算：平方可以用于计算矩形、正方形等图形的面积。

例如，一个边长为4米的正方形的面积可以通过计算4的平方得到，即4²=16平方米。

2. 距离计算：平方可以用于计算两点之间的距离。

例如，一个点的坐标为(3, 4)，另一个点的坐标为(1, 2)，它们之间的距离可以通过计算两个坐标差的平方和的平方根得到，即√((3-1)²+(4-2)²)。

3. 物理学中的速度计算：平方根可以用于计算速度。

例如，一个物体以每秒4米的速度运动，经过9秒后的位移可以通过计算速度的平方乘以时间得到，即(4²)×9=144米。

数学考点之平方根和无理数初中数学知识点：平方根如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，如果x2=a，那么x叫做a的平方根，这里a是x的平方，它是一个非负数，即a≥0。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数;②0有一个平方根，是0本身;③负数没有平方根。

性质：①一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。

显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。

②如果一个正数x的平方等于a，即x的平方等于a，那么这个正数x叫做a 的算术平方根。

a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。

③规定：0的平方根是0。

④负数在实数范围内不能开平方，只有在复数范围内，才可以开平方根。

例如：-1的平方根为±1，-9的平方根为±3。

⑤平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。

平方根和算术平方根都只有非负数才有。

被开方数是乘方运算里的幂。

求平方根可通过逆运算平方来求。

开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。

若x的平方等于a，那么x就叫做a的平方根，即正负根号a=正负x利用长式除法可以求平方根。

长式除法需要进行加法，减法，乘法，除法等四则运算。

一般计算机软件的运算精度小于20位数字，如要计算平方根到100位，四则运算的精度需100位以上。

1、概念：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根。

规定：0的算术平方根是0。

2、表示：a的算术平方根记为，读作“根号a”。

注：只有非负数有算术平方根，而且只有一个算术平方根。

平方根和算术平方根的区别于联系：它们之间的区别：(1)定义不同：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根;非负数a 的非负平方根叫做a的算术平方根。

(2)个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;而一个正数的算术平方根只有一个。

(3)表示方法不同：正数a的平方根表示为±a，正数a的算术平方根表示为a。

初中数学平方根知识点整理平方根是数学中的一个重要概念，它是指一个数的平方根是另一个数，即被开方的数。

在初中数学中，平方根是一个基础知识点，学生需要掌握平方根的计算方法和相关性质。

下面我们来整理一下初中数学中关于平方根的知识点。

一、平方根的定义1.正数的平方根：如果a的平方等于b，那么b就是a的平方根，记为√b=a。

例如，√9=3，因为3的平方等于92.负数的平方根：负数的平方根可以写成√-a=i√a，其中i是虚数单位。

例如，√-9=3i，因为3i的平方等于-9二、平方根的计算1.简化平方根：将一个数写成两个数的积的形式，其中一个数是能被开方的完全平方数，这样就可以简化平方根的计算。

例如，√75=√25×3=5√32.估算平方根：对于不是完全平方数的数，可以通过估算来计算它的近似值。

例如，√13≈3.6，因为3.6的平方约等于13三、平方根的性质1.非负性：平方根是非负数，即√a≥0。

2.奇函数：平方根函数是奇函数，即√(-a)=-√a。

3. 开平方的性质：如果a≥0，b≥0，则√(ab)=√a×√b。

4.套用公式：如果√a=√b，则a=b；如果√a=-√b，则a=-b。

四、平方根的应用1.平方根定理：平方根定理是一个在初中数学中广泛应用的公式，它是勾股定理的推广，用于解决关于直角三角形的问题。

2.模型问题：平方根在数学建模中有着广泛的应用，例如在物理学中用于求解速度、加速度等问题。

3.几何问题：平方根在几何图形中也有着重要的应用，例如用于求解正方形的对角线长度。

总结：平方根是初中数学中重要的知识点之一，学生要熟练掌握平方根的计算方法和性质，灵活运用平方根解决各种问题。

希望以上整理的知识点能够帮助学生更好地理解和掌握平方根的概念。

八年级数学二次根式知识点在八年级数学中，二次根式是比较基础的一个知识点，也是初学者需要特别掌握的内容之一。

本文将详细介绍二次根式的定义、性质、运算方法和解题技巧，希望能够帮助大家更好地掌握这个知识点。

1. 二次根式的定义二次根式是指如下形式的算式：$\sqrt{a}$其中，a是一个非负实数，$\sqrt{a}$表示a的平方根。

例如，$\sqrt{4}$等于2，$\sqrt{9}$等于3。

2. 二次根式的性质（1）二次根式的值不超过其被开方数的值。

即，对于任意非负实数a和b，当a≥b时，有$\sqrt{a}≥\sqrt{b}$。

这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是单调递增的。

（2）二次根式的值域为非负实数。

即，对于任意非负实数a，有$\sqrt{a}≥0$。

这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是非负的。

（3）二次根式可以转化为分数形式。

即，对于任意非负实数a和正整数b，有$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。

这是因为，分子、分母分别乘以$\sqrt{b}$，可以得到等式右边的形式。

3. 二次根式的运算方法（1）二次根式的加减法对于相同根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$，有：$\sqrt{a}±\sqrt{b}=\sqrt{a±b}$例如，$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。

（2）二次根式的乘法对于非负实数a和b，有：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$例如，$\sqrt{2}·\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$。

（3）二次根式的除法对于非负实数a和b（b≠0），有：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$例如，$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2$。

13·1 平方根要点精讲1. 平方根的概念（1）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：x 2＝a ，x 叫a 的平方根．（2）数a （a ≥0）的平方根记作±a ，读作“正负根号下a ”，其中a 表示a 的正的平方根，－a 表示a 的负的平方根；“a ”实际上省略了2a 中的2，2叫做根指数，a 叫做被开方数．2. 平方根的性质（1）正数有两个平方根，它们互为相反数．（2）0的平方根只有一个，还是0．（3）负数没有平方根．3. 算术平方根一个正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根还是0．（1）算术平方根的定义表明，只要是非负数就一定有算术平方根．（2）算术平方根是平方根的一种．（3）非负数的算术平方根还是非负数．a (a ≥0)， a ≥0常见的非负数的类型：︱a ︱，a 2，a (a ≥0)注：（1）要加强对平方根和算术平方根概念的理解，进一步明确非负数a 的算术平方根是a ，而平方根是±a ．（2）计算化简时要谨慎细心，如求81的平方根，需先算出81＝9，求81的平方根就是求9的平方根，而不是求81的平方根．（3）真正领会负数没有平方根．典型例题例1.求下列各数的平方根和算术平方根（1）12149（2）0.0081 （3）(－45)2 （4）14解析：（1）平方根是：±117，算术平方根是：117（2）平方根是：±0.09，算术平方根是：0.09（3）平方根是：±45，算术平方根是：45（4）平方根是：±14，算术平方根是：14例2.求下列各式中的x ．（1）9x 2－256＝0（2）4(2x －1)2＝25解析：（1）x 2＝2569，x ＝±163（2）把2x －1作为一个整体，则2x －1＝±52．当2x －1＝52时，x ＝74；当2x －1＝－52时，x ＝－344. ∵（1－2a ）2≥0，b －2≥0，又（1－2a ）2＋b －2＝0，∴（1－2a ）2＝0，b －2＝0，∴1－2a ＝0，b －2＝0，∴a ＝12，b ＝2，∴ab ＝1．例3.如果一个正数的平方根是a ＋3和2a －15，求a 的值和这个正数．分析：由平方根的意义可知a ＋3和2a －15互为相反数，故有a ＋3＋（2a －15）＝0，从而可以解得a ，进而求出这个正数．解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以（a ＋3）＋（2a －15）＝0，解得a ＝4．当a ＝4时，a ＋3＝7，2a －15＝－7．即这个正数的平方根分别是＋7和－7，所以原数为49．评析：解决本题的关键是利用一个正数的平方根是互为相反数的关系得到a 的一元一次方程，解方程求出a 的值，从而求出这个正数．例4.在交通事故的处理中，警察往往用公式v ＝16df 来判断该车辆是否超速，其中v 表示车速（单位：千米/时），d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f 表示摩擦系数.某日，在一段限速60千米/时的公路上，发生了一起两车追尾事故，警察赶到后经过测量，得出其中一辆车的d ＝18，f ＝2. 请问：该车超速了吗？分析：运用公式，求出该车的速度，再与60千米/时进行比较，看是否超速便可解决. 解：把d ＝18，f ＝2代入公式v ＝16df 得v ＝1618×2＝16×6＝96（千米/时）.而96＞60，所以该车超速了.评析：平方根和立方根的知识在实际生活中应用非常广泛，因此数的发展与现实需要密不可分.例5.求下列各式中的x 的值．（1）x 2－676＝0；（2）9（3x ＋1）2＝64．分析：这是一道求平方根的题目．（1）x 2－676＝0可化为x 2＝676，x 的值就是676的平方根．（2）可将3x ＋1看作一个整体来解，即（3x ＋1）2＝649，所以3x ＋1是649的平方根，从而可求出x ．解：（1）∵x 2－676＝0，∴x 2＝676．∴x ＝±676＝±26．（2）∵9（3x ＋1）2＝64，∴（3x ＋1）2＝649，∴3x ＋1＝±649＝±83， 当3x ＋1＝83时，x ＝59； 当3x ＋1＝－83时，x ＝－119． 评析：解带有平方的方程时，首先应将方程化为一边是完全平方，另一边是一个非负数的形式，然后两边同时开平方，开方时一定要注意不要漏掉负的平方根，同时根据题目的特点，本题利用了一个重要的数学思想——整体思想．例6.对于题目：“化简并求值：1a ＋(1a －a )2，其中a ＝15”，甲、乙两人的解答不同． 甲的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝495， 乙的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋a －1a ＝a ＝15． 阅读后你认为谁的解答是错误的？为什么？分析：将a ＝15代入便知谁的解答正确． 解：乙的解答是错误的，因为当a ＝15时，1a＝5． a －1a ＝15－5＜0，所以(1a －a )2≠a －1a ，而应是(1a －a )2＝1a－A. 评析：在化简a 2时，一定要注意a 的符号，并且根据算术平方根的意义，a 2的结果应为非负数．例7.利用计算器计算： …，0.0625，0.625， 6.25，62.5，625，6250，62500，…计算后，分析结果，你发现了什么规律？分析：可分析开方前和开方后小数点的变化规律．解：用计算器计算结果如下：…，0.25，0.7906，2.5，7.906，25，79.06，250，…分析计算结果可以发现：被开方数的小数点每向右（左）移动两位，算术平方根的小数点相应地向右（左）移动一位．评析：可利用开平方时小数点的这一变化规律对一些数开平方．。

初中根号知识点总结一、根号的概念根号是指数运算的一种, 在数学中，根号是指代开立方或开平方根的数学符号。

它代表的是一个数的特殊值，这个数是给定值的平方根。

一般来说，根号是一个数学符号，用来表示正数平方根。

当我们看到根号时，我们可以知道这是一个开方的符号，也就是一个数的平方根。

二、根号的性质1. 非负性质对于任意实数a，有a≥0，则对于所有实数a，有 \sqrt{a} ≥ 0。

2. 互逆性质如果b≥0 则\sqrt{b^2} = b如果b<0 则\sqrt{b^2} = -b3. 分解质因数法对于正整数 n 的分解质因数的质因子只有两种情况：1. n 是平方数则可以写成 m^2的形式2. n 不是平方数，则可以写成n = m^2 * p1*p2*...pn的形式。

根号化简技巧：1. 用除法因子的方法\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} 当b≠0时。

\sqrt{\frac{a}{b}} = \pm \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} 当b≠0且a≥b>0。

\sqrt{\frac{a}{b}} = \pm \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} 当a>0且a≤b>0。

2. 用乘积化简法则的方法\sqrt{ab} = \sqrt{a}*\sqrt{b}。

由此的推广：\sqrt{a^n} = |a^{\frac{n}{2}}| 当n是偶数时。

\sqrt{a^n} = a^{\frac{n}{2}} 当n是偶数时。

3. 用约分代入或因数分解原理的方法例：当n是素数时用\sqrt{an} = a^{\frac{n}{2}}。

当n是分数时用 \sqrt{a^n} = a^{\frac{n}{2}}。

例：<a_1,a_2,a_3,a_4,...a_n> 可以考虑使用乘积或除法可以化简。

比如：\sqrt{a_1a_2a_3a_4}= \sqrt{a_1a_3}* \sqrt{a_2a_4}。

第7讲 平方根知识点1： 平方根 （一）什么叫做平方根？ 探索一什么数的平方等于9？2() =9，2() =9 什么数的平方等于16？2() =16，2() =16， 什么数的平方等于49？2() =49，2() =49 什么数的平方等于121？ 2() =121，2() =121总结：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做ａ的 或 ． 用数学式子表述为：若2x =a ，则x 是a 的平方根。

平方根的特点结论一：一个正数的平方根有 个，它们互为 数。

探索二2() =0结论二：0的平方根有 个，是 ； 探索三2() =－4，2() =－9，2() =－16，结论三：负数 平方根（填“有”或“没有” ）重点点击：一个正数的平方根有 个，它们互为 数； 0的平方根有 个，是 ；负数 平方根 （二）算术平方根：一个正数有两个平方根，一正一负，其中 叫做算术平方根。

如：81的算术平方根是 ，规定：0的算术平方根是0 （三）如何表示一个数的平方根，算数平方根（1） “25的平方根”可以表示为±， “25的算数平方根”可以表示为，，（2）小结：正数a 的平方根可以用 表示；正数a 的算术平方根可以用 表示；正数a 的负的平方根可以用 表示。

（3a 满足的条件时 如：9的平方根可以表示为±9或3±2的算术平方根可以表示为： (四)平方根的性质（1）a （a 的算数平方根）具有双重非负性：a 是非负数，a 也是非负数（2）)0()(2≥=a a a ，||2a a =（3）平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25= 2.5=0.25=. 【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（24=±．（ ） （3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ）2、x 为何值时，下列各式有意义？．举一反三：【变式1】代数式y ＝3-x 有意义，则x 的取值范围是 ．【变式2】已知2b =，求11a b+的算术平方根．类型二、平方根的运算2、 填空：（1）4-是 的负平方根． （2表示 的算术平方根，= ．（3的算术平方根为 ． （43=，则x = ，若3=，则x = ．举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3． ③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【变式2】求下列各式的值：（1） （2（3（44.若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.类型三、利用平方根解方程5、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=；（3）()2932640x +-=【变式】求下列等式中的x ：（1）若21.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______；（3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b |0b -=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-举一反三：0=，求20112012x y +的值．1、—8是 的平方根； 64的平方根是 ； =64 ；—5的平方是 ；=9 ； 9的平方根是 。

初中数学二次根式的知识点汇总二次根式是代数中的一个重要概念，它是一个含有平方根的表达式。

在初中数学中，学生将会学习有关二次根式的一些基本知识，以及如何进行运算和简化。

以下是一些关于初中数学二次根式的知识点的汇总。

一、二次根式的定义和表示方法1.二次根式是一个非负实数的平方根或一组二次根目标。

它可以表示为√a或±√a。

2.在二次根式中，a被称为根式的被开方数，表示所求的数；√a被称为二次根号，表示开方操作。

3.如果a是一个非负实数，那么二次根式√a表示的是非负的实数。

如果a是一个负实数，那么二次根式√a没有实数解。

4.二次根式的定义域是非负实数集合[0,∞)。

二、二次根式的比较大小1.二次根式的大小比较可以通过比较根式的被开方数来进行。

2.如果a和b是两个非负实数，且a>b，则有√a>√b。

3.如果a和b是两个非负实数，且a=b，则有√a=√b。

4.如果a和b是两个非负实数，且a<b，则有√a<√b。

三、二次根式的加减法运算1.只有具有相同的被开方数的二次根式才能进行加减法运算。

2.二次根式的加减法运算可以通过合并同类项的方式进行。

3.合并同类项时，需要注意二次根式的正负号是否一致。

四、二次根式的乘法运算1.二次根式的乘法运算可以通过乘法分配律进行。

2.二次根式的乘法运算可以通过提取同类项的方式进行。

3.提取同类项时，需要注意二次根式的正负号是否一致。

五、二次根式的除法运算1.二次根式的除法运算可以通过乘以倒数的方式进行。

2.二次根式的除法运算可以通过有理化的方式进行，即将分母有理化为无二次根式的形式。

六、二次根式的化简1.将一个二次根式化简为最简形式时，需要将其内部的二次根式去除。

2.二次根式化简的基本原则是尽量将被开方数的因式分解为平方数的积。

3.化简二次根式时，需要注意遵循二次根式的定义域，确保结果是有意义的。

七、二次根式的应用1.二次根式广泛应用于几何、物理和计算机科学等领域。

初中数学易考知识点平方根和立方根的计算方法数学是一门重要的学科，对于初中学生而言，掌握数学的基本知识和计算方法是十分关键的。

其中，平方根和立方根的计算方法是数学考试中经常出现的一类题型。

本文将详细介绍初中数学中关于平方根和立方根的计算方法，帮助大家更好地理解和掌握这些知识点。

一、平方根的计算方法平方根是数学中常见的一个概念，表示一个数的平方根。

在初中数学中，我们常用符号√来表示平方根。

平方根的计算方法主要有两种：近似计算和精确计算。

1. 近似计算平方根的方法近似计算平方根的方法适用于无法精确计算的情况。

下面举例说明：例题1：近似计算√16解析：我们知道，4的平方等于16，所以√16=4。

例题2：近似计算√22解析：我们找两个相邻的整数，例如4和5。

4的平方等于16，5的平方等于25。

√22介于4和5之间，我们可以估算一下，√22约等于4.7。

通过以上例题，我们可以看出，近似计算平方根时，可以根据已知整数的平方数来判断。

2. 精确计算平方根的方法如果题目要求精确计算平方根，可以使用以下方法：方法一：因式分解法对于一个正整数n，如果存在两个正整数a和b，满足n=a^2*b（其中b不含平方因子），则√n=a*√b。

这个方法适用于能够进行因式分解的情况。

例题3：计算√48解析：我们可以进行因式分解，48=4*12=4*4*3。

所以，√48=2*√3。

方法二：长除法对于一个正整数n，我们可以使用长除法的思想来进行精确计算。

例题4：计算√63解析：我们可以使用长除法来计算。

首先，我们找到离63最接近的平方数，即√64=8。

然后，我们将63除以8，并将商和余数记录下来：8 | 63| 48|_____15继续进行长除法，我们可以得到√63=8+（15/8）。

注意，商和余数都要保留到一定的位数，以便进行后续的精确计算。

以上是计算平方根的方法，希望对大家有所帮助。

二、立方根的计算方法立方根是数学中的又一重要概念，表示一个数的立方根。

八年级开平方知识点开平方是初中数学课程中的重要知识点，也是高中数学的基础内容。

在八年级的阶段，开平方的知识点主要集中在正整数的平方根以及简单的无理数的近似值的计算上。

一、正整数的平方根正整数平方根是指一个正整数n的平方根在实数范围内的非负解，记为√n。

求正整数的平方根主要有以下两种方法：1. 试除法以求8的平方根为例，可以通过以下步骤进行试除法：（1）从个位开始，取出第一对数字，结果为2，2的平方等于4；（2）将8与4相减，得到余数4；（3）将余数4与下一对数字16合并，结果为416，当做被除数进行下一轮运算；（4）在商数后面再加上一对数0，即20，将其与目前的商数42合并，结果为420，当做新的被除数进行下一轮运算。

最终可以得到8的平方根为2√2。

试除法的精度较低，适用于整数位数较少的情况。

2. 迭代法以求8的平方根为例，迭代法的思路如下：（1）令x为一个初始值，例如x=2；（2）根据x的取值进行迭代运算，得到新的值y=(x+8/x)/2；（3）将y代入迭代公式，再次计算新的值，以此类推，直至精度满足要求。

通过迭代法可以得到8的平方根精确到小数点后若干位。

二、无理数的近似值无理数是指不能表示为两个整数的比例的实数，其平方根是一种常见的无理数。

在八年级的阶段，学生需要掌握求无理数近似值的方法。

1.小数法小数法主要适用于要求近似值精度较低的情况。

以3的平方根为例，可以通过以下步骤求得其近似值：（1）假设3的平方根为1.7；（2）进行平方运算，得到1.7的平方为2.89，与3相差很大；（3）逐渐调整1.7的值，目标是使其平方接近3，例如将1.7调整为1.8；（4）再次进行平方运算，得到1.8的平方为3.24，与3的差距较小，可以接受。

小数法的优点是简单易行，缺点是精度不高。

2.倍增法倍增法主要适用于要求近似值精度较高的情况。

以3的平方根为例，可以通过以下步骤求得其近似值：（1）假设3的平方根在1和2之间；（2）计算平方根的中间值（即1与2的平均数），得到1.5；（3）将1.5的平方与3进行比较，如果太小就将1.5作为新的下界，否则就将1.5作为新的上界，然后重复步骤（2）。

初中数学知识归纳平方根与乘方的关系数学作为一门重要的学科，在我们的学习生活中起着至关重要的作用。

在初中阶段，我们学习了许多数学知识，其中包括平方根和乘方。

平方根与乘方是数学中两个基本且相关的概念，它们之间有着密切的联系。

本文将归纳总结平方根与乘方的关系，帮助读者更好地理解和掌握这两个概念。

一、平方根平方根是一个常见的数学概念，表示一个数的算术平方根。

简单来说，一个数的平方根是指能够得到这个数的平方的数值。

例如，数值9的平方根是3，因为3的平方等于9。

在初中数学中，我们学习了如何计算一个数的平方根。

通常，我们用符号√来表示平方根。

对于一个正数x，它的平方根可以表示为√x。

要计算平方根，我们可以使用平方根的性质和一些特定的计算方法。

例如，如果要计算16的平方根，我们可以使用√16=4的形式来表示。

同样地，√81=9，√100=10。

二、乘方乘方是数学中另一个重要而常用的概念。

乘方表示一个数自乘多次的运算。

通常，我们用上角标的方式来表示乘方。

举个例子，2的平方可以表示为2²，读作“2的平方”，结果为4。

同样地，2的三次方可以表示为2³，读作“2的立方”，结果为8。

在乘方运算中，底数表示被乘方的数，指数表示乘方的次数。

乘方运算可以用来快速计算较大数的结果。

例如，10的四次方可以通过10²乘以10²来得到，结果为10000。

三、平方根与乘方的关系平方根与乘方之间有着紧密的关系，它们可以相互转化。

具体而言，一个数的平方根可以通过对这个数进行乘方运算得到。

相反地，一个数的平方可以通过对这个数的平方根进行乘方运算得到。

举个例子，如果给定一个数x，如果我们要计算这个数的平方根，我们可以通过对这个数进行乘方得到结果。

即√x = x的½次方。

例如，√16=16的½次方，结果为4。

同样地，如果给定一个数y，如果我们要计算这个数的平方，我们可以通过对这个数的平方根进行乘方得到结果。

初中数学易考知识点平方根和立方根的计算初中数学易考知识点：平方根和立方根的计算数学是学生们在学校里面面临的一个重要科目。

而初中数学中有很多的知识点需要我们掌握和理解，其中包括平方根和立方根的计算。

在本文中，我们将详细介绍这两个知识点的计算方法和应用。

一、平方根的计算平方根是一个数的平方的逆运算。

对于一个非负数 a，其平方根记作√a，满足(√a)²=a。

而对于负数 a，其平方根记作i√|a|（其中 i 是虚数单位）。

在初中数学中，我们主要关注非负数的平方根计算。

1. 简便方法在计算平方根时，我们可以根据数的一些性质和规律使用简便方法。

a) 当我们需要计算一个完全平方数的平方根时，我们可以直接取其平方根的正整数值。

例如，√4=2，√9=3。

b) 当我们需要计算一个非完全平方数的平方根时，我们可以通过近似方法来计算。

例如，要计算√5，我们可以找出两个完全平方数 2²=4和 3²=9，且中间的数值在 4 和 9 之间。

然后我们可以根据比例关系估算出√5 大约在 2 和 3 之间，进一步的我们可以通过试算法来逼近√5的值。

当我们试算出√5 在 2.23 和 2.24 之间时，我们可以认为其值为2.2。

2. 借助计算器当计算较大的平方根时，我们可以借助计算器来进行精确计算。

现代计算器通常都具备平方根的计算功能，我们只需输入相应的数值，即可获得其平方根的结果。

二、立方根的计算立方根是一个数的立方的逆运算。

对于一个数 a，其立方根记作³√a，满足(³√a)³=a。

1. 简便方法立方根的计算方法与平方根的计算方法相似，不过我们要找出的是一个数的立方根。

依然可以使用简便方法来进行计算。

a) 当我们需要计算一个完全立方数的立方根时，我们可以直接取其立方根的正整数值。

例如，³√8=2，³√27=3。

b) 当我们需要计算一个非完全立方数的立方根时，我们可以通过近似方法来计算。

初中数学知识归纳算式的开平方在初中数学学习中，我们经常会遇到求解算式的开方问题。

开方是一种常见的数学运算，它可以帮助我们求解一些较为复杂的数学问题。

下面，我将对初中数学中关于算式开平方的知识进行归纳总结。

一、算式开平方的基础概念1. 什么是开平方开平方是求一个数的平方根。

如果一个数的平方等于另一个数，那么我们就可以说这个数是另一个数的平方根。

开平方的运算可以用符号√表示。

2. 平方根的性质（1）非负数的平方根是唯一确定的。

（2）一个正数的平方根有两个，一个是正数，一个是负数。

（3）一个负数的平方根不存在，因为没有一个数的平方等于负数。

二、开平方的运算规则1. 求解简化的平方根对于一些完全平方数，我们可以直接求其平方根。

例如2的平方等于4，√4等于2。

2. 开平方的运算规则当我们需要开一个数的平方时，可以应用下面的运算规则：（1）如果一个数可以分解成两个因数的乘积，那么这个数可以开方，其平方根等于这两个因数的乘积。

（2）如果一个数的因数中有一个是完全平方数，那么这个数可以开方，其平方根等于完全平方数的平方根与其他因数的乘积。

三、开平方的实例应用1. 简单的开平方运算例如，对于算式√9，我们可以得出其结果为3。

因为3的平方等于9。

2. 复杂数字的开平方运算对于一些较复杂的算式，可以通过运用开平方的运算规则来求解。

例如，对于算式√75，我们可以将75分解成25和3的乘积。

而25是一个完全平方数，其平方根等于5。

因此，√75可以简化为5√3。

3. 开平方的应用开平方在解决实际问题中具有广泛的应用。

例如，在测量正方形的对角线长度时，我们可以通过知道正方形的边长求解其对角线的长度，此时就需要运用到开平方的知识。

四、开平方的注意事项1. 结果的表示在进行开平方运算后，我们通常需要对结果进行简化或者以最简形式表示。

这需要我们对所得结果进行进一步的约分或合并。

2. 范围的限定在开平方运算中，我们需要注意对所求数的范围进行限定。

初中数学正数和负数的平方根性质有哪些初中数学中，正数和负数的平方根性质是关于正数和负数进行平方根运算时的一系列规律和性质。

在本文中，我们将详细介绍正数和负数的平方根性质的概念、规则和应用。

首先，回顾一下平方根的基本概念。

平方根是指求一个数的平方根的运算。

以正数为例，如果一个正数a进行平方根运算，可以表示为√a，读作a的平方根。

例如，√4表示求4的平方根，结果为2。

接下来，我们来看正数和负数的平方根性质：1. 正数的平方根：对于正数a，它的平方根√a的结果是一个非负数。

换句话说，对于正数a，存在一个非负数b，使得b的平方等于a，即b^2 = a。

例如，√4 = 2，√9 = 3，都是非负数。

2. 负数的平方根：对于负数a，它的平方根√a的结果是一个虚数，记作√(-a)。

虚数表示了无法在实数范围内表示的数。

换句话说，对于负数a，不存在一个实数b，使得b的平方等于a。

例如，√(-4)表示求-4的平方根，结果是2i，其中i是虚数单位。

3. 0的平方根：0的平方根是0，即√0 = 0。

需要注意的是，我们在初中数学中主要讨论实数范围内的平方根性质，而虚数部分属于高中数学的范畴。

初中数学中，我们主要关注正数的平方根性质。

这些平方根性质在解决实际问题和进行数学计算中非常有用。

它们帮助我们理解和处理正数和负数的平方根关系和规律。

总结起来，正数和负数的平方根性质包括正数的平方根、负数的平方根以及0的平方根等规律。

这些性质在初中数学中起着重要的作用。

希望本文能够帮助你更好地理解正数和负数的平方根性质的概念和应用。

如果你还有其他关于正数和负数平方根的问题，欢迎继续探索和学习。

祝你在数学学习中取得更多的成就！。