空间点、直线、平面之间的位置关系 经典例题与讲解

高中数学辅导讲义[解析版]知识图谱空间点、直线、平面之间的位置关系知识精讲一．平面的三个公理及推论1．三个公理：（1） 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在 这个平面内．图形语言表述：如右图：符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂（2） 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说 成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使,,A B C ααα∈∈∈．（3）公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线． 2．三个推论（都可利用公理2进行推导）．推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面． 共面直线：包括平行直线和相交直线.异面直线：既不相交又不平行的直线叫做异面直线.αlB AαCBA Aαaβ三点剖析一．方法点拨1．证明空间中的三点共线问题：一般根据公理3证明这些点都在两个平面的交线上：即先确定出某两个点在某两个平面内，再证明第三个点既在第一个平面内，又在第二个平面内，则三点都在两平面的交线上公理3是证明点共线的依据，应该这样理解： （1）如果A 、B 是交点，那么AB 是交线；（2）如果l αβ=，点P 是,αβ的一个公共点，那么P l ∈．2．证明直线共面通常的方法：（1）先由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在此平面内（纳入法）； （2）分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合（重合法）；（3）可以假设这些直线不在同一平面内，然后通过推理找出矛盾（反证法）．平面的基本性质例题1、 若点B 在直线b 上，b 在平面β内，则B b β、、之间的关系可记作（ ） A.B b β∈∈ B.B b β∈⊂ C.B b β⊂⊂ D.B b β⊂∈例题2、 在下列命题中，不是公理的是（ ） A.平行于同一个平面的两个平面平行B.过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 例题3、 空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果EF GH P ⋂=，则点P （ ） A.一定在直线BD 上 B.一定在直线AC 上 C.在直线AC 或BD 上 D.不在直线AC 上也不在直线BD 上 例题4、 一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是() A.1或3个 B.1或4个 C.1个、3个或4个 D.1个、2个或4个 随练1、 如果,,,,a b l a A l b B αα⊂⊂⋂=⋂=那么下列关系成立的是（ ） A.l α⊂ B.l α∉ C.l A α⋂= D.l B α⋂= 随练2、 两个平面重合的条件是它们的公共部分有（ ） A.两个公共点 B.三个公共点 C.四个公共点 D.两条平行直线共面与异面直线例题1、 如图，设E F G H P Q ，，，，，分别是正方体1111ABCD A B C D -所在棱上的中点，求证：E F G H P Q ，，，，，共面．例题2、 已知直线直线求证：直线共面．,a b c ∥∥,,.l a A l b B lc C ===,,,a b c l PQ HG F E B 1D 1C 1A 1DCBA例题3、 如图，,D E 是棱PC 上不重合的两点，,F H 分别是棱,PA PB 的点，且与P 点不重合，求证：EF 和DH 是异面直线．例题4、 如图所示，已知梯形中，画出平面与平面的交线．随练1、 一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是( ) A.1或3个 B.1或4个 C.1个、3个或4个 D.1个、2个或4个 随练2、 如图，点是的中点，画出平面与平面的交线．拓展1、 如图所示，用符号语言可表达为（ ）A.m n m n A αβα⋂=⊂⋂=，，B.m n m n A αβα⋂=∈⋂=，，C.m n A m A n αβα⋂=⊂⊂⊂，，，D.m n A m A n αβα⋂=∈∈∈，，，2、 如图所示是正方体的表面展开图，在这个正方体中， ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 垂直 以上四个命题，正确命题的序号是______________3、 下列命题中正确的有几个（ ）①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P Q R 、、，则P Q R 、、三点共线； ②若三条直线a b c 、、互相平行且分别交直线l 于A B C 、、三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面五个点一定能确定10个平面．（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个ABCD ,2,AB CD DC AB =∥PBC PAD DBPAE 1CC BDE 1111A B C D 1C B A 1C E APH FDBAn mAβαFE MN D C B A4、 如图所示，已知正方体中，分别是的中点，求证：延长后相交于一点．1111ABCD A B C D ,G H 1111,B C C D 1,,DH BG CC1A C答案解析平面的基本性质与推论平面的基本性质例题1、 【答案】 B【解析】 点是元素，直线和平面为集合 例题2、 【答案】 A【解析】 D 、B 、C 分别为公理一、二、三． 例题3、 【答案】 B【解析】 根据公理三可得 例题4、 【答案】 C【解析】 根据点线面确定平面的方法判断即可. 随练1、 【答案】 A【解析】 直线和平面的包含关系 随练2、 【答案】 D【解析】 有多于不在同一直线三点的两个平面重合共面与异面直线例题1、【答案】 见解析【解析】 连接EF QG ，，∵E F Q G ，，，分别是111111A D D C A A C C ，，，的中点，∴11,||||EF AC QG 同理||FG EP ，设E F G Q ，，，确定平面F G E P α，，，，确定平面β，由于α，β都经过不共线的三点E F G ，，，故α，β重合，即E F G P Q ，，，，五点共面，同理可证E F G H Q ，，，，五点共面，故E F G H P Q ，，，，，共面． 例题2、【答案】 见解析 【解析】 证明：确定平面确定平面又 平面内都有直线和点且点在直线外． 重合，则同理，共面．例题3、【答案】 见解析 【解析】 反证法，假设EF 与DH 有公共点，则公共点也为平面PAC 与平面PBC 的公共点，从而公共点在直线PC 上，而,,,EF PC F PC DH D D F ==不重合，结论不成立．,,lb B b l =∴,,a b α∴.β,..l a A A l A α=∴∈∴∈,,.A a a A ββ∈⊂∴∈∴,αβb ,A A b ,αβ∴.a α⊂.,,,c a b c l α⊂∴例题4、 【答案】 如图【解析】 延长交于点连接即是平面与平面的交线． 随练1、 【答案】 C【解析】 按照直线与点的位置讨论得出 随练2、【答案】 如图所示．【解析】 如图，延长交于点延长交于点连接即是平面与平面的交线．拓展1、【答案】 A【解析】 平面的交线，直线和平面的交点，点和平面的属于关系 2、【答案】 ③④【解析】 还原立体图可得 3、【答案】 C【解析】 不共面的五个点最多能确定10个平面 4、【答案】 见解析．【解析】 证明：先证相交于一点，然后再证过这一点即可．平行且等于又平行且等于 平行且等于． 所以四点共面，且为梯形．所以延长后必交于点因为所以同理．所以点在平面平面的交线上．又平面平面延长后相交于一点．DBPA,CB DA ,Q ,PQ PQ PBC PAD D 1C 1B 1A 1MDC E A11,DE D C ,M 11,BE B C ,N ,MN MN BDE 1111A B C D ,DH BG 1CC 1111,,D H HC B G GC GH ==∴111.2B D 11B D ,BD GH ∴12BD ,,,G H B D GHDB ,DH BG .P 11,,P BG BG BCC B ∈⊂平面11.P BCC B ∈平面11P CC D D ∈平面P 11BCC B 和11CC D D 11BCC B111,CC D D CC =1,P CC ∴∈∴1,,DH BG CC。

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系【知识梳理】1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号暗示a⊂αa∩α＝A a∥α图形暗示2．两个平面的位置关系位置关系图示暗示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)【常考题型】题型一、直线与平面的位置关系【例1】下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于①，直线a在平面α外包孕两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α纷歧定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．[答案] B【类题通法】空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．【对点训练】1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条必然与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①正确；②错误，如图1所示，l1∥m，而m⊂α，l1⊂α；③正确，如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选C.题型二、平面与平面的位置关系【例2】(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．【类题通法】两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.【对点训练】2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：4 63．如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．【练习反馈】1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2.如图所示，用符号语言可暗示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在独一的平面与已知平面平行．答案：0或15．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.。

空间点、直线、平面之间的位置关系一、基础知识1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎨⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个 平面内(2)异面直线所成的角 ①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2. (3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外，记作l⊄α.(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．二、常用结论1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．考点一平面的基本性质及应用B1C1D1中，E，F分[典例]如图所示，在正方体ABCD-A别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．[证明](1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈DA，∴CE，D1F，DA三线共点．[变透练清]1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()解析：选D A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．2.(变结论)若本例中平面BB1D1D与A1C交于点M，求证：B，M，D1共线．证明：连接BD1(图略)，因为BD1与A1C均为正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线，故BD1与A1C相交，则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1共线，因为BD1⊂平面BB1D1D，故A1C与平面BB1D1D的交点为O，与M重合，故B，M，D1共线．考点二空间两直线的位置关系[典例](1)(优质试题·郑州模拟)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a ⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是() A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面(2)G，N，M，H分别是下图中正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是________．(填序号)[解析](1)如图，取平面ABCD为α，平面ABFE为β.若直线CH为a，则a在α，β内的射影分别为CD，BE，此时CD，BE异面，即b，c异面，排除A；若直线GH为a，则a在α，β内的射影分别为CD，EF，此时CD，EF平行，即b，c平行，排除B；若直线BH为a，则a在α，β内的射影分别为BD，BE，此时BD，BE相交，即b，c 相交，排除C.综上所述选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．[答案](1)D(2)②④[题组训练]1．下列结论中正确的是()①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内；③一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析：选B①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②显然正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选B.2.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确结论的序号为________．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．答案：③④[课时跟踪检测]1．(优质试题·衡阳模拟)若直线l与平面α相交，则()A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一一条直线与l平行C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交解析：选A当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选A由BC綊AD，AD綊A1D1，知BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，故A1B与EF相交．3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选B.4.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个解析：选D设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相交，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．5．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么()A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外解析：选A如图，因为EF⊂平面ABC，而GH⊂平面ADC，且EF和GH 相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P 必在直线AC上．6.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．答案：57．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面P AD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD 的交线是________．解析：由题易知EF ∥BC ，BC ∥AD ，所以EF ∥AD ，故EF ∥平面P AD ，因为EF ∥AD ，所以E ，F ，A ，D 四点共面，所以AD 为平面AEF 与平面ABCD 的交线． 答案：平行 AD8.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，有以下四个结论．①EF 与GH 平行；②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．其中正确结论的序号为________．解析：如图所示．连接EH ，FG ，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上， 故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．答案：④9.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．(1)AM 和CN 是否共面？说明理由；。

求证：两条相交直线确定一个平面.思路点拨：公理2用于确定一个平面.证明：如图：已知直线，在上任取与A不重合的一点B，在a上任取与A不重合的一点C，则A、B、C三点不共线，由公理2，A、B、C三点确定一个平面，设为；∵B、A点在直线上，且B、A点在上，由公理1，；同理；∴两条相交直线a、确定一个平面.总结升华：证明点线共面的主要依据：1．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内；2．经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.举一反三：【变式1】已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.【答案】如图证明：因为a∥b，由公理2的推论，存在平面，使得，.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，.假设，则，在平面内过点C作，因为，则，这与矛盾，故直线.综上述，a、b、c、d四线共面.【变式2】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，求证：直线AB、BC、CA共面.思路点拨：先依据公理2，由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1,证三条直线在平面内.注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证.常根据三条公理，进行“共面”问题的证明.证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面，因为，，所以.同理，.所以AB，BC，CA三直线共面.【变式3】在正方体中，（1）与是否在同一平面内？（2）点B，，D是否在同一平面内？（3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线.解：（1）在正方体中，∵，∴由公理2的推论可知，与可确定平面，∴与在同一平面内.（2）∵点B，，D不共线，由公理“过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面”可知，点B，，D可确定平面，∴点B，，D在同一平面内.（3）∵，，∴点O平面，平面，又平面，平面，∴平面平面，同理平面平面.类型二：三点共线问题2．已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD（四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和HG交于点P，如图所示，求证：点B、D、P在同一条直线上．思路点拨：由题设，我们很容易知道B，D在平面ABD和平面CBD交线上，现只需再证明P也在两平面交线上即可．证明：如上图，∵直线EF∩直线HG=P，∴P∈直线EF，而EF平面ABD，∴P∈平面ABD．同理，P∈平面CBD，即点P是平面ABD和平面CBD的公共点．显然，点B、D也是平面ABD和平面CBD的公共点，由公理3知，点B、D、P都在平面ABD和平面CBD的交线上，即点B、D、P在同一条直线上．总结升华：证明三点共线通常采用如下方法：1．首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在交线上．2．选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上．举一反三：【变式1】已知△ABC在平面外，AB∩=P，AC∩=R，BC∩=Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．思路点拨：应用公理3，选择恰当的平面，只要证明点都是某两个平面的公共点，即可推出三点在两个平面的交线上．证明：∵AB∩=P，∴P∈AB，P∈平面．又AB平面ABC，∴P∈平面ABC．∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上．同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上．∴P、Q、R三点共线．总结升华：证明多点共线问题，找出相关的平面与平面的交线，由公理3，说明这些点都在这两个平面的交线上即可．【变式2】如图所示，在正方体中，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．思路点拨：可根据公理3，如果两个平面有一个公共点，它们就有过这点的一条交线，也只有这一条交线；这条直线的位置还需借助于另一个条件来确定．解析：在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA．又∵FD1平面BED1F，AD平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD．又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，∴连接PB，PB即为平面BED1F，与平面ABCD的交线．总结升华：公理3是两个平面相交的性质，它说明两个平面相交，交线是一条直线．要注意理解两个平面不存在只有一个公共点的情形，如果有一个公共点，那么必定有无数多个公共点，且这些点恰好组成一条直线。

专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系【考纲解读与核心素养】1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和性质定理；2.了解两点间距离、点到平面的距离的含义.3.理解两条异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念.4．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养. 5. 高考预测：（1）以几何体为载体，考查点线面的位置关系，以及异面直线所成角、线面角等，与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.（2）判断线线、线面、面面的位置关系.（3）平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型多为选择题或填空题，少有在大题中间接考查．平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成的角、线面角、二面角和距离是高考热点，在浙江卷中频频出现． 6.备考重点：(1) 掌握相关定义、公理、定理；（2）掌握平行关系、垂直关系的常见转换方法. （3）掌握各种角的计算方法.【知识清单】知识点1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 知识点2．空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．abc V = 知识点3．异面直线所成的角 异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：]2,0(π.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 知识点4．直线与平面所成角1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.知识点5．二面角 1．求二面角的大小(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)．【典例剖析】高频考点一 ：平面的基本性质【典例1】（2019·河南高三月考（文））如图，1111ABCD A B C D －是平行六面体，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（ ）A.1A M O A 、、、不共面B.A M O 、、三点共线C.A M O C 、、、不共面D.1B B O M 、、、共面【答案】B 【解析】如图所示：连接11A C ，因为AO ⊂平面11AB D ，AO ⊂平面11ACC A ，所以AO 是平面11AB D 与平面11ACC A 的交线；又因为直线1A C 交平面11AB D 于点M ，所以M ∈AO ，所以A M O 、、三点共线，则B 正确；因为M ∈平面11ACC A ，所以1A M O A 、、、共面，故A 错误，同理可知C 错误；显然M 不是1A C 中点，所以1B B O M 、、、不共面，故D 错误，故选：B.【典例2】（2020·全国高考真题（文））如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥, 因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥ 因为11,BB BD B BB BD =⊂、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC = 所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以M F A D 、、、四点共面，所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴，所以1E C A F 、、、四点共面，因此1C 在平面AEF 内 【规律方法】1.证明点共线问题的常用方法公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上. 2.证明线共点问题的方法证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点． 3.证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合 【变式探究】1.（2019·上海高三）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】A 【解析】由题意，根据直线和直线外的一点，有且只有一个平面，所以“这四个点中有三点在同一直线上”，则“这四个点在同一平面上”，反之不一定成立，所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的充分非必要条件，故选A.2.如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线． 【答案】见解析【解析】证明：(1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD .∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH . ∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点． 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线． 【总结提升】公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理． 画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上. 高频考点二： 空间线、面的位置关系【典例3】（2015·广东高考真题（文））若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A.l 与1l ，2l 都相交B.l 与1l ，2l 都不相交C.l 至少与1l ，2l 中的一条相交D.l 至多与1l ，2l 中的一条相交【答案】C 【解析】试题分析：若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 的一条相交.故选A ．【典例4】（2020·江苏省高考真题）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C . （2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C , 由于AB平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【总结提升】判断空间两直线位置关系的思路方法(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断． (2)异面直线的判定方法①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．②定理法：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线． 【变式探究】1.（2019·湖南雅礼中学高三月考（理））给出三个命题：①直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面；②夹在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面；③过空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行.正确的是（ ） A ．②③ B ．①②C ．①②③D ．②【答案】D 【解析】对于命题①，如果这两点在该平面的异侧，则直线与该平面相交，命题①错误；对于命题②，如下图所示，平面//α平面β，A α∈，C α∈，B β∈，D β∈，且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过点C 作//CG AB 交平面β于点G ，连接BG 、DG .设H 是CG 的中点，则//EH BG ，BG ⊂平面β，EH ⊄平面β，//EH ∴平面β.同理可得//HF 平面β，EHHF H =，∴平面//EFH 平面β.又平面//α平面β，∴平面//EFH 平面α，EF ⊂平面EFH ，//EF ∴平面α，//EF 平面β，命题②正确；对于命题③，如下图所示，设AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，E 为AB 上一点，过点E 作//a a '，//b b '，当点E 不与点A 或点B 重合时，a '、b '确定的平面α即为与a 、b 都平行的平面；若点E 与点A 或点B 重合时，则a α⊂或b α⊂，命题③错误.故选：D.2.若,a b 表示直线，α表示平面，下列结论中正确的是_______.①,//a b a b αα；②,//a a b b αα⊥⊥⇒；③//,a a b b αα⊥⇒⊥；④,//a b a b αα⊥⊥⇒. 【答案】①④ 【解析】 ①中，因为,//ab αα，根据线面垂直的性质，即可得到a b ⊥，所以①正确；②中，因为,α⊥⊥a a b ，所以//b α或b α⊂，故②错误； ③中，因为//,a ab α，所以//b α或b α⊂或b 与α相交，故③错误；④中，因为,a b αα⊥⊥，根据线面垂直的性质定理，即可得到//a b ，故④正确；故答案为①④ 【总结提升】空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决. 高频考点三： 异面直线所成的角【典例5】（2019·浙江衢州�高二期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱DC 的中点，则异面直线BM 与1A C 所成角的正弦值为（ ）A ．210B ．15 C ．65 D ．86565【答案】A 【解析】延长AB 至点N ，使得12BN CM CD ==，连接1,A N CN ，//CM BN ，∴四边形BMCN 为平行四边形，∴异面直线BM 与1A C 所成角即为CN 与1A C 所成角，即1A CN ∠，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，1AC ∴==，2CN BM a ===，1A N ==，22222211115133cos 2a a a AC CN A N ACN AC CN +-+-∴∠===⋅，1sin 15A CN ∴∠==， ∴异面直线BM 与1A C.故选：A . 【规律方法】1.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行． 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是]2,0(π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 2．向量法(基底法、坐标法)求异面直线所成的角根据题意，确定两异面直线各自的方向向量a ，b ，则两异面直线所成角θ满足cos θ＝||a ||||·a b b ⋅.【变式探究】（2019·四川棠湖中学高二月考）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A.2π B. C. D.3π 【答案】A 【解析】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角， 在△A 2BM 中，22252()2a A B a BM a a ==+=，，222313()2a A M a =+=，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选：A ．高频考点四： 直线与平面所成角【典例6】（2019·陕西高三月考（理））已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为2，点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,23，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )23 C.12D.13【答案】A 【解析】易知22AB =1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算22112C P CP CC =-=；又1112,4A P A C ==，所以点P 是11A C 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP 在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，2tan 2CO CPO PO ∠==.【典例7】（2018·天津高考真题（文））如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =23，∠BAD =90°．（Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)1326；(Ⅲ)34．【解析】（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ． （Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt△DAM 中，AM =1，故DM 22=13AD AM +．因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt△DAN 中，AN =1，故DN 22=13AD AN +在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得1132cos MNDMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD 13 （Ⅲ）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM 3．又因为平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt△CAD 中，CD 22AC AD +．在Rt△CMD 中，3sin CM CDM CD ∠==所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34． 【总结提升】1.利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.2.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角. 【变式探究】1.（2019·全国高三月考（理））已知球内接三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC △为等边三角形，332π3，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为________. 85【解析】 如图:由正弦定理得小圆1O 的半径为:360r =1=,则2AD =,又由343233R ππ=,得球的半径R 2=, 所以22224123AP R r =-=-=取AB 的中点E ,连接PE ,CE ,则CPE ∠就是直线PC 与平面PAB 所成的角,又2212315PC PA AC =+=+223511242PE PA AE =+=+=, 所以512cos 15CPE ∠=85=. 直线PC 与平面PAB 85. 2.（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】方法一：（Ⅰ）由得，所以.故.由，得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.方法二：（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.高频考点五：二面角【典例8】（2018年浙江卷）已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则（）A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D从而因为，所以即，选D.【总结提升】1.利用几何法：原则上先利用图形“找平面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.2.（1）求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(2)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况． 【变式探究】（2019·河北高三月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PD AC ⊥，AB ⊥平面PAD ，底面ABCD 为正方形，且3CD PD +=.若四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为_____；当四棱锥P ABCD -的体积取得最大值时，二面角A PC D --的正切值为_______.【答案】6π5【解析】(1)．设()03CD x x =<<，则3PD x =-.∵AB ⊥平面PAD ， ∴AB PD ⊥，又PD AC ⊥， ∴PD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -可补形成一个长方体，球O 的球心为PB 的中点，从而球O 的表面积为()()22222343126x x x x πππ++-⎡⎤=-+≥⎣⎦⎝⎭.(2)．四棱锥P ABCD -的体积()()213033V x x x =⨯-<<， 则22V x x '=-+，当02x <<时，0V '>；当23x <<时，0V '<. 故()max 2V V =，此时2AD CD ==，1PD =. 过D 作DH PC ⊥于H ，连接AH ，则AHD ∠为二面角A PC D --的平面角. ∵255DH ==，∴tan 5AD AHD DH ∠==.。

1．已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)若点E 为PC的中点，AC ∩BD ＝O ，求证EO ∥平面PAD ；(3)是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论．解：(1)由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2.∴V P －ABCD ＝13S ▱ABCD ·PC ＝23. (2)证明：∵EO ∥PA ，EO ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD .∴EO ∥平面PAD .(3)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ，证明如下：∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC ，又∵AC ∩PC ＝C ，∴BD ⊥平面PAC ，∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ，∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE .2如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB ，EF ⊥F B ，∠BFC=90°，BF=FC ，H 为BC 的中点． (Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB ；Ⅱ)求证：AC ⊥平面EDB ；Ⅲ)求四面体B-DEF 的体积．(Ⅰ)证明：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连结EC ，CH ，由于H 为BC 的中点，故，又，∴，∴四边形EFHC 为平行四边形， ∴EG ∥FH ，而EG 平面EDB ，∴FH ∥平面EDB 。

(Ⅱ)证明：由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC ，又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC ，而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC ，∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH ， 又BF=FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC ，∴FH ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥AC ，又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG ，又AC ⊥BD ，EG ∩BD=G ，∴AC ⊥平面EDB 。

空间点、直线、平面之间的位置关系题型归纳知识的精讲一、平面的基本性质平面的基本性质如表8-4所示. 表8-4 名称 图形文字语言符号语言公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 A l B l l A B ααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭公理2过不在同一直线上的三点有且只有一个平面 A ,B ,C 不共线⇒A ,B ,C α∈且α是唯一确定的 公理2的推论推论1经过一条直线和该直线外一点有且只有一个平面 若点A α∉,则经过点A 和直线a 有且仅有一个平面α推论2两条相交直线确定一个平面 a b P =⇒有且只有一个平面α，使,a b αα⊂⊂推论3两条平行直线确定一个平面 a ∥b ⇒有且只有一个平面α，使,a b αα⊂⊂ 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 若,P αβ∈则,a αβ=且P a ∈二、空间直线与直线的位置关系 1.位置关系如表8-5所示. 表8-5 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面图形符号 a b P =a ∥b,,a A b A b αα=⊂∉公共点个数 1特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一个平面内3.定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等（同向）或互补（反向）. 三、空间中的直线与平面的位置关系（见表8-6） 位置关系 包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）图形符号 l α⊂l P α=l ∥α公共点个数无数个 1四、空间中的平面与平面的位置关系（见表8-7） 表8-7 位置关系 平行相交（但不垂直）垂直图形符号 α∥βl αβ= αβ⊥，l αβ=公共点个数无数个公共点且都在唯一的一条直线上无数个公共点且都在唯一的一条直线上注：垂直是相交（成90o）的特殊情形，异面直线经平移后相交成90o也叫垂直.题型归纳及思路提示题型1证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点” 思路提示要证明“点共面”、“线共面”可先由部分直线活点确定一个平面，再证其余直线或点也在该平面内（即纳入法）；证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线，证明 “线共点”问题是证明三条或三条以上直线交于一点，思路是：先证明两条直线交于一点，再证明交点在第三条直线上.例8.19如图8-73所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，090,BAD FAB ∠=∠=11,.22BCAD BE AF 求证：C ,D ,F ,E 四点共面.分析 证明四点共面，利用平面的确定公理，即两条相交直线确定一个平面，本题可证明DC ,FE 相交与一点.解析 如图8-74所示，延长DC 交AB 的延长线与点G ，由1,2BCAD 得1,2GB GC BC GA GD AD ===延长FE 交AB 的延长线于G ＇，同理可得''1,''2G E G B BE G F G A AF ===故','G B GBG A GA =即G ＇与G 重合，因此，直线CD和EF 相交与点G ，即C ,D ,F ,E 四点共面.变式1 如图8-75所示，已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体,点F 在CC 1上，且AE =FC 1,求证E ,B ,F ,D 1四点共面.变式2 如图8-76所示，在六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，上下底面均为正方形，1DD ⊥平面A 1B 1C 1D 1，1DD ⊥平面ABCD .求证：A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面.例8.20 如图8-77所示，空间四边形ABCD 中，E ,F ,G 分别在AB ,BC ,CD 上，且满足AE ：EB =CF ：FB =2：1，CG ：GD =3：1，过E ,F ,G 的平面交AD 于H ，连接EH ,HG .(1)求AH ：HD ;(2)求证：EH ,FG ,BD 三线共点.解析 （1）因为2AE CFEB FB==，所以EF ∥AC ,又EF ⊄平面ACD ，所以EF ∥平面ACD ，而EF ⊂平面EFGH ，且平面EFGH 平面ACD =GH ,所以EF ∥GH ,而EF ∥AC ,所以AC ∥GH ,所以3AH CGHD GD==，即AH ：HD =3：1. （2）证明：因为EF ∥GH ，且11,34EF GH AC AC ==，所以EF ≠GH ,所以四边形EFGH 为梯形.令EH FG P =，则,,P EH P FG ∈∈，而EH ⊂平面ABD ，FG ⊂平面BCD ，平面ABD 平面BCD =BD ，所以,P BD ∈，故EH ,FG ,BD 三线共点.评注 所谓“线共点”问题就是证明三条或三条以上直线交于一点，证明三线共点的思路为：先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在线上的问题.实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题.变式1 如图8-78所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ,F 分别是AB ,AA 1的中点.求证：（1）E ,C , D 1,F 四点共面；（2）CE ,D 1F ,DA 三线共点.BF C GHAED图8-77变式2如图8-79所示，点E ,F ,C ,H 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ,BC ,CC 1,C 1D 1的中点，证明：EF ,HG ,DC 三线共点.题型2 截面问题 思路提示截面问题是平面基本性质的具体应用，先由确定平面的条件确定平面，然后做出该截面，并确定该截面的形状.例8.21如图8-80所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ,P ,Q 的平面截该正方体所得截面记为S ,则下列命题正确的是 .（写出所以正确命题的编号）. ①当102CQ <<时，S 为四边形； ②当12CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时，S 与C 1D 1的交点R 满足113C R =；④当314CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S 的面积为62.分析 本题重点考查了截面问题，对于截面问题要利用平面的确定公理作为理论背景，尤其是两条平行直线确定一个平面.解析 对于①②,因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，当12CQ =时，22PQ =，这时过,,A P Q 的截面与正方体表面交与点1D ，且PQ 1AD ，截面S ，如图8-81（a ）所示，15,2AP D Q ==截面S 为等腰梯形，当102CQ <<时，过,,A P Q 三点的截面与正方体表面的交点在棱1DD 上，截面S 为四边形，如图8-81（b ）所示，故①②正确；③如图8-81（c ）所示，当34CQ =时，111,3C R C Q CT QC ==又CT =1，得113C R =；④如图8-81（d ）所示，当45CQ =时，过点,,A P Q 的平面截正方体所得的截面为五边形APQRS ；⑤如图8-81（e ）所示当1CQ =时，则过点,,A P Q 的截面为,,,S A P Q ，其截面为菱形，对角线2,3,SP AQ ==所以S 的面积为1623.22⨯⨯=综上，正确的命题序号是①②③⑤.变式1 如图8-82所示，M 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列四个命题：①过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都平行. 其中真命题是（ ）.A .②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③变式2 在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 与F ，得四边形1BFD E ，给出下列结论：①四边形1BFD E 有可能是梯形； ②四边形1BFD E 有可能是菱形；③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④四边形1BFD E 有可能垂直与平面11BB D D ； ⑤四边形1BFD E 面积的最小值为62. 其中正确的是（ ）A .①②③④B . ②③④⑤C . ①③④⑤D . ①②④⑤ 题型3 异面直线的判定 思路提示判定空间两条直线是异面直线的方法如下：（1）直接法：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过B 点的直线是异面直线. （2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面.例8.22 一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）. A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交解析 假设a 与b 是异面直线，而c ∥a,则c 显然与b 不平行（否则c ∥b ，则有a ∥b ，矛盾），因此c 与b 可能相交或异面，故选B .评注 判定和证明两条直线是异面直线，常用反证法和定义法.变式1 已知空间三条直线,,l m n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则（ ）A. m 与n 异面B. m 与n 相交C. m 与n 平行D. m 与n 异面、相交、平行均有可能 变式2 已知,a b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则,a b 在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确的结论的编号是 （写出所有正确的编号）.变式3 若直线l 不平行于平面α，且l α⊄，则（ ）A. α内的所有直线与l 异面B. α内不存在与l 平行的直线C. α内存在唯一的直线与l 平行D. α内的直线与l 都相交例8.23如图8-83所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一个平面内，M 和N 分别AB 和DF 为的中点，用反证法证明：直线ME 与BN 是异面直线.解析 假设直线ME 与BN 共面，连接,,AN NE EB ,则AB ⊂平面MBEN ,且平面MBEN 与平面交于，由已知，两正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面，故AB ⊄平面DCEF ，又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF ，又平面MBEN 平面DCEF EN =，所以AB ∥EN ，又AB ∥CD ∥EF ，所以EF ∥EN ，这与EF EN E =矛盾，故假设不成立，所以直线ME 与BN 不共面，直线ME 与BN 是异面直线.变式1在正方体ABCD A B C D ''''-中，棱,BB C D '''的中点分别是,F H ，如图8-84所示，判断点,,,A D F H '是否共面？并说明理由.最有效训练题1.下列命题正确的是（ ）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2.下列四个命题：①若直线,a b 是异面直线，,b c 是异面直线，则,a c 是异面直线；②若直线,a b 相交，,b c 相交，则,a c 相交；③若a ∥b ，则,a b 与c 所成的角相等；④若,a b b c ⊥⊥，则a ∥c ，其中真命题的个数是（ ）A.4B. 3C. 2D. 13.设直线m 与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ） A. 在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B. 过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C. 与直线m 垂直的直线不可能与平面α平行 D. 与直线m 平行的平面不可能与平面α垂直4.平行六面体1111ABCD A B C D -中,既与AB 共面也与1CC 共面的棱的条数为（ ） A.3 B. 4 C. 5 D. 65.如图8-85所示，M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出下列四个命题： ①过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都平行；其中真命题是（ ）A.②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③6．如图8-86所示，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ） A. AC BD ⊥ B. AC ∥截面PQMNC. AC BD =D.异面直线PM 与BD 所成的角为45图8-867．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与直线1,,AB AD AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作 条8．如图8-87所示，是正方体的表面展开图，,,,E F G H 分别是棱的中点，EF 与GH 在原正方体中的位置关系为9．下列命题中不正确的是 ①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面；10．在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于有这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是 （写出所有正确结论的编号） ①能构成每个面都是等边三角形的四面体； ②能构成每个面都是直角三角形的四面体；③能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体；11．如图8-88所示，空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，,G H 分别在,BC CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==（1）求证：,,,E F G H 四点共圆；（2）设EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线12．如图8-89所示，正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11A B ，11B C 的中点，问： （1）AM 和CN 是否为异面直线？说明理由； （2）1D B 和1CC 是否为异面直线？说明理由；。

第八章 立体几何与空间向量第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系班级__________ 姓名__________一、基础知识：1、空间直线的位置关系(1)位置关系的分类：⎩⎨⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． （4）异面直线判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2、平面：（1）平面的概念：平面是一个描述而不定义的概念，立体几何里所说的平面是从生活中常见的平面，如桌子的表面、黑版面、平静的水面等中抽象出来的，生活中的平面是比较平且是有限的，而立体几何中的平面是绝对的平且是无限延展的。

（2）平面的表示：①立体几何中通常画平行四边形来表示平面，且当平面水平放置时，把平行四边形的锐角画成45 ， 横边画成等于邻边的2倍。

②平面通常用一个希腊字母表示。

如平面α、平面β、 平面γ等；也可以用表示平面的平行四边形的两个顶点的字母来表示，如平面AC 等；若用三角形表示平面时，则表示成平面ABC 。

注意：在平面几何里，凡是后引的辅助线都画成虚线，而立体几何里则不然，凡是被遮住的线，都画成虚线，凡是不被遮住的线都画成实线，无论是题中原有的还是后引的辅助线。

3、平面的基本性质：公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示：或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈.推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面公理3：如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线。

空间点直线平面之间的位置关系例题空间几何是数学中一个非常重要的分支，在空间几何中，点、直线和平面是最基本的元素。

它们之间的位置关系既复杂又深刻，需要我们用深度和广度兼具的方式进行全面评估。

在本文中，我们将从简到繁，由浅入深地探讨空间点、直线和平面之间的位置关系，以及解决一些典型的例题。

一、空间点、直线和平面的基本概念1. 点：在几何中，点是最基本的概念，它是没有大小，没有形状，只有位置的。

点在空间中是唯一的，通过坐标来表示。

2. 直线：直线是由无数个点组成的，在空间中是一条无限延伸的路径。

直线有方向和长度，可以根据方向向量来表示。

3. 平面：平面是由无数个点和直线组成的，在空间中是没有边界的二维图形。

平面可以通过点和法向量来表示。

二、点、直线和平面之间的位置关系1. 点和直线的位置关系：（1）点是否在直线上：给定点P(x,y,z)，直线L:Ax+By+Cz+D=0，要判断点P是否在直线L上，可以将点P的坐标代入直线方程，若等式成立，则点P在直线L上。

（2）点到直线的距离：点P到直线L的距离可以通过点到直线的公式来计算，即d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)。

（3）点和直线的位置关系还包括点在直线的上、下、左、右、内、外等方面。

2. 点、直线和平面的位置关系：（1）点是否在平面上：给定点P(x,y,z)，平面π:Ax+By+Cz+D=0，要判断点P是否在平面π上，可以将点P的坐标代入平面方程，若等式成立，则点P在平面π上。

（2）点到平面的距离：点P到平面π的距离可以通过点到平面的公式来计算，即d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)。

（3）点和平面的位置关系还包括点在平面的前、后、内、外等方面。

三、例题解析：空间点、直线、平面的位置关系1. 例题一：已知点A(1,2,3)、直线L:2x-3y+z+4=0和平面π:3x+y-2z-7=0，判断点A是否在直线L上和平面π上，若不在，求点A到直线L和平面π的距离。