苏教版高中数学必修五知识讲解_《不等式》全章复习巩固_提高

《不等式》全章复习巩固： ：【学习目标】1.能正确的记忆和灵活运用不等式的性质；2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力；3.掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式；4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；5.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件. 【知识网络】【要点梳理】要点一：不等式的主要性质 (1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,， bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5) 乘方法则：0n na b a b >>⇒>(*1)n N n ∈>且 (6) 开方法则：0a b >>⇒>(*1)n N n ∈>且不等式不等关系与不等式 一元二次不等式及其解法 二元一次不等式（组）与平面区域基本不等式最大（小）值问题简单的线性规划要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同. 要点二：三个“二次”的关系一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a >的解集：设相应的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：2A ax bx c =++(0)a > （2）计算判别式∆，分析不等式的解的情况：①0∆>时，求根12;x x （注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根abx x 221-==； ③0∆<时，方程无解. （3）写出解集.要点诠释：若0a <，可以转化为0a >的情形解决. 要点三：线性规划用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax+By+C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）线性规划的有关概念： ①线性约束条件：如果两个变量x 、y 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z=ax+by(a ，b ∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 要点诠释：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤 （1）设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； （2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； （4)作答．要点四：基本不等式 两个重要不等式①,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）②基本不等式：如果,a b 是正数，那么2a b+≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 算术平均数和几何平均数 算术平均数：2ba +称为,ab 的算术平均数； 几何平均数：ab 称为,a b 的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式的应用,(0,)x y ∈+∞,且xy P =（定值），那么当x y =时，x y +有最小值 ,(0,)x y ∈+∞,且x y S +=（定值），那么当x y =时，xy 有最大值2S 41.要点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值 【典型例题】类型一：不等式性质的应用例1．如果成立的是那么下列选项中不一定且满足,0,,,<<<ac a b c c b a （ ）A ．ac ab > B. 0)(>-a b c C. 22ab cb < D. 0)(<-c a ac 【答案】C【解析】由题可知：ac ab c b a c >⇒>><由,0,0又0)(0>-⇒<-a b c a b0)(0,0<-⇒>-<c a ac c a ac22ab cb <不一定成立，因为当b=0时候，取等号，故选C.【总结升华】判别不等式成立与否，应紧扣不等式性质，当出现字母代数式最常用赋值法. 举一反三：【变式】已知,m n R ∈，则11m n>成立的一个充要条件是（ ） A.0m n >> B.0n m >> C.()0mn m n -< D.0m n << 【答案】C例2．如果3042x <<,1624y <<,则(1) x y +的取值范围是 ； (2) xy 的取值范围是 【答案】(1)（46，66）；（2）（480，1008）【解析】（1）利用不等式的性质d b c a d c b a +>+⇒>>,可得4666x y <+<； （2）利用不等式的性质bd ac d c b a >⇒>>>>0,0可得4801008xy <<. 【总结升华】注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化的正确应用. 举一反三：【变式】如果3042x <<,1624y <<,则(1)2x y -的取值范围是 ； (2)xy的取值范围是 . 【答案】(1)（-18，-10）；（2）521(,)48. 例3．已知函数2()f x ax c =-,满足4(1)1f -≤≤-,1(2)5f -≤≤,那么(3)f 的取值范围是 .【解析】解法一：方程思想(换元)：由⎩⎨⎧=-=-)2(4)1(f c a f c a ，求得[]1(2)(1)341(1)(2)33a f f c f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩∴ )2(38)1(359)3(f f c a f +-=-= 又 340)2(3838,320)1(3535≤≤-≤-≤f f ∴ 20)2(38)1(351≤+-≤-f f ，即20)3(1≤≤-f . 解法二：待定系数法设f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)5-493()---183m m n m n n ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩下略 解法三：数形结合(线性规划)-4(1)-1-4--1-1(2)5-14-5f a c f a c ≤≤≤≤⎧⎧⇒⎨⎨≤≤≤≤⎩⎩ 所确定区域如图：设9-z a c =，将边界点(0,1)(3,7)代入即求出.【总结升华】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径.举一反三：【变式】已知15a b -≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围. 【答案】[-3，10]类型二：一元二次不等式的有关问题例4．不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-1<x<2}，则a=_______, b=________. 【解析】由不等式的解集为{x|-1<x<2}知a<0，且方程ax 2+bx+12=0的两根为-1，2.由根与系数关系得12112(1)22baa⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩解得a=-6, b=6.【总结升华】利用一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集与一元二次方程ax 2 +bx+c=0的根之间的关系，可使问题简单化.举一反三：【变式1】若不等式()(1)0x a x ++≥的解集为(-∞,-1] ∪[2,+ ∞）,求实数a 的值 【答案】由题设知 x=2为方程f(x)=0的根, ∴f(2)=0⇔a=-2 ∴所求实数a=-2【变式2】已知关于x 的方程(k-1)x 2+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k 的取值范围 【答案】5(1,1)(1,)3k ∈- 例5．若关于x 的不等式2(1)(21)20m x m x m --++-≥的解集为一切实数R ，求m 的取值范围. 【解析】当1m =时，原不等式为：310x --≥，不符合题意.当1m <时，原不等式为一元二次不等式，显然不符合题意 当1m >时，只需0∆≤，即2(21)4(1)(2)01m m m m ⎧+---≤⎨>⎩，解得m ∈∅， 综上，m 的取值范围为m ∈∅.【总结升华】①在含参不等式问题中,二次不等式恒成立的充要条件的理论依据: ax 2+bx+c>0对任何x ∈R 恒成立⇔a>0且Δ=b 2-4ac<0； ax 2+bx+c<0对任何x ∈R 恒成立⇔a<0且Δ=b 2-4ac<0. ②与不等式恒成立相互依存,相互支撑与相互转化的最值命题： μ＜f(x)恒成立⇔μ＜f(x)的最小值 μ＞f(x)恒成立⇔μ＞f(x)的最大值 举一反三：【变式】若对于任意X ∈R 恒有3x 2+2x+2>m （x 2+x+1）*(m N )∈,求m 的值 【答案】对任意x ∈R 有3x 2+2x+2>m （x 2+x+1）恒成立⇔对任意x ∈R 恒（3-m ）x 2+(2-m)x+(2-m)>0成立 23m 0(2m)4(3m)(2m)0->⎧∴⎨∆=----<⎩ m 3m 210m 2m 3<⎧⎪⇔⇔<⎨<>⎪⎩或又因m ∈N *，∴m=1类型三：二元一次方程（组）与平面区域例6．设集合A={(x,y)|x,y,1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（ ）【解析】利用三角形的三边关系得：111x y x y x y x y y x x y+>--⎧⎪-<--⎨⎪-<--⎩，即 1,21,21,2x y x y ⎧+>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪<⎪⎩表示的平面区域为A 选项. 【总结升华】注意本例中三角形本身的性质. 举一反三：【变式1】不等式组24236x y x y +≥⎧⎨-<⎩所表示的平面区域为（ ）A B C D 【答案】选B【变式2】不等式组000101x y x y x y ->⎧⎪+≥⎪⎨<<⎪⎪<<⎩在xy 平面上的解的集合为（ ）A ．四边形内部 B. 三角形內部 C.一点D.空集 【答案】不等式组所表示的平面区域图形如下,∴交集为三角形内部，选B.类型四：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解例7．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件51122,239,211,x y x y x -≥-⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则1010z x y=+的最大值是（ ）A ．80B ．85C ．90D ．95【答案】C【解析】先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分所示.由{51122,211,x y x -=-= 解得 {5.5,4.5,x y ==但x ∈N *，y ∈N *，结合图知当x=5，y=4时，z max =90.【总结升华】结合实际问题，注意约束条件中变量的取值范围. 举一反三：【变式】设变量x 、y 满足约束条件,2,36,y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则目标函数z=2x+y 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9 【答案】如图可得z min =3，选B类型五：基本不等式的应用例8．一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h 的速度匀速开往400 km 处的灾区．为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于220x ⎛⎫⎪⎝⎭km ，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？【解析】 设全部物资到达灾区所需时间为t 小时，由题意可知，t 相当于：最后一辆车行驶了25个220x ⎛⎫⎪⎝⎭km ＋400 km 所用的时间，因此，2254002010x t x x ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=+≥=. 当且仅当25400400x x=，即x ＝80时取“＝”． 故这些汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．【总结升华】在解答应用问题时要加强将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达文字语言所反映的数学关系的能力.举一反三：【变式1】求2(3)(03)y x x x =-＜＜的最大值. 【答案】03,30x x ∴-＜＜＞且为常数2392(3)2()22x x y x x +-∴=-≤⋅=（当且仅当33,2x x x =-=即时取等号） ∴当32x =时，max 92y =. 【变式2】建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低造价为 元.【答案】1760【解析】设水池池底的一边长为xm ，则另一边长为4m x，则总造价y 为：4448080(22)2480320()y x x x x=+⨯+⋅⨯=++480320480320221760≥+=+⨯⨯=（元） 当且仅当4x x=即2x =时，y 取最小值为1760. 所以水池的最低造价为1760元.。

高一必修5不等式知识点不等式是数学中的重要概念之一，它描述了数之间大小关系的不同情况。

在高中数学课程中，不等式的学习是必不可少的，而高一必修5则是学生们初次接触并系统学习不等式的阶段。

本文将为大家介绍高一必修5中的不等式知识点，包括基本概念、性质和解不等式的方法。

一、基本概念在学习不等式之前，我们先来了解一下一些基本概念。

首先是不等号的含义，大于号">"表示大于关系，小于号"<"表示小于关系，而大于等于号"≥"表示大于或等于关系，小于等于号"≤"表示小于或等于关系。

不等式由两个数之间的关系和一个不等号构成，如a>b、c≥d等。

我们可以将不等式理解为一个数轴上的区域，满足不等式的数所构成的集合。

二、性质不等式具有一些重要性质，对于学习和解决不等式问题非常有帮助。

1. 传递性：如果a>b，b>c，那么a>c。

这是因为不等式的比较关系具有传递性，如果一个数大于另一个数，而后者又大于另一个数，那么前者一定大于后者。

2. 加法性：如果a>b，那么a+c>b+c。

这是因为两边同时加上同一个数，不等式的关系仍然成立。

3. 减法性：如果a>b，那么a-c>b-c。

和加法性类似，两边同时减去同一个数，不等式的大小关系不变。

4. 乘法性：如果a>b，且c>0，那么ac>bc。

这是因为两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；而如果c<0，则不等号的方向会改变。

5. 除法性：如果a>b，且c>0，那么a/c>b/c。

和乘法性类似，两边同除以一个正数时，不等号的方向仍然不变；当c<0时，不等号的方向会改变。

三、解不等式的方法解不等式是数学中常见的问题，我们有一些常用的方法来求解不等式。

1. 图像法：将不等式对应的数轴画出来，并标出关键点，然后根据不等号的类型进行填色，最后得到不等式的解集。

学习目标核心素养１．了解现实世界和日常生活中的一些不等关系，了解不等式（组）的实际背景.２．会用不等式（组）表示不等关系．（重点）３．会比较数（或式）的大小．（难点）通过实际问题抽象出不等式（组），培养数学建模素养.１．不等关系在现实生活中，不等关系主要有以下几种类型：（１）用不等式表示常量与常量之间的不等关系，如“神舟”十一号飞船的质量大于“嫦娥四号”卫星的质量；（２）用不等式表示变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于１．４m；（３）用不等式表示函数与函数之间的不等关系，如当x>a时，销售收入f（x）大于成本g（x）；（４）用不等式表示一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用３0y的和不超过２000元．２．不等式（１）不等式的定义用数学符号“＝”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式．（２）关于a≥b和a≤b的含义a．不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．b．不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．（３）不等式中常用符号语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于><≥≤≤≥≥≤３．比较大小（１）比较实数a，b大小的文字叙述１如果a—b是正数，那么a>b；２如果a—b等于0，那么a＝b；３如果a—b是负数，那么a<b，反之也成立．（２）比较实数a，b大小的符号表示１a—b>0⇔a>b；２a—b＝0⇔a＝b；３a—b<0⇔a<b.思考：试用不等式表示下列关系：（１）a大于b a________b（２）a小于b a________b（３）a不超过b a________b（４）a不小于b a________b[提示] （１）> （２）< （３）≤（４）≥１．人类能听到的声音频率x不低于80 Hz且不高于２000 Hz，用不等式表示为________．80 Hz≤x≤２000 Hz [“不低于80 Hz”即“≥80 Hz”；“不高于２000 Hz”即“≤２000 Hz”．]２．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不高于２．５%，蛋白质的含量p应不少于２．３%，用不等式组表示上述关系为________．[答案] 错误!用不等式表示不等关系【例１】若单价每提高0．１元，销售量就可能相应减少２000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于２0万元呢？思路探究：总收入＝单价×销售量，总收入—成本＝利润．[解] 设提价后杂志社的定价为x元，则销售的总收入为8—错误!×0．２x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于２0万元”可以表示为不等式8—错误!×0．２x≥２0．用不等式表示不等关系的注意事项１利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示.２在用不等式表示实际问题时一定要注意单位统一.提醒：利用不等式表示不等关系时的注意点：１必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示.２在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一.１．一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，且这个两位数大于５0，可用不等关系表示为________．１0b＋a>５0 [该两位数为１0b＋a，由题意可知１0b＋a>５0．]用不等式组表示不等关系【例２】9名驾驶员，此车队每天至少要运３60 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．思路探究：[解] 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则错误!即错误!用不等式组表示实际问题中的不等关系时，要做到：１阅读要用心，读懂题意，寻找不等关系的根源，这是解决实际问题的基本的一步.２对题中关键字、关键句要留心，多加注意.３要将所有不等关系都表示为不等式.２．如图所示，在一个面积为３５0平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的４倍，写出L与W的关系．[解] 由题意，得错误!实数大小的比较[探究问题]１．如果a，b之间的大小关系分别为a>b，a＝b，a<b，那么a—b分别与0的关系？反之呢？[提示] 若a>b，则a—b>0，反之也成立；若a＝b，则a—b＝0，反之也成立；若a<b，则a—b<0，反之也成立．２．若a>b，则错误!>１吗？反之呢？[提示] 若a>b，当b<0时，错误!<１，即a>bD⇒/错误!>１；若错误!>１，则错误!—１>0，即错误!>0，∴a—b>0，b>0或a—b<0，b<0，即错误!>１D⇒/a>b，反之也不成立．【例３】已知x<１，比较x３—１与２x２—２x的大小．思路探究：错误!―→错误!错误!错误!―→错误![解] x３—１—（２x２—２x）＝x３—２x２＋２x—１＝（x３—x２）—（x２—２x＋１）＝x２（x—１）—（x—１）２＝（x—１）（x２—x＋１）＝（x—１）错误!，∵x<１，∴x—１<0，又∵错误!２＋错误!>0，∴（x—１）错误!<0，∴x３—１<２x２—２x.１．（变条件）本例条件“x<１”变为“x≥１”，比较x３—１与２x２—２x的大小．[解] x３—１—（２x２—２x）＝（x—１）（x２—x＋１）＝（x—１）错误!，∵x≥１，∴x—１≥0，又（x—错误!）２＋错误!>0，∴（x—１）错误!≥0，∴x３—１≥２x２—２x.２．（变条件）本例条件“x<１”变为“x>２”，比较x x与２x的大小．[解] ∵错误!＝错误!x，又x>２，∴错误!>１，∴错误!x>错误!0＝１，∴x x>２x.１．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法（１）作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．（２）变形的方法：１因式分解；２配方；３通分；４对数与指数的运算性质；５分母或分子有理化；⑥分类讨论．２．作商法比较大小的步骤及适用范围（１）作商法比较大小的三个步骤：１作商变形；２与１比较大小；３得出结论．（２）作商法比较大小的适用范围：１要比较的两个数同号；２比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法．１．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a—b＞0⇔a＞b；a—b＝0⇔a＝b；a—b＜0⇔a＜b.２．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0（不确定的要分情况讨论）；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．１．判断正误（１）不等式x≥２的含义是指x不小于２．（）（２）某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为１２0 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于１00 m. 用不等式表示为错误!（）[答案] （１）√（２）√２．下面列出的不等式中，正确的是（）Ａ．a不是负数，可表示成a>0Ｂ．x不大于３，可表示成x<３Ｃ．m与４的差是负数，可表示成m—４<0Ｄ．x与２的和是非负数，可表示成x＋２>0C[a不是负数，可表示为a≥0；x不大于３可表示为x≤３；m与４的差是负数，可表示成m—４<0；x与２的和是非负数，可表示成x＋２≥0．]３．一个两位数个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为________．１0y＋x＞70 [设两位数可表示为１0y＋x，∴70<１0y＋x.]４．某市政府准备投资１800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以２0至３0个为宜，每个初、高中班硬件配置分别为２8万元与５8万元，该学校的规模（初、高中班级数量）所满足的条件是什么？[解] 设初中有x个班级，高中有y个班级，此时所需要的资金为（２8x＋５8y）万元，市政府准备投资１800万元，则２8x＋５8y≤１800，班级数量非负且要满足２0≤x＋y≤３0，即需要满足的条件是错误!。

高一必修五不等式的知识点不等式是数学中常见的一种数学关系符号，用于表示两个数或两个算式之间的大小关系。

高中数学中，不等式是一个重要的知识点，其中必修五的学习内容涉及到不等式的基本概念、性质、解法等。

下面将介绍高一必修五不等式的主要知识点。

一、不等式的基本概念不等式是用不等号表示两个数或两个算式之间的大小关系。

不等式中的不等号可以是小于号（<）、大于号（>）、小于等于号（≤）或大于等于号（≥）。

二、不等式的性质1. 加法性性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等式的方向不变。

例如，若a > b，则 a + c > b + c。

2. 乘法性性质：对于不等式两边同时乘除一个正数，不等式的方向不变；对于不等式两边同时乘除一个负数，不等式的方向改变。

例如，若a > b（a > 0），则 a · c > b · c。

3. 反身性：任何数与自身进行大小比较时都满足等式关系。

例如，a = a。

4. 传递性：若 a > b，b > c，则 a > c。

例如，若a > b，b > c，则 a > c。

5. 两边加或减一个相同的数对不等式关系不会改变。

例如，若a > b，则 a + c > b + c。

三、不等式的解法1. 图解法：通过在数轴上绘制对应数值的数轴图形，来解读不等式的解集。

例如，对于不等式 x > 3，可以在数轴上绘制一个开口向右的箭头，并在箭头右侧标记出无限大的数集。

2. 几何法：利用几何图形，如包含在坐标系上的点、线段、平面等，来求解不等式的解集。

例如，对于不等式 2x + y > 5，可以在坐标系上绘制直线 2x + y = 5，然后根据不等式的要求确定直线上、下两侧的解集。

3. 符号法：通过变量和符号的运算来对不等式进行转化，从而求解不等式的解集。

例如，对于不等式 3x + 2 < 10，可以通过减去2再除以3的方式将不等式转化为 x < 2。

【金版教课方案】 2016-2017 学年高中数学第 3 章不等式章末知识整合苏教版必修 5[ 整合·网络成立]专题 1转变与化归思想的应用[ 典例 1]若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．解析：“范围”问题是数学中的常有问题，一般可将“范围”看作函数定义域、值域，或看作不等式的解集等．解：法一 ( 看作函数的值域) ：a＋3因为＝＋＋ 3，所以b＝( 明显a≠1) ，且＞ 1.ab a b a－1a所以 ab＝a·a＋3（ a－1）2＋ 5（a－1）＋ 44a－1＝a－1＝ ( a－ 1) ＋＋5≥9，当且仅当a－1a－14＝a－1，即 a＝3时取等号．4又 a＞3时，( a－1)＋a－1＋5单调递加，所以 ab 的取值范围是[9，＋∞)．法二 ( 看作不等式的解集 ) ：因为 a， b 为正数，所以a＋ b≥2 ab.又 ab＝ a＋ b＋3，所以 ab≥2 ab＋3，即 ( ab) 2－ 2 ab－3≥0.解得ab≥3或ab≤－1(舍去)，所以 ab≥9，即 ab 的取值范围是[9，＋∞)．法三：若设ab＝ t ，则 a＋b＝ t －3，2所以 a， b 可看作方程x －( t －3) x＋ t ＝0的两个正根．从而有a＋ b＝ t －3＞0，ab＝ t ＞0，t≤1或t≥9，即 t ＞3，解得t ≥ ，即≥ ，9ab 9t＞ 0，所以 ab 的取值范围是[9，＋∞)．归纳拓展不等与相等是相对的，在必定条件下能够相互转变．解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转变的过程．无论哪一各种类的不等式，其求解思路都是经过等价转变，把它们最终究结为一元一次不等式( 组) 或一元二次不等式( 组 ) 的求解．因为不等式的解集一般是无量集，所以不等式非等价变换产生的增根或失根是没法由检验而予以剔除或补充的，这就必定要求解不等式的每一步变换都是等价变换，而这类变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等．[ 变式训练 ]2x2＋2mx＋m1．假如关于x 的不等式4x2＋6x＋3＜1对一的确数x 均成立，则实数m的取值范围是________．2解析：因为4x2＋6x 3＝ 2x＋3＋3＞恒成立，从而原不等式能够利用不等式的基本＋24性质，等价转变成2x2＋2mx＋m＜4x2＋ 6x＋ 3( x∈R)．即 2x2＋ (6 － 2m) x＋ (3 －m) ＞ 0对一的确数x 恒成立，所以＝ (6 －2m) 2－4×2(3 －m)＝4( m－1) ·(m－ 3) ＜ 0，解得 1＜m＜ 3.答案： (1 ， 3)x2＋2x＋a2．已知函数f ( x) ＝x，若对任意x∈[1，＋∞)， f ( x)>0恒成立，试务实数 a 的取值范围．x2＋2x＋a2恒成解：法一：在区间 [1 ，＋∞ ) 上，f ( x) ＝x>0 恒成立，等价于x ＋2x＋ a>0立．设 y＝x2＋2x＋ a，x∈[1，＋∞)，而 y＝x2＋2x＋ a＝( x＋1)2＋ a－1在定义域内单调递加，所以当 x＝1时， y min＝3＋ a.于是当 y min＝3＋ a>0时，不等式 f ( x)>0恒成立，故 a>－3.a法二： f ( x)＝ x＋x＋2， x∈[1，＋∞)，当 a≥0时，函数 f ( x)的值恒为正；当 a<0时，函数 f ( x)单调递加，故当 x＝1时， f ( x)min＝3＋ a，于是当 f ( x)min＝3＋ a>0时，函数 f ( x)>0恒成立，故－ 3<a<0. 综上可得实数a的取值范围是a>－ 3.专题 2函数与方程思想的应用[ 典例 2]设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，假如 M? [1，4]，务实数 a 的取值范围．解： M? [1，4]有两种状况：其一是 M＝?，此时<0；其二是M≠ ?，此时＝0或>0，下边分三种状况计算 a 的取值范围．设 f ( x)＝ x2－2ax＋a＋2，则有＝ ( － 2a) 2－4( a＋ 2) ＝ 4( a2－a－ 2) ，(1) 当<0 时，－ 1<a<2，M＝?? [1，4]；(2)当＝ 0 时，a＝－ 1 或 2.当 a＝－1时， M＝{－1}[1 ，4] ．当 a＝2时， M＝{2} ? [1，4]；(3) 当>0 时，a<－ 1 或a>2.设方程 f ( x)＝0的两根 x1，x2，且 x1<x2，f （1）>0，且 f （4）>0，那么 M＝[ x1， x2]， M? [1，4] ? 1≤ x1≤ x2≤4?1≤a≤ 4，且>0.－a＋3>0，18－ 7a>0，即1≤a≤ 4，a<－1或 a>2.18解得 2<a< 7，所以 M? [1，4]时， a 的取值范围是－ 1，18 7 .归纳拓展函数思想是指用联系变化的看法解析问题，经过函数的形式把问题中的数目关系表示出来，运用函数的看法、图象、性质等对问题加以研究，使问题获取解决．方程思想是指将问题转变成对方程 ( 组 ) 的认识，经过解方程或对方程的议论使问题得以解决．函数与方程两者密不能够分，如函数解析式 y＝ f ( x)也可看作方程．函数有意义则方程有解，方程有解则函数有意义等．函数与方程思想表现了静与动，变量与常量的辩证一致，是重要的数学思想方法之一．详尽包含：(1)利用函数图象议论方程解的个数及分布状况，议论不等式的取值状况．(2)利用函数解决代数、解析几何中有关取值范围、交点数目等问题，以及函数在实质中的应用．(3)利用方程解决有关函数的问题．函数、方程、不等式三者密不能够分，从求解一元二次不等式的过程中可见一斑．在不等式问题中，好多能够从函数的角度进行求解．如 f ( x)＞ a 恒成立等价于 f ( x)min＞ a.[ 变式训练 ]3．求证： sin 24≥ 5.x＋sin2x24证明：设 sin x＝ t ，原式变形为f ( t )＝ t ＋t，则 f ( t )在 t ∈(0，1]时为单调递减函数．因为 0＜ sin 2x≤ 1，所以当 sin 2x＝ 1.即 t ＝1时， f ( t )有最小值， f ( t )min＝5.所以4f ( t )＝ t ＋ t ≥5，即sin24x＋sin 2x≥5.4．定义在( － 1， 1) 上的奇函数 f ( x)在整个定义域上是减函数，且 f (1－ a)＋f (1－ a2)＜0，务实数 a 的取值范围．解：由 f (1－ a)＋ f (1－ a2)＜0得f(1 －a) ＜－f (1 －a2) ＝f ( a2－ 1) ，－ 1＜ 1－a＜ 1，所以1－a＞a2－1，? 0＜a＜ 1.－1＜ 1－a2＜ 1所以 a 的取值范围是(0，1)．专题 3分类议论思想的应用[ 典例 3]解关于x的不等式x2－ ax－2a2<0( a∈R)．解析：先将不等式左侧分解因式，此后对两根的大小比较，分类求解不等式．解：原不等式转变成( x－2a)( x＋a)<0.对应的一元二次方程的根为x 1＝ 2，2＝－a.a x(1)当 a>0时， x1>x2，不等式的解集为 { x| －a<x<2a} ；(2)当＝ 0 时，原不等式化为x2<0，无解；a(3)当 a<0时， x1<x2，不等式的解集为{ x|2 a<x<－a} ．综上所述，原不等式的解集为：当 a>0时，{ x|－ a<x<2a}； a＝0时， x∈?；当 a<0时，{ x|2 a<x<－ a}．归纳拓展分类议论是一种重要的解题策略，分类相当于减小议论的范围，故能将问题化整为零，各个击破．在解答数学题时，因为好多题目不仅在涉及的知识范围上有较强的综合性，并且就问题自己来说，也遇到多种条件的交错限制，形成千头万绪的场面，很难从整体上加以解决．这时就从切割下手，把整体区分为若干个局部，先去解决各个局部问题，最后达到整体上的解决．平常一点说，就是“化整为零，各个击破”，这类办理数学识题的思想，就是“分类议论”的思想，分类议论问题充满了数学辩证思想，它是逻辑区分思想在解决数学识题中的详尽运用．分类议论的一般步骤：(1)明确议论对象，确立对象的范围．(2)确立分类标准，进行合理分类，做到不重不漏．(3)逐类议论，获取阶段性结果．(4)归纳总结，得出结论．[ 变式训练 ]5．若不等式 ( a－ 2) x2＋ 2( a－ 2) x－ 4<0 的解集为R，务实数a的取值范围．解：当 a－2＝0，即 a＝2时，原不等式为－4<0，所以a＝ 2 时成立．a－2<0，当 a－2≠0时，由题意得<0，a<2，即4（a－ 2）2－ 4（a－ 2）（－ 4） <0.解得－ 2<a<2.综上所述， a 的取值范围为－2<a≤2.46．求函数y＝2－3x－x的最值．解：明显 x≠0.4①当 x>0时， y＝2－3x＋x，44令 y1＝3x＋x，因为 x>0，所以3x>0，x>0.44故 y1＝3x＋x≥23x·x＝ 4 3.42当且仅当 3x＝，即x＝( 负值舍去 ) 时，取等号，x3所以 ( y1) min＝ 4 3，当 y1取最小值时， y 取最大值．所以当x＝2时，3y max＝2－43.4②当 x<0时， y＝2－3x＋x，44令 y2＝3x＋x，则－ y2＝(－3x)＋－x.4因为 x<0，所以－3x>0，－x>0.4故－ y2≥2（－3x）－x＝43，即 y2≤－43，42当且仅当－ 3x＝－，即x＝－( 正当舍去 ) 时，取等号x3所以 ( y2) max＝－ 4 3，当y2取最大值时，y 取最小值．题型 4数形联合思想的应用[ 典例 4]求使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围．解析：因不等式左侧为对数式，右侧为整式，故不能够解，所以可借助函数图象求解．解：如右图所示，在同一平面直角坐标系中作出函数y1＝log2(－ x)， y2＝ x＋1的图象，易知两图象交于点( － 1， 0) ．明显y1＜y2的x的取值范围是 ( － 1，0) ．归纳拓展数形联合就是把数学关系的精确刻画( 代数关系 ) 与几何图形的直观形象有机联合起来，从而充分裸露问题的条件与结论之间的内在联系，使问题变得简单，数形联合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、求参数的范围等，有时，能够用数形联合的思想找寻解题思路，详尽表现为：(1)由数化形，由条件绘制相似图形，使图形能充分反响出它们的数目关系，从而解决问题．(2)由形化数，借助于图形，经过观察研究，得出图形中包含的数目关系，反响失事物的实质特色．(3) 数形变换，化抽象为直观，化难为易．[ 变式训练]7．已知 f ( x)是定义域R 上的偶函数，当x≥0时， f ( x)＝x2－4x，则不等式 f ( x＋2)＜5 的解集是________．解析：作出y＝f ( x)的图象以以下列图，f (5)＝f (－5)＝5.所以 | x＋ 2| ＜ 5，即－7＜x＜ 3.答案： ( －7， 3)b＋128．已知函数f ( x) ＝ax＋ bx，且－1≤ f (－1)≤0， 2≤f (1)≤ 4，求a＋2的取值范围．解：由－ 1≤f ( －1) ≤0， 2≤f (1) ≤4，可得－ 1≤ －≤0， 2≤＋≤4.a b a bb＋1求a＋2的取值范围即是求经过点 ( a，b) 和点 ( － 2，－ 1) 的直线的斜率的范围．关于 a， b 构成的平面地域以以下列图，＋ 123，1 .依据图象能够获取a＋2的取值范围是。

不等关系与不等式： ：【学习目标】1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系；2．会用差值法比较两实数的大小；3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.【要点梳理】要点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：0,00a b ab ><⇒<④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数a 、b①0b a b a ->⇔>；②0b a b a -<⇔<；③0b a b a -=⇔=.对于任意实数a 、b ,a b >,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立.要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.要点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(1) 对称性：a>b b<a ⇔(2) 传递性：a>b, b>c a>c ⇒(3) 可加性：a b a c b c >⇔+>+ (c∈R)(4) 可乘性：a>b ，⎪⎩⎪⎨⎧<⇒<=⇒=>⇒>bc ac c bc ac c bc ac c 000运算性质有：(1) 可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+(2) 可乘法则：,a b>0c d>0a c b d>0>>⇒⋅>⋅(3) 可乘方性：*0,0n n a b n N a b >>∈⇒>>(4)可开方性：a b 0,n N ,n 1+>>∈>⇒>要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.要点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①0b a b a ->⇔>；②0b a b a -<⇔<；③0b a b a -=⇔=.作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较a b与1的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①1b a a b>⇔>； ②1b a a b<⇔<； ③1b a a b =⇔=. 中间量法：若a>b 且b>c ，则a>c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.作差比较法的步骤：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；最后下结论.要点诠释：概括为：“三步一结论”.这里“定号”是目的，“变形”是关键过程.【典型例题】类型一：用不等式表示不等关系例1.某人有楼房一幢，室内面积共2180m ，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为218m ，可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为215m ，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。

必修五不等式知识点引言不等式是数学中一个非常重要的概念，它描述了数值之间的关系。

在高中数学中，必修五的学习内容中涉及了不等式的基本知识点。

本文将介绍必修五不等式的几个重要知识点，帮助读者更好地理解和掌握这些概念。

一、不等式的基本概念不等式是指两个或多个数之间的大小关系。

在数学中，我们用不等号（>、<、≥、≤）来表示不等式。

其中，大于号（>）表示“大于”，小于号（<）表示“小于”，大于等于号（≥）表示“大于等于”，小于等于号（≤）表示“小于等于”。

例如，对于两个实数a和b，我们可以写出如下的不等式：a >b (a大于b)a <b (a小于b)a ≥b (a大于等于b)a ≤b (a小于等于b)二、不等式的性质1.传递性如果a > b，b > c，那么可以得出a > c的结论。

如果a < b，b< c，那么可以得出a < c的结论。

这就是不等式的传递性。

例如，如果4 > 2，2 > 0，那么可以得出4 > 0的结论。

2.加法性如果a > b，那么a + c > b + c。

如果a < b，那么a + c < b + c。

这就是不等式的加法性。

例如，如果3 > 1，那么3 + 2 > 1 + 2。

3.乘法性如果a > b，且c > 0，那么ac > bc。

如果a > b，且c < 0，那么ac < bc。

这就是不等式的乘法性。

例如，如果2 > 1，且3 > 0，那么2 × 3 > 1 × 3。

三、一元二次不等式。

小结与复习（三）《不等式》综合复习36 **知识网络****重点回放**1.不等式的性质对称性:a b >⇔b a <.传递性:a b >，b c >⇒ a c >.可加性:a b >⇔a c b c +>+; ,a b c d a c b d >>⇒+>+.可乘性: b a >,0>c ⇒bc ac >； b a >,0<c ⇒ bc ac <. 加法法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+.乘法法则：0>>b a ，0>>d c ⇒ bd ac >.乘方法则：0>>b a ⇒ n n b a > (,1)N n n ∈>且. 开方法则：0>>b a ⇒ n nb a > (,1)N n n ∈>且.2．基本不等式:（1）当,R a b ∈时，ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）. （2）当b a ,是正数时， ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取等号,实际上b a ,都是非负数时也成立）通常我们称b a ba ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数.即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.5．不等式的解法：（1）一元一次不等式ax b > ，要分三种情况0,0,0a a a >=<分别讨论。

（2）解一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或,要注意∆=-b ac 24的三种情况，即∆>0或∆=0或∆<0，最好联系二次函数的图象进行讨论。

（3）分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法.注意偶次式与高次系数符号.（4）解指、对数不等式用函数单调性(注意真数大于0);含参数时要分类讨论.**方法提炼**1．解一元二次不等式的步骤（1）判号：检查二次项系数a是否为正，若为负值，则利用不等式性质转化为正值；（2）求根：计算判别式∆，求出相应方程的实数根；（3）标根：在数轴上标出所得的实数根（注意两实数根的大小顺序，特别是当实数根中含有字母系数时），并画出开口向上的抛物线的示意图；（4）写解集：根据示意图及其一元二次不等式的几何意义，写出解集。

【金版学案】-高中数学 第3章 不等式章末知识整合 苏教版必修5题型1 转化与化归思想的应用例1 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围．分析：“范围”问题是数学中的常见问题，一般可将“范围”看成函数定义域、值域，或看成不等式的解集等．解析：方法一(看成函数的值域)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴b ＝a ＋3a －1(显然a≠1)，且a ＞1.∴ab ＝a×a ＋3a －1＝（a －1）2＋5（a －1）＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9，当且仅当a －1＝4a －1， 即a ＝3时取等号．又a ＞3时，(a －1)＋4a －1＋5单调递增．∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 方法二(看成不等式的解集) ∵a ，b 为正数，∴a ＋b≥2ab. 又ab ＝a ＋b ＋3， ∴ab≥2ab ＋3， 即(ab)2－2ab －3≥0. 解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)， ∴ab ≥9，即ab 的取值范围是[9，＋∞)． 方法三 若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，∴a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根．从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（t －3）2－4t≥0，a ＋b ＝t －3＞0，ab ＝t ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧t≤1或t≥9，t ＞3，t ＞0，解得t≥9，即ab≥9， ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． ►归纳拓展不等与相等是相对的，在一定条件下可以互相转化．解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程．无论哪种类型的不等式，其求解思路都是通过等价转化，把它们最终归结为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)的求解．由于不等式的解集一般是无限集，因此不等式非等价变换产生的增根或失根是无法由检验而予以剔除或增补的，这就必然要求解不等式的每一步变换都是等价变换，而这种变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等．►变式迁移1．如果关于x 的不等式2x 2＋2mx ＋m 4x 2＋6x ＋3＜1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是________．解析：∵4x 2＋6x ＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋34＞0恒成立，从而原不等式可以利用不等式的基本性质，等价转化为2x 2＋2mx ＋m ＜4x 2＋6x ＋3(x∈R)．即2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )＞0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(6－2m )2－4×2(3－m )＝4(m －1)·(m －3)＜0，解得1＜m ＜3.答案：(1，3) 2．若关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋（5＋2k ）x ＋5k ＜0的解集中所含整数只有－2，则k 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋（5＋2k ）x ＋5k ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞2，（x ＋k ）（2x ＋5）＜0.要使解集中所含整数只有－2，则必须－2＜－k ≤3. 即－3≤k ＜2. 答案：[－3，2)题型2 函数与方程思想的应用例2 设a∈R，关于x 的一元二次不等式7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＜0的解集是{x |α＜x ＜β}，且0＜α＜1＜β＜2，求a 的取值范围．分析：本题实质是一元二次方程根的分布问题，要结合二次函数解决由不等式7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＜0的解集是{x |α＜x ＜β}，可知方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0的两根为α，β，且两根分别在(0，1)与(1，2)内，可利用一元二次方程根的分布知识解决这个问题．解析：因为不等式7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＜0的解集是{x |α＜x ＜β}， 所以方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0的两根为α，β. 令f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2， 因为0＜α＜1＜β＜2， 所以α∈(0，1)，β∈(1，2)． 由f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，7－（a ＋13）＋a 2－a －2＜0，28－2（a ＋13）＋a 2－a －2＞0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，⇒－2＜a ＜－1或3＜a ＜4.a 2－3a ＞0所以a 的取值范围是(－2，－1)∪(3，4)． ►归纳拓展函数思想是指用联系变化的观点分析问题，通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来，运用函数的概念、图象、性质等对问题加以研究，使问题获得解决．方程思想是指将问题转化为对方程(组)的认识，通过解方程或对方程的讨论使问题得以解决．函数与方程二者密不可分，如函数解析式y ＝f (x )也可看作方程．函数有意义则方程有解，方程有解则函数有意义等．函数与方程思想体现了静与动，变量与常量的辩证统一，是重要的数学思想方法之一．具体包括：①利用函数图象讨论方程解的个数及分布情况，讨论不等式的取值情况；②利用函数解决代数、解析几何中有关取值范围、交点数目等问题，以及函数在实际中的应用；③利用方程解决有关函数的问题．函数、方程、不等式三者密不可分，从求解一元二次不等式的过程中可见一斑．在不等式问题中，很多可以从函数的角度进行求解．如f (x )＞a 恒成立等价于f (x )min ＞a .►变式迁移3．求证：sin 2x ＋4sin 2 x≥5.证明：设sin 2x ＝t ，原式变形为f (t )＝t ＋4t，则f (t )在t ∈(0，1]时为单调递减函数．∵0＜sin 2x ≤1， ∴当sin 2x ＝1，即t ＝1时，f (t )有最小值，f (t )min ＝5. ∴f (t )＝t ＋4t ≥5，即sin 2x ＋4sin 2 x≥5.4．定义在(－1，1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．解析：由f (1－a )＋f (1－a 2)＜0得f (1－a )＜－f (1－a 2)＝f (a 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，1－a ＞a 2－1，－1＜1－a 2＜1⇒0＜a ＜1. ∴a 的取值范围是(0，1)． 题型3 分类讨论思想的应用例3 解关于x 的不等式(m ＋3)x 2＋2mx ＋m －2＞0(m∈R)．分析：从形式上看是二次不等式，故须对m ＋3讨论，讨论它是不是一元二次不等式．解析：(1)当m ＝－3时， 原不等式化为－6x －5＞0， 故原不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－56. (2)当m ≠－3时，Δ＝4m 2－4(m ＋3)(m －2)＝4(6－m )． ①当m ＝6时，则原不等式等价于(3x ＋2)2＞0，故原不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞. ②当m ＞6时， 则Δ＜0且m ＋3＞0， 所以原不等式的解集是R. ③当－3＜m ＜6时， 则Δ＞0且m ＋3＞0， 所以原不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－m －6－m m ＋3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋6－m m ＋3，＋∞.④若m ＜－3，则Δ＞0，且m ＋3＜0，所以原不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋6－m m ＋3，－m －6－m m ＋3.►归纳拓展分类讨论是一种重要的解题策略，分类相当于缩小讨论的范围，故能将问题化整为零，各个击破．在解答数学题时，由于许多题目不仅在涉及的知识范围上有较强的综合性，而且就问题本身来说，也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上加以解决．这时就从分割入手，把整体划分为若干个局部，先去解决各个局部问题，最后达到整体上的解决．通俗一点说，就是“化整为零，各个击破”，这种处理数学问题的思想，就是“分类讨论”的思想，分类讨论问题充满了数学辩证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题中的具体运用．分类讨论的一般步骤：①明确讨论对象，确定对象的范围；②确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；③逐类讨论，获得阶段性结果；④归纳总结，得出结论．►变式迁移5．已知log a (a 2＋1)＜log a (2a )＜0，则a 的取值范围是(B ) A ．0＜a ＜1 B.12＜a ＜1C ．0＜a ＜12D ．a ＞1解析：当0＜a ＜1时，可得a 2＋1＞2a ＞1，解得12＜a ＜1；当a ＞1时，可得a 2＋1＜2a＜1，无解．6．解关于x 的不等式a （x －1）x －2＞1(a ≠1)．解析：不等式a （x －1）x －2＞1(a ≠1且a ≠0)，变形得：（a －1）x －（a －2）x －2＞0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x －（a －2）＞0，x －2＞0或⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x －（a －2）＜0，x －2＜0， 当a －1＞0，即a ＞1时： ①当a －2a －1＞2，即a ＜0时，无解； ②当a －2a －1＜2，解得a ＞0，即a ＞1时，解得x ＜a －2a －1或x ＞2. 当a －1＜0，即a ＜1且a ≠0时： ①当a －2a －1＞2，即1＜a ＜2时，无解； ②当a －2a －1≤2，即a ＜1时，解得a －2a －1＜x ＜2. 综上，当a ＞1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜a －2a －1或x ＞2； 当a ＜1且a ≠0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a －2a －1＜x ＜2.题型4 数形结合思想的应用例4 求使log 2(－x)＜x ＋1成立的x 的取值范围．分析：因不等式左边为对数式，右边为整式，故不可解，所以可借助函数图象求解． 解析：如右图，在同一平面直角坐标系中作出函数y 1＝log 2(－x)，y 2＝x ＋1的图象，易知两图象交于点(－1，0)．显然y 1＜y 2的x 的取值范围是(－1，0)．►归纳拓展数形结合就是把数学关系的精确刻画(代数关系)与几何图形的直观形象有机结合起来，从而充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系，使问题变得简单，数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、求参数的范围等，有时，可以用数形结合的思想寻找解题思路，具体体现为：①由数化形，由条件绘制相似图形，使图形能充分反映出它们的数量关系，从而解决问题；②由形化数，借助于图形，通过观察研究，得出图形中蕴含的数量关系，反映出事物的本质特征；③数形转换，化抽象为直观，化难为易．►变式迁移7．(2013·四川卷)已知f(x)是定义域R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x＋2)＜5的解集是________．解析：作出y＝f(x)的图象(如图)，f(5)＝f(－5)＝5.∴|x＋2|＜5，即－7＜x＜3.答案：(－7，3)8．已知关于x的方程(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋1－3m＝0的两根为x1，x2，若x1＜1＜x2＜3，求实数m的取值范围．解析：令f(x)＝(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋1－3m，其图象如下图所示，由图及题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋1）f （1）＝（m ＋1）（2m ＋4）＜0，（m ＋1）f （3）＝（m ＋1）（18m ＋16）＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m ＜－1，m ＜－1或m ＞－89，∴－2＜m ＜－1.故所求的m 的取值范围为{m |－2＜m ＜－1}．。

必修五不等式知识点在高中数学中，不等式是一个重要的数学概念，尤其是在必修五的数学课程中更是如此。

不等式是用来比较两个数的关系的数学表达式。

在必修五中，我们将学习不等式的基本概念和性质，以及如何解决一元一次不等式和一元二次不等式等问题。

一、不等式的基本概念不等式是数学中用于表示两个数之间的大小关系的数学符号。

常见的不等式符号包括小于（<）、大于（>）、小于等于（≤）和大于等于（≥）等。

例如，对于任意的实数a和b，我们可以表示如下的不等式：① a < b: 表示a小于b，即a比b更小。

② a > b: 表示a大于b，即a比b更大。

③ a ≤ b: 表示a小于等于b，即a不大于b。

④ a ≥ b: 表示a大于等于b，即a不小于b。

我们可以用不等式来描述很多实际问题，如数轴上的有理数大小关系、函数图像的区间等等。

二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一次的不等式。

例如，下面是一些一元一次不等式的例子：① 2x - 3 < 7: 这个不等式表示2x减去3小于7。

② 3x + 5 > -2: 这个不等式表示3x加5大于-2。

③ 4x ≤ 6: 这个不等式表示4x小于等于6。

要解决一元一次不等式，我们可以使用类似方程的方法，通过变量的加减乘除等运算来求解未知数的范围。

对于一元一次不等式，解决方法如下：步骤一：将不等式转化为等价的不等式，即保持不等式的不等性质不变，同时对两边进行加减乘除等运算。

步骤二：对于含有未知数的项，将它们移到一个侧边，将常数项移到另一个侧边。

步骤三：确定未知数的范围，即使得不等式成立的所有解。

三、一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的不等式。

例如，下面是一些一元二次不等式的例子：① x^2 - 4x + 3 < 0: 这个不等式表示二次函数y = x^2 - 4x + 3的函数值小于0。

2a) 2a ⎭Rxxx ≠-不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性： a > b ⇔ b < a(2)传递性： a > b , b > c ⇒ a > c(3)加法法则： a > b ⇒ a + c > b + c ； a > b , c > d ⇒ a + c > b + d (同向可加)(4)乘法法则： a > b , c > 0 ⇒ ac > bc ；a >b ,c < 0 ⇒ ac < bca >b > 0,c >d > 0 ⇒ ac > bd (同向同正可乘)(5) 倒数法则： a > b , ab > 0 ⇒ 1 1<a b(6)乘方法则： a > b > 0 ⇒ a n > b n (n ∈ N * 且n > 1)(7)开方法则： a > b > 0 ⇒ n a > n b (n ∈ N * 且n > 1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0或ax 2 + bx + c < 0(a ≠ 0)的解集：设相应的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根为 x 、x 且 x ≤ x ， ∆ = b 2 - 4ac ，则 1 212不等式的解的各种情况如下表：∆> 0∆= 0 ∆< 0y = ax 2 + bx + cy = ax 2 + bx + c y = ax 2 + bx + c二次函数y = ax 2 + bx + c（ a > 0 ）的图象一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 (a > 0 的根有两相异实根 有两相等实根x , x ( x < x ) x = x =- b1 2 1 2 1 2无实根ax 2 + bx + c > 0(a > 0)的解集{ x < x 或x > x}1 2⎧ b ⎫⎨⎬ ⎩(a>0)的解集{x xax2+bx+c<01<x<x2}∅∅2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。

教栢j分浙与教学建议苏教版数学必修5…不等式【基本知识结构】不尊关系不零 式（⑹4. 1-无二次不尊式二元一次不手式.组|课程目标与学习要求 教材分析与教学建议 主要知识点与题型方法 典型例题 教案与课件介绍【课程目标】通过不等式的教学，使学生感受到在现实世界中存在着大量的不 等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握解决不等式（组）问题的基本方法，并能解决一些实际问题;厂几何雯应用使学生初步体会数学在解决优化问题中的作用，认识数学的应用价值，从而培养学生解决简单实际问题的能力，发展学生的数学应用意识。

【学习要求】(1)不等关系了解现实世界和日常生活中的一些不等关系。

(2)一元二次不等式能从实际情境中抽象出一元二次不等式；了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；掌握一元二次不等式的解法。

(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题能从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。

能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(一般的最优整数解问题不作要求)。

(4)基本不等式临W凹(«>0, ^>0)一2掌握基本不等式巫W凹(«>0,矗0)；2能用基本不等式证明简单不等式(指只用一次基本不等式即可解决的问题)；能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题(指只用一次基本不等式即可解决的问题)。

【教学建议】关于不等式的教学，应注意以下问题：1、准确把握教学要求与过去的教材相比，新教材强调了不等式是一种“数学模型”.不等式是刻画现实世界中不等关系的数学工具，它是描述优化问题的一种数学模型.(1)不等式是作为描述、刻画现实世界中不等关系的一种数学模型介绍给学生的，教学中要淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其应用，注意不要偏重于从数学到数学的纯理论探讨。

(2)求解一元二次不等式，首先可求岀相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。

必修五不等式知识点总结不等式是数学中重要的概念之一，主要用来描述数之间的大小关系。

在必修五的数学学习中，我们学习了不少与不等式相关的知识点。

下面就我所掌握的知识，对必修五不等式的相关内容进行总结。

1.数轴与不等式：在学习不等式之前，我们首先要了解数轴的概念。

数轴是一条直线，用来表示实数的位置。

有了数轴，我们可以很直观地表示不等关系。

对于不等式x<a，我们可以把数轴上小于a的所有数标出来。

2.不等式的基本性质：不等式具有一些基本的性质，可以通过这些性质来进行不等式的推导和运算。

这些性质包括：-两边相等的不等式，若左边大于右边，则右边小于左边。

-不等式两边同时加上（或减去）相同的数，不等号方向不变。

-不等式两边同时乘（或除以）相同的正数，不等号方向不变。

-不等式两边同时乘（或除以）相同的负数，不等号方向改变。

3.一元二次不等式：一元二次不等式是指形如 ax^2 + bx + c > 0（或 < 0）的不等式。

其中 a、b、c 是给定的实数，a ≠ 0。

解一元二次不等式的关键是找到不等式左边的二次函数的图像和零点，并结合一次项 b 的正负情况来确定不等式的解集。

4.绝对值不等式：绝对值不等式是指形如x-a，>b（或<b）的不等式。

解绝对值不等式的关键是根据绝对值的定义，对不等式进行拆分，从而得到不等式的解集。

5.一次不等式与二次不等式的综合：在实际问题中，经常会同时用到一次不等式和二次不等式。

这时，我们需要综合运用前面所学的不等式知识，用代数方法来解决问题。

6.不等式的应用：不等式在数学以及实际生活中有着广泛的应用。

在数学中，不等式常用于解析几何、实数范围的确定等方面；在实际生活中，不等式用于描述其中一种数量的上限和下限，如商品折扣、房租优惠等。

7.不等式证明：不等式证明是数学证明的重要内容之一、通过运用不等式的定义和性质，我们可以对不等式进行严谨的证明，从而得到数学上的结论。

第15课时 不等式复习课学习要求1．温故本章内容，使知识系统化，条理化．分清重点，明确难点，再现注意点，达到巩固与知新的效果。

2.体会分类讨论，等价转化，数形结合，函数方程四种数学思想的应用.【课堂互动】自学评价1.不等式组2680321x x x x ìï-+>ïïí+ï>ïï-ïî的解集为 （1，2）∪(4,5) ．2.已知103180,0x y x y x y ì+?ïïï+?íïï吵ïïî，则2z x y =+的最大值为 14 ． 3.已知532x y+=，(,)x y R +Î，则xy 的最小值为 15 ． 4.已知,a b R+Î,则下列四个平均数:2ab a b +,2a b +,,的大小【精典范例】例1：解关于x 的不等式：2(22)40ax a x -++>【解】0=a ,{}2|<x x 0<a ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<22|x a x 10<<a ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧><a x x x 22|或 1=a ,{}2|≠x x1>a ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧><22|x a x x 或听课随笔例2：设a R Î，关于x 的一元二次方程227(13)20x a x a a -++--=有两个实根,,21x x 且12012x x <<<<，求a 的取值范围．【解】设=)(x f 2)13(722--++-a a x a x则⎪⎩⎪⎨⎧>>>0)2(0)1(0)0(f f f 解出4312<<-<<-a a 或例３. 某工厂生产Ａ，Ｂ两种产品，已知生产１千克Ａ产品要用煤９吨，电力４千瓦时，劳动力３个，创造利润７万元，生产１千克Ｂ产品要用煤４吨，电力５千瓦时，劳动力１０个，创造利润１２万元，在这种条件下，应该生产Ａ，Ｂ两种产品各多少千克，才能使所创造的总的经济价值最高？答案：容易解得当x=20,y=24时，目标函数z=7x+12y 取得最大值428万元。

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不等式的性质：①不等式的性质可分为不等式差不多性质和不等式运算性质两部分。

不等式差不多性质有：(1) a>bb(2) a>b, b>ca>c (传递性)(3) a>ba+c>b+c (c∈R)(4) c>0时，a>bac>bccbac运算性质有：(1) a>b, c>da+c>b+d。

(2) a>b>0, c>d>0ac>bd。

(3) a>b>0an>bn (n∈N, n>1)。

(4) a>b>0>(n∈N, n>1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。

一样地，证明不等式确实是从条件动身施行一系列的推出变换。

解不等式确实是施行一系列的等价变换。

因此，要正确明白得和应用不等式性质。

②关于不等式的性质的考察，要紧有以下三类问题：(1)依照给定的不等式条件，利用不等式的性质，判定不等式能否成立。

要练说，得练听。

听是说的前提，听得准确，才有条件正确仿照，才能不断地把握高一级水平的语言。

我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我专门重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清晰，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，如此能引起幼儿的注意。

当我发觉有的幼儿不用心听别人发言时，就随时夸奖那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们用心听，用心记。

平常我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，如此幼儿学得生动爽朗，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了经历，又进展了思维，为说打下了基础。

一元二次不等式及其解法： ：【学习目标】1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想；2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题. 【要点梳理】要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为{}21x x x x x ><或，不等式20ax bx c ++<的解集为{}21x x x x <<要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.要点诠释：（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集.要点三、解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根abx x 221-==； ③0∆<时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.用程序框图表示求解一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a>0)的过程要点诠释：1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【典型例题】类型一：一元二次不等式的解法 例1. 解下列一元二次不等式（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2450x x -+-> 【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.【解析】 （1）方法一：因为2(5)410250∆=--⨯⨯=>所以方程250x x -=的两个实数根为：10x =，25x =函数25y x x =-的简图为：因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<.方法二：250(5)0x x x x -<⇔-<050x x >⎧⇔⎨-<⎩ 或050x x <⎧⎨->⎩解得05x x >⎧⎨<⎩ 或5x x <⎧⎨>⎩，即05x <<或x ∈∅. 因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一：因为0∆=，方程2440x x -+=的解为122x x ==.函数244y x x =-+的简图为：所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2(2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一：原不等式整理得2450x x -+<.因为0∆<，方程2450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为：所以不等式2450x x -+<的解集是∅. 所以原不等式的解集是∅.方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是∅. 【总结升华】1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当0∆≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0∆>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三：【一元二次不等式及其解法387159题型一 一元二次不等式的解法】【变式1】已知函数222,0,()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 解不等式f (x )＞3.【答案】由题意知20,23x x x ≥⎧⎨+>⎩或20,23,x x x <⎧⎨-+>⎩解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}．【变式2】解不等式：2666x x -≤--< 【答案】原不等式可化为不等式组226666x x x x ⎧--<⎪⎨-≤--⎪⎩ ，即221200x x x x ⎧--<⎪⎨-≥⎪⎩，即(4)(3)0(1)0x x x x -+<⎧⎨-≥⎩，解得3410x x x -<<⎧⎨≥≤⎩或∴原不等式的解集为{|3014}x x x -<≤≤<或. 类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法 例2．解关于x 的不等式：ax 2-x+1>0【解析】若a=0，原不等式化为-x+1>0，解集为{x|x<1}；若a≠0，原不等式为关于x 的一元二次不等式. 方程012=+-x ax 的判别式△=1-4a (Ⅰ)当△=1-4a<0，即41>a 时，方程012=+-x ax 没有实数根， 故函数1)(2+-=x ax x f 的图象开口向上，与x 轴没有交点，其简图如下：所以，此时不等式012>+-x ax 的解集为实数集R ； (Ⅱ)当△=1-4a=0，即41=a 时，方程012=+-x ax 有两个相等实数根x=2， 故函数1)(2+-=x ax x f 的图象开口向上，与x 轴有唯一交点(2，0)，其简图如下：所以，此时不等式012>+-x ax 的解集为),2()2,(+∞-∞ ； (Ⅲ)当△=1-4a>0，即41<a 时，方程012=+-x ax 有两个不等实数根 a a x 24111--=，aax 24112-+=，①当410<<a 时，函数1)(2+-=x ax x f 的图象开口向上， 与x 轴有两个不同的交点，且21x x <，其简图如下：所以，此时不等式012>+-x ax 的解集为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞-,24112411,a aa a ； ②当a<0时，函数1)(2+-=x ax x f 的图象开口向下， 与x 轴有两个不同的交点，且21x x >，其简图如下：所以，此时不等式012>+-x ax 的解集为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+a a a a 2411,2411； 综上所述：a<0时，原不等式解集为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+a a a a 2411,2411； a=0时，原不等式解集为(,1)-∞；410<<a 时，原不等式解集为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞-,24112411,a aa a ； 41=a 时，原不等式解集为),2()2,(+∞-∞ ； 41>a 时，原不等式解集为实数集R .【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解； ③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论. 举一反三：【变式1】（2015 天津校级模拟）已知2a+1<0，关于x 的不等式22450x ax a -->的解集是（ ） A.{x|x>5a 或x<-a} B.{x|-a<x<5a} C. {x|x<5a 或x>-a} D.{x|5a<x<-a}【答案】不等式22450x ax a -->可化为 (x-5a)(x+a)>0;∵方程(x-5a)(x+a)的两根为 125,,x a x a ==- 且2a+1<0,∴a<-12, ∴ 5a<-a∴原不等式的解集为{x|x<5a 或x>-a}。