八年级上册数学第三四章 知识点与习题(教师)资料

八年级上册数学4章知识点数学，是一门既重要又深奥的学科。

它不仅包含着运算、几何等基本知识点，也有着与实际生活紧密相连的的应用，比如概率、统计等。

今天我们就来谈谈八年级上册数学第四章的知识点。

一、平面图形的认识平面图形是指一个位于二维平面中的图形，它通常由线段、直线等组成。

在认识平面图形时，我们需要学习点、线、角、面等基本概念，了解三角形、四边形、五边形、圆形等基本图形的特点。

二、平面图形的性质在学习平面图形的性质时，我们需要认识到不同的图形具有不同的性质。

比如，三角形的内角和等于180度，正方形四条边长相等，等腰三角形两边相等等等，这些性质都需要我们认真掌握并加以运用。

三、平面图形的周长和面积周长和面积是平面图形的重要性质之一。

周长指的是一个图形的边界长度，而面积指的是一个图形所占据的二维空间的大小。

在学习计算周长和面积的过程中，我们需要掌握各种图形的计算公式，比如三角形的周长公式、圆的面积公式等等。

四、圆的基本性质圆是平面上一类重要的几何图形，它具有一些独特的性质。

比如，圆的内切正多边形的边数越多，逼近圆的程度越高；圆内任意两点之间的弦不超过圆的直径等等。

掌握圆的基本性质，对于学习数学和实际生活都有很大的意义。

五、相似与全等在几何学中，相似和全等是两个重要的概念。

两个形状相同但大小不同的图形称为相似图形，而两个形状和大小都相同的图形称为全等图形。

在学习相似和全等的过程中，我们需要掌握它们的定义、性质、判定方法等等，以便运用到实际问题的解决中。

六、三角形的性质三角形是几何学中的基本图形之一，它有着很多特殊的性质。

比如，三角形的内角和等于180度，等腰三角形两边相等，直角三角形斜边长度等于两直角边长度平方和的开方等等。

在学习三角形的性质时，我们需要掌握不同类型三角形的特点，并灵活运用三角函数等相关知识。

以上就是八年级上册数学第四章的主要知识点。

在学习这些知识点时，我们需要认真思考、举一反三，灵活运用所学到的知识解决实际问题，这样才能真正掌握数学并运用于生活中。

新北师大版八年级数学上册第四章位置与坐标一、生活中确定位置的方法（重难点）1、行列定位法把平面分成若干个行列的组合，然后用行号和列号表示平面中点的位置，要准确表示平面中的位置，需要行号、列号两个独立的数据，缺一不可。

2、方位角加距离定位法此方法也叫极坐标定位法，是生活中常用的方法。

在平面中确定位置时需要两个独立的数据：方位角、距离。

特别需要注意的是中心位置的确定。

3、方格定位法在方格纸上，一点的位置由横向方格数和纵向方格数确定，记作（横向方个数，纵向方个数）。

需要两个数据确定物体位置。

4、区域定位法是生活中常用的方法，也需要两个数据才能确定物体的位置。

此方法简单明了，但不够准确。

A1区，D3区等。

5、经纬度定位法利用经度和纬度来确定物体位置的方法，也同时需要两个数据才能确定物体的位置。

二、平面直角坐标系1、平面直角坐标系及相关概念（重点）在平面内，两条相互垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，简称直角坐标系。

通常两条数轴位置水平和垂直位置，规定水平轴向右和垂直轴向上为两条数轴的正方向。

水平数轴称为x轴或横轴，垂直数轴称为y轴或者纵轴，x 轴、y轴统称坐标轴，公共原点O称为坐标系的原点。

两条数轴把平面划分为四个部分，右上部分叫做第一象限，其余部分按逆时针方向分别叫做第二、第三、第四象限。

2、点的坐标表示（重点）在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P，都可以用坐标来表示。

过点P 分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。

在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P，都有唯一一对有序实数（即点的坐标）与它对应；反之，对于任意一对有序实数，都可以在平面上找到唯一一点与它对应。

3、特殊位置上点的坐标特点（难点）（1）坐标轴上点的坐标特点x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0。

（2）余坐标轴平行直线上点的坐标特点与x轴平行直线上所有点的纵坐标相同；与y轴平行直线上所有点的横坐标相同。

八年级上册数学知识点4章八年级上册数学知识点4章主要涉及到以下内容：离散型随机变量、离散型随机变量的分布律、离散型随机变量的分布函数、二项分布和泊松分布。

一、离散型随机变量在概率论中，离散型随机变量是指可能的取值有限或者是可数的。

例如，掷骰子得到的点数就是一个离散型随机变量。

离散型随机变量在各种实际问题中都有重要的应用。

离散型随机变量的概率是指取某一个取值的概率。

二、离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律描述了其所有可能取值的概率。

离散型随机变量的分布律通常以一张表格的方式表示出来。

例如，我们抛掷一枚两面具有相同概率的硬币两次，并记下正面朝上的次数。

随机变量 X 表示正面朝上的次数。

在这种情况下，X 的可能取值是 0、1 和 2。

下表列出了 X 的每个可能取值及其概率：X：0 1 2P(X)：1/4 1/2 1/4三、离散型随机变量的分布函数对于任意一个离散型随机变量 X，都可以定义它的分布函数F(x)。

X≤x 的概率就是 F(x)。

对于离散型随机变量，分布函数通常是一个阶梯函数。

下面以掷硬币的例子说明分布函数如何求解。

我们仍然抛掷一枚两面具有相同概率的硬币两次，并记下正面朝上的次数。

随机变量 X 表示正面朝上的次数。

X 取值 0 1 2P(X) 1/4 1/2 1/4F(x) 0 1/4 3/4 1四、二项分布二项分布是一种非常常用的分布类型，它用来描述 n 次独立重复试验中成功次数的概率分布，其中每次试验的成功概率是相同的。

例如，我们抛硬币 n 次，每次均独立，且均有相同的概率 p出现正面朝上，那么正面朝上的次数 X 符合二项分布，其概率分布为：P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)式中，C(n,k)表示从 n 个不同元素中取出 k 个元素的组合个数（也称为二项式系数）。

二项分布的随机变量通常表示为B(n,p)。

五、泊松分布泊松分布是指在相同的时间或空间内，某一事件发生的次数服从泊松分布。

八年级数学上册 各章知识点汇总第十一章 三角形一、知识结构图边与三角形有关的线段 高中线角平分线三角形的内角和 多边形的内角和三角形的外角和 多边形的外角和二、知识定义三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

三、公式与性质三角形的内角和：三角形的内角和为180°三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。

（2）n 边形共有23)-n(n 条对角线。

第十二章 全等三角形一、全等三角形角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)4．证明两个三角形全等的基本思路：多边形的角和：多边形的外角和为360°。

多边形内角和公式： n 边形的内角和等于（n-2）·180°角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)边角边：两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)3．全等三角形的判定③全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

2020年~2021年最新第三章 位置与坐标知识点1 坐标确定位置知识链接平面内特殊位置的点的坐标特征（1）各象限内点P （a ，b ）的坐标特征：①第一象限：a ＞0，b ＞0； ②第二象限：a ＜0，b ＞0；③第三象限：a ＜0，b ＜0； ④第四象限：a ＞0，b ＜0．（2）坐标轴上点P （a ，b ）的坐标特征：①x 轴上：a 为任意实数，b=0；②y 轴上：b 为任意实数，a=0；③坐标原点：a=0，b=0．（3）两坐标轴夹角平分线上点P （a ，b ）的坐标特征：①一、三象限：b a =； ②二、四象限：b a -=．同步练习1．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5考点：点到直线的距离；坐标确定位置；平行线之间的距离．解答：如图，∵到直线l 1的距离是1的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离是2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上， ∴“距离坐标”是（1，2）的点是M 1、M 2、M 3、M 4，一共4个．故选C ．2．如图，是用围棋子摆出的图案（用棋子的位置用用有序数对表示，如A 点在（5，1）），如果再摆一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（ ）A ．黑（3，3），白（3，1）B ．黑（3，1），白（3，3）C ．黑（1，5），白（5，5）D ．黑（3，2），白（3，3）考点：利用旋转设计图案；坐标确定位置；利用轴对称设计图案．解答：A、当摆放黑（3，3），白（3，1）时，此时是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项错误；B、当摆放黑（3，3），白（3，1）时，此时是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项正确；C、当摆放黑（1，5），白（5，5）时，此时不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项错误；D、当摆放黑（3，2），白（3，3）时，此时是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．3．（2014•台湾）如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录．根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？（）A．向北直走700公尺，再向西直走100公尺B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺C．向北直走300公尺，再向西直走400公尺D．向北直走400公尺，再向东直走300公尺考点：坐标确定位置．解答：依题意，OA=OC=400=AE，AB=CD=300，DE=400-300=100，所以邮局出发走到小杰家的路径为，向北直走AB+AE=700公尺，再向西直走DE=100公尺．故选：A．4．如图是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用（0，0）表示新宁莨山的位置，用（1，5）表示隆回花瑶的位置，那么城市南山的位置可以表示为（）A．（2，1）B．（0，1）C．（-2，-1）D．（-2，1）考点：坐标确定位置．解答：建立平面直角坐标系如图，城市南山的位置为（-2，-1）．故选C．5．（2014•怀化模拟）小军从点O向东走了3千米后，再向西走了8千米，如果要使小军沿东西方向回到点O的位置，那么小明需要（）A．向东走5千米B．向西走5千米C．向东走8千米D．向西走8千米考点：坐标确定位置．解答：小军从点O向东走了3千米，再向西走了8千米后在点O的西边5千米，所以，要回到点O的位置，小明需要向东走5千米．故选A．6．（2014•遵义二模）在一次寻宝游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志点A（2，1）、B（4，-1），这两个标志点到“宝藏”点的距离都是10，则“宝藏”点的坐标是．考点：勾股定理的应用；坐标确定位置；线段垂直平分线的性质．解答：首先确定坐标轴，则“宝藏”点是C和D，坐标是：（5，2）和（1，-2）．故答案是：（5，2）和（1，-2）．7．（2014•曲靖模拟）在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所标示的两个标志点A（2，3），B（4，1），A，B两点到“宝藏”点的距离都相等，则“宝藏”点的可能坐标是．考点：坐标确定位置．解答：如图，“宝藏”的可能坐标是（0，-1），（1，0），（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5）．故答案为：（0，-1），（1，0），（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5）．8．（2014•赤峰）如图所示，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点（2，2），“炮”位于点（-1，2），写出“兵”所在位置的坐标．考点：坐标确定位置．解答：建立平面直角坐标系如图，兵的坐标为（-2，3）．故答案为：（-2，3）．9．如图1，是由方向线一组同心、等距圆组成的点的位置记录图．包括8个方向：东、南、西、北、东南、东北、西南、西北，方向线交点为O，以O为圆心、等距的圆由内向外分别称作1、2、3、…n．将点所处的圆和方向称作点的位置，例如M（2，西北），N（5，南），则P点位置为．如图2，若将（1，东）标记为点A1，在圆1上按逆时针方向旋转交点依次标记为A2、A3、…、A8；到A8后进入圆2，将（2，东）标记为A9，继续在圆2上按逆时针方向旋转交点依次标记为A10、A11、…、A16；到A16后进入圆3，之后重复以上操作过程．则点A25的位置为，点A2013的位置为，点A16n+2（n为正整数）的位置为．考点：规律型：点的坐标；坐标确定位置．解答：由题意得出：P点在第3个圆上，且在东北方向，故P点位置为：（3，东北），由题意可得出每8个数A点向外移动一次，∵25÷8=3…1，故点A25所在位置与A1方向相同，故点A25的位置为（4，东），∵2013÷8=251…5，故点A2013所在位置与A5方向相同，故点A2013的位置为（252，西），∵（16n+2）÷8=2n…2，故点A16n+2所在位置与A2方向相同，故点A16n+2的位置为（2n+1，东北），故答案为：（3，东北），（4，东），（252，西），（2n+1，东北）．10．有一张图纸被损坏，但上面有如图所示的两个标志点A（-3，1），B（-3，-3）可认，而主要建筑C（3，2）破损，请通过建立直角坐标系找到图中C点的位置．解：C点的位置如图．11．如图是某台阶的一部分，如果A点的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1）．（1）请建立适当的直角坐标系，并写出其余各点的坐标；（2）说明B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标比较有什么变化？（3）现要给台阶铺上地毯，单位长度为1，请你算算要多长的单位长度的地毯？解：以A点为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，所以C，D，E，F各点的坐标分别为C（2，2），D（3，3），E（4，4），F（5，5）；B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标相比较，横坐标与纵坐标分别加1，2，3，4，5；现要给台阶铺上地毯，单位长度为1，要11个单位长度的地毯12．常用的确定物体位置的方法有两种．如图，在4×4个边长为1的正方形组成的方格中，标有A，B两点．请你用两种不同方法表述点B相对点A的位置．解：方法1，用有序实数对（a，b）表示，比如：以点A为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，则B（3，3），方法2，用方向和距离表示，比如：B点位于A点的东北方向（北偏东45°等均可），距离A 3处．点2知识点2 平面直角坐标系知识链接１点的坐标（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．（2）平面直角坐标系的相关概念①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画两条有公共原点且垂直的数轴．②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．（3）坐标平面的划分建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．2 两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2．说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．同步练习1．（2014•台湾）如图的坐标平面上有P 、Q 两点，其坐标分别为（5，a ）、（b ，7）．根据图中P 、Q 两点的位置，判断点（6-b ，a-10）落在第几象限？（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四考点：点的坐标．解答：∵（5，a ）、（b ，7），∴a ＜7，b ＜5，∴6-b ＞0，a-10＜0，∴点（6-b ，a-10）在第四象限．故选D ．2．（2014•萧山区模拟）已知点P （1-2m ，m-1），则不论m 取什么值，该P 点必不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点：点的坐标．分析：分横坐标是正数和负数两种情况求出m 的值，再求出纵坐标的正负情况，然后根据各象限内点的坐标特征解答．解答：①1-2m ＞0时，m ＜21，m-1＜0，所以，点P 在第四象限，一定不在第一象限； ②1-2m ＜0时，m ＞21，m-1既可以是正数，也可以是负数，点P 可以在第二、三象限， 综上所述，P 点必不在第一象限．故选A ．3．（2014•闵行区二模）如果点P （a ，b ）在第四象限，那么点Q （-a ，b-4）所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点：点的坐标．分析：根据第四象限的点的坐标特征确定出a 、b 的正负情况，再确定出点Q 的横坐标与纵坐标的正负情况，然后根据各象限内点的坐标特征判断即可．解答：∵点P （a ，b ）在第四象限，∴a ＞0，b ＜0，∴-a ＜0，b-4＜0，∴点Q （-a ，b-4）在第三象限．故选C ．点评：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．4．（2014•北海）在平面直角坐标系中，点M （-2，1）在（ ）2秒3秒（2）当P点从点O出发10秒，可得到的整数点的个数是______个．（3）当P点从点O出发______秒时，可得到整数点（10，5）考点：点的坐标．分析：（1）在坐标系中全部标出即可；（2）由（1）可探索出规律，推出结果；（3）可将图向右移10各单位，用10秒；再向上移动5个单位用5秒．解答：（1）以1秒时达到的整数点为基准，向上或向右移动一格得到2秒时的可能的整数点；再以2秒时得到的整数点为基准，向上或向右移动一格，得到3秒时可能得到的整数点．P从O点出发时间可得到整数点的坐标可得到整数点的个数1秒（0，1）、（1，0） 22秒（0，2），（2，0），（1，1） 33秒（0，3），（3，0），（2，1），（1，2） 4（2）1秒时，达到2个整数点；2秒时，达到3个整数点；3秒时，达到4个整数点，那么10秒时，应达到11个整数点；（3）横坐标为10，需要从原点开始沿x轴向右移动10秒，纵坐标为5，需再向上移动5秒，所以需要的时间为15秒．知识点3 坐标与图形性质知识链接1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y 轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．同步练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧，交x 正半轴于点C ，则点C 的坐标为 ．考点：勾股定理；坐标与图形性质．分析：首先利用勾股定理求出AB 的长，进而得到AC 的长，因为OC=AC-AO ，所以OC 求出，继而求出点C 的坐标．解答：∵点A ，B 的坐标分别为（-6，0）、（0，8），∴AO=6，BO=8，∴AB=22BO AO =10，∵以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧，∴AB=AC=10，∴OC=AC-AO=4，∵交x 正半轴于点C ，∴点C 的坐标为（4，0），故答案为：（4，0）．2．如图，正方形ABCD 的边长为4，点A 的坐标为（-1，1），AB 平行于x 轴，则点C 的坐标为 ．解答：C （3,5）3．如图，Rt △OAB 的斜边AO 在x 轴的正半轴上，直角顶点B 在第四象限内，S △OAB =20，OB ：AB=1：2，求A 、B 两点的坐标．解答：A （10,0），B （2,-4）4．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于21MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为（2a ，b+1），则a 与b 的数量关系为（ ）A ．a=bB ．2a+b=-1C ．2a-b=1D ．2a+b=1 考点：作图—基本作图；坐标与图形性质；角平分线的性质．分析：根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a|=|b+1|，再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a 与b 的数量关系．解答：根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上，则P 点横纵坐标的和为0，故2a+b+1=0，整理得：2a+b=-1，故选：B ．5．如图，在平面直角坐标系中，有一矩形COAB ，其中三个顶点的坐标分别为C （0，3），O （0，0）和A （4，0），点B 在⊙O 上． （1）求点B 的坐标； （2）求⊙O 的面积．解答：(1) B （4,3） (2) 25π6．（2014•南平模拟）如图，在平面直角坐标系中，OABC 是正方形，点A 的坐标是（4，0），点P 在AB 边上，且∠CPB=60°，将△CPB 沿CP 折叠，使得点B 落在D 处，则D 的坐标为（ ）A ．（2，32）B ．（23 ， 32-） C ．（2，324-） D ．（23，324-） 考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．分析：作DE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，根据正方形的性质∴OC=BC=4，∠B=90°，由∠BPC=60°得∠1=30°，再根据折叠的性质得到∠1=∠2=30°，CD=CB=4，所以∠3=30°，在Rt △CDE 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DE=21CD=2，CE=3DE=32，则OE=324-，所DF=324-，然后可写出D 点坐标．解答：作DE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，如图，∵四边形OABC 是正方形，点A 的坐标是（4，0）， ∴OC=BC=4，∠B=90°， ∵∠BPC=60°， ∴∠1=30°，∵△CPB 沿CP 折叠，使得点B 落在D 处，∴∠1=∠2=30°，CD=CB=4， ∴∠3=30°， 在Rt △CDE 中，DE=21CD=2，CE=3DE=23， ∴OE=OC-CE=324-， ∴DF=OE=324-，∴D 点坐标为（2，324-）．故选C ．7．如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，3），点C 的坐标为（21，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则PA+PC 的最小值为 ．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ，则此时PA+PC 的值最小，求出AM ，求出AD ，求出DN 、CN ，根据勾股定理求出CD ，即可得出答案．解答：作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ， 则此时PA+PC 的值最小， ∵DP=PA ，∴PA+PC=PD+PC=CD ， ∵B （3，3），∴AB=3，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=32， 由三角形面积公式得：21×OA×AB=21×OB×AM ，∴AM=23， ∴AD=2×23=3，∵∠AMB=90°，∠B=60°， ∴∠BAM=30°， ∵∠BAO=90°， ∴∠OAM=60°， ∵DN ⊥OA ， ∴∠NDA=30°，∴AN=21AD=23，由勾股定理得：DN=323， ∵C （21，0），∴CN=3-21-23=1，在Rt △DNC 中，由勾股定理得：DC==+22)323(1231， 即PA+PC 的最小值是231， 8．在直角坐标系中，有四个点A （-8，3）、B （-4，5）、C （0，n ）、D （m ，0），当四边形ABCD 的周长最短时，nm的值为（ ） A ．73- B ．23- C ．27- D ．23考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：若四边形的周长最短，由于AB 的值固定，则只要其余三边最短即可，根据对称性作出A 关于x 轴的对称点A′、B 关于y 轴的对称点B′，求出A′B′的解析式，利用解析式即可求出C 、D 坐标，得到nm ．解答：根据题意，作出如图所示的图象：过点B 作B 关于y 轴的对称点B′、过点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′B′，直线A′B′与坐标轴交点即为所求．解答：直线AB 方程为y=3x-9，直线OB 斜率为23-． 过O‘点平行于直线OB 的直线方程为：y=23-(x+1) ． 联立两方程，解得交点B′的坐标为（35，－4）．11．已知点D 与点A （8，0），B （0，6），C （a ，-a ）是一平行四边形的四个顶点，则CD 长的最小值为 ．考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．分析：①CD 是平行四边形的一条边，那么有AB=CD ；②CD 是平行四边形的一条对角线，过C 作CM ⊥AO 于M ，过D 作DF ⊥AO 于F ，交AC 于Q ，过B 作BN ⊥DF 于N ，证△DBN ≌△CAM ，推出DN=CM=a ，BN=AM=8-a ，得出D （（8-a ，6+a ），由勾股定理得：CD 2=（8-a-a ）2+（6+a+a ）2=8a 2-8a+100=8（a-21）2+98，求出即可．解答：有两种情况：①CD 是平行四边形的一条边，那么有AB=CD=2286+=10 ②CD 是平行四边形的一条对角线，*12．如图，△ABO 缩小后变为△A′B′O ，其中A 、B 的对应点分别为A′、B′点A 、B 、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB 上有一点P （m ，n ），则点P 在A′B′上的对应点P′的坐标为（ ）A ．（2m ，n ） B ．（m ，n ） C ．（m ，2n ） D ．（2m ，2n ） 考点：位似变换；坐标与图形性质．分析：根据A ，B 两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标．解答：∵△ABO 缩小后变为△A′B′O ，其中A 、B 的对应点分别为A′、B′点A 、B 、A′、B′均在图中在格点上，即A 点坐标为：（4，6），B 点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），∴线段AB 上有一点P （m ，n ），则点P 在A′B′上的对应点P′的坐标为：（2m ，2n）． 故选D ．*13．（2014•海港区一模）如图，在直角坐标系中，有16×16的正方形网格，△ABC 的顶点分别在网格的格点上．以原点O 为位似中心，放大△ABC 使放大后的△A′B′C′的顶点还在格点上，最大的△A′B′C′的面积是（ ） A ．8 B ．16 C ．32 D ．64考点：位似变换；坐标与图形性质．分析：根据题意结合位似图形的性质与三角形最长边即为216，进而得出答案．解答：如图所示：△A′B′C′即为符合题意的图形， 最大的△A′B′C′的面积是：21×8×16=64．故选：D ．知识点4 坐标与图形的变化知识链接1 坐标与图形变化---对称 （1）关于x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数．即点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P′的坐标是（x ，-y ）． （2）关于y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数．即点P （x ，y ）关于y 轴的对称点P′的坐标是（-x ，y ）． （3）关于直线对称①关于直线x=m 对称，P （a ，b ）⇒P （2m-a ，b ） ②关于直线y=n 对称，P （a ，b ）⇒P （a ，2n-b ） 2 坐标与图形变化---平移 （1）平移变换与坐标变化向右平移a 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x+a ，y ） 向左平移a 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x-a ，y ） 向上平移b 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x ，y+b ） 向下平移b 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x ，y-b ）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 3 坐标与图形变化---旋转（1）关于原点对称的点的坐标．即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P′（-x ，-y ）． （2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．同步练习1．（2014•大连）在平面直角坐标系中，将点（2，3）向上平移1个单位，所得到的点的坐标是（）A．（1，3）B．（2，2）C．（2，4）D．（3，3）考点：坐标与图形变化-平移．分析：根据向上平移，横坐标不变，纵坐标加解答．解答：∵点（2，3）向上平移1个单位，∴所得到的点的坐标是（2，4）．故选：C．2．（2014•呼伦贝尔）将点A（-2，-3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：坐标与图形变化-平移．分析：先利用平移中点的变化规律(横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减) ，,求出点B的坐标，再根据各象限内点的坐标特点即可判断点B所处的象限．解答：点A（-2，-3）向右平移3个单位长度，得到点B的坐标为为（1，-3），故点在第四象限．故选D．3．（2014•牡丹江）如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（）A．（-x，y-2）B．（-x，y+2）C．（-x+2，-y）D．（-x+2，y+2）考点：坐标与图形变化-平移．分析：先观察△ABC和△A′B′C′得到把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，然后把点P（x，y）向上平移2个单位，再关于y轴对称得到点的坐标为（-x，y+2），即为P′点的坐标．解答：∵把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，∴点P（x，y）的对应点P′的坐标为（-x，y+2）．故选：B．4．（2014•潍坊）如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（）A．（-2012，2）B．（-2012，-2）C．（-2013，-2）D．（-2013，2）考点：翻折变换（折叠问题）；正方形的性质；坐标与图形变化-对称、平移．专题：规律型．分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．解答：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（-2012，2）．故选：A．点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2）是解此题的关键．5．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，3），将线段OA向左平移2个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标为．考点：坐标与图形变化-平移．分析：根据点向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x-a，y）进行计算即可．解答：∵点A坐标为（1，3），∴线段OA向左平移2个单位长度，点A的对应点A′的坐标为（1-2，3），即（-1，3），故答案为：（-1，3）．6．（2014•宜宾）在平面直角坐标系中，将点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是．考点：坐标与图形变化-平移；关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．解答：点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（-1+3，2），即（2，2），则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，-2），故答案为：（2，-2）．7．（2014•厦门）在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，3），将线段OA向右平移3个单位，得到线段O1A1，则点O1的坐标是，A1的坐标是．考点：坐标与图形变化-平移．分析：根据向右平移，横坐标加，纵坐标不变解答．解答：∵点O（0，0），A（1，3），线段OA向右平移3个单位，∴点O 1的坐标是（3，0），A 1的坐标是（4，3）．故答案为：（3，0），（4，3）．*8．（2014•巴中）如图，直线y=−34x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△A0B 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 ．考点：坐标与图形变化-旋转．分析：首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，B′的横坐标等于OA+OB ，而纵坐标等于OA ，进而得出B′的坐标．解答：直线y=-34x+4与x 轴，y 轴分别交于A （3，0），B （0，4）两点， ∵旋转前后三角形全等，∠O′AO=90°，∠B′O′A=90°∴OA=O′A ，OB=O′B′，O′B′∥x 轴，∴点B′的纵坐标为OA 长，即为3，横坐标为OA+OB=OA+O′B′=3+4=7，故点B′的坐标是（7，3），故答案为：（7，3）．点评：本题主要考查了对于图形翻转的理解，其中要考虑到点B 和点B′位置的特殊性，以及点B′的坐标与OA 和OB 的关系．9．（2013•梅州）如图，在平面直角坐标系中，A （-2，2），B （-3，-2）（1）若点C 与点A 关于原点O 对称，则点C 的坐标为______；（2）将点A 向右平移5个单位得到点D ，则点D 的坐标为______；（3）由点A ，B ，C ，D 组成的四边形ABCD 内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．考点：关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移；概率公式．分析：（1）根据关于原点的对称点，横纵坐标都互为相反数求解即可；（2）把点A 的横坐标加5，纵坐标不变即可得到对应点D 的坐标；（3）先找出在平行四边形内的所有整数点，再根据概率公式求解即可．解答：（1）∵点C 与点A （-2，2）关于原点O 对称，∴点C 的坐标为（2，-2）；（2）∵将点A 向右平移5个单位得到点D ，∴点D 的坐标为（3，2）；（3）由图可知：A （-2，2），B （-3，-2），C （2，-2），D （3，2），∵在平行四边形ABCD 内横、纵坐标均为整数的点有15个，其中横、纵坐标和为零的点有3个，即（-1，1），（0，0），（1，-1），∴P=153=51． 点评：本题考查了关于原点对称的点的坐标，坐标与图形变化-平移，概率公式．难度适中，掌握规律是解题的关键．10．（黄冈）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标是A （-2，3），B （-4，-1），C （2，0），将△ABC 平移至△A 1B 1C 1的位置，点A 、B 、C 的对应点分别是A 1、B 1、C 1，若点A 1的坐标为（3，1）．则点C 1的坐标为______．考点：坐标与图形变化-平移．分析：首先根据A 点平移后的坐标变化，确定三角形的平移方法，点A 横坐标加5，纵坐标减2，那么让点C 的横坐标加5，纵坐标-2即为点C 1的坐标．解答：由A （-2，3）平移后点A 1的坐标为（3，1），可得A 点横坐标加5，纵坐标减2， 则点C 的坐标变化与A 点的变化相同，故C 1（2+5，0-2），即（7，-2）．故答案为：（7，-2）．点评：本题主要考查图形的平移变换，解决本题的关键是根据已知对应点找到所求对应点之间的变化规律．11．（北京）操作与探究：（1）对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以31，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P′．点A ，B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A ，B 的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A 表示的数是-3，则点A′表示的数是______；若点B′表示的数是2，则点B 表示的数是______；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E′与点E 重合，则点E 表示的数是______．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（m ＞0，n ＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A ，B 的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F′与点F 重合，求点F 的坐标．考点：坐标与图形变化-平移；数轴；正方形的性质；平移的性质．分析：（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B 表示的数为a ，根据题意列出方程求解即可得到点B 表示的数，设点E 表示的数为b ，根据题意列出方程计算即可得解；（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点F 的坐标为（x ，y ），根据平移规律列出方程组求解即可．解答：（1）点A′：-3×31+1=-1+1=0，设点B 表示的数为a ，则31a+1=2， 解得a=3，设点E 表示的数为b ，则31b+1=b ， 解得b=23；。

八年级上册数学前四章知识点第一章：三角形1. 三角形的基本概念- 三角形就像一个三条边围起来的小世界。

它有三个顶点，这就像是三角形的三个小角落。

三条边呢，就把这三个顶点连接起来啦。

三角形的内角和是180°哦，就像三个小伙伴凑在一起，角度的总和是固定的。

不管这个三角形是胖是瘦，是高是矮，内角和都不变。

- 三角形还可以按角来分类，有锐角三角形（三个角都是锐角，就像三个小锐角精灵住在里面）、直角三角形（有一个角是直角，这个直角就像三角形里的小霸王，特别醒目）和钝角三角形（有一个钝角，这个钝角就像个大胖子，把另外两个角挤得小小的）。

按边分类呢，有等边三角形（三边都相等，这可是三角形里的完美对称型，就像三胞胎一样）、等腰三角形（有两条边相等，就像有两个双胞胎兄弟一样）和不等边三角形（三边都不相等，各有各的个性）。

2. 三角形的边与角的关系- 在一个三角形里，大角对大边，小角对小边。

就像在一个小团队里，厉害的角色占的位置就大些。

比如说在直角三角形里，直角所对的边是斜边，斜边可是最长的边，就像老大一样。

而且，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

你可以想象一下，要想围成一个三角形，两条短边加起来得比最长边还长才行，不然就围不起来啦。

3. 三角形的高、中线与角平分线- 三角形的高就像从三角形的一个顶点往对边作的一条垂线，这条垂线就像一个小杆子直直地立在那里。

三角形有三条高呢，锐角三角形的三条高都在三角形内部，就像三根小柱子稳稳地支撑着三角形；直角三角形的两条直角边就是两条高，还有一条高在三角形内部；钝角三角形的高就有点调皮了，一条高在三角形内部，另外两条高在三角形外部呢。

- 中线呢，是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。

它就像把三角形的一边分成了两段相等的小线段，而且中线还能把三角形的面积分成相等的两部分，就像把一块蛋糕从中间平均切开一样。

- 角平分线就是把三角形的一个角平均分成两份的射线。

初二数学上册第三章练习题答案第一节选择题1. 解：选择 D。

2. 解：选择 C。

3. 解：选择 A。

4. 解：选择 B。

5. 解：选择 C。

6. 解：选择 D。

第二节解答题1. 解：(1) 题目要求找出与3x+4 有关系的值，我们可以看到当x=1 时，3x+4=3×1+4=7。

所以答案是 7。

(2) 题目要求找出与 2x-5 有关系的值，我们可以看到当x=3 时，2x-5=2×3-5=1。

所以答案是 1。

(3) 题目要求找出与 3x-2x有关系的值，我们可以看到当x=2，x=1 时，3x-2x=3×2-2×1=4。

所以答案是 4。

2. 解：(1) 题目给出了x=4，代入方程x=2x+5，得到x=2×4+5=8+5=13。

所以答案是x=13。

(2) 题目给出了x=2，代入方程x=x+5，得到x=2+5=7。

所以答案是x=7。

(3) 题目给出了x=3，代入方程x=2x+1，得到x=2×3+1=7。

所以答案是x=7。

3. 解：(1) 题目给定的两点坐标为（2，6）和（5，10），我们可以通过计算直线的斜率来求解。

直线的斜率可以用公式x=(x_2-x_1)/(x_2-x_1) 来表示。

代入给定的坐标点，我们可以计算得到：x=(10-6)/(5-2)=4/3。

所以答案是斜率x=4/3。

(2) 题目给定的两点坐标为（3，8）和（6，14），同样可以通过计算斜率来得到答案。

代入坐标点计算得到：x=(14-8)/(6-3)=6/3=2。

所以答案是斜率x=2。

(3) 题目给定的两点坐标为（1，3）和（4，9），计算斜率可以得到：x=(9-3)/(4-1)=6/3=2。

所以答案是斜率x=2。

第三节计算题1. 解：(1) 题目要求求解 3×(2-4)+5×(6-3) 的值。

根据运算法则，我们可以逐步计算：3×(2-4)+5×(6-3)=3×(-2)+5×3=-6+15=9。

八年级上册第三四章知识点
八年级上册第三章主要介绍了三角形的基本概念、性质和分类，以及三角形的内部角和外部角等方面的知识点。

而第四章则进一
步深入探讨了平行线与三角形的关系，以及如何用平行线来证明
三角形的性质。

一、三角形的基本概念
三角形是由三条线段所围成的图形，其中每一条线段都称为三
角形的边。

三角形最基本的概念包括三角形的顶点、内角、外角、高、中线等。

二、三角形的性质
三角形的性质是数学中较为重要的内容之一，掌握这些性质对
于理解其他数学知识也有很大的帮助。

其中包括三角形内部角的
和为180度，三角形的任意两边之和大于第三边等等。

三、三角形的分类
根据三角形内部角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直
角三角形和钝角三角形。

此外，还有以三边长度为依据的等腰三
角形、等边三角形等等，对于这些分类，需要根据各种不同的性
质进行判定。

四、平行线与三角形的关系
平行线是一束满足平行的直线，而对于三角形，平行线与其边、角之间又有着复杂而重要的关系。

在这一章中，我们主要学习了
平行线与三角形顶点角、底角之间相关性质的证明，以及如何在
使用这些证明时灵活变通。

五、应用
掌握了如上的知识点，我们就可以根据实际情况来灵活使用。

如在直角三角形中，可以利用勾股定理来求解三角形中的各条边长；在解决几何问题时，则需要根据问题所给出的条件，以及所
学的知识点进行综合运用。

新北师大版八年级数学上册第四章位置与坐标一、生活中确定位置的方法（重难点）1、行列定位法把平面分成若干个行列的组合，然后用行号和列号表示平面中点的位置，要准确表示平面中的位置，需要行号、列号两个独立的数据，缺一不可。

2、方位角加距离定位法此方法也叫极坐标定位法，是生活中常用的方法。

在平面中确定位置时需要两个独立的数据：方位角、距离。

特别需要注意的是中心位置的确定。

3、方格定位法在方格纸上，一点的位置由横向方格数和纵向方格数确定，记作（横向方个数，纵向方个数）。

需要两个数据确定物体位置。

4、区域定位法是生活中常用的方法，也需要两个数据才能确定物体的位置。

此方法简单明了，但不够准确。

A1区，D3区等。

5、经纬度定位法利用经度和纬度来确定物体位置的方法，也同时需要两个数据才能确定物体的位置。

二、平面直角坐标系1、平面直角坐标系及相关概念（重点）在平面内，两条相互垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，简称直角坐标系。

通常两条数轴位置水平和垂直位置，规定水平轴向右和垂直轴向上为两条数轴的正方向。

水平数轴称为x轴或横轴，垂直数轴称为y轴或者纵轴，x轴、y轴统称坐标轴，公共原点O称为坐标系的原点。

两条数轴把平面划分为四个部分，右上部分叫做第一象限，其余部分按逆时针方向分别叫做第二、第三、第四象限。

2、点的坐标表示（重点）在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P，都可以用坐标来表示。

过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。

在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P，都有唯一一对有序实数（即点的坐标）与它对应；反之，对于任意一对有序实数，都可以在平面上找到唯一一点与它对应。

3、特殊位置上点的坐标特点（难点）（1）坐标轴上点的坐标特点x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0。

（2）余坐标轴平行直线上点的坐标特点与x轴平行直线上所有点的纵坐标相同；与y轴平行直线上所有点的横坐标相同。

八年级上册数学3章知识点八年级的数学学科共有4章，第三章主要讲授的是函数的基本概念和运算，这也是八年级数学学科的难点内容，下面将为大家详细介绍第三章的知识点。

一、函数及其表示函数是一种常见的数学关系，它与自变量和因变量有关。

自变量是函数中独立变化的量，因变量是依赖自变量而变化的量。

函数可以用以下三种表示方法。

1.利用一般解析式表示函数，即y=f(x)。

2.利用表格表示函数，可将自变量和因变量的值分别列成表格，并标出对应关系。

3.利用图象表示函数，通常将x轴作为自变量轴，y轴作为因变量轴，函数的值可以用图象上的各点表示。

二、函数的运算函数之间可以进行四则运算，包括加、减、乘、除，下面将分别介绍。

1.函数的加减相同自变量下，两个函数进行加减运算，即将它们对应自变量的函数值进行相加减。

2.函数的乘法设函数f(x)和g(x)在x=a处有定值，则f(x)×g(x)在x=a处的函数值为f(a)×g(a)。

3.函数的除法设函数f(x)和g(x)在x=a处有定值，且g(a)≠0，则f(x)÷g(x)在x=a处的函数值为f(a)÷g(a)。

三、函数的性质函数在数学学科中有许多重要的性质，下面将介绍其中的四个重要性质。

1.奇偶性若对于任意实数x，有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数。

若对于任意实数x，有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数。

2.单调性若对于任意的实数x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数f(x)在区间[a,b]上单调递增；若对于任意的实数x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在区间[a,b]上单调递减。

3.最值若在区间[a,b]上，函数f(x)的值都小于等于一个定值M，则M为f(x)在区间[a,b]上的上确界，即函数f(x)在区间[a,b]上的最大值。

同理，若在区间[a,b]上，函数f(x)的值都大于等于一个定值m，则m为f(x)在区间[a,b]上的下确界，即函数f(x)在区间[a,b]上的最小值。

八年级上册第四章知识点八年级上册的第四章主要讲解了一些数学与几何的基础知识，这些知识点是数学学习的基础，对于我们整个中学数学的学习具有非常重要的作用。

本文将重点讲解几大知识点，以帮助读者更好地掌握相关内容。

一、常见代数式的运算代数式的运算是数学学习的基础，特别是在我们以后学习更加复杂的代数知识时，需要熟练掌握各种加、减、乘、除的运算法则。

其中，最基础的代数式是一次式，也就是只有一个未知数的代数式，例如ax+b。

在学习一次式的基础上，我们还需要掌握高次代数式的运算法则，例如二次式和三次式。

二、代数方程代数方程是由代数式构成的用等号连接起来的数学表达式，例如ax+b=c。

在学习代数方程时，我们需要掌握解方程的方法，特别是一元一次方程和二元一次方程的解法。

三、三角形的性质三角形是几何学中最基本的图形之一，其定义为由三条线段围成的平面图形。

在学习三角形的性质时，我们需要掌握三角形的内角和的性质、外角和的性质、三边长度关系的定理、角平分线定理等知识点。

四、相似三角形相似三角形是指具有相似形状的三角形，它们的对应角度相等，而对应边长之间存在一定的比例关系。

在学习相似三角形时，我们需要掌握相似三角形的性质、判定相似三角形的方法、相似三角形的周长和面积等知识点。

五、勾股定理勾股定理是几何学中最著名的定理之一，它是指在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边平方和。

学习勾股定理时，我们需要掌握相关概念以及应用勾股定理求解问题的方法。

六、圆的性质圆是平面图形中最基本的几何形状之一，它由无数个良好的特性组成，其中最重要的是半径和直径的定义。

在学习圆的性质时，我们需要掌握相关定理，如弧长定理、圆心角定理等等。

以上便是本文对八年级上册第四章的知识点的简要介绍，这些知识点是数学学习中不可或缺的基础知识，掌握它们对后续的数学学习具有非常重要的作用。

希望读者能够认真学习、掌握相关内容，为今后深入学习打下坚实的基础。

八上数学总复习各章知识点总结与整理轴对称与轴对称图形1.什么叫轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做，两个图形中的对应点叫做点。

2.什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个做图形，这条直线叫做对称轴。

3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：①轴对称是指个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。

②轴对称是反映两个图形的关系；轴对称图形是反映一个图形的。

联系：①两部分都完全，都有，都有。

②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个图形。

如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成图形，这两个部分图形就成的关系。

常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。

等腰三角形有条对称轴，等边三角形有条对称轴，矩形形条对称轴，正方形有条对称轴，菱形有条对称轴，圆有条对称轴．5，图形轴对称的性质①如果两个图形成轴对称，那么这两个图形。

•②对称轴是任何一对对应点所连线段的；③轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的．6．怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。

7．线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的。

（也称线段的中垂线）线段、角的轴对称性知识点：1．线段的轴对称性：①线段是轴对称图形，对称轴有条；一条是，另一条是。

lA BlA BM②线段的垂直平分线上的点到 段两端的距离相等。

③到线段两端距离相等的点，在这条线段的 上。

结论：线段的垂直平分线是 点的集合 2．角的轴对称性：①角是 图形，对称轴是 。

②角平分线上的点 距离相等。

③到角的两边距离相等的点，在这个角的 上。

结论：角的平分线是 的点的集合等腰三角形的轴对称性1.等腰三角形的性质：①等腰三角形是 对称图形， 是它的对称轴；②等腰三角形的两个底角 ；（简称“等边对 ”）③等腰三角形的顶角的 、底边上的 、底边上的 互相重合。

八年级上数学第3章知识点
本篇文章将为读者介绍八年级上数学第3章的重要知识点。

此
章节的主要内容为代数式和方程式，将涉及各种代数式和方程式
的定义、性质以及应用。

下面将分几个部分来详细说明。

一、代数式的定义和性质
代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，例如2x+3y、
4a²+6a+8，其中字母表示的是某个数或未知数。

代数式有以下的
性质：
1. 代数式可以加、减、乘，可以简化和展开。

2. 同类项之间可以相加或相减，不同类项之间不能相加或相减。

3. 括号内的式子应先化简，乘方要先算，再乘除，最后加减。

二、方程式的定义和性质
方程式是用等号连接的代数式，例如2x+3=12、x²+3x-4=0。

方程式的解就是使该方程式成立的数的值。

1. 等式两边可以同时加、减同一个数，可以同时乘、除同一个非零数，但是不允许同除或同乘以0。

2. 方程式有一个根、两个根或者无解，其中二次方程式的根是要用公式来求解的。

三、代数式和方程式的应用
代数式和方程式在实际生活中有着很多应用。

例如，买东西打折的问题，可以用方程式来计算折扣后的价格；还有一些等比例问题，如一张纸折叠几次可以达到多高的高度，可以用代数式进行计算。

另外，代数式和方程式也在科学、工程领域中广泛使用，如物理中使用的动力学原理方程式、工程中使用的力学方程式等等。

总结：
本篇文章简要地介绍了八年级上数学第3章的知识点，主要围绕着代数式和方程式展开。

阅读完本文章后，读者们应该对代数式和方程式的定义、性质以及应用有了更深入的了解，愿本文对读者能有所帮助。

八年级上册数学复习资料世间极占地位的，是读书一著。

然读书占地位，在人品上，不在势位上。

以下是我精心收集整理的八年级上册数学复习资料，下面我就和大家分享，来欣赏一下吧。

八年级上册数学复习资料1第四章四边形性质的探索1.多边形的分类：2.平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别：(1)平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的对边平行且相等;对角相等，邻角互补;对角线互相平分。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形。

(2)菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的四条边都相等;对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

四条边都相等的四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。

菱形的面积等于两条对角线乘积的一半(面积计算，即S菱形=L1-L2/2)。

(3)矩形：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的对角线相等;四个角都是直角。

对角线相等的平行四边形是矩形;有一个角是直角的平行四边形是矩形。

直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半;在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半。

(4)正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。

(5)等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形;对角线相等的梯形是等腰梯形;对角互补的梯形是等腰梯形。

(6)三角形中位线：连接三角形相连两边重点的线段。

性质：平行且等于第三边的一半3.多边形的内角和公式：(n-2)-180°;多边形的外角和都等于。

4.中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

《第四章3 一次函数的图象》讲解与例题1．函数的图象关于一个函数，咱们把它的自变量x与对应的变量y的值别离作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形就叫做该函数的图象．谈重点函数图象与点的坐标的关系(1)函数图象上的任意点P(x，y)必知足该函数关系式．(2)知足函数关系式的任意一对x，y的值，所对应的点必然在该函数的图象上．(3)判定点P(x，y)是不是在函数图象上的方式是：将点P(x，y)的坐标代入函数表达式，若是知足函数表达式，那个点就在函数的图象上；若是不知足函数的表达式，那个点就不在函数的图象上．【例1】判定以下各点是不是在函数y＝2x－1的图象上．A(2,3)，B(－2，－3)．分析：将x的值代入函数表达式，若是等于y的值，那个点就在函数的图象上；不然，那个点不在函数的图象上．解：∵当x＝2时，y＝2×2－1＝3，∴A(2,3)在函数y＝2x－1的图象上；∵当x＝－2时，y＝－2×2－1＝－5≠－3，∴B(－2，－3)不在函数y＝2x－1的图象上．2．函数图象的画法画函数图象的一样步骤：(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值，通常把自变量x的值放在表的第一行，其对应函数值放在表的第二行，其中x的值从小到大．(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点．描点时一样把关键的点准确地描出，点取得越多，图象越准确．(3)连线：依照自变量从小到大的顺序，把所描的点用滑腻的曲线连接起来．释疑点滑腻曲线的特点所谓的“滑腻曲线”，现时期可明白得为符合图象的进展趋势、让人感觉过渡自然、比较“平”“滑”的线，事实上有时是直线．【例2】作出一次函数y＝－2x－1的图象．分析：取几组对应值，列表，描点，连线即可．解：列表： x … －2 －1 0 1 … y … 3 1 －1 －3 …描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在座标系中描出相应的点．连线：把这些点连起来．注：一次函数y ＝－2x －1的图象是直线，连线时，两头要露头．3.一次函数的图象和性质(1)一次函数的图象和性质①一次函数的图象：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线．由于两点确信一条直线，因此画一次函数的图象，只要描出图象上的两个点⎝ ⎛⎭⎪⎫通常求出与x 轴的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0和与y 轴的交点(0，b )，过这两点作一条直线就好了．咱们常常把这条直线叫做“直线y ＝kx ＋b ”．②一次函数中常量k ，b (k ≠0)：直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与y 轴的交点是(0，b )，当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交；当b ＜0时，直线与y 轴的负半轴相交；当b ＝0时，直线通过原点，现在一次函数即为正比例函数．一次函数y ＝kx ＋b 中的k ，决定了直线的倾斜程度，k 的绝对值越大，那么直线越接近y 轴，反之，越靠近x 轴．③一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的性质：当k ＞0时，直线y ＝kx ＋b 从左向右上升，函数y 的值随自变量x 的增大而增大；当k ＜0时，直线y ＝kx ＋b 从左向右下降，函数y 的值随自变量x 的增大而减小．(2)正比例函数的图象和性质①正比例函数的图象：一样地，正比例函数y ＝kx (k 是常数，k ≠0)的图象是一条通过原点的直线，咱们称它为直线y ＝kx .在画正比例函数y ＝kx 的图象时，一样是通过点(0,0)和(1，k )作一条直线．②正比例函数y ＝kx 的性质：当k ＞0时，直线y ＝kx 通过第一、三象限，从左往右上升，即y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，直线y ＝kx 通过第二、四象限，从左往右下降，即y 随x 的增大而减小．【例3－1】 作出一次函数y ＝－3x ＋3的图象．分析：由于一次函数的图象是一条直线，因此只要过其图象的两点画出一条直线即可．解：列表：x 0 1y＝－3x＋330描点，连线．【例3－2】假设一次函数y＝(2m－6)x＋5中，y随x增大而减小，那么m的取值范围是________．解析：当咱们明白函数的增减性后，就明白了k的取值范围，因为y随x增大而减小，因此k就小于0，即2m－6＜0，m＜3.因此m的取值范围是m＜3.答案：m＜3析规律k与b的作用在一次函数解析式中，k确信函数的增减性，b确信函数图象与y轴的交点．【例3－3】以下图表示一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝kx(k，b是常数，且k≠0)图象的是( )．解析：关于两个不同的函数图象共存于同一坐标系的问题，常假设某一图象正确，确信k，b的符号，然后再依照k或b的符号判定另一函数图象是不是与k，b的符号相符合．观看A中一次函数图象可知k＞0，b＜0，而正比例函数的图象通过第二、四象限，现在k＜0，因此A不正确，用一样的方式可确信B，C不正确．应选D.答案：D点技术同一坐标系中多函数图象问题解答这种问题一样第一依照正比例函数和一次函数的图象别离先确信k的符号，对照k的符号，假设k符号一致，才说明可能正确，再结合题中的其他条件确信最终正确答案．4．k，b的符号与直线所过象限的关系学习了一次函数y＝kx＋b(k≠0)，咱们明白一次函数图象通过哪些象限是由k，b的符号决定的．一样分为四种情形：(1)k＞0，b＞0时，图象过第一、二、三象限；(2)k＞0，b＜0时，图象过第一、三、四象限；(3)k＜0，b＞0时，图象过第一、二、四象限；(4)k＜0，b＜0时，图象过第二、三、四象限．析规律k，b的符号与直线的关系依照一次函数y＝kx＋b中k，b的符号能够确信图象所通过的象限；依照函数图象所通过的象限，能够确信k，b的符号．解决有关问题，应熟练把握k，b的符号与函数图象所通过象限的几个类型，并能灵活应用．【例4－1】一次函数y＝kx＋b的图象通过第二、三、四象限，那么正比例函数y＝kbx的图象通过哪个象限？分析：要确信函数y ＝kbx 的图象通过哪些象限，那么需要确信kb 的符号，而kb 的符号由k 的符号和b 的符号决定，因此只要依照已知条件确信k ，b 的符号即可解决问题．解：因为y ＝kx ＋b 的图象通过第二、三、四象限，因此k ＜0，b ＜0，因此kb ＞0.因此函数y ＝kbx 的图象通过第一、三象限．【例4－2】 如图是一次函数y ＝kx ＋b 的图象的大致位置，试别离确信k ，b 的正负号，并判定一次函数y ＝(－k －1)x －b 的图象所通过的象限．分析：由函数y ＝kx ＋b 的图象可知，函数的图象通过第一、三、四象限，因此k ＞0，b ＜0，由此可得－k －1＜0，－b ＞0，从而确信一次函数y ＝(－k －1)x －b 的图象通过第一、二、四象限．解：观看图象可得k ＞0，b ＜0，因此－k －1＜0，－b ＞0，因此一次函数y ＝(－k －1)x －b 的图象通过第一、二、四象限．5.一次函数图象与坐标轴的交点一次函数的图象是直线，这条直线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0，与y 轴交于点(0，b )．考查直线与两坐标轴的交点的问题常见的有三类：(1)判定直线所过的象限，一样给出函数关系式，判定直线通过哪几个象限或确信不通过哪个象限．(2)求直线的解析式，一样先设出函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把已知的两点的坐标别离代入，求出k ，b 的值即可．(3)求两交点与坐标轴围成的三角形的面积，由于那个三角形是直角三角形，利用面积公式即可．【例5】 如图，已知直线y ＝kx －3通过点M (－2,1)，求此直线与x 轴，y 轴的交点坐标，并求出与坐标轴所围的三角形的面积．分析：先将点M (－2,1)代入y ＝kx －3，确信一次函数解析式，再别离令x ＝0和y ＝0，即可求出此直线与x 轴，y 轴的交点坐标．解：将点M (－2,1)代入y ＝kx －3，得1＝－2k －3，解得k ＝－2，因此y ＝－2x －3.又当x ＝0时，y ＝－3，当y ＝0时，x ＝－32，因此此直线与x 轴，y 轴的交点坐标别离为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－3)． 因此所围三角形的面积为12×32×3＝94. 点评：在平面直角坐标系中求图形的面积时，通常把轴上的边作为底，再利用点的坐标求得底上的高，然后利用面积公式求解．6．关于一次函数的最值问题关于一样的一次函数，由于自变量的取值范围能够是全部实数，因此不存在最大、最小值(简称“最值”)，但在实际问题中，因题目中的自变量受到实际问题的限制，因此就有可能显现最大值或最小值．求解这种问题，先分析问题中两个变量之间的关系是不是适合一次函数模型，再在自变量许诺的取值范围内成立一次函数模型．运用一次函数解决实际问题的关键是依照一次函数的性质来解答．除正确确信函数表达式外，利用自变量取值范围去分析最值是解题的关键．“在生活中学数学，到生活顶用数学”，是新课标所提倡的一个主旨之一，在考题中，有许多利用数学知识求解生活中的实际问题的试题，考查同窗们利用所学知识求解实际问题的能力．【例6】某报刊销售亭从报社订购晚报的价钱是0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸能够以每份0.2元的价钱退回报社，假设每一个月按30天计算，有20天天天可卖出100份报纸，其余10天天天只能卖出60份，但天天报亭从报社订购的份数必需相同，报亭天天从报社订购多少份报纸，才能使每一个月所取得的利润最大？分析：假设报亭天天从报社订购x份报纸，每一个月取得的利润为y，那么y是x的一次函数，且自变量的取值范围是60≤x≤100，并依照函数的性质来确信订多少份报纸．解：依照题意，得y＝(1－0.7)×(20x＋10×60)－(0.7－0.2)(x－60)×10，即y＝x＋480(60≤x≤100)．∵此函数是一次函数，且一次项的系数大于0，函数y随x的增大而增大，∴当x＝100时，y有最大值，其最大值为100＋480＝580(元)．订购方案：天天从报社订100份报纸，如此取得利润最大，最大利润为580元．。

八年级数学上册第三章一、知识点汇总。

1. 确定位置。

- 在平面内，确定一个物体的位置需要两个数据。

例如，在电影院中确定一个座位的位置，需要知道排数和列数这两个数据。

- 生活中确定位置的多种方法：- 用经纬度确定地球上某一地点的位置。

- 用方位角和距离确定海上船只相对于某一观测点的位置。

2. 平面直角坐标系。

- 概念：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

- 坐标：- 对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对(a,b)叫做点P的坐标。

- 坐标平面被x轴和y轴分成四个象限，右上部分叫做第一象限（横、纵坐标都为正数），左上部分叫做第二象限（横坐标为负，纵坐标为正），左下部分叫做第三象限（横、纵坐标都为负），右下部分叫做第四象限（横坐标为正，纵坐标为负）。

坐标轴上的点不属于任何象限，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。

3. 轴对称与坐标变化。

- 关于x轴对称的点的坐标特征：点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x, - y)。

- 关于y轴对称的点的坐标特征：点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)。

二、典型例题。

1. 确定位置。

- 例：小明在班级中的位置是第3排第4列，用数对表示为(4,3)，这里数对的两个数分别表示什么？- 解：数对中的第一个数4表示列数，第二个数3表示排数。

2. 平面直角坐标系。

- 例：在平面直角坐标系中，点A(2, - 3)在第几象限？- 解：因为点A的横坐标2>0，纵坐标-3 < 0，所以点A在第四象限。

- 例：求点P(-3,4)到x轴和y轴的距离。

- 解：点P(-3,4)到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，即|4| = 4；到y轴的距离是它的横坐标的绝对值，即| - 3|=3。