2015-2016学年江苏省南通市如皋市高一(上)期末数学试卷含参考答案

XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。

1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。

$\{1\}$ B。

$\{3,5\}$ C。

$\{1,3,4,5\}$ D。

$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。

$22$ B。

$10$ C。

$8$ D。

$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。

$-\frac{3}{4}$ B。

$-\frac{4}{3}$ C。

$\frac{3}{4}$ D。

$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{4}$ B。

$\frac{\pi}{3}$ C。

2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末检测数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A=．2．（5分）已知函数y=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是．4．（5分）设函数f（x）=，则f[f（﹣）]的值为．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为．7．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）是偶函数，则φ=．8．（5分）已知函数f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为．9．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ=．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|=．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是．（）二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={x|f（x）=lg（x﹣1）+}，集合B={y|y=2x+a，x≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：km），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．19．（16分）已知函数f（x）=m（sinx+cosx）﹣4sinxcosx，x∈[0，]，m∈R．（1）设t=sinx+cosx，x∈[0，]，将f（x）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．20．（16分）（1）已知函数f（x）=2x+（x＞0），证明函数f（x）在（0，）上单调递减，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）记函数g（x）=a|x|+2a x（a＞1）①若a=4，解关于x的方程g（x）=3；②若x∈[﹣1，+∞），求函数g（x）的值域．2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A={2} ．【解答】解：全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A={2}．故答案为：{2}．2．（5分）已知函数y=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=3．【解答】解：由题意可得：最小正周期T==，解得：ω=3．故答案为：3．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是（﹣∞，0）．【解答】解：设幂函数的解析式为y=xα，其函数图象过点（2，4），则4=2α，解得α=2，所以y=x2，所以函数y的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．4．（5分）设函数f（x）=，则f[f（﹣）]的值为4．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣）=2=2=2，f[f（﹣）]=f（2）=22=4．故答案为：4．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．【解答】解：∵⊥，∴•=sinB+cosB=0⇒tanB=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为0．【解答】解：原式=log281×log41=0，故答案为：07．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）是偶函数，则φ=．【解答】解：图象向左平移得到f（x+）=2sin（2x++φ），∴g（x）=2sin（2x++φ），∵g（x）为偶函数，因此+φ=kπ+，又0＜φ＜π，故φ=．故答案为：．8．（5分）已知函数f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为1．【解答】解：f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），∴，解得m=1故答案为：19．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：∵sin（α﹣）=，∴sin（2α+）=cos[﹣（2α+）]=cos（2α）=cos[2（α﹣）]=1﹣2sin2（α﹣）=1﹣2×（）2=．故答案为：．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为3．【解答】解：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，cosαsinβ=，则===3，故答案为：3．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ=．【解答】解：由题意可得，α+θ=，tanα=4，∴tan（α+θ）=﹣1，即=﹣1，即=﹣1，求得tanθ=，故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a＜2．【解答】解：由题意，关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则f（x）=a2﹣2a有三个不同的交点，∵f（x）=，∴﹣1＜a2﹣2a＜0，∴0＜a＜1或1＜a＜2，故答案为0＜a＜1或1＜a＜2．13．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|=π．【解答】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是[﹣，] ．（）【解答】解：设=，，∴，；则•=+=，当λ=0时，f（λ）=最大为，当时，f（λ）=最小为﹣；则•的取值范围是[﹣，]，故答案为：[﹣，]，二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={x|f（x）=lg（x﹣1）+}，集合B={y|y=2x+a，x≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=lg（x﹣1）+可得，x﹣1＞0且2﹣x≥0，解得1＜x≤2，故A={x|1＜x≤2}；…（2分）若a=，则y=2x+，当x≤0时，0＜2x≤1，＜2x+≤，故B={y|＜y≤}；…（5分）所以A∪B={x|1＜x≤}．…（7分）（2）当x≤0时，0＜2x≤1，a＜2x+a≤a+1，故B={y|a＜y≤a+1}，…（9分）因为A∩B=∅，A={x|1＜x≤2}，所以a≥2或a+1≤1，…（12分）即a≥2或a≤0，所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0．…（14分）16．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）据函数y=f（x）的解析式及其图象可知A=2，…（2分）且T=﹣（﹣）=π，其中T为函数y=f（x）的最小正周期，故T=2π，…（4分）所以=2π，解得ω=1，所以f（x）=2sin（x﹣）．…（6分）（2）由f（α+）=，可知2sin（﹣）=，即sinα=，因为α∈（0，），所以cos==．…（8分）由f（β+）=，可知2sin（﹣）=，即sin（x+）=，故cosβ=，因为β∈（0，），所以sin=，…（10分）于是cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．…（12分）因为α，β∈（0，），所以α+β∈（0，π），所以α+β=．…（14分）17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．【解答】解：（1）因为|+|=2，所以|+|2=4．即以2+2+2•=4．，…（2分）又||=1，||=m，所以．…（3分）由|+2|=3，所以所以|+2|2=9．即以2+42+4•=9，所以1+4×+4m2=9，解得m=±1，…（6分）又||≥0，所以m=1．…（7分）（2）因为，||=1，||=m，所以|﹣|2=2+2﹣2•=1﹣2×+m2=2m2﹣2，|﹣|=．…（9分）又因为+与﹣的夹角为，所以（+）•（﹣）=以2﹣2=|+|×|﹣|cos 即，所以1﹣m2=2×，解得m=±，…（13分）又||≥0，所以m=．…（14分）18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：km），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．【解答】解：（1）过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA．在Rt△MAN中，sinθ==，故NA=2sinθ，在Rt△PND中，∠PND=θ，sinθ==，cosθ==，故PD=sinθ，ND=cosθ．在Rt△PDA中，PA===，所以l（θ）=，函数l（θ）的定义域为（0，）．（2）由（1）可知，l（θ）=，即l（θ）=====，又θ∈（0，），故2θ﹣∈（﹣，），所以当2θ﹣=，即θ=时，sin（2θ﹣）取最大值1，l（θ）max==1+．答：当θ=时，l（θ）有最大值，最大值为1+．19．（16分）已知函数f（x）=m（sinx+cosx）﹣4sinxcosx，x∈[0，]，m∈R．（1）设t=sinx+cosx，x∈[0，]，将f（x）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．（1）因为t=sinx+cosx=，x∈[0，]，所以t∈[1，]，sinxcosx=．…【解答】解：（2分）所以g（t）=mt﹣4•=﹣2t2+mt+2．…（5分）（2）因为关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，]恒成立，据（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1，]恒成立，…（6分）所以，得m≥．所以实数m的取值范围是[，+∞）．…（10分）（3）因为关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0，]上有实数解，据（1）可知关于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1，]上有实数解，即关于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1，]上有实数解，…（11分）所以△=m2﹣16（m﹣3）≥0，即m≤4或m≥12．令h（t）=2t2﹣mt+2m﹣6，开口向上，对称轴t=，①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h（t）在t∈[1，]上单调递减，故，解得m不存在．…（13分）②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h（t）在t∈[1，]上单调递增，故，解得2+≤m≤4．…（15分）综上所述，实数m的取值范围是[2+，4]．…（16分）20．（16分）（1）已知函数f（x）=2x+（x＞0），证明函数f（x）在（0，）上单调递减，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）记函数g（x）=a|x|+2a x（a＞1）①若a=4，解关于x的方程g（x）=3；②若x∈[﹣1，+∞），求函数g（x）的值域．【解答】（1）证明：设x1，x2是区间（0，）上的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=2（x1﹣x2）+（﹣）=，因为0＜x1＜x2＜，所以x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜，故2x1x2﹣1＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在（0，）上单调递减，函数f（x）的单调递增区间为（，+∞）．（2）解：①当a=4时，4|x|+2•4x=3，（ⅰ）当x≥0时，4x+2•4x=3，即4x=1，所以x=0；（ⅱ）当x＜0时，4﹣x+2•4x=3，即2•（4x）2﹣3•4x+1=0，解得：4x=1或4x=，所以x=﹣或0；综上所述，方程g（x）=3的解为x=0或x=﹣；②（ⅰ）当x≥0时，g（x）=3a x，其中a＞1，所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）min=g（0）=3，所以g（x）在[0，+∞）上的值域为[3，+∞）；（ⅱ）当x∈[﹣1，0）时，g（x）=a﹣x+2a x，其中a＞1，令t=a x，则t∈[，1），g（x）=2t+=f（t），（ⅰ）若1＜a≤，则≥，据（1）可知，f（t）=2t+在[，1）上单调递增，所以f（）≤f（t）＜f（1），且f（）=a+，f（1）=3，此时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[a+，3）；（ⅱ）若a＞，则＜，据（1）可知，f（t）=2t+在[，）上单调递减，在（，1）上单调递增，所以f（t）min=f（）=2，又f（）=a+，f（1）=3，当f（）≥f（1）时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[2，a+]，当f（）＜f（1）时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[2，3）；综上所述，当1＜a≤时，函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域为[a+，+∞；当a＞时，函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域为[2，+∞）．。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. √9D. 0答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，即分数。

√9=3，是一个整数，因此是有理数。

2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，那么f(2)的值为（）A. 0B. 4C. 6D. 8答案：A解析：将x=2代入函数f(x) = x^2 - 4x + 4中，得到f(2) = 2^2 - 42 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0。

3. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，那么∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°答案：C解析：三角形内角和为180°，∠A=60°，∠B=45°，所以∠C=180° - ∠A -∠B = 180° - 60° - 45° = 75°。

4. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = 1/x答案：C解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)。

对于y = x^3，有f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)，因此是奇函数。

5. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，那么第10项a10的值是（）A. 17B. 19C. 21D. 23答案：C解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

代入a1=3，d=2，n=10，得到a10 = 3 + (10-1)2 = 3 + 18 = 21。

二、填空题（每题5分，共50分）6. 若a+b=5，ab=6，那么a^2 + b^2的值为（）答案：37解析：利用恒等式(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，得到a^2 + b^2 = (a+b)^2 -2ab = 5^2 - 26 = 25 - 12 = 13。

江苏省高一（上）期末数学试卷（附参考答案）一、单选题（共8小题）.1．集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{0，1}，则集合A∩B中元素的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{0，1}，∴A∩B＝{0，1}，∴集合A∩B中元素的个数是2．故选：B．2．函数y＝tan（2x﹣）的周期为（）A．2πB．πC．D．解：函数y＝tan（2x﹣），所以T＝＝．故选：C．3．方程的解的个数为（）A．0B．1C．2D．3解：因为方程的解的个数即为函数y＝与函数y＝log x的交点个数，在同一直角坐标系中，画出草图可得：交点个数只有一个，故方程的解的个数为1，故选：B．4．对于全集U，命题甲“所有集合A都满足A∪∁U A＝U”，命题乙为命题甲的否定，则命题甲、乙真假判断正确的是（）A．甲、乙都是真命题B．甲、乙都不是真命题C．甲为真命题，乙为假命题D．甲为假命题，乙为真命题解：因为命题乙为命题甲的否定，所以命题乙“存在集合A都满足A∪∁U A≠U”．对于A，因为命题与命题的否定只有一个为真，所以A错；对于B，因为A∪∁U A＝U对任何U的子集都成立，所以B错；对于C，因为任何集合A，A∪∁U A＝U都成立，但不存在集合A使A∪∁U A≠U，所以C 对；对于D，由C知，D错；故选：C．5．如图，有一个“鼓形”烧水壶正在接水．水壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起．已知单位时间内注水量不变，壶中水面始终为圆形，当注水t＝t0时，壶中水面高度h达到最高h0．在以下图中，最能近似的表示壶中水面高度h与注水时间t的关系是（）A．B．C．D．解：由于壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起，则注水过程中，水面逐步增加，一开始递增速度较慢，超过中间部分后，单位时间内递增速度较快，则对应的图象为B，故选：B．6．函数f（x）＝log3（x+2）+x﹣1的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：∵f（x）＝log3（x+2）+x﹣1，∴f（0）＝log32﹣1＜0，f（1）＝1，∴f（0）f（1）＜0，∴f（x）在（0，1）上存在零点．故选：A．7．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质．已知函数的图象可能为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝＝＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B，C，当0＜x＜1时，f（x）＞0，排除D，故选：A．8．为了提高资源利用率，全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为了新时代的要求．假设某地2020年全年用于垃圾分类的资金为500万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元的年份是（）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）A．2025年B．2026年C．2027年D．2028年解：设经过n年后的投入资金为y万元，则y＝500（1+20%）n，令y≥1600，即500（1+20%）n≥1600，故，所以＝，所以第7年即2027年市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元．故选：C．二、多项选择题9．下列命题中正确的是（）A．若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bdB．若a＞b，则ka＞kbC．若a＜b，则|a|＜|b|D．若a＞b＞0，则解：对于A，若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd，故A正确；对于B，当k≤0时，不等式ka＞kb不成立，故B不正确；对于C，若a＜b＜0，则|a|＞|b|，故C不正确；对于D，若a＞b＞0，则显然成立，故D正确．故选：AD．10．已知点P（1，t）在角θ的终边上，下列关于θ的论述正确的是（）A．如果，B．如果，则t＝2C．如果t＝3，则sin2θ+sinθcosθ+8cos2θ＝2D．如果sinθ+cosθ＝a（a为常数，0＜a＜1），则解：对于A，＜0⇒θ角终边在三、四象限，又因为点P（1，t）在角θ的终边，所以θ在第四象限，所以A对；对于B，当t＝﹣2时，也有，所以B错；对于C，t＝3⇒cosθ＝，sinθ＝⇒sin2θ+sinθcosθ+8cos2θ＝＝2，所以C对；对于D，sinθ+cosθ＝a（a为常数，0＜a＜1）⇒sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ＝a2⇒＜0，又⇒sinθ＜0⇒sinθ﹣cosθ＝﹣＝﹣＝﹣，sin3θ﹣cos3θ＝（sinθ﹣cosθ）•（sin2θ+sinθcosθ+cos2θ）＝（sinθ﹣cosθ）（1+sinθcosθ）＝﹣[1+]⇒，所以D对．故选：ACD．11．若2x＝3，3y＝4，则下列说法正确的是（）A．xy＝2B．C．D．x＞y解：∵2x＝3，3y＝4，∴x＝log23，y＝log34，∴xy＝log23•log34＝2，故A正确；x＝log23＞＝，故B错误；x+y＝log23+log34＞＝2，故C正确；x﹣y＝log23﹣log34＝﹣＝＞＞＝0，即x＞y，故D正确．故选：ACD．12．水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面3米．已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，经过t秒后，水车旋转到P点，则下列说法正确的是（）A．在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为30秒B．当t＝[0，15]时，点P距水面的最大距离为6米C．当t＝10秒时，PP0＝6D．若P第二次到达最高点大约需要时间为80秒解：以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心O为坐标原点，以平行于水面的直线为x 轴建立平面直角坐标系，点P距离水面的高度h关于时间t的函数为h＝f（t）＝A sin（ωt+φ）+B．则，解A＝6，B＝3，又水轮每分钟转动一周，则，∴f（t）＝6sin（φ）+3，由f（0）＝6sinφ+3＝0，得sinφ＝，∴φ＝，则f（t）＝6sin（）+3．对于A，由f（t）＝6sin（）+3＞3，得0π，解得5＜t＜35，则在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为35﹣5＝30秒，故A正确；对于B，f（15）＝6sin（）+3＝＞6米，故B错误；对于C，当t＝10时，，又OP＝6，∴，故C正确；对于D，由6sin（）+3＝9，得，即t＝20，则P第二次到达最高点大约需要时间为60+20＝80秒，故D正确．故选：ACD．三、填空题13．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则f（2）的值为．解：设幂函数为：y＝x a，∵幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），∴2＝4a，∴a＝，∴f（2）＝．故答案为：14．函数在上的值域为．解：对于函数，当x∈时，2x﹣∈[﹣，π]，故当2x﹣＝时，y取得最大值为2，当2x﹣＝﹣时，y取得最小值为﹣，∴函数在上的值域为[﹣，2]，故答案为：[﹣，2]．15．若正数a，b满足a+b＝2，则ab的最大值为1；的最小值为．解：∵正数a，b满足a+b＝2，∴2≥2，解得ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴ab有最大值为1．＝（+）（a+b）＝（5++）（5+2）＝，当且仅当b＝2a＝时取等号．∴的最小值为，故答案为：1，．16．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉．如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成．两岸连接点间距离为米．其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米．某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为（40+30）π米．解：由题意，如图所示，可得QT＝60米，PQ＝60米，连接PO，可得PO⊥QT，因为sin∠QPO＝，所以∠QPO＝，∠QPT＝，所以绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为L＝2π×（）+60×＝（40+30）π米．故答案为：（40+30）π．四、解答题17．求下列各式的值．（1）（e为自然对数的底数）；（2）．解：（1）＝＝．（2）＝＝＝．18．已知函数定义域为A，集B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0}．（1）求集合A，B；（2）若x∈B是x∈A成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知：，解得x＞3或x＜1，∴集合A＝（﹣∞，1]∪（3，+∞），对于集合B满足：x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）≤0，其中m﹣2＜m+2，∴B＝[m﹣2，m+2]；（2）若x∈B是x∈A的充分不必要条件，则集合B是A的真子集，由（1）知，只需满足m+2＜1或m﹣2＞3即可，此时解得m＜﹣1或m＞5，综述，满足题意的m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．19．设函数．（1）解不等式．（2）若x∈[1，9]，求函数f（x）的最大值．解：（1）令，则原式变为，而t2﹣t+2＞0恒成立，∴，即，所以2t＞t2﹣t+2，即t2﹣3t+2＜0，解得t∈（1，2），∴，解得x∈（3，9）；（2）当x∈[1，9]时，由（1）中换元知t∈[0，2]．当t＝0时，f（t）＝0；当t＝（0，2]时，∵，当且仅当时取等，∴f（x）的最大值为，经检验满足题意，综上所述，f（x）的最大值为．21．已知函数f（x）＝x3﹣3x．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）用定义证明函数f（x）在[0，1]上为减函数；（3）已知x∈[0，2π]，且f（sin x）＝f（cos x），求x的值．【解答】解．（1）奇函数；证明：函数f（x）＝x3﹣3x，定义域x∈Rf（﹣x）＝（﹣x）3﹣3（﹣x）＝﹣（x3﹣3x）＝﹣f（x）故f（x）为奇函数（2）任取0≤x1＜x2≤1，＝，因为，，0≤x1x2＜1所以则f（x1）﹣f（x2）＞0⇒f（x1）＞f（x2）所以f（x）在[0，1]上为减函数．（3）x∈[0，2π]，﹣1≤sin≤1，﹣﹣1≤cos x≤1f（x）在R上为奇函数且f（x）在[0，1]为减函数，则有f（x）在[﹣1，1]也是减函数，又f（sin x）＝f（cos x）⇒sin x＝cos x，又x∈[0，2π]，则或．22．已知函数（a为常数，且a≠0，a∈R）．请在下面四个函数：①g1（x）＝2x，②g2（x）＝log2x，③，④中选择一个函数作为g（x），使得f（x）具有奇偶性．（1）请写出g（x）表达式，并求a的值；（2）当f（x）为奇函数时，若对任意的x∈[1，2]，都有f（2x）≥mf（x）成立，求实数m的取值范围；（3）当f（x）为偶函数时，请讨论关于x的方程f（2x）＝mf（x）解的个数．解：（1）若选①g1（x）＝2x，则f（x）＝，定义域为R，当f（x）为奇函数，f（0）＝≠0，不满足条件．奇函数的性质；当f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x），即f（﹣x）＝＝＝，整理得2a＝不是常数，不满足条件．若选②g2（x）＝log2x，则函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．若选③，则f（x）＝．定义域为R，当f（x）为奇函数，f（0）＝≠0，不满足条件．奇函数的性质；当f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x），即＝＝＝，整理得a＝＝﹣＝﹣不是常数，不满足条件．若选④g（x）＝8x，，，当f（x）为奇函数，f（x）＝﹣f（﹣x）⇒a＝﹣1；当f（x）为偶函数，f（x）＝f（﹣x）⇒a＝1．（2）当f（x）为奇函数时，f（x）＝2x﹣2﹣x，x∈[1，2]，2x∈[2，4]，，若对于任意的x∈[1，2]，都有f（2x）≥mf（x）成立，，所以m的取值范围是．（3）当f（x）为偶函数时，f（x）＝2x+2﹣x，f（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x+2﹣x）2﹣2，令t＝2x+2﹣x≥2，则t2﹣2＝mt（t≥2），，又在[2，+∞）单调递增，所以h（t）≥1，1．当m＜1，此时方程无解；2．当m≥1，存在唯一解t0∈[2，+∞），又因为f（x）＝2x+2﹣x为偶函数，不防设0≤x1＜x2，，所以f（x）在[0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0]单调递减，①当m＝1时，t0＝2，此时方程有唯一解x0＝0；②当m＞1时，t0＞2，此时方程有两个解，下证必要性：令h（x）＝2x+2﹣x﹣t0，h（x）为偶函数，h（x）在[0，+∞）单调递增，h（0）＝2﹣t0＜0，所以h（x）在有一个零点，又因为函数时偶函数，则在也有一个零点，所以当m＞1，t0＞2时一共有2两个零点．。

2014-2015学年江苏省南通市如皋市高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案写在答题纸的相应位置上）1．（5分）设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，若l1⊥l2，则实数m=．2．（5分）某单位有工程师20人，技术员100人，工人280人，要从这些人中用分层抽样法抽取一个容量为20的样本，其中技术员应该抽取人．3．（5分）已知为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数a=．4．（5分）已知某程序伪代码如图，则输出结果S=．5．（5分）如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是．6．（5分）已知x，y满足约束条件，则的取值范围是．7．（5分）甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋，已知甲不输的概率为0.6，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为．8．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a4+2a7=12，则S11=．9．（5分）如图所示的流程图中，若输出的结果为3．则输入的x值为10．（5分）一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为．11．（5分）若x＞0，y＞0且x+2y=xy，则x+2y的最小值为．12．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，记S n为{a n}的前n项和，T n为数列{a n3}的前n项和，若S3n=7T n，则公比q的值为．13．（5分）已知点P在直线x﹣2y﹣1=0上，点Q在直线x﹣2y+3=0上，线段PQ 的中点为M（x0，y0）且y0＞﹣x0+2，则的取值范围是．14．（5分）已知x，y为正实数，若关于x，y的不等式+≤m2+m恒成立，则实数m的取值范围是．二、解答题（本大题6小题，共90分，请在答题纸上写出必要的演算步骤）15．（13分）在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点A（0，1），B（3，2）．（1）若C点坐标为（1，0），求AB边上的高所在的直线方程；（2）若点M（1，1）为边AC的中点，求边BC所在的直线方程．16．（15分）设不等式组表示的区域为A，不等式组表示的区域为B．（1）在区域A中任取一点（x，y），求点（x，y）∈B的概率．（2）若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得点数，求点（x，y）在区域B中的概率．17．（14分）已知函数f（x）=x2+ax+1，a为实数．（1）解不等式f（x）＞0，（2）当x＞0时，不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．18．（16分）数列{a n}中，a1=，a n=3﹣（n≥2，n∈N*），数列{b n}满足b n=（n∈N*）．（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）若数列{c n}满足：c n=nb n，求数列{}的前n项和S n．19．（16分）某生态农庄池塘的平面图为矩形ABCD，已知AB=4，BC=10，E为AD上一点，且AE=2，P为池塘内一临时停靠点，且P到AB，BC的距离均为3，EC，EB为池塘上浮桥，为了固定浮桥，现准备进过临时停靠点P再架设一座浮桥MN，其中M，N分别是浮桥EC，EB上点．（浮桥宽度、池塘岸边宽度不计），设EM=d，（1）当d为何值时，P为浮桥MN的中点？（2）怎样架设浮桥MN才能使得△EMN面积最小，求出面积最小时d的值？20．（16分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S5=5S2，a2n+1=2a n+1（n ∈N*），正项等比数列{b n}满足b2=a2，b6=a8，数列{c n}满足c n=．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和为T n（用n表示）；（3）是否存在正整数m，使得T m=2c m+2，若存在，求出所有m的值；若不存在，说明理由．2014-2015学年江苏省南通市如皋市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案写在答题纸的相应位置上）1．（5分）设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，若l1⊥l2，则实数m=．【解答】解：直线l 1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，由L1⊥L2，得3m+（m﹣2）=0，即4m=2，解得m=．故答案为：．2．（5分）某单位有工程师20人，技术员100人，工人280人，要从这些人中用分层抽样法抽取一个容量为20的样本，其中技术员应该抽取5人．【解答】解：由分层抽样的定义得技术员应该抽==5，故答案为：53．（5分）已知为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数a=1．【解答】解：∵=为纯虚数，∴a=1．故答案为：1．4．（5分）已知某程序伪代码如图，则输出结果S=56．【解答】解：模拟程序程序代码，可得i=0，S=0满足条件i＜6，i=2，S=4满足条件i＜6，i=4，S=4+16=20满足条件i＜6，i=6，S=20+36=56不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为56．故答案为：56．5．（5分）如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是甲．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲的平均数是=（87+89+90+91+93）=90，乙的平均数是=（78+88+89+96+99）=90，甲的方差是=[（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4，乙的方差是=[（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2，∵＜，∴成绩较稳定的是甲．故答案为：甲．6．（5分）已知x，y满足约束条件，则的取值范围是[﹣1，2] ．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，表示过平面区域内的点和原点的直线的斜率，由图象得：直线过A时，斜率最大，过B时斜率最小，由，解得：A（1，2），由，解得：B（1，﹣1），∴直线OA的斜率是2，直线OB的斜率是﹣1，故答案为：[﹣1，2]．7．（5分）甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋，已知甲不输的概率为0.6，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为0.3．【解答】解：设甲、乙两人下成和棋P，甲获胜的概率为P（A），则乙不输的概率为1﹣P（A），∵甲不输的概率为0.6，乙不输的概率为0.7，∴P（A）+P=0.6，1﹣P（A）=0.7∴1+P=1.3解得P=0.3∴两人下成和棋的概率为0.3故答案为：0.3．8．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a4+2a7=12，则S11=44．【解答】解：设公差为d，则a4=a1+3d，a7=a1+6d，∵a4+2a7=12，∴3a1+15d=12，∴a1+5d=4，∴S11==11（a1+5d）=11×4=44，故答案为：44．9．（5分）如图所示的流程图中，若输出的结果为3．则输入的x值为或﹣3【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求z=的值，当x≥0时，z=2x=3⇒x=；当x＜0时，y=x2+2x=3⇒x=1（舍去）或﹣3，故答案为：或﹣3．10．（5分）一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为1﹣．【解答】解：记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A，则其对立事件为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”，边长为4的等边三角形的面积为S=×42=4，则事件构成的区域面积为S（）=3×××π×12=，由几何概型的概率公式得P（）==；P（A）=1﹣P（）=1﹣；故答案为：1﹣．11．（5分）若x＞0，y＞0且x+2y=xy，则x+2y的最小值为8．【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+2y=xy，∴=1，即+=1，∴x+2y=（x+2y）（+）=4++≥4+2=8当且仅当=即x=4且y=2时取等号，故答案为：812．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，记S n为{a n}的前n项和，T n为数列{a n3}的前n项和，若S3n=7T n，则公比q的值为﹣3或2．【解答】解：∵等比数列{a n}中a1=1，a n=q n﹣1．则a n3=（q n﹣1）3=（q3）n﹣1，即数列{a n3}是1为首项q3为公比的等比数列，∴S3n==，T n==，由S3n=7T n可得=7×，即1﹣q3=7（1﹣q），即1+q+q2=7，则q2+q﹣6=0．解得q=2或q=﹣3，故答案为：﹣3或213．（5分）已知点P在直线x﹣2y﹣1=0上，点Q在直线x﹣2y+3=0上，线段PQ 的中点为M（x0，y0）且y0＞﹣x0+2，则的取值范围是[，+∞）．【解答】解：∵直线x﹣2y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行，∴线段PQ的中点为M（x0，y0）在与之平行的直线x﹣2y+1=0上，∴x0﹣2y0+1=0，∴x0=2y0﹣1，∵y0＞﹣x0+2，∴y0＞﹣2y0+1+2，解得y0＞1，∴==，由二次函数可知当y0=﹣=2（满足y0＞1）时上式取最小值=，∴的取值范围为：[，+∞）．故答案为：[，+∞）．14．（5分）已知x，y为正实数，若关于x，y的不等式+≤m2+m恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．【解答】解：设2x+y=m，2y+x=n 且m，n均为正数则3x=2m﹣n，3y=2n﹣m，所以+=+=2+2﹣﹣≤4﹣2=2，当且仅当m=n时取等号，∵关于x，y的不等式+≤m2+m恒成立，∴m2+m≥2，解得m≤﹣2，或m≥1，故实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．二、解答题（本大题6小题，共90分，请在答题纸上写出必要的演算步骤）15．（13分）在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点A（0，1），B（3，2）．（1）若C点坐标为（1，0），求AB边上的高所在的直线方程；（2）若点M（1，1）为边AC的中点，求边BC所在的直线方程．【解答】解：（1）∵A（0，1），B（3，2），∴k AB==，由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k=﹣3，∴AB边上的高所在直线方程为y﹣0=﹣3（x﹣1），化为一般式可得3x+y﹣3=0（2）∵M为AC的中点，∴C（2，1），∴k BC==1，∴BC所在直线方程为y﹣1=x﹣2，化为一般式可得x﹣y﹣1=016．（15分）设不等式组表示的区域为A，不等式组表示的区域为B．（1）在区域A中任取一点（x，y），求点（x，y）∈B的概率．（2）若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得点数，求点（x，y）在区域B中的概率．【解答】解法一：（1）设集合A中的点（x，y）∈B为事件M，区域A的面积为S1=36，区域B的面积为S2=36﹣8=28，∴P（M）===．…（6分）（2）设点（x，y）在集合B中为事件N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数为36，其中在集合B中的点有33个，…（10分）故P（N）==．…（12分）解法二：（1）设集合A中的点（x，y）∈B为事件M，其对立事件为集合A中的点（x，y）∉B，∴P（M）=1﹣P（）=1﹣=．…（6分）（2）设点（x，y）在集合B中为事件N，其对立事件为点（x，y）不在集合B中．甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数为36，其中不在集合B中的点有3个，…（10分）故P（N）=1﹣P（）=1﹣=．…（12分）答：（1）在区域A中任取一点（x，y），点（x，y）∈B的概率为；（2）点（x，y）在区域B中的概率为．…（14分）17．（14分）已知函数f（x）=x2+ax+1，a为实数．（1）解不等式f（x）＞0，（2）当x＞0时，不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）△=a2﹣4，①当△＞0，即a＞2或a＜﹣2时，不等式的解集为（﹣∞，）∪（，+∞），②当△=0，即a=2或﹣2时，当a=2时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）；当a=﹣2时，不等式的解集为（﹣∞，1）∪（1，+∞）；③当△＜0，即当﹣2＜a＜2时，解集为R．综上，①当a＞2或a＜﹣2时，不等式的解集为（﹣∞，）∪（，+∞）；②当a=2时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）；③当a=﹣2时，不等式的解集为（﹣∞，1）∪（1，+∞）；④当﹣2＜a＜2时，解集为R．（2）当x＞0时，由x2+ax+1≥0得a≥﹣（x+）=﹣2=﹣2，当且仅当x=1时取等号．故a的取值范围为[﹣2，+∞）18．（16分）数列{a n}中，a1=，a n=3﹣（n≥2，n∈N*），数列{b n}满足b n=（n∈N*）．（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）若数列{c n}满足：c n=nb n，求数列{}的前n项和S n．=﹣【解答】（1）证明：当n≥2时，b n﹣b n﹣1=﹣=﹣=1；当n=1时，b1===2，∴数列{b n}是首项b1=2、公差为1的等差数列；（2）解：由（1）得b n=n+1，∴c n=n（n+1），∴==﹣，∴S n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．19．（16分）某生态农庄池塘的平面图为矩形ABCD，已知AB=4，BC=10，E为AD上一点，且AE=2，P为池塘内一临时停靠点，且P到AB，BC的距离均为3，EC，EB为池塘上浮桥，为了固定浮桥，现准备进过临时停靠点P再架设一座浮桥MN，其中M，N分别是浮桥EC，EB上点．（浮桥宽度、池塘岸边宽度不计），设EM=d，（1）当d为何值时，P为浮桥MN的中点？（2）怎样架设浮桥MN才能使得△EMN面积最小，求出面积最小时d的值？【解答】解：（1）以E为坐标原点，AD所在直线为y轴，过E垂直于AD的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则C（4，8），B（4，﹣2），P（1，1）∴EC：y=2x EB：y=x，∴EC⊥EB设M（m，2m），N（2n，n），（m＞0，n＞0）∵P为MN的中点∴∴此时M（1.2，2.4），d=．答：当d=时，P为浮桥MN中点．…（7分）（2）∵k PM=k PN∴∴m+3n=5mn（，）∵EC⊥EB∴EM•EN=mn∵m+3n=5mn当且仅当m=3n=1.2时取等号，∴mn．∴≥1.2，此时d=．…（14分）答：当d=时，三角形EMN面积最小，最小为1.2．…（16分）20．（16分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S5=5S2，a2n+1=2a n+1（n ∈N*），正项等比数列{b n}满足b2=a2，b6=a8，数列{c n}满足c n=．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和为T n（用n表示）；（3）是否存在正整数m，使得T m=2c m+2，若存在，求出所有m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S5=5S2，得a1=d，由a2n=2a n+1得a1﹣2d+1=0．+1∴a1=d=1，a n=n．∴b2=2，b6=8∵b n＞0，∴公比q==，b1=，∴b n=；（2）∵c n=，当n为偶数时，T n=[1+3+5+…+（n﹣1）]+（2+4+8+…+）=+=﹣2+；当n为奇数时，T n=（1+3+5+…+n）+（2+4+8+…+）=+=﹣2+；∴T n=；（3）结论：存在正整数m=4满足题设条件．理由如下：当m为偶数时，﹣2+=2•+2，即=4，∴m=4；当m为奇数时，﹣2+=2m+2，∴4•=24﹣（m﹣3）2，即（m﹣3）2=24﹣4•≥0，∴≤6，∴m=1或3．∵当m=1时，4≠16，当m=3时，0≠8．∴当m为奇数时，这样的m不存在．综上所述：m=4．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

江苏省如皋市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.已知全集U={1,2，3，4}，集合A={1,4}，B={2,4}，则A∩(∁U B)=()A. {2}B. {4}C. {1}D. {1,2，4}【答案】C【解析】解：∵全集U={1,2，3，4}，B={2,4}，∴∁U B={1,3}，∵A={1,4}，∴A∩(∁U B)={1,4}∩{1,3}={1}．故选：C．先求出∁U B，再求出A∩(∁U B)本题考查集合的基本的混合运算，属于简单题．2.若幂函数f(x)的图象经过点(3,√3)，则f(4)=()A. 16B. −2C. ±2D. 2【答案】D【解析】解：设幂函数y=f(x)=x a，x∈R，函数图象过点(3,√3)，，则3a=√3，a=12∴幂函数f(x)=x12，∴f(4)=412=2．故选：D．根据幂函数的定义利用待定系数法求出f(x)的解析式，再计算f(4)的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．3.函数f(x)=lg(x+1)+√3−x的定义域为()A. (−∞,3]B. (−1,3]C. [0,3]D. (−1,3)【答案】B【解析】解：由题意得：x+1>0，解得：−1<x≤3，{3−x≥0故函数的定义域是(−1,3]，第1页，共13页故选：B．根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题．4.已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为π4，则这条弧所在的扇形面积为()cm2．A. πB. 4πC. 2πD. √2π【答案】C【解析】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为π4，∴半径r=ππ4=4，∴这条弧所在的扇形面积为S=12×π×4=2πcm2．故选：C．根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，比较基础．5.已知向量a⃗=(4,2)，b⃗ =(3,−1)，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π4B. 3π4C. π4或3π4D. π3【答案】A【解析】解：根据题意得，a⃗⋅b⃗ =12−2=10∴cos<a⃗，b⃗ >=√16+4×√9+1=√22∴向量a⃗与b⃗ 的夹角为π4．故选：A．运用向量的夹角公式可解决此问题．本题考查向量的夹角公式的应用．6.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象，则其解析式是()第3页，共13页A. f(x)=3sin(x +π3) B. f(x)=3sin(2x +π3) C. f(x)=3sin(2x −π3)D. f(x)=3sin(2x +π6)【答案】B【解析】解：由图象知A =3，函数的周期T =5π6−(−π6)=π，即2πω=π，即ω=2， 则f(x)=3sin(2x +φ)，由五点对应法得2×(−π6)+φ=0， 即φ=π3，则f(x)=3sin(2x +π3)， 故选：B ．根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A ，ω和φ的值是解决本题的关键．7. 若tanθ=2，则2sin 2θ−3sinθcosθ=( )A. 10B. ±25C. 2D. 25【答案】D【解析】解：∵sin 2θ+cos 2θ=1，∴2sin 2θ−3sinθcosθ =2sin 2θ−3sinθcosθsin 2θ+cos 2θ =2tan 2θ−3tanθ1+tan 2θ =2×22−3×21+22=25， 故选：D ．题目已知条件是正切值，而要求的三角函数式是包含正弦和余弦的，因此要弦化切，给要求的式子加上一个为1的分母，把1变为正弦和余弦的平方和，这样式子就变为分子和分母同次的因式，分子和分母同除以余弦的平方，得到结果．已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值.在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的.有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种．8. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=2，则|2a ⃗ +b ⃗ |=( )A. 2√7B. 2C. 2√3D. 2√5【答案】C【解析】解：∵|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=2；∴(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=4+2a ⃗ ⋅b ⃗ +4=4；∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−2；∴(2a ⃗ +b ⃗ )2=4a ⃗ 2+4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=16−8+4=12；∴|2a ⃗ +b ⃗ |=2√3． 故选：C ．根据条件，对|a ⃗ +b ⃗ |=2两边平方即可求出a ⃗ ⋅b ⃗ =−2，从而可求出(2a ⃗ +b ⃗ )2的值，进而得出|2a ⃗ +b ⃗ |的值． 考查向量数量积的运算，求向量长度的方法．9. 已知函数f(x)={sin π2x,−4≤x ≤02x +1,x >0，则y =f[f(x)]−3的零点为( )A. 0和3B. 2C. −3D. −1 【答案】C【解析】解：设t =f(x)， 解方程f(t)−3=0得： {−4≤t ≤0sin π2t −3=0或{2t +1−3=0t>0，解得：t =1，即f(x)=1， 即{−4≤x ≤0sin π2x =1或{2x +1−1=0x>0，解得：x =−3， 故选：C ．由复合方程的解法及分段函数的有关问题分段讨论有：设t =f(x)，解方程f(t)−3=0得：{−4≤t ≤0sin π2t −3=0或{2t +1−3=0t>0，得：t =1，再分段解方程{−4≤x ≤0sin π2x =1或{2x +1−1=0x>0，得解．本题考查了复合方程的解法及分段函数的有关问题，属中档题．10.在平面直角坐标系xOy中，点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，横坐标是35，将点A绕原点O顺时针旋转π3到B点，则点B的横坐标为()A. 4−3√310B. 3+4√310C. 3√3−410D. 3√3+410【答案】B【解析】解：点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，设射线OA对应的角为θ，横坐标是cosθ=35，故点A的纵坐标为sinθ=45，将点A绕原点O顺时针旋转π3到B点，则OB射线对应的终边对应的角为θ−π3，则点B的横坐标为cos(θ−π3)=cosθcosπ3+sinθsinπ3=12cosθ+√32sinθ=3+4√310，故选：B．设射线OA对应的角为θ，利用任意角的三角函数的定义求得cosθ、sinθ，再利用两角差的余弦公式求得点B的横坐标为cos(θ−π3)的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．11.已知函数f(x)=e x−e−x，则不等式f(2x2−1)+f(x)≤0的解集为()A. (0,1]B. [−12,1] C. [−1,−√22] D. [−1,12]【答案】D【解析】解：∵f(x)=e x−e−x，∴f(−x)=e−x−e x=−(e x−e−x)=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，∵y=e x是增函数，y=e−x，是减函数，则f(x)=e x−e−x，是增函数，则不等式f(2x2−1)+f(x)≤0得不等式f(2x2−1)≤−f(x)=f(−x)，则2x2−1≤−x，即2x2+x−1≤0，得(x+1)(2x−1)≤0，得−1≤x≤12，即不等式的解集为[−1,12]，故选：D．根据条件判断函数f(x)的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．第5页，共13页12. 已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)={x +1,x <0x 2+2ax,x>0，若f(x)+f(−x)=0在定义域上有两个不同的解，则a 的取值范围为( )A. (−∞,−12)B. (32,+∞) C. (−∞,−12)∪(32,+∞)D. (−12,32)【答案】A【解析】解：已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)={x +1,x <0x 2+2ax,x>0， 若f(x)+f(−x)=0在定义域上有两个不同的解，等价于直线y =x +1关于原点对称的直线y =x −1与函数f(x)=x 2+2ax(x >0)的图象有两个交点，联立{y =x 2+2ax y=x−1，消y 得：x 2+(2a −1)x +1=0， 由题意有：此方程有两不等正实数根， 即{−(2a −1)>0(2a−1)2−4>0， 解得：a <−12， 故选：A ．由函数的性质及函数的零点与方程的根的关系可得：f(x)+f(−x)=0在定义域上有两个不同的解，等价于直线y =x +1关于原点对称的直线y =x −1与函数f(x)=x 2+2ax(x >0)的图象有两个交点，联立{y =x 2+2ax y=x−1，消y 得：x 2+(2a −1)x +1=0，由题意有：此方程有两不等正实数根，由根与系数的关系可得：{−(2a −1)>0(2a−1)2−4>0，得解，本题考查了函数的性质及函数的零点与方程的根的关系，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 计算：(827) −23−lg √2−lg √5=______．【答案】74【解析】解：(827) −23−lg √2−lg √5=94−12(lg2+lg5)=94−12=74．故答案为：74．直接利用有理指数幂以及对数运算法则化简求解即可． 本题考查对数运算法则以及有理指数幂的计算，考查计算能力．14. 已知sin(α+π6)=13，则sin(2α−π6)=______．【答案】−79【解析】解：sin(2α−π6)=sin[2(a+π6)−π2]=−cos2(a+π6)=−[1−2sin2(a+π6)]=−(1−2×19)=−79，故答案为：−79根据三角函数的诱导公式结合二倍角公式进行化简即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键．15.三角形ABC中，已知AC=4，AB=2，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3BP⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =4CQ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =______．【答案】−87【解析】解：∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3BP⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =4CQ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =3(AP⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒3AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB⃗⃗⃗⃗⃗ ；AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ =4(AQ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒4AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴12AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+3AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2+7AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ )∴12×4=2×4+3×16+7AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−87故答案为：−87由BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3BP⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =4CQ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得3AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，4AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后两式相乘可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．16.已知函数f(x)=x+ax，其中a∈R，若关于x的方程f(|2x−1|)=2a+13有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是______．第7页，共13页【答案】[23,+∞)【解析】解：设t =g(x)=|2x −1|， 其图象如图所示，设t 1，t 2为方程t +at =2a +13的两根则f(|2x −1|)=2a +13有三个不同的实数解等价于：t =g(x)的图象与直线t =t 1，t =t 2的交点和为3，由图可知：t 1∈(0,1)，t 2∈[1,+∞)，设ℎ(x)=t 2−(2a +13)t +a ，则此函数有两个零点t 1∈(0,1)，t 2∈[1,+∞)， ①当t 2=1时，解得：a =23，由a =23，解得t 1=23∈(0,1)，满足题意， ②当t 2>1时，由二次方程区间根问题可得： {ℎ(1)<0ℎ(0)>0，解得：a >23， 综合①②得：实数a 的取值范围是a ≥23， 故答案为：[23,+∞)．由方程的根与函数的零点问题设t =g(x)=|2x −1|，设t 1，t 2为方程t +at =2a +13的两根则f(|2x −1|)=2a +13有三个不同的实数解等价于：t =g(x)的图象与直线t =t 1，t =t 2的交点和为3，由数形结合的数学思想方法、二次方程的区间根问题可得：t 1∈(0,1)，t 2∈[1,+∞)，设ℎ(x)=t 2−(2a +13)t +a ，则此函数有两个零点t 1∈(0,1)，t 2∈[1,+∞)，运算可得解本题考查了方程的根与函数的零点问题及数形结合的数学思想方法、二次方程的区间根问题，属难度较大的题型．三、解答题（本大题共6小题，共82.0分）17. 设全集U =R ，集合A ={x|−1<x −m <5}，B ={x|12<2x <4}．(1)当m =1时，求A ∩(∁U B)；(2)若A ∩B =⌀，求实数m 的取值范围．【答案】解：A ={x|m −1<x <m +5}，B ={x|−1<x <2}； (1)m =1时，A ={x|0<x <6}，且∁U B ={x|x ≤−1，或x ≥2}；第9页，共13页∴A ∩(∁U B)={x|2≤x <6}； (2)∵A ∩B =⌀；∴m −1≥2，或m +5≤−1； ∴m ≥3，或m ≤−6；∴实数m 的取值范围为{m|m ≤−6，或m ≥3}．【解析】(1)可求出A ={x|m −1<x <m +5}，B ={x|−1<x <2}，m =1时，求出集合A ，然后进行补集、交集的运算即可；(2)根据A ∩B =⌀即可得出m −1≥2，或m +5≤−1，解出m 的范围即可．考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、补集的运算，交集、空集的定义．18. 已知cosα=45，cos(α+β)=513，α，β均为锐角．(1)求sin2α的值； (2)求sinβ的值．【答案】解：(1)∵cosα=45，α为锐角，∴sinα=√1−cos 2α=√1−(45)2=35，∴sin2α=2sinαcosα=2×35×45=2425．(2)∵α，β均为锐角，cos(α+β)=513，∴α+β∈(0,π)， ∴sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=√1−(513)2=1213， ∴sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=1213×45−513×35=3365．【解析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．(2)由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin(α+β)的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．19. 已知向量a ⃗ =(√3cosx +sinx,4sinx)，b ⃗ =(√3cosx +sinx,−√3cosx)，设f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ．(1)将f(x)的图象向右平移π3个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到g{x)的图象，求g(x)的单调增区间；(2)若x ∈[0,π3]时，mf(x)+m ≥f(x)+2恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】解：(1)由题意得f(x)=(√3cosx +sinx)2−4√3sinxcosx=3cos 2x +sin 2x −2√3sinxcosx =1+2cos 2x −√3sin2x =1+1+cos2x −√3sin2x=2+2cos(2x +π3)，∴g(x)=2+2cos(x −π3)，由2kπ−π≤x −π3≤2kπ，k ∈Z ， 得2kπ−2π3≤x ≤2kπ+π3，k ∈Z ，即g(x)的增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3]，k ∈Z ．(2)当x ∈[0,π3]时， 可得f(x)+1∈[1,4]，∴mf(x)+m ≥f(x)+2⇔m ≥f(x)+2f(x)+1=1+1f(x)+1， 易得1+1f(x)+1的最大值为2，∴使原不等式恒成立的m 的范围为[2,+∞)， 故实数m 的取值范围为[2,+∞)．【解析】(1)首先利用数量积把f(x)化为三角函数，再利用坐标变换得到g(x)，结合余弦函数单调性可得增区间；(2)利用所给范围确定f(x)+1为正，把所给不等式参变分离，只需求得右边的最大值即可．此题考查了数量积，三角公式，三角函数单调性，不等式恒成立等，难度适中．20. 在三角形ABC 中，AB =2，AC =1，∠ACB =π2，D 是线段BC 上一点，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为线段AB 上一点．(1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ +y b⃗ ，求x −y ； (2)求CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FA⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围； (3)若F 为线段AB 的中点，直线CF 与AD 相交于点M ，求CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．【答案】解：(1)∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ +23a ⃗ ，第11页，共13页∴x =23，y =13，∴x −y =13 (2)设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0≤λ≤1)因为在三角形ABC 中，4B =2，AC =1，∠ACB =π2，∴∠CAB =30∘，∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )(−λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−4λ2+λ⋅1×2×√32=−4λ2+√3λ=−4(λ−√38)2+316∈[−4+√3,316] (3)∵A ，M ，D 三点共线，∴可设CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)⋅23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵F 为AB 的中点，∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又C ，M ，F 三点共线，∴存在t ∈R 使得CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(1−x)CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12t CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12t CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{x =12t23(1−x)=12t ，解得{x =25t =45，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(25CA⃗⃗⃗⃗⃗ +25CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =45CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=45×1×2×(−√32)+25×4=85−4√35【解析】(1)将AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 化成AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 后，与已知比较得x =23，y =13，可得x −y =13； (2)设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0≤λ≤1)，将CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，FA ⃗⃗⃗⃗⃗ 化成AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 后，再相乘可得； (3)先根据向量共线和三点共线得到CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 相乘可得． 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．21. 如图，某城市拟在矩形区域ABCD 内修建儿童乐园，已知AB =2百米，BC =4百米，点E ，N 分别在AD ，BC 上，梯形DENC 为水上乐园；将梯形EABN 分成三个活动区域，M 在AB 上，且点B ，E 关于MN 对称，现需要修建两道栅栏ME ，MN 将三个活动区域隔开.设∠BNM =θ，两道栅栏的总长度L(θ)=ME +MN ．(1)求L(θ)的函数表达式，并求出函数的定义域； (2)求L(θ)的最小值及此时θ的值．【答案】解：(1)∵点B ，E 关于MN 对称，∴Rt △BMN≌RtEMN ，∴BM =EM ，∠BMN =∠EMN =π2−θ， ∴∠AME =π−2(π2−θ)=2θ，设AM =x ，则BM =EM =2−x ，∴cos2θ=AMEM =x2−x ， ∴x =2cos2θcos2θ+1=2cos 2θ−1cos 2θ=2−1cos 2θ，由sinθ=BM MN =2−xMN可得MN =2−xsinθ=1sinθcos 2θ， ∴ME +MN =1cos 2θ+1sinθcos 2θ=sinθ+1sinθcos 2θ=1sinθ(1−sinθ)．由∠AME =2θ<π2可知0<θ<π4．∴L(θ)=1sinθ(1−sinθ)(0<θ<π4).(2)∵0<θ<π4，∴0<sinθ<√22，∴sinθ(1−sinθ)≤(sinθ+1−sinθ2)2=14，当且仅当sinθ=1−sinθ即sinθ=12时取等号．∴当θ=π6时，L(θ)取得最小值4．【解析】(1)设AM =x ，得出x 与θ的关系，求出EM ，MN ，即可求用θ表示的l 函数表达式；(2)根据基本不等式和θ的范围得出L(θ)的最小值．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数模型的运用，属于中档题．22. 若函数f(x)=x|x −m|+m 2，m ∈R ．(1)若函数f(x)为奇函数，求m 的值；(2)若函数f(x)在x ∈[1,2]上是增函数，求实数m 的取值范围； (3)若函数f(x)在x ∈[1,2]上的最小值为7，求实数m 的值． 【答案】解：(1)函数f(x)为奇函数， ∴f(0)=m 2=0，解得m =0； (2)∵f(x)={−x 2+mx +m 2,x <m x 2−mx+m 2,x≥m， ∵函数f(x)在x ∈[1,2]上是增函数，当m ≤0时，f(x)=x 2−mx +m 2的对称轴为x =m2， 由m2≤1，即f(x)在[1,2]递增；当0<m ≤1时，f(x)=x 2−mx +m 2的对称轴为x =m2，由m2≤1，即f(x)在[1,2]递增；当1<m<2时，f(x)在(1,m)递减，(m,2)递增；当m≥2时，f(x)=−x2+mx+m2的对称轴为x=m2，若2≤m<4，可得f(x)在(1,m2)递增；在(m2,2)递减；若m≥4，可得f(x)在(1,2)递增，综上可得，m的范围是(−∞,1]∪[4,+∞)；(3)由(2)可得m≤1时，f(x)在[1,2]递增，可得f(1)=1−m+m2=7，解得m=−2(3舍去)，当1<m<2时，f(x)在(1,m)递减，(m,2)递增，可得f(m)=m2=7，解得m=√7，不符合条件，舍去；当2≤m<4，可得f(x)在(1,m2)递增；在(m2,2)递减，若f(1)=m−1+m2，f(2)=2(m−2)+m2，f(1)−f(2)=3−m，当2≤m≤3，令f(2)=7，解得m=2√3−1，成立；若3<m<4，可令f(1)=7，解得m=−1+√332，不符合条件，舍去；当m≥4，可得f(x)在(1,2)递增，令f(1)=7，即m−1+m2=7，解得m=−1+√332，不符合条件，舍去．综上可得m的值为−2或2√3−1．【解析】(1)由奇函数的性质可得f(0)=0，解方程可得m；(2)讨论m<0，m=0，0<m<1，m=1，1<m<2，2≤m<4，m≥4时，去掉绝对值，结合二次函数的单调性，可得结论；(3)由(2)的结论，由单调性，可得最小值，解方程即可得到所求m的值．本题考查含绝对值函数的单调性和最值求法，注意运用绝对值的意义和分类讨论思想方法，结合二次函数的图象和性质是解题的关键，属于综合题．第13页，共13页。

江苏省如皋中学2014-2015学年度第一学期阶段练习高三数学时间:120分钟 总分160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{－1,0,1}，则A∪B＝ ▲ .2．如果复数2()3bib R i-∈+的实部与虚部互为相反数,则b = ▲ .3．已知直线22+=+a ay x 与1+=+a y ax 平行，则实数a 的值为 ▲ ．4．函数2sin y x x =-在（0，2π）内的单调增区间为 ▲ ．5．已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433，则它的体积为 ▲ ．6．圆心在抛物线y x 22=上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．7．已知一个等比数列前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为 ▲ ．8．设双曲线12222=-by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上一点，且214PF PF =，则此双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．9．已知p ：1＜x2＜8；q ：不等式042≥+-mx x 恒成立，若p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围 ▲ .10．已知偶函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，且当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，其图象与直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为1234,,,,P P P P ⋅⋅⋅，则1324PP P P ⋅等于 ▲ ．11． △ABC 中，AB 边上的中线CD 等于2，动点P 满足AP →＝12t ·AB →＋(1－t)·AC →（0≤t ≤1），则(PA →＋PB →)·PC →的取值范围为 ▲ ．12．从直线0843=++y x 上一点P 向圆C ：012222=+--+y x y x 引切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则四边形PACB 的周长最小值为 ▲ ．13．已知函数),,()(23R c b a c bx ax x x f ∈+++=，若函数)(x f 在区间[－1,0]上是单调减函数，则22b a +的最小值为 ▲ ．14．已知实数,x y 满足:3210(12,0)x xy x x +-=-≤≤≠，这个方程确定的函数为()y f x =，若函数k x f x z -+=)(23有且只有一个零点,则实数k 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC 的面积为S ，且AB →·AC →＝S ． (1) 求tan2A 的值；(2) 若B ＝π4，|CB →－CA →|＝3，求△ABC 的面积S ．16．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，已知12AA AC AB ==，︒=∠=∠6011CAA BAA ，点D ，E 分别为AB ，C A 1的中点．求证： (1) DE ∥平面C C BB 11； (2) 1BB ⊥平面BC A 1．17．如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45°(其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上)，设∠PAB＝θ，tan θ＝t. (1) 用t 表示出PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长是否为定值；(2) 问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至少为多少(平方百米)?18．已知椭圆O 的中心在原点，长轴在x 轴上，右顶点A(2，0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为32．不过A 点的动直线m x y +=21交椭圆O 于P 、Q 两点．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 证明P 、Q 两点的横坐标的平方和为定值；(3) 过点A 、P 、Q 的动圆记为圆C ，动圆C 过不同于A 的定点，请求出该定点坐标．19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121==a a ，n n n a n nS b )2(++=，数列{}n b 是公差为d 的等差数列，n∈N *. (1) 求d 的值；(2) 求数列{}n a 的通项公式；(3) 请判断)2)(1(2)()(122121++⋅⋅⋅+n n S S S a a a n n n 和 的大小关系,并证明你的结论．20．已知函数x x f ln )(=，bx x x g -=221)( (b 为常数)． (1) 函数)(x f 的图象在点(1，)1(f )处的切线与函数)(x g 的图象相切，求实数b 的值； (2) 设)()()(x g x f x h +=，若函数)(x h 在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围；(3) 若1>b ，对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数21,x x ，都有)()()()(2121x g x g x f x f ->-成立，求实数b 的取值范围．附加题（时间30分钟，总分40分）1．设A T 是逆时针旋转6π的旋转变换，B T 是以直线l ：y x =为轴的反射变换，求先进行A T 变换，后进行B T 变换的复合变换矩阵.2．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ，圆心为直线sin()3πρθ-=圆C 的极坐标方程．3．一个袋中装有大小和质地都相同的10个球，其中黑球4个，白球5个，红球1个． (1) 从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布和数学期望E(X)；(2) 每次从袋中随机地摸出一球，记下颜色后放回．求3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率．4．已知定点)81,0(F 和直线81:-=y l ,过定点F 与直线l 相切的动圆的圆心为点C .动点C 的轨迹记为曲线E .(1)求曲线E 的标准方程;(2)点P 是曲线E 上的一个动点, 曲线E 在点P 处的切线为1l ,过点P 且与直线1l 垂直的直线2l 与曲线E 的另一个交点为Q ,求线段PQ 的取值范围.高三阶段考试(数学试题)一卷1． {－1,0,1,2}; 2． 1; 3． 1; 4． 5(,)33ππ; 5． 233; 6． (x ±1)2＋(y-12)2=17． 10; 8． ⎥⎦⎤⎝⎛351，; 9． m ≤4; 10． 4; 11． [－2,0]; 12． 42＋2 13． 95; 14． ⎪⎭⎫⎝⎛∞+，—415 15． 解：(1) 设△ABC 的角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c.∵ AB →·AC →＝S ，∴ bccosA ＝12bcsinA ，∴ cosA ＝12sinA ，∴ tanA ＝2.∴ tan2A ＝2tanA 1－tan 2A＝－43.(5分)(2) |CB →－CA →|＝3，即|AB →|＝c ＝3，∵ tanA ＝2，0＜A ＜π2，(7分) ∴ sinA ＝255，cosA ＝55.(9分)∴ sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝255·22＋55·22＝31010.(11分)由正弦定理知：c sinC ＝b sinB b ＝c sinC ·sinB ＝5，S ＝12bcsinA ＝125×3×255＝3.(14分)16． 证明：(1) 取AC 中点M ，连DM ，EM ，∵D 为AB 的中点，∴ DM ∥BC ，∵ 平面BB 1C 1C ，平面BB 1C 1C ， ∴ DM ∥平面BB 1C 1C.同理可证EM ∥平面BB 1C 1C.又DM ∩EM ＝M ，∴ 平面DEM ∥平面BB 1C 1C. ∵ 平面DEM ，∴ DE ∥平面BB 1C 1C.(7分) (2) 在△AA1B 中，因为AB ＝2AA 1，∠BAA 1＝60°， 设AA 1＝1，则AB ＝2，由余弦定理得A 1B ＝ 3.故AA 21＋A 1B 2＝AB 2，∴ AA 1⊥A 1B, 所以BB 1 ⊥A 1B (10分)同理可得BB 1⊥A 1C. 又A 1B ∩A 1C ＝A 1，∴BB 1⊥平面A 1BC. (14分) 17． 解：(1) BP ＝t ，CP ＝1－t,0≤t ≤1.∠DAQ ＝45°－θ，DQ ＝tan(45°－θ)＝1－t 1＋t ，CQ ＝1－1－t 1＋t ＝2t1＋t .(3分)∴ PQ ＝CP 2＋CQ 2＝(1－t )2＋⎝⎛⎭⎫2t 1＋t 2＝1＋t21＋t .(6分)∴ l ＝CP ＋CQ ＋PQ ＝1－t ＋2t 1＋t ＋1＋t21＋t＝1－t ＋1＋t ＝2.(9分)(2) S ＝S 正方形ABCD －S △ABP －S △ADQ ＝1－12(1－t)－122t 1＋t ＝12(1＋t)＋11＋t －1(12分)∵ 1＋t ＞0，∴ S ≥212(1＋t )11＋t－1＝2－1.当t ＝2－1时取等号． 探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至少为(2－1)平方百米．(14分)18． (1) 解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得a ＝2，e ＝32.(2分)∴ c ＝3，b ＝1，(2分)∴ 椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(4分)(2) 证明：设点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将y ＝12x ＋m 带入椭圆，化简得x 2＋2mx ＋2(m 2－1)＝0，①∴ x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2(m 2－1)，(6分)∴ x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4，∴ P 、Q 两点的横坐标的平方和为定值4.(7分)(3) 解：解法1：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2PQ 中点M ⎝⎛⎭⎫－m ，m 2，PQ 的垂直平分线的方程为y ＝－2x －32m ，(8分) 圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2满足y ＝－2x －32m ，所以－E 2＝D －32m ，②(9分) 圆过定点(2，0)，所以4＋2D ＋F ＝0，③(10分)圆过P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＋Dx 1＋Ey 1＋F ＝0，x 22＋y 22＋Dx 2＋Ey 2＋F ＝0，两式相加得x 21＋x 22＋y 21＋y 22＋Dx 1＋Dx 2＋Ey 1＋Ey 2＋2F ＝0，x 21＋x 22＋⎝⎛⎭⎫1－x 214＋⎝⎛⎭⎫1－x 224＋D(x 1＋x 2)＋E(y 1＋y 2)＋2F ＝0，(11分) ∵ y 1＋y 2＝m ，∴ 5－2mD ＋mE ＋2F ＝0. ④(12分)∵ 动直线y ＝12x ＋m 与椭圆C 交于P 、Q(均不与A 点重合)，∴ m ≠－1.由②③④解得D ＝3（m －1）4，E ＝32m ＋32，F ＝－32m －52，(13分)代入圆的方程为x 2＋y 2＋3（m －1）4x ＋⎝⎛⎭⎫32m ＋32y －32m －52＝0， 整理得⎝⎛⎭⎫x 2＋y 2－34x ＋32y －52＋m ⎝⎛⎭⎫34x ＋32y －32＝0，(14分) ∴ ⎩⎨⎧x 2＋y 2－34x ＋32y －52＝0，34x ＋32y －32＝0，(15分)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.(舍)∴ 圆过定点(0，1)．(16分)解法2：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将y ＝12x ＋m 代入的圆的方程：54x 2＋⎝⎛⎭⎫m ＋D ＋E 2x ＋m 2＋mE ＋F ＝0. ⑤(8分) 方程①与方程⑤为同解方程.154＝2mm ＋D ＋E 2＝2（m 2－1）m 2＋mE ＋F ，(11分)圆过定点(2，0)，∴ 4＋2D ＋F ＝0.(12分)∵ 动直线y ＝12x ＋m 与椭圆C 交于P 、Q(均不与A 点重合)，∴ m ≠－1.解得D ＝3（m －1）4，E ＝32m ＋32，F ＝－32m －52.(13分)(以下相同)19． (1) 解：∵ a 1＝a 2＝1，∴ b 1＝S 1＋3a 1＝4，b 2＝2S 2＋4a 2＝8，∴ d ＝b 2－b 1＝4.(3分)(2) 解：∵ 数列{b n }是等差数列，∴ b n ＝4n ，∴ nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ，即S n ＋n ＋2n a n ＝4. ① 当n ≥2时，S n －1＋n ＋1n －1a n －1＝4. ②①－②，得(S n －S n －1)＋n ＋2n a n －n ＋1n －1a n －1＝0.∴ a n ＋n ＋2n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即a n a n －1＝12·nn －1.(7分) 则a 2a 1＝12·21，a 3a 2＝12·32，…，a n a n －1＝12·n n －1. 将各式相乘得a n a 1＝12n －1·n.∵ a 1＝1，∴ a n ＝n2n －1.(9分) (3)判断:小于.(10分)证明：∵ S n ＋n ＋2n a n＝4，a n ＞0，S n ＞0，∴ S n ·n ＋2n a n ≤S n ＋n ＋2n an 2＝2.则0＜a n S n ≤4·nn ＋2.(13分)∴ (a 1a 2…a n )·(S 1S 2…S n )≤4n ·1×2(n ＋1)(n ＋2). ③(15分)∵ n ＝1时，S n ≠n ＋2n a n， ∴ ③式等号不成立． 则(a 1a 2…a n )·(S 1S 2…S n )＜22n ＋1(n ＋1)(n ＋2).(16分)20． (1) 因为f(x)＝lnx ，所以f ′(x)＝1x，因此f ′(1)＝1，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝x －1，(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝12x 2－bx ，得x 2－2(b ＋1)x ＋2＝0.由Δ＝4(b ＋1)2－8＝0，得b ＝－1±2.(4分) (2) 因为h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx(x ＞0)，所以h ′(x)＝1x ＋x －b ＝x 2－bx ＋1x ，由题意知h ′(x)＜0在(0，＋∞)上有解，因为x ＞0，设u(x)＝x 2－bx ＋1，因为u(0)＝1＞0， 则只要⎩⎪⎨⎪⎧b 2＞0，(－b )2－4＞0，解得b ＞2，所以b 的取值范围是(2，＋∞)．(8分)(3) 不妨设x 1＞x 2，因为函数f(x)＝lnx 在区间[1,2]上是增函数，所以f(x 1)＞f(x 2)，函数g(x)图象的对称轴为x ＝b ，且b ＞1.(ⅰ) 当b ≥2时，函数g(x)在区间[1,2]上是减函数，所以g(x 1)＜g(x 2)， 所以|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|等价于f(x 1)－f(x 2)＞g(x 2)－g(x 1)， 即f(x 1)＋g(x 1)＞f(x 2)＋g(x 2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx 在区间[1,2]上是增函数，等价于h ′(x)＝1x＋x －b ≥0在区间[1,2]上恒成立，等价于b ≤x ＋1x 在区间[1,2]上恒成立，所以b ≤2. 又b ≥2，所以b ＝2；(10分)(ⅱ) 当1＜b ＜2时，函数g(x)在区间[1，b]上是减函数，在[b,2]上为增函数．① 当1≤x 2＜x 1≤b 时，|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|等价于f(x 1)＋g(x 1)＞f(x 2)＋g(x 2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx 在区间[1，b]上是增函数，等价于h ′(x)＝1x＋x －b ≥0在区间[1，b]上恒成立，等价于b ≤x ＋1x 在区间[1，b]上恒成立，所以b ≤2.又1＜b ＜2，所以1＜b ＜2；(12分)② 当b ≤x 2＜x 1≤2时，|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|等价于f(x 1)－g(x 1)＞f(x 2)－g(x 2)， 等价于H(x)＝f(x)－g(x)＝lnx －12x 2＋bx 在区间[b,2]上是增函数，等价于H ′(x)＝1x－x ＋b ≥0在区间[b,2]上恒成立，等价于b ≥x －1x 在区间[b,2]上恒成立，所以b ≥32. 故32≤b ＜2.(14分)③ 当1≤x 2＜b ＜x 1≤2时，由g(x)图象的对称性可知，只要|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|对于①②同时成立，那么对于③，则存在t 1∈[1，b]，使|f(x 1)－f(x 2)|＞|f(t 1)－f(x 2)|＞|g(t 1)－g(x 2)|＝|g(x 1)－g(x 2)|恒成立； 或存在t 2∈[b,2]，使|f(x 1)－f(x 2)|＞|f(x 1)－f(t 2)|＞|g(x 1)－g(t 2)|＝|g(x 1)－g(x 2)|恒成立． 因此，32≤b ＜2.综上，b 的取值范围是32≤b ≤2.(16分)附加题（时间30分钟，总分40分）1．解：A T对应的变换矩阵为：1212A ⎤-⎥⎢=⎢⎢⎣， …………………3分 B T 对应的变换矩阵为：0110B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ………………………6分先进行A T 变换，后进行B T 变换的复合变换矩阵是：M=12212BA ⎡⎢⎥=⎥-⎥⎦． ……………………………10分2．解：因为圆心为直线sin()3πρθ-=与极轴的交点，所以令0θ=，得1ρ=，即圆心是(1,0)， ………………………………2分又圆C 经过点P ，所以圆的半径1r =，……7分从而圆过原点，所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．…………………10分3． 解：(1) 随机变量---------(3分)X 的数学期望E(X)＝112×0＋512×1＋512×2＋112×3＝32.(5分)(2) 记3次摸球中，摸到黑球次数大于摸到白球次数为事件A ， 则P(A)＝C 33⎝⎛⎭⎫4103＋C 23⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4102·510＋⎝⎛⎭⎫4102·110＋C 13⎝⎛⎭⎫4101·⎝⎛⎭⎫1102＝91250. 所以3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率为91250.(10分)4．解:(1)由抛物线定义知曲线E 的标准方程:y x 212=-------------4分 (2)设)P(a,2a 2,R a ∈,x y 4/=,所以PQ 的斜率为a41-直线2l :)(41a x aa y --=-与22x y =联立得:04822=--+a a x ax 由两根之和得:a a x Q 8182+-=,所以22)818(2a a y Q +=---------------------6分22222)2)818(2()818(a aa a a a PQ -++-+-==116162)116(222+⋅+a a a令11162≥+=a t , 则121PQ 23-=t t 令1)(23-=t t t f , 0)1()3()(2222/=--=t t t t f 得3=t 列表判断知:433≥PQ -----------------------------10。

江苏省南通市海安县2015-2016学年高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．已知集合A={1，3}，B={3，4}，则A∪B={1，3，4}．解：∵集合A={1，3}，B={3，4}，∴A∪B={1，3，4}，2．计算sin150°+2cos240°+3tan315°后，所得结果的值为﹣3.5．解：原式=sin（180°﹣30°）+2cos（180°+60°）+3tan（360°﹣45°）=sin30°﹣2cos60°﹣3tan45°=﹣1﹣3=﹣3.5，3．函数y=lg（3﹣x）（2x﹣1）的定义域为（0，3）．解：∵函数y=lg（3﹣x）（2x﹣1），∴（3﹣x）（2x﹣1）＞0，即，或；解得0＜x＜3，∴函数y的定义域为（0，3）．4．在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（1，1），C（2，﹣1），则∠BAC的余弦值为．解：|AB|==，|AC|=，|BC|=．∴cos∠BAC===．5．已知函数f（x）=，则f（﹣）的值为1+．解：f（﹣）=f（﹣+1）+1=f（）+1=cos+1=1+；6．已知点P在线段AB上，且|=4||，设=λ，则实数λ的值为﹣3．解：∵点P在线段AB上，且||=4||，=λ，∴=3，且与方向相反，∴λ=﹣3．7．定义运算=ad﹣bc，若函数f（x）=在（﹣∞，m）上是单调减函数，则实数m的最大值是﹣2．解：由定义得函数f（x）==（x﹣1）（x+3）+2x=x2+4x﹣3，函数的对称轴为x=﹣2，在函数在（﹣∞，﹣2]上单调递减，若函数f（x）在（﹣∞，m）上是单调减函数，则m≤﹣2，故实数m的最大值是﹣2，8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω，0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）的值为3．解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω，0，|φ|＜）的部分图象，可得A+B=4，﹣A+B=0，=﹣，求得B=2，A=2，ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）+2．再根据图象过点（，2），可得sin（2+φ）=0，∴φ=，f（x）=2sin（2x+）+2，∴f（π）=2sin（2π+）+2=3，9．设，，是同一平面内的单位向量，且⊥，则（﹣）（﹣2）的最大值为1．解：；∴；又；∴====；∴的最大值为．10．函数f（x）=的最小正周期为2π．解：∵f（x）==，又y=|sinx|的周期为π，cosx的周期为2π，作出其图象如下：∴可得函数f（x）==的最小正周期为2π．11．如图，点C是半径为2的圆的劣弧的中点，连接AC并延长到点D，使得CD=AC，连接DB并延长交圆于点E，若AC=2，则的值为4．解：如图，连接CE，∵；∴∠AEC=∠DEC；∴CE为∠AED的角平分线；又C是AD中点，即CE为△ADE底边AD的中线；∴AE=DE；∴CE⊥AD；∴∠ACE=90°；∴AE为圆的直径；∴AE=4，DE=4；又AD=4；∴∠EAC=60°；∴．12．在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点为整点，若函数f（x）的图象恰好通过n（n∈N*）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数，有下列函数：①f（x）=sinx；②g（x）=x2；③h（x）=（）x；④φ（x）=lnx，其中一阶整点函数的是①④．解：对于函数f（x）=sin2x，它只通过一个整点（0，0），故它是一阶整点函数；对于函数g（x）=x2，当x∈Z时，一定有g（x）=x3∈Z，即函数g（x）=x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数h（x）=，当x=0，﹣1，﹣2，时，h（x）都是整数，故函数h（x）通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数φ（x）=lnx，它只通过一个整点（1，0），故它是一阶整点函数，故答案为：①④．13．若函数f（x）=4x+a2x+a+1在R上有且只有一个零点，则实数a的取值范围是a=2﹣2或a≤﹣1．解：f（x）=4x+a2x+a+1=（2x）2+a2x+a+1，设t=2x，则t＞0，则函数等价为y=t2+at+a+1，若函数f（x）=4x+a2x+a+1在R上有且只有一个零点，等价为y=t2+at+a+1=0，只有一个正根，若判别式△=0，则a2﹣4（a+1）=0，且t=﹣＞0，即a2﹣4a﹣4=0，且a＜0，得a=2+2（舍）或a=2﹣2，若判别式△＞0，设h（t）=t2+at+a+1，则满足或，即①或，②①无解，②得a≤﹣1，综上a=2﹣2或a≤﹣1，14．某同学研究相关资料，得到两种求sin18°的方法，两种方法的思路如下：思路一：作顶角A为36°的等腰三角形ABC，底角B的平分线交腰AC于D；思路二：由二倍角公式cos2α=2cos2α﹣1，可知cos2α可表示为cosα的二次多项式，推测cos3α也可以用cosα的三次多项式表示，再结合cos54°=sin36°．请你按某一种思路：计算得sin18°的精确值为．解：设α=18°，则5α=90°，从而3α=90°﹣2α，于是cos3α=cos（90°﹣2α），即cos3α=sin2α，展开得4cos3α﹣3cosα=2sinαcosα，∵cosα=cos18°≠0，∴4cos2α﹣3=2sinα，化简得4sin2α+2sinα﹣1=0，解得sinα=，或sinα=（舍去），二、解答题：本大题共6小题，满分90分15．已知A={x|﹣x2+3x﹣2＞0}，B={x|x2﹣（a+1）x﹣a≤0}．（1）化简集合B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．解：（1）原不等式可化为（x﹣a）（x﹣1）≤0．①当a＞1时，1≤x≤a，∴B=[1，a]；②当a=1时，x=1，∴B={1}；③当a＜1时，a≤x≤1，∴B=[a，1]．（2）∵A=（1，2），A⊆B，∴a≥2．16．设α为锐角，且cos（α+）=，tan（α+β）=．（1）求sin（2α+）的值；（2）求tan（2β﹣）的值．解：（1）∵α为锐角，且cos（α+）=，tan（α+β）=，∴sin（α+）==，sin2（α+）=2sin（α+）cos（α+）=2=，∴cos2（α+）=1﹣2=，故sin（2α+）=sin[2（α+）﹣]=sin2（α+）cos﹣cos2（α+）sin=﹣=．（2）由（1）可得，tan（α+）==，tan（β﹣）=tan[（α+β）﹣（α+）]===，∴tan（2β﹣）=tan2（β﹣）==．17．设函数f（x）=是奇函数，且f（1）=5．（1）求a和b的值；（2）求证：当x∈（0，+∞）时，f（x）≥4．解：（1）函数f（x）=的定义域为{x|x≠﹣b}，即f（﹣b）不存在，若b≠0，则f（b）有意义，这与f（x）为奇函数矛盾，故b=0．∵f（1）=5，∴，解得a=1；（2）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则x1x2＞0，x1﹣x2＜0，=．①若x1，x2∈（0，2]，则x1x2＜4，于是x1x2﹣4＜0，从而f（x1）﹣f（x2）＞0；②若x1，x2∈[2，+∞），则x1x2＞4，于是x1x2﹣4＞0，从而f（x1）﹣f（x2）＜0．由①②知，函数f（x）在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增．∴f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（2）=．∴f（x）≥4．18．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，M是边AC（含端点）上的动点．（1）若∠BAC=60°，求||的值；（2）若⊥，求cosA的取值范围．解：（1）利用余弦定理可得：=32+42﹣2×3×4cos60°=13，解得=．（2）设=t（0≤t≤1）.==﹣，==﹣．∴=（﹣）（﹣）=+﹣．∵，∴=+﹣=0．化为：﹣16t+12cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC===f（t），（0≤t≤1）．由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，∴f（0）≤f（t）≤f（1），即≤f（t）≤，即≤cosA≤，∵A∈（0，π），∴cosA＜1，∴cosA的取值范围是．19．某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R的圆内做一个关于圆心对称的“工”字图形，“工”字图形由横、竖、横三个等宽的矩形组成，两个横距形全等且成是竖矩形长的倍，设O为圆心，∠AOB=2α，“工”字图形的面积记为S．（1）将S表示为α的函数；（2）为了突出“工”字图形，设计时应使S尽可能大，则当α为何值时，S最大？解：（1）连接CD，取AB的中点M，连接OM，交CD于N，由∠AOB=2α，可得∠BOM=α，α∈（0，），且BM=Rsinα，OM=Rcosα，由题意可得ON=BM=Rsinα，BC=MN=OM﹣ON=R（cosα﹣sinα），由BC＞0，可得α∈（0，），则S=2ABBC+ABBC=（4+）R2（sinαcosα﹣sin2α），（α∈（0，））；（2）S=（4+）R2（sinαcosα﹣sin2α）=（4+）R2（sin2α+cos2α﹣）=（4+）R2（sin2α+cos2α）﹣（4+）R2=（4+）R2sin（2α+）﹣（4+）R2由α∈（0，），可得＜2α+＜，即有2α+=，即α=时，S取得最大值R2．20．设a为实数，函数f（x）=x2+|x﹣a|﹣1，x∈R（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值．解：（1）当a=0时，函数f（﹣x）=（﹣x）2+|﹣x|+1=f（x），此时，f（x）为偶函数．当a≠0时，f（a）=a2+1，f（﹣a）=a2+2|a|+1，f（a）≠f（﹣a），f（a）≠﹣f（﹣a），此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）①当x≤a时，f（x）=x2+|x﹣a|﹣1=x2﹣x+a﹣1=（x﹣）2+a﹣，当a≤时，函数f（x）在（﹣∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为f（a）=a2﹣1．若a，则函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为f（）=a﹣．②当x≥a时，函数f（x）=x2+|x﹣a|﹣1=x2+x﹣a﹣1=（x+）2﹣a﹣，若a≤﹣时，则函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（﹣）=﹣a﹣．若a＞﹣，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a2﹣1．综上，当a≤﹣时，函数f（x）的最小值为﹣a﹣，﹣时，函数f（x）的最小值为a2﹣1，当a时，函数f（x）的最小值为a﹣．。

江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A=．2．（5分）已知函数y=2sin（ω+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是．4．（5分）设函数f（）=，则f[f（﹣）]的值为．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为．7．（5分）将函数f（）=sin（2+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g （）的图象，若y=g（）是偶函数，则φ=．8．（5分）已知函数f（）=m2﹣2+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为．9．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ=．12．（5分）已知函数f（）=，若关于的方程f（）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（）=cos（∈[0，2π]）与函数g（）=tan的图象交于M，N两点，则|+|=．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC 上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是．（）二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={|f（）=lg（﹣1）+}，集合B={y|y=2+a，≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（）=Asin（ω﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：m），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．19．（16分）已知函数f（）=m（sin+cos）﹣4sincos，∈[0，]，m∈R．（1）设t=sin+cos，∈[0，]，将f（）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于的不等式f（）≥0对所有的∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于的方程f（）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．20．（16分）（1）已知函数f（）=2+（＞0），证明函数f（）在（0，）上单调递减，并写出函数f（）的单调递增区间；（2）记函数g（）=a||+2a（a＞1）①若a=4，解关于的方程g（）=3；②若∈[﹣1，+∞），求函数g（）的值域．江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A={2} ．【解答】解：全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A={2}．故答案为：{2}．2．（5分）已知函数y=2sin（ω+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=3．【解答】解：由题意可得：最小正周期T==，解得：ω=3．故答案为：3．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是（﹣∞，0）．【解答】解：设幂函数的解析式为y=α，其函数图象过点（2，4），则4=2α，解得α=2，所以y=2，所以函数y的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．4．（5分）设函数f（）=，则f[f（﹣）]的值为4．【解答】解：∵f（）=，∴f（﹣）=2=2=2，f[f（﹣）]=f（2）=22=4．故答案为：4．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．【解答】解：∵⊥，∴•=sinB+cosB=0⇒tanB=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为0．【解答】解：原式=log281×log41=0，故答案为：07．（5分）将函数f（）=sin（2+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（）的图象，若y=g（）是偶函数，则φ=．【解答】解：图象向左平移得到f（+）=2sin（2++φ），∴g（）=2sin（2++φ），∵g（）为偶函数，因此+φ=π+，又0＜φ＜π，故φ=．故答案为：．8．（5分）已知函数f（）=m2﹣2+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为1．【解答】解：f（）=m2﹣2+m的值域为[0，+∞），∴，解得m=1故答案为：19．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：∵sin（α﹣）=，∴sin（2α+）=cos[﹣（2α+）]=cos（2α）=cos[2（α﹣）]=1﹣2sin2（α﹣）=1﹣2×（）2=．故答案为：．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为3．【解答】解：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，cosαsinβ=，则===3，故答案为：3．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ=．【解答】解：由题意可得，α+θ=，tanα=4，∴tan（α+θ）=﹣1，即=﹣1，即=﹣1，求得tanθ=，故答案为：．12．（5分）已知函数f（）=，若关于的方程f（）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a＜2．【解答】解：由题意，关于的方程f（）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则f（）=a2﹣2a有三个不同的交点，∵f（）=，∴﹣1＜a2﹣2a＜0，∴0＜a＜1或1＜a＜2，故答案为0＜a＜1或1＜a＜2．13．（5分）已知函数f（）=cos（∈[0，2π]）与函数g（）=tan的图象交于M，N两点，则|+|=π．【解答】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是[﹣，] ．（）【解答】解：设=，，∴，；则•=+=，当λ=0时，f（λ）=最大为，当时，f（λ）=最小为﹣；则•的取值范围是[﹣，]，故答案为：[﹣，]，二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={|f（）=lg（﹣1）+}，集合B={y|y=2+a，≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（）=lg（﹣1）+可得，﹣1＞0且2﹣≥0，解得1＜≤2，故A={|1＜≤2}；…（2分）若a=，则y=2+，当≤0时，0＜2≤1，＜2+≤，故B={y|＜y≤}；…（5分）所以A∪B={|1＜≤}．…（7分）（2）当≤0时，0＜2≤1，a＜2+a≤a+1，故B={y|a＜y≤a+1}，…（9分）因为A∩B=∅，A={|1＜≤2}，所以a≥2或a+1≤1，…（12分）即a≥2或a≤0，所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0．…（14分）16．（14分）已知函数f（）=Asin（ω﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）据函数y=f（）的解析式及其图象可知A=2，…（2分）且T=﹣（﹣）=π，其中T为函数y=f（）的最小正周期，故T=2π，…（4分）所以=2π，解得ω=1，所以f（）=2sin（﹣）．…（6分）（2）由f（α+）=，可知2sin（﹣）=，即sinα=，因为α∈（0，），所以cos==．…（8分）由f（β+）=，可知2sin（﹣）=，即sin（+）=，故cosβ=，因为β∈（0，），所以sin=，…（10分）于是cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．…（12分）因为α，β∈（0，），所以α+β∈（0，π），所以α+β=．…（14分）17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．【解答】解：（1）因为|+|=2，所以|+|2=4．即以2+2+2•=4．，…（2分）又||=1，||=m，所以．…（3分）由|+2|=3，所以所以|+2|2=9．即以2+42+4•=9，所以1+4×+4m2=9，解得m=±1，…（6分）又||≥0，所以m=1．…（7分）（2）因为，||=1，||=m，所以|﹣|2=2+2﹣2•=1﹣2×+m2=2m2﹣2，|﹣|=．…（9分）又因为+与﹣的夹角为，所以（+）•（﹣）=以2﹣2=|+|×|﹣|cos 即，所以1﹣m2=2×，解得m=±，…（13分）又||≥0，所以m=．…（14分）18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：m），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．【解答】解：（1）过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA．在Rt△MAN中，sinθ==，故NA=2sinθ，在Rt△PND中，∠PND=θ，sinθ==，cosθ==，故PD=sinθ，ND=cosθ．在Rt△PDA中，PA===，所以l（θ）=，函数l（θ）的定义域为（0，）．（2）由（1）可知，l（θ）=，即l（θ）=====，又θ∈（0，），故2θ﹣∈（﹣，），所以当2θ﹣=，即θ=时，sin（2θ﹣）取最大值1，l（θ）ma==1+．答：当θ=时，l（θ）有最大值，最大值为1+．19．（16分）已知函数f（）=m（sin+cos）﹣4sincos，∈[0，]，m∈R．（1）设t=sin+cos，∈[0，]，将f（）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于的不等式f（）≥0对所有的∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于的方程f（）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）因为t=sin+cos=，∈[0，]，所以t∈[1，]，sincos=．…（2分）所以g（t）=mt﹣4•=﹣2t2+mt+2．…（5分）（2）因为关于的不等式f（）≥0对所有的∈[0，]恒成立，据（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1，]恒成立，…（6分）所以，得m≥．所以实数m的取值范围是[，+∞）．…（10分）（3）因为关于的方程f（）﹣2m+4=0在[0，]上有实数解，据（1）可知关于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1，]上有实数解，即关于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1，]上有实数解，…（11分）所以△=m2﹣16（m﹣3）≥0，即m≤4或m≥12．令h（t）=2t2﹣mt+2m﹣6，开口向上，对称轴t=，①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h（t）在t∈[1，]上单调递减，故，解得m不存在．…（13分）②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h（t）在t∈[1，]上单调递增，故，解得2+≤m≤4．…（15分）综上所述，实数m的取值范围是[2+，4]．…（16分）20．（16分）（1）已知函数f（）=2+（＞0），证明函数f（）在（0，）上单调递减，并写出函数f（）的单调递增区间；（2）记函数g（）=a||+2a（a＞1）①若a=4，解关于的方程g（）=3；②若∈[﹣1，+∞），求函数g（）的值域．【解答】（1）证明：设1，2是区间（0，）上的任意两个实数，且1＜2，则f（1）﹣f（2）=2（1﹣2）+（﹣）=，因为0＜1＜2＜，所以1﹣2＜0，0＜12＜，故212﹣1＜0，所以f（1）﹣f（2）＞0，即f（1）＞f（2），所以函数f（）在（0，）上单调递减，函数f（）的单调递增区间为（，+∞）．（2）解：①当a=4时，4||+2•4=3，（ⅰ）当≥0时，4+2•4=3，即4=1，所以=0；（ⅱ）当＜0时，4﹣+2•4=3，即2•（4）2﹣3•4+1=0，解得：4=1或4=，所以=﹣或0；综上所述，方程g（）=3的解为=0或=﹣；②（ⅰ）当≥0时，g（）=3a，其中a＞1，所以g（）在[0，+∞）上单调递增，g（）min=g（0）=3，所以g（）在[0，+∞）上的值域为[3，+∞）；（ⅱ）当∈[﹣1，0）时，g（）=a﹣+2a，其中a＞1，令t=a，则t∈[，1），g（）=2t+=f（t），（ⅰ）若1＜a≤，则≥，据（1）可知，f（t）=2t+在[，1）上单调递增，所以f（）≤f（t）＜f（1），且f（）=a+，f（1）=3，此时，g（）在[﹣1，0）上的值域为[a+，3）；（ⅱ）若a＞，则＜，据（1）可知，f（t）=2t+在[，）上单调递减，在（，1）上单调递增，所以f（t）min=f（）=2，又f（）=a+，f（1）=3，当f（）≥f（1）时，g（）在[﹣1，0）上的值域为[2，a+]，当f（）＜f（1）时，g（）在[﹣1，0）上的值域为[2，3）；综上所述，当1＜a≤时，函数g（）在[﹣1，+∞）上的值域为[a+，+∞；当a＞时，函数g（）在[﹣1，+∞）上的值域为[2，+∞）．。

南通市2015～2016学年度高一年级第一学期期末教学质量调研地 理 试 题满分：100分 考试时间：75分钟第Ⅰ卷（选择题、判断题 共70分）一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请在答题卡上相应的方框内填涂。

（本大题共30 小题，每小题 2 分，共 60 分。

）在电影《火星救援》中，一位植物学家成功在火星上种植了土豆，成为第一个火星农场主。

而今，这一场景将有可能成为现实，美国国家航空航天局(NASA)将与秘鲁国际土豆中心(CIP)展开合作研究，在地球上仿火星条件实验室中培育土豆，以便未来可以在真正的火星上种植农作物。

表1为火星与地球特征对比表。

读表完成1～2题。

表1 1．火星属于A ．卫星B ．行星C ．恒星D ．星云 2．未来可以选择火星种植农作物，主要是因为①火星有厚厚的可供生命呼吸的大气层 ②火星自转的周期都比较适中 ③火星与太阳的距离比较适中 ④火星上有四季变化A ．②④B ．①③C ．②③D ．①④ 图1为“太阳黑子与温带乔木年轮相关性曲线图”。

读图完成3～4题。

3．太阳黑子出现于太阳A ．光球层B ．色球层C ．日冕层D ．太阳内部 4．图1所反映的现象是A ．太阳活动使两极地区出现极光，从而影响中高纬度地区树木的生长B ．太阳活动发射的电磁波能扰动地球的电离层质量 （地球为1） 体积（地球为1）大气成分公转周期 自转周期 赤道面与轨道面之间的交角地球 1.00 1.00 氮、氧 1年 23时56分 23°26′ 火星 0.110.15二氧化碳1.9年24时37分 23°59′C．太阳活动时，抛出的带电粒子流扰动地球磁场，产生“磁暴”现象D．太阳活动能影响地球气候图2为“某日太阳光照图”。

读图完成5～6题。

5．关于图中②③两地的叙述,正确的是A．自转线速度相同B．自转角速度相同C．地方时相同D．水平运动物体偏转方向相同6．如图所示日期A．北半球节气为冬至B．北京昼短夜长C．地球公转速度较快D．北半球极昼范围达一年中最大7．如图所示日期，在正午时分，如皋某中学运动场上旗杆影子与下图中所示最相似的是庐山，以雄、奇、险、秀闻名于世，素有“匡庐奇秀甲天下”之美誉。

2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分．）1．（4分）已知集合M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}＝{0，1}的集合M的个数是．2．（4分）函数y＝|x﹣1|+|x+4|的值域为．3．（4分）函数f（x）＝lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是．4．（4分）已知方程x2﹣4|x|+5＝m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是．5．（4分）设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x＝1对称，则a的值为．6．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）关于直线x＝1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（2）＝f（0），其中正确的序号是．7．（4分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为．8．（4分）圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0关于直线2ax﹣by+2＝0对称（a，b∈R），则ab的最大值是．9．（4分）设P点在圆x2+（y﹣2）2＝1上移动，点Q在椭圆上移动，则|PQ|的最大值是．10．（4分）若函数f（x）＝（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为．11．（4分）已知数列{a n}满足，，则＝．二、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）12．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围．13．（10分）某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？14．（12分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x＝（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5＝0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．15．（12分）已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n＝a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．16．（12分）已知函数f（x）＝a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y＝|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分．）1．【解答】解：∵M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}＝{0，1}，∴M＝{0，1}或{0，1，2，3}或{0，1，3}或{0，1，4}共4个，故答案为：4．2．【解答】解：；∴①x≤﹣4时，y＝﹣2x﹣3≥5；②﹣4＜x＜1时，y＝5；③x≥1时，x≥5；∴该函数的值域为[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．3．【解答】解：令t＝x2﹣ax﹣1则y＝lgt∵y＝lgt在（0，+∞）递增又∵函数f（x）＝lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，∴t＝x2﹣ax﹣1在区间（1，+∞）上为单调增函数，且x2﹣ax﹣1＞0在（1，+∞）恒成立所以≤1且1﹣a﹣1≥0解得a≤0故答案为a≤04．【解答】解析：设f（x）＝x2﹣4|x|+5，则f（x）＝，作出f（x）的图象，如图要使方程x2﹣4|x|+5＝m有四个全不相等的实根，需使函数f（x）与y＝m的图象有四个不同的交点，由图象可知，1＜m＜5．故答案：（1，5）5．【解答】解：因为两个绝对值相加的函数的图象形状为，即关于两个转折点对应的横坐标的一半所在直线对称．又因为函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝的图象关于直线x＝1对称，所以有＝1⇒a＝3．故答案为：3．6．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（x+1）＝﹣[﹣f（x+1+1）]＝f（x+2），∴f（x）是周期为2的函数，则①正确．又∵f（x+2）＝f（x）＝f（﹣x），∴y＝f（x）的图象关于x＝1对称，②正确，又∵f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上是增函数，∴f（x）在[0，1]上是减函数，又∵对称轴为x＝1．∴f（x）在[1，2]上为增函数，f（2）＝f（0），故③④错误，⑤正确．故答案应为①②⑤．7．【解答】解：由不等式组给定的区域D如图所示：z＝•＝x+y，即y＝﹣x+z首先做出直线l0：y＝﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故答案为：4．8．【解答】解：由题意可得，直线2ax﹣by+2＝0经过圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的圆心（﹣1，2），故有﹣2a﹣2b+2＝0，即a+b＝1，故1＝a+b≥2，求得ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，故ab的最大值是，故答案为：．9．【解答】解：设椭圆上任意一点Q的坐标为（x，y），则x2+9y2＝9．点Q到圆心（0，2）的距离为d＝＝＝，故当y＝﹣时，d取得最大值为，故|PQ|的最大值为1+．故答案为：1+．10．【解答】解：∵函数f（x）＝∴f（﹣x）＝﹣f（x）∴∴（k2﹣1）（2x）2＝1﹣k2∴（k2﹣1）＝0∴k＝±1故答案为：±1．11．【解答】解：∵，，∴a n+1＝，∴＝＝+，∴+＝3（+），即＝3，∴＝3n﹣1，即＝3n﹣1，∴＝3n﹣1﹣，∴＝（30+3+32+…+3n﹣1）﹣＝＝．故答案为：．二、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）12．【解答】解：（1）在△ABC中，∵，∴＝，化简可得sin C cos A﹣cos C sin A＝sin B cos C﹣cos B sin C，即sin（C﹣A）＝sin（B﹣C）．∴C﹣A＝B﹣C，或者C﹣A＝π﹣（B﹣C）（不成立，舍去），即2C＝A+B，∴C＝．（2）由于C＝，设A＝+α，B＝﹣α，﹣＜α＜，由正弦定理可得a＝2r sin A＝sin A，b＝2r sin B＝sin B，∴a2+b2＝sin2A+sin2B＝+＝1﹣[cos（+2α）+cos（﹣2α）]＝1+cos2α．由﹣＜2α＜，可得﹣＜cos2α≤1，∴＜1+cos2α≤，即a2+b2的取值范围为（，]．13．【解答】解：（1）设该商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，年收益y＝（a+）（x﹣3）（5.5≤x≤7.5），（2）当k＝2a时，依题意有（a+）（x﹣3）≥（8﹣3）a×（1+20%），解之得x≥6或4＜x≤5，又5.5≤x≤7.5，所以6≤x≤7.5，因此当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%．14．【解答】解：（1）又由点M在准线上，得故，∴c＝1，从而所以椭圆方程为；（2）以OM为直径的圆的方程为x（x﹣2）+y（y﹣t）＝0即其圆心为，半径因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5＝0截得的弦长为2所以圆心到直线3x﹣4y﹣5＝0的距离＝所以，解得t＝4所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5（3）设N（x0，y0），则，，∵，∴2（x0﹣1）+ty0＝0，∴2x0+ty0＝2，又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）＝0，∴x02+y02＝2x0+ty0＝2，所以为定值．15．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，令c n＝1﹣a n2，则又，则数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，a n a n+1＜0故因为＝，故（Ⅱ）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}是首项为，公比为的等比数列，于是有2b s＝b r+b t成立，则只有可能有2b r＝b s+b t成立，∴化简整理后可得，2＝（）r﹣s+（）t﹣s，由于r＜s＜t，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n}中任意三项不可能成等差数列．16．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝a x+x2﹣xlna，∴f′（x）＝a x lna+2x﹣lna＝2x+（a x ﹣1）lna，由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）＝0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）＝0有唯一解x＝0．所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y＝|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）＝t±1有三个根，即y＝f（x）的图象与两条平行于x轴的两条直线y＝t±1共有三个交点．不妨取a＞1，y＝f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，极小值f（0）＝1也是最小值，当x→±∞时，f（x）→+∞．∵t﹣1＜t+1，∴f（x）＝t+1有两个根，f（x）＝t﹣1只有一个根．∴t﹣1＝f min（x）＝f（0）＝1，∴t＝2．（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|＝（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min＝f（0）＝1，（f（x））max＝max{f（﹣1），f（1）}，而，记，因为（当t＝1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）＝0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1），当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）．综合可得，①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1，可得a﹣lna≥e﹣1，求得a≥e．②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．。

2015-2016学年第一学期期末考试高一数学2016-1注意事项：1.本试卷共4页。

满分160分，考试时间120分钟。

2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题纸上，在本试卷上答题无效。

3.答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置）1．设集合{}12A x x =-≤≤，{}04B x x =≤≤，则A B = ▲ ．2．计算1111sincos44ππ+的值为 ▲ ．3．函数的)ln1y x =-定义域是 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点在原点，始边在x 轴正向，终边经过点)6,(-x P ，且53tan -=α，则x 的值为 ▲ ．5．已知1sin 4α=，且(,)2παπ∈，则tan α＝ ▲ ． 6．已知扇形的半径为10cm ,圆心角为120︒,则扇形的面积为 ▲ ．7.2cos401cos 140--的结果是 ▲ ．8．若2829,log 3xy ==，则2x y +的值为 ▲ ． 9．函数2sin cos y x x =+的值域为 ▲ ．10．设函数24,0()3,0x x f x x x ⎧->=⎨--<⎩，若()(1)f a f >，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．已知4tan 3α=-，则221cos sin αα=- ▲ ． 12．将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后，得到函数()f x 的图象，若函数()f x 是偶函数，则ϕ的值等于 ▲ ．13．已知f (x )＝2sin(62π-x )－m 在x ∈上有两个不同的零点，则m 的范围是 ▲ ．14. 若函数()sin 21f x x ω=+在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,则ω的最大值为__▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知3cos()cos(2)sin()22()3sin()sin()2f ππαπαααππαα+⋅-⋅-+=--⋅+ （1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且31cos()25πα-=，求()f α的值.16．已知12324xA x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤≤，121log ,64B y y x x ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭≤≤2． （1）求A B ⋂；（2）若{}11,0C x m x m m =-+>≤≤，若C A ⊆，求m 的取值范围．17．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<在12x π=时取得最大值4，在同一周期中，在512x π=时取得最小值4-. （1） 求函数()f x 的解析式；（2） 求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间 ； （3） 若2()2312f πα+=，(0,)απ∈，求α的值.18．已知a 为常数，()lg 11a f x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭是奇函数。

2015-2016学年江苏省南通市如皋市高一（下）期中数学试卷一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上1．在△ABC中，已知a=8，B=60°，A=45°，则b等于．2．若点A（4，3），B（5，a），C（6，5）三点共线，则a的值为．3．已知数列{a n}为等比数列，且a7=1，a9=4，则a8=．4．直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直，则直线l的方程是．5．若x＞0，y＞0，x+4y=40，则lgx+lgy的最大值为．6．已知两直线l1：（3+m）x+4y+3m+5=0，l2：2x+（5+m）y+2=0，当l1∥l2时，m 的值为．7．若k，﹣1，b三个数成等差数列，则直线y=kx+b必经过定点．8．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为．9．函数y=（x＞1）的最小值是．10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，并且S10＞0，S11＜0，关于数列{a n}有下列命题：（1）公差d＜0，首项a1＞0；（2）S6最大；（3）a3＞0；（4）a6＞0上述命题正确的是．11．已知x，y满足，则z=2x﹣y的最小值．12．已知实数a，b，c成等比数列，若a，x，b和b，y，c都成等差数列，则+ =．13．已知数列{a n}满足a1=﹣1，a2＞a1，||=2n（n∈N*），若数列{a2n}单调﹣1递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n=．14．若钝角△ABC的三边a，b，c成等差数列且a＜b＜c，则的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．16．过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．17．过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点．（1）|OA|•|OB|最小时，求直线l的方程；（2）2|OA|+|OB|最小时，求直线l的方程．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边满足a＜b＜c，a2﹣c2=b2﹣，a=3，△ABC的面积为6．（1）求角A的正弦值；（2）求边b，c；（2）设D为△ABC内任一点，点D到边BC、AC的距离分别为x，y，求|2x﹣y|的取值范围．19．如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；…，如此下去．记第n次操作中挖去的三角形个数为a n．如a1=1，a2=3．（1）求a n；（2）求第n次操作后，挖去的所有三角形面积之和P n？（3）求第n次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Q n．20．在公差不为0的等差数列{a n}中，a2、a4、a8成公比为a2的等比数列，又数列{b n}满足b n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和为T n；（3）令c n=（n∈N*），求使得c n＞10成立的n的取值范围．2015-2016学年江苏省南通市如皋市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分。

2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高三（上）调研数学试卷（理科）（一）一、填空题1．已知复数z=，则该复数的虚部为．2．已知集合A={1，3，m+1}，B={1，m}，A∪B=A，则m= ．3．已知=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣），则实数λ= ．4．已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且cosα=﹣，则x= ．5．函数函数y=是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则整数a的取值为．6．若命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”是假命题，则实数m的取值范围是．7．若实数x，y满足，则z=x2+y2的取值范围是．8．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π，则f（x）的单调递增区间是．9．已知奇函数f（x）=，则g（﹣3）的值为．10．曲线y=x3+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，其中m，n，c∈R，则m+n+c的值为．11．已知f（x）=log4（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=1，则m+n的最小值是．12．若点P是△ABC的外心，且，∠C=60°，则实数λ= ．13．已知定义在（0，）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意x∈（0，），都有f′（x）sinx＜f（x）cosx，则不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为．14．已知函数f（x）的定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=|x﹣a2|+|x﹣3a2|﹣4a2．若对任意x∈R，f（x）≤f（x+2），则实数a的取值范围为．二、解答题15．若△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c（1）若sin（A+）=，求sin（2A﹣）的值；（2）cosA=，b=3c，求sinC的值．16．在△ABC中，已知P为线段AB上的一点，=3．（1）若=x+y，求x，y的值；（2）已知||=4，||=2，且•=﹣9，求与的夹角．17．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．18．设f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=（1）当x＜0时，求f（x）的解析式．（2）设函数在区间[﹣4，4]上的最大值为g（a）的表达式．19．某公司为了公司周年庆典，现将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高为8+8m，一个垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行装饰，有两种方法：（1）如图1，设柱子CD与墙面AB相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，形成一个直线型的灯带（图1中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？（2）如图2，设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，再将灯带拉直依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的灯带（图2中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x+a．（1）当a=0时，求函数y=f（x）•g（x）的单调区间；（2）当a∈R且|a|≥1时，讨论函数F（x）=的极值点个数．2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高三（上）调研数学试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、填空题1．已知复数z=，则该复数的虚部为 1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：复数z====i+1，其虚部为：1．故答案为：1．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．2．已知集合A={1，3，m+1}，B={1，m}，A∪B=A，则m= 3 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由两集合的并集为A，得到B为A的子集，可得出m=3或m=m+1，即可求出m的值．解答：解：∵A∪B=A，∴B⊆A，∴m=3或m=m+1，解得：m=3．故答案为：3．点评：此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型．3．已知=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣），则实数λ= 9 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由于向量的模的公式和数量积的坐标表示，求出向量a，b的模和数量积，再由由（+λ）⊥（﹣），则（+λ）•（﹣）=0，即有2﹣2+（λ﹣1）=0，代入即可得到答案．解答：解：由于=（3，3），=（1，﹣1），则||=3，||=，=3﹣3=0，由（+λ）⊥（﹣），则（+λ）•（﹣）=0，即有2﹣2+（λ﹣1）=0，即有18﹣2λ=0，解得λ=9．故答案为：9．点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查两向量垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．4．已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且cosα=﹣，则x= ﹣8 ．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义求得x的值．解答：解：由题意可得cosα=﹣=，求得x=﹣8，故答案为：﹣8．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5．函数函数y=是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则整数a的取值为 1 ．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由题设条件知a2﹣2a﹣3＜0，且为偶数，由（a+1）（a﹣3）＜0，得﹣1＜a＜3，所以，a的值为1．解答：解：根据题意，则a2﹣2a﹣3＜0，且为偶数，由（a+1）（a﹣3）＜0，得﹣1＜a＜3，所以，a的值为1．故答案为：1．点评：本题考查函数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意偶函数的灵活运用．6．若命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”是假命题，则实数m的取值范围是[4，+∞）．考点：特称命题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：本题先利用原命题是假命题，则命题的否定是真命题，得到一个恒成立问题，再利用函数图象的特征得到一元二次方程根的判别式小于或等于0，解不等式，得到本题结论．解答：解：∵命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”，∴命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”的否定是“∀x∈R，使得x2+4x+m≥0”．∵命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使得x2+4x+m≥0”是真命题．∴方程x2+4x+m=0根的判别式：△=42﹣4m≤0．∴m≥4．故答案为：[4，+∞）．点评：本题考查了命题的否定、二次函数的图象，本题难度不大，属于基础题．7．若实数x，y满足，则z=x2+y2的取值范围是．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用x2+y2的几何意义求最值．解答：解：设z=x2+y2，则z的几何意义为动点P（x，y）到原点距离的平方．作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知点A（3，4）到原点的距离最大，最大值为：5．原点到直线X+y=1的距离最小，最小值所以z=x2+y2的最大值为z=25．最小值为．x2+y2的取值范围是．故答案为：点评：本题主要考查点到直线的距离公式，以及简单线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决线性规划内容的基本方法，利用数形结合是解决本题的关键．8．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π，则f（x）的单调递增区间是[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z ．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π等于半个周期，从而可求ω，确定函数的解析式，根据三角函数的图象和性质即可求出f（x）的单调递增区间解答：解：函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π=故函数的最小正周期T=2π，又∵ω＞0∴ω=1故f（x）=2sin（x+），由2k⇒﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z故答案为：[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z点评：本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象和性质，属于中档题．9．已知奇函数f（x）=，则g（﹣3）的值为﹣7 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知条件利用奇函数的性质得f（0）=1+a=0，解得a=﹣1，从而g（﹣3）=﹣f（3）=﹣23+1=﹣7．解答：解：∵奇函数f（x）=，∴f（0）=1+a=0，解得a=﹣1，∴g（﹣3）=﹣f（3）=﹣23+1=﹣7．故答案为：7．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．10．曲线y=x3+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，其中m，n，c∈R，则m+n+c的值为 5 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可得到结论．解答：解：∵曲线y=x3+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，∴n=2+1=3，函数的f（x）的导数f′（x）=3x2+m，且f′（1）=3+m=2，解得m=﹣1，切点P（1，3）在曲线上，则1﹣1+c=3，解得c=3，故m+n+c=﹣1+3+3=5，故答案为：5点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，求函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键．11．已知f（x）=log4（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=1，则m+n的最小值是3+2．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质可得：＞2，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵f（m）+f（2n）=1，∴log4（m﹣2）+log4（2n﹣2）=1，且m＞2，n＞1．化为（m﹣2）（2n﹣2）=4，即mn=2n+m．∴＞2，∴m+n=n+=n﹣1++3≥+3=2+3，当且仅当n=1+，m=2+时取等号．∴m+n的最小值是3+2．故答案为：3+2．点评：本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．12．若点P是△ABC的外心，且，∠C=60°，则实数λ= 1 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，利用点P是△ABC的外心，∠C=60°得出|+||+2||•||COS ∠APB=λ2||，从而求出λ的值．解答：解：如图示：，∵，∴+=﹣λ，∴=λ2，∴||+||+2||•||COS∠APB=λ2||，又∵点P是△ABC的外心，∠C=60°，∴||=||=||=R，∠APB=120°，∴R2+R2+2•R•R•（﹣）=λ2R2，∴λ2=1，∵，∴λ=1，故答案为：1．点评：本题考查了向量的运算和三角形外心的性质等基础知识与基本方法，属于基础题．13．（3分）（2014秋•如皋市校级月考）已知定义在（0，）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意x∈（0，），都有f′（x）sinx＜f（x）cosx，则不等式f（x）＜2f （）sinx的解集为（，）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：根据条件，构造函数g（x）=，求函数的导数，利用导数即可求出不等式的解集．解答：解：由f′（x）sinx＜f（x）cosx，则f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，构造函数g（x）=，则g′（x）=，当x∈（0，）时，g′（x）=＜0，即函数g（x）在（0，）上单调递减，则不等式式f（x）＜2f（）sinx等价为式＜=，即g（x）＜g（），则＜x＜，故不等式的解集为（，），故答案为：（，）点评：本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．14．已知函数f（x）的定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=|x﹣a2|+|x﹣3a2|﹣4a2．若对任意x∈R，f（x）≤f（x+2），则实数a的取值范围为．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：通过对x与a的关系分类讨论，画出图象，路其周期性即可得出．解答：解：∵当x＞0时，f（x）=|x﹣a2|+|x﹣3a2|﹣4a2．∴当0＜x≤a2时，f（x）=a2﹣x+3a2﹣x﹣4a2=﹣2x；当a2＜x≤3a2时，f（x）=x﹣a2+3a2﹣x﹣4a2=﹣2a2；当x＞3a2时，f（x）=x﹣a2+x﹣3a2﹣4a2=2x﹣8a2．画出其图象如下：由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象，与x＞0时的图象关于原点对称．∵∀x∈R，f（x+2）≥f（x），∴8a2≤2，解得a∈[﹣12，12]．点评：本题考查了函数的奇偶性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题15．若△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c（1）若sin（A+）=，求sin（2A﹣）的值；（2）cosA=，b=3c，求sinC的值．考点：余弦定理的应用；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（1）由sin（A+）的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos（2A+）的值，再利用诱导公式即可求出所求式子的值；（2）利用余弦定理列出关系式，把cosA，b=3c代入表示出a，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出sinC的值即可．解答：解：（1）∵sin（A+）=，∴cos（2A+）=1﹣2sin2（A+）=，则sin（2A﹣）=sin（2A+﹣）=﹣cos（2A+）=﹣；（2）∵cosA=，b=3c，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9c2+c2﹣2c2=8c2，∴a2+c2=b2，即B为直角，则sinC==．点评：此题考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16．在△ABC中，已知P为线段AB上的一点，=3．（1）若=x+y，求x，y的值；（2）已知||=4，||=2，且•=﹣9，求与的夹角．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：（1）据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，结合已知条件以及平面向量基本定理求出x，y的值．（2）由条件利用向量数量积的定义求得cosθ的值，可得与的夹角θ的值．解答：解：（1）∵=3，由题意可得=+=+=+（﹣）=+，再根据=x+y，∴x=，y=．（2）∵已知||=4，||=2，且•=﹣9=4×2×cosθ（θ为与的夹角），∴cos θ=，可得θ=60°，即求与的夹角为60°．点评：本题考查向量的加法、减法的运算法则，两个向量的数量积的定义及其运算律，根据三角函数的值求角，属于基础题．17．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．考点：一元二次不等式的解法．专题：分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（1）根据不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集与对应方程之间的关系，求出a的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集来．解答：解：（1）∵不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集为，∴方程（ax﹣1）（x+1）=0的两根是﹣1，﹣；∴﹣a﹣1=0，∴a=﹣2；（2）∵（ax﹣1）（x+1）＞0，∴a＜0时，不等式可化为（x﹣）（x+1）＜0；若a＜﹣1，则＞﹣1，解得﹣1＜x＜；若a=﹣1，则=﹣1，解得不等式为∅；若﹣1＜a＜0，则＜﹣1，解得＜x＜﹣1；a=0时，不等式为﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1；当a＞0时，不等式为（x﹣）（x+1）＞0，∵＞﹣1，∴解不等式得x＜﹣1或x＞；综上，a＜﹣1时，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜}；a=﹣1时，不等式的解集为∅；﹣1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜﹣1}；a=0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞}．点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论思想，是中档题．18．设f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=（1）当x＜0时，求f（x）的解析式．（2）设函数在区间[﹣4，4]上的最大值为g（a）的表达式．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）设﹣3≤x＜0、x＜﹣3，利用已知函数的解析式，即可求得结论；（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[﹣4，4]上的最大值即为它在区间[0，4]上的最大值，分类讨论，即可求得结论；解答：解：（1）令x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）=，（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[﹣4，4]上的最大值即为它在区间[0，4]上的最大值，而函数f（x）恒过点（2，0），当a≤2时，f（x）在[0，1]和[2，4]上单调递增，在[1，2]上单调递减，如图所示故x∈[0，2]上的最大值为f（1）=1，在（2，4]上的最大值为f（4）=8﹣2a，当f（4）≥f（1）时，即8﹣2a≥1时，解得a≤，函数的最大值为f（4），当a＞2时，f（x）在[0，1]和[，4]上单调递增，在[1，]上单调递减，如图所示故x∈[0，2]上的最大值为f（1）=1，在（2，4]上的最大值为f（4）=8﹣2a，当f（4）≥f（1）时，即8﹣2a≥1时，解得2＜a≤，函数的最大值为f（4），当f（4）＜f（1）时，即8﹣2a＜1时，解得a＞，函数的最大值为f（1），综上所述g（a）=点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19．某公司为了公司周年庆典，现将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高为8+8m，一个垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行装饰，有两种方法：（1）如图1，设柱子CD与墙面AB相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，形成一个直线型的灯带（图1中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？（2）如图2，设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，再将灯带拉直依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的灯带（图2中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？考点：解三角形的实际应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）过C作CM⊥AB于点M，在△CFD中和△CME中，分别用θ表示出CF和CE，即可列出l与θ的关系式，利用导数求出函数的最值，即可求得答案；（2）求出灯带长L，求导数，即可求得答案．解答：解：（1））设∠EFD=θ，EF=l，过C作CM⊥AB于点M，在△CFD中，CF=，在△CME中，CE=，∴l=+，θ∈（0，α]，其中α是锐角且tanα=8．∴l′=﹣+=0，可得tanθ=2此时BE=10米时，钢丝绳最短；（2）在△CFD中，CF=，FD=，在△CME中，CE=，EM=8tanθ∴灯带长L=+++8tanθ+16，θ∈（0，α]，其中α是锐角且tanα=8．∴L′=0，可得tanθ=1此时BE=16米时，钢丝绳最短．点评：本题考查了函数在生产生活中应用，关键是寻找到合适的变量建立数学模型，利用数学的相关知识求解函数的最值．本题主要是应用函数的导数求解函数的最值，导数是求函数最值的通法．属于中档题．20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x+a．（1）当a=0时，求函数y=f（x）•g（x）的单调区间；（2）当a∈R且|a|≥1时，讨论函数F（x）=的极值点个数．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）当a=0时，y=f（x）•g（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），求导y'=lnx+x=lnx+1，由导数的正负确定函数的单调区间；（2）化简F（x）==（x＞0且x≠1），求导并令导数为0，化为函数y=xlnx有相同的函数值时，自变量分别为x+a，x；由（1）可得|a|＜1，故不成立，故当|a|≥1时，函数F（x）无极值点．解答：解：（1）当a=0时，y=f（x）•g（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），y'=lnx+x=lnx+1，又∵当x=时，y'=0，则函数y=f（x）•g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；（2）F（x）==（x＞0且x≠1），则令F'（x）==0，即，即（x+a）ln（x+a）﹣xlnx=0，若方程有解，可化为函数y=xlnx有相同的函数值时，自变量分别为x+a，x；由（1）知，y=xlnx在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；故在（0，）上，y＜0，在（，1）上，y＜0，在（1，+∞）上，y＞0，故|x+a﹣x|=|a|＜1，则方程也解，即不存在x，使F'（x）=0成立；即，当|a|≥1时，函数F（x）无极值点．点评：本题考查了导数的综合应用，导数的正负可判断函数的单调性，可导时，存在零点的必要条件是导数为0；从而判断零点的个数，属于难题．。

江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A=．2．（5分）已知函数y=2sin（ω+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是．4．（5分）设函数f（）=，则f[f（﹣）]的值为．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为．7．（5分）将函数f（）=sin（2+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g （）的图象，若y=g（）是偶函数，则φ=．8．（5分）已知函数f（）=m2﹣2+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为．9．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ=．12．（5分）已知函数f（）=，若关于的方程f（）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（）=cos（∈[0，2π]）与函数g（）=tan的图象交于M，N两点，则|+|=．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是．（）二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={|f（）=lg（﹣1）+}，集合B={y|y=2+a，≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（）=Asin（ω﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：m），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l （θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．19．（16分）已知函数f（）=m（sin+cos）﹣4sincos，∈[0，]，m∈R．（1）设t=sin+cos，∈[0，]，将f（）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于的不等式f（）≥0对所有的∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于的方程f（）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．20．（16分）（1）已知函数f（）=2+（＞0），证明函数f（）在（0，）上单调递减，并写出函数f（）的单调递增区间；（2）记函数g（）=a||+2a（a＞1）①若a=4，解关于的方程g（）=3；②若∈[﹣1，+∞），求函数g（）的值域．江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A={2} ．【解答】解：全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A={2}．故答案为：{2}．2．（5分）已知函数y=2sin（ω+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=3．【解答】解：由题意可得：最小正周期T==，解得：ω=3．故答案为：3．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是（﹣∞，0）．【解答】解：设幂函数的解析式为y=α，其函数图象过点（2，4），则4=2α，解得α=2，所以y=2，所以函数y的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．4．（5分）设函数f（）=，则f[f（﹣）]的值为4．【解答】解：∵f（）=，∴f（﹣）=2=2=2，f[f（﹣）]=f（2）=22=4．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．【解答】解：∵⊥，∴•=sinB+cosB=0⇒tanB=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为0．【解答】解：原式=log281×log41=0，故答案为：07．（5分）将函数f（）=sin（2+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（）的图象，若y=g（）是偶函数，则φ=．【解答】解：图象向左平移得到f（+）=2sin（2++φ），∴g（）=2sin（2++φ），∵g（）为偶函数，因此+φ=π+，又0＜φ＜π，故φ=．故答案为：．8．（5分）已知函数f（）=m2﹣2+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为1．【解答】解：f（）=m2﹣2+m的值域为[0，+∞），∴，解得m=19．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：∵sin（α﹣）=，∴sin（2α+）=cos[﹣（2α+）]=cos（2α）=cos[2（α﹣）]=1﹣2sin2（α﹣）=1﹣2×（）2=．故答案为：．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为3．【解答】解：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，cosαsinβ=，则===3，故答案为：3．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ=．【解答】解：由题意可得，α+θ=，tanα=4，∴tan（α+θ）=﹣1，即=﹣1，即=﹣1，求得tanθ=，故答案为：．12．（5分）已知函数f（）=，若关于的方程f（）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a＜2．【解答】解：由题意，关于的方程f（）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则f（）=a2﹣2a有三个不同的交点，∵f（）=，∴﹣1＜a2﹣2a＜0，∴0＜a＜1或1＜a＜2，故答案为0＜a＜1或1＜a＜2．13．（5分）已知函数f（）=cos（∈[0，2π]）与函数g（）=tan的图象交于M，N两点，则|+|=π．【解答】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是[﹣，] ．（）【解答】解：设=，，∴，；则•=+=，当λ=0时，f（λ）=最大为，当时，f（λ）=最小为﹣；则•的取值范围是[﹣，]，故答案为：[﹣，]，二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={|f（）=lg（﹣1）+}，集合B={y|y=2+a，≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（）=lg（﹣1）+可得，﹣1＞0且2﹣≥0，解得1＜≤2，故A={|1＜≤2}；…（2分）若a=，则y=2+，当≤0时，0＜2≤1，＜2+≤，故B={y|＜y≤}；…（5分）所以A∪B={|1＜≤}．…（7分）（2）当≤0时，0＜2≤1，a＜2+a≤a+1，故B={y|a＜y≤a+1}，…（9分）因为A∩B=∅，A={|1＜≤2}，所以a≥2或a+1≤1，…（12分）即a≥2或a≤0，所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0．…（14分）16．（14分）已知函数f（）=Asin（ω﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）据函数y=f（）的解析式及其图象可知A=2，…（2分）且T=﹣（﹣）=π，其中T为函数y=f（）的最小正周期，故T=2π，…（4分）所以=2π，解得ω=1，所以f（）=2sin（﹣）．…（6分）（2）由f（α+）=，可知2sin（﹣）=，即sinα=，因为α∈（0，），所以cos==．…（8分）由f（β+）=，可知2sin（﹣）=，即sin（+）=，故cosβ=，因为β∈（0，），所以sin=，…（10分）于是cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．…（12分）因为α，β∈（0，），所以α+β∈（0，π），所以α+β=．…（14分）17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．【解答】解：（1）因为|+|=2，所以|+|2=4．即以2+2+2•=4．，…（2分）又||=1，||=m，所以．…（3分）由|+2|=3，所以所以|+2|2=9．即以2+42+4•=9，所以1+4×+4m2=9，解得m=±1，…（6分）又||≥0，所以m=1．…（7分）（2）因为，||=1，||=m，所以|﹣|2=2+2﹣2•=1﹣2×+m2=2m2﹣2，|﹣|=．…（9分）又因为+与﹣的夹角为，所以（+）•（﹣）=以2﹣2=|+|×|﹣|cos 即，所以1﹣m2=2×，解得m=±，…（13分）又||≥0，所以m=．…（14分）18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：m），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l （θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．【解答】解：（1）过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA．在Rt△MAN中，sinθ==，故NA=2sinθ，在Rt△PND中，∠PND=θ，sinθ==，cosθ==，故PD=sinθ，ND=cosθ．在Rt△PDA中，PA===，所以l（θ）=，函数l（θ）的定义域为（0，）．（2）由（1）可知，l（θ）=，即l（θ）=====，又θ∈（0，），故2θ﹣∈（﹣，），所以当2θ﹣=，即θ=时，sin（2θ﹣）取最大值1，l（θ）ma==1+．答：当θ=时，l（θ）有最大值，最大值为1+．19．（16分）已知函数f（）=m（sin+cos）﹣4sincos，∈[0，]，m∈R．（1）设t=sin+cos，∈[0，]，将f（）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于的不等式f（）≥0对所有的∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于的方程f（）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．（1）因为t=sin+cos=，∈[0，]，所以t∈[1，]，sincos=．…【解答】解：（2分）所以g（t）=mt﹣4•=﹣2t2+mt+2．…（5分）（2）因为关于的不等式f（）≥0对所有的∈[0，]恒成立，据（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1，]恒成立，…（6分）所以，得m≥．所以实数m的取值范围是[，+∞）．…（10分）（3）因为关于的方程f（）﹣2m+4=0在[0，]上有实数解，据（1）可知关于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1，]上有实数解，即关于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1，]上有实数解，…（11分）所以△=m2﹣16（m﹣3）≥0，即m≤4或m≥12．令h（t）=2t2﹣mt+2m﹣6，开口向上，对称轴t=，①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h（t）在t∈[1，]上单调递减，故，解得m不存在．…（13分）②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h（t）在t∈[1，]上单调递增，故，解得2+≤m≤4．…（15分）综上所述，实数m的取值范围是[2+，4]．…（16分）20．（16分）（1）已知函数f（）=2+（＞0），证明函数f（）在（0，）上单调递减，并写出函数f（）的单调递增区间；（2）记函数g（）=a||+2a（a＞1）①若a=4，解关于的方程g（）=3；②若∈[﹣1，+∞），求函数g（）的值域．【解答】（1）证明：设1，2是区间（0，）上的任意两个实数，且1＜2，则f（1）﹣f（2）=2（1﹣2）+（﹣）=，因为0＜1＜2＜，所以1﹣2＜0，0＜12＜，故212﹣1＜0，所以f（1）﹣f（2）＞0，即f（1）＞f（2），所以函数f（）在（0，）上单调递减，函数f（）的单调递增区间为（，+∞）．（2）解：①当a=4时，4||+2•4=3，（ⅰ）当≥0时，4+2•4=3，即4=1，所以=0；（ⅱ）当＜0时，4﹣+2•4=3，即2•（4）2﹣3•4+1=0，解得：4=1或4=，所以=﹣或0；综上所述，方程g（）=3的解为=0或=﹣；②（ⅰ）当≥0时，g（）=3a，其中a＞1，所以g（）在[0，+∞）上单调递增，g（）min=g（0）=3，所以g（）在[0，+∞）上的值域为[3，+∞）；（ⅱ）当∈[﹣1，0）时，g（）=a﹣+2a，其中a＞1，令t=a，则t∈[，1），g（）=2t+=f（t），（ⅰ）若1＜a≤，则≥，据（1）可知，f（t）=2t+在[，1）上单调递增，所以f（）≤f（t）＜f（1），且f（）=a+，f（1）=3，此时，g（）在[﹣1，0）上的值域为[a+，3）；（ⅱ）若a＞，则＜，据（1）可知，f（t）=2t+在[，）上单调递减，在（，1）上单调递增，所以f（t）min=f（）=2，又f（）=a+，f（1）=3，当f（）≥f（1）时，g（）在[﹣1，0）上的值域为[2，a+]，当f（）＜f（1）时，g（）在[﹣1，0）上的值域为[2，3）；综上所述，当1＜a≤时，函数g（）在[﹣1，+∞）上的值域为[a+，+∞；当a＞时，函数g（）在[﹣1，+∞）上的值域为[2，+∞）．。

ewt360升学助考一网通2021 级暑假初高中衔接内容测试数学试题班级 ___________XX __________一、填空题：〔本大题共 14 小题，每题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答卷纸相应的位置上．〕1．9的平方根是 ___________．162a,b，定义一种运算※如下： a※ b = ab，如．对任意不相等的两个数a b3 25 ，那么17 ※8=___________ ．3※ 2=233．分解因式： 12x2-x-1=． (3x-1)(4x+1)4．设ec，且 e ＞ 1，2c 2－ 5ac ＋ 2a 2＝ 0，那么e=____________ ． 2A5 axk一元二次方程 x 2kx 2 0 中， 是投掷骰子所得α．如果关于的数字〔1， 2， 3，4， 5， 6〕，那么该二次方程有两个不等实数根的β 概率 P =___________．2BDC36．如图， D 是直角△ ABC 斜边 BC 上一点， AB=AD ，记∠ CAD =，∠ ABC= ，假设10 ，那么的度数 是 ___________．507．如图，方格纸中 4 个小正方形的边长均为1，那么图中阴影局部 3 个小扇形的面积和为___________．38日 一二 三 四 五 六 1 2 3 45 6 7 8 910 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 21〔第 7题〕22 232425 2627282930〔第 8题〕8．上表给出的是某年某月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程的思想来研究，你发现这三个数的和不可能是________________CA ．69B ． 54C ． 40D ．275 x 1 x 1 x 1 x 1 9．假设x ，那么x1x1x1x________．21第-1-页x 3 31 1 1 10．对于正数x ，规f ( x)，例如 f (3) 3 ， 11 3 4 ， f ( ) 1 4x313计算 f (1 111) f (1) f (2) f (3)f (4)f (5) =________． 4) f () f ( )f (543211．函数 y=ax 2＋ bx ＋ c(a ≠0)的图象经过点 (－ 1,3) 和 (1,1) 两点，假设0＜ c ＜ 1，那么 a 的取值X 围是______ 1<a<2 __．12．函数y2x 2 3x1 的图象关于点 〔1,0〕对称的图象所对应的函数解析式是__________．y=-2 x 2+11x-1513．方程x 212解的情况是____A____．xA ．仅有一正根B ．有两正根C ．有一正根和一负根D ．无解14．对于平面图形 A ，如果存在一个圆，使图形 A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，那么称图形 A 被这个圆所 覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形 A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，那么称图形A 被这些圆所 覆盖．例如：图 1 中的三角形被一个圆所覆盖，图2 中的四边形被两个圆所覆盖．答复以下问题：⑴边长为 1cm 的正方形被一个半径为 r 的圆所覆盖， r 的最小值是 cm ；⑵边长为 1cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖， r 的最小值是 cm ；⑶长为 2cm ，宽为 1cm 的矩形被两个半径都为 r 的圆所覆盖， r 的最小值是cm ，这两个圆的圆心距是cm ．二、解答题：〔本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕15．〔此题总分值 14 分〕解方程组x 2 4y 2 4 0, x 1 2,x 2 0,x 2 y 2 0.y 1y 21.x 3 31 1 1 10．对于正数x ，规f ( x)，例如 f (3) 3 ， 11 3 4 ， f ( ) 1 4x313计算 f (1 111) f (1) f (2) f (3)f (4)f (5) =________． 4) f () f ( )f (543211．函数 y=ax 2＋ bx ＋ c(a ≠0)的图象经过点 (－ 1,3) 和 (1,1) 两点，假设0＜ c ＜ 1，那么 a 的取值X 围是______ 1<a<2 __．12．函数y2x 2 3x1 的图象关于点 〔1,0〕对称的图象所对应的函数解析式是__________．y=-2 x 2+11x-1513．方程x 212解的情况是____A____．xA ．仅有一正根B ．有两正根C ．有一正根和一负根D ．无解14．对于平面图形 A ，如果存在一个圆，使图形 A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，那么称图形 A 被这个圆所 覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形 A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，那么称图形A 被这些圆所 覆盖．例如：图 1 中的三角形被一个圆所覆盖，图2 中的四边形被两个圆所覆盖．答复以下问题：⑴边长为 1cm 的正方形被一个半径为 r 的圆所覆盖， r 的最小值是 cm ；⑵边长为 1cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖， r 的最小值是 cm ；⑶长为 2cm ，宽为 1cm 的矩形被两个半径都为 r 的圆所覆盖， r 的最小值是cm ，这两个圆的圆心距是cm ．二、解答题：〔本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕15．〔此题总分值 14 分〕解方程组x 2 4y 2 4 0, x 1 2,x 2 0,x 2 y 2 0.y 1y 21.x 3 31 1 1 10．对于正数x ，规f ( x)，例如 f (3) 3 ， 11 3 4 ， f ( ) 1 4x313计算 f (1 111) f (1) f (2) f (3)f (4)f (5) =________． 4) f () f ( )f (543211．函数 y=ax 2＋ bx ＋ c(a ≠0)的图象经过点 (－ 1,3) 和 (1,1) 两点，假设0＜ c ＜ 1，那么 a 的取值X 围是______ 1<a<2 __．12．函数y2x 2 3x1 的图象关于点 〔1,0〕对称的图象所对应的函数解析式是__________．y=-2 x 2+11x-1513．方程x 212解的情况是____A____．xA ．仅有一正根B ．有两正根C ．有一正根和一负根D ．无解14．对于平面图形 A ，如果存在一个圆，使图形 A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，那么称图形 A 被这个圆所 覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形 A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，那么称图形A 被这些圆所 覆盖．例如：图 1 中的三角形被一个圆所覆盖，图2 中的四边形被两个圆所覆盖．答复以下问题：⑴边长为 1cm 的正方形被一个半径为 r 的圆所覆盖， r 的最小值是 cm ；⑵边长为 1cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖， r 的最小值是 cm ；⑶长为 2cm ，宽为 1cm 的矩形被两个半径都为 r 的圆所覆盖， r 的最小值是cm ，这两个圆的圆心距是cm ．二、解答题：〔本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕15．〔此题总分值 14 分〕解方程组x 2 4y 2 4 0, x 1 2,x 2 0,x 2 y 2 0.y 1y 21.x 3 31 1 1 10．对于正数x ，规f ( x)，例如 f (3) 3 ， 11 3 4 ， f ( ) 1 4x313计算 f (1 111) f (1) f (2) f (3)f (4)f (5) =________． 4) f () f ( )f (543211．函数 y=ax 2＋ bx ＋ c(a ≠0)的图象经过点 (－ 1,3) 和 (1,1) 两点，假设0＜ c ＜ 1，那么 a 的取值X 围是______ 1<a<2 __．12．函数y2x 2 3x1 的图象关于点 〔1,0〕对称的图象所对应的函数解析式是__________．y=-2 x 2+11x-1513．方程x 212解的情况是____A____．xA ．仅有一正根B ．有两正根C ．有一正根和一负根D ．无解14．对于平面图形 A ，如果存在一个圆，使图形 A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，那么称图形 A 被这个圆所 覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形 A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，那么称图形A 被这些圆所 覆盖．例如：图 1 中的三角形被一个圆所覆盖，图2 中的四边形被两个圆所覆盖．答复以下问题：⑴边长为 1cm 的正方形被一个半径为 r 的圆所覆盖， r 的最小值是 cm ；⑵边长为 1cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖， r 的最小值是 cm ；⑶长为 2cm ，宽为 1cm 的矩形被两个半径都为 r 的圆所覆盖， r 的最小值是cm ，这两个圆的圆心距是cm ．二、解答题：〔本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕15．〔此题总分值 14 分〕解方程组x 2 4y 2 4 0, x 1 2,x 2 0,x 2 y 2 0.y 1y 21.x 3 31 1 1 10．对于正数x ，规f ( x)，例如 f (3) 3 ， 11 3 4 ， f ( ) 1 4x313计算 f (1 111) f (1) f (2) f (3)f (4)f (5) =________． 4) f () f ( )f (543211．函数 y=ax 2＋ bx ＋ c(a ≠0)的图象经过点 (－ 1,3) 和 (1,1) 两点，假设0＜ c ＜ 1，那么 a 的取值X 围是______ 1<a<2 __．12．函数y2x 2 3x1 的图象关于点 〔1,0〕对称的图象所对应的函数解析式是__________．y=-2 x 2+11x-1513．方程x 212解的情况是____A____．xA ．仅有一正根B ．有两正根C ．有一正根和一负根D ．无解14．对于平面图形 A ，如果存在一个圆，使图形 A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，那么称图形 A 被这个圆所 覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形 A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，那么称图形A 被这些圆所 覆盖．例如：图 1 中的三角形被一个圆所覆盖，图2 中的四边形被两个圆所覆盖．答复以下问题：⑴边长为 1cm 的正方形被一个半径为 r 的圆所覆盖， r 的最小值是 cm ；⑵边长为 1cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖， r 的最小值是 cm ；⑶长为 2cm ，宽为 1cm 的矩形被两个半径都为 r 的圆所覆盖， r 的最小值是cm ，这两个圆的圆心距是cm ．二、解答题：〔本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕15．〔此题总分值 14 分〕解方程组x 2 4y 2 4 0, x 1 2,x 2 0,x 2 y 2 0.y 1y 21.。