广东省佛山市2018届高考数学二模试卷Word版含解析(文科)

广东省佛山市2018届高考数学二模试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足（z﹣3）（1﹣3i）=10（i为虚数单位），则z的模为（）A．B．5 C．D．252．已知R为实数集，集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1）B．（0，1] C．（1，2）D．（1，2]3．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值是（）A．0 B．2 C．3 D．54．已知函数f（x）=x2+|ax+1|，命题p：∃a∈R，f（x）为偶函数，则￢p为（）A．∃a∈R，f（x）为奇函数B．∀a∈R，f（x）为奇函数C．∃a∈R，f（x）不为偶函数D．∀a∈R，f（x）不为偶函数5．为了得到函数的图象，只需将函数y=2sin2x图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．24﹣πD．24+π7．若单位向量，的夹角为，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．8．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）A．样本中的女生数量多于男生数量B．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C．样本中的男生偏爱理科D．样本中的女生偏爱文科9．运行如图所示的程序框图，输出i和S的值分别为（）A．2，15 B．2，7 C．3，15 D．3，710．已知α，β为锐角，且，，则cos2β=（）A．B．C．D．11．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0）的一条渐近线为l，圆C：（x﹣a）2+y2=8与l 交于A，B两点，若△ABC是等腰直角三角形，且（其中O为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数，若对任意x∈R，f（x）＞ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1﹣e） B．（1﹣e，1]C．[1，e﹣1）D．（e﹣1，+∞）二、填空题曲线y=ln（x+2）﹣3x在点（﹣1，3）处的切线方程为．14．若数列{a n}的前n项和为，则数列a n=．15．已知点A（4，0），抛物线C：y2=2px（0＜p＜4）的准线为l，点P在C上，作PH⊥l于H，且|PH|=|PA|，∠APH=120°，则p=．16．某沿海四个城市A、B、C、D的位置如图所示，其中∠ABC=60°，∠BCD=135°，AB=80nmile，nmile，nmile．现在有一艘轮船从A出发以50nmile/h的速度向D直线航行，60min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，则收到指令时该轮船到城市C的距离是nmile．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，且b1=a1=1，b3=a4，b1+b2+b3=a3+a4．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）试估计平均收益率；（Ⅱ）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加x元，对应的销量y（万份）与x （元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组x与y的对应数据：据此计算出的回归方程为．（i）求参数b的估计值；（ii）若把回归方程当作y与x的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益．19．（12分）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E在DC边上，且DE=1，将△ADE沿AE折到△AD'E的位置，使得平面AD'E⊥平面ABCE．（Ⅰ）求证：AE⊥BD'；（Ⅱ）求三棱锥A﹣BCD'的体积．20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的焦距为4，左、右焦点分别为F1、F2，且C1与抛物线C2：y2=x的交点所在的直线经过F2．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与C1交于A，B两点，与抛物线C2无公共点，求△ABF2的面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=﹣alnx，其中a＞0，x＞0，e是自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数g（x）=，证明：0＜g（x）＜1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：，曲线C2：（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C3：（t为参数，t＞0，）分别交C1，C2于A，B两点，当α取何值时，取得最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+a|﹣x﹣2．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且存在x0∈[﹣a，1），使得f（x0）≤0，求a的取值范围．广东省佛山市2018届高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足（z﹣3）（1﹣3i）=10（i为虚数单位），则z的模为（）A．B．5 C．D．25【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入模的公式得答案．【解答】解：∵（z﹣3）（1﹣3i）=10，∴z=+3=1+3i+3=4+3i，故|z|==5，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．2．已知R为实数集，集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1）B．（0，1] C．（1，2）D．（1，2]【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A，B，从而C R A，由此能求出（∁R A）∩B．【解答】解：∵R为实数集，集合A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，B={x|x＞1}，∴C R A={x|0＜x＜2}，∴（∁R A）∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：C．【点评】本题考查补集、交集的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是基础题．3．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值是（）A．0 B．2 C．3 D．5【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（0，2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4．已知函数f（x）=x2+|ax+1|，命题p：∃a∈R，f（x）为偶函数，则￢p为（）A．∃a∈R，f（x）为奇函数B．∀a∈R，f（x）为奇函数C．∃a∈R，f（x）不为偶函数D．∀a∈R，f（x）不为偶函数【考点】2J：命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃a∈R，f（x）为偶函数，则￢p为：∀a∈R，f（x）不为偶函数．故选：D【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．5．为了得到函数的图象，只需将函数y=2sin2x图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：为了得到函数=2sin（2x+）=2sin2（x+）的图象，只需将函数y=2sin2x图象上所有的点向左平移个单位长度，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．24﹣πD．24+π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知三视图得到几何体的形状，然后计算体积．【解答】解：由已知三视图得到几何体是一个正方体割去半径为2的个球，所以表面积为=24﹣π；故选：C．【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的表面积；关键是正确还原几何体．7．若单位向量，的夹角为，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】可知，这样进行数量积的运算即可求出，这样即可得出向量与向量的夹角．【解答】解：=；∴；∴向量与的夹角为．故选A．【点评】考查单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念．8．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）A．样本中的女生数量多于男生数量B．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C．样本中的男生偏爱理科D．样本中的女生偏爱文科【考点】BN：独立性检验的基本思想．【分析】根据这两幅图中的信息，即可得出结论．【解答】解：由图2知，样本中的女生数量多于男生数量，样本中的男生、女生均偏爱理科；由图1知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，故选D．【点评】本题考查等高堆积条形图，考查学生对图形的认识，比较基础．9．运行如图所示的程序框图，输出i和S的值分别为（）A．2，15 B．2，7 C．3，15 D．3，7【考点】EF：程序框图．【分析】根据程序框图，依次进行运行，直到满足条件即可得到结论．【解答】解：模拟循环，r=1，不满足条件，n=2，r=2，满足条件，i=2，S=2，n=3，r=0，不满足条件，n=4，r=1，不满足条件，n=5，r=2，满足条件，i=2，S=7，n=6，r=0，不满足条件，n=7，r=1，不满足条件，n=8，r=2，满足条件，i=3，S=15，n=9，r=0，不满足条件，n=10，退出循环，输出i=3，S=15，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，依次验证条件是解决本题的关键．10．已知α，β为锐角，且，，则cos2β=（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】首先由已知求出α，α+β的其它三角函数值，然后由β=α+β﹣α，求出β的三角函数值，再借助于倍角公式求值．【解答】解：由已知α为锐角，且，得到sinα=，cosα=，由，得到sin（α+β）=，所以cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，所以c os2β=2cos2β﹣1=；故选C．【点评】本题考查了三角函数式的化简求值；熟练运用两角和与差的三角函数以及角的等价变化、倍角公式是解答的关键．11．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0）的一条渐近线为l，圆C：（x﹣a）2+y2=8与l 交于A，B两点，若△ABC是等腰直角三角形，且（其中O为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用距离推出ab关系式，然后求解离心率即可．【解答】解：如图．依题意，在△RtACB中，BC=AC=2，∴AB=4，又（其中O为坐标原点），∴OB=5在△OCB中，由余弦定理得a=OC=．因为点C（a，0）到渐进线y=的距离为2，即．解得b=，即得e2=1+=，∴双曲线Γ的离心率为．故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．12．已知函数，若对任意x∈R，f（x）＞ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1﹣e） B．（1﹣e，1]C．[1，e﹣1）D．（e﹣1，+∞）【考点】2H：全称命题．【分析】根据题意，不等式x+＞ax恒成立化为＞（a﹣1）x恒成立；设g（x）=，h（x）=（a﹣1）x，x∈R；在同一坐标系内画出两个函数的图象，满足不等式恒成立的是h（x）的图象在g（x）图象下方，求出过原点的g（x）的切线方程，得出切线斜率k，从而求出a的取值范围．【解答】解：函数，对任意x∈R，f（x）＞ax恒成立，∴x+＞ax恒成立，即＞（a﹣1）x恒成立；设g（x）=，h（x）=（a﹣1）x，x∈R；在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示；则满足不等式恒成立的是h（x）的图象在g（x）图象下方，求g（x）的导数g′（x）=﹣e﹣x，且过g（x）图象上点（x0，y0）的切线方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），且该切线方程过原点（0，0），则y0=﹣•x0，即=﹣•x0，解得x0=﹣1；∴切线斜率为k=﹣=﹣e，∴应满足0≥a﹣1＞﹣e，∴1﹣e＜a≤1，∴实数a的取值范围是（1﹣e，1]．故选：B．【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用导数求函数的切线问题，是综合性题目．二、填空题（2017•佛山二模）曲线y=ln（x+2）﹣3x在点（﹣1，3）处的切线方程为2x+y ﹣1=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：y=ln（x+2）﹣3x的导数为y′=﹣3，可得在点（﹣1，3）处的切线斜率为k=1﹣3=﹣2，即有在点（﹣1，3）处的切线方程为y﹣3=﹣2（x+1），即为2x+y﹣1=0．故答案为：2x+y﹣1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．14．若数列{a n}的前n项和为，则数列a n=n﹣1．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用求解．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为，∴n=1时，a1=S1=，=（）=[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，上式成立，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归转化思想，是基础题．15．已知点A（4，0），抛物线C：y2=2px（0＜p＜4）的准线为l，点P在C上，作PH⊥l于H，且|PH|=|PA|，∠APH=120°，则p=．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的定义可知：丨PH丨=x1+，根据三角形的性质，即可求得P点坐标，代入抛物线方程，即可求得p的值．【解答】解：设P（x1，y1），故P做PD⊥OA，则由|PH|=|PA|，∠APH=120°，则∠APD=30°，由抛物线的定义可知：丨PH丨=x1+，∴|PA|=x1+，丨AD丨=4﹣x1，sin∠APD=，则x1=﹣，则丨PD丨=丨AP丨cos∠APD=（+），则P（﹣，（+）），将P代入抛物线方程，整理得：5p2﹣48p+64=0，解得：p=，或p=8（舍去），∴p的值，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义及简单几何性质，三角形的性质，考查数形结合思想，属于中档题．16．某沿海四个城市A、B、C、D的位置如图所示，其中∠ABC=60°，∠BCD=135°，AB=80nmile，nmile，nmile．现在有一艘轮船从A出发以50nmile/h的速度向D直线航行，60min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，则收到指令时该轮船到城市C的距离是100nmile．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】求出AD，可得∠DAC=90°，即可得出结论．【解答】解：由题意，AC==50nmile，60min后，轮船到达D′，AD′=50×1=50nmile∵=∴sin∠ACB=，∴cos∠ACD=cos（135°﹣∠ACB）=，∴AD==350，∴cos∠DAC==0，∴∠DAC=90°，∴CD′==100，故答案为100．【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2017•佛山二模）已知{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，且b1=a1=1，b3=a4，b1+b2+b3=a3+a4．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设数列{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得d，q的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）求得，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，依b1=a1=1，b3=a4，b1+b2+b3=a3+a4．得解得d=1，q=2，所以a n=1+（n﹣1）=n，；（2）由（1）知，则3•22+…n•2n﹣1①2T n=1•21+2•22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n②①﹣②得： +…+1•2n﹣1﹣n•2n==（1﹣n）•2n﹣1．所以．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•佛山二模）某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）试估计平均收益率；（Ⅱ）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加x元，对应的销量y（万份）与x （元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组x与y的对应数据：据此计算出的回归方程为．（i）求参数b的估计值；（ii）若把回归方程当作y与x的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）求出区间中值，取值概率，即可估计平均收益率；（Ⅱ）（i）利用公式，求参数b的估计值；（ii ）设每份保单的保费为20+x 元，则销量为y=10﹣0.1x ，则保费收入为f （x ）=（20+x ）（10﹣0.1x ）万元，f （x ）=200+8x ﹣0.1x 2=360﹣0.1（x ﹣40）2，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，平均收益率为0.05×0.10+0.15×0.20+0.25×0.25+0.35×0.30+0.45×0.10+0.55×0.05=1050+450+275）=0.275．（Ⅱ）（i ）=， =所以 （ii ）设每份保单的保费为20+x 元，则销量为y=10﹣0.1x ，则保费收入为f （x ）=（20+x ）（10﹣0.1x ）万元，f （x ）=200+8x ﹣0.1x 2=360﹣0.1（x ﹣40）2 当x=40元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获利为360×0.275=99万元．【点评】本题考查回归方程，考查概率的计算，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．19．（12分）（2017•佛山二模）如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=2，E 在DC 边上，且DE=1，将△ADE 沿AE 折到△AD'E 的位置，使得平面AD'E ⊥平面ABCE ．（Ⅰ）求证：AE ⊥BD'；（Ⅱ）求三棱锥A ﹣BCD'的体积．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO ：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）连接BD 交AE 于点O ，推导出Rt △ABD ～Rt △DAE ，从而得到OB ⊥AE ，OD'⊥AE ，由此能证明AE ⊥平面OBD'．（Ⅱ）由V A ﹣BCD '=V D'﹣ABC ，能求出三棱锥A ﹣BCD'的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD 交AE 于点O ，依题意得，所以Rt △ABD ～Rt △DAE ，所以∠DAE=∠ABD ，所以∠AOD=90°，所以AE ⊥BD ，即OB ⊥AE ，OD'⊥AE ，又OB ∩OD′=O ，OB ，OD'⊂平面OBD'．所以AE ⊥平面OBD'．解：（Ⅱ）因为平面AD'E ⊥平面ABCE ，由（Ⅰ）知，OD'⊥平面ABCE ，所以OD'为三棱锥D'﹣ABC 的高，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=2，DE=1，所以，所以V A ﹣BCD '=V D'﹣ABC ==即三棱锥A ﹣BCD'的体积为．【点评】本题考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归转化思想、函数与方程思想，数形结合思想，是中档题．20．（12分）（2017•佛山二模）已知椭圆C 1：（a ＞b ＞0）的焦距为4，左、右焦点分别为F 1、F 2，且C 1与抛物线C 2：y 2=x 的交点所在的直线经过F 2．（Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 与C 1交于A ，B 两点，与抛物线C 2无公共点，求△ABF 2的面积的取值范围．【考点】KN ：直线与抛物线的位置关系；KL ：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）依题意可得F 1F 2的坐标，由此可得椭圆C 1与抛物线C 2的一个交点为，由椭圆的定义可得a 的值，又由a 2=b 2+c 2，解得b 的值，将其代入椭圆的方程即可得答案； （Ⅱ）依题意，直线l ：x=ty ﹣2，联立直线与抛物线的方程整理可得y 2﹣ty +2=0，联立直线与椭圆的方程可得（t 2+2）y 2﹣4ty ﹣4=0，进而设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系分析可得|AB|的长度以及F2到直线l距离d，进而可以表示△ABF2的面积，借助换元法分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）依题意得2c=4，则F1（2，0）F2（﹣2，0）；所以椭圆C1与抛物线C2的一个交点为，于是2a=|PF1|，从而．又a2=b2+c2，解得b=2所以椭圆C1的方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的斜率不为0，设直线l：x=ty﹣2，由，消去x整理得y2﹣ty+2=0，由△=（﹣t）2﹣8＜0得t2＜8．由，消去x整理得（t2+2）y2﹣4ty﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以==，F2到直线l距离，故==，令，则=，所以三边形ABF2的面积的取值范围为．【点评】本题考查直线与椭圆、抛物线的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是正确求出椭圆的标准方程．21．（12分）（2017•佛山二模）已知函数f（x）=﹣alnx，其中a＞0，x＞0，e是自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数g（x）=，证明：0＜g（x）＜1．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出，根据0＜a≤1，1＜a＜e，a=e，a＞e进行分类讨论，利用导数性质能讨论f（x）的单调性．（Ⅱ）0＜g（x）＜1等价于1+xlnx＞0，且，由此利用导数性质能证明0＜g（x）＜1．【解答】解：（Ⅰ）===（1）当0＜a≤1时，e x＞a，当x∈（0，1），f'（x）＜0；当x∈（1，+∞），f'（x）＞0；所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．（2）当1＜a＜e时，令e x=a，得x=lna∈（0，1），由f'（x）＜0得lna＜x＜1，由f'（x）＞0得0＜x＜lna或x＞lna，所以f（x）在（0，lna），（1，+∞）上单调递增，在（lna，1）上单调递减．（3）当a=e时，令e x=a，f'（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上递增．（4）当a＞e时，令e x=a，得x=lna∈（1，+∞），由f'（x）＜0得1＜x＜lna，由f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞lna，所以f（x）在（0，1），（lna，+∞）上单调递增，在（1，lna）上单调递减．综上，当0＜a≤1时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．当1＜a＜e时，f（x）在（0，lna），（1，+∞）上单调递增，在（lna，1）上单调递减．当a=e时，f（x）在（0，+∞）上递增．当a＞e时，f（x）在（0，1），（lna，+∞）上单调递增，在（1，lna）上单调递减．证明：（Ⅱ）0＜g（x）＜1⇔1+xlnx＞0①且②先证①：令h（x）=1+xlnx，则h（x）=1+lnx，当，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当，h'（x）＞0，h（x）单调递增；所以==，故①成立！再证②：由（Ⅰ），当a=1时，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以f （x ）≥f （1）=e ﹣1＞0，故②成立！ 综上，0＜g （x ）＜1恒成立．【点评】本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•佛山二模）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：，曲线C 2：（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程； （Ⅱ）曲线C 3：（t 为参数，t ＞0，）分别交C 1，C 2于A ，B 两点，当α取何值时，取得最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH ：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x 2+y 2=ρ2，求曲线C 1，C 2的极坐标方程； （Ⅱ）===，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，x 2+y 2=ρ2，C 1的极坐标方程为，C 2的普通方程为x 2+（y ﹣1）2=1，即x 2+y 2﹣2y=0，对应极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅱ）曲线C 3的极坐标方程为θ=α（ρ＞0，）设A （ρ1，α），B （ρ2，α），则，ρ2=2sinα，所以===，又，，所以当，即时，取得最大值．【点评】本题考查三种方程的转化，考查极坐标方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•佛山二模）已知函数f （x ）=|x ﹣1|+|x +a |﹣x ﹣2． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）＞0的解集；（Ⅱ）设a ＞﹣1，且存在x 0∈[﹣a ，1），使得f （x 0）≤0，求a 的取值范围． 【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，不等式即|x ﹣1|+|x +1|﹣x ﹣2＞0，等价于或或，即可求不等式f （x ）＞0的解集；（Ⅱ）当x ∈[﹣a ，1）时，f （x ）=a ﹣x ﹣1，不等式f （x ）≤0可化为a ≤x +1，若存在x 0∈[﹣a ，1），使得f （x 0）≤0，即可求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式即|x ﹣1|+|x +1|﹣x ﹣2＞0，等价于或或解得x ≤﹣1或﹣1＜x ＜0或x ＞2，即不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．（Ⅱ）当x ∈[﹣a ，1）时，f （x ）=a ﹣x ﹣1，不等式f （x ）≤0可化为a ≤x +1， 若存在x 0∈[﹣a ，1），使得f （x 0）≤0，则a ＜2， 所以a 的取值范围为（﹣1，2）．【点评】本题考查不等式的解法，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。