广东省广州市番禺区2021-2022学年高二上学期期末教学质量监测数学试题含解析

2021-2022学年广东省广州市番禺区高二下学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}|04M x x =<<，{}|15N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．{}|01x x <≤B ．{}|14x x ≤<C ．{}|45x x ≤<D ．{}|05x x <≤【答案】B【分析】利用数轴表示出两集合的范围，进而得到M N ⋂.【详解】在数轴上分别表示出集合{}|04M x x =<<与集合{}|15N x x =≤≤， 如图所示：{}|14MN x x ∴=≤<.故选：B.2．若1i z =+（其中i 为虚数单位），则22z z -=（ ）A ．0B ．1C 2D ．2【答案】D【分析】先求出22z z -，即可得出答案.【详解】因为1i z =+，所以()()22221i 21i 12i i 22i 2z z -=+-+=++--=-，所以222z z -=.故选：D.3．中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】总共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共2510C =种，而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率511102P =-= 故选：D【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单. 4．函数()cos xf x x=的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】确定函数的奇偶性，排除两个，再由0x →(0)x >时，()f x →+∞，又排除一个，从而得正确选项． 【详解】cos()cos ()()x xf x f x x x--==-=--，()f x 是奇函数，排除A.B ， 0x →(0)x >时，()f x →+∞，排除C ，只有D 可选．故选：D.【点睛】本题考查由函数的解析式选择函数图象，可用排除法，先确定函数的奇偶性，再确定函数值的变化趋势，特别是0x →时，函数值的变化趋势．5．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y （单位：杯）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表： 气温/℃18 13 101-销售量/杯 24 34 38 64由表中数据分析，可得经验回归方程ˆ2=-+yx a .当气温为4-℃时，预测销售量约为（ ）A ．66杯 B ．68杯 C ．72杯 D ．77杯【答案】B【分析】先根据表格数据求出,x y ，代入回归方程求出a ，即可求出预测销售量. 【详解】由表可得()1813101104x +++-==，24343864404y +++==， 因为回归方程为ˆ2=-+yx a ，所以40210a =-⨯+，解得60a =， 当气温为4-℃时，预测销售量约为()246068-⨯-+=杯. 故选：B.6．已知6log 2a =，12log 4b =，18log 6c =，则（ ） A ．c b a >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．a c b >>【答案】A【分析】利用对数性质比较111,,a b c的大小关系，即得,,c b a 的关系. 【详解】由对数运算公式得，221log 61log 3a ==+，441log 121log 3b==+， 661log 181log 3c ==+，易知246log 3log 3log 30>>>，即1111a b c>>>， 故c b a >>. 故选：A.7．已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ，若2FM ＝MN ，则|FN |＝（ ） A ．58B ．12C ．38D ．1【答案】A【分析】如图，过点M 作抛物线的准线的垂线，交x 轴于点A ，交抛物线C 的准线于点B ，得出MA ∥OF ，根据相似三角形的性质和2FM ＝MN ，即可得出结果. 【详解】因为F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，所以F 1(0)8，，抛物线C 的准线方程为y ＝－18，如图，过点M 作抛物线的准线的垂线，交x 轴于点A ，交抛物线C 的准线于点B ，则MA ∥OF ，所以||||MA OF ＝||||MN FN .因为2FM ＝MN ， 所以|MA |＝23×18＝112，|MF |＝|MB |＝112＋18＝524，|FN |＝3|FM |＝58.故选：A8．已知函数()sin 23f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x =-，则12x x -的最小值为（ ）A ．3π B ．23π C ．4π D ．2π 【答案】D 【解析】利用()12f π-是函数的最值求得参数a ，然后再确定12,x x 的性质．【详解】由题意213()sin()3)3126622f a a a πππ-=--=--=+1a =， ∴13()sin 2322(sin 22)2sin(2)23f x x x x x x π===-，22T ππ==． 1212()()4sin(2)sin(2)433f x f x x x ππ=--=-，12sin(2)sin(2)133x x ππ--=-，∵1sin(2)13x π-≤-≤，∴12sin(2)sin(2)33x x ππ--，中一个取值1一个取值1-， ∴12min 22T x x π-==． 故选：D.【点睛】本题考查三角函数的性质，考查三角函数的最值、周期、对称性等．正弦函数的性质：过正弦函数图象的最高点或者最低点与x 边垂直的直线是其对称轴．即对称轴对应的函数值是最值． 二、多选题9．已知32nx x ⎛⎝的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）A ．所有奇数项的二项式系数和为122B ．所有项的系数和为123C ．二项式系数最大的项为第6项或第7项D ．有理项共5项 【答案】BD【分析】根据展开式的通向公式以及二项式系数的的性质求解判断.【详解】因为113n +=，所以12n =，所有奇数项的二项式系数和为112，故A 错误， 令1x =，得所有项的系数和为123，故B 正确，由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C 错误，因为1232x x ⎛ ⎝展开式通项为()14121212*********rr r r r rr T C x x x C ----+⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭，当4123r -为整数时，0r =，3，6，9，12，共有5项，故D 正确．故选：BD ．10．已知函数()331f x x x =-++，则（ ）A ．()f x 有三个零点B ．()f x 有两个极值点C ．点()0,1是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】ABC【分析】利用导数研究函数()331f x x x =-++的单调性、极值点、极值以及零点判断A 、B ，根据函数关于点对称的充要条件判断C ，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D. 【详解】()331f x x x =-++，()233f x x '∴=-+，令()0f x '=，解得：1x =-或1x =，(),1x ∴∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减；()1,1x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递减；()f x ∴的极小值为：()()()3113111f -=--+⨯-+=-，()f x 的极大值为：()3113113f =-+⨯+=，∴()f x 有三个零点，()f x 有两个极值点，A 、B 正确；对于C ，若点()0,1是曲线()y f x =的对称中心，则有()()2f x f x +-=，将函数()331f x x x =-++代入上式验证得：()()3331312x x x x ⎡⎤-+++--+-+=⎣⎦，C 正确；对于D ，()2332k f x x '==-+=，解得：x =，当x =f =⎝⎭x =f ⎛= ⎝⎭，∴切线方程为：2y x =2y x =D 错误.故选：ABC.11．（多选）甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球、2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以事件1A 、2A 、3A 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一个球，以事件B 表示由乙罐取出的球是红球，下列结论正确的是（ ） A ．事件B 与事件1A 不相互独立 B ．1A 、2A 、3A 是两两互斥的事件 C ．()35P B =D ．()1711P B A =【答案】ABD【分析】利用事件独立性的定义可判断A 选项的正误；利用互斥事件的定义可判断B 选项的正误；利用全概率公式可判断C 选项的正误；利用条件概率公式可判断D 选项的正误.【详解】对于A ，由题意可知，事件1A 发生与否影响事件B 的发生，故事件B 与事件1A 不相互独立，故A 正确;对于B ，1A 、2A 、3A 两两不可能同时发生，故B 正确； 对于C ，()5756131011101122P B =⨯+⨯=，故C 不正确； 对于D ，已知从甲罐中取出一个红球放入乙罐，这时乙罐中有11个球，其中红球有7个， 因此，在事件1A 发生的条件下，事件B 发生的概率为()1711P B A =，故D 正确. 故选：ABD.12．已知正方体ABCD －EFGH 棱长为2，M 为棱CG 的中点，P 为底面EFGH 上的动点，则（ ）A ．存在点P ，使得4AP PM +=B ．存在唯一点P ，使得AP PM ⊥C ．当AM BP ⊥，此时点P 2D ．当P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥P －ABM 的外接球体积为92π 【答案】BCD【分析】以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ，设P 点坐标为（x ，y ，2），然后利用向量可判断ABC 的正误，当P 为底面EFGH 的中心时，外接球球心为棱AM 的中点，然后可判断D.【详解】以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ． A （2，0，0），M （0，2，1），设P 点坐标为（x ，y ，2）（,x y R ∈），()2,,2AP x y =-，(),2,1PM x y =---为求AP PM +的最小值，找出点A 关于平面EFGH 的对称点，设该点为1A ，则1A 点坐标为()2,0,4 ∴()()()2221022014174AP PM A M +≥=-+-+-=>故A 选项错误． 由AP PM ⊥可得()()2222022201101AP PM x x y y x y x y ⋅=⇒-+-+=⇒-+-=⇒==故B 选项正确．AM BP ⊥时，即0AM BP ⋅=，此时由点P 坐标为(),,2x y 得到()()222220x y --+-+=1y x ⇒=-点P 轨迹是连接棱EF 中点与棱EH 中点的线段，其长度为线段HF 的一半，2故C 选项正确．当P 为底面EFGH 的中心时，由B 选项知AP PM ⊥．易得AB BM ⊥．∴外接球球心为棱AM 的中点，从而求得球半径为1322AM =．92V π= 故D 选项正确．故选：BCD ． 三、填空题13．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >=____________．【答案】0.14750． 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为()22,XN σ，所以()()220.5P X P X <=>=，因此()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<≤=-=．故答案为：0.14．14．已知数列{}n a ，{}n b 满足112a =，1n n ab +=，()121n n n b b n a *+=∈-N ，则2022b =___________.【答案】20222023【分析】根据已知条件转化式子得出1111n na a ，进而求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式即得数列{}n a 的通项公式，再求出数列{}n b 的通项公式，进一步求出答案即可. 【详解】1n n a b +=，1n n b a ∴=-，111n n a b +++=，111n n b a ++=-∴， ()()1121111111n n n n n n n nb a b a a a a a ++-∴====--+-+， 110n n n n a a a a ++∴--=，即：1111n na a ，1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以首项为2，公差为1的等差数列， ()12111n n n a ∴=+-⨯=+，11n a n ∴=+， 11111n n n b a n n =--=+∴+=， 202220222023b ∴=. 故答案为：20222023. 15．写出与圆221x y +=和圆()()224316x y -++=都相切的一条切线方程___________. 【答案】1y =或247250x y ++=或4350x y --= 【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1；圆()()224316x y -++=的圆心为()4,3C -，半径为4，圆心距为5OC =，所以两圆外切，如图，有三条切线123,,l l l ， 易得切线1l 的方程为1y =，因为3l OC ⊥，且34OC k =-，所以343l k =，设34:3l y x b =+，即4330x y b -+=，则()0,0O 到3l 的距离315b =，解得53b =（舍去）或53-，所以343:50x y l --=，可知1l 和2l 关于3:4OC y x =-对称，联立341y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭在2l 上， 在1l 上任取一点()0,1，设其关于OC 的对称点为()00,x y ， 则0000132421314y x y x +⎧=-⨯⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则27124252447253l k --==--+，所以直线2244:173l y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即247250x y ++=， 综上，切线方程为1y =或247250x y ++=或4350x y --=. 故答案为：1y =或247250x y ++=或4350x y --=.16．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =_______．【答案】1ln2-【详解】试题分析：对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-，由点222(,)P x y 在切线上得2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以，解得11111,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-. 【解析】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x ）在点x 0处的导数f ′（x 0）的几何意义是曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y 0＝f ′（x 0）（x−x 0）． 注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同． 四、解答题17．记n S 为数列{}n a 的前n 的和，已知11a =，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)证明：121112nS S S +++<. 【答案】(1)n a n = (2)证明见解析【分析】（1）先利用n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列，求得其通项，从而求得n S ，然后利用1n n n a S S -=-求得n a ，验证1n =即可；（2）利用裂项相消法求和后放缩即可证得结果. 【详解】(1)()11112n S S n n =+-12n +=所以()112n S n n =+当2n ≥时，1n n n a S S -=-()()111122n n n n =+--n =当1n =时，111S a ==， 所以n a n =.(2)因为()122211n S n n n n ==-++， 所以12211122222212231S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭221n =-+2<. 18．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，()()sin sin sin sin B C b c aA b C ++=+ (1)求角A ；(2)若D 为边BC 的中点，且AD =，求ABC 面积的最大值 【答案】(1)23A π= (2)【分析】（1）根据正弦定理角化边得()22b c a bc +=+，化简利用余弦定理可求解； （2）根据题意可知()12AD AB AC =+，两边平方化简可得224b c bc =+-，利用基本不等式可求bc 的最大值，再根据面积公式求解即可.【详解】(1)解：由()()sin sin sin sin B C b c a A b C ++=+，得()22b c a bc +=+，即222a b c bc =++，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 所以，1cos 2A =-，又()0,A π∈，23A π=； (2)解：∵D 是边BC 的中点， ∴()12AD AB AC =+，()222211114424AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+， 又AD = ∴2212b c bc =+-又222b c bc +≥，当且仅当b c =时等号成立， ∴22122bc b c bc +=+≥ ∴12bc ≤， ∴112sin 12sin 223ABCSbc A π=≤⨯⨯=ABC面积的最大值为19．相对于二维码支付，刷脸支付更加便利，从而刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式，现从某大型超市门口随机抽取100名顾客进行调查，得到如下列联表：(1)依据0.01α=的独立性检验，能否认为性别与使用刷脸支付有关联？(2)根据是否刷脸支付，在样本的女性中，按照分层抽样的方法抽取9名，为进一步了解情况，再从抽取的9人中随机抽取4人，求抽到刷脸支付的女性人数X的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bca b c d a c b d χ-=++++【答案】(1)能够认为性别与使用刷脸支付有关联(2)分布列答案见解析，数学期望20 9【分析】（1）补充列联表，计算出卡方值，和6.635比较即可得出；（2）可得X的可能取值为0，1，2，3，4，计算出X取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望.【详解】(1)列联表补充为()221004520251055457030χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯0.018.129 6.635x≈>=. 依据小概率值0.01α=的独立性检验，能够认为性别与使用刷脸支付有关联. (2)易知9人中刷脸支付的有5人，非刷脸支付的有4人. 由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，4.()4449C 10C 126P X ===，()135449C C 20101C 12663P X ====， ()225449C C 60102C 12621P X ====，()315449C C 40203C 12663P X ====，()4549C 54C 126P X ===，X 的分布列为 X0 12 3 4P1126 106310212063 5126()1101020501234126632163126E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯209=. 20．如图，在三棱锥P ABC -中，PC BC ⊥，AB ⊥平面PBC ，AG GC =，PD DA =.(1)求证：平面BDG ⊥平面ABC ；(2)若2AB BC CP ===，求平面ABD 与平面CBD 的夹角大小. 【答案】(1)证明见解析； (2)60︒.【分析】（1）从所要证明的结论分析：要证平面BDG ⊥平面ABC ，即证DG ⊥平面ABC ，即证PC ⊥平面ABC ，即证PC AB ⊥，进而得到证明思路；（2）方法一：以G 为坐标原点，GB ，GC ，GD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求二面角的大小；方法二：过A 作AE BD ⊥，垂足为E ，连接EC ，找出二面角的平面角，利用余弦定理求其大小.【详解】(1)证明：因为AB ⊥平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， 所以PC AB ⊥.因为PC BC ⊥，AB BC B ⋂=， 所以PC ⊥平面ABC . 因为AG GC =，PD DA =， 所以//DG PC ， 故DG ⊥平面ABC . 因为DG ⊂平面BDG ， 所以平面BDG ⊥平面ABC .(2)方法一：因为AG GC =，AB BC =，所以BG AC ⊥.以G 为坐标原点，GB ，GC ，GD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,2,0A -，()2,0,0B ，()0,0,1D ，()0,2,0C所以()2,2,0AB =，()0,2,1AD =，()0,2,1CD =-，()2,2,0CB =-.设(),,m x y z =是平面ABD 的法向量， 则00m AB m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22020x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则1y =-，2z =，所以()1,1,2m =-，2m =. 设(),,n a b c =是平面CBD 的法向量， 则00n CD n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20220b c a b ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令1a =，则1b =，2c =，所以()1,1,2n =，2n = 所以21cos ,222m n m n m n⋅===⨯⋅. 所以平面ABD 与平面CBD 的夹角的大小为60︒.方法二：如图，过A 作AE BD ⊥，垂足为E ，连接EC .由（1）中的垂直关系及条件2AB BC CP ===，可计算得 22AC =，23PA =，所以132DB DC DA PA ====. 所以DAB DBC ≅.所以AEC ∠为二面角A BD C --的平面角. 3341cos 3233ADB +-∠==⋅⋅，222sin 1cos 3ADB ADB ∠=-∠=. 26sin 3EA DA ADE =∠=. 所以263EC =. 在EAC 中，由余弦定理可得 2221cos 22EA EC AC AEC EA EC +-∠==-⋅.所以120AEC ∠=︒，所以平面ABD 与平面CBD 的夹角的大小为60︒.21．在平面直角坐标系中，1A ，2A 两点的坐标分别为(2,0)-，(2,0)，直线1A M ，2A M ．相交于点M 且它们的斜率之积是34-，记动点M 的轨迹为曲线E ．过点(1,0)F 作直线l 交曲线E 于P ，Q 两点，且点P 位于x 轴上方．记直线1A Q ，2A P 的斜率分别为1k ，2k ． (1)证明：12k k 为定值： (2)设点Q 关于x 轴的对称点为1Q ，求1PFQ △面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 33【分析】（1）先求曲线方程，设直线方程联立曲线方程消元，根据韦达定理对12k k 化简可证；（2）数形结合，将所求面积转化为111PFQ PQQ QQ FS SS=-，由（1）根据韦达定理和基本不等式可得.【详解】(1)设(,)M x y ，由题可知3224y y x x ⋅=-+-，所以22143x y +=（2x ≠±）． 设直线l 的方程为1x my =+，()11,Q x y ，()22,P x y ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my ++-=，所以122634my y m +=-+，122934y y m -=+，所以1112y k x =+，2222y k x =-，所以()()121111212212122222232y x y k x my y y y k x y my y y x -+-===++- ()()2222222229633413434939334334m m y m m y m m m m m y y m -⎛⎫--- ⎪-++++⎝⎭===--++++， 所以12k k 为定值．(2)设()111,Q x y -，由椭圆的对称性，不妨设0m >，∴()()11211121122PQQ S y x x x y x y =⋅--=-△，()()1111111122QQ F S x y x y y =--=-△，而()()1111121111PFQ PQQ QQ FSSSx y x y x y y =-=---()1211229134my my y my y m =-+=-=+9933442123m m==+，当243m =，即233m =时，等号成立， 此时1PFQ △的面积最大值为334．22．设函数()()211ln 22af x x a x a x =-+-++，0a >．(1)若1a =，求函数()f x 的单调区间和最值；(2)求函数()f x 的零点个数，并说明理由．【答案】(1)增区间为()0,1，减区间为()1,+∞；最大值为0，无最小值 (2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）由()211ln 22f x x x =-++，求导，再分别令()0f x '>，()0f x '<求解；（2）由()()211ln 22af x x a x a x =-+-++，0a >，求导()()()1-+-'=x x a f x x，得到函数有唯一的极大值点x a =，极大值()11ln 22⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭f a a a a ，令()11ln 22g a a a =-+，0a >，利用导数法求解.【详解】(1)解：函数的定义域为()0,∞+，当1a =时，()211ln 22f x x x =-++，()211-+'=-+=x f x x x x，令()0f x '=，得1x =； 由()0f x '>，得01x <<； 由()0f x '<，得1x >．所以，增区间为()0,1，减区间为()1,+∞．当1x =时，函数()f x 有最大值为()10f =，无最小值(2)()()211ln 22af x x a x a x =-+-++，0a >，()()()()()2111-+-+-+-'=-+-+==x a x a x x a a f x x a x x x， 令()0f x '=，得1x =-（舍）或x a =； 由()0f x '>，得0x a <<； 由()0f x '<，得x a >．所以，增区间为()0,a ，减区间为(),a +∞． 函数有唯一的极大值点x a =，()()21111ln ln 2222a f a a a a a a a a a ⎛⎫=-+-++=-+ ⎪⎝⎭，令()11ln 22g a a a =-+，0a >．因为()1102'=+>g a a a恒成立，函数()g a 为增函数，且()111ln1022g =-+=， ①01a <<时，()0g a <，即()0f a < 函数()f x 一定没有零点． ②1a =时，()0g a =，即()0f a = 函数()f x 有唯一的零点1x =． ③1a >时，()0g a >，即()0f a >，()()211ln 22af x x a x a x =-+-++，且2211111111ln 0e 2e e e e 2e 22e e⎛⎫⎛⎫=-+-++=---< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a f a a ，()()48441e e 1e ln e 22=-+-++a a a a af a a ，()4421e 22422=--+++a a ae a a ，令()()e 10x h x x x =-->，则()e 1xh x '=-，当0x >时，()0h x '>成立， 所以()()00h x h >=，所以()e 10xx x >+>，∴4e 41>+a a ，0a >，所以()()()()4211412341330222aa f e a a a a -++++=-+<≤， 在区间1,a e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，在区间4,aa e ⎡⎤⎣⎦上有唯一零点， 函数()f x 有两个不同的零点． 综上所述：①01a <<时，函数()f x 一定没有零点． ②1a =时，函数()f x 有唯一的零点． ③1a >时，函数()f x 有两个不同的零点．【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．。

华南师大附中2022-2023学年第一学期期末考试高二数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．回答第Ⅱ卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷一、 单选题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．过点()1,2-和点()0,3的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-2．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则6a 的值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．83．若直线l 的方向向量是()3,2,1a =，平面α的法向量是()1,2,1u =--，则l 与α的位置关系是（ ）A ．l α⊥B ．//l αC ．l 与α相交但不垂直D ．//l α或l α⊂4．若直线220x y +-=为圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若232a a +=-，344a a +=，则8S =（ ）A ．80B ．85C ．90D ．956．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ） A ．3 B ．14 C ．28 D ．427．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 的准线l 上，线段MF 与y 轴交于点A ，与抛物线C 交于点B ，若||1||3AB MA ==，，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知O 为坐标原点，P 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上位于x 轴上方的点，F 为右焦点. 延长PO ，PF 交椭圆E 于Q ，R 两点，QF FR ⊥，3QF FR =，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．4A 1二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-+，则下列结论正确的是（ ）A ．{}n a 是等差数列B ．460a a +=C ．910a a <D ．n S 有最大值81410．已知曲线22:1C mx ny +=，则( )A ．若4m n ==，则曲线C 是圆,其半径为2B ．若0m n >>，则曲线C 是椭圆，其焦点在y轴上 C ．若曲线C过点(，(，则C 是双曲线 D ．若0mn =，则曲线C 不表示任何图形11．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．12144a = B ．2022a 是偶数C ．20221232020a a a a a =++++ D ．2020202420223a a a +=12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O =为坐标原点.一束平行于x 轴的光线1l 从点()(),11P m m >射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经C 上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（ ）A ．121y y =-B ．延长AO 交直线14x =-于点D ，则,,D B Q 三点共线 C ．2516AB =D ．若PB 平分ABQ ∠，则4116m =第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．13．若双曲线221y x m-=的一条渐近线方程为3y x =，则实数m =___________．14．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，90BCA ∠=︒，M N ，分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为______.全科试题免费下载公众号高中僧课堂15．已知正项数列{}n a 前n 项和n S 满足()()12n n n a a S m m +=+∈R ，，且3510a a +=，则m =__________. 16．如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点分别为,A B ，左焦点为F ，以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于,M N 两点.若四边形FAMN 是平行四边形，且平行四边形面积为96，则椭圆的长轴长为___________.四、解答题：本大题共6小题，满分52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 17．（本题满分8分）在ABC 中，7cos 8A =，3c =，sin 2sinB A =且b c ≠. （1）求b 的值； （2）求ABC 的面积．18．（本题满分8分）已知数列{}n a 满足194a =-且134n n a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足30n n b na +=，求{}n b 的前n 项和为n T .19．（本题满分8分）如图，正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点. （1）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（2）求二面角1A A D B --的正弦值.C 1120．（本题满分8分）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，且经过点(2A p ，)(0)m m >，||5AF =． （1）求p 和m 的值；（2）若点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，证明：直线MN 过定点．21．（本题满分10分）某高科技企业研制出一种型号为A 的精密数控车床，A 型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A 型车床所创造价值的第一年）.若第1年A 型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A 型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A 型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用n a （*N n ∈）表示A 型车床在第n 年创造的价值.（1）求数列{}(N )n a n *∈的通项公式n a ；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项的和，n T =nS n，企业经过成本核算，若100n T >万元，则继续使用A 型车床，否则更换A 型车床，试问该企业须在第几年年初更换A 型车床？22．（本题满分10分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，右顶点A 在圆22:3O x y +=上，且121AF AF ⋅=-.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点. ①求证：点M 与点N 的横坐标之积为定值； ②求MON ∆周长的最小值.，则2021122019a a a a =+++，同理2020122018a a a a =+++，2019122017a a a a =+++，依次类推，可得为原点，1,,CA CB CC 的方向为()1,0,2AN =-，()1,1,2BM =-，因为1430 cos,1056AN BMAN BMAN BM⋅-+<===⨯>，所成角的余弦值为30直线四边形FAMNS=椭圆长轴长故ABC 的面积34n ⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭()41n ⎫++-⎪434n ⎛⎫++- ⎪⎝⎭ABC 为正三角形正三棱柱, 又AO ⊂平面，1BB BC ⊥，1OO ⊂平面1(1,2,3),(2,1,0)AB BD ∴=-=-，1(1,2,3)BA =-. 1110,0AB BD AB BA ⋅=⋅=,1BD BA B ⋂=，且的一个法向量为(,,)n x y z =，(1,1,3)AD =--，1(0,2,0)AA =，则10n AD n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即，得(3,0,1)n =-.）得1(1,2,3)AB =-为平面易得2364|c |o ,28s ||n AB n AB n AB ⋅-===-⋅.B 的平面角为θ所以11(4,4)AM x y =--，22(4,4)AN x y =--，又）由题意知126,,,a a a 构成首项故()*280306,N n a n n n =-∈（万元）由题意知()*78,,,7,N n a a a n n ∈构成首顶(7*17,N 2n n n -⎫∈⎪⎭730,1n n n -≤≤⎫所以，当*12,N n n ∈时，恒有则()13,0AF c =--，()23,0AF c =-，因为121AF AF ⋅=-，所以的渐近线方程为33y x , 当直线的斜率不存在时，直线的方程为=3x ，所以3,2OD MN,所以132OM ON .此时OMN 的周长为6OM ON MN，此时3M Nx x . 当直线的斜率存在时，设其方程为(0)y kx m k ，则(,0)mD k，联立2213ykx m x y，得222(13)6330k xkmx m ，由于直线l 与双曲线所以2130k 且0m ，所以22222364(13)(33)130k m k m k，22310k m --=.则22310m k ,得33k或33k . ，由33ykx m yx ，解得3333(,),(,)33333333m mm m M N k k k k ，则222333()()333333m m mOM k k k ，222333()()333333m m m ON kk k ，22222331333()()1333333333m k m m m mMN k k k k k . 又22221331133M Nm k x x k k ，为定值，所以OMN 的周长为2221111333333k OM ON MNm k k k ，当33k时，周长为22222221112212123113333313333k k k kk m mkk k k k .当33k时，周长为 22222221112212123113333313333k k k k k m m kk kk k ,因为222222212122113113121111442kk k k kkkk k k，所以当33k 时，周长大于2336.当33k时，周长大于2336.综上所述，OMN 周长的最小值为。

2021-2022学年广东省广州市天河区高二（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）直线2x+3y+6=0在y 轴的截距是（ ）A.-2B.2C.3D.-32.（单选题，5分）已知点A （2，1，-2），点A 关于x 轴的对称点的坐标为（ ）A.（-2，1，2）B.（-2，1，-2）C.（2，-1，-2）D.（2，-1，2）3.（单选题，5分）已知点P （-3，-4），Q 是圆O ：x 2+y 2=4上的动点，则线段PQ 长的最小值为（ ）A.3B.4C.5D.64.（单选题，5分）已知椭圆方程为： x 2m +y 23m =1 ，则其离心率为（ ）A. 23B. √63C. 13D. √335.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题：把150个完全相同的面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的 14 是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（ ）A.30B.40C.50D.606.（单选题，5分）已知抛物线C ：y 2=12x 的焦点为F ，直线l 经过点F 交抛物线C 于A ，B两点，交抛物浅C 的准线于点P ，若 PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 |BF ⃗⃗⃗⃗⃗ | 为（ ）A.2B.3C.4D.67.（单选题，5分）已知圆O：x2+y2=25，直线l：y=kx+1-k，直线l被圆O截得的弦长最短为（）A. 2√22B. 2√23C.8D.98.（单选题，5分）数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（）A.153B.190C.231D.2769.（多选题，5分）过点P（-2，0）的直线l与直线l1：x+y-2=0平行，则下列说法正确的是（）A.直线l的顿斜角为45°B.直线l的方程为：x+y+2=0C.直线l与直线l1间的距离为2√2D.过点P且与直线l垂直的直线为：x-y+2=010.（多选题，5分）已知曲线C1：x216−y29=1与曲线C2：x216−k+y29−k=1，则下列说法正确的是（）A.曲线C1的焦点到其渐近线的距离是3B.当9＜k＜16时，两曲线的焦距相等C.当k＜9时，曲线C2为椭圆D.当k＞16时，曲线C2为双曲线11.（多选题，5分）已知数列{a n}，下列说法正确的是（）A.若数列{a n}为公比大于0，且不等于1的等比数列，则数列{a n}为单调数列B.若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0，S 11=0，则当n=10时，S n 最大C.若点（n ，a n ）在函数y=kx+b （k ，b 为常数）的图象上，则数列{a n }为等差数列D.若点（n ，a n ）在函数y=k•a x （k ，a 为常数，k≠0，a ＞0，且a≠1）的图象上，则数列{a n }为等比数列12.（多选题，5分）如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，动点M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且 CM =BN =a(0＜a ＜√2) ，则下列结论中正确的有（ ） A. ∃a ∈(0，√2) ，使 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CE ⃗⃗⃗⃗⃗ B.线段MN 存在最小值，最小值为 √23C.直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45°D. ∀a ∈(0，√2) ，都存在过MN 且与平面BCE 平行的平面13.（填空题，5分）已知圆C ：x 2+y 2-2x+4y=0关于直线l ：2x+ay=0对称，则a=___ ．14.（填空题，5分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设 AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，N 是BC 的中点，则向量 A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．（用 a ，b ⃗ ，c 表示）15.（填空题，5分）已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S n =2a n+1，则a 3=___ ；数列{a n }的通项公式a n =___ ．16.（填空题，5分）已知F 1，F 2是双曲线 E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0) 的左、右焦点，点M 是双曲线E 上的任意一点（不是顶点），过F 1作∠F 1MF 2角平分线的垂线，垂足为N ，O 是坐标原点．若 |ON |=|F 1F 2|6 ，则双曲线E 的渐近线方程为 ___ ．17.（问答题，10分）已知M （5，2），N （-1，-4）两点．（1）求以线段MN 为直径的圆C 的方程；（2）在（1）中，求过M 点的圆C 的切线方程．18.（问答题，12分）已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 4=9，S 3=15．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）令 b n =1an−1a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．19.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA || 平面EDB；（2）求证：PB⊥平面EFD．20.（问答题，12分）已知数列{a n}满足a1=13，a n+1=a n2a n+1．（1）证明：数列{1a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n=(−1)n(1a n+2n)，求数列{b n}的前n项和T n．21.（问答题，12分）如图1是直角梯形ABCD，AB || DC，∠D=90°，AB=2，AD= √3，CE=2ED=2，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达C1的位置，且平面BC1E与平面ABED 垂直，如图2．（1）求异面直线BC1与AD所成角的余弦值；（2）在棱DC1上是否存在点P，使平面PEB与平面C1EB的夹角为π4？若存在，则求三棱锥C1-PBE的体积，若不存在，则说明理由．22.（问答题，12分）已知点A（1，0）及圆B：（x+1）2+y2=8，点P是圆B上任意一点，线段AP的垂直平分线l交半径BP于点T，当点P在圆上运动时，记点T的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与曲线E分别交于点C、D、M、N，且四边形CDMN是菱形，求该菱形周长的最大值．。

2021学年第一学期高二年级教学质量监测历史注意事项：1．本试卷共6页，28小题，满分100分。

2．考试用时75分钟。

3．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号等信息填写在答题卡相应位置。

4．选择题答案必须使用2B铅笔在答题卡上正确填涂；非选择题答案必须使用黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。

5．考生必须在答题卡上对应题号的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

保持卡面清洁，不折叠、不破损。

一、选择题（本大题共25小题，每小题2分，共50分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。

）1.《礼记•王制》云：“国无九年之蓄，曰不足，无六年之蓄，曰急，无三年之蓄，曰国非国也。

”这说明周代的统治者A．要求百姓生活勤俭节约B．鼓励消费以促进农业生产C．大力提倡重农抑商政策D．阐述国家要备荒的必要性2.成书于战国时期的《管子》记载：一女必有一针一刀，若其事立；耕者必有一耒一耜一铫，若其事立；匠者必有一斤一锯一锥一凿，若其事立。

不尔而成事者，天下无有。

这说明战国时期A．成熟制铁技术促进生产工具进步B．农业手工业工具已有自成体系C．合理行业分工推动社会经济发展D．男耕女织的自然经济开始形成3．表1中的史料反映了秦代记载出处有事请也，必以书，毋口请，毋羁请（让人代为请示）。

《睡虎地秦墓竹简•内史杂》《睡虎地秦墓竹简•行书》行命书及书署急者，辄行之；不急者，日毕，勿敢留，留者以律论之。

表1A．地方官员权力较小B．国家法律条文严酷C．行政管理制度严密D．政府行政效率低下4．汉武帝时开始统一铸造“五铢”铜钱，西汉铸造五铢钱的钱范在考古发掘中屡有出土（如图1），中央政府还成立专门的铸币机构，这一做法A．打击了匈奴势力B．推动了经济格局的变化C．加强了中央集权D．开启了古代货币的统一图1西汉“五铢”铜钱范5．图2为北齐仰覆莲六系青瓷尊。

这件出土于河北景县北齐封子绘墓的青瓷尊，器形雄伟、饱满，是中原地区青瓷的代表作。

2021-2022年高二数学上学期期末试卷理（含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）2．（5分）若，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．|a|﹣|b|=|a﹣b| C． D．ab＜b23．（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C．D．4．（5分）设{an }是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．156．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为11．（5分）已知f（x）=则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为．13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．广东省揭阳一中xx高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．分析：先计算集合B，再计算A∩B，最后计算C R（A∩B）．解答：解：∵B={x|2＜x＜5}，∴A∩B={x|3≤x＜5}，∴C R（A∩B）=（﹣∞，3）∪所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力．4．（5分）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a3=1，再由S3=++1=7可得q=，进而可得a1的值，由求和公式可得．解答：解：设由正数组成的等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由题意可得a32=a2a4=1，解得a3=1，∴S3=a1+a2+a3=++1=7，解得q=，或q=（舍去），∴a1==4，∴S5==故选：C点评：本题考查等比数列的求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．15考点：循环结构．专题：计算题．分析：写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出．解答：解：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i故选C点评：解决程序框图中的循环结构的问题，一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．6．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；三角函数的求值；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用平方法，可得sinθcosθ＜0，再将方程化为标准方程，运用作差法，即可判断分母的大小，进而确定焦点的位置．解答：解：θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则平方可得，1+2sinθcosθ=，则sinθcosθ=﹣＜0，即sinθ＞0，cosθ＜0，x2sinθ﹣y2cosθ=1即为=1，由于﹣=＜0，则＜，则方程表示焦点在y轴上的椭圆．故选C．点评：本题考查椭圆的方程和性质，注意转化为标准方程，考查三角函数的化简和求值，属于中档题和易错题．7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合法．分析：将方程转化为函数y=k与y=|x|（x﹣1），将方程要的问题转化为函数图象交点问题．解答：解：如图，作出函数y=|x|•（x﹣1）的图象，由图象知当k∈时，函数y=k与y=|x|（x﹣1）有3个不同的交点，即方程有3个实根．故选A．点评：本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642考点：对数的运算性质．专题：压轴题；新定义．分析：利用“取整函数”和对数的性质，先把对数都取整后可知++++…+=1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6，再进行相加运算．解答：解：∵=0，到两个数都是1，到四个数都是2，到八个数都是3，到十六个数都是4，到三十二个数都是5，=6，∴++++…+=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6=264故选C．点评：正确理解“取整函数”的概念，把对数正确取整是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=2．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由题意和三角形的面积公式求出c，再由余弦定理求出a，代入式子求值即可．解答：解：由题意得，∠A=60°，b=1，S△ABC=，所以，则，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13，则a=，所以==2，故答案为：2．点评：本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：先根据分段函数的定义域，选择解析式，代入“不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5”求解即可．解答：解：①当x+2≥0，即x≥﹣2时．x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：2x+2≤5解得：x≤．∴﹣2≤x≤．②当x+2＜0即x＜﹣2时，x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：x+（x+2）•（﹣1）≤5∴﹣2≤5，∴x＜﹣2．综上x≤．故答案为：（﹣∞，]点评：本题主要考查不等式的解法，用函数来构造不等式，进而再解不等式，这是很常见的形式，不仅考查了不等式的解法，还考查了函数的相关性质和图象，综合性较强，转化要灵活，要求较高．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为4．考点：等差数列的前n项和；等差数列．专题：压轴题．分析：利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4≥10，S5≤15，∴，即∴∴，5+3d≤6+2d，d≤1∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4．点评：此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足的可行域，再根据平面向量的运算性质，对||•cos∠AOP 进行化简，结合可行域，即可得到最终的结果．解答：解：满足的可行域如图所示，又∵||•cos∠AOP=，∵=（2，1），=（x，y），∴||•cos∠AOP=．由图可知，平面区域内x值最大的点为（5，2）||•cos∠AOP的最大值为：故答案为：．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为y2=4x．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）则可知x1+x2+x3=0，进而表示出A，B，C三点的横坐标，根据抛物线定义可分别表示出|FA|，|FB|和|FC|，进而根据，求得p，则抛物线方程可得．解答：解：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）由得x1+x2+x3=0∵X A=x1+，同理X B=x2+，X C=x3+∴|FA|=x1++=x1+p，同理有|FB|=x2++=x2+p，|FC|=x3++=x3+p，又，∴x1+x2+x3+3p=6，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程和抛物线定义的运用．涉及了向量的运算，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．解答：解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]点评：充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）首先根据已知条件，利用向量的坐标运算，分别求出向量的数量积和向量的模，进一步把函数的关系式通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用（1）的函数关系式，根据定义域的取值范围．进一步求出角的大小．解答：解：（1）已知：则：f（x）====所以：函数的最小正周期为：…（2分）…（4分）（2）由于f（x）=所以解得：所以：…（6分）因为：α∈（0，π），所以：则：解得：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的性质的应用，利用三角函数的定义域求角的大小．属于基础题型．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．考点：点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．分析：解法（一）：（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1E⊥A1D总是成立的．（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既可以求得点E到面ACD1的距离．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，则∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，可求得．，因为二面角D1﹣EC﹣D的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解答：解法（一）：（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故，而．∴，∴，∴．（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．设AE=x，则BE=2﹣x在Rt△D1DH中，∵，∴DH=1．∵在Rt△ADE中，DE=，∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中CH=，在Rt△CBE中CE=．∴．∴时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，∴，由令b=1，∴c=2，a=2﹣x，∴．依题意．∴（不合，舍去），．∴AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．点评：本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．解答：解：（I）∵y=﹣x2+2，∴y′=﹣2x，∴过点M（t，﹣t2+2）的切线的斜率为﹣2t，所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t2+2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=﹣x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣）×2=4﹣t﹣=4﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为xx0平方米．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；数形结合．分析：（1）延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，利用条件求出M是线段NF1的中点，转化出|OM|=4即可求出M点的轨迹T的方程；（2）可以先观察出轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，再利用同底等高的两个三角形的面积相等，，，知道符合条件的点均在过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2上，再利用点Q是轨迹T内部的整点即可求出点Q的坐标．解答：解：（1）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，∵∠NPM=∠MPF1，∠NMP=∠PMF1∴△PNM≌△PF1M∴M是线段NF1的中点，|PN|=|PF1||（2分）∴|OM|=|F2N|=（|F2P|+|PN|）=（|F2P|+|PF1|）∵点P在椭圆上∴|PF2|+|PF1|=8∴|OM|=4，（4分）当点P在x轴上时，M与P重合∴M点的轨迹T的方程为：x2+y2=42．（6分）（2）连接OE，易知轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，分别过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2．∵同底等高的两个三角形的面积相等∴符合条件的点均在直线l1、l2上．（7分）∵∴直线l1、l2的方程分别为：、（8分）设点Q（x，y）（x，y∈Z）∵Q在轨迹T内，∴x2+y2＜16（9分）分别解与得与（11分）∵x，y∈Z∴x为偶数，在上x=﹣2，，0，2对应的y=1，2，3在上x=﹣2，0，2，对应的y=﹣3，﹣2，﹣1（13分）∴满足条件的点Q存在，共有6个，它们的坐标分别为：（﹣2，1），（0，2），（2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣2），（2，﹣1）．（14分）点评：本题涉及到轨迹方程的求法．在求动点的轨迹方程时，一般多是利用题中条件得出关于动点坐标的等式，整理可得动点的轨迹方程．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．考点：反证法与放缩法；数列的函数特性；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，利用韦达定理可求得，代入f（x）=（b，c∈N），依题意可求得c=2，b=2，从而可得函数f（x）的解析式；（2）由4S n﹣=1，整理得2S n=a n﹣（*），于是有2S n﹣1=a n﹣1﹣（**），二式相减得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，讨论后即可求得数列通项a n；（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，取倒数得=﹣2+≤⇒a n+1＜0或a n+1≥2，分别讨论即可．解答：解：（1）依题意有=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，由韦达定理得：，解得，代入表达式f（x）=，由f（﹣2）=＜﹣，得c＜3，又c∈N，b∈N，若c=0，b=1，则f（x）=x不止有两个不动点，∴c=2，b=2，故f（x）=，（x≠1）．（2）由题设得4S n•=1，整理得：2S n=a n﹣，（*）且a n≠1，以n﹣1代n得2S n﹣1=a n﹣1﹣，（**）由（*）与（**）两式相减得：2a n=（a n﹣a n﹣1）﹣（﹣），即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，∴a n=﹣a n﹣1或a n﹣a n﹣1=﹣1，以n=1代入（*）得：2a1=a1﹣，解得a1=0（舍去）或a1=﹣1，由a1=﹣1，若a n=﹣a n﹣1得a2=1，这与a n≠1矛盾，∴a n﹣a n﹣1=﹣1，即{a n}是以﹣1为首项，﹣1为公差的等差数列．（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，=﹣2+≤，∴a n+1＜0或a n+1≥2．若a n+1＜0，则a n+1＜0＜3成立；若a n+1≥2，此时n≥2，从而a n+1﹣a n=≤0，即数列{a n}在n≥2时单调递减，由a2=2知，a n≤a2=2＜3，在n≥2上成立．综上所述，当n≥2时，恒有a n＜3成立．点评：本题考查数列的函数特性，着重考查等差数列的判定，考查推理证明能力，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题． 36365 8E0D 踍37704 9348 鍈4 27966 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2021-2022学年广东省广州市三中、四中、南武、培正中学高二上学期期中数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则选项中与向量相等的是( )A. B. C. D.2.已知三角形的三个顶点，，，则BC边上的中线所在直线的方程为( )A. B.C. D.3.已知空间向量，空间向量满足且，则( )A. B. C. D.4.已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程是( )A. B. C. D.5.若方程表示的曲线是圆，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.6.已知平面过点，它的一个法向量为，则下列哪个点不在平面内( )A. B. C. D.7.一条光线从点射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为 ( )A. 或B. 或C. 或D. 或8.已知空间三点：，，，设，，，则下列命题错误的是( )A.B. 在方向上的投影向量等于C. 是等边三角形D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.给出下列命题，其中是真命题的是( )A. 若可以构成空间的一组基底，向量与共线，，则也可以构成空间的一组基底B. 已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一组基底C. 已知A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间的一组基底，则A，B，M，N 四点共面D. 已知是空间的一组基底，若，则不是空间的一组基底10.下列命题正确的有( )A.两平行线、间的距离为2B. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条C. 直线的方向向量可以是D. 直线与直线平行，则或211.已知直线，，，以下结论正确的是( )A. 不论a为何值时，与都互相垂直B. 当a变化时，与分别经过定点和C. 不论a为何值时，与都关于直线对称D. 如果与交于点M，则的最大值是12.在正三棱柱中，，，与交于点F，点E是线段上的动点，则下列结论正确的是( )A.B. 存在点E，使得C. 三棱锥的体积为D. 直线AF与平面所成角的余弦值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）已知A（3，5），B（1，7），则直线AB的倾斜角大小是（）A.45°B.60°C.120°D.135°2.（单选题，5分）已知空间向量a⃗=(2，1，−3)，则向量a⃗在坐标平面xOy上的投影向量是（）A.（0，2，1）B.（2，1，0）C.（0，1，-3）D.（2，0，-3）3.（单选题，5分）抛物线x2=2y的焦点坐标是（）A. (1，0)2B.（1，0）)C. (0，12D.（0，1）4.（单选题，5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A.3盏B.7盏C.9盏D.11盏5.（单选题，5分）圆C1：x2+y2=16与圆C2：（x-4）2+（y+3）2=1的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切6.（单选题，5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点，则异面直线OB1与A1D所成角的大小为（）A. π6B. π4C. π3D. π2 7.（单选题，5分）已知曲线C ：mx 2+ny 2=1，则下列结论正确的是（ ）A.若m=0，n=1，则C 是两条直线，都平行于y 轴B.若m=n ＞0，则C 是圆，其半径为 1nC.若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D.若m ＞0，n ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为 y =±√−m n x8.（单选题，5分）已知{a n }是各项均为整数的递增数列，且a 1≥5，若a 1+a 2+⋯+a n =300，则n 的最大值为（ ）A.18B.19C.20D.219.（多选题，5分）已知点P 是△ABC 所在平面外一点，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，-1）， AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（4，3，2）， AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，0，-4），则（ ） A.AB⊥APB.BC⊥APC. |AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=5 D. |BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√19 10.（多选题，5分）已知直线l ：ax+by=r 2与圆C ：x 2+y 2=r 2（r ＞0），则下列结论正确的是（ ）A.若点P （a ，b ）在圆C 内，则直线l 与圆C 相交B.若点P （a ，b ）在圆C 外，则直线l 与圆C 相离C.若直线l 与圆C 相切，则点P （a ，b ）在直线l 上D.若直线l 与圆C 相离，则点P （a ，b ）在圆C 内11.（多选题，5分）已知数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，则（ ）A. {a n+1a n } 是等差数列B.{a n+1-a n }是等差数列C.{log 3a n }等比数列D.{a n a n+1}是等比数列12.（多选题，5分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为平面ABCD内一动点，则下列命题正确的是（）A.若点N到点M的距离为2，则点N的轨迹所围成图形的面积为3πB.若直线MN与平面ABCD所成的角为π6，则点N的轨迹为椭圆C.若直线MN与直线BC所成的角为π6，则点N的轨迹为双曲线D.若点N到直线CC1的距离与点N到直线AD的距离相等，则点N的轨迹为抛物线13.（填空题，5分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2- 1a n(n∈N∗），则a5=___ ．14.（填空题，5分）已知直线l1：ax-y+1=0与l2：（a-2）x+ay-1=0平行，则实数a的值为___ ．15.（填空题，5分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AA1=3，则点C1到平面A1BC的距离为 ___ ．16.（填空题，5分）已知椭圆x225+y216=1的右焦点为F，点P在椭圆上且在x轴上方．若线段PF的中点M在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是 ___ ．17.（问答题，10分）在平面直角坐标系xOy中，A（-1，1），B（3，3），C（2，0）．（1）求△ABC的面积；（2）判断O，A，B，C四点是否在同一个圆上？并说明理由．18.（问答题，12分）在① a3+b3=9；② a2+b3=a4这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．问题：已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q（q＞0）的等比数列，且a1=b1=1，a2+b2=5，___ ．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．19.（问答题，12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，△PAC是边长为6的等边三角形，PB=√30．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．20.（问答题，12分）已知椭圆C1：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B 两点，交C2于C，D两点，且|AB|=43|CD|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为8，求C1与C2的标准方程．21.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD || BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC =13，点G在PB上，且PGPB=23．（1）求证：AG || 平面PCD；（2）求二面角F-AE-D的余弦值．22.（问答题，12分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，且过点A（2，3）．（1）求C的方程；（2）若点M，N在C上，且AM⊥AN，AB⊥MN，B为垂足．是否存在定点Q，使得|BQ|为定值？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，说明理由．。

2021-2022学年广东省江门市高二上学期期末调研（一）数学试题一、单选题1．直线2210x y -+=的倾斜角是（ ）． A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 【答案】A【分析】先求斜率，再求倾斜角【详解】2210x y -+=，则斜率1k =，设倾斜角是α，0απ≤< ，即tan 1α=， 所以4πα=故选：A2．圆224240x y x y ++-+=的圆心坐标和半径分别为（ ） A ．()2,1-，1r = B ．()2,1-，2r = C ．2,1，1r = D ．2,1，2r =【答案】A【分析】根据圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=的圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即可求出结果.【详解】由于圆224240x y x y ++-+=，所以其圆心坐标为42,22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()2,1-；半径为1=. 故选：A.3．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n =-+，则这个数列的通项公式为（ ）A ．42n a nB ．32n a n =-+C ．1,1,4 2.2n n a n n -=⎧=⎨-+≥⎩D ．1,1,32,2n n a n n -=⎧=⎨+≥⎩【答案】C【分析】已知和求通项公式：11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行计算.【详解】当1n =时，11211;a S ==-+=-当2n ≥时，()2212121142;n n n a S S n n n -=-=-++--=-+ 故选：C4．在直三棱柱111ABC A B C 中，1190,,BCA D F ∠=︒分別是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的正弦值是（ ） A ．3010B ．12C ．7010D ．3015【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得11BD AF 与所成角的余弦值，从而求得所求. 【详解】根据题意易知1,,AC BC CC 两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，不妨设12BC AC CC ===， 则()()()()112,0,0,1,0,2,0,2,0,1,1,2,A F B D 故()11,1,2BD =-，()11,0,2AF =-， 设11BD AF 与所成角为α，090α︒≤≤︒， 则11330cos 1056AF BD AF BD α⋅===⨯⋅， 所以270sin 1cos 10αα=-=，即1BD 与1AF 所成角的正弦值是7010. 故选：C.5．抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+2，则p =（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.6．己知12,F F 是椭圆22:1259x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．36B ．25C ．20D ．16【答案】B【分析】根据椭圆定义可得1210MF MF +=，利用基本不等式可得结果.【详解】由椭圆22:1259x y C +=易知5a =，根据椭圆定义可知12210MF MF a +==， 所以21212252MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当125MF MF ==时，等号成立，所以1225MF MF ⋅≤，即12MF MF ⋅的最大值为25. 故选：B.7．直线()()()222350R m x m y m ++-+=∈与圆22:(1)(2)16C x y -++=相交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．6 B ．4C．D．【答案】D【分析】先求出直线经过的定点P，再由弦长公式AB =AB PC ⊥时，AB 最小，从而可求得结果.【详解】因为()()222350m x m y ++-+=可化为()22350x y m x y ++-+=，令()202350x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，所以直线AB 恒过定点(1,1)P -，该点在圆内，因为AB =AB 的最小值，即求圆心C 到直线AB 的最大距离d ， 显然当AB PC ⊥时，d PC =最大，AB 最小，又因为圆22:(1)(2)16C x y -++=，所以圆心()1,2C -，216r =，则PC ==故此时2AB ==故选：D.8．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为（ ） A ．4x ＋2y ＋3＝0 B ．2x －4y ＋3＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．2x －y ＋3＝0【答案】B【分析】等腰三角形的欧拉线即为底面上高线．求出AB 中点和AB 的斜率后可得． 【详解】因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1，0)，B (0，2)，故AB 的中点为1(,1)2，kAB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1＝1122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2x －4y ＋3＝0.故选：B ．二、多选题9．若{,,}a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A ．,,a b a a b -+ B ．,,b c b b c -+ C ．,,a b c a b -+ D ．,,a b a b c c +++【答案】ABD【分析】根据空间向量的共面定理判断即可.【详解】A ：()()12b a b a a ⎡⎤=+-⎦+⎣，A 是； B: ()()12b bc b c ⎡⎤=-++⎣⎦，B 是； C ：{,,}a b c 构成空间的一个基底，故c 无法用,a b 表示，C 不是； D ：()()c a b c a b =++-+，D 是； 故选：ABD10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ）．A ．1d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =【答案】BD【分析】根据等差数列的性质可求公差和9S ，从而可判断ABCD 的正误. 【详解】因为35a =，73a =，故35142d -==-，故A 错误，B 正确. 而()()91937999836222S a a a a =⨯+=⨯+=⨯=，故C 错误，D 正确.故选：BD.11．已知曲线C 的方程为221282x y m m+=+-，则（ ）A ．当2m =时，曲线C 为圆B ．当5m =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为7y x =± C ．当1m >时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆D ．存在实数m 使得曲线C 【答案】AD【分析】对于AB ，代入曲线C 的方程，结合圆的标准方程与双曲线的性质即可判断； 对于C ，结合选项B 的分析举反例即可排除；对于D ，先由曲线C 为双曲线求得m 的范围，22a b =，分类讨论2m <-与4m >两种况情，从而求得10m =，据此判断即可.【详解】对于A ，当2m =时，方程221282x y m m +=+-可化为22144x y +=，即224x y +=，所以曲线C 是圆，故A 正确；对于B ，当5m =时，方程221282x y m m +=+-可化为22172x y -=，所以曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y =，故B 错误； 对于C ，当1m >时，不妨令5m =，由选项B 可知曲线C 为双曲线，故C 错误；对于D ，假设存在实数m 使得曲线C 因为曲线C 为双曲线，所以(2)(82)0m m +-<，解得2m <-或4m >，，即ca=222c a b =+，易得22a b =， 当2m <-时，曲线C ：()221822y x m m -=--+，则()822m m -=-+，解得10m =，舍去； 当4m >时，曲线C ：221228x y m m -=+-，则228m m +=-，解得10m =，满足题意；综上：存在10m =满足题意，故D 正确. 故选：AD.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，EF 是棱AB 上的一条线段，且12EF =点Q 是棱11A D 的中点，点P 是棱11C D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．PQ 与EF 一定不垂直B ．二面角P EF Q --C ．点P 到平面QEF 的距离是定值D ．PEF 【答案】BCD【分析】对于A ，利用特殊位置法，当P 与点1D 重合时即可判断；对于B ，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法可求得二面角P EF Q --的余弦值的绝对值，从而即可判断；对于C ，由线面平行的判定定理判断得到11//C D 平面QEF ，即可判断；对于D ，利用线面垂直的性质定理可得1BC 是PEF 的高，再利用三角形的面积公式求解即可判断． 【详解】对于A ，当P 与点1D 重合时，由正方体的性质易得PQ ⊥面11AA B B ，而EF ⊂面11AA B B ，所以PQ EF ⊥，故A 错误；对于B ，由于点P 是棱11C D 上的动点，EF 是棱AB 上的一条线段，所以平面PEF 即平面11ABC D ， 建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()11,0,2,2,0,0,2,2,0,0,0,2Q A B D ， 所以()1(1,0,2),(0,2,0),2,0,2QA AB AD →→=-==-，因为平面QEF 即平面QAB ，设平面QAB 的法向量为(),,n x y z =，则00n QA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x z y -=⎧⎨=⎩，令1z =，则(2,0,1)n →=，设平面11ABC D 的法向量为(),,m a b c =，则100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020a c b -+=⎧⎨=⎩，令1c =，则(1,0,1)m →=，设二面角P EF Q --为θ，0πθ≤≤，所以||21310|cos |cos ,1025||||m n m n m n θ→→→→→→⋅+====⨯， 故2231010sin 1cos 11010θθ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确； 对于C ，由于11//C D EF ，且11C D ⊄平面QEF ，EF ⊂平面QEF ，所以11//C D 平面QEF ， 又点P 在11C D 上，所以点P 到平面QEF 的距离是定值，故C 正确； 对于D ，由于AB ⊥平面11BB CC ，又1BC ⊂平面11BB CC ，所以1AB BC ⊥，所以1BC EF ⊥，又11//C D EF ，所以1BC 是PEF 的高， 所以11112222222PEFSEF BC =⋅⋅=⨯⨯=，故D 正确. 故选：BCD ．.三、填空题13．已知椭圆2212516x y +=与双曲线2215x y m -=有共同的焦点，则m =______．【答案】4【分析】求出椭圆的焦点，再解方程35m =+. 【详解】解：由题意得椭圆的焦点为()3,0-和()3,0， 所以35m =+4m =． 故答案为：414．已知点B 是点()2,1,3A -关于坐标平面yoz 内的对称点，则OB =__________.【分析】按照点关于平面对称的规律求出B 的坐标，再利用空间两点的距离公式进行求解即可. 【详解】因为点B 是点()2,1,3A -关于坐标平面yoz 内的对称点， 所以()2,1,3B ，所以22OB==15．如果一个等比数列的前5项和等于10，前10项和等于330，那么这个数列的首项等于__________. 【答案】1031【分析】利用等比数列前n 项和公式得到方程组，两式作商即可求出q ，进而可求得1a . 【详解】设该等比数列的首项为1a ，公比为()1q q ≠，则()()51510110110113301a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，所以()()10151113311a q q a q q --=--，即1051331q q -=-， 所以()()55511331q q q-+=-，则5133q +=，即532q =，所以2q ，将2q代入510S =得，()11321012a -=-，解得11031a =，所以这个数列的首项等于1031.故答案为：1031. 16．若两个单位向量(,,0),(,0,)OA m n OB n p ==与向量(1,1,1)OC =的夹角都等于π4，则cos AOB ∠=__________.【答案】14##0.25【分析】根据已知可得OC OA m n ⋅=+=，2221OA m n =+=，利用完全平方公式求得mn ，再根据cos ||||mn OA OBAOB OA OB ⋅∠==⋅即可求得答案.【详解】因为两个单位向量(,,0),(,0,)OA m n OB n p ==与向量(1,1,1)OC =的夹角都等于π4，π4AOC BOC ∴∠=∠=，||3OC =，||||1OA OB ==， π||||cos4OC OA OC OA ∴⋅=⋅⋅1==2221OA m n =+=， 又OC OA m n⋅=+，则m n +()()222221212mn m n m n ∴=+-+=-=⎝⎭，即14mn =， n OA OB m ⋅=，4cos ||||1OA OB AOB OA O mn B ⋅∴∠===⋅.故答案为：14.四、解答题17．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）212n n a -=（2）21n nT n =+ 【分析】（1）由等比数列的通项公式求出q 即可求解. （2）由（1）求出n b 的通项公式，再有裂项相消法求和即可. 【详解】解：（1）由已知：12a =，32216a a∴22416q q =+即2280q q --=，所以4q =或2q =-（舍去）， ∴11211242n n n n a a q ---==⨯=（2）由（1）知：2log n n b a ==212log 221n n -=- ∴()()1112121n n b b n n +==⋅-+11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭ 12231111n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅111111123352121n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.18．在正四面体OABC 中，,,,E F G H 分别是,,,OA AB BC OC 的中点.设OA a =，,.OB b OC c ==(1)用,,a b c 表示,EF FG ； (2)用向量方法证明； ①EF FG ⊥； ②,,,E F G H 四点共面.【答案】(1)12EF b =，1122FG c a =-(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得12EF OB =，12FG AC =，再由向量的减法运算即可得到答案； （2）①利用空间向量数量积的运算律求得0EF FG ⋅=，从而可证；②用向量a ，b ，c 分别表示出EG ，EF ，EH ，从而得到EG EF EH =+，再利用空间向量的共面定理即可得证.【详解】（1）因为E ，F 分别是OA ，AB 的中点， 所以//EF OB 且12EF OB =，所以1122EF OB b ==，因为F ，G 分别是AB ，BC 的中点，所以//FG AC 且12FG AC =， 所以1111122222FG AC OC OA c a ==-=-．.（2）①不妨设正四面体的棱长为a ，则由题意知向量a ，b ，c 中，两两之间的夹角均为π3，且a b c a ===，所以2π1cos 322a a b a b a a ⋅=⋅=⨯⨯=，同理22a a c b c ⋅=⋅=，所以()()1110224EF FG b c a b c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅=，故EF FG ⊥；②因为()11112222EG OG OE OB OC OA b c a =-=+-=+-，()()1122EH OH OE OC OA c a =-=-=-，12EF b =，所以EG EF EH =+， 所以,,,E F G H 四点共面．19．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上一点A 到F 的距离是4，求A 的坐标. 【答案】(1)28y x = (2)()2,4或()2,4-【分析】（1）由题意求得抛物线的焦点与双曲线的渐近线，再由点线距离公式求得p 值，从而得到抛物线方程；（2）由抛物线的定义可求得A 点横坐标，再代入抛物线方程即可得解.【详解】（1）根据题意，抛物线的焦点F 为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线的渐近线方程为3y =，即30x ±=， 则焦点F 到双曲线2213xy -=()222113p =+±，解得4p =（负值舍去），故抛物线的方程为28y x =.（2）设()00,A x y ，由抛物线的定义可知042pAF x =+=，即0442x +=，解得02x =，将02x =代入抛物线方程28y x =，得04y =±， 所以A 的坐标为()2,4或()2,4-．20．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足()*143N n n n a a n ++=⨯∈.(1)求证：{}3nn a -是等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】(1)证明见解析 (2)()135122n n ++--【分析】（1）由递推式变形得11313n n nn a a ++-=--，从而利用等比数列的定义即可得证； （2）由（1）求得()321nn n a =⨯-+，再利用分组求和法与等比数列的前n 项和公式即可得解.【详解】（1）因为数列{}n a 的首项11a =，且满足()*143N n n n a a n ++=⨯∈，所以()1133n nn n a a ++-=--，即11313n n nn a a ++-=--， 又1132a -=-，故数列{}3nn a -是以2-为首项，1-为公比的等比数列；（2）由（1）可得()()()132121n n n n a --=-⨯-=⨯-，则()321nn n a =⨯-+，所以()()()212321321321n n n S =+⨯-++⨯-+++⨯-()()()()2213331121n n⎡⎤+++++⎣⎦=-+-+-()313(1)1(1)2131(1)n n ⎡⎤⨯--⨯=--⎣⎦+⨯---()152231n n ++--=. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，三角形PAD 为等边三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且1,2AB AD AD AB CD ⊥==，E 为棱PC 上的动点.（1）若13PE PC =，AC 交BD 于H ，证明：//EH 平面PAD ；（2）若E 为棱PC 的中点，且过,,A B E 三点的平面被该四棱锥截得的截面的面积为23，求CD 的长，并求直线PC 与该截面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）4，55. 【分析】（1）::1:2AH HC PE EC ==，结合12PE EC =，证得//EH PA ，从而证明//EH 平面PAD . （2）作出截面ABEF ，由其面积求得CD 的长，建立空间直角坐标系，求得PC 的方向向量及截面ABEF 的法向量，由向量间夹角关系求得线面夹角的正弦值. 【详解】（1）由题意得12PE EC =，又底面ABCD 为梯形，//AB CD ，12AB CD =，∴::1:2AH HC PE EC ==，∴//EH PA . 又EH ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， ∴//EH 平面PAD .（2）如图，取PD 的中点F ，连接,EF AF ，则EF CD ∥且12EF CD =， 又由题意得//AB CD ，12AB CD =，所以,EF AB EF AB =∥，所以四边形ABEF 为平行四边形， 即四边形ABEF 为所截得的截面.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ⋂底面ABCD AD =， 所以AB ⊥平面PAD ，又AF ⊂平面PAD ，所以AB AF ⊥， 所以四边形ABEF 为矩形. 令==AB AD a ，则3AF =，2323ABEF S =四边形2a =，所以2,4AB CD ==， 取AD 的中点O ，连接OP . 由题意得OP ⊥底面ABCD .以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，平行于AB 的直线OG 为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,3)P ，(1,4,0)C -，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，13(,2,)22E -， 故33(1,4,3),(0,2,0),(,2,)22PC AB AE →→→=--==-. 设平面ABE 的法向量为(,,),n x y z →=则00n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20332022y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 令1x =，则平面ABE 的一个法向量为(1,0,3).n →=设直线PC 与截面ABEF 所成的角为θ，则(1,0,3)(1,4,3)5sin |cos ,|||.5225n PC θ→→⋅--===⨯ 所以直线PC 与截面ABEF 所成角的正弦值为55. 【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，把线面夹角问题转化为向量间的夹角问题求解. 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>和双曲线2212y x -=的焦距相同，且椭圆C 经过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，椭圆C 的上､下顶点分別为,A B ，点P 在椭圆C 上且异于点,A B ，直线,AP PB 与直线:2l y =-分别交于点,M N .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过y 轴上的定点？请证明你的结论.【答案】(1)2214x y +=(2)是；证明见解析【分析】（1）根据椭圆与双曲线的几何性质及点在椭圆上列出方程，解之即可得解；（2）先利用点在椭圆上及斜率公式证得1214k k ⋅=-，再联立直线方程分别求得,M N 的坐标，从而写出以MN 为直径的圆的方程，令0x =，即证得该圆必经过y 轴上的定点. 【详解】（1）因为双曲线为2212y x -=，所以2213c =+=，又因为椭圆2222:1x y C a b +=和双曲线的焦距相同，所以2223c a b =-=，将12P ⎫⎪⎭代入椭圆方程222213x y a a +=-，可得42425360a a -+=， 解得24a =或294a =（舍去）， 故所求椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）是，证明如下：由（1）得椭圆C ：2214x y +=，所以()()0,1,0,1A B -，令()00,P x y ，则由题设可知00x ≠， 所以直线AP 的斜率0101,y k PB x -=的斜率为0201y k x +=，又点P 在椭圆上，所以()220001,04x y x +=≠，从而有200012200011114y y y k k x x x -+-⋅=⋅==-， 又易得AP 的方程为()110y k x -=-，直线PB 的方程为()()210y k x --=-， 由112y k x y -=⎧⎨=-⎩，解得13 2x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，由212y k x y +=⎧⎨=-⎩，解得212x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 所以，直线AP 与直线l 的交点13,2M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线PB 与直线l 的交点21,2N k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设点(),Q x y 是以 MN 为直径的圆上的任意一点，则0MQ NQ ⋅=， 故有1231(2)(2)0x x y y k k ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又1214k k =-，所以以 MN 为直径的圆的方程为22113(2)1240x y k x k ⎛⎫++-+-= ⎪⎝⎭，令0x =，则2(2)120y +-=，解得2y =-+2y =-- 所以以 MN为直径的圆恒过定点(0,2-+或(0,2--.【点睛】关键点睛：本题解决问题的关键有两点，一是利用点在椭圆上证得1214k k ⋅=-，二是以()()1122,,,M x y N x y 为直径的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=.。

2021年高二上学期10月月考试题数学含答案翟正平蔡广军姚动一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1. 命题“”的否定是.2.椭圆的焦距是8 .3. 已知，，则是的必要不充分条件.（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填写）4.有下列三个命题①“若x+y=0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若，则有实根”的逆否命题.其中真命题的序号为_____（1）（3）_____.（写出所有正确命题的序号）5.若变量x，y满足约束条件1133y xxy x≤+⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数的最大值是___5___．6. 已知椭圆的一个焦点为,离心率为,则其标准方程为.7. 设,,且恒成立,则的最大值为 4 .8. 已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 .9. 已知11,1()22,1xxf xx x⎧+<-⎪=⎨⎪-≥-⎩，则不等式的解集为 .10. 已知正数满足，则的最小值是 11 .11. 设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则椭圆的离心率为 .12. 若关于的不等式的解集为单元素集，则的值为或 .13. 已知不等式的解集为M，若M［1，4］，则实数a的取值范围是.14.已知的三边长依次成等差数列，，则的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,且过点和.(1) 求椭圆的方程;(2) 若椭圆与椭圆有相同的焦点,且过点,求椭圆的方程.16．已知（1）若，命题“且”为真，，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解（1）（2）17．某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产件．，需另投入成本为，当年产量不足80件时，（万元）.当年产量不小于80件时，（万元）.每件．．商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件．．）的函数解析式；（2）年产量为多少件．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？yxPAQ B F 1O F 2产量为100件时，利润最大为为1000万元.18． 已知椭圆：和圆：，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示，点在轴上方）．当时，弦的长为． （1）求圆与椭圆的方程；（2）若成等差数列，求直线的方程..解：（1）取PQ 的中点D ，连OD ，OP 由，，知 2221444PQ PQ OQ OD ==+= 椭圆C 的方程为：，，（2）设，121224,24AF AF a BF BF a +==+==，的长成等差数列，设，由2200220064(1)9143x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得， ，.19.已知函数.(1)若,且不等式在上恒成立,求证:；(2)若,且不等式在上恒成立,求实数的取值范围；(3)设,,求不等式在上恒成立的充要条件.20.已知函数,．（1）当时，求的最小值；（2）若函数图象上的点都在不等式组表示的平面区域内，求实数的取值范围；（3）若函数422()()(1)1h x x f x x bx ⎡=++++⎣在上有零点，求的最小值. 解：（1）（2）由题意可知，在上恒成立，把根式换元之后容易计算出；（3）422()()(1)1h x x f x x bx ⎡=++++⎣=0 即， 令,方程为，设，，当，即时，只需，此时，；当，即时，只需，即，此时． 的最小值为.。

广东省广州市八区2021-2022高二数学上学期期末教学质量监测试题（含解析）本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁一、选择题：本大题共12小题，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的. 1.设集合{}2|340A x x x =+-<，{|230}B x x =+≥，则A B =（ ）A. 3(4,]2-- B. 3[,1)2-- C. 3[,1)2-D. 3[,4)2【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，解一元一次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()()234410x x x x +-=+-<解得()4,1A =-，有2+30x ≥解得3,2B ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭，所以3,12A B ⎡⎫⋂=-⎪⎢⎣⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式、一元一次不等式的解法，属于基础题.2.已知向量()3,1,2a =-，()6,2,b t =-，且a b ，则t =（ ） A. 10 B. -10C. 4D. -4【答案】D【解析】 【分析】根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得t 的值. 【详解】由于//a b ，所以62312t -==-，解得4t =-. 故选：D【点睛】本小题主要考查空间向量共线的坐标表示，属于基础题.3.双曲线221169x y -=的焦距为（ ）A. 10B. 7C. 27D. 5【答案】A 【解析】 由方程，，则，即，则焦距为.4.设命题p ：[]0,1x ∀∈，都有210x -≤，则p ⌝为（ ）.A. []00,1x ∃∈，使2010x -≤B. []0,1x ∀∈，都有210x -≤C. []00,1x ∃∈，使2010x ->D. []0,1x ∀∈，都有210x -> 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可. 【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即p ⌝：[]00,1x ∃∈，使2010x ->，故选：C .【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.5.若a b c d ,,,为实数，则下列命题正确的是（ ）优质资料\word 可编辑A. 若a b <，则||||a c b c <B. 若22ac bc <，则a b <C. 若a b <，c d <，则a c b d -<-D. 若a b <，c d <，则ac bd <【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，当0c时，不符合，故A 选项错误.对于B 选项，由于22ac bc <，所以0c ≠，所以a b <，所以B 选项正确.对于C 选项，如2,3,2,3,23,23a b c d ====<<，但是a c b d -=-，所以C 选项错误.对于D 选项，由于a b c d ,,,的正负不确定，所以无法由a b <，c d <得出ac bd <，故D 选项错误. 故选：B【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.6.已知n 为平面α的一个法向量，l 为一条直线，则“l n ⊥”是“//l α”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将“l n ⊥”与“//l α”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】当“l n ⊥”时，由于l 可能在平面α内，所以无法推出“//l α”. 当“//l α”时，“l n ⊥”.综上所述，“l n ⊥”是“//l α”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查线面平行和法向量，属于基础题. 7.在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==，1AA =，则异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A. 15B.5C.5D.2【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1AC与1CD所成角的余弦值.【详解】以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，依题意()()()()11,0,0,0,,0,0,,3,0,0,3A a C a C a a D a，所以()()11,,3,0,,3AC a a a CD a a=-=-，设异面直线1AC与1CD所成角为θ，则22111135cos552AC CD a aa aAC CDθ⋅-+===⋅⋅.故选：C【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的余弦值的计算，属于基础题.8.已知各项均为正数的数列{}n a为等比数列，n S是它的前n项和，若337S a=，且2a与4a的等差中项为5，则5S=（）A. 29B. 31C. 33D. 35【答案】B【解析】【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，解方程求得q ，根据等差中项列方程，由此解得1a .进而求得5S 的值.【详解】由337S a =，得12337a a a a ++=，所以3126()0a a a -+=，即2610q q --=，所以12q =,13q =-（舍去）．依题意得2410a a +=，即31()10a q q +=，所以116a =． 所以55116[1()]231112S -==-． 故选:B ．【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等差中项的性质，考查等比数列前n 项和，属于基础题. 9.命题“若{}n a 是等比数列，则n n k n k na aa a +-=（n k >且*,n k N ∈）的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】先判断原命题为真命题，由此得出逆否命题是真命题；判断出原命题的逆命题为真命题，由此判断原命题的否命题也是真命题，由此确定假命题的个数.【详解】若{}n a 是等比数列，则n a 是n k a -与n k a +的等比中项，所以原命题是真命题， 从而，逆否命题是真命题；反之，若(*)n n k n k n a a n k n k a a +-=>∈N ，,，则当1k =时，11(1*)n n n na a n n a a +-=>∈N ,， 所以{}n a 是等比数列，所以逆命题是真命题，从而，否命题是真命题． 故选:A ．【点睛】本小题主要考查四种命题及其相互关系，考查等比数列的性质，属于基础题.10.双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若PO PF ⊥,则PFO △的面积为（ ）A.32B.32C.12D.3 【答案】D 【解析】 【分析】先求得双曲线的渐近线方程，由此求得对应的倾斜角，解直角三角形求得三角形PFO 的边长，由此求得以PFO ∆的面积.【详解】双曲线22:13y C x -=的渐近线方程为3y x =±，无妨设60POF ∠=，因为PO PF ⊥，||2OF c ==，所以得||2cos 601PO ==,||2sin 603PF ==，所以PFO ∆的面积为13132⨯⨯=． 故选:D ．【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的几何性质，考查双曲线中的三角形的面积计算，属于基础题. 11.为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体1111D C B A ，该项目由长方形核心喷泉区ABCD （阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD 的面积为21000m ，绿化带的宽分别为2m 和5m （如图所示）.当整个项目占地1111D C B A 面积最小时，则核心喷泉区BC 的长度为（ ）A. 20mB. 50mC. 1010mD. 100m【答案】B 【解析】 【分析】设BC x =，得到CD 的值，进而求得矩形1111D C B A 面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值，，而根据基本不等式等号成立的条件求得此时BC 的长. 【详解】设BC x =，则1000CD x=，所以11111000(10)(4)A B C D S x x=++100001040(4)x x =++10401440x x≥+=， 当且仅当100004x x=，即50x =时，取“=”号， 所以当50x =时，1111A B C D S 最小．故选:B ．【点睛】本小题主要考查矩形面积的最小值的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.12.在三棱锥D ABC -中，AB BC ==4DA DC AC ===，平面ADC ⊥平面ABC ，点M 在棱BC 上，且DC 与平面DAM AM =（ ）C. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出M 点坐标，利用DC 与平面DAM 所成角的正弦值为4列方程，解方程求得M 点的坐标，进而求得AM 的长.【详解】取AC 中点O ，易证：OD AC ⊥,OD OB ⊥,AC OB ⊥.如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -. 由已知得()0,0,0O,()2,0,0B ,()0,2,0A -,()0,2,0C ,D ,(0,2,AD =,(0,2,DC =-.设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-.设平面DAM 的法向量(),,n x y z =.由0AD n ⋅=,0AM n ⋅=得2230(4)0y z ax ay ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取(3(4),3,)n a a a =--， 所以222|2323|3sin cos ,443(4)3a a DC n a a a θ+=〈〉==-++， 解得4a =-（舍去），43a =， 所以224845||33AM ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选:A ．【点睛】本小题主要考查根据线面角的正弦值求线段的长度，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.13.已知实数,x y 满足约束条件1010330x x y x y -≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为__________．【答案】7 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()2,3B 的位置，此时2z x y =+取得最大值为2237⨯+=. 故答案为：7【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14.某学校启动建设一个全新的信息化“未来报告厅”，该报告厅的座位按如下规则排列：从第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位数，且规划第7排有20个座位，则该报告厅前13排的座位总数是__________． 【答案】260 【解析】 【分析】将问题转化为等差数列来解决，根据已知条件以及等差数列前n 项和公式，求得所求的坐标总数.【详解】因为从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数， 所以座位数n a 构成等差数列{}n a . 因为720a =，所以113713713()1321326022a a a S a +⨯====.故答案为：260【点睛】本小题主要考查利用等差数列解决实际生活中的问题，属于基础题.15.已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF 为正三角形，则C 的离心率为__________． 【答案】31- 【解析】 【分析】结合等边三角形的性质和椭圆的定义列方程，化简后求得椭圆的离心率. 【详解】如图,因2POF 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，所以12F PF ∆是直角三角形.因为2160PF F ∠=，21||2F F c =，所以2||PF c =,1||3PF c =. 因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a +=即3131ca ，所以31e =-.故答案为：31-【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，属于基础题.16.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===,1160BAD DAA BAA ︒∠=∠=∠=,则1BD =__________．2【解析】【分析】用基底表示出1BD ，然后利用向量数量积的运算，求得1BD .【详解】因为111BD AD AB AD AA AB=-=+-， 所以2211()BD AD AA AB =+- 222111222AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+++--1112cos602cos602cos602=+++⨯-⨯-⨯=， 所以1||2BD BD ==2【点睛】本小题主要考查空间向量法计算线段的长，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.【答案】（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【解析】【分析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式.（2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=， 于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- 29n n =-+2981()24n =--+ 因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.18.已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，并且经过点()1,2-，抛物线C 的焦点为F ，准线为l .（1）求抛物线C 的方程；（2）过F h 与抛物线C 相交于两点A 、B ，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D 、E ，求四边形ABED 的面积.【答案】（1）24y x =；（2 【解析】【分析】（1）设抛物线为()220y px p =>，根据点()1,2-在抛物线上，求出p ，得到结果；（2）不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，直线h 的方程为()31y x =-，联立直线与抛物线得231030x x -+=，解出方程，然后求解A 、B 坐标，转化求解四边形的面积. 【详解】（1）根据题意，设抛物线为()220y px p =>，因为点()1,2-在抛物线上，所以()222p -=，即2p =，所以抛物线的方程为24y x =.（2）由（1）可得焦点()10F ，，准线为:1l x =-，不妨设()11,A x y ，()22,B x y ()12x x >，过F 且斜率为3的直线h 的方程为()31y x =-，由()24 31y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得231030x x -+=，所以13x =，213x =，代入()31y x =-，得123y =，2233y =-，所以()3,23A ，123,3B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以142pAD x +==，2423p BE x +==，1283DE y y =-=，因为四边形ABED 是直角梯形，所以四边形ABED 的面积为()164329AD BE DE +⨯=.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PB PD =.（1）证明：平面APC ⊥平面BPD ；（2）若PB PD ⊥，60DAB ∠=︒，2AP AB ==，求二面角A PD C --的余弦值.【答案】（1）见解析（2）57- 【解析】【分析】（1）通过菱形的性质证得BD AC ⊥，通过等腰三角形的性质证得BD PO ⊥，由此证得BD ⊥平面APC ，从而证得平面APC ⊥平面BPD .（2）方法一通过几何法作出二面角A PD C --的平面角，解三角形求得二面角的余弦值.方法而通过建立空间直角坐标系，利用平面APD 和平面CPD 的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：记ACBD O =，连接PO ． 因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，O 是,BD AC 的中点．因为PB PD =，所以PO BD ⊥．因为AC PO O =，所以BD ⊥平面APC ．因为BD ⊂平面BPD ，所以平面APC ⊥平面BPD ．（2）因为底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=，2AP AB ==，所以BAD ∆是等边三角形，即2BD AB ==．因为PB PD ⊥，所以112PO BD ==． 又sin 603AO AB ==2AP =，所以222PO AO AP +=，即PO AO ⊥．方法一：因为O 是AC 的中点，所以2CP AP ==，因为2CD AB ==，所以CP CD =，所以PAD ∆和PCD ∆都是等腰三角形．取PD 中点E ，连接,AE CE ，则AE PD ⊥，且CE PD ⊥，所以AEC ∠是二面角A PD C --的平面角．因为PO BD ⊥，且112PO OD BD ===，所以DP ==．因2AE CE ===，2AC AO ==， 所以2225cos 27AE CE AC AEC AE CE +-∠==-． 所以二面角A PD C --的余弦值为57-． 方法二：如图，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则A ，(0,1,0)D -，(0,0,1)P ，(C ， 所以(3,1,0)DA =，(0,1,1)DP =，(3,1,0)DC =-．设平面APD 的法向量为1(,,)n x y z =由11·0·0DA n DP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00y y z +=+=⎪⎩， 令3y =-，得1(1,n=-.同理，可求平面PDC 的法向量2(1,n =．所以121212cos ||||n n n n n n =,22222211(3)33(3)1(3)313(3)⨯+-⨯+⨯-=+-+++-57=-． 所以，二面角A PD C --的余弦值为57-．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*n S n n N =∈，数列{}n b 满足12b =，()*1322,n n b b n n -=+≥∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：数列{}1n b +是等比数列；（3）设数列{}n c 满足1n n n a c b =+，其前n 项和为n T ，证明：1n T <. 【答案】（1）*21()n a n n =-∈N （2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式. （2）通过证明1131n n b b -+=+，证得数列{1}n b +是等比数列，并求得首项和公比. （3）由（2）求得{}n b 的通项公式，由此求得n c 的表达式，利用错位相减求和法求得n T ，进而证得1n T <.【详解】（1）当1n =时，111a S ==．当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．检验，当1n =时11211a ==⨯-符合．所以*21()n a n n =-∈N ．（2）当2n ≥时，1111113213(1)3111n n n n n n b b b b b b -----++++===+++， 而113b +=，所以数列{1}n b +是等比数列，且首项为3，公比为3．（3）由（2）得 11333-+=⋅=n n n b ，211(21)()133n n n n n a n c n b -===-+， 所以1231n n n T c c c c c -=+++++ 231111111()3()5()(23)()(21)()33333n n n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ① 23411111111()3()5()(23)()(21)()333333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ② 由①-②得12342111111(21)()2[()()()()]3333333n n n T n +=--⋅+++++， 21111()[1()]1133(21)()21331()3n n n -+-=--⋅+- 11111(21)()()3333n n n +=--⋅+- 2221()()333n n +=-， 所以11(1)()3n n T n =-+． 因为1(1)()03n n +>，所以1n T <． 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列的证明，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.21.如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点()10B ,是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q .当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设过点()4,0D 的直线2l 与曲线C 相交于,M N 两点（点M 在,D N 两点之间）.是否存在直线2l 使得2DN DM =？若存在，求直线2l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在，54)y x =-或54)y x =-． 【解析】【分析】（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义，求出椭圆C 的方程.（2）设出直线2l 的方程，联立直线2l 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用2DN DM =，结合向量相等的坐标表示，求得直线2l 的斜率，进而求得直线2l 的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线2l 的方程的设法的不同.【详解】（1）因为圆A 的方程为22(1)16x y ++=，所以(1,0)A -，半径4r =．因为1l 是线段AP 的垂直平分线，所以||||QP QB =．所以||||||||||4AP AQ QP AQ QB =+=+=．因为4||AB >，所以点Q 的轨迹是以(1,0)A -，(1,0)B 为焦点，长轴长24a =的椭圆．因为2a =，1c =，2223b a c =-=， 所以曲线C 的方程为22143x y +=．（2）存在直线2l 使得2DN DM =．方法一：因为点D 在曲线C 外，直线2l 与曲线C 相交，所以直线2l 的斜率存在，设直线2l 的方程为(4)y k x =-．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >， 由22143(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(34)32(6412)0k x k x k +-+-=． 则21223234k x x k+=+， ① 2122641234k x x k-=+， ② 由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，解得1122k -<<． 因为2DN DM =，所以2142(4)x x -=-，即2124x x =-． ③ 把③代入①得21241634k x k +=+，22241634k x k-+=+ ④ 把④代入②得2365k =，得k =，满足1122k -<<． 所以直线2l的方程为：4)y x =-或4)y x =-． 方法二：因为当直线2l 的斜率为0时，(2,0)M ，(2,0)N -，(6,0)DN =-，(2,0)DM =- 此时2DN DM ≠．因此设直线2l 的方程为：4x ty =+．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >， 由221434x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)24360t y ty +++=．由题意知22(24)436(34)0t t ∆=-⨯+>，解得2t <-或2t >， 则1222434t y y t +=-+， ① 1223634y y t =+， ② 因为2DN DM =，所以212y y =． ③ 把③代入①得12834t y t =-+，221634t y t =-+ ④ 把④代入②得2536t =，t =2t <-或2t >．所以直线2l 的方程为4)y x =-或4)y x =-． 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知函数2()()(,)f x x mx m n m n =-++∈R .（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()3,1-，求实数,m n 的值；（2）设2m =-，若不等式()23f x n n >-+对x R ∀∈都成立，求实数n 的取值范围； （3）若3n =且()1,x ∈+∞时，求函数()f x 的零点.【答案】（1）2m =-，1n =-．（2）(,1)(3,)-∞-+∞（3）见解析【解析】【分析】（1）根据根与系数关系列方程组，解方程组求得,m n 的值.（2）将不等式2()3f x n n >-+转化为22222x x n n +->-+，求得左边函数()222g x x x =+-的最小值，由此解一元二次不等式求得n 的取值范围.（3）利用判别式进行分类讨论，结合函数()f x 的定义域，求得函数()f x 的零点.【详解】（1）因为不等式()0f x <的解集为(3,1)-，所以-3,1为方程()0f x =的两个根， 由根与系数的关系得3131mm n -+=⎧⎨-⨯=+⎩，即2m =-，1n =-．（2）当2m =-时，2()2(2)f x x x n =++-，因为不等式2()3f x n n >-+对x R ∀∈都成立，所以不等式22222x x n n +->-+对任意实数x 都成立．令22()22(1)3g x x x x =+-=+-，所以2min ()2g x n n >-+．当1x =-时，min ()3g x =-，所以232n n ->-+，即2230n n -->，得1n <-或3n >，所以实数n 的取值范围为(,1)(3,)-∞-+∞．（3）当3n =时，()2()(3)1f x x mx m x =-++>，函数()f x 的图像是开口向上且对称轴为2mx =的抛物线，22()4(3)412m m m m ∆=--+=--．①当∆<0，即26m -<<时，()0f x >恒成立，函数()f x 无零点．②当0∆=，即2m =-或6m =时，（ⅰ）当2m =-时，1(1,)2mx ==-∉+∞，此时函数()f x 无零点．（ⅱ）当6m =时，3(1,)2mx ==∈+∞，此时函数()f x 有零点3．③当>0∆，即2m <-或6m >时，令2()(3)0f x x mx m =-++=，得1x =，2x =(1)40f =>．（ⅰ）当2m <-时，得12(1)40m x f ⎧=<-⎪⎨⎪=>⎩，此时121x x <<，所以当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 无零点．（ⅱ）当6m >时，得32(1)40m x f ⎧=>⎪⎨⎪=>⎩，此时121x x <<，所以当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有． 综上所述：当6m <，(1,)x ∈+∞时，函数()f x 无零点；当6m =，(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有一个零点3；当6m >，(1,)x ∈+∞时，函数()f x． 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式解集，考查根与系数关系，考查不等式恒成立问题的求解，考查函数零点问题的研究，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

2021-2022学年广东省广州市番禺区高二（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）已知集合A={x|x2-x-2＜0}，B={x|0＜x＜1}，则A∩B=（）A.（-1，1）B.（-1，2）C.（0，1）D.（0，2）2.（单选题，5分）设i是虚数单位，则复数z=2i（3-2i）对应的点在复平面内位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（单选题，5分）直线l1：mx+y-1=0与直线l2：（m-2）x+my-1=0，则“m=1”是“l1⊥l2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（单选题，5分）函数y=ln（1-x）的图象大致为（）A.B.C.D.5.（单选题，5分）在空间四边形OABC 中， OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，点M 在线段OA上，且OM=2MA ，N 为BC 的中点，则 MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于（ ） A. 12 a - 23 b ⃗ + 12c B.- 23 a + 12 b ⃗ + 12c C. 12a +12b ⃗ −23c D. 23a +23b ⃗ −12c 6.（单选题，5分）直线3x-4y+5=0关于x 轴对称的直线方程为（ ）A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C.3x-4y+5=0D.3x-4y-5=07.（单选题，5分）过双曲线 C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0) 的左焦点F 1作x 轴的垂线交曲线C 于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=45°，则双曲线的离心率为（ ）A. √22B. √2−1C. √2D. √2+18.（单选题，5分）在等差数列{a n }中，已知a 5＞0，a 3+a 8＜0，则使数列{a n }的前n 项和S n ＜0成立时n 的最小值为（ ）A.6B.7C.9D.109.（多选题，5分）已知f （x ）=2sinxcosx+2 √3 cos 2x- √3 ，下列说法正确的有（ ）A.f （x ）的最小正周期为2πB.f （x ）的最大值为2C.f （x ）的图象关于 x =π3 对称D.f （x ）的图象关于 (−2π3，0) 对称 10.（多选题，5分）在空间中，已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α是一平面，下列说法正确的是（ ）A.若a || b ，b || c ，则a || cB.若a⊥b ，b⊥c ，则a⊥cC.若a⊥α，b⊥α，则a || bD.若a || α，b || α，则a || b11.（多选题，5分）定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列{a n }是等积数列，且a 1=3，前7项的和为14，则下列结论正确的是（ ）A.a n+2=a nB.a 2= 23C.公积为1D.a n a n+1a n+2=612.（多选题，5分）设抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ．过焦点F 的直线交曲线C 于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两点，则（ ）A.以PF 为直径的圆与准线l 相切B.以PQ 为直径的圆与准线l 相切C. x 1x 2=p 24 D. 1|FP|+1|FQ|=2p13.（填空题，5分）已知向量 a =(1，−3，2) ， b ⃗ =(−2，m ，−4) ，若 a ⊥b⃗ ，则实数m 的值是 ___ ．14.（填空题，5分）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为 13 ， 14 ，则密码被成功破译的概率 ___ ．15.（填空题，5分）已知圆O ：x 2+y 2=1，过点P （2，1））作圆O 的切线，则切线方程为 ___ ．16.（填空题，5分）已知A ，B 为x ，y 轴正半轴上的动点，且|AB|=4，O 为坐标原点，现以|AB|为边长在第一象限做正方形ABCD ，则 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ___ ． 17.（问答题，10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且 S n =2n+1−2 ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.（问答题，12分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且ccosB+（b-2a ）cosC=0．（1）求角C的大小；（2）若c=2，求△ABC的面积S的最大值．19.（问答题，12分）2020年3月20日，中共中央、国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》（以下简称《意见》），《意见》中确定了劳动教育内容要求，要求普通高中要注重围绕丰富职业体验，开展服务性劳动、参加生产劳动，使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，具有劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀．我市某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识技能，服务他人和社会，强化社会责任感，为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取100名学生，经统计得到他们参加公益劳动的总时间均在15～65小时内，其数据分组依次为：[15，25），[25，35），[35，45），[45，55），[55，65]，得到频率分布直方图如图所示，其中a-b=0.028．（Ⅰ）求a，b的值，估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数（同一组中的每一个数据可用该组区间的中点值代替）；（Ⅱ）学校要在参加公益劳动总时间在[35，45）、[45，55）这两组的学生中用分层抽样的方法选取5人进行感受交流，再从这5人中随机抽取2人进行感受分享，求这2人来自不同组的概率．20.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB || CD，AB⊥BC，AB=2CD，O为BD的中点，BD=4，PB=PC=PD=√5．（1）证明：OP⊥平面ABCD；（2）若BC=CD，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．21.（问答题，12分）已知A（-2，0），B（2，0），设动点P满足直线PA与PB的斜率之，记动点P的轨迹为曲线E．积为−34（1）求曲线E的方程；（2）若动直线l经过点（1，0），且与曲线E交于C，D（不同于A（-2，0），B（2，0））两点，则直线AC与BD的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．22.（问答题，12分）已知函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x+2-x．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若mf（x）≤2-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范围．。

2021-2022学年广东省广州市番禺区高二（上）期末物理试卷一、单项选择题（本题共7 小题，每小题4 分，共28 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1.下列说法不正确的是（）A．奥斯特发现电流的磁效应B．法拉第发现电磁感应现象C．摩擦生电，说明摩擦能创造电荷D．当光照射在金属上时，有时会有电子从金属表面逸出，这是光电效应现象2.如图为真空中两点电荷A、B 形成的电场中的部分电场线，电场线关于虚线对称，O点为A、B 电荷连线中点，a、b 为其连线的中垂线上对称两点，则下列说法正确的是（）A．O 点电场强度为零，电势也为零B.a、b 两点一定不在同一等势面上C.a、b 两点处没有电场线，电场强度为零D.同一试探电荷在a、b 两点处所受库仑力的合力大小相等，方向相反3.图甲为某一点电荷Q 的电场中的一条电场线，A、B 为电场线上两点，一电子以某一速度沿电场线由A 运动到B 的过程中，速度﹣时间图像如图乙所示。

下列说法正确的是（）A．Q 在B 的右侧B．电场强度大小E A＞E BC．电场线方向由A 指向BD．电子运动过程中电势能增加4.图为两段由同种材料制成的长度相同、粗细不同的电阻丝R1 和R2 的伏安特性曲线。

关于这两段电阻丝，以下判断正确的是（）A.电阻丝R1 较细B.电阻R1 和R2 的阻值之比3：1C.若将电阻丝R1 和R2 串联在一起接入电路，R2 两端的电压较大D.若将电阻丝R1 和R2 并联在一起接入电路，R2 消耗的电功率较大5.如图R是光敏电阻（阻值随光照强度的增大而减小），当它受到的光照强度增大时（）A.灯泡L 变暗B.光敏电阻R 上的电压增大C.电容器C 的带电荷量减小D.理想电压表V 的读数减小6.一根通电直导线垂直放在磁感应强度大小为B＝0.1T 的匀强磁场中，以导线为中心，R 为半径的圆周上有a、b、c、d 四个点，已知a 点磁感应强度为0。

则下列说法正确的是（）A.直导线中电流方向垂直纸面向外B．b 点的磁感应强度为0.1TC．c 点的磁感应强度为0.2TD．如果将通电导线撤去，匀强磁场的磁感应强度就为零7.图甲为测绘小灯泡伏安特性曲线实验电路图，图乙为实验所得伏安特性曲线，小灯泡额定电压为3V。