广东省惠州市2007届高三第一次调研考试数学试题(理科卷)(200610)

2006—2007学年度高三第一次摸底考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 是虚数单位，复数ii -12等于（ ）A ．1 + iB ．1－iC ．－1 + iD ．－1－i 2．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的 表面积等于 （ ） A ．22+ B ．23+ C ．24+ D ．63．给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是 第一个数是1，第二数比第一个数大1， 第三个数比第二个数大2， 第四个数比第三个数大3，……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行 框②处应分别填入 （ ） A ．i ≤30?；p = p + i －1 B ．i ≤29?；p = p + i + 1 C ．i ≤31?；p = p + i D ．i ≤30?；p = p + i 4．由曲线y 2 = x 与y = x 2所围图形的面积为 （ ）A ．31 B ．32 C ．1D ．25．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x （千元）与居民人均消费水平y （千元）统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程y = 0.66x + 1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为 （ ）A ．83%B ．72%C ．67%D ．66% 6．函数f (x ) =－x 3 + x 2 +x －2的零点分布情况为（ ）A ．一个零点，在)31,(--∞内B ．二个零点，分别在)31,(--∞、),0(+∞内C ．三个零点，分别在)31,(--∞、)0,31(-、),1(+∞内D ．三个零点，分别在)31,(--∞、)1,0(、),1(+∞内7．在等差数列{a n }中，a 10 < 0，a 11 > 0，且a 11 >| a 10 |，若{a n }的前n 项和S n < 0，则n 的最大值是（ ）A ．17B ．18C ．19D ．208．将函数)2||,0()sin(πϕωϕω<>+=x y 的图象，向左平移3π个单位，所得曲线的一部分如图所示， 则ω、ϕ的值分别为 （ ） A ．1，3π B ．1，－3πC ．2，3πD ．2，－3π9．已知双曲线的两个焦点)0,5(1-F 、)0,5(2F ，P 为双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|= 2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．13222=-y xB ．12322=-y xC ．1422=-y xD ．1422=-y x 10．三棱锥P —ABC 中，底面△ABC 是边长为2的正三角形， PA ⊥底面ABC ，且PA = 2，则此三棱 锥外接球的半径为 （ ）A ．2B ．5C ．2D ．321 11．如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M （M 为常数），称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是 （ ）①x x f sin )(=②x x f lg )(=③xe xf =)(④⎪⎩⎪⎨⎧-<-=>=)1(1)0(0)0(1)(x x x x fA ．①B ．④C ．②③④D ．①③④12．甲、乙两人约定上午7:00至8:00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为7:20，7:40，8:00，如果他们约定，见车就乘，则甲、乙同乘一车的概率为（假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在7时到8时的任何时刻到达车站是等可能的）（ ）A ．21 B ．41 C ．31 D ．61第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在题中横线上.13．防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样法抽取.红星中学共有学生1600名，抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人. 14．已知n xx )21(3-展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和为 .15．如图，在直角坐标系xoy 中，O 是正△ABC 的中心， A 点的坐标为（0，2），动点P （x ，y ）是△ABC 内的点（包括 边界）.若目标函数z = ax + by 的最大值为2，且此时的最 优解(x ，y )确定的点P (x ，y )是线段AC 上的所有点，则目 标函数z = ax + by 的最小值为 . 16．给定下列结论：①已知命题p ：1tan ,=∈∃x R x ；命题q ：.01,2>+-∈∀x x R x则命题“q p ⌝∧”是假命题；②已知直线l 1：01:,0132=++=-+by x l y ax ，则l 1⊥l 2的充要条件是3-=ba； ③若31)sin(,21)sin(=-=+βαβα，则βαtan 5tan =； ④圆012422=+-++y x y x 与直线x y 21=相交，所得弦长为2.其中正确命题的序号为 （把你认为正确的命题序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）设函数n m x f ⋅=)(，其中向量R x x x n x m ∈==),2sin 3,(cos ),1,cos 2(.（Ⅰ）求f (x )的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知f (A ) =2，b = 1，△ABC 的面积为23，求C B c b sin sin ++的值.18．（本小题满分12分）某旅游公司为3个旅游团提供a ，b ，c ，d 四条线路，每个旅游团任选其中一条. （Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同线路的概率； （Ⅱ）求恰有2条线路没有被选择的概率；（Ⅲ）求选择a 线路旅游团数的分布列及数学期望.19．（本小题满分12分）设函数xx f )21()(=，数列{a n }满足)()2(1)1(),0(*1N n a f a f f a n n ∈--=+=（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）令1322121111,,)21(++++=+++==n n n n n an a a a a a a T b b b S b n ， 试比较n S 与n T 34的大小，并加以证明.20．（本小题满分12分）已知四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB = 90°，PA ⊥底面ABCD ，AB =2，2=AD ，DC = 1，PA = 4，与M 、N 分别为PB 、PD 的中点，平面CMN 交AP 于点Q .（Ⅰ）求平面CMN 与平面ABCD 所成二面角的大小； （Ⅱ）确定点Q 的位置.21．（本小题满分12分） 已知函数x x f ln )(= （Ⅰ）若)()()(R a xax f x F ∈+=，求)(x F 的极大值； （Ⅱ）若kx x f x G -=2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围.22．（本小题满分14分）已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）若椭圆的离心率为33，焦距为2，求线段AB 的长； （Ⅱ）若向量与向量互相垂直（其中O 为坐标原点），当椭圆的离心率 ]22,21[∈e 时，求椭圆的长轴长的最大值.山东省济宁市2006—2007学年度高三年级第一次摸底考试数学试题（理科）参考答案一、选择题：每小题5分，共60分.1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．A 7．C 8．D 9．C 10．D 11．D 12．C 二、填空题：每小题4分，共16分. 13．760 14．32115．－4 16．①③三、解答题：17．解：（Ⅰ）x x x f 2sin 3cos 2)(2+=⋅= 1)62s i n (212c o s 2s i n 3++=++=πx x x ……………………………………3分∴函数f (x )的最小正周期ππ==22T ………………………………………… 4分 令)(,2236222Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ，解得.326ππππk x k +≤≤+ ∴函数f (x )的单调递减区间是Z k k k ∈++],32,6[ππππ ……………………… 6分 （Ⅱ）由f (A ) = 2，得21)62sin(,21)62sin(2=+=++ππA A ，在△ABC 中，π<<A 0 ππππ26626+<+<∴A6562ππ=+∴A ，解得.3π=A …………………………………………………8分 又2323121sin 21=⨯⨯⨯==∆c A bc S ABC ，解得c = 2. △ABC 中，由余弦定理得：32121241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， ∴a = 3. …………………………………………………………………………10分由233sin sin sin ===A aC c B b ，得2sin sin ,sin 2,sin 2=++∴==CB cb Cc B b18．解：（Ⅰ）3 个旅游团选择3条不同线路的概率为.834333341==A C P ………………3分（Ⅱ）恰有2条线路没有被选择的概率为.169432223242=⋅=A C C P …………………6分 （Ⅲ）设选择a 线路的旅游团数为ξ，则3,2,1,0=ξ其中642743)1(642743)0(321333=⋅=====C P P ξξ .6414)3(64943)2(333323====⋅==C P C P ξξ ………………………… 10分 ∴ξ的分布列为：从而.4643642641640=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………………………… 12分 19．解：（Ⅰ）1)21()0()21()(01===∴=f a x f x又)2(1)(1n n a f a f --=+.)21()21(1)21(221+--==∴+n n n a a a ……………………………………………………2分21+=∴+n n a a 即 21=-+n n a a ∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 .122)1(1-=⨯-+=∴n n a n …………………………………………………… 4分（Ⅱ）12)21()21(-==n a n nb 41)21()21(12121==∴-++n n nn b b 即数列{b n }是首项为21，公比为41的等比数列 ])41(1[32411])41(1[2121n n n n b b b S -=--=+++=∴ ……………………………6分)12)(12(153131*********+-++⨯+⨯=+++=-n n a a a a a a T n n n)1211(21)]121121()5131()311[(21+-=+--++-+-=n n n )1211(3234+-=∴n T n ………………………………………………………………8分 故比较S n 与n T 34的大小，只需比较n )41(与121+n 的大小即可即只需比较2n + 1与4n 的大小 ………………………………………………………10分121331)31(41+>+≥+⋅+=+=∴n n C n n n故n n T S 34>（或用数学归纳法证明） …………………………………………… 12分 20．解：解法一：（Ⅰ）如图以A 为原点，AD ，AB ，AP所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A （0,0,0），)0,0,2(D ，B （0,2,0），)0,1,2(C ，P （0,0,4），M （0,1,2），N （2,0,22）…………2分 ∵PA ⊥面ABCD ，AP ∴为平面ABCD 的法向量，且)4,0,0(=设平面CMN 的法向量),,(z y x =)2,1,22()2,0,2(--=-= 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02222200z y x z x n CN CM 令z = 1得 1,2==y x )1,1,2(=∴n …………………………………………………………………………4分21244),cos(=⋅==n AP 60),(],180,0[),(=∴∈n AP n AP即二面角的大小为60° ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）设Q (0,0,a ) 则),1,2(a CQ --=由平面向量基本原理存在唯一实数对),(μλ使CN CM CQ μλ+= 即)2,1,22()2,0,2(),1,2(--+-=-μλa …………………………………… 9分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-=---=-∴3121:2212222a u a μλλμμλ解得 即Q （0，0，3） ∴Q 点在AP 上且分AP 的比为3：1 ………………………………………………12分 解法二：（Ⅰ）过N 作NG ⊥AD ，∵N 是PD 中点，∴G 为AD 中点连结BD ，则MN ∥BD ，∴MN ∥平面ABCD ，过C 用BD 的平行线l ，则MN ∥l ， 即平面CMN ∩平面ABCD = l过G 作CH ⊥l 交l 于H ，连结NH ，则∠NHG 为平面CMN 与平面ABCD所成二面角的平面角 …………………………………………………………………3分 设A C ∩BD = O ，容易证明AC ⊥BD333323332622=-=-==⋅=⋅=AO AC OC BD AB AD AO 332333321=+=+=∴OC AO CH 又221==PA NG 6033322tan =∠∴===∠∴NHG GH NG NHG 即平面CMN 与平面ABCD 所成二面角的大小为60°………………………………6分（Ⅱ）取PA 中点R ，连结MR ，DR ，∵MRAB 21∴MR CD ∴CM ∥DR ，…………………………………………………………………………9分 过N 作NQ ∥DR ，则Q 所求，且PA PQ 41=即Q 分AP 的比为3：1 ……………………………………………………………12分 （注：Ⅰ也可用面积射影定理求） 21．解：（Ⅰ）xax x a x f x F +=+=ln )()( 定义域为),0(+∞∈x 2ln )1()(x xa x F --=∴ ……………………………………………………………2分令ae x x F -=='10)(得 由aex x F -<<>'100)(得由ae x x F -><'10)(得 …………………………………………………………4分即),0()(1aex F -在上单调递增，在),(1+∞-a e 上单调递减a e x -=∴1时，F (x )取得极大值11)1(---=+-=a aa e eaa e F ……………………6分 （Ⅱ）kx x x G -=2)(ln )( 的定义域为(0+∞) k xxx G -='∴ln 2)( 由G (x )在定义域内单调递减知：0ln 2)(<-='k xxx G 在(0+∞)内恒成立 ………8分 令k x x x H -=ln 2)(，则2)ln 1(2)(x x x H -=' 由e x x H =='得0)(∵当),0(e x ∈时)(,0)(x H x H >'为增函数当),(+∞∈e x 时0)(<'x H )(x H 为减函数 ……………………………………10分 ∴当x = e 时，H (x )取最大值k ee H -=2)( 故只需02<-k e 恒成立，e k 2>∴ 又当e k 2=时，只有一点x = e 使得0)()(=='x H x G 不影响其单调性.2ek ≥∴ ………………………………………………………………………………12分22．解：（Ⅰ）33,22,33===a c c e 即 2,322=-==∴c ab a 则 ∴椭圆的方程为12322=+y x …………………………………………………………2分 联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==+112322x y y x 消去y 得：03652=--x x 设),(),,(2211y x B y x A 则53,562121-==+x x x x 2122122212214)(])1(1[)()(||x x x x y y x x AB -+-+=-+-=∴538512)56(22=+= ……………………………………………………………6分 （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A⊥ 0=⋅∴，即02121=+y y x x由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+112222x y b y a x 消去y 得0)1(2)(223222=-+-+b a x a x b a由0)1)((4)2(222222>-+=-=∆b b a a a 整理得122>+b a ……………8分 又22222122221)1(2ba b a x x b a a x x +-=+=+ 1)()1)(1(21212121++-=+-+-=∴x x x x x x y y由02121=+y y x x 得：01)(22121=++-x x x x012)1(22222222=++-+-∴ba ab a b a 整理得：022222=-+b a b a ……………………………………………………10分 222222e a a c a b -=-=∴代入上式得221112e a -+= )111(2122e a -+=∴ …………………………………………12分 2221≤≤e21412≤≤∴e 431212≤-≤∴e 211342≤-≤∴e 3111372≤-+≤∴e 23672≤≤∴a 适合条件122>+b a 由此得26642≤≤a 62342≤≤∴a 故长轴长的最大值为6 …………………………………………………………… 14分。

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-（2）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= （5）设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．25C ．35 D ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） AB ．2C．D ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件AB 1B1A1D1C CD（10）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ）A ．4B ．C ．D ．8（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． （13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）（14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． （18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η． （19）（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB =（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（20）（本小题满分12分） 设函数()e e x xf x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． （22）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D（2）B（3）A（4）A（5）C（6）C（7）D（8）D（9）B（10）D（11）C（12）A二、填空题：（13）36 （14）3()xx ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+<⎪⎝⎭．3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设ADBC ∥， 故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =AO =1SO =，SD =．SAB △的面积211122S ABSA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =，解得h =设SD与平面SAB 所成角为α，则sin 11h SD α===． 所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为arcsin 11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AOOB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C -，，(001)S ，，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D，(DS =．22cos 11OG DS OG DSα==，sin 11β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin ． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e xxf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x xg x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x xg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2a x +=，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明： （Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+22212221221)(1)()432k BD x x kx x x x k +⎡=-=++-=⎣+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-， 所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+ 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． （22）解： （Ⅰ）由题设：11)(2)n n aa +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +=．所以，数列{n a 是首项为21的等比数列，1)n n a ，即n a的通项公式为1)1n n a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2<，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤，也即430k k b a -<．当1n k =+时，13423k k k b b b ++-=-+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+ 所以1(323k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。

惠州市2007届高考调研(一)数学试卷分析(文科)11．导数知识欠缺,不知利用导数求曲线在某点处斜率,或者即使求出导数,也不知代坐标求斜率．平均分1.49，难度系数0.298．12．求解中不注意审题,忽略条件中”正实数”的要求．平均分2.04，难度系数0.408． 13．关于空间几何命题判断,空间想象能力不够．平均分3.255，难度系数0.651．14．关于选做题,不注意填写所选题号,有时题目虽然解题正确,但无序号表题,故不能得分．平均分1.98，难度系数0.396．总之,对于填空题不够规范,例如,直线方程不化简,填写时不注意要求．填空题平均分8.765，难度系数0.43825．15．数列：平均分2.5，难度系数0.2083．⑴．大部分同学只做了第⑴小题，第⑵小题不会做或没有做对．平均分估计为6分． ⑵．知道公式1(1)2n n n s na d -=+，但运算错了的同学有一部分． ⑶．已知公式2(1)n b n n =+时，不会裂项求和，而是用数学归纳法证明122n b b b +++<（证明是错误的）．16．平均分3.4，难度系数0.2833．本题考查概率(古典概率)属于常规容易题,相当大部分学生对基础知识,基本概率掌握不牢误解题意,抛掷两枚骰子得到的情形作答成为21种,出现了倍数的情形．作答为7种,另一部分学生混乱,表达混乱,再有一部分无解答步骤,所以整体得分率较低．17．(三角函数) 平均分5.7，难度系数0.4071．该题考查了三角函数的二倍角公式,正(余)弦函数的和(差)角公式的应用,特殊角的三角函数值,三角函数的周期性,以及简单的三角方程等知道,属中等偏易的基础题,特别是与向量的解决是本题的另一亮点．从学生答题抽样情况看,主要存在以下问题：⑴．对二倍角公式不熟悉,特别是二倍角公式的常用．⑵．对特殊角的三角函数值记忆不准确,如sin63ππ==．⑶．该题解题方法较多,特别是第(1)问：可化为cos cos )0x x x +=,同学们直接两边除以cos x 而无解,说明思维的严密性不够．⑷．个别学生对向量的垂直与平行的关系容易混淆,导致起步失分．⑸．对单调区间的求法,大多数同学是用整体代换的思想去求解,问题出现在不会解不等式,因此,同学们对于综合科知识还较欠缺．㈠．值得商榷的地方：文科学生,对形如sin(2)3x π+= ㈡．备考建议：①．加强基础知识的教学．②．关注学生的学习,找到适合学生的学习方法及教法,真正为学生服务,自己的教法尽量适合学生．③．注意学科知识内部的整合,特别是学科知识的交汇点处例题,将是高考命题的方向． 18题(立几) 平均分4.9，难度系数0.35．① 从试题本身而言,前两问相对而言比较基础简单,而第三问就感觉有点超出学生的能力范围,不常规．② 从得分情况来看,估计平均分大概在4—6分左右,大多数同学得分0分,只有少部分同学得满分．③ 从学生答题情况来看,主要存在以下几个问题：⑴很多学生都认为FM AD 或FM AB⑵不会做辅助线⑶知识点,概念,定理含糊不清， 在做第2问时,很多学生都是认为1FM BD ⊥,就可以推出11FM DD B ⊥面B ,有的同学干脆就是东拉西扯一点边都没沾上．在做第3问时,很多学生的答案是45°,但并不是题目所要求的二面角,学生几乎都把1BD 与平面ABCD 所成的线面角当成了二面角．⑷书写不规范,推理论证的依据不充分．⑸也有相当一部分学生采用向量法,但是建立不正确． ④ 答题方法而言有以下几种：(二面角) ⑴定义法 ⑵射影法 ⑶向量法⑤ 启示：要加强学生基础知识,要培养学生的空间感书写,论证更要加强,明确方法,尤其常用方法．19题分析：平均分3.3，难度系数0.275．本题考查三次函数,利用求导解决极值,单调性,方程根的问题,难度适当,学生解答情况,中等水平学生都能解决第1问的解,尖子生第二问基本能解决,得分率平均3分左右． 20题分析：平均分0.1，难度系数0.00715．该题为解析几何题，经批改后,总结如下：该题得分较低,分数得0—2分,小部分得7—9分,很少得满分． ①常见错误： 第一问：1．第一问没有使用A,B 为抛物线上的点推出12,,x x m σ与的关系,只用“AB PB λ=”推导证明．2．第1问中,由“AB PB λ=”推出“APPBλ=”对向量运算概念不清． 3． 第1问中,欲证“()QP QA QB λ⊥-”即证“()1QP QA OB λ⋅-=-”将“向量垂直的积为0”与“两直线垂直,斜率相乘为-1”混淆．4． 第一问中,对γ取特殊值,来证明．5． 第一问运算量较大,大部分学生运算过程混乱,或是为得出所需结论,跳过关键运算步骤．第一部错误暴露原因小结：运算能力的薄弱,对向量相关的基础知识点理解不清晰． 第二问：1． 受第一问运算的影响,第二问动笔的不多．2． 第二问分数只算出交点的坐标,但会有因y 将(4,4)-舍掉． 3． 第二问最多的错误是将AB 作为所求圆的直径来计算． 4． 第二问同样暴露了运算能力的问题． ② 其它解法问题：第一问： 211(,)4x A x 222(,)4x B x ，由1212()44x x AP PB x x m m λλλ-=⎧⎪=⇒⎨-=-⎪⎩ ② 2212(,()44x xQA QB x x m m λλλ-=-+-+ ③ 将②③结合得,12(,0)QA QB x x λλ-=-()0()QP QA QB QP QA QB λλ∴-=⇒⊥-第二问：① 求出切线斜率,结合A 点点坐标,求得过A 点与切线垂直的直线方程． ② 求出AB 的中垂线方程．结合①②求得交点即为所求圆的圆心, 即得圆的方程．总之:文科试题题型合理,知识覆盖率90%以上,试题很有梯度,区分度高,基础题占试卷的110左右,难度题为选择题第10题,5分,解答题第18题第3问,4分,第19题第2问,8分,第20题,14分．试题适合新课标要求．平均分59.2，难度系数0.395，试题偏难，调研二要吸取教训． 今后解题注意：① 计算量降低, ② 有关内容考查难度过大,如二面角计算,解析几何等． 学生解答情况见阅卷组的分析．惠州市2007届高考调研(一)数学试卷分析(理科)9．读程序,新增内容,对于条件的满足很多同学理解错误,导致答错．平均分3.4425，难度系数0.6885．10．关于几何概型问题,很多同学对于基本有利事件有误,或者计算出错,分数化小数取余出错．平均分3.985，难度系数0.797．11．关于定积分问题,部分学校未讲究选修,这部分内容未学,以致此题得分不高．平均分3.55，难度系数0.71．12．题目的理解不正确,很多读不懂题,得分率偏低．平均分0.565，难度系数0.113． 13．关于命题正确选择,答题不全面．平均分2.073，难度系数0.4145．14．此题为“三选一”,很多同学三题全做,结果后两题虽正确,但因为第一题错误不能得分,因此．此题丢分较亏．平均分2.455，难度系数0.491．总之，理科选择题得分大多的是10~~15分之间,失分较多． 理科15题：平均分9.2675，难度系数0.7723．本题考察三角函数的化简和求值,从试卷反映情况来看,,绝对部分学生对常用公式(两倍角的正切,余弦及和角公式)掌握得较好,大部分学生都注意了角的范围对函数的影响,知道应该取舍,出现的主要问题是学生运算能力差,有不少同学解错简单的方程及简单的乘除运算错,还有些化简的手法不太简明,总体来说,学生对这部分内容掌握得还好． 理科16题分析：平均分5.79，难度系数0.4825．本题考查概率知识,较好地体现了新课程的阅读理解能力的要求，但文字传述及图表冗长,学生对本类型题目缺乏心理素质来应对,大约13以上的学生全部空白,少数学生做得较好,但也存在表达不规范的问题,希望在以后的教学中加强学生对文字题的理解(应用题)的解题教学和应对心理训练及表达训练!理科17题：平均分5.145，难度系数0.3675．与文科15题基本类似．但理科前面比文科多了一些运算要求：求1,a d ，所以有少数同学算不出1,a d ．建议：在提倡简便方法解数列问题的同时，要加强计算1,a d 的基本方法（解方程组）的训练． 18题 (立几)评价：平均分9.1175，难度系数0.65125．一. 试题情况：试题不错,是一道比较常规的题目,能够考察学生空间概念及数量关系,立体几何的几个重要方法都可在题目中体现,题目难度也适中． 二. 学生答题情况：① 第一问答对的可能是3成左右,大部分同学推理不严密,不知道用勾股定理,还有约2成的同学默认,AO BCD ⊥平面而建立空间直角坐标系．② 第二问做到cos cos 44OBM OBM ∠=∠=的约有65﹪,但能得出正确结果的约45﹪．③ 第3问做对的约3成,很多同学建立坐标用法向量,但是或是坐标写错或算错数,方法很多同学都会,但得到正确结果的没有一半． 三. 启示：① 明确方法：立几是难度不太的题,只要明确几类常用方法,一般的学生都能做． ② 加强运算的准确性,要是算错数了,得分会很低． 19题答题分析：平均分1.365，难度系数0.0975．该题为解析几何题,经批改后,总结如下：① 该题得分较低,分数得0—2分,小部分得7—9分,很少得满分．② 常见错误：第一问： 1． 第一问没有使用A,B 为抛物线上的点推出12,,x x m σ与的关系,只用“AB PB λ=” 推导证明．2． 第1问中,由“AB PB λ=”推出“APPBλ=”对向量运算概念不清． 3． 第1问中,欲证“()QP QA QB λ⊥-”即证“()1QP QA OB λ⋅-=-”将“向量垂直的积为0”与“两直线垂直,斜率相乘为-1”混淆．4． 第一问中,对γ取特殊值,来证明．5． 第一问运算量较大,大部分学生运算过程混乱,或是为得出所需结论,跳过关键运算步骤．第一部错误暴露原因小结：运算能力的薄弱,对向量相关的基础知识点理解不清晰．第二问： 1． 受第一问运算的影响,第二问动笔的不多．2． 第二问分数只算出交点的坐标,但会有因y 将(4,4)-舍掉． 3． 第二问最多的错误是将AB 作为所求圆的直径来计算． 4． 第二问同样暴露了运算能力的问题． ③ 其它解法问题：第一问： 211(,)4x A x 222(,)4x B x ，由1212()44x x x x m m AP PB λλλ-=-=-⎧=⇒⎨⎩ ②2212(,()44x xQA QB x x m m λλλ-=-+-+ ③ 将②③结合得,12(,0)QA QB x x λλ-=-()0()QP QA QB QP QA QB λλ∴-=⇒⊥-第二问：③ 求出切线斜率,结合A 点点坐标,求得过A 点与切线垂直的直线方程． ④ 求出AB 的中垂线方程．结合①②求得交点即为所求圆的圆心, 即得圆的方程． 理科20题试题分析：平均分0.185，难度系数0.0132． 本题得分率较低,主要原因有以下几点：① 前19题的计算量较大,大部分学生没有时间做20题．② 20题第一问需用反证法,虽然一部分学生知道用反证法,但相当一部分学生不知道反证法的步骤,证明过程不够严谨,传述不规范．③20题第二问需要对所证不等式变形,考察相应函数的单调性,同时需用到导数的性质,但学生在这方面的能力较弱．④20题第二问主要考察导数,函数与不等式的综合应用,能力要求较高．总之：数学理科试卷，有不少题具有新意，个别题目是原创题．有一定的梯度和区分度．由于第一轮复习没有结束，各学校复习进度也不一样，很自然较难考出好成绩．平均分65.7，难度系数0.438，试题偏难，调研二要吸取教训．各分数段分析：可以看出：要提高理科数学平均成绩必须抓好41~66分这一群体学生的成绩，要提高文科数学平均成绩必须抓好30~84分这一群体学生的成绩，怎么抓?首先，我们要分析文、理科学生数学能力的差异；其次，我们要研究对策．文、理科学生数学能力的差异是显著的．在数学上，理科学生更善于反思，能主动寻找新旧知识的联系，通过新知识的学习深化对旧知识的理解，从而有意识地整合知识，提高解题的能力，增强学好数学的自信心，激发内心对数学美的欣赏，进一步提高数学成绩来证实自己的能力，形成良好的循环．而文科学生缺乏反思的意识，不能行之有效地自我控制学习的内容，不会主动寻找已学的有关知识来理解新内容、解决新问题，更缺乏对数学美的欣赏．思维方式的差异：文理学生在对待同一问题时，由于他们所持的态度和采取的行为方式有较大的差异，文科学生更倾向于借助形象思维分析问题，理科学生更倾向于进行抽象思维的逻辑思考，理科学生观察数学问题常常是全方位和多角度的，文科学生往往是局部、孤立的．理科学生往往能够通过多个不同角度对题中的数、形、结构等方面的特征进行审查和对比联想，并尝试移植方法，使问题熟悉化、简单化，而文科学生往往只停留在“认知”阶段，或虽有深入，但也不善于分解转化问题．理科中的优秀学生观察事物经常具有“动中窥静，静中思动”的良好观察品质，他们能利用运动和静止的辨证关系来观察、分析和处理数学问题，使解题左右逢源，得心应手，游刃有余．数学思维能力的差异：在数学抽象概括能力方面，文理科学生有较大的差异，理科学生在收集数学材料所提供的信息时，能迅速地完成抽象概括的任务，同时具有概括的欲望，乐意地、积极主动地进行概括工作，文科学生的概括能力较差，积极性也不高，在数学推理能力方面，理科学生在逻辑推理方面有较大的优势，而文科学生更乐于直觉推理．在选择判断能力方面，理科学生在判断选择中较少受表面非本质因素的干扰，判断的准确率较高，判断迅速，对做出的判断具有清晰的认识，能区分逻辑判断和直觉猜测，他们具有明显的追求最合理的解法，探究最清晰、最简单同时也是最“优美”的解法的心理倾向；而文科学生则更注重的题型的记忆．在数学探索能力方面，理科学生表现出来的灵活性，对数学问题的监控能力及思维过程中的自我意识，提出问题，大胆猜测等能力，都明显地好于文科学生．造成这些差异的原因是多方面的，这里不一一分析．有什么对策呢？1．序渐进，加强学法指导：①．帮助学生提高听课效率：做到精力高度集中②．做好复习和总结：③．科学训练：2．正视差异，因材施教：3．要重视“读（阅读、理解）、写（书写表达）、算（心算、口算、数字计算、字母运算）、记（记忆）、练（规范练习）”能力的提高．我们在课堂教学的过程中，要时刻关注培养学生什么能力？通过什么途径来培养这些能力？教学语言要注意些什么？怎样通过语言的表现力、感染力来凝聚学生的思维能力？谢谢大家！。

绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅.用最小二乘法求线性回归方程系数公式 1221,ni i i ni i x y n x ybay b x x n x==-==--∑∑. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. 1.已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=⋂N MA.{}1x x >-B.{}1x x <C.{}11x x -<<D.φ2.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数）则b ＝A.2B.21 C.21-D.2-3.若函数21()s in (),()2f x x x R f x =-∈则是A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π的偶函数4.客车从甲地以60 km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是A B C D5.已知数|a n |的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<,则k =A. 9B. 8C. 7D. 66.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A. i<6B. i<7C. i<8D. i<97.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为A. 15B. 16C. 17D. 188.设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的,a b S ∈，对于有序元素对(,)a b ,在S 中有唯一确定的元素a ﹡b 与之对应）.若对任意的,a b S ∈,有a﹡(b ﹡)a b =,则对任意的,a b S ∈,下列等式中不．恒成立的是 A. (a ﹡b )﹡a a = B. [a ﹡(b ﹡)a ]﹡(a ﹡b )a =C. b ﹡(b ﹡b )b =D. (a ﹡b )﹡[b ﹡(a ﹡b )b =二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）10.若向量,a b满足1,a b a == 与b 的夹角为120°，则a a a b ⋅+⋅= .11.在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线22 (0)y p x p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 .12.如果一个凸多面体n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有)(n f 对异面直线，则)4(f ＝ 图4 ; )(n f ＝ .（答案用数字或n 的解析式表示）13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=+⎧⎨=-⎩，(参数t R ∈),圆C 的参数方程为2c o s 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(参数[]02θπ∈，)，则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 .14.（不等式选讲选做题）设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .15.（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O 的直径6=AB ，C为圆周上一点，3=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝ ，线段AE 的长为 .图5三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、.（1）若5=c ，求sin ∠A 的值;（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围. 17.(本题满分12分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =ax b +;（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5） 18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系x O y 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O .椭圆9222yax +＝1与圆C 的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.（1）求圆C 的方程.（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 19.（本小题满分14分）如图6所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点E 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记B E x = V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积. （1）求V (x )的表达式；（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？(3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值 20.（本小题满分14分）已知a 是实数，函数2()223.f x a x x a =+--如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围. 21.（本小题满分14分）已知函数2()1, f x x x αβ=+-、是方程()0f x =的两个根()αβ>,()f x '是()f x 的导数.设11()1,(1,2,)()n n n n f a a a a n f a +==-=' ,(1)求αβ、的值；(2)证明：对任意的正整数n ，都有n a α>;(3)记ln (1,2,)n n n a b n a βα-==- ,求数列{}n b 的前n 项和n S .参考答案一. CADBB CBA 二. 9.1910.1211. 54x =-12.22n n + ,12 ,(1)(2)2n n n --13. (0,2), 14. 6, [1, 1]- 15. 30, 3三.解答题16.(1)解:A C =设AC 中点为M,则c o s s in 55A M A A A B===(2)解:(3,4),(3,4)A C c A B =--=--,若A ∠是钝角,则253(3)1603A C AB c c ⋅=--+<∴> . 17. 解: (1) 散点图略(2) 4166.5i i i X Y ==∑ 4222221345686i i X ==+++=∑ 4.5X = 3.5Y =266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b -⨯⨯-===-⨯- ; ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y b X =-=-⨯= 所求的回归方程为 0.70.35y x =+(3) 100x =, 1000.70.3570.35y =⨯+=吨,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=(吨) 18. 解:(1) 设圆C 的圆心为 (,)m n则,0,0m n m n =-⎧⎪<>⎪= 解得22m n =-⎧⎨=⎩所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-=(2) 由已知可得 210a = 5a = 椭圆的方程为221259xy+= , 右焦点为 (4,0)F .设存在点(,)Q x y C ∈满足条件,则2222(2)(2)8(4)16x y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩解得412(,)55Q故存在符合要求的点412(,)55Q .19.解: (1)11) (032V x x x =-⋅<<即336V x =-(0x <<;(2)226)1212V xx '=-=-,(0,6)x ∴∈时,0;V '>(6,x ∴∈时,0;V '<6x ∴=时()V x 取得最大值.(3)以E 为空间坐标原点,直线EF 为x 轴,直线EB 为y 轴,直线EP 为z 轴建立空间直角坐标系,则(0,60),(3,60),(3,0)A C A C --=;(0,0,6)6,0,0)(6,0,6)P F P F ∴=- ,设异面直线AC 与PF 夹角是θ1c o s 7θ∴==20.解:若0a =,则()23f x x =-有唯一零点为3[1,1]2∉-,故0a =不符合要求;由2()2230f x a x x a =+--=2232(21)32(21)x a x x a x -∴-=-∴=-, [1,1]x ∈-且2x ≠±.由2222(261)(21)xx x a x -+'=-当22610x x -+=时,13[1,1],2x -=∈-2312x +=>,当1[1,(,)22x x ∈---时,0a '>,a 在两个区间上分别递增;当1(,),(22x x ∈时, 0a '<,a 在两个区间上分别递减;A由1x =-时,5,a =1x =时,1a =,12x =时,2a =-3(,[1,)2a +∴∈-∞-+∞分析如图:解法二: 若0a = , ()23f x x =- ,显然在上没有 零点, 所以 0a ≠令 ()248382440a a a a ∆=++=++=得2a =当32a --=时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;当 ()()()()11150f f a a -⋅=--≤即 15a << 时, ()y f x =也恰有一个零点在[]1,1-上;当 ()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩ 解得5a ≥或32a --<因此a 的取值范围是2a ≤或 ; 1a ≥21解:(1) 由 210x x +-=得12x -±=12α-+∴=12β--=(2)(数学归纳法)①当1n =时,112a =>命题成立;②假设当*(1,)n k k k N =≥∈时命题成立,即2k a >21511118221212222k k k k k a a a a a α+++∴==+-≥⋅=++,又等号成立时2k a =2k a ∴>时,1k a β+>1n k ∴=+时命题成立;由①②知对任意*n N ∈均有n a α>.(3) ()21f x x '=+ 221112121n n n n n n n a a a a a a a ++-+∴=-=++1n a β+∴-=22221()(1)()212121n n n n n n a a a a a a βββββ+--+---==+++同理 1n a α+∴-=2()21n n a a α-+21111()ln2lnn n n n n n n n a a a a a a a a ββββαααα++++----∴=∴=----∴ 12n n b b += 又111lnln4ln2a b a βα-===- ∴数列{}n b 是一个首项为4ln2公比为2的等比数列;∴()()14ln122421ln122nnn S +-==--。

2007年广东卷数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分 1．已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N =（ ） A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2B ．12C ．12-D ．2-3．若函数21()sin ()2f x x x =-∈R ，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数4．客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是（ ）5．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1210A A A ，，，（如2A 表示身高（单位：cm ）在[)150155，内的学生人数）．s s ss图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ） Ａ．6i < Ｂ．7i < Ｃ．8i <7．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A B C D ，，，四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A B C D ，，，四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为（ ） Ａ．15Ｂ．16Ｃ．17Ｄ．188．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b =D ．()[()]****a b b a b b =二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装图3 图1 图2身高/cm有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为 ．（答案用分数表示） 10．若向量，a b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为120，则a a +a b = ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点(21)A ，，若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 ．12．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条，这些直线中共有()f n 对异面直线，则(4)f = ；()f n = ．（答案用数字或n 的解析式表示） 13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)02θ∈π，），则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 ．14．（不等式选讲选做题）设函数()213f x x x =-++，则(2)f -= ；若()5f x ≤，则x 的取值范围是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D E ，，则DAC =∠ ，线段AE 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（12分）已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．（1）若5c =，求sin A ∠的值；（2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围． 17．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa=+； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=）图5图418．（14分）在平面直角坐标系xOy ，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x=相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． （1）求圆C 的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（14分）如图6所示，等腰ABC △的底边AB =高3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF△的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P-（1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF20．（14分）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 取值范围．21．（14分）已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='，，． （1）求αβ，的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>； （3）记ln (12)n n n a b n a βα-==-，，，求数列{}n b 的前n 项和n S ．图6AB2007年（广东卷）数学（理科B ）参考答案一．选择题 CDDC BBCA 1．101110x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩故选（C ）2．(1)(2)(2)(21)bi i b b i ++=-++为纯虚数2b ⇒=，故选（D ）3．22111()sin (12sin )cos 2222f x x x x =-=--=- 故选（D ） 4．60(01)60(1 1.5)80( 1.5)60(1.5 2.5)t t s t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩，故选（C ）5．182(5)6n n n a s s n a -=-=-⇒=，k=8，（或5＜2k －10＜8）故选（B ） 6．计算4567A A A A +++，由算法框图知，8i < 故选（B ） 7．A D →11件，B C →4件，B A →1件，共16件，故选（C ） 8．()a b a b **=∴当a b =时()b b b b **=，又[()]()()a b a a b b a b a ****=**=；()[()]()a b b a b a b a b ****=**=，故选（A ） 二．填空题9．411()()()669P AB P A P B ==⋅= 10．2cos12012⋅+⋅+=a ab a a a b = 11．线段OA 的垂直平分线方程为152(1)(,0)24y x F -=--⇒⇒准线方程54x =-12．21(1)2n n n C ++=；12；21(1)(2)2n n n n n C ---⋅=13．参数方程化普通方程得直线方程为60x y +-=，圆的方程为22(2)4x y +-= 因此圆心为(0,2)，圆心到直线的距离为d ==14．41(2)236f ---=-+=；21()5211x f x x x -≤⇒≤-⇒-≤≤三．解答题16．（1）当5c =时，5,5,cos sin AB BC AC A A ===∠=⇒∠=（2）AC BC c ==,A 为钝角222AB AC AB +<⇒2225(3)16c c +-+<253c ∴>17．（1）（略）（2）97,22x y ==，4166.5i i i x y ==∑，42186i i x ==∑，414221466.5630.786814i ii i i x y x yb x x==--===--∑∑0.35a y bx =-=，故现线性回归方程为0.70.35y x =+（3）当100x =时，70.35y =，9070.3519.65-=，故预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨标准煤。

广东省惠州市2007届高三第一次调研考试数学试题(理科卷)(2006.10)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题（每小题5分，共40分）1、化简=+-ii13 A ．i 21- B. i 21+ C. i +2 D. i -22、命题：“设b a bc ac R c b a >>∈则若22,,,”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 A ．0 B. 1 C. 2 D. 33、幂函数①1-=x y 及直线②x y =③1=y ④1=x将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），那么幂函 数23-=xy 的图象在第一象限中经过的“卦限”是A Ⅳ ⅦB Ⅳ ⅧC Ⅲ ⅧD Ⅲ Ⅶ4、某次考试，班长算出了全班40人数学成绩的 平均分为M ，如果把M N ，那么M ：N 为A 4140B 4041 C 2 D 15、函数),52sin(2)(ππ+=x x f 若对任意R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值为A 4B 2C 1D 216、等比数列{}n a 前n 项的积为T n ，若1863a a a 是一个确定的常数,那么数列25171310,,,T T T T ,中也是常数项的是 A 10T B 13T C 17T D 25T7、从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、香港、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只能游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 A 240种 B 300种 C 144种 D 96种8、设奇函数]1,1[)(-在x f 上是增函数，且,1)1(-=-f 若函数12)(2+-≤at t x f 对所有的[]1,1-∈x 都成立，则当[]1,1-∈a 时，t 的取值范围是A 22≤≤-tB 202≥=-≤t t t 或或C 2121≤≤-tD 21021≥=-≤t t t 或或第Ⅱ卷(填空题、解答题共110分)二、填空题（每小题5分，共910、如图在边长为25cm 为23cm 是11.=-⎰dx x x )32(2212、我们知道：“过圆心为O 的圆外一点P 作它的两条切线 P A 、PB ，其中A 、B 为切点， 则POB POA ∠=∠.”这个性 质可以推广到所有圆锥曲线，请你写出其中一个： （注意：不要求证明结论的正确性）13．关于二项式2006)1(-x ,有下列三个命题：①该二项式展开式中非常数项的系数和是1-；②该二项式展开式中第10项是1996102006xC ；③当2006=x 时，2006)1(-x 除以2006的余数是1，其中正确的命题序号是(把你认为正确的序号都填上) 14、（本小题有三个小题供选作，考生只能在①、②、③题中选做一题！多做不给分！） ①圆C ：{θθcos 1sin +==x y （θ为参数）的普通方程为 ，设O 为坐标原点，点M ),(00y x 在C 上运动，点P ),(y x 是线段OM 的中点，则点P 的轨迹方程为②、若BE 、CF 是△ABC 的高，且BCEF S S 四边形=ABC △，则A ∠= ③、已知,143,,=+∈b a R b a 则22b a +的最小值为 三、解答题（6个小题，共80分）15．（本题满分12分）已知πθπθ22,222tan <<-=.⑴求θtan 的值； ⑵求)4sin(21sin 2cos 22πθθθ+--的值.16．（本题满分12分）月饼是一种时间性很强的商品，若在中秋节前出售，每盒月饼将获利5元，若到中秋节还没能及时售完，中秋节之后只能降价出售，每盒将亏损3元，根据市场调查，销量（百盒）的概率分布如下：.(1)设订购量为x 百盒时,获利额为y 元,下表表示与x 对应的y 的分布列，请在空格处填入适当的y 的值，并计算相应的获利期望值Ey ;第10题图17．（本题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21),(,133*=∈=b a N n S b n n 且，2153=+S S （1） 求数列{}n b 的通项公式； （2） 求证：221<+++n b b b18．（本题满分14分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、中点，2====BD CD CB CA ，2==AD AB .⑴求证：BCD AO 平面⊥⑵求异面直线CD AB 与所成角的余弦值； ⑶求点E 到平面ACD 的距离.19．（本题满分14分）如图过抛物线y x 42=的对称轴上任一点)(,0(m m p 作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.⑴设点P 满足),1,(-≠=λλλ为实数 证明：);(λ-⊥⑵设直线的方程是AB 0122=+-y x ， 过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.20.(本题满分14分)已知函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<'<x f ，常数α为方程x x f =)(的实数根.⑴若函数)(x f 的定义域为I ，对任意[][],,,,0b a x I b a ∈⊆存在使等式)()()()(0x f a b a f b f '-=-成立, 求证: 方程x x f =)(不存在异于a 的实数根⑵求证：当;)(,成立总有时x x f a x <>⑶对任意1x ，2x ，若满足2)()(,1,12121<-<-<-x f x f a x a x 求证EB惠州市2007届高三第一次调研考试 数学试题(理科卷)(2006.10) 参考答案9、729 10、62596 11、3412、过抛物线)0(22>=p py x 外一点P 作抛物线的两条切线PA 、PB （A 、B 为切点），若F 为抛物线的焦点，则PFB PFA ∠=∠（如果学生写出的是椭圆或双曲线，只要正确就给满分）13、①③14、①14)12(,1)1(2222=+-=+-y x y x ② 90° ③ 251三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15、(1)由22tan -=θ解得22tan -=θ或2tan =θ 3分 22tan ,2,22-=∴<<∴<<θπθππθπ 7分 (2)原式=223)22(1)22(1tan 1tan 1cos sin 1sin cos 1+=-+--=+-=+--+θθθθθθ 12分 16、（（2）由上表可见：预订400盒月饼时获利的数学期望Ey 最大，因此最合理 17、(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由33332,21S a b a ==得 2分 即d a d a 334211+=+，得d a =1 4分1:,21138,,211153===+=+d a d a S S 解得得又 6分所以)1(2,11+==-+=n n b n n a n n 8分(2))111(2)1(2+-=+=n n n n b n 10分得2)111(221<+-=+++n b b b n 14分 18 (1)证明略 5分 (2) 异面直线CD AB 与所成角的余弦值为4211分 (3) 求点E 到平面ACD 的距离为72114分19解：（1）直线AB 的斜率存在可设直线AB 的方程为m kx y +=代入抛物线并化简得0442=--m kx x 2分设A 、B 两点的坐标分别是A （),11y x ),(22y x B 则21,x x 是方程0442=--m kx x 的两根,所以m x x 421-= 3分由点P 满足),1,(-≠=λλλ为实数得2121,01x xx x -==++λλλ即点Q 是点P 关于原点的对称点,故点)2,0(),,0(m m Q =-从而的坐标是))1(,(),(),(21212211m y y x x m y x m y x λλλλλ-+--=+-+=-)(λ-⊥])1([221m y y m λλ-+-=])1(44[221222121m x x x x x x m ++⋅+=2212144)(2x mx x x x m +⋅+=0444)(2221=+-⋅+=x mm x x m 6分所以)(λ-⊥ 7分 (2)由⎩⎨⎧==+-yx y x 401222得点A,B 的坐标分别是(6,9)、)4,4(- 由y x 42=得x y x y 21,412='=所以，抛物线在点A 处切线的斜率为3|6='=x y 9分设圆C 的方程是222)()(r b y a x =-+-则⎪⎩⎪⎨⎧-++=-+--=--2222)4()4()9()6(3169b a b a a b 11分解得：223,23=-=b a 2125)4()4(222=-++=b a r 13分所以,圆C 的方程是2125)223()23(22=-++y x 14分 20、(1)用反证法，设方程x x f =)(有异于α的实根β,即αβββ>=不妨设,)(f ,则)()(αβαβf f -=-,在α与β之间必存在一点c ，αβ>>c由题意等式)()()()(c f f f '-=-=-αβαβαβ成立， 3分因为βα≠所以必有1)(='c f ，但这与1)(0<'<c f 矛盾因此，若β也是方程x x f =)(的根，则必有αβ=,即方程x x f =)(不存在异于α的实数根. 6分(2)令)()(x f x x h -= 7分0)(1)(>'-='x f x h )(x h ∴为增函数 8分又)(,0)(,,0)()(x f x x h x f a h >>>∴=-=即时当ααα 9分 (3)不妨设)()(,)(,1)(0,2121x f x f x f x f x x ≤∴<'<≤即为增函数 10分x x f x f -∴<-')(,01)(函数又 为减函数 11分12122211)()(0,)()(x x x f x f x x f x x f -≤-≤∴-≥-即 12分即2||||||.|||)()(|12121212<-+-≤--≤-ααx x x x x x x f x f ,2|)()(|21<-∴x f x f 14分。

绝密★启用前2007年普通高等艺术招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.用最小工乘法求线性回归方程系数公式x b y a x n i x yx n xiyi ni ni -=--=∑∑==,2121ξ.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. 1.已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=⋂N MA.{}1 x xB.{}1 x xC.{}11 x x -D.φ2.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数）则b ＝ A.2 B.21C.21-D.-23.若函数是则)(R),(21sin )(2x f x x x f ∈-=A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π的偶函数4.客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是A. B C. D.5.已知数|a n |的前n 项和S n =n 2-9n ，第k 项满足5<a n <8,则k=A.9B.8C.7D.66.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A.i<6B. i<7C. i<8D. i<97.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为A.15B.16C.17D.188.设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b ∈S ，对于有序元素对（a,b ）,在S 中有唯一确定的元素a*b 与之对应），若对任意的a,b ∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b ∈S,下列等式中不恒成立的是A.（a*b ）*a=aB.［a*(b*a)］*(a*b)=aC.b*(b*b)=bD.(a*b)* ［b*(a*b)］=b二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）10. 若向量,与,1==的夹角为120°，则∙+∙＝11.在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线)0(22 p px y =的焦点，则该抛物线的准线方程是 . 12.如果一个凸多面体n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有)(n f 对异面直线，则)4(f ＝ ; )(n f ＝ .（答案用数字或n 的解析式表示）13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(33R t t y t x ∈⎩⎨⎧-=+=参数，圆C 的参数方程为[])20(2sin 2cos 2πθθθ，参数∈⎩⎨⎧+==y x ，则题C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 .14.（不等式选讲选做题）设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .15.（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆O 的直径6=AB ，C为圆周上一点，3=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝ ，线段AE 的长为 .图5三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分） 已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、.（1）若5=c ，求sin ∠A 的值;（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围.17.(本题满分12分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (（1（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =a x b+;（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y=x 相切于坐标原点O .椭圆9222y ax +＝1与圆C 的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.（1）求圆C 的方程.（2）试探安C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点P 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）如图6所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积.（1）求V (x )的表达式；（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？（3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值20.（本小题满分14分）已知a 是实数，函数f (x )=2ax 2+2x -3-a ,如果函数y =f (x )在区间［-1,1］上有零点，求a 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数f (x )=x 2+x -1,α、β是方程f (x )=0的两个根（α>β）.f ′(x )是f (x )的导数.设a 1＝1，a n +1=a n -)()(n n a f a f '(n =1,2,…). (1)求α、β的值；(2)证明：任意的正整数n ，都有a n >a ;(3)记b n -αβ--n n a a ln (n =1,2,…),求数列{b n }的前n 项和S n .2007年普通高等学校全国招生统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案9.91 10.21 11.x= -25 12.2)1(+n n ，12，2)1)(2(--n n n13.(0，2)，22 14. 6，[ -1，1] 15.30°，3三、解答题16. 解：(1) (3,4)AB =--, (3,4)AC c =--当c=5时，(2,4)AC =- cos cos ,A AC AB ∠=<>=进而sin 5A ∠=(2)若A 为钝角，则AB ﹒AC= -3(c -3)+( -4)2<0解得c>325显然此时有AB 和AC 不共线，故当A 为钝角时，c 的取值范围为[325，+∞)17. 解： (1)如下图(2)y x ini i ∑=1=3⨯2.5+4⨯3+5⨯4+6⨯4.5=66.5x =46543+++=4.5y =45.4435.2+++=3.5∑=ni x i12=32+42+52+62=86266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b-⨯⨯-===-⨯- ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y bX =-=-⨯=故线性回归方程为y=0.7x+0.35(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7⨯100+0.35=70.35 故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)18. 解： (1)设圆心坐标为(m ，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x -m )2+(y -n )2=8已知该圆与直线y=x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则2n m -=22 即nm -=4 ①又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m 2+n 2=8 ②联立方程①和②组成方程组解得⎩⎨⎧=-=22n m92y252x故圆的方程为(x +2)2+y 2=8 (2)a=5，∴a 2=25，则椭圆的方程为+ =1其焦距c=925-=4，右焦点为(4，0)，那么OF=4。

南充市高2006届第一次高考适应性考试数 学 试 卷（满分150分，时间120分钟）第Ⅰ卷选择题（满分60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分；每小题只有一个选项符合要求）。

⑴（理）=+-ii i 1)1( A 、 iB 、i -C 、1D 、-1 （文）若函数)10(≠<=a a y x 在[0，1]上的最大值与最小值之和等于3，则a=A 、41B 、21 C 、2 D 、4 ⑵在等比数列}{n a 中，若2365π=a a ，则=)sin(74a a A 、21 B 、0 C 、1 D 、-1 ⑶（理）=+-→xx x x x 230lim A 、0B 、21C 、1D 、-1 （文）若函数221+=-x y 的反函数)(1x f y -=图象经过一个定点，则这个定点的坐标是 A 、（1，2）B 、（2，1）C 、（1，3）D 、（3，1） ⑷已知P 、q 为简单命题，则“p 且q ”为假是“p 或q ”为假的（ ）条件A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分也不必要A 、⎩⎨⎧≥+--≥0221y x yB 、⎩⎨⎧≤+--≥0221y x y C 、⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤02210y x y xD 、⎪⎩⎪⎨⎧≤+--≥≤02210y x y x ⑹在等差数列}{n a 中，前n 项和为Ｓn ，若==8442,31s s s s 则A 、81B 、31C 、91D 、103 ⑺设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-)0()0(12)(21x x x x f x 若f(x 0)>1，则x 0的取值范围是A 、（-1，1）B 、（-1，+∞）C 、（-∞，-2）∪（0，+∞）D 、（-∞，-1）∪（1，+∞）⑻（理）若函数x b x a x f cos sin )(-=对任意的实数x 都有)4()4(x f x f -=+ππ成立，则直线02=+-c by ax 的倾斜角为A 、arctan2B 、arctan(-2)C 、2arctan -πD 、2arctan +π (文)已知53sin =α，α是第二象限的角，且tan(α+β)=1,则tan β= A 、-7 B 、7 C 、43- D 、43 ⑼b、b b 、b a b a a 1log 1log log ,10则已知<<<的大小顺序是 A 、b b b a a b log 1log 1log << B 、bb b a a b 1log log 1log << C 、b b b a b a 1log 1log log << D 、b b b b a a 1log log 1log << ⑽已知双曲线12222=-bx a x 和椭圆)0,0(12222>>>=+b m a b x m x 离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边的三角形一定是A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形⑾（理）在函数x x y ln =（0，5）上是A 、单调增函数B 、单调减函数C 、在上递增在上递减)51()1,0(，e ，e D 、上递减在上递增在)51()1,0(，e ，e （文）曲线处的切线方程是在点),(12e e x e y =A 、2-=ex yB 、2+=ex yC 、e x y +=2D 、e x y -=2 ⑿将一个四棱锥的每个顶点都染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为A 、240种B 、300种C 、360种D 、420种第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）⒀已知n x )21(-的展式中，二项式系数的和是64，则它的二项式的中间项是__________; ⒁奇函数.________3123的值为则处有极值在c b a ，x cx bx ax y ++=++= ⒂（理）已知随机变量ξ和η，其中η=12ξ+ 7，若E η=34，ξ的分布列如右表，则m 的值为_____________.(文)某校有教职工x 人，高一学生1200人，高二学生1000人，高三学生800人，现用分层抽样的方法抽取一个容量为16样本，已知从高二抽取的人数为5人，则教职工的人数是____________;⒃将正整数排列成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16………………其中第i 行第j 列的那个数记为i j M ，则数表中的2008应记为___________.三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）⒄（本小题满分12分） 已知向量)()(cos),3,cos 2(),sin 2,(cos 为常数m m b a x f x b x x a +∙=== ① 求函数)(x f 的最小正周期；② 当的值求为的最大值与最小值之和函数时m ，x f ，x 3)(]6,6[ππ-∈⒅（本小题满分12分）（理）已知a>0,设命题P:函数x a y )1(-=在R 上是单调递减； 命题q ：R ；a x x 的解集为>-++|)7||3lg(|如果p 和q 有且仅有一个正确，求a 的范围 （文）设关于x 的不等式.|)7||3lg(|a x x >-++①当a=1时，解这个不等式；②当a 为何值时，这个不等式的解集为R 。

6为 )2007届高三数学第一次阶段性考试卷（理）、选择题（本大题共 10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的中四选项中，只有一项是符合题目要求的，把你认为正确的选项写在答题卷上）1.已知全集I ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},姑{ 3,4, 5}, N ={ 1, 3, 6},则集合{ 2,y =3x2、A. M NB. (C I M) (C I N)C. (GM) (GN)D.U" bi (1」)2(a,b R)，则A . a =0 , b —1 B.a=-1, b = 0 c.a = -1, b = 1 D.a=1 , b = -1—3n 21 B.-2C. D. 0A. (0, +8)B . (1, +8)C . (- 1 , 1) (—8, — 1)20>0, q1 - x x -2<0,A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件函数 f(x)=」2cH不连续是因7、若f (x0) = -3,则 lim - .J 0f (x c)■ •・：x)-■ f ( x 0 ：x_3 ：x ）等于……()A .-3B.-6C .-9D .-128、 若函数f （2>）的疋 义域是［-1 ,1］，则y = f ( 1 2o x )g 的 定义域为....( )A , .[—1,1]B . [-一 ,2 ]2C. [ 2,4]D. [1,4]111i9、设 f (n )二一 一 一一 (n N )，那么 f (n 1) - f (n )等于 ...............................n +1 n +2 n +3 2n3113 1 A . {x|0<x<} B . {x| —<x<0} C . {x| —<x<0 或 0<x< } D . {x|x< — 或 022 222< x<3}213、 _____________________________________ 函数y =2x +4丿1 —X 的值域为 14、不等式|x-a|+|1-x|> 3对于一切实数x 恒成立，则实数a 应满足的条件是 _______________三、解答题（本大题共 6小题，共84分。

2007年高考数学毕业班第一次调研测试理科（必修＋选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）． 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）．如果事件A 在1次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)kk n k n n P k C P P -=-．球的表面积公式S 球＝4πR 2其中R 表示球的半径．球的体积公式V 球＝43πR 3其中R 表示球的半径．一、选择题：1．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，那么a ＝（A ）－3 （B ）－6 （C ）－32（D ）232．已知等比数列｛a n ｝中，a 2＝1，a 4a 8＝64，则a 10的值是 （A ）15 （B ）16 （C ）32 （D ）643．设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的 （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件4．若△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝（A （B （C ）53 （D ）－535．已知集合M ＝｛x ｜3(1)xx -≥0｝，N ＝｛y ｜y ＝3x 2＋1，x ∈R ｝，则M ∩N ＝ （A ）∅ （B ）｛x ｜x ≥1｝ （C ）｛x ｜x ＞1｝ （D ）｛x ｜x ＞1或x ≤0｝ 6．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－（b －2a ）共线，则λ＝ （A ）－0.5 （B ）－1 （C ）－2 （D ）0.57．正方体ABCD —A B C D ''''的棱长为a ，EF 在AB 上滑动，且｜EF ｜＝b （b ＜a ），Q 点在D C ''上滑动，则四面体A '—EFQ 的体积为（A ）与E 、F 位置有关 （B ）与Q 位置有关（C ）与E 、F 、Q 位置都有关（D ）与E 、F 、Q 位置均无关，是定值8．21A n +与3A n 的大小关系是 （A ）21A n +＞3A n（B ）21A n +＜3A n（C ）21A n +＝3A n（D ）大小关系不定9．设可导函数f （x ）是R 上的奇函数，f （1）＝0且当x ＜0时，()f x '＞0，则不等式xf （x ）≥0的解集是（A ）（－∞，－1］∪｛0｝∪［1，＋∞） （B ）［－1，1］（C ）［－1，0）∪（0，1］（D ）（－∞，－1］∪［1，＋∞）10．已知二面角α－l －β的大小为60°，m 、n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m 、n 所成的角为 （A ）30°（B ）60°（C ）90°（D ）120°11．从椭圆短轴的一个端点看长轴两个端点的视角为120°，那么此椭圆的离心率为（A （B （C ）12（D 12．如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f （x ）表示弧AB 与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y ＝f （x ）的图象是（A ） （B ） （C ） （D ）2007年高三毕业班第一次调研测试理科数学（必修＋选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔答在答题卡中相应的位置．2．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．13．函数f （x x －1）0的定义域为▲．14．在二项式（3x －i ）6的展开式中（其中i 2＝－1），各项系数的和为▲． 15．如图，把椭圆222516x y +＝1的长轴AB 分成8等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的焦点，则｜P 1F ｜＋｜P 2F ｜＋…＋｜P 7F ｜＝▲． BD 的交点，16．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与若11A B ＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c ，则向量1B M ＝▲．DCA 1B 1ABMD 1C 1三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝2sinπ6x⎛⎫+⎪⎝⎭－2cos x．x∈π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（1）若sin x＝45，求函数f（x）的值；（2）求函数f（x）的值域．18．（本小题满分12分）每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数1，2，3，4，5，6）．（1）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；（2）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；（3）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率．19．（本小题满分12分）（选做下列两题中的一题，如两题都做只给19－1的分）（19－1）如图，已知矩形ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，设AB ＝a ，BC ＝b ，P A ＝c ．（1）建立适当的空间直角坐标系，写出A 、B 、M 、N 点的坐标，并证明MN ⊥AB ；（2）平面PDC 和平面ABCD 所成的二面角为θ，当θ为何值时（与a 、b 、c 无关），MN 是直线AB 和PC 的公垂线段．（19－2）如图，已知矩形ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．（1）求证：MN ∥平面P AD ； （2）求证：MN ⊥AB ；（3）当∠PDA 为何值时MN ⊥平面PCD ？20．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝3x ，且f －1（18）＝a ＋2，且g （x ）＝3ax －4x 的定义域为［0，1］ （1）求g （x ）的表达式；（2）判断g （x ）的单调性并加以证明；PBCDAM NPABCDM N21．（本小题满分13分）已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 的直线PM 交x 轴于点M ，延长MP 到点N ，使||PN ＝||PM ，且PM PF ＝0．（1）求动点N 的轨迹方程；（2）过点（2，0）的直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若AB ｜≤l 的斜率的取值范围．22．（本小题满分13分）已知数列｛a n ｝中，a n ＝2－11n a -（n ≥2，N n +∈），（1）若a 1＝35，数列｛b n ｝满足b n ＝11n a -（N n +∈），求证数列｛b n ｝是等差数列；（2）若a 1＝35，求数列｛a n ｝中的最大项与最小项，并说明理由； （3）若1＜a 1＜2，试证明：1＜a n ＋1＜a n ＜2．理科数学参考答案及评分标准说明：1．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出错时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：（每小题5分，共60分）二、填空题：（每小题4分，共16分） 13．［－2，1）∪（1，2］ 14．－6415．3516．1122a b c -++三、解答题：17．解：（1）∵sin x＝45，x∈π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，cos x＝－35，············································· 2分f（x）＝21cos2x x⎫+⎪⎪⎝⎭－2cos x ··············································· 4分x－cos x＝4535； ·············································· 6分（2）f（x x－cos x＝2sinπ6x⎛⎫-⎪⎝⎭， ············································ 8分∵π2≤x≤π，∴π3≤x－π6≤5π6，12≤sinπ6x⎛⎫-⎪⎝⎭≤1．···················10分∴函数f（x）的值域是［1，2］．····················································12分18．解：（1）设A 表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则 ·································· 1分∴P （A ）＝6566⨯⨯＝56． ···························································· 3分 答：抛掷2次，向上的数不同的概率为56； ······································· 4分 （2）设B 表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”． ································ 5分∵向上的数之和为6的结果有（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）5种，∴P （B ）＝566⨯＝536． ·························································· 7分 答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为536； ································ 8分 （3）设C 表示事件“抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次”，即在5次独立重复试验中，事件“向上的数为奇数”恰好出现3次， ················································ 9分∴P （C ）＝P 5（3）＝323511C 22⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1032＝516． ·························· 11分答：抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次的概率为516． ················ 12分 19－1．解：（1）证明：以A 为原点，分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．则A （0，0，0），B （a ，0，0），M （2a ，0，0），N （2a ，2b ，2c）． ····························· 3分 ∴AB ＝（a ，0，0），MN ＝（0，2b ，2c）． ································· 5分 AB ·MN ＝0⇒AB ⊥MN ； ·························································· 6分（2）P （0，0，c ），C （a ，b ，0），PC ＝（a ，b ，－c ）， ························ 7分∵MN 是PC 、AB 的公垂线段，∴PC ·MN ＝0，即－22b ＋22c ＝0⇒b ＝c ． ··································· 8分又∵AP ⊥面ABCD ，CD ⊥DA ，∴CD ⊥PD ． ············································································· 9分 ∴∠PDA 是二面角P —CD —A 的平面角． ······································ 10分 ∴∠PDA ＝45°， ······································································· 11分 即二面角P —CD —A 是45°． ······················································ 12分19－2．解：（1）取PD 的中点E ，连AE 、EN ，则EN //12CD //12AB //AM ． ············ 1分 ∴AMNE 为平行四边形． ······························ 2分 ∴MN ∥AE ，又AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ． ∴MN ∥平面P AD ； ····································· 4分（2）∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AB ． ··················· 5分 又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面P AD ，∴AB ⊥AE ． ·································· 6分 又AE ∥MN ，∴AB ⊥MN ； ·································· 7分 （3）∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD ． ·················································· 8分∵MN ⊥平面PCD ，∴MN ⊥PD ． ················································ 10分 即AE ⊥PD ，在Rt △P AD 中，点E 为PD 的中点， ························· 11分 ∴P A ＝AD ．∴∠PDA ＝45°． ······················································ 12分20．解：（1）∵f （x ）＝3x ，∴f －1（x ）＝log 3x ． ·················································· 2分∴f －1（18）＝log 318＝a ＋2，∴a ＝log 318－2＝log 32． ·························· 4分故g （x ）＝3ax －4x ＝3log 2(3)x －4x ＝2x －4x 即为所求； ··························· 5分 （2）g （x ）在［0，1］内单调递减， ······················································ 6分设x 1，x 2为［0，1］内任意两个实数，且x 1＜x 2，则g （x 2）－g （x 1）＝22x －24x －12x ＋14x ······································· 7分＝（22x －12x ）＋（14x －24x ）＝（22x －12x ）＋（12x －22x ）（12x ＋22x ）＝（22x －12x ）（1－12x －22x ）． ························· 8分∵0≤x 1＜x 2≤1，∴1≤12x ＜22x ≤2，∴2＜12x ＋22x ＜4． ··················· 9分 故－3＜1－12x －22x ＜－1， ························································· 10分 从而g （x 2）－g （x 1）＜0． ·························································· 11分 即g （x 2）＜g （x 1），故g （x ）在［0，1］内单调递减． ····················· 12分21．解：（1）设动点N 的坐标为N （x ，y ），则M （－x ，0），P 0,2y ⎛⎫⎪⎝⎭． ··················· 1分∴PM ＝,2y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，PF ＝1,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ············································· 3分由PM PF ＝0，得，－x ＋24y ＝0． ················································· 5分∴动点N 的轨迹方程为y 2＝4x ； ······················································ 6分 （2）设直线l 的方程为y ＝k （x －2）， ····················································· 7分则由24,(2),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得ky 2－4y －8k ＝0． ············································· 9分∴△＝16＋32k 2＞0，｜AB ｜2＝22211632k k k +⎛⎫+ ⎪⎝⎭． ····························· 10分 ∵≤｜AB ｜≤96≤22211632k k k +⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤480． ·················· 11分 P AB C DMNE解得直线l 的斜率k 的取值范围是111,,122⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． ························· 13分22．解：（1）∵a n ＝2－11n a -，∴b n ＝11n a -＝11121n a ---＝111n n a a ---． ····················· 1分又∵b n ＝11n a -，∴b n －1＝111n a --． ················································· 2分∴b n －b n －1＝111n n a a ---－111n a --＝1．（N n +∈） ·································· 3分 ∴｛b n ｝是首项为b 1＝111a -＝－52，公差为1的等差数列； ················ 4分（2）有11n n a b -=，而b n ＝－52＋（n －1）·1＝n －3.5，∴a n －1＝13.5n -．对于函数y ＝13.5x -，在x ＞3.5时，y ＞0，y '＝－21( 3.5)x -＜0，∴在（3.5，＋∞）上为减函数． ······················ 5分故当n ＝4时，a n ＝1＋13.5n -取最大值，a 4＝3． ································ 6分而函数y ＝13.5x -在x ＜3.5时，y ＜0，y '＝－21( 3.5)x -＜0，∴在（－∞，3.5）上也为减函数．∴当n ＝3时，a n ＝1＋13.5n -取最小值，a 3＝－1； ····························· 8分（3）用数学归纳法证明1＜a n ＜2，再证明a n ＋1＜a n ．①当n ＝1时，1＜a 1＜2成立； ························································ 9分 ②假设当n ＝k 时命题成立，即1＜a k ＜2，当n ＝k ＋1时，由1＜a k ＜2，得a k ＋1＝2－1k a ∈31,2⎛⎫⎪⎝⎭⇒1＜a k ＋1＜2， 故当n ＝k ＋1时也成立， ······························································· 11分 综合①②有，命题对任意N n +∈时成立，即1＜a n ＜2． ······················· 12分∵a n ＋1－a n ＝2－1n a －an ＝2－（a n ＋1n a ）＜2－0， ∴a n ＋1＜a n ． ∴1＜a n ＋1＜a n ＜2． ···················································· 13分。

惠州市高三调研考试 数学 测试题(2005.11)第 Ⅰ 卷 (选择题，共50分)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设实数集R 为全集，集合P ＝{x ｜f (x )＝0}，Q ＝{x ｜g (x )＝0}，H ＝{x ｜h (x )＝0}，则方程0)()()(22=+x h x g x f 的解集是A ． Q P ∁R HB ． Q P ∁R HC ．H Q PD ．Q P2. 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则2 a 10－a 12的值为 A ．20B ．22C ．24D ．283. 函数xx xx x f sin tan )(3-+=的奇偶性是A ．是奇函数不是偶函数B ．是偶函数不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数4. 设O 是平面上任意一点，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝m a ＋n b (m 、n ∈R )，若A 、B 、C 三点共线，则m 、n 满足 A ．m ＋n ＝－1B ．m ＋n ＝1C ．m ＋n ＝0D ．m －n ＝15. 要使mm --=-464cos 3sin αα有意义，则m 范围是 A ．m ≤37B ．m ≥－1C ．m ≤－1或m ≥37 D ．－1≤m ≤37 6. 若a 、b ∈R ，则下列不等式：①a 2＋3＞2a ；②a 2+b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋a1≥2．其中一定成立是 A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．②④7. 若函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＞0，f / (x )＞0，那么函数y ＝xf (x ) A ．存在极大值B ．存在极小值C ．是增函数D ．是减函数8. 已知函数x y 2log =的反函数是)(1x f y -=，则函数)1(1x f y -=-的图象是 A BCD9. 直线y ＝m (m 为常数)与正切曲线y ＝x ωtan (ω＞0)相交，则相邻两个交点的距离是 A ．πB ．ωπ C ．ωπ2 D ．π210. 若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是A ．m ≤－1B ．－1≤m ＜0C ．m ≥1D ．0＜m ≤1二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上．11. 若sin2α＜0，sin α－cos α＞0，则cos αααsin 1sin 1+-＋sin αααcos 1cos 1+-＝ ．12. 不等式22322)21(a x ax x +-<对一切实数x 都成立，则a 的取值范围是 ．13. 函数)23(log 27.0+-=x x y 的单调递增区间是．14. 设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则 f (a ＋b )的值为 ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．15. (本大题满分12分) 已知函数3cos 33cos 3sin)(2xx x x f +=． (1) 将f (x )写成)sin(ϕω+x A +C 的形式，并求其图象对称中心的横坐标； (2) 如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函数f (x )的值域．16. (本大题满分12分)集合A 是由适合以下性质的函数)(x f 组成的：对于任意的x ≥0， f (x )∈[－2，4]，且f (x )在[0，＋∞]上是增函数．(1)判断函数2)(1-=x x f 及x x f )21(64)(2⋅-=(x ≥0)是否在集合A 中？并说明理由．(2)对于(1)中你认为是集合A 中的函数f (x )，不等式f (x )＋ f (x ＋2)＜2 f (x ＋1)是否对于任意的x ≥0总成立？证明你的结论．17.(本大题满分14分) 设向量a ＝(3，－1) ，b ＝(21，23)，若存在实数m (m ≠0)和角])44[(ππθθ，-∈，使c ＝a ＋(tan 2θ－3)b ，d ＝－m a ＋(tan θ)b ，且c ⊥d ．(1)试求函数m ＝f (θ)的关系式；(2)求函数m ＝f (θ)的最大值和最小值．18.(本大题满分14分) 某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货，如果在某一个小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9、0.8、0.7．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内： (1)只有丙柜面需要售货员照顾的概率； (2)三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率； (3)三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．19.(本大题满分14分)已知函数f (x )满足f ( xy )＝f (x ) f (y ) (x 、y ∈R )，且x ＞1时，f (x )＜1，又41)2(=f ． (1)求证：当x ＞0时，f (x )＞0；(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上的单调递减；(3)解关于x 的不等式：|)(|ax xf -＞1．20.(本大题满分14分)已知一次函数f (x )的图象关于y ＝x 对称的图象为C ，且f (1)＝0，若点)(1nn n a an A +，(∈n N*)在曲线C 上，a 1＝1，对于不小于2的任意正整数n ，都有111=--+n n n n a aa a ． (1) 求曲线C 的方程； (2) 求{a n }的通项公式；(3) 设)!2(!4!321++++=n a aa S n n ，求S n ．高中调研测试题（高三数学）（2005年11月26日）答案一．选择题：BCBBD CCCBB二．填空题：11．)4sin(2πα-12．(43，＋∞) 13．X<1 14．215．解：(1) )32cos 1(2332sin 213cos 33cos 3sin )(2xx x x x x f ++=+=2分 23)332sin(++=πx 4分由0)332sin(=+πx 得：πππ213332-=⇒=+k x k x (k ∈Z )∴对称中心的横坐标为π213-k (k ∈Z )． 6分 (2)由已知得acacc a ac b c a x 22cos 22222-+=-+=≥21 8分又x 是△ABC 的内角，∴x 的取值范围是]30(π，10分这时，]953(332πππ，∈+x ，∴)332sin(3sin ππ+<x ≤1 故函数f (x )的值域是]2313(+，． 12分16．解：(1) 函数2)(1-=x x f 不在集合A 中 ∵当x ＝49时，f (49)＝5＞4，不满足条件4分∵当x ≥0时，0＜x )21(≤1，∴－2≤x )21(64⋅-＜4即f 2 (x )∈[－2，4]，6分又设x 1＜x 2，则21)21()21(x x >， 21)21(6)21(6x x ⋅-<⋅－， ⇒ f 2 (x 1)＜f 2 (x 2)即f 2 (x )是增函数，∴f 2 (x )在集合A 中．8分(2)0)41()21(6)1(2)2()(<-⋅=+-++x x f x f x f∴不等式f (x )＋ f (x ＋2)＜2 f (x ＋1)对于任意的x ≥0总成立．12分17．解：(1)a ·b ＝0231321＝－⨯⨯ ∴c ·d ＝[a ＋(θ2tan －3)b ][－m a ＋(θtan )b ]＝－m a 2＋(θθtan 3tan 3-)b 2 4分∵c ⊥d ，∴c ·d ＝0，即－m a 2＋(θθtan 3tan 3-)b 2＝0，又| a |＝2，| b |＝1∴m ＝）（＝θθθtan 3tan 41)(3-f ，其中]44[ππθ，-∈6分(2)令tan θ＝t ，得m ＝g (t )＝41(t 3－3t )，t ∈[－1，1]求导得 g /(t )＝43(t 2－1)≤08分 g (t )在[－1，1]上单调递减10分∴当t ＝－1，即4πθ-=时，函数g (t )有最大值21，当t ＝1，即4πθ=时，函数g (t )有最小值－21．12分18．解：设事件A 为“甲柜面不需要售货员照顾”，事件B 为“乙柜面不需要售货员照顾”，事件C 为“丙柜面不需要售货员照顾”则事件A 、B 、C 相互独立，且P (A )＝0.9，P (B )＝0.8，P (C )＝0.7． 2分 (1)设事件D 表示“某一小时内只有丙柜面需要售货员照顾”，则C B A D ⋅⋅=，且事件A 、B 、C 相互独立∴P (D )＝P (C B A ⋅⋅)＝P (A ) P (B ) P (C )＝0.9×0.8×0.3＝0.216． 4分 (2) 设事件E 表示“某一小时内三个柜面最多有一个需要售货员照顾”， 则C B A C B A C B A C B A E ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=6分又C B A C B A C B A C B A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅、、、彼此互斥，且A 、B 、C 、C B A 、、相互独立 ∴)()()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P E P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅== 0.9×0.8×0.7＋0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.902 8分 (3) 设事件F 表示“某一小时内三个柜面至少有一个需要售货员照顾”， 则C B A F ⋅⋅=10分又A 、B 、C 相互独立∴)(F P ＝P (A ) P (B ) P (C )＝0.9×0.8×0.7＝0.504 ∴)(1)(F P F P -=＝0.496．12分19．解：(1)∵x ＞0，∴ 2)]([)()()()(x f x f x f x x f x f ===≥0 又若0)(=x f ，则0)2()()2()2(==⋅=x f x f x x f f ，与41)2(=f 矛盾 ∴f (x )＞0．4分(2)设0＜x 1＜x 2，则12x x ＞1，∴0＜)(12x xf ＜1 ∴)()()()(1121122x f x xf x x x f x f =⋅=∵f (x 1)＞0，0＜)(12x xf ＜1，∴f (x 1)＜ f (x 2)故f (x )在(0，＋∞)上是减函数．8分(3) 由f (xy )＝f (x )f (y )得：f (1)＝f (1×1)＝f (1)f (1)＝[f (1)]2 由(1)知f (1)＞0，∴f (1)＝1不等式可化为：)1(|)(|f a x xf >- 由(2)可得：||||1||a x x ax x-<⇔<- 10分两边平方得：2ax ―a 2＜0，当a ＜0时，解得2ax >，当a ＞0时，解得2ax <，当a ＝0时，不等式化为：0＜0，无解．综上所述，当a ＝0，不等式的解集是φ，当a ＜0时，不等式的解集是{x ｜2ax >}，当a ＞0时，不等式的解集是{x ｜2ax <}． 12分20．解：(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠０)，则a ＋b ＝０∴曲线C 的方程为11+=x ay∵点)(1n n n a a n A +， (∈n N*)在曲线C 上，∴11+=+a na a n n2分由111=--+n n n n a a a a 知{n n a a1+}是公差为１的等差数列，∴n a n a a a a n n +=-+=+1)1(121 4分∴n aa n a a n n +=+=+111 ⇒ a ＝１∴曲线C 的方程为y ＝x ＋１．6分(2)由(1)得：11+=+n a ann∴2211232211=-=-==-----a an a a n a a n a a n n n n n n ，，，，8分相乘得：!2)2)(1(1232211n n n n a aa a a a a a n n n n n n =⨯⨯--=⋅⋅-----即!1n a an = ⇒ a n ＝n ！10分 (3)2111)1)(2(1)!2(!)!2(+-+=++=+=+n n n n n n n a n 12分 ∴)2(2)2111()4131()3121(+=+-+++-+-=n nn n S n 14分．。

惠州市高三第一次调研考试数学试题(理科）参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DDBBABCA1、【解析】由33412()()88ii i i i i--==-⋅=-,易知D 正确.2、【解析】因*{0,2,4}A B =，所以易知选D.3、【解析】设公差为d ，则有112421328a d a d +=⎧⎨+=⎩1101109101210022a S d =⎧⨯⇒⇒=⨯+⨯=⎨=⎩4、【解析】对于()251031551()()1r r r r r rr T C x C x x--+=-=-，对于1034,2r r -=∴=，则4x 的项的系数是225(1)10C -=5、【解析】55cos 2sin 2sin 2,3612y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只需将函数sin 2y x =的图象向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象。

6、【解析】可得22()()()()y a x x b x a x b =--=--- ,a b 是函数的两个零点当x a <时，则()0f x >；当a x b <<时, 则()0,f x <当x b >时，则()0,f x <故选B 。

7、【解析】要使取出的2张卡片上的数字之和为奇数，则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率11222442.63C C P C ⋅=== 8、【解析】8482(84)(82)(82)(8)8882n n n n n n nn --=-+--=-+数列共有251项，∴结果为(8)2512008-⋅=-，故选A.二、填空题：9、2 10、2 11、－6 12、4 13、80 14、5515、2 9、【解析】λ+a b ＝(2,23)λλ++，则λ+a b 与(47)=--，c 共线242237λλλ+-⇔=⇒=+-10、【解析】'axy ae =，∴切线的斜率0'x k y a ===，∴由1()12a ⋅-=-得2a = 11、【解析】画出可行域知，当4,2x y ==-时，246z y x =---=-为最小值.12、【解析】1110.8248++>，因此输出 4.n =13、【解析】结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥的的底面是边长为8和6的长方形，棱锥的高是5， ∴由棱锥的体积公式得1865803V =⨯⨯⨯= 14、【解析】直线sin 2cos 1ρθρθ+=化为直角坐标方程是210x y +-=；圆2cos ρθ=的圆心()1,0到直线210x y +-=的距离是5515、【解析】∵45BNA ∠=︒，∴90BOA ∠=，∵2OM =,23BO =，∴4BM =，∵()()2322328BM MN CM MA ⋅=⋅=+-=，∴2MN =． 三、解答题16、解：（1）解法一：()1cos 23(1cos 2)sin 222x x f x x -+=++2sin 2cos2x x =++22sin(2)4x π=++……………4分∴当2242x k πππ+=+，即()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值22+.因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. ……8分解法二：222()(sin cos )sin 22cos f x x x x x =+++1sin 21cos2x x =+++22)4x π=++…………4分∴当2242x k πππ+=+，即()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值22+因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭……8分（2）解：()22)4f x x π=++由题意得222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈.因此，()f x 的单调增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. …………12分 17、解：（1）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3 ··················· 3分 （2）该商品两周可能销售4、5、6、7、8吨，所以 ξ的可能值为8、10、12、14、16，且P （ξ=8）=0.22=0.04， P （ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2， P （ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37， P （ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3， P （ξ=16）=0.32=0.09．ξ的分布列为ξ8 10 12 14 16 P0.040.20.370.30.09·········· 9分E ξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元） ·····························12分ABC DPE F18、解：（1）∵PC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴PC ⊥AB ．…………………2分∵CD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴CD ⊥AB ． …………………………4分 又PCCD C =，∴AB ⊥平面PCB ． …………………………6分（2）取AP 的中点E ，连结CE 、DE ．∵PC=AC=2， ∴CE ⊥PA ，2．………8分∵CD ⊥平面PAB ， 由三垂线定理的逆定理，得DE ⊥PA ．∴CED ∠为二面角C-PA-B 的平面角． …………………………………10分由（1）AB ⊥平面PCB ，又∵AB=BC ，可求得2． 在Rt PCB ∆中，22PC BC 6+=，PC BC 2CD PB 63⋅===………………12分 在Rt CDE ∆中，cos CED ∠=42DE 33CE 32-==．…13分∴二面角C-PA-B 大小的余弦值为33……………………………14分19、解：（1）函数()f x 的定义域为()1,+∞，……………………………………………1分∵()()221()2111x x f x x x x -⎡⎤'=--=-⎢⎥--⎣⎦，………………………………………2分 ∵1x >，则使()0f x '>的x 的取值范围为()1,2，故函数()f x 的单调递增区间为()1,2． ……………………………………………4分 （2）方法1：∵()()2()2ln 11f x x x =---，∴()2()3012ln 10f x x x a x a x +--=⇔++--=．…………………………6分令()()12ln 1g x x a x =++--， ∵23()111x g x x x -'=-=--，且1x >， 由()03()03g x x g x x ''>><<<得，得1．∴()g x 在区间[2,3]内单调递减，在区间[3,4]内单调递增，……………………9分故2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根(2)0,(3)0,(4)0.g g g ≥⎧⎪⇔<⎨⎪≥⎩……12分即30,42ln 20,52ln 30.a a a +≥⎧⎪+-<⎨⎪+-≥⎩解得：2ln352ln 24a -≤<-． 综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--．………………………………14分 方法2：∵()()2()2ln 11f x x x =---，∴()2()3012ln 10f x x x a x a x +--=⇔++--=．…………………………6分 即()2ln 11a x x =---，令()()2ln 11h x x x =---， ∵23()111xh x x x -'=-=--，且1x >， 由()03,()03h x x h x x ''><<<>得1得．∴()h x 在区间[2,3]内单调递增，在区间[3,4]内单调递减． ……………………9分 ∵()23h =-，()32ln 24h =-，()42ln35h =-，又()()24h h <，故2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根()()43h a h ⇔≤<．即2ln352ln 24a -≤<-． ……………………………………12分 综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--． ……………………………14分 20、解法一：（1）由已知得，椭圆C 的左顶点为(2,0),A -上顶点为(0,1),2,1D a b ∴==故椭圆C 的方程为2214x y +=……………………………4分 （2）直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+， 从而1016(,)33kM……………………… 5分 由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)16164k x k x k +++-=0 ……………………… 7分 设11(,),S x y 则21228(2)14k x k --⋅=+得2122814k x k -=+，从而12414ky k =+……… 9分即222284(,),1414k kS k k -++又(2,0)B由1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩101(,)33N k ∴-…………………………………… 11分故161||33k MN k =+…………………………………………… 12分 又16116180,||233333k k k MN k k >∴=+≥⋅=当且仅当16133k k =，即14k =时等号成立 14k ∴=时，线段MN 的长度取最小值83……………………………………………14分 21、解：（1）由题可得'()2f x x =． ……………………1分所以曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线方程是：()'()()n n n y f x f x x x -=-．即2(4)2()nn n y x x x x --=-．………2分 令0y =，得21(4)2()n n n n x x x x +--=-．即2142n n n x x x ++=．显然0n x ≠，∴122n n nx x x +=+．………………………………………4分 （2）由122n n n x x x +=+，知21(2)22222n n n n nx x x x x +++=++=， ……………………5分 同理21(2)22n n nx x x +--=． 故21122()22n n n n x x x x ++++=--． …………………………6分 从而1122lg2lg 22n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a +=．所以，数列{}n a 成等比数列．……7分故111111222lg2lg 32n n n n x a a x ---+===-．即12lg 2lg 32n n n x x -+=-． ……………8分 从而12232n n n x x -+=- 所以11222(31)31n n n x --+=- ……………………………9分 （3）由（2）知11222(31)31n n n x --+=-，∴1242031n n n b x -=-=>- ……………………10分∴111112122223111113313133n n n n n n b b ----+-==<≤=-+ ………………………………11分当1n =时，显然1123T b ==<． …………………………………………12分当1n >时，21121111()()333n n n n b b b b ---<<<< ∴12n n T b b b =+++111111()33n b b b -<+++11[1()]3113n b -=-133()33n =-⋅<…13分 综上，3n T <． ………………14分。

绝密★启用前 试卷类型：B2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时l20分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色宁迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =． 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆay bx =-. 一、选择题（本题8小题，每题5分，满分40分） 1．已知函数()f x =的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅【解析】考查函数的定义域和集合的基本运算。

由解不等式1-x>0求得M=(-∞，1)，由解不等式1+x>0求得N=(-1，+∞)，因而M ⋂N=(-1，1)，故选C 。

惠州市2007届高三（理科）第一次调研考试数 学 试 题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共40分）一．选择题（每小题5分，共40分） 1．化简31ii-=+( ) A ．12i - B ．12i + C ．2i + D ．2i -2．命题：“设a 、b 、c R ∈，若22ac bc >则a b >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3．幂函数①1y x -=,②y x =及直线③1y =， ④1x =将直角坐标系第一象限分成八个“卦 限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如 图所示），那么幂函数32y x-=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A ．Ⅳ，ⅦB ． Ⅳ，ⅧＣ．Ⅲ，Ⅷ D ． Ⅲ，Ⅶ 4．某次考试，班长算出了全班40人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的成绩与原来的40个分数一起，算出这41个分数平均值为N ，那么:M N 为（ ）A ．4041 Ｂ．4140Ｃ．2 Ｄ．1 5．函数)52sin(2)(ππ+=x x f ，若对任意x R ∈，都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最大值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．216．等比数列{}n a 前n 项的积为n T ，若3618a a a 是一个确定的常数，那么数列10T ，13T ，17T ，25T 中也是常数的项是（ ）A ． 10TB ． 13TC ．17TD ． 25T7．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、香港、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只能游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ） A ．240种 Ｂ．300种 Ｃ．144种 Ｄ．96种 8．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-．若函数，2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈- 都成立，则当[1,1]a ∈-时，t 的取值范围是（ ）x11-A ．22t -≤≤B ． 2t ≤-或0t =或2t ≥C ．1122t -≤≤D ．12t ≤-或0t =或12t ≥第Ⅱ卷（填空题、解答题 共110分）二．填空题(每小题5分，共30分)9．阅读下列程序框图，该程序输出的结果是 ．10．如图，在边长为25cm 的正方形中截去直 角边长为23cm 的两个等腰直角三角形，现有 均匀的粒子散落在正方形中，粒子落在中间带 形区域的概率是 ． 11．222()3x x dx -=⎰ ． 12．我们知道：“过圆为O 的圆外一点P 作它的两条切线PA 、PB ， 其中A 、B 为切点，则POA POB ∠=∠．”这个性质可以推广到所有圆锥曲线，请你写出其中一个：． 13．关于二项式2006(1)x -，有下列三个命题：①．该二项式展开式中非常数项的系数和是1-；②．该二项式展开式中第10项是1019962006C x；③．当2006x =时，2006(1)x -除以2006的余数是1．其中正确命题的序号是 （把你认为正确的序号都填上）． 14．（本小题有三个题供选作，考生只能在①、②、③题中选做一题！多做不给分！) ①．圆C ：x y =+=⎧⎨⎩1cos sin θθ，，（θ为参数）的普通方程为 ，设O 为坐标原点，点00()M x y ，在C 上运动，点()P x y ，是线段OM 的中点，则点P 的轨迹方程为 ．②．若BE 、CF 是ABC ∆的高，且ABC BCEF S S ∆=四边形，则A ∠= ． ③．已知,a b R ∈，341a b +=，则22a b +的最小值为 ． 三．解答题（6个小题，共80分）15．（本题满分12分）已知πθπθ22,222tan <<-=．⑴求θtan 的值；⑵求⎪⎭⎫ ⎝⎛+--4sin 21sin 2cos 22πθθθ的值．第10题图16．（本题满分12分）月饼是一种时间性很强的商品，若在中秋节前出售，每盒将获利5元，若到中秋节还没能及时售完，中秋节之后只能降价出售，每盒将亏损3元．根据市场调查，销量n （百盒）的概⑴．设订购量为x 百盒时，获利额为y 元．下表表示与x 对应的y 的分布列，请在空格处填入适当的y 值，并计算相应的获利期望值Ey ；（解答本题第⑴小题只需在下面的表格的空位中填入你认为正确的数据即可） 解：⑴．⑵．17．（本题满分14分）已知等差数列{}n a 的前项和为n s ，1n n b s =，且3312a b =，3521s s +=． ⑴．求数列{}n b 的通项公式；⑵．求证：122 nb b b+++<．18．（本小题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,CA CB CD BD AB AD======⑴．求证：AO⊥平面BCD；⑵．求异面直线AB与CD所成角余弦的大小；⑶．求点E到平面ACD的距离．C E19．（本题满分14分）如图,过抛物线24x y =的对称轴上任 一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点．⑴．设点P 满足AP PB λ=（λ为实数）， 证明：()QP QA QB λ⊥-；⑵．设直线AB 的方程是2120x y -+=，过A 、B 两点 的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程．20．（本题满分14分）已知函数()f x 的导数()f x '满足0()1f x '<<，常数α为方程()f x x =的实数根． ⑴．若函数()f x 的定义域为I ，对任意[,]a b I ⊆，存在0[,]x a b ∈，使等式()()f b f a -=0()()b a f x '-成立，求证：方程()f x x =不存在异于α的实数根； ⑵．求证：当x α>时，总有()f x x <成立；⑶．对任意12,x x ，若满足12||1,||1x x αα-<-<，求证12|()()|2f x f x -<．惠州市2007届高三第一次调研考试数学（理科）参考答案9．39729=10．62596 11．4312．①过抛物线22x py =（0p >）外一点P 作抛物线的两条切线PA 、PB （A 、B 为切点），若F 为抛物线的焦点，则PFA PFB ∠=∠．（如果学生写出的是抛物线的其它方程，只要正确就给满分）②过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）外一点P 作椭圆的两条切线PA 、PB （A 、B 为切点），若F为椭圆的一个焦点，则PFA PFB ∠=∠．（如果学生写出的是椭圆的其它方程，只要正确就给满分）③过双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）外（两支之间）一点P （P 不在渐近线上）作双曲线的两条切线PA 、PB （A 、B 为切点），设F 为双曲线的一个焦点．⑴若A 、B 在同一支，则PFA PFB ∠=∠；⑵若A 、B 不在同一支，则PF 平分AFB ∠的邻补角．（如果学生写出的是双曲线的其它方程，只要正确就给满分） 13．①、③14．①(-+=x y 1122)、22(21)41x y -+=， ②090， ③125； 15．⑴．由222tan -=θ，解得22tan -=θ或θtan =2． ………………………………… 3分 ∵22πθπ<<, ∴2πθπ<<, ∴22tan -=θ． ……………………………………… 7分 ⑵．原式=θθθθθθπθθθtan 1tan 1cos sin sin cos 4sin 21sin cos 1+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+, ………………………………… 10分 ∴原式=223221221+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--. ……………………………………………………… 12分16．⑴．(评分说明：每填正确一个数据给2分，共10分)⑵．由上表可见：预订400盒月饼时获利的数学期望Ey 最大，因此最合理．…………………… 12分 17．⑴．设等差数列{}n a 的公差为d ，由3312a b =，得332a s =， ……………………………… 2分 即112433a d a d +=+，得1a d =， …………………………………………………………… 4分 又3521s s +=，得181321a d +=，解得：11a d ==， ……………………………………… 6分 所以11n a n n =+-=，2(1)n b n n =+． ………………………………………………………… 8分⑵．由2112()(1)1n b n n n n ==-++， ………………………………………………………… 10分得：121111112[(1)()()]2(1)222311n b b b n n n +++=-+-++-=-<++． ……………… 14分 18 方法一：⑴．证明：连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ………… 1分 ,BO DO BC CD ==，CO BD ⊥． ……… 2分在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO ==… 3分而2AC =， 222,AO CO AC ∴+= ………………… 4分 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥ ………………… 5分,BD OC O =∴AO ⊥平面BCD ． …………………………… 6分 ⑵．解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为 BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC ，∴ 直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角，………………………………8分 在OME ∆中，111,22EM AB OE DC ==== OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，∴112OM AC == ……………………………… 9分 ∴222cos 2OE EM OM OEM OE EM +-∠==⋅⋅， ………………………………………………… 10分CE∴异面直线AB 与CD所成角余弦的大小为4． …………………………………………………… 11分 ⑶．解：设点E 到平面ACD 的距离为h ． E ACD A CDE V V --=，1133ACD CDE h S AO S ∆∆∴⋅=⋅⋅ ………………………………………………12分在ACD ∆中，2,CA CD AD ===122ACD S ∆∴==,而1AO =，2122CDE S ∆==∴172CDEACDAO S h S ∆∆⨯⋅===，∴点E 到平面ACD的距离为7………………………………………………………… 14分 方法二：⑴．同方法一．⑵．解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),B D -1(0,0,1),((1,0,1),(1,2C A E BA CD =-=-2cos ,BA CD BA CD BA CD⋅∴<>==⋅…………… 9分 ∴ 异面直线AB 与CD ．……⑶．解：设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =则(,,)(1,0,1)0(,,)1)0n AD x y z n AC x y z ⎧⋅=⋅--=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩， ∴0x z z +=⎧⎪-=，令1,y =得(3,1,n =-是平面ACD 的一个法向量．又1(,,0),22EC =-∴点E 到平面ACD 的距离 37EC n h n⋅===．……………………………………… 14分 19．解⑴．依题意,可设直线AB 的方程为m kx y +=,代入抛物线方程y x 42=，得：2440x k x m --= ① …………………………………………………………… ２分设A 、B 两点的坐标分别是11(,)x y 、22(,)x y ，则12,x x 是方程①的两根，所以，124x x m =-． ……………………………………………………………………… ３分 由点P 满足AP PB λ=（λ为实数，1λ≠-），得0121=++λλx x ， 即12x x λ=-． 又点Q 是点P 关于原点的以称点，故点Q 的坐标是(0,)m -，从而(0,2)QP m =．1122(,)(,)QA QB x y m x y m λλ-⋅=+-+1212(,(1)).x x y y m λλλ=--+-12()2[(1)]QP QA QB m y y m λλλ⋅-=-+- =])1(44[221222121m x x x x x x m ++⋅+ =2212144)(2x m x x x x m +⋅+ =221444)(2x m m x x m +-⋅+ =0 (6)所以，()QP QA QB λ⊥-． ………………………………………………………………… 7分 ⑵．由221204x y x y ⎧-+=⎨=⎩得点A 、B 的坐标分别是(6,9)、(4,4)-． 由y x 42=得241x y =，1,2y x '= 所以，抛物线y x 42=在点A 处切线的斜率为63x y ='=． …………………………………… 9分设圆C 的方程是222)()(r b y a x =-+-， 则22229163(6)(9)(4)(4)b a a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-+-=++-⎩……………………………………… 11分 解得：222323125,,(4)(4)222a b r a b =-==++-=．……………………………………… 13分 所以，圆C 的方程是2125)223()23(22=-++y x ． ……………………………………… 14分 20．⑴．用反证法， 设方程()f x x =有异于α的实根β，即()f ββ=，不妨设βα>，则()()f f βαβα-=-，在α与β之间必存在一点c ，c αβ<<，由题意使等式()()()()f f f c βαβαβα'-=-=-成立， …………………………………… 2分 因为αβ≠，所以必有()1f c '=，但这与0()1f x '<<矛盾．因此，如若β也是方程()f x x =的根，则必有βα=，即方程()f x x =不存在异于α的实数根．… 4分 ⑵．令()()h x x f x =-， ………………………………………………………………………… 5分 ()1()0h x f x ''=->， …………………………………………………………………………… 6分 ()h x ∴为增函数． ………………………………………………………………………………… 7分 又()()0,h f ααα=-=∴当x α>时，()0h x >，即().x f x > ………………………………… 9分 ⑶．不妨设12x x ≤，0()1,()f x f x '<<∴为增函数，即12()().f x f x ≤ …………………… 10分 又()10,f x '-<∴函数()f x x -为减函数． ……………………………………………………… 11分 即11222121()(),0()().f x x f x x f x f x x x -≥-∴≤-≤- ………………………………………… 12分 即21212121|()()|||.||||||2,f x f x x x x x x x αα-≤--≤-+-<∴12|()()|2f x f x -<． …………………………………………………………………………… 14分。

2007年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知函数f（x）=定义域为M，g（x）=ln（1+x）定义域N，则M∩N等于（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x＜1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．∅2．（5分）若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（）A．2 B．C．D．﹣23．（5分）若函数，则f（x）是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为y=x的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数4．（5分）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间C之间关系的图象中，正确的是（）A．B．C．D．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣9n，第k项满足5＜a k＜8，则k等于（）A．9 B．8 C．7 D．66．（5分）图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜97．（5分）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）A．15 B．16 C．17 D．188．（5分）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）A．（a*b）*a=a B．[a*（b*a）]*（a*b）=a C．b*（b*b）=b D．（a*b）*[b*（a*b）]=b二、填空题（共7小题，每小题5分，13-15题为选做题，选做其中2道题，满分30分）9．（5分）甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为．（答案用分数表示）10．（5分）若向量a，b满足||=||=1，的夹角为60°，则=．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是．12．（5分）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条，这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）=；f（n）=．（答案用数字或n的解析式表示）13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为，（参数θ∈[0，2π]），则圆C的圆心坐标为，圆心到直线l的距离为．14．（5分）设函数f（x）=|2x﹣1|+x+3，则f（﹣2）=；若f（x）≤5，则x 的取值范围是．15．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，垂足为A，以腰BC 为直径的半圆O切AD于点E，连接BE，若BC=6，∠EBC=30°，则梯形ABCD的面积为．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0 ）（1）若c=5，求sin∠A的值；（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．17．（12分）．x3456y2 . 5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x 的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）18．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O ．椭圆=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C的方程；（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19．（14分）如图所示，等腰△ABC 的底边，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，记BE=x，V（x）表示四棱锥P﹣ACFE的体积．（1）求V（x）的表达式；（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．20．（14分）已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，求a的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=x2+x﹣1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a1=1，（n=1，2，…）．（1）求α，β的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有a n＞α；（3）记（n=1，2，…），求数列{b n}的前n项和S n．2007年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2007•广东）已知函数f（x）=定义域为M，g（x）=ln（1+x）定义域N，则M∩N等于（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x＜1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．∅【分析】根据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域M和N，再求它们的交集即可．【解答】解：∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，∴由1﹣x＞0求得函数的定义域M={x|x＜1}，和由1+x＞0 得，N=[x|x＞﹣1}，∴它们的交集M∩N={x|﹣1＜x＜1}．故选C．2．（5分）（2007•广东）若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（）A．2 B．C．D．﹣2【分析】本题主要考查复数的乘法运算以及纯虚数的概念等基础知识，属容易档次．【解答】解：（1+bi）（2+i）=（2﹣b）+（1+2b）i，则，∴b=2选A．3．（5分）（2007•广东）若函数，则f（x）是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为y=x的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数【分析】本题主要考查三角函数的最小正周期和奇偶性，也涉及到对简单三角变换能力的考查．见到三角函数平方形式，要用二倍角公式降幂，变为可以研究三角函数性质的形式y=Asin（ωx+φ）的形式．【解答】解：∵f（x）=，∴y=f（x）最小周期为π的偶函数，故选D4．（5分）（2007•广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间C之间关系的图象中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】本题的常规方法建立实际问题中的分段函数模型，然后研究分段函数的图象．其实，客观题往往有打破常规的捷径，如此题抓住三个点，即（1，60），（1.5，60），（2.5，140），则很容易地得到答案B，体现了描点法的精细思考．【解答】解：由题意得；，抓住三个点，即（1，60），（1.5，60），（2.5，140），对照选项选B．故选：B．5．（5分）（2007•广东）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣9n，第k项满足5＜a k ＜8，则k等于（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】先利用公式a n=求出a n，再由第k项满足5＜a k＜8，求出k．【解答】解：a n==∵n=1时适合a n=2n﹣10，∴a n=2n﹣10．∵5＜a k＜8，∴5＜2k﹣10＜8，，∴k=8，∴＜k＜9，又∵k∈N+故选B．6．（5分）（2007•广东）图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜9【分析】由题目要求可知：该程序的作用是统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm））的学生人数，由图1可知应该从第四组数据累加到第七组数据，故i值应小于8．【解答】解：现要统计的是身高在160﹣180cm之间的学生的人数，即是要计算A4、A5、A6、A7的和，当i＜8时就会返回进行叠加运算，当i≥8将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，故i＜8．故答案为：i＜8．7．（5分）（2007•广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）A．15 B．16 C．17 D．18【分析】本题主要考查解决实际问题的能力，研究生活中的最优化模型，体现了对创新思维能力的考查．根据已知，现在要将A，B两个维修点的零件调往C、D 两个维修点，由于A、D两个维修点相邻，且D维修点的零件缺口最大，故要首先考虑从A点调零件到D点．【解答】解：D处的零件要从A、C或B处移来调整，且次数最少．方案一：从A处调10个零件到D处，从B处调5个零件到C处，从C外调1个零件到D处，共调动16件次；方案二：从B处调1个零件到A处，从A处调11个零件到D处，从B外调4个零件到C处，共调动16件次．故选B．8．（5分）（2007•广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）A．（a*b）*a=a B．[a*（b*a）]*（a*b）=a C．b*（b*b）=b D．（a*b）*[b*（a*b）]=b【分析】本题主要考查应用新定义解决数学问题的能力，体现了对创新思维能力的考查力度．根据已知中a*（b*a）=b，对四个答案的结论逐一进行论证，不难得到正确的结论．【解答】解：根据条件“对任意的a，b∈S，有a*（b*a）=b”，则：选项B中，[a*（b*a）]*（a*b）]=b*（a*b）=a，一定成立．选项C中，b*（b*b）=b，一定成立．选项D中，（a*b）*[b*（a*b）]=b，一定成立．故选A．二、填空题（共7小题，每小题5分，13-15题为选做题，选做其中2道题，满分30分）9．（5分）（2007•广东）甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为．（答案用分数表示）【分析】本题是一个古典概型，从甲、乙两袋中各随机取出一个球取出的两球是红球表示从甲袋中取得一个红球且从乙袋中取得一个红球，试验发生的总事件数是C61C61，满足条件的事件数是C41C51+C21C11，由古典概型公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，记“从甲、乙两袋中各随机取出一个球取出的两球是红球”，为事件A试验发生的总事件数是C61C61=36，满足条件的事件数是C41C11=4，由古典概型公式得到P（A）==，故答案为：．10．（5分）（2007•广东）若向量a，b满足||=||=1，的夹角为60°，则=．【分析】利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积，利用向量的模的平方等于向量的平方，将求出的值代入代数式即得．【解答】解：∵，∴=1+=．故答案为11．（5分）（2007•广东）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是x=﹣．【分析】先求出线段OA的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到准线方程．【解答】解：依题意我们容易求得直线的方程为4x+2y﹣5=0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p=，从而得到准线方程x=﹣．故答案为：x=﹣．12．（5分）（2007•广东）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条，这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）=12；f（n）=．（答案用数字或n的解析式表示）【分析】本题主要考查合情推理，以及经历试值、猜想、验证的推理能力．凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，过顶点与底边上每个顶点都可确定一条侧棱所在的直线，过底面上任一点与底面上其它点均可确定一条直线（边或对角线），综合起来不难得到第一空的答案，因为底面上所有的直线均共面，故每条侧棱与不过该顶点的其它直线都是异面直线．【解答】解：凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，所以可以分为两类：侧棱共有n条，底面上的直线（包括底面的边和对角线）条两类合起来共有条．在这些直线中，每条侧棱与底面上不过此侧棱的端点直线异面，底面上共有直线（包括底面的边和对角线）条，其中不过某个顶点的有=条所以，f（n）=，f（4）=12．故答案为：，12，．13．（5分）（2007•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为，（参数θ∈[0，2π]），则圆C的圆心坐标为（0，2），圆心到直线l的距离为．【分析】先利用两式相加消去t将直线的参数方程化成普通方程，然后利用sin2θ+cos2θ=1将圆的参数方程化成圆的普通方程，求出圆心和半径，最后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即可．【解答】解：直线l的参数方程为（参数t∈R），∴直线的普通方程为x+y﹣6=0圆C的参数方程为（参数θ∈[0，2π]），∴圆C的普通方程为x2+（y﹣2）2=4∴圆C的圆心为（0，2），d=故答案为：（0，2），14．（5分）（2007•广东）设函数f（x）=|2x﹣1|+x+3，则f（﹣2）=6；若f （x）≤5，则x的取值范围是[﹣1，1] ．【分析】直接代入﹣2求出函数值f（﹣2），f（x）≤5，去掉绝对值符号，对x 分类讨论，即x≥，和x分别解不等式组即可．【解答】解：f（﹣2）=|2•（﹣2）﹣1|+（﹣2）+3=6，将f（x）=|2x﹣1|+x+3≤5变形为或，解得或，即﹣1≤x≤1．所以，x的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：6；[﹣1，1]．15．（2007•广东）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，垂足为A，以腰BC为直径的半圆O切AD于点E，连接BE，若BC=6，∠EBC=30°，则梯形ABCD的面积为9 ．【分析】连接EC，EO．根据梯形的面积等于梯形的中位线长乘以高，显然中位线即是半圆的半径，即为3．故只需求得该梯形的高．根据梯形的中位线，只需求得DE的长，首先根据30度的直角三角形BCE求得CE的长，再根据弦切角定理求得∠CED=30°，进一步根据锐角三角函数求得DE的长，再根据梯形的面积公式进行计算．【解答】解：如图连接EC，∵BC为半圆O的直径，∴BE⊥EC（1分）∵∠EBC=30°，∴EC=BC=×6=3连接OE，∴OE=OB=3，∠BEO=30°∵AD与⊙O相切于点E，∴OE⊥AD∴∠OEC=60°，∴∠DEC=30°∴DC=EC=∴DE=（3分）∵OE∥DC∥AB，OC=OB，∴OE是梯形的中位线∴AE=DE=（5分）∴AD=2DE=3∵AD⊥AB，∴DA为梯形ABCD的高∴S=OE•AD=3×3 ．（7分）梯形ABCD故答案为：9．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2007•广东）已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0 ）（1）若c=5，求sin∠A的值；（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．【分析】（1）通过向量的数量积求出角A的余弦，利用平方关系求出A角的正弦．（2）据向量数量积的公式知向量的夹角为钝角等价于数量积小于0，列出不等式解．【解答】解：（1）根据题意，，，若c=5，则，∴，∴sin∠A=；（2）若∠A为钝角，则解得，∴c的取值范围是；17．（12分）（2007•广东）．x3456y2344. 5. 5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x 的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）【分析】（1）依据描点一一描点画图即可；（2）先算出x和y的平均值，有关结果代入公式即可求a和b的值，从而求出线性回归方程；（3）将x=100时代入线性方程得到y的值，就能预测生产100吨甲产品的生产能耗情况．【解答】解：（1）根据题意，作图可得，（2）由系数公式可知，，，，所以线性回归方程为y=0.7x+0.35；（3）x=100时，y=0.7x+0.35=70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．18．（14分）（2007•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C的方程；（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设出圆的标准方程，由相切和过原点的条件，建立方程求解．（2）要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为圆心，半径为2的圆（x─4）2+y2=8与（1）所求的圆的交点数．【解答】解：（1）设圆心坐标为（m，n）（m＜0，n＞0），则该圆的方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=2即|m﹣n|=4①又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入得m2+n2=8②联立方程①和②组成方程组解得故圆的方程为（x+2）2+（y﹣2）2=8；（2）|a|=5，∴a2=25，则椭圆的方程为=1其焦距c==4，右焦点为（4，0），那么|OF|=4．通过联立两圆的方程，解得x=，y=．即存在异于原点的点Q（，），使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长．19．（14分）（2007•广东）如图所示，等腰△ABC的底边，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，记BE=x，V（x）表示四棱锥P﹣ACFE的体积．（1）求V（x）的表达式；（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．【分析】（1）先求底面面积，再求出高，即可求V（x）的表达式；（2）利用导数，来求V（x）的最大值，（3）过F作MF∥AC交AD于M，得到异面直线所成的角，然后求异面直线AC 与PF所成角的余弦值．【解答】解：（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，V（x）=（）（2），所以x∈（0，6）时，v'（x）＞0，V（x）单调递增；时v'（x）＜0，V（x）单调递减；因此x=6时，V（x）取得最大值；（3）过F作MF∥AC交AD与M，则，PM=，，在△PFM中，，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为．20．（14分）（2007•广东）已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，求a的取值范围．【分析】y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点转化为（2x2﹣1）a=3﹣2x在[﹣1，1]上有解，把a用x表示出来，转化为求函数在[﹣1，1]上的值域，再用分离常数法求函数在[﹣1，1]的值域即可．【解答】解：a=0时，不符合题意，所以a≠0，又∴f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a=0在[﹣1，1]上有解，⇔（2x2﹣1）a=3﹣2x在[﹣1，1]上有解在[﹣1，1]上有解，问题转化为求函数[﹣1，1]上的值域；设t=3﹣2x，x∈[﹣1，1]，则2x=3﹣t，t∈[1，5]，，设，时，g'（t）＜0，此函数g（t）单调递减，时，g'（t）＞0，此函数g（t）单调递增，∴y的取值范围是，∴f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a=0在[﹣1，1]上有解⇔∈⇔a≥1或．故a≥1或a≤﹣．21．（14分）（2007•广东）已知函数f（x）=x2+x﹣1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a1=1，（n=1，2，…）．（1）求α，β的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有a n＞α；（3）记（n=1，2，…），求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）由f（x）=x2+x﹣1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β）可求得；（2）由f'（x）=2x+1，=，由基本不等式可知，依此有（3），，数列{b n}是等比数列，由其前n项和公式求解．【解答】解：（1）∵f（x）=x2+x﹣1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），∴；（2）f'（x）=2x+1，=，∵a1=1，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴，同样，（n=1，2），（3）而α+β=﹣1，即α+1=﹣β，，同理，又。