2017秋九年级数学上册全一册教案(82份) 北师大版16(免费推荐下载)

4.2 平行线分线段成比例1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论；（重点）2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.（难点）一、情景导入梯子是我们生活中常见的工具.如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量，AB ＝BC ＝CD ，AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，那么A 1B 1和B 1C 1相等吗？二、合作探究探究点一：平行线分线段成比例如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，若AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，求BC 的长.解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，∴根据平行线分线段成比例可得AB BC＝DE EF， 即BC ＝EF DE ·AB ＝4 72×3＝247.方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长.如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，下列比例式中成立的是（ ）A.AD DF ＝CEBCB.AD BE ＝BC AFC.CE DF ＝AD BCD.AF DF ＝BE CE解析：由平分线分线段成比例可知AD DF ＝BC CE ，故A 选项不成立；由AD BC ＝AFBE可知B 选项不成立；由CE DF ＝BC AD可知C 选项不成立；D 选项成立.故选D.方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应，可简记为：“上下＝上下，上全＝上全，下全＝下全”或“上上＝下下＝全全”. 探究点二：平行线分线段成比例的推论如图所示，在△ABC 中，点D ，E分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ：AB ＝3∶4，AE ＝6，则AC 等于（ ）A.3B.4C.6D.8解析：由DE ∥BC 可得AD AB ＝AE AC ，即34＝6AC，∴AC ＝8.故选D. 易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.如图，在△ABC 的边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使得AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP CP ＝BDCE. 解析：本题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP ：CP ，又含有BD ，故可考虑过点C 作PD 的平行线CF ，便可以构造出BP CP ＝BD DF，此时只需证得CE ＝DF 即可.证明：如图，过点C 作CF ∥PD 交AB 于点F ，则BP CP ＝BD DF ，AD DF ＝AECE.∵AD ＝AE ，∴DF ＝CE ，∴BP CP ＝BDCE. 方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比例的基本事实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，则需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到相关比例式.三、板书设计平行线分线段成比例⎩⎪⎨⎪⎧基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线与其他 两边相交，截得的对应线段成比例通过教学，培养学生的观察、分析、概括能力，了解特殊与一般的辩证关系.再次锻炼类比的数学思想，能把一个复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.在探索过程中，积累数学活动的经验，体验探索结论的方法和过程，发展学生的合情推理能力和有条理的说理表达能力.。

第2课时 正方形的判定1．掌握正方形的判定方法；(重点) 2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算．(难点)一、情景导入 我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中．通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形． 1．怎样判断一个四边形是矩形？ 2．怎样判断一个四边形是菱形？ 3．怎样判断一个四边形是平行四边形？ 4．怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？ 议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？二、合作探究探究点一：正方形的判定【类型一】 先证明是矩形再证明是正方形已知：如图所示，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ，∠ABC 的平分线交于点D ，DE ⊥BC 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：四边形CEDF 是正方形．解析：欲证明四边形CEDF 是正方形，先根据∠C ＝90°，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，证明四边形CEDF 是矩形，再证明一组邻边相等即可． 证明：如图所示，过点D 作DG ⊥AB 于点G .∵DF ⊥AC ，DE ⊥BC ， ∴∠DFC ＝∠DEC ＝90°. 又∠C ＝90°，∴四边形CEDF 是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．∵AD 平分∠BAC ，DF ⊥AC ，DG ⊥AB ，∴DF ＝DG . 同理可得DE ＝DG .∴DE ＝DF . ∴四边形CEDF 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)． 方法总结：正方形的判定方法有很多，可以先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等．【类型二】 先证明是菱形再证明是正方形如图，EG ，FH 过正方形ABCD 的对角线的交点O ，且EG ⊥FH .求证：四边形EFGH是正方形．解析：已知EG ⊥FH ，要证四边形EFGH 为正方形，则只需要证四边形的对角线EG ，HF 互相平分且相等即可，根据题意可通过三角形全等来证OE ＝OH ＝OG ＝OF .证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴OB ＝OC ，∠ABO ＝∠BCO ＝45°，∠BOC ＝90°＝∠COH ＋∠BOH .∵EG ⊥FH ，∴∠BOE ＋∠BOH ＝90°， ∴∠COH ＝∠BOE ，∴△CHO ≌△BEO ，∴OE ＝OH . 同理可证：OE ＝OF ＝OG ， ∴OE ＝OF ＝OG ＝OH . 又∵EG ⊥FH ，∴四边形EFGH 为菱形．∵EO ＋GO ＝FO ＋HO ，即EG ＝HF ， ∴四边形EFGH 为正方形． 方法总结：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．探究点二：正方形、菱形、矩形与平行四边形之间的关系填空：(1)对角线________________的四边形是矩形；(2)对角线____________的平行四边形是矩形；(3)对角线__________的平行四边形是正方形；(4)对角线________________的矩形是正方形；(5)对角线________________的菱形是正方形．解：(1)相等且互相平分 (2)相等 (3)垂直且相等 (4)垂直 (5)相等方法总结：从对角线上分析特殊四边形之间的关系应充分考虑特殊四边形的性质与判别，防止混淆．菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形，特殊之处在于：矩形是有一个角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；而正方形是兼具两者特性的更特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形．三、板书设计经历正方形判定条件的探索过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法．理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.。

第一章 特殊平行四边形1.掌握菱形、矩形、正方形的概念,以及它们之间的关系.2.理解菱形、矩形、正方形的性质定理与判定定理,并能证明其他相关结论.3.掌握直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1.经历探索菱形、矩形、正方形的概念、性质与判定的猜想与证明的过程,丰富数学活动经验,进一步发展合情推理和演绎推理的能力.2.理解菱形、矩形、正方形的概念,了解它们与平行四边形之间的关系,进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法,提高发现问题和解决问题的能力.3.在参与观察、试验、猜想、证明等数学活动中,有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想,提高学生的能力.1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.2.经历图形的分类、性质探讨的过程,掌握图形与几何的基础知识和基本技能.通过“猜想——总结——证明——应用”的数学活动提升科学素养.3.提高自主探究的能力和增强与他人合作交流的意识、方法.四边形是人们日常生活中应用较为广泛的一种几何图形,尤其是平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊四边形的用处更多.因此,四边形既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域中主要研究对象之一.本章是在已经学过的多边形、平行线、三角形、平行四边形的基础上对菱形、矩形、正方形的有关性质与常用的判定方法的证明与扩充.它们的探索方法也都与平行四边形的性质和判定的探索方法一脉相承.本章的学习有助于深化对平行四边形的理解,以及对识图、画图等操作技能的掌握,丰富学生的数学活动经验和体验,促进其良好数学观的形成.本章主要渗透归纳、类比、转化等数学思想,注重通过引导探索过程来渗透与展现证明的思路.此外还要注意引导学生探索证明的不同思路与方法,并进行适当的比较和讨论,提高分析、寻求证明思路的能力.【重点】菱形、矩形、正方形的定义、性质与判定.【难点】平行四边形与菱形、矩形、正方形之间的联系与区别.本章教学时间约需8课时,具体分配如下:1 菱形的性质与判定理解菱形的概念,了解它与平行四边形之间的关系.1.经历菱形的性质定理与判定定理的探索过程,进一步发展合情推理能力.2.能够用综合法证明菱形的性质定理与判定定理,进一步发展演绎推理能力.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学现象.【重点】1.菱形的概念和性质.2.探索菱形的判定方法【难点】菱形的概念和性质在生活中的应用.第课时探索并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性质,会进行简单的推理和运算.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生合情推理的能力,进一步让学生养成用数学知识说理的习惯,并要求学生能熟练地按规范的推理格式书写.从学生已有的知识出发,通过欣赏、观察、动手操作等活动让学生感受身边的数学图形的和谐美与对称美,激发他们学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,体会学习数学的快乐.培养学生主动探究、自主学习和合作交流的意识.【重点】菱形的概念和性质.【难点】菱形性质的灵活应用.【教师准备】1.教师在课前布置学生复习平行四边形的性质,搜集菱形的相关图片.2.多媒体课件.3.教师准备菱形纸片,上课前发给学生上课时使用.【学生准备】复习平行四边形的性质导入一:请同学们观察投影图片中的四边形并回答下列问题:(1)投影图片中有平行四边形吗?(2)这些平行四边形具有哪些特征?其中哪个特征不是平行四边形的性质?【师生活动】复习平行四边形的定义及性质.导入二:1.提问:什么是平行四边形?学生回顾交流.2.平行四边形的相邻两边可能相等吗?请同学们讨论一下在我们生活中是否有相邻两边相等的平行四边形形状的图案?一、情景交流结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗?具有这一特征的平行四边形是什么四边形?【学生活动】通过讨论,以小组为单位分别说出生活中具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.【教师活动】投影图片展示一些生活中的具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.二、学生活动,归纳概念思路一请口答下列问题.(1)上述图形都是平行四边形吗?(2)上述图形都有一组邻边相等吗?(3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么另一组邻边也相等吗?小组合作交流,类比平行四边形的定义尝试给出菱形的定义.【老师点评】(1)是平行四边形;(2)都有一组邻边相等.【课件展示】像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.思路二【师】同学们,在观察上面图片之后,你能从中发现熟悉的图形吗?你能找出它们的共同特征吗?请同学们观察,图中的平行四边形与黑板上所画的▱ABCD 相比较,还有不同点吗?【生】投影图片中的平行四边形不仅对边相等,而且任意两条邻边也相等.【师】同学们观察得很仔细,像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.三、共同探究【想一想】(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗?【生】菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.(2)同学们,你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流.【学生活动】分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言,并汇总结果.【教师活动】教师巡视,并参与到学生的讨论中,启发学生类比平行四边形从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论,教师要及时作出评价,积极引导,激励学生.【做一做】请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?(2)菱形中有哪些相等的线段?【学生活动】分小组折纸探索答案.组长组织,并汇总结果.【教师活动】教师巡视并参与学生活动,引导学生怎样折纸才能得到正确的结论.学生研讨完毕,教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论,以便于后面的教学.【师生结论】(1)菱形是轴对称图形,有两条对称轴,且是菱形的两条对角线所在的直线,两条对称轴互相垂直.(2)菱形的四条边相等.【验证提升】证明菱形性质【师】通过折纸活动,同学们已经对菱形的性质有了初步的理解,下面我们要对菱形的性质进行严谨的逻辑证明.【教师活动】如图所示,在菱形ABCD中,已知AB＝AD,对角线AC与BD相交于点O.求证:(1)AB＝BC＝CD＝AD;(2)AC⊥BD.【师生共析】(1)菱形不仅对边相等,而且邻边相等,这样就可以证明菱形的四条边都相等了.(2)因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD的中点.又因为在图形中可以得到相关的等腰三角形,所以就可以利用“三线合一”来证明结论了.【学生活动】写出证明过程,进行组内交流对比,优化证明方法,掌握相关定理.指名学生在黑板上演示证明过程.证明:(1)∵菱形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,AD＝BC(平行四边形的对边相等).∵AB＝AD,∴AB＝BC＝CD＝AD.(2)∵AB＝AD,∴ΔABD是等腰三角形.∵四边形ABCD是菱形,∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵OB＝OD,∴AO⊥BD,即AC⊥BD.【教师活动】展示学生的证明过程,进行恰当的点评和鼓励,优化学生的证明方法,规范学生的书写格式,提高学生的逻辑证明能力.【教师活动】请你根据上面的证明,归纳出菱形的性质.【学生活动】小组交流,共同总结.【教师活动】多媒体课件展示定理:菱形的四条边相等.定理:菱形的对角线互相垂直.最后强调“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”,让学生形成牢固记忆,留下深刻印象.四、展示交流【教师活动】例题讲解.(教材例1)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD ＝60°,BD＝6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.〔解析〕因为菱形的邻边相等,一个内角是60°,这样就可以得到等边三角形ABD,由BD＝6知菱形的边长也是6.菱形的对角线互相垂直,可以得到直角三角形AOB.菱形的对角线互相平分,可以得到OB＝3,根据勾股定理就可以求出OA的长度,再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC＝2OA,求出AC.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝AD(菱形的四条边相等),AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),OB＝OD＝BD＝³6＝3(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵∠BAD＝60°,∴ΔABD是等边三角形.∴AB＝BD＝6.在RtΔAOB中,由勾股定理,得:OA2＋OB2＝AB2,∴OA＝＝3,∴AC＝2OA＝6.[知识拓展] (1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质;(2)菱形的定义既可以看做菱形的性质,也可以看做菱形的判定方法.1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:(1)菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线;(2)菱形的四条边都相等;(3)菱形的对角线互相垂直平分.3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.1.如图所示,在菱形ABCD中,AB＝5,∠BCD＝120°,则对角线AC的长是( )A.20B.15C.10D.5解析:因为四边形ABCD是菱形,所以AB＝CB,CD∥BA,所以∠ABC＝180°-∠BCD＝180°-120°＝60°,所以ΔABC是等边三角形,所以AC＝AB＝5.故选D.2.如图所示,菱形ABCD的周长为8 cm.∠BAD＝60°,则AC＝cm.解析:因为菱形ABCD的周长为8 cm,所以AB＝AD＝2 cm.又因为∠BAD＝60°,所以ΔABD是等边三角形,所以BD＝AB＝2 cm,所以OB＝BD＝1 cm,所以OA＝(cm),所以AC＝2 cm.故填2.3.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB＝CD＝BC,则四边形ABCD是菱形吗?为什么?解:四边形ABCD是菱形.理由:∵AB∥CD,AB＝CD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵CD＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形.4.如图所示,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于点E.求证∠AFD ＝∠CBE.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CB＝CD,CA平分∠BCD.∴∠BCE＝∠DCE.又∵CE＝CE,∴ΔBCE≌ΔDCE(SAS).∴∠CBE＝∠CDE.在菱形ABCD中,∵AB∥CD,∴∠AFD＝∠CDE.∴∠AFD＝∠CBE.第1课时菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质:菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直例1一、教材作业【必做题】教材第4页随堂练习.【选做题】教材第4页习题1.1的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.在菱形ABCD中,AB＝5 cm,则此菱形的周长为 ( )A.5 cmB.15 cmC.20 cmD.25 cm2.菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则菱形两邻角的度数比为( )A.3∶1B.4∶1C.5∶1D.6∶13.如图所示,在菱形ABCD中,两条对角线的长分别为AC＝6,BD＝8,则此菱形的边长为 ( )A.5B.6C.8D.104.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC交BD于点O,AB＝8,E是CD的中点,则OE的长等于.5.如图所示,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC ＝.6.如图所示,在菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BE＝DF.求证∠AEF＝∠AFE.【能力提升】7.如图所示,两个全等菱形的边长均为1 cm,一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动,行走2015 cm后停下,则这只蚂蚁停在点.8.已知菱形ABCD的边长为6,且∠A＝60°,如果点P是菱形内一点,且PB＝PD ＝2,那么AP的长为.9.如图所示,在菱形ABCD中,∠A＝60°,AB＝4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.(1)求∠ABD的度数;(2)求线段BE的长.【拓展探究】10.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC＝6,BD＝8,点E,F分别是边AB,BC的中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE＋PF的最小值,则这个最小值是( )A.3B.4C.5D.611.如图所示,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.(1)求证AE＝EC;(2)当∠ABC＝60°,∠CEF＝60°时,点F在线段BC上的什么位置?说明理由. 【答案与解析】1.C(解析:因为菱形ABCD的四条边相等,所以菱形的周长为5³4＝20(cm).故选C.)2.C(解析:如图所示,因为菱形的周长为8 cm,所以AD＝2 cm.因为高DE＝1 cm,所以DE＝AD,所以∠A＝30°,所以∠ADC＝180°-30°＝150°,所以菱形两邻角的度数比为5∶1.故选C.)3.A (解析:因为四边形ABCD是菱形,所以OA＝AC＝3,OB＝BD＝4,∠AOB＝90°,所以AB＝＝5.故选A.)4.4(解析:因为四边形ABCD是菱形,所以O是AC的中点,且AD＝AB＝8.又因为E是CD的中点,所以OE是ΔACD的中位线,所以OE＝AD＝AB＝4.故填4.)5.5 (解析:因为点A,B在数轴上对应的数为-4和1,所以AB＝1-(-4)＝5.因为四边形ABCD是菱形,所以BC＝AB＝5.故填5.)6.证明:在菱形ABCD中,有AB＝AD,∠B＝∠D.在ΔABE和ΔADF中,,∴ΔABE≌ΔADF.∴AE＝AF.∴∠AEF＝∠AFE.7.G(解析:因为两个全等菱形的边长均为1 cm,所以蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序走一圈的路程为8³1＝8(cm),2015÷8＝251(cm)……7(cm),所以当蚂蚁走完第251圈后再走7 cm正好到达G点.)8.2或49.解:(1)在菱形ABCD中,AB＝AD,∠A＝60°,∴ΔABD为等边三角形.∴∠ABD＝60°.(2)由(1)可知BD＝AB＝4.又∵O为BD的中点,∴OB＝2.又∵OE⊥AB,∠ABD ＝60°,∴∠BOE＝30°.∴BE＝1.10.C11.证明:(1)如图所示,连接AC,∵BD是菱形ABCD的对角线,∴BD垂直平分AC,∴AE＝EC.(2)点F是线段BC的中点.理由如下.∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°,∴ΔABC是等边三角形,∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC,∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°,∴∠EAC＝30°.∴AF是ΔABC中∠BAC的平分线,∴BF ＝CF,∴点F是线段BC的中点.本课时的主要教学内容为菱形的定义和性质.学生已经学习了平行四边形的性质,这是本课时知识的基础.关于菱形的定义和性质,就是在平行四边形的基础上,进一步强化条件得到的.本课时授课思路为“创设情境——猜想归纳——逻辑证明——知识运用”.课堂上的折纸活动,可以让学生直观感知图形的特点,还可以激发学生学习的兴趣和积极性.教师应该留给学生充分的独立思考时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师要引导学生积极思考,抓住表面现象中的本质.在性质的证明和应用过程中,教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较,优化证明方法,有利于提高学生的逻辑思维水平.随堂练习(教材第4页)解:根据菱形的对角线互相垂直,可知ΔAOB是直角三角形,由勾股定理可求出OB＝3 cm,再根据菱形的对角线互相平分可得BD＝2OB＝6 cm.习题1.1(教材第4页)1.证明:在菱形ABCD中,AB＝BC,BC∥AD,∴∠B＋∠BAD＝180°,∵∠BAD＝2∠B,∴∠B＝60°,又∵BA＝BC,∴ΔABC是等边三角形.2.解:∵四边形ABCD 是菱形,∴AD＝DC＝CB＝BA,AC⊥BD,AO＝AC＝³8＝4,DO＝BD＝³6＝3,在RtΔAOD中,由勾股定理,得AD＝＝5. ∴菱形ABCD的周长为4AD＝4³5＝20.3.证明:在菱形ABCD中,AD＝AB,AC⊥BD,∴AC平分∠DAB,同理,CA平分∠DCB,BD 平分∠ABC和∠ADC.4.解:共有4个等腰三角形,分别为ΔBAD,ΔBCD,ΔADC,ΔABC.共有4个直角三角形,分别为ΔAOB,ΔAOD,ΔCOD,ΔBOC.(1)在折纸过程中,教师要与学生探讨折纸的方法,明确折叠过程中的对应点及相应的对称轴,便于学生正确迅速地找出菱形中的对称关系.掌握数学知识离不开“实践——认识——再实践——认识”这个重要的学习方法,通过说理论证可以使学生充分理解菱形的性质,在这个过程中,教师要充分关注学生使用几何语言的规范性和严谨性.(2)类比方法是数学中重要的方法,所以本课时类比以前学过的平行四边形的有关概念、性质,让学生通过自主学习,共同探究,很自然地突破了重难点.(3)本课时重难点、易错点的掌握要通过不同形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养合作意识,激发学习兴趣,同时教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐中掌握知识.(2014²莆田中考)如图所示,菱形ABCD的边长为4,∠BAD＝120°.点E是AB的中点,点F是AC上的一动点,则EF＋BF的最小值是.〔解析〕如图所示,连接DE,EC,DF,则BF＝DF.∵四边形ABCD为菱形,∠BAD＝120°,∴∠ABC＝60°.∴ΔABC为等边三角形.∵E是AB的中点,∴CE⊥AB,∴CE⊥CD.在RtΔBEC中,∠ABC＝60°,BC＝4,∴BE＝BC＝2,CE＝＝2.在RtΔECD中,CE＝2,DC＝4,∴ED＝2.根据两点之间线段最短,可知EF＋DF的最小值为2.∴EF＋BF的最小值为2.故填2.第课时1.理解菱形的定义,掌握菱形的判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算.2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.尝试从不同角度寻求菱形的判定方法,并能有效地解决问题,尝试比较不同判定方法之间的差异,并获得判定四边形是菱形的经验.启发引导学生理解探索结论和证明结论的过程,掌握合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系,培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好习惯.【重点】探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法.【难点】明确推理证明的条件和结论能用数学语言正确表达.【教师准备】木条和橡皮筋【学生准备】复习上课时的相关知识.导入一:人们戴的帽子的形状千奇百怪,有一段时间,电视上经常看到大学生戴的菱形帽,它是受到外国博士帽的启发.在日本,到第二次世界大战为止,戴菱形帽一直是年轻人的梦想,戴上它显得有知识有学问.这是由于菱形的特殊因素能给人一种舒服的感觉.那么,我们怎样判断一个四边形是否是菱形呢?导入二:什么样的四边形是平行四边形?它有哪些判定方法?教师提示:判定方法应该从三个方面分析:边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形.那么,菱形的判定有什么方法呢?[设计意图]通过类比的方法引导学生发现判定菱形的方法.一、由菱形的定义判定【学生活动】明确菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的第一种判定方法,即有一组邻边相等的平行四边形是菱形.【思考】除了运用菱形的定义,类比平行四边形的性质定理和判定定理,你能找出判定菱形的其他方法吗?二、菱形的判定(1)思路一已知:在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC.∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线.∴BA＝BC.∴▱ABCD是菱形(菱形的定义).【思考】从上述证明过程中,你得出什么结论?定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.思路二【学生活动】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.(1)转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗?猜想:四边形的对角线互相平分.(2)继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形?猜想:当木条互相垂直时,平行四边形的一组邻边相等,此时四边形为菱形.(3)你能证明你的猜想吗?猜想:如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形.已知:在▱ABCD中,对角线AC,BD互相垂直.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分).又∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线,∴AB＝BC,∴▱ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.三、菱形的判定(2)思路一学生先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧的交点C,连接BC,CD,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形?请你画一画.通过探究,容易得到:四条边相等的四边形是菱形.证明上述结论.[设计意图]采用观察、操作、交流、演绎的手法来突破难点,通过严谨的推理和证明培养学生的几何思维.思路二问题我们如何画一个菱形呢?通常先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D 为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧交点C,连接BC,CD即可.【学生活动】(1)观察画图的过程,你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?学生思考后,展开讨论寻找原因.原因:这个四边形的四条边相等,根据菱形定义即可判定.(2)你能得出什么结论?学生得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形.[设计意图]通过教师画图演示,让学生从直观操作的角度去发现问题,使探究的问题形象化、具体化,培养学生的形象思维能力.利用平行四边形的判定和菱形的定义判定该四边形是菱形,进一步提高学生的抽象思维能力.本活动进一步体现了试验几何和论证几何的有机结合.猜想:四条边相等的四边形是菱形.如图所示,在四边形ABCD,已知AB＝BC＝CD＝DA.求证四边形ABCD是菱形.证明:∵AB＝CD,BC＝AD,∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).又∵AB＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).[设计意图]由菱形的定义得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形,并激发学生探究的欲望.[知识拓展] 四条边相等的四边形是菱形.在▱ABCD中,已知对角线AC与BD相交于点O,AB＝,OA＝2,OB＝1.求证▱ABCD是菱形.证明:在ΔAOB中,∵AB＝,OA＝2,OB＝1,∴AB2＝AO2＋OB2.∴ΔAOB是直角三角形,即∠AOB是直角.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).[知识拓展] (1)菱形的判断可以从两个基本图形(四边形或平行四边形)考虑,进行证明.(2)菱形的性质定理和菱形的判定定理是互逆定理.1.下列命题正确的是( )A.对角线互相平分的四边形是菱形B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形答案:D2.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是( )A.等腰梯形B.正方形C.长方形D.菱形答案:D3.如图所示,在ΔABC中,AD⊥BC于D,点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点.求证四边形AEDF是菱形.解析:首先判定四边形AEDF是平行四边形,然后连接EF证明EF⊥AD,利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来判定.证明:∵点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点,∴DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形.连接EF,如图所示,∵点E,F分别是AB和AC的中点,∴EF∥BC.又∵AD⊥BC,∴AD⊥EF,∴平行四边形AEDF是菱形.第2课时1.根据菱形的定义进行判定2.定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形3.定理:四条边相等的四边形是菱形例1例2一、教材作业【必做题】教材第7页随堂练习.【选做题】教材第7页习题1.2的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法正确的是( )A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B.四条边都相等的四边形是菱形C.一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线相等的四边形是菱形2.已知▱ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD;②AB＝BC;③AC平分∠BAD;④AO＝DO.使得▱ABCD是菱形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图所示,如果要使▱ABCD成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是.4.如图所示,点E,F,G,H分别是四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,当四边形ABCD的边满足条件: 时,四边形EFGH是菱形.【能力提升】5.如图所示,在ΔABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE∥AC交BC于点E,DF∥BC 交AC于点F.求证四边形DECF是菱形.6.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线EF ⊥BD,分别交AD,BC于点E,F,求证四边形BEDF是菱形.【拓展探究】7.如图所示,分别以ΔABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABD,等边三角形BCE,等边三角形ACF,请回答下列问题:(1)四边形ADEF是什么四边形?(2)当ΔABC满足什么条件时,四边形ADEF为菱形?(3)当ΔABC满足什么条件时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在?【答案与解析】1.B2.C3.AB＝AD(答案不唯一)4.AB＝CD。

第课时相似三角形的周长和面积之比●教学目标（一）教学知识点.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系..相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用.（二）能力训练要求.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力..利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.（三）情感与价值观要求.学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处..运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.●教学重点.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导..运用相似三角形的比例关系解决实际问题.●教学难点相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.●教学方法引导启发式通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的目的.●教具准备投影片两张第一张：（记作§4.7）第二张：（记作§4.7.2）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.（让学生把数据写在黑板上）［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题..两三角形是否相似..两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流.［生］因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形.周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？［生］面积比与相似比的平方相等.［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.Ⅱ.新课讲解.做一做（）△的面积如何表示？△′′′的面积呢？△与△′′′的面积比是多少？与同伴交流［生］（）∵△∽△′′′∴B A AB ''C B BC ''C A AC ''D C CD ''D B BD ''D A AD ''43. （）43='''∆∆的周长的周长C B A ABC . ∵B A AB ''C B BC ''C A AC ''43. ∴CA CB B A AC BC AB l l C B A ABC ''+''+''++='''∆∆ C A C B B A C A C B B A ''+''+''''+''+''434343 43)(43=''+''+''''+''+''C A C B B A C A C B B A . （）△21·. △′′′21′′·′′. ∴2)43(2121=''⋅''=''⋅''⋅='''∆∆D C CD B A AB D C B A CD AB S S C B A ABC. .想一想如果△∽△′′′，相似比为，那么△与△′′′的周长比和面积比分别是多少？ ［生］由上可知若△∽△′′′，相似比为，那么△与△′′′的周长比为，面积比为..议一议如图，四边形∽四边形（）四边形与四边形的周长比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？［生］解：（）∵四边形∽四边形.相似比为.（）△∽△、△∽△，且相似比都为.∵四边形∽四边形∴2211221122112211D A D A D C D C C B C B B A B A === ∠∠,∠∠.∠∠,∠∠.在△与△中∵22112211C B C B B A B A =∠∠. ∴△∽△.∴2211B A B A . 同理可知，△∽△，且相似比为.（）∵△∽△,△∽△.22222222222222)(k S S S S k D C A C B A D C A C B A =++∆∆∆∆照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.由此可知：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅲ.随堂练习完成教材随堂练习Ⅳ.课时小结本节课我们重点研究了相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅴ.课后作业习题●板书设计。

图形的位似第课时位似多边形及其性质教学目标．了解位似多边形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似多边形的性质．．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．重点、难点．重点：位似多边形的有关概念、性质与作图．．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．一.创设情境活动教师活动：提出问题：生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的.观察图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？学生活动：学生通过观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个相似多边形每组对应点的连线都经过同一个点，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，这个点叫做位似中心.（位似中心可在形上、形外、形内.)每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．二、利用位似，可以将一个图形放大或缩小活动教师活动：提出问题：把图中的四边形缩小到原来的21． 分析：把原图形缩小到原来的21，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为∶．作法一：（）在四边形外任取一点； （）过点分别作射线，，，；（）分别在射线，，，上取点′、′、′、′， 使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （）顺次连接′′、′′、′′、′′，得到所要画的四边形′′′′，如图．问：此题目还可以如何画出图形？ 作法二：（）在四边形外任取一点；（）过点分别作射线， ， ，；（）分别在射线， ， ， 的反向延长线上取点′、′、′、′，使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （）顺次连接′′、′′、′′、′′，得到所要画的四边形′′′′，如图．作法三：（）在四边形内任取一点； （）过点分别作射线，，，；（）分别在射线，，，上取点′、′、′、′， 使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （）顺次连接′′、′′、′′、′′，得到所要画的四边形′′′′，如图． （当点在四边形的一条边上或在四边形的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）三、课堂练习活动 教材习题小结：谈谈你这节课学习的收获．。

5.2 视图
第1课时简单图形的三视图
教学目标：
1．经历由实物抽象出几何体的过程，进一步发展空间观念。

2．会画圆柱、圆锥、球的三视图，体会这几种几何体与其视图之间的相互转化。

3．会根据三视图描述原几何体。

教学重点：掌握部分几何体的三视图的画法，能根据三视图描述原几何体。

教学难点：几何体与视图之间的相互转化。

培养空间想像观念。

课型：新授课
教学方法：观察实践法
小相同的正方形方块，搭建一个立体图形，让同
各物体的主视图。

中各物体的左视图是什么？俯视图呢？
交流。

体，你能帮小明画出这个几何体的三视图吗？
对应训练：
对应 数Ａ．7块 Ｂ．8块 层，（本节课主要通过对由实物抽象出几何体的过程，发展大家的空间想像能力。

在画成学习内容的。

在
A B C D E 3 2 1 1 2 主。

第课时 相似三角形的周长和面积之比.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；（重点）.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点）一、情景导入如图所示是一个三角形的花坛，要在上面种满花草，园丁沿与平行的方向画一条直线，将花坛分割出一片三角形地块，测出△的面积为平方米，长为，长为.根据所测得的数据，请你计算出整个花坛△的面积.二、合作探究探究点一：相似三角形的周长比已知△∽△′′′，是△的中线，′′是△′′′的中线，若＝，且△′′′的周长为，求△的周长.解：因为△∽△′′′，所以它们周长的比等于它们的相似比，对应边中线的比等于相似比，即相似比＝＝，＝.已知△′′′的周长为，所以＝.所以△的周长为.易错提醒：在相似表达式△∽△′′′及对应中线比＝中，都是△在前，△′′′在后，而在出现问题时，△′′′在前，△在后，顺序已经不同了，所以相似比要随之调整或者直接把相关量代入关系式求解.探究点二：相似三角形的面积比如图，在△中，＞，点在上，且＝，∠的平分线交于点，点是的中点，连接.若四边形的面积为，求△的面积.解：∵平分∠，＝， ∴是△的中线，即是的中点. ∵点是的中点，∴∥，且＝.∴∠＝∠，∠＝∠，∴△∽△.∴＝（）＝.∵△＝△－四边形＝△－， ∴＝. ∴△＝，即△的面积为. 易错提醒：在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比，在本题中不要犯由：＝：得△：△＝：，或△：四边形＝：之类的错误.三、板书设计相似三角形的周长和面积之比：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.经历相似三角形的性质的探索过程，培养学生的探索能力.通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体验化归思想.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，训练学生的运用能力，增强学生对知识的应用意识.。

第2课时矩形的判定1．理解并掌握矩形的判定方法；(重点)2．能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用．(难点)一、情景导入小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！二、合作探究探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形如图所示，外面的四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MP NQ是矩形．解析：要证明四边形MPNQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角线相等．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AM＝BP＝CN＝DQ，∴OM＝OP＝ON＝OQ.∴四边形MPNQ是平行四边形．又∵OM＋ON＝OQ＋OP，∴MN＝PQ.∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件证明矩形．探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形如图，GE∥HF，直线AB与GE交于点A，与HF交于点B，AC、BC、BD、AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线，求证：四边形ADBC是矩形．解析：利用已知条件，证明四边形ADBC有三个角是直角．证明：∵GE∥HF，∴∠GAB＋∠ABH＝180°.∵AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平分线，∴∠1＝12∠GAB，∠4＝12∠ABH，∴∠1＋∠4＝12(∠GAB＋∠ABH)＝12×180°＝90°，∴∠ADB＝180°－(∠1＋∠4)＝90°.同理可得∠ACB＝90°.又∵∠ABH＋∠FBA＝180°，∠4＝12∠ABH，∠2＝12∠FBA，∴∠2＋∠4＝12(∠ABH＋∠FBA)＝12×180°＝90°，即∠DBC＝90°.∴四边形ADBC是矩形．方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形．探究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？并说明理由．解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE ＝∠DCE ，然后利用“AAS”证明△AEF 和△DEC 全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF ＝CD ，再利用等量代换即可得BD ＝CD ；(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD 是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB ＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC 满足的条件必须是AB ＝AC .解：(1)BD ＝CD .理由如下： ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE . ∵E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE .在△AEF 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS)，∴AF ＝DC . ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ；(2)当△ABC 满足AB ＝AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由如下：∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形． ∴AB ＝AC ，BD ＝DC ， ∴∠ADB ＝90°.∴四边形AFBD 是矩形． 方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．三、板书设计矩形的判定错误!通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题．通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法．通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力.。

利用相似三角形测高.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验；（重点）.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点）一、情景导入胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？二、合作探究 探究点一：利用阳光下的影子测量高度 【类型一】 影子在同一平面上时高度的测量如图所示，身高为的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在处时，正好站在旗杆影子的顶端处，已测得该同学在地面上的影长为，旗杆在地面上的影长为，那么旗杆的高度是多少呢？解析：同一时刻的太阳的光线应是平行的，人和旗杆都与地面垂直，因此可以通过相似三角形对应边成比例来求旗杆的高度.解：如图，用表示人的身高，表示人的影长，表示旗杆的高度，表示旗杆的影长.由题意知＝，＝，＝. ∵太阳光∥， ∴∠＝∠. 又∵∠＝∠＝°，∴△∽△. ∴＝，即＝. 解得＝（）. 故旗杆的高度是.方法总结：同一时刻，对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的高度之比等于它们的影长之比，即物体的高度之比与其影长之比相同.【类型二】 影子不在同一平面上时高度的测量如图①，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，的竹竿垂直地面放置，影子长为，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子高为，那么这棵树的高是多少？解：方法一：延长，与地面交于点，如图②.根据同一时刻，物体的影长和它的高度成正比，所以＝＝.因为＝，＝，＝，＝， 所以＝，所以＝＋＝（）.所以＝，＝（）. 故这棵树的高是.方法二：过点作的垂线，交于点，如图③.由题意可知＝，而＝＝，＝－＝（－），＝，＝，所以＝，解得＝（）. 故这棵树的高是.方法三：过点作的平行线交于点，如图④.由题意可知＝，而＝－＝（－），＝，＝，＝，所以＝，解得＝（）. 故这棵树的高是. 方法总结：在图上补全影子或构造相似三角形是求出树高的关键.三种方法的解题依据实质上都是应用了相似三角形的性质，但其解题的简便性不同，显然方法二和方法三比方法一简单.探究点二：利用标杆测量高度如图，小明为了测量一棵树的高度，他在距树处立了一根高为的标杆，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高，求树的高度.解析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点作∥交于，交于，则可得△∽△.解：过点作∥交于，交于，因为人、标杆、树都垂直于地面，所以∠＝∠＝∠＝°， 所以∥∥，所以∠＝∠. 因为∠＝∠，所以△∽△，所以＝. 因为＝，＝，＝，＝， 所以＝，所以＝（）， 所以＝＋＝（）. 故树的高度为. 方法总结：利用标杆测量物体的高度时，必须使观测者的眼睛、标杆顶端、建筑物顶端在同一条直线上.探究点三：利用镜子的反射测量高度为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，①在距离树底部的处放下镜子；②该同学站在距离镜子的处，目高为；③观察镜面，恰好看到树的顶端.你能帮助他计算出大树的大约高度吗？解析：借助物理学知识：入射角等于反射角，法线垂直于水平面（镜面），然后利用相似三角形的知识求解.解：如图，∵∠＝∠， ∠＝∠＝°， ∴△∽△. ∴＝，即＝， 解得＝（）.因此，树高约为. 方法总结：利用镜子的反射测量物体的高度时，利用入射角等于反射角，等角的余角相等产生相似三角形，利用相似三角形的性质求树高.三、板书设计利用相似三角形测高通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何图形的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想，培养学生的观察、归纳、建模、应用能力，体验解决问题策略的多样性.在增强相互协作的同时，激发学习数学的兴趣.。

2．6 应用一元二次方程第1课时 几何问题及数字问题与一元二次方程1．掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；(重点、难点) 2．理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、分析问题，并能运用所学的知识解决问题． 一、情景导入 要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)? 二、合作探究 探究点一：利用一元二次方程解决几何问题【类型一】面积问题要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化．设计方案如图所示，矩形P ，Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P ，Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的14，求P ，Q 两块绿地周围的硬化路面的宽．解：设P ，Q 两块绿地周围的硬化路面的宽为x 米．根据题意，得(60－3x )·(40－2x )＝60×40×14，解得x 1＝10，x 2＝30.检验：如果硬化路面宽为30米，则2×30＝60＞40，所以x 2＝30不符合题意，舍去，故x ＝10.故P ，Q 两块绿地周围的硬化路面的宽为10米． 易错提醒：在应用题中，未知数的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值是否满足所列方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义．在求出方程的解为10或30时，如果不进行验根，就会误以为本题有两个答案，而题目中明确有“荒地ABCD 是一块长60米，宽40米的矩形”这个已知条件，显然x ＝30不符合题意．【类型二】动点问题如图所示，A ，B ，C ，D 为矩形的四个顶点，AB ＝16cm ，AD ＝6cm ，P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 运动，一直到达B 为止，点Q 以2cm/s 的速度向D 移动，点P 停止运动时点Q 也停止运动． (1)P ，Q 两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ 的面积为33cm 2?(2)P ，Q 两点从出发开始几秒时，点P 和点Q 的距离第一次是10cm?解：(1)设P ，Q 两点从出发开始x s 时，四边形PBCQ 的面积为33cm 2，根据题意得PB ＝AB －AP ＝(16－3x )cm ，CQ ＝2x cm.故12(2x ＋16－3x )×6＝33，解得x ＝5. 故P ，Q 两点从出发开始5s 时，四边形PBCQ 的面积为33cm 2；(2)设P ，Q 两点从出发开始x s 时，点P 和点Q 的距离是10cm.如图，过Q 点作QM ⊥AB 于点M ，则BM ＝CQ ＝2x cm ，故PM ＝(16－5x )c m.在Rt△PMQ 中，PM 2＋MQ 2＝PQ 2，∴(16－5x )2＋62＝102.解得x 1＝85，x 2＝245. ∵所求的是第一次满足条件的时间，∴x ＝85.故P ，Q 两点从出发开始85s 时，点P 和点Q 的距离第一次是10cm.方法总结：解决动态几何问题的关键是寻找点运动的过程中变化的量与不变的量，寻找等量关系列方程．对于动点问题，常先假设出点的位置，根据面积或其他关系列出方程，如果方程的根符合题目的要求，就说明假设成立，否则，假设不成立．探究点二：利用一元二次方程解决数字问题有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换位置后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数．解析：这是一个数字排列的问题，题中有两个等量关系，由前一个等量关系知，个位数字与十位数字均可用同一个未知数表示，这样交换位置后的新两位数也可以用上述未知数表示出来，然后根据后一个等量关系可列方程求解．解：设个位数字为x ，则十位数字为14－x ，两数字之积为x (14－x )，两个数字交换位置后的新两位数为10x ＋(14－x )．根据题意，得10x ＋(14－x )－x (14－x )＝38.整理，得x 2－5x －24＝0，解得x 1＝8，x 2＝－3.因为个位数上的数字不可能是负数，所以x ＝－3应舍去．当x ＝8时，14－x ＝6. 所以这个两位数是68.方法总结：(1)数字排列问题常采用间接设未知数的方法求解．(2)注意数字只有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个，且最高位上的数字不能为0，而其他如分数、负数根不符合实际意义，必须舍去．三、板书设计几何问题及数字问题⎩⎨⎧几何问题⎩⎪⎨⎪⎧面积问题动点问题数字问题经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型解决问题的过程，认识方程模型的重要性.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.经历探索过程，培养合作学习的意识.体会数学与实际生活的联系，进一步感知方程的应用价值.。

第2课时 用配方法求解较复杂的一元二次方程1．会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；(重点) 2．能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程．(难点)一、情景导入某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s (m)和时间t (s)之间的关系为：s ＝10t ＋3t 2，那么行驶200m 需要多长时间？二、合作探究 探究点一：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程用配方法解方程：－12x 2＋52x －54＝0.解析：先把方程二次项的系数化为1，再配方成(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式，最后开平方即可．解：方程两边同除以－12，得x 2－5x ＋52＝0.移项，得x 2－5x ＝－52.配方，得x 2－5x ＋(－52)2＝－52＋(－52)2， 即(x －52)2＝154.两边开平方，得x －52＝±152.即x －52＝152或x －52＝－152.所以x 1＝5＋152，x 2＝5－152.易错提醒：用配方法解一元二次方程时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常数项；(2)忘记将二次项系数化为1；(3)在二次项系数化为1时，常数项忘记除以二次项系数；(4)配方时，只在一边加上一次项系数一半的平方．探究点二：配方法的应用【类型一】 利用配方法求代数式的值已知a 2－3a ＋b 2－b 2＋3716＝0，求a－4b 的值．解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于0的形式，得到这两个数都为0，从而可求出a ，b 的值，再代入代数式计算即可．解：原等式可以写成：(a －32)2＋(b －14)2＝0.∴a －32＝0，b －14＝0，解得a ＝32，b ＝14.∴a －4b ＝32－4×14＝－12. 方法总结：这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．【类型二】利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与0的关系请用配方法说明：不论x 取何值，代数式x 2－5x ＋7的值恒为正．解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式．解：∵x 2－5x ＋7＝x 2－5x ＋(52)2＋7－(52)2＝(x －52)2＋34，而(x －52)2≥0， ∴(x －52)2＋34≥34.∴代数式x 2－5x ＋7的值恒为正． 方法总结：对于代数式是一个关于x 的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，从而就可以求出原代数式的最值．【类型三】 利用配方法解决一些简单的实际问题如图，一块矩形土地，长是48m ，宽是24m ，现要在它的中央划一块矩形草地，四周铺上花砖路，路面宽都相等，草地面积占矩形土地面积的59，求花砖路面的宽．解析：若设花砖路面宽为x m ，则草地的长与宽分别为(48－2x )m 及(24－2x )m ，根据等量关系：矩形草地的面积＝59×矩形土地的面积，即可列一元二次方程求解．解：设花砖路面的宽为x m.根据题意，得(48－2x )(24－2x )＝59×48×24.整理，得x 2－36x ＝－128.配方，得x 2－36x ＋(－18)2＝－128＋(－18)2，即(x －18)2＝196.两边开平方，得x －18＝±14. 即x －18＝14，或x －18＝－14.所以x 1＝32(不合题意，舍去)，x 2＝4.故花砖路面的宽为4m. 方法总结：列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验方程的根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题，因此，求出一元二次方程的解之后，要把不符合实际问题的解舍去．三、板书设计用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：(1)把原方程化为一般形式；(2)二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；(3)移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项；(4)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；(5)用直接开平方法解方程．通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，发现解二次项系数不是1的一元二次方程的方法，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识．培养学生发现问题的能力，通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯.。

第六章反比例函数6.1 反比例函数（1）从现实情境和学生已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相互关系，加深对函数概念的理解。

（2）经历抽象反比例函数概念的进程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。

（3）体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程。

培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力。

三、重点、难点、关键（1）重点：理解和领会反比例函数的概念；（2）难点：领悟反比例函数的概念；（3）关键：从现实情境和所学的知识入手，探索两个变量之间的相依关系。

四、教学方法：小组合作、探究式五、教学过程（一）创设情境，引入新课1、把一张100元换成50元的人民币，可换几张？换成10元的人民币可换几张？依次换成5元，2元，1元的人民币，各可换几张？换得的张数y 与面值x之间有怎样的关系呢？请同学们填表：提问：学生你会用含有x的代数式表示y吗？并提出问题：当换成的元数x变化时，换成的张数y会怎样变化呢？变量y是x的函数吗？为什么？这就是我们今天要学习的反比例函数。

我们再看课本的例子：（二）互动探究，学习新课我们知道，电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U=220V时，（1）你能用含有R 的代数式表示I吗？；（2）利用你写出的关系式完成下表：/学生填表完成，提出当R越来越大时，I是怎样变化的？当R越来越小呢？（3）变量I是R的函数吗？为什么？我们通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果。

在电压一定时，当R 变大时，电流I 变小，灯光就变暗，相反，当R 变小时，电流I 变大，灯光变亮。

引导学生看课本例子，京沪高速铁路全长约为1318km ，列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京，列车行完成全程所需的时间t （h ）与行驶的平均速度v (km/h)之间有怎样的关系？变量t 是v 的函数吗？为什么？（三）学生分组交流讨论提示学生：数学来源于生活，请同学在生活中找出类似的例子。

分组交流讨论，并完成资料的讨论部分。

．用公式法求解一元二次方程第课时用公式法求解一元二次方程．理解一元二次方程求根公式的推导过程；．会用公式法解一元二次方程；(重点)．会用根的判别式－判断一元二次方程根的情况及相关应用．(难点)一、情景导入如果这个一元二次方程是一般形式＋＋＝(≠)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根？请同学独立完成下面这个问题．问题：已知＋＋＝(≠)，且－≥，试推导它的两个根＝，＝.二、合作探究探究点一：用公式法解一元二次方程方程－＝化为一般形式是，其中＝，＝，＝，方程的根为．解析：将方程移项可化为－－＝.其中＝，＝－，＝－，因为－＝(－)－××(－)＝＞，代入求根公式可得＝.故答案分别为－－＝，，－，－，.方法总结：一元二次方程＋＋＝(≠)的根是由方程的系数，，确定的，只要确定了系数，，的值，代入公式就可求得方程的根．用公式法解下列方程：()－－＋＝; ()＋＋＝；()－＋＝.解析：先确定，，及－的值，再代入公式求解即可．解：()－－＋＝，＋－＝.∵＝，＝，＝－，∴－＝－××(－)＝＞，∴＝＝，∴＝，＝－；()∵＝，＝，＝，∴－＝－××＝－＝－＜，∴原方程没有实数根；()∵＝，＝－，＝，∴－＝(－)－××＝，∴＝＝，∴＝＝.方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中，，的值，再求出－的值与“”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．探究点二：一元二次方程根的判别式【类型一】用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知一元二次方程＋＝，下列判断正确的是( )．该方程有两个相等的实数根．该方程有两个不相等的实数根．该方程无实数根．该方程根的情况不确定解析：原方程变形为＋－＝.∵－＝－××(－)＝＞，∴该方程有两个不相等的实数根，故选.方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式＋＋＝(≠)．当－＞时，方程有两个不相等的实数根；当－＝时，方程有两个相等的实数根；当－＜时，方程无实数根．【类型二】根据方程根的情况确定字母的取值范围若关于的一元二次方程－－＝，有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )．>－．>－且≠．< ．<且≠解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则－>，同时要求二次项系数不为，即解得>－且≠，故选.易错提醒：利用－判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于这一条件，本题中容易误选.【类型三】根的判别式与三角形的综合应用已知，，分别是△的三边长，当>时，关于的一元二次方程(＋)＋(－)－＝有两个相等的实数根，请判断△的形状．解析：先将方程转化为一般形式，再根据根的判别式确定，，之间的关系，即可判定△的形状．解：将原方程转化为一般形式，得(＋)－＋(－)＝.∵原方程有两个相等的实数根，∴(－ )－(＋)(－)＝，即(＋－)＝.又∵≠，∴＋－＝，即＋＝.根据勾股定理的逆定理可知△为直角三角形．方法总结：根据一元二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题．三、板书设计经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解求根公式的基础．通过对求根公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.。

6.3 反比例函数的应用1.会根据实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型；（重点）2.能利用反比例函数解决实际问题.（难点）一、情景导入我们都知道，气球内可以充满一定质量的气体.如果在温度不变的情况下，气球内气体的气压p （kPa ）与气体体积V （m 3）之间有怎样的关系？你想知道气球在什么条件下会爆炸吗？二、合作探究探究点一：实际问题与反比例函数做拉面的过程中，渗透着反比例函数的知识.一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y （m ）是面条的粗细（横截面积）S （mm 2）的反比例函数，其图象如图所示：（1）写出y 与S 之间的函数表达式；（2）当面条的横截面积为1.6mm 2时，面条的总长度是多少米？（3）要使面条的横截面积不多于1.28mm 2，面条的总长度至少是多少米？解析：由题意可设y 与S 之间的函数表达式为y ＝kS，而P （32，4）为函数图象上一点，所以把对应的S ，y 的值代入函数表达式即可求出比例系数，从而得出反比例函数的表达式，最后根据反比例函数的图象和性质解题.解：（1）由题意可设y 与S 之间的函数关系式为y ＝k S .∵点P （4，32）在图象上，∴32＝k4，∴k ＝128.∴y 与S 之间的函数表达式为y ＝128S （S >0）；（2）把S ＝1.6代入y ＝128S中，得y ＝1281.6＝80. ∴当面条的横截面积为 1.6mm 2时，面条的总长度是80m ；（3）把S ＝1.28代入y ＝128S，得y ＝100.由图象可知，要使面条的横截面积不多于1.28mm 2，面条的总长度至少应为100m.方法总结：解决实际问题的关键是认真阅读，理解题意，明确基本数量关系（即题中的变量与常量之间的关系），抽象出实际问题中的反比例函数模型，由此建立反比例函数，再利用反比例函数的图象与性质解决问题.探究点二：反比例函数与其他学科知识的综合某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干木块，构筑成一条临时近道.木板对地面的压强p （Pa ）是木板面积S （m 2）的反比例函数，其图象如图所示.（1）请直接写出这一函数表达式和自变量的取值范围；（2）当木板面积为0.2m 2时，压强是多少？（3）如果要求压强不超过6000Pa ，木板的面积至少要多大？解析：由于木板对地面的压强p （P a ）是木板面积S （m 2）的反比例函数，而图象经过点A ，于是可以利用待定系数法求得反比例函数的关系式，进而可以进一步求解.解：（1）设木板对地面的压强p （Pa ）与木板面积S （m 2）的反比例函数关系式为p ＝kS（S >0）. 因为反比例函数的图象经过点A （1.5，400），所以有k ＝600.所以反比例函数的关系式为p ＝600S（S >0）；（2）当S ＝0.2时，p ＝6000.2＝3000，即压强是3000Pa ；（3）由题意知600S≤6000，所以S ≥0.1，即木板面积至少要有0.1m 2. 方法总结：本题渗透了物理学中压强、压力与受力面积之间的关系p ＝错误!，当压力F 一定时，p 与S 成反比例.另外，利用反比例函数的知识解决实际问题时，要善于发现实际问题中变量之间的关系，从而进一步建立反比例函数模型.三、板书设计反比例函数的应用⎩⎨⎧实际问题与反比例函数反比例函数与其他学科知识的综合经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程，提高运用代数方法解决问题的能力，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.通过反比例函数在其他学科中的运用，体验学科整合思想.。

4.7 相似三角形的性质第1课时 相似三角形中的对应线段之比1.明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；（重点）2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题.（难点）一、情景导入在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.二、合作探究探究点一：相似三角形对应高的比如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AH ⊥BC于点H ，AH 交DE 于点G .已知DE ＝10，BC ＝15，AG ＝12.求GH 的值.解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C . ∴△ADE ∽△ABC .又∵AH ⊥BC ，DE ∥BC ，∴AH ⊥DE .∴DE BC ＝AG AH ，即1015＝12AH. ∴AH ＝18.∴GH ＝AH －AG ＝18－12＝6.方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比，将所求线段转化为求对应高的差.探究点二：相似三角形对应角平分线的比两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm 和8cm ，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm ，那么这两条角平分线的长分别是多少？解：方法一：设其中较短的角平分线的长为x cm ，则另一条角平分线的长为（42－x ）cm.根据题意，得x 42－x ＝68.解得x ＝18.所以42－x ＝42－18＝24（cm ）. 方法二：设较短的角平分线长为x cm ，则由相似性质有x 42＝614.解得x ＝18.较长的角平分线长为24cm.故这两条角平分线的长分别为18cm ，24cm.方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比，列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形.探究点三：相似三角形对应中线的比已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB A ′B ′＝23，AB 边上的中线CD ＝4cm ，求A ′B ′边上的中线C ′D ′.解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 是AB 边上的中线，C ′D ′是A ′B ′边上的中线，∴CD C ′D ′＝AB A ′B ′＝23. 又∵CD ＝4cm ，∴C ′D ′＝3CD 2＝32×4＝6（cm ）.即A ′B ′边上的中线C ′D ′的长是6cm.方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比.三、板书设计相似三角形中的对应线段之比：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，经历“观察－猜想－论证－归纳”的过程，渗透逻辑推理的方法，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力.。

第2课时 反比例函数的性质1.理解并掌握反比例函数图象的性质；（重点）2.能利用反比例函数的图象与性质解决问题.（难点）一、情景导入在一个平面直角坐标系中，根据所提供的两组数据描绘出相应的反比例函数图象.616 2 －1观察这两个图象，试着求出它们的解析式，看看它们之间是否存在着某些关系？二、合作探究探究点一：反比例函数图象的性质 【类型一】 利用反比例函数的性质确定字母的取值范围在反比例函数y ＝1－kx的图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而增大，则k 的值可以是（ ）A.－1B.0C.1D.2解析：反比例函数y ＝1－kx的图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而增大，根据反比例函数的性质可知，该图象的两个分支分别在第二、四象限内，所以该函数的比例系数1－k ＜0，解得k >1.故只有D 项符合题意.故选D.方法总结：反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号.【类型二】 比较函数值的大小在反比例函数y ＝－1x的图象上有三点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），若x 1＞x 2＞0＞x 3，则下列各式正确的是（ ）A.y 3＞y 1＞y 2B.y 3＞y 2＞y 1C.y 1＞y 2＞y 3D.y 1＞y 3＞y 2解析：本题方法较多，一是根据x 1，x 2，x 3的大小即可比较；二是画出草图，根据反比例函数图象的性质比较；三是利用特殊值法.（方法一）比较法：由题意，得y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2，y 3＝－1x 3，因为x 1＞x 2＞0＞x 3，所以y 3＞y 1＞y 2.如图，在直角坐标系中作出y ＝－1x的草图，描出符合条件的三个点，观察图象直接得到y 3＞y 1＞y 2.（方法三）特殊值法：设x 1＝2，x 2＝1，x 3＝－1，则y 1＝－12，y 2＝－1，y 3＝1，所以y 3＞y 1＞y 2.故选A. 方法总结：此题的三种解法中，图象法形象直观，具有一般性；特殊值法最简单，这种方法对于解答许多选择题都很有效，要注意学会使用.探究点二：反比例函数图象中比例系数k 的几何意义如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，反比例函数y ＝k x的图象经过点B （x 0，y 0），则k 的值为 .解析：∵四边形OABC 是边长为1的正方形，∴它的面积为1，且BA ⊥y 轴.又∵点B （x 0，y 0）是反比例函数y ＝k x图象上的一点，则有S 正方形OA BC ＝|x 0y 0|＝|k |，即1＝|k |.∴k ＝±1.又∵点B 在第二象限，∴k ＝－1.方法总结：利用正方形或矩形或三角形的面积确定|k |的值之后，要注意根据函数图象所在位置或函数的增减性确定k 的符号.三、板书设计反比例函数的性质⎩⎪⎨⎪⎧性质⎩⎪⎨⎪⎧当k ＞0时，在每一象限内，y 的值随x 的值的增大而减小当k ＜0时，在每一象限内，y 的值随x 的值的增大而增大反比例函数图象中比例系数k 的几何意义通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，概括反比例函数的有关性质，进行语言表述，训练学生的概括、总结能力，在相互交流中发展从图象中获取信息的能力.让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲.。