高等数学课件--D37曲率

2020/6/12
同济高等数学课件
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例3.
求椭圆
x
y
acost bsint
(0t2π)在何处曲率最大?
解: x asitn ; x a ctos
y bcot;s y bsitn
故曲率为
K
xy xy (x2 y2)32
ab (a2si2tnb2co 2t)s 32
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三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 y
D(,)
M 处作曲线的切线和法线, 在曲线 的凹向一侧法线上取点 D 使
CR
T
M(x,y)
DMR 1
O
x
K
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.
D(,)
故曲率半径公式为
R 1 (1 y2)32
K
y
CR
T
M(x,y)
O
x
, 满足方程组
(x )2 (y )2R 2 (M(x,y)在曲率圆)上
y
x
(DM M)T
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y 同济高等数学课件
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由此可得曲率中心公式
x y(1 y2)
y
y 1 y2
x(t) y(t)
给出, 则
K
(
xy xy x2 y2)32
(2) 若曲线方程为 x(y),则
x K (1 x2)32
y K (1 y2)32
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例2. 我国铁路常用立方抛物线 y 1 x3 作缓和曲线, 6Rl
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
求此缓和曲线在其两个端点 O(0,0),B(l, l2) 处的曲率.
解: 当 x[0,l]时 ,
6R y
y 1 x2 l 0 2Rl 2 R
R
y 1 x
Rl
Ky 1 x
Rl
显然
Kx00;
K
xl
1 R
B
Ol
x
y 1 x3 6Rl
求此缓和曲线在其两个端点 O(0,0),B(l, l2) 处的曲率. 6R
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说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 .
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例2. 我国铁路常用立方抛物线 y 1 x3 作缓和曲线, 6Rl
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
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设曲线方程为 yf(x),且 y0, 求曲线上点M 处的
曲率半径及曲率中心 D(,)的坐标公式 .
设点M 处的曲率圆方程为
( )2 ( )2R 2 y
y
y
D(,)
CR
T
M(x,y)
O
x
(注意 y与 y 异号 )
当点 M (x , y) 沿曲线 yf(x)移动时, 相应的曲率中心
的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 ,
曲线 ,C 称满为足曲方线程G组的渐伸线 .
曲率中心(x 公 式)可2 看(y 成 渐)2R 2 (M(x,y)在曲率圆)上
K 最大
f(t)a2si2tn b2co 2t最s小
求驻点: f( t) 2 a 2 s in tc o s t 2 b 2 c o s ts in t(a2b2)si2nt
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令 f(t)0,得t0, π , π , 3 π , 2π
2
2
第七节
第三章
平面曲线的曲率
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关
主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式
三、 曲率圆与曲率半径
M M M
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一、 弧微分
设 yf(x)在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 sAM s(x)
计算驻点处的函数值:
π
t 02
π 3 π 2π
2
f (t) b 2 a 2 b 2 a 2 设0ba,则 t0,π,2π时
b2 y
b
f (t)取最小值, 从而 K 取最大值 . 这说明椭圆在点(a,0) 处曲率 a O
最大.
b
ax
K 最大
f(t)a2si2tn b2co 2t最s小
f(t)(a2b2)si2n t
s MMM M x MM x
M M (x)2 (y)2
MM
x
y
yf(x) M
B
A M y
x
O a xxxb x
M M 1 (y)2
MM
x
s(x)lims 1(y)2 x0x
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limMM 1 x0 MM
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s(x) 1(y)2
ds1(y)2dx 或 ds(d x)2(d y)2
若曲线由参数方程表示:
x x(t) y y(t)
则弧长微分公式为 ds x 2y 2dt
y
x表示对参 数t 的导数
几何意义: ds M T
dx cos ; dy sin
ds
ds
T
M dy
dx
O xxdx x
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二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线
转角为 , 定义
弧段 s上的平均曲率
K
s 点 M 处的曲率
K lim d
s0 s d s
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
sR
K lim 1
s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
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曲率K 的计算公式
设曲线弧 yf(x)二阶可导, 则由
tany (设ππ)
22
得 arcytan
d(arcyt)d axn 1yy2 dx
又 ds 1y2dx
故曲率计算公式为
y K (1 y2)32
K d
ds
当y 1时 ,有曲率近似计算公式 K y
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说明:
(1)
若曲线由参方程
x y