2015届高三理科数学二轮复习选择、填空题训练10份

2015年高考模拟试题(一)理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。

共50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，若21mii-+为纯虚数，则实数m 的值为 A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．设集合{}{}22430,log 1,M x x x N x x M N =-+≤=≤⋃=则A ．[]1,2B ．[)1,2C ．[]0,3D ．(]0,33．若0a b <<，则下列结论中正确的是 A ．22a b <B ．2ab b <C ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2b aa b+> 4．已知()()F x f x x =-是偶函数，且()()212f f =-=，则 A ．4B ．2C ．3-D ．4-5．执行右面的程序框图，若输入7,6x y ==，则输出的有序数对为 A ．（11，12）B ．（12，13）C ．（13，14）D ．（13，12）6．已知()xf x e x =-，命题()(),0p x R f x ∀∈>：，则 A ．p 是真命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈< B ．p 是真命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤ C ．p 是假命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈< D ．p 是假命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤7．若()()sin 2f x x θ=+，则“()f x 的图象关于3x π=对称”是“6πθ=-”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．已知函数()()()()()()22,log ,ln xf x xg x x xh x x x f a g b h c =+=+=+==，若0=，则 A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b <<9．设平面区域D 是由双曲线2214x y -=的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形区域（含边界），若点(),x y D ∈，则211y x x -++的取值范围是A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．若对于定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“~λ特征函数”.下列结论中正确的个数为 ①()0f x =是常数函数中唯一的“~λ特征函数”；②()21f x x =+不是“~λ特征函数”； ③“13~λ特征函数”至少有一个零点；④()x f x e =是一个“~λ特征函数”. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上. 11．已知向量与满足()2,a b a b b ==-⊥，则a 与b 的夹角为_________.12．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有______种.13．直线1ax =与圆221x y +=相交于B A ,两点（其中a ，b 是实数），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点(),P a b 与点（1，0）之间距离的最小值为_______. 14．已知()()0sin n f n nx dx π=⎰，若对于()()(),1231R f f f n x x ∀∈++⋅⋅⋅+<++-恒成立，则正整数n的最大值为___________.15．已知点D C B A ,,,均在球O的球面上，1,AB BC AC ==，若三棱锥D ABC -体积的最大值是14，则球O 的表面积为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数()2cos sin 6f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为(),,1,sin 2sin a b c f C B A ==，若，且ABC ∆的面积为求c 的值.17．（本小题满分12分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[]0,100，样本数据分组为[)[)0,20,20,40，[)[)[]40,60,60,80,80,100.（1）求直方图中x 的值；（2）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率） 18．（本小题满分12分）一个楔子形状几何体的直观图如图所示，其底面ABCD 为一个矩形，其中4,6==AD AB ，顶部线段EF //平面ABCD ，棱FC FB ED EA ====二面角F BC A --.设N M ,分别是BC AD ,的中点.（1）证明：平面EFNM ⊥平面ABCD ；（2）求直线BF 与平面EFCD 所成角的正弦值. 19．（本小题满分12分）已知{}n a 满足()()121n n na n a n N *+=+∈，且13,1,4a a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足()sin n n n b a S π=，为数列{}n b 的前n 项和， 求证：对任意,2n n N S π*∈<+. 20．（本小题满分13分） 已知函数()()2ln 1f x ax x =++.（1）当14a =-时，求函数()f x 的极值； （2）当[)0,x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围. 21．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x2x =的焦点. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线2x =与椭圆交于Q P ,两点，P 点位于第一象限，B A ,是椭圆上位于直线2x =两侧的动点. （i ）若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； （ii ）当点B A ,运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.。

提能专训(五) 集合与常用逻辑用语A 组一、选择题1．(2014·绵阳第二次诊断)已知集合S ＝{1,2}，集合T ＝{x |(x －1)(x －3)＝0}，那么S ∪T ＝( )A ．∅B ．{1}C ．{1,2}D ．{1,2,3}[答案] D[解析] 依题意得，T ＝{1,3}，S ∪T ＝{1,2,3}，故选D.2．(2014·北京西城区期末)设集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x ||x |≤1}，则集合A ∩B ＝( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1,2)D ．[1,2)[答案] B[解析] 由|x |≤1，得－1≤x ≤1，即B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．3．(2014·温州十校联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＋2x ≤0，则集合∁U A 等于( )A ．{x |x ＜－2或x ＞0}B ．{x |x ≤－2或x ＞0}C ．{x |x ＜－2或x ≥0}D ．{x |x ≤－2或x ≥0}[答案] C[解析] ∵A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＋2x ≤0＝{x |－2≤x ＜0}， ∴∁U A ＝{x |x ＜－2或x ≥0}，故选C.4．(2014·衡水中学二调)已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x ＜1，N ＝{y |y ＝x －1＋1}，则N ∩(∁R M )＝( )A．(1,2) B．[0,2] C．∅D．[1,2] [答案] D[解析]∵2x＜1，∴x－2x＞0，∴x＜0或x＞2，∴M＝{x|x＜0或x＞2}，∴∁R M＝{x|0≤x≤2}．∵y＝x－1＋1，∴y≥1，∴N＝{y|y≥1}，∴N∩∁R M＝[1,2]，故选D.5．(2014·郑州质检一)已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜2m}且A ⊆∁R B，那么m的值可以是()A．1 B．2 C．3 D．4[答案] A[解析]由B＝{x|x＜2m}，得∁R B＝{x|x≥2m}，∵A⊆∁R B，∴2m≤2，∴m≤1，故选A.6．(2014·济南模拟)已知集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{x|y＝lg(x2＋x)}，设U＝R，则A∩(∁U B)等于()A．[3，＋∞) B．(－1,0]C．(3，＋∞) D．[－1,0][答案] B[解析]因为x2＋x＞0，所以x＞0或x＜－1，所以∁U B＝[－1,0]，又A＝(－1,3)，所以A∩(∁U B)＝(－1,0]．7．(2014·湖北八校联考)设全集U＝R，A＝{x|2x(x－2)＜1}，B＝{x|y ＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1} B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1} D．{x|1≤x＜2}[答案] D[解析] 令x (x －2)＜0得0＜x ＜2，即A ＝(0,2)；令1－x ＞0得x ＜1，即B ＝(－∞，1)，因此图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝[1,2)，故选D.8．(2014·长沙模拟三)已知集合M ＝(x ，y )⎪⎪⎪ x 29＋y 24＝1，N ＝{(x ，y )|y ＝k (x －b )}，若∃k ∈R ，使得M ∩N ＝∅成立，则实数b 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．[－2,2]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] B[解析] 集合M 表示椭圆上的点集，集合N 表示过点(b,0)的直线的点集，∃k ∈R ，使得M ∩N ＝∅成立，即表示存在过定点(b,0)的直线与椭圆没有交点，即定点(b,0)在椭圆外面，故b 29＋0＞1，解得b ＞3或b ＜－3，故选B.9．(2014·大连一模)给出如下四个叙述：①若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题；②命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”；③“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1≤1”； ④在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件．其中叙述不正确的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] C[解析] ①错，因为p ，q 只要有一假即可；③错，因为其否定是“∃x∈R，x2＋1<1”．故选C.10．(2014·上海十三校调研)集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈N*，且x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}，若(x，y，z)∈S，且(z，w，x)∈S，则下列选项正确的是()A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S[答案] B[解析]因为(x，y，z)∈S，所以x＜y＜z或y＜z＜x或z＜x＜y；又因为(z，w，x)∈S，所以z＜w＜x或w＜x＜z或x＜z＜w；两者结合有w＜x＜y＜z或x＜y＜z＜w或y＜z＜w＜x或z＜w＜x＜y.同理，若(y，z，w)∈S，则有y＜z＜w或z＜w＜y或w＜y＜z；若(x，y，w)∈S，则有x＜y＜w或y＜w＜x或w＜x＜y；两者结合有x＜y＜z＜w 或y＜z＜w＜x或z＜w＜x＜y或w＜x＜y＜z .故选B.二、填空题11．(2014·北京西城区期末)设M＝{(x，y)|F(x，y)＝0}为平面直角坐标系xOy内的点集，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2<0，则称点集M满足性质P.给出下列三个点集：①R＝{(x，y)|cos x－y＝0}；②S＝{(x，y)|ln x－y＝0}；③T＝{(x，y)|x2－y2＝1}．其中所有满足性质P的点集的序号是________．[答案]①③[解析]对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2<0，也就是图象上任意一点(x 1，y 1)，都会在图象上存在另一点(x 2，y 2)，使这两个点与原点形成的夹角大于90°.在y ＝ln x 的图象上取点(1,0)，则不存在另一点使这两个点与原点形成的夹角大于90°，所以②不满足性质P ；画出①③的图象观察可知，①③都满足性质P ，故选①③.12．(2014·济南四校联考)已知集合U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，则实数a 的值为________．[答案] 2[解析] 根据已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝5，|2a －1|＝3，解得a ＝2.13．(2014·上海模拟)如图所示的韦恩图中，A ，B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分集合，若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x ＞0}，则A *B ＝________.[答案] [0,1]∪(2，＋∞)[解析] ∵A ＝{x |y ＝2x －x 2}＝[0,2]，B ＝{y |y ＝3x ，x ＞0}＝(1，＋∞)，∴A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1,2]，∴A *B ＝[0,1]∪(2，＋∞)．14．(2014·上海嘉定一模)设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43 [解析] 集合A 表示的是以(4,0)为圆心，以1为半径的圆，集合B 表示的是以(t ，at －2)为圆心，以1为半径的圆．A ∩B ≠∅说明这两个圆至少有一个交点，故(t －4)2＋(at －2)2≤1＋1＝2，即(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实数解，故判别式Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，即3a 2－4a ≤0，解得0≤a ≤43.15．(2014·上海徐汇、金山、松江二模)对于集合A ＝{a 1，a 2，…，a n }(n ∈N *，n ≥3)，定义集合S ＝{x |x ＝a i ＋a j,1≤i ＜j ≤n }，记集合S 中的元素个数为S (A )．若a 1，a 2，…，a n 是公差大于零的等差数列，则S (A )＝________.[答案] 2n －3[解析] 由题意，集合S 中最小项为a 1＋a 2＝2a 1＋d ，最大项为a n －1＋a n ＝2a 1＋(2n －3)d ，对任意的i (1≤i ≤2n －3)，如果i ≤n －1，则可取2a 1＋id ＝a 1＋(a 1＋id )＝a 1＋a i ＋1∈S ，若n ≤i ≤2n －3，可取2a 1＋id ＝a 1＋(n －1)d ＋a 1＋(i －n ＋1)d ＝a n ＋a i －n ＋2，显然由于n ≤i ≤2n －3，有2≤i －n ＋2≤n －1，即2a 1＋id ∈S ，所以S (A )＝2n －3.16．(2014·北京昌平区期末质量抽测)将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A ，B ，C ，其中A ＝{a 1，a 2，…，a n }，B ＝{b 1，b 2，…，b n }，C ＝{c 1，c 2，…，c n }，若A ，B ，C 中的元素满足条件：c 1＜c 2＜…＜c n ，a k ＋b k ＝c k (k ＝1,2,3，…，n )，则称M 为“完并集合”．(1)若M ＝{1，x,3,4,5,6}为“完并集合”，则x 的一个可能值为________．(写出一个即可)(2)对于“完并集合”M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，在所有符合条件的集合C中，其元素乘积最小的集合是________．[答案](1)7(或9或11)(写出一个即可)(2){6,10,11,12}[解析](1)M＝{1，x,3,4,5,6}共有6个元素，所以3个集合A，B，C中各有2个元素，因为a k＋b k＝c k，所以集合C中必含有6个元素中最大的一个．当x＜6时，由集合元素的互异性可知x＝2，此时不能满足a k＋b k＝c k，故舍去．当x＞6时，C＝{6，x}，当1＋5＝6时，3＋4＝x，此时x＝7.当C＝{5，x}时，1＋4＝5,3＋6＝x，此时x＝9.当C＝{4，x}时，1＋3＝4,5＋6＝x，此时x＝11.当集合C中另一个元素小于等于3时，不能满足a k＋b k＝c k，故舍去．所以x的可能取值为7,9,11.(2)M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，12}共含有12个元素，所以集合C中含有元素4个．其中包含最大的元素12.集合C的所有可能有{8,9,10,12}，{7,9,11,12}，{6,10,11,12}．经计算可知元素乘积最小的集合是{6,10,11,12}．B组一、选择题1．(2014·上海)设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2且b>2”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件[答案] B[解析]若a>2且b>2，则a＋b>4，但当a＝4，b＝1时也有a ＋b>4，故选B.2．(2014·广州综合检测)命题“对任意x∈R，都有x3＞x2”的否定是( )A ．存在x 0∈R ，使得x 30＞x 20B ．不存在x 0∈R ，使得x 30＞x 20C ．存在x 0∈R ，使得x 30≤x 20D ．对任意x ∈R ，都有x 3≤x 2[答案] C[解析] 全称命题的否定是特称命题，易得命题“对任意x ∈R ，都有x 3＞x 2”的否定是“存在x 0∈R ，使得x 30≤x 20”，故选C.3．(2014·湖北七市联考)下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22”的充要条件 D ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x＋1≥0[答案] B[解析] 对于B 选项，若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题，所以B 错误，故选B.4．(2014·成都二诊)设命题p ：∃α0，β0∈R ，cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0；命题q ：∀x ，y ∈R ，且x ≠π2＋k π，y ≠π2＋k π，k ∈Z ，若x＞y ，则tan x ＞tan y ．则下列命题中真命题是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )[答案] B[解析] 当α0＝3π4，β0＝－π4时，命题p 成立，所以命题p 为真命题；当x ，y 不在同一个单调区间内时命题q 不成立，命题q 为假命题．故p ∧(綈q )为真命题．5．(2014·北京海淀区统考)在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 当a n ＝0时，也有a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…，但{a n }是等差数列，不是等比数列，因此充分性不成立．当{a n }是公比为2的等比数列时，有a n a n －1＝2，n ＝2,3,4，…，即a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选B.6．(2014·石家庄二模)命题p 为：抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)；命题q 为：“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直”的充要条件．则以下结论正确的是( )A ．p 或q 为真命题B ．p 且q 为假命题C ．p 且綈q 为真命题D ．綈p 或q 为假命题[答案] A[解析] p 为真；2a －6＝0，a ＝3，∴q 为真，则p 或q 为真．7．(2014·江西重点中学联考)给出下列命题，其中真命题的个数是( )①存在x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝2sin 7π24成立；②对于任意的三个平面向量a ，b ，c ，总有(a·b )·c ＝a·(b·c )成立；③相关系数r (|r |≤1)，|r |值越大，变量之间的线性相关程度越高．A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] ∵π4＜7π24＜π3， ∴2＜2sin 7π24＜ 3.而sin x 0＋cos x 0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4≤2， ∴①是假命题，向量的数量积不满足结合律，∴②是假命题，③是真命题．8．(2014·衡水中学二调)给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1为偶函数，下列说法正确的是( ) A ．p ∨q 是假命题B ．(綈p )∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．(綈p )∨q 是真命题 [答案] B[解析] 对于命题p ：y ＝f (x )＝ln[(1－x )(1＋x )]，令(1－x )(1＋x )＞0，得－1＜x ＜1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，∵f (－x )＝ln[(1＋x )(1－x )]＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，∴命题p 为真命题；对于命题q ：y ＝f (x )＝e x －1e x ＋1，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，∵f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1e x －11e x ＋1＝1－e x1＋e x＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数，∴命题q 为假命题，∴(綈p )∧q 是假命题，故选B.9．(2014·东北三省二模)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q的充分不必要条件，则k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1] [答案] A[解析] q ：3x ＋1＜1⇒3x ＋1－1＜0⇒2－x x ＋1＜0⇒(x －2)·(x ＋1)＞0⇒x ＜－1或x ＞2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以k ≥2，故选A.10．(2014·南昌二模)下列说法正确的是( )A ．命题“存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋2 013＞0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x ＋2 013＜0”B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．函数f (x )＝1x 在其定义域上是减函数D ．给定命题p ，q ，若“p 且q ”是真命题，则綈p 是假命题 [答案] D[解析] 对于A ，特称命题的否定为全称命题，所以命题“存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋2 013＞0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x ＋2 013≤0”，故A 不正确．对于B ，两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；反之，不然．即两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故B 不正确．对于C ，函数f (x )＝1x 在(－∞，0)，(0，＋∞)上分别是减函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内既不是增函数，也不是减函数，如取x 1＝－1，x 2＝1，有x 1＜x 2，且f (x 1)＝－1，f (x 2)＝1，则f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )＝1x 在其定义域上不是减函数，故C 不正确．对于D ，因为“p 且q ”是真命题，则p ，q 都是真命题，所以綈p 是假命题，故D 正确．二、填空题11．(2014·湖北重点中学统一考试)已知r (x )：sin x ＋cos x ＞m ；s (x )：x 2＋mx ＋1＞0.如果∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－2]∪[－2，2)[解析] 由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，故sin x ＋cos x 的最小值为－2，若∀x ∈R 时，命题r (x )为真命题，则m ＜－ 2.若命题s (x )为真命题，即∀x ∈R ，不等式x 2＋mx ＋1＞0恒成立，则Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2.若命题r (x )为真命题，命题s (x )为假命题，则m ≤－2；若命题r (x )为假命题，命题s (x )为真命题，则－2≤m ＜2.综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－2，2)． 12．(2014·吉林大学附属中学一模)设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝9x ＋a 2x ＋7.若“∃x ∈[0，＋∞)，f (x )＜a ＋1”是假命题，则a 的取值范围为________．[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－87 [解析] y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，故可求解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋a 2x －7，x ＞0，0，x ＝0，9x ＋a 2x ＋7，x ＜0.又“∃x ≥0，f (x )＜a ＋1”是假命题，则∀x ≥0，f (x )≥a ＋1是真命题．①当x ＝0时，0≥a ＋1，解得a ≤－1；②当x ＞0时，9x ＋a 2x －7≥a ＋1，结合基本不等式有6|a |－7≥a ＋1，解得a ≥85或a ≤－87.①②取交集，得a 的取值范围是a ≤－87. 13．(2014·济南一模)已知下列命题：①设m 为直线，α，β为平面，且m ⊥β，则“m ∥α”是“α⊥β”的充要条件；②⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 5的展开式中含x 3的项的系数为60； ③设随机变量ξ～N (0,1)，若P (ξ≥2)＝p ，则P (－2＜ξ＜0)＝12－p;④若不等式|x ＋3|＋|x －2|≥2m ＋1恒成立，则m 的取值范围是(－∞，2)．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) [答案] ③[解析] ①因为m ⊥β，m ∥α⇒α⊥β成立，但由α⊥β，m ⊥β，可得到m ∥α或m ⊂α，故该命题为假命题；②⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 5的展开式中第r＋1项T r ＋1＝C r 5x 15－4r，令15－4r ＝3，解得r ＝3，含x 3的项的系数为10，故该命题是假命题；③由随机变量ξ～N (0,1)，若P (ξ≥2)＝p ，则P (ξ≤－2)＝P (ξ≥2)＝p ，所以，P (－2＜ξ＜2)＝1－2p ，P (－2＜ξ＜0)＝P (0＜ξ＜2)＝12－p ，该命题是真命题；④因|x ＋3|＋|x －2|≥|x ＋3－(x －2)|＝5，故2m ＋1≤5，解得m ≤2，④是假命题．14．(2014·合肥质检二)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)①总存在某内角α，使cos α≥12； ②若A sin B ＞B sin A ，则B ＞A ；③存在某钝角△ABC ，有tan A ＋tan B ＋tan C ＞0; ④若2aBC →＋bCA →＋cAB →＝0，则△ABC 的最小角小于π6； ⑤若a ＜tb (0＜t ≤1)，则A ＜tB . [答案] ①④⑤ [解析] ①对；②设f (x )＝sin xx ，0<x <π，f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，故②错； ③tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C <0，③错； ④2aBC→＋bCA →＋cAB → ＝2a (BA→＋AC →)＋bCA →＋cAB → ＝(2a －b )AC→＋(c －2a )AB →＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，c －2a ＝0，∴b ＝c ＝2a ， cos A ＝78>32，故④对；⑤对． 15．(2014·青岛质检)给出以下命题：①双曲线y 22－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x ； ②命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋1sin x ≥2”是真命题；③已知线性回归方程为y ^＝3＋2x ，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；④设随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ＞1)＝0.2，则P (－1＜ξ＜0)＝0.6；⑤已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为nn －4＋8－n(8－n )－4＝2(n ≠4)．则正确命题的序号为________．(写出所有正确命题的序号) [答案] ①③⑤[解析] ①正确，注意双曲线焦点在y 轴上；②错误，不符合均值不等式的使用条件；③正确；④错误，因为P (ξ＞1)＝P (ξ＜－1)＝0.2，所以P (－1＜ξ＜0)＝1－P (ξ＞1)－P (ξ＜－1)2＝0.62＝0.3；⑤正确，由特殊到一般可得等式为n n －4＋8－n (8－n )－4＝2(n ≠4)，综上，可得命题①③⑤为真命题．16．(2014·长沙调研)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax －8－6a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12 [解析] 命题p ：a ≤12x 2－ln x 在x ∈[1,2]上恒成立，令f (x )＝12x 2－ln x ，f ′(x )＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x ，当1＜x ＜2时，f ′(x )＞0， ∴f (x )min ＝f (1)＝12.∴a ≤12.命题q ：Δ＝4a 2－4(－8－6a )≥0，∴a ≥－2或a ≤－4. 综上，两个命题都是真命题，则有a ∈(－∞，－4]∪ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12.。

提能专训(二) 数形结合思想一、选择题1．(2014·锦州质检)设全集U ＝R ，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x x －2<0，B ＝{x |2x <2}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[答案] B[解析] A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x x －2<0＝{x |0<x <2}，B ＝{x |2x <2}＝{x |x <1}，则题图中阴影部分表示的集合为A ∩∁R B ＝{x |0<x <2}∩{x |x ≥1}＝{x |1≤x ＜2}．2．(2014·唐山二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( )A ．－32B ．－22C.32 D.22[答案] B[解析] 由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫3π4－5π12＝2π3，∴ω＝2πT ＝3，∴f (x )＝sin(3x ＋φ)，代入点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝0，则可取φ＝－π4.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝sin 5π4＝－22. 3．(2014·临沂4月质检)当a >0时，函数f (x )＝(x 2－ax )e x 的图象大致是()[答案] B[解析] f (x )＝(x 2－ax )e x ，∵e x >0，∴当x ∈(0，a )时，f (x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f (x )>0，且增长很快．当x ∈(－∞，0)时，f (x )>0，由于e x 的影响，增长很慢．分析选项知，应选B.4．(2014·郑州质检二)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2，2]D ．[2,4][答案] B[解析] 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．5．(2014·云南统检)已知圆M 经过双曲线S ：x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M 在双曲线S 上，则圆心M 到双曲线S 的中心的距离为( )A.134或73B.154或83C.133D.163 [答案] D[解析] 依题意可设圆心M 的坐标为(x 0，y 0)．若圆M 经过双曲线同一侧的焦点与顶点，以右焦点F 与右顶点A 为例，由|MA |＝|MF |知，x 0＝3＋52＝4，代入双曲线方程可得y 0＝±473，故M 到双曲线S 的中心的距离|MO |＝x 20＋y 20＝163.若M 经过双曲线的不同侧的焦点与顶点时，结合图形知不符合．故选D.6．(2014·衡水一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ，b >0)的最大值是12，则a 2＋b 2的最小值是( )A.613B.365C.65D.3613 [答案] D[解析] 作出可行域可得，z ＝ax ＋by 在x －y ＋2＝0与3x －y －6＝0的交点(4,6)处取最大值，即4a ＋6b ＝12.化简，得2a ＋3b ＝6，又∵(a 2＋b 2)(22＋32)≥(2a ＋3b )2，则a 2＋b 2≥3613.7．对于图象Γ上的任意点M ，存在点N ，使得OM →·ON →＝0，则称图象Γ为“优美图象”．下列函数的图象为“优美图象”的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝log 3(x －2)C ．y ＝2x D ．y ＝cos x[答案] D[解析] 在y ＝2x ＋1图象上取点M (0,2)，因为y ＝2x ＋1>0，所以在y ＝2x ＋1图象上不存在点N ，使OM →·ON →＝0，排除A ；在y ＝log 3(x －2)图象上取点M (3,0)，因为x >2，所以在y ＝log 3(x －2)图象不存在点N ，使OM →·ON →＝0，排除B ；在y ＝2x 图象上取点M (1,2)，在y ＝2x 图象上不存在点N ，使OM →·ON→＝0，排除C.故选D. 8．过顶点在原点、焦点在x 轴正半轴上的抛物线C 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|BF |＝2|AF |＝6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝x [答案] A[解析] 如图，设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，分别过A ，B 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为C ，D ，分别过点A ，F 作AM ⊥BD ，FN ⊥BD ，垂足分别为M ，N ，根据抛物线定义知|AC |＝|AF |＝3，|BD |＝|BF |＝6，所以|BM |＝3，|BN |＝6－p .易知△AMB ∽△FNB ，故|BM ||BN |＝|AB ||BF |，即36－p ＝96，解得p ＝4，故抛物线C 的方程为y 2＝8x ，故选A.9．(2014·唐山期末)f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] B[解析] 令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2si n πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，∵h (1)＝g (1)，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，∴两个函数图象的交点一共有5个，∴f (x )＝2sinπx －x ＋1的零点个数为5.10．(2014·安阳调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3.若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数f (x )的图象恰好有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 [答案] B[解析] 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，g (x )＝k (x ＋1)(k >0)的图象，若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，结合图象可得：k PB ≤k ＜k P A ，∵k P A ＝12－(－1)＝13，k PB ＝13－(－1)＝14，∴14≤k ＜13，故选B.11．(2014·兰州、张掖联合诊断)设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足下面两个条件则称f (x )为闭函数：①f (x )是D 上的单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]．现已知f (x )＝2x ＋1＋k 为闭函数，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12 B ．(－∞，1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D ．(－1，＋∞)[答案] A[解析] 如图，函数的定义域为x ∈－12，＋∞，显然在定义域上函数f (x )单调递增，依题可知，在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上，方程x －k ＝2x ＋1有两个不同的解，结合图象易得实数k 的取值范围为－1<k ≤－12.12．(原创题)已知集合A ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝π24－x 2，B ＝{(x ，y )|y＝tan 2x }，C ＝A ∩B ，则集合C 的子集个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 [答案] D[解析] 集合A 表示圆心为(0,0)，半径为π2且在x 轴上方的半圆(包括与x 轴的两个交点)，因为函数y ＝tan 2x 的周期为π2，画出函数y ＝π24－x 2与y ＝tan 2x 的图象(如图所示)，由图知，函数y ＝π24－x 2与y ＝tan 2x 的图象有4个交点．因为C ＝A ∩B ，所以集合C 有四个元素，故集合C 的子集个数为24＝16.故选D.二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 由题意知，当且仅当圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1时，圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，此时有d ＝|c |122＋52<1，解得c ∈(－13,13)．14．(2014·山西四校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x (x ≤0)，x (x >0)，g (x )＝f (x )－x2－b 有且仅有一个零点时，b 的取值范围是________．[答案] (－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪[1，＋∞)[解析] 要使函数g (x )＝f (x )－x2－b 有且仅有一个零点，只需要函数f (x )的图象与函数y ＝x2＋b 的图象有且仅有一个交点，通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图象并观察得，要符合题意，须满足b ≥1或b ＝12或b ≤0.15．(2014·温州十校联考)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO→＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________． [答案] 12[解析] 如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA →＝CA →－mCB →，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值32，因此|AD →|＝32，容易得到∠ACB ＝120°.∵CO→＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，∴O 在边AB 上，∴当CO ⊥AB 时，|C O →|最小，|C O →|min ＝12.三、解答题16．(2014·浙江抽测)已知抛物线C ：y ＝x 2.过点M (1,2)的直线l 交C 于A ，B 两点．抛物线C 在点A 处的切线与在点B 处的切线交于点P .(1)若直线l 的斜率为1，求|AB |的值； (2)求△P AB 的面积的最小值．解：(1)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的方程为y＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝x 2消去y 解得，x 1＝1＋52，x 2＝1－52. 所以|AB |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋52－1－52＝10. (2)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)＋2，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)＋2，y ＝x 2消去y 整理得， x 2－kx ＋k －2＝0，x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝k －2，又y ′＝(x 2)′＝2x ，所以抛物线y ＝x 2在点A ，B 处的切线方程分别为y ＝2x 1x －x 21，y ＝2x 2x －x 22.得两切线的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k －2.所以点P 到直线l 的距离d ＝|k 2－4k ＋8|2k 2＋1. 又|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·k 2－4k ＋8.设△P AB 的面积为S ，所以S ＝12|AB |·d ＝14((k －2)2＋4)3≥2(当k＝2时取得等号)．所以△P AB 面积的最小值为2.17．(2014·皖南八校二联)已知函数f (x )＝ax ＋1＋ln x x ，其中a∈R .(1)若f (x )在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数g (x )＝xf (x )有唯一零点，试求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a ＋1－ln x x 2＝ax 2－ln x ＋1x 2， 又∀x >0，f ′(x )≥0，∴ax 2－ln x ＋1≥0，∀x >0，∴a ≥ln x －1x 2，令h (x )＝ln x －1x 2，则h ′(x )＝1x ·x 2－2x (ln x －1)x 4＝3－2ln x x 3＝0有根：x 0＝e 32，x ∈(0，x 0)，h ′(x )>0，函数h (x )单调增；x ∈(x 0，＋∞)，h ′(x )<0，函数h (x )单调减；∴a ≥h (x )max ＝h (x 0)＝12e 3；故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e 3，＋∞. (2)由题g (x )＝xf (x )＝ax 2＋x ＋ln x ＝0，即a ＝－x －ln x x 2有唯一正实数根，令φ(x )＝－x －ln x x 2，即函数y ＝a 与函数y ＝φ(x )有唯一交点， φ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1x x 2－(－x －ln x )2x x 4＝x －1＋2ln x x 3. 再令R (x )＝x －1＋2ln x ，R ′(x )＝1＋2x >0，∀x >0，R (x )为增函数，且易得R (1)＝0.∴当x ∈(0,1)时，R (x )<0，φ′(x )<0，函数φ(x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，R (x )>0，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增．即φ(x)≥φ(1)＝－1，又当x→0时，φ(x)→＋∞，而当x→＋∞时，φ(x)→0且φ(x)<0，故满足条件的实数a的取值范围为：{a|a≥0或a＝－1}．。

提能专训(二十三) 导数的综合应用一、选择题1．(2014·江西八校联考)已知m 是区间[0,4]内任取的一个数，那么函数f (x )＝13x 3－2x 2＋m 2x ＋3在x ∈R 上是增函数的概率是( )A.14B.13 C.12 D.23[答案] C[解析] ∵f (x )＝13x 3－2x 2＋m 2x ＋3在R 上是增函数，∴f ′(x )＝x 2－4x ＋m 2≥0在R 上恒成立，∴Δ＝16－4m 2≤0，解得m ≤－2或m ≥2. 又∵0≤m ≤4，∴2≤m ≤4. 故所求的概率为P ＝24＝12.2．(2014·辽宁五校联考)已知a ，b 是实数，且e<a <b ，其中e 是自然对数的底数，则a b 与b a 的大小关系是( )A ．a b >b aB ．a b <b aC ．a b ＝b aD ．a b 与b a 的大小关系不确定 [答案] A[解析] 构造辅助函数f (x )＝ln xx ，因为f ′(x )＝1－ln x x 2，所以在(e ，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )为减函数，则f (a )>f (b )，即ln a a >ln bb ，b ln a >a lnb ，ln a b >ln b a ，所以a b >b a .3．(2014·忻州联考)定义在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )<f ′(x )·tan x 成立，则( )A.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 B ．f (1)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin 1C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3[答案] D[解析] ∵f (x )<f ′(x )·tan x ， 即f ′(x )sin x －f (x )cos x >0， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )sin x ′＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x >0， ∴函数f (x )sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3sin π3，即3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.4．(2014·浙江名校联考)若函数f (x )＝x cos x 在(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a 1，a 2，…，a n ，…，则对任意正整数n 必有( )A ．π<a n ＋1－a n <3π2 B.π2<a n ＋1－a n <π C ．0<a n ＋1－a n <π2D ．－π2<a n ＋1－a n <0[答案] B[解析] f ′(x )＝cos x －x sin x ，令f ′(x )＝0，得1x ＝tan x ，函数y ＝1x 与y ＝tan x 的图象如图所示，a n 与a n ＋1就是两个函数图象相邻交点的横坐标．由于函数y ＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，故随着n 的增加，a n 越来越接近其所在周期内的零点(y ＝tan x 的零点)，故a n ＋1－a n <π，又a n 与a n ＋1在各自周期内零点的右侧，因此a n ＋1－a n >π2，故选B.5．(2014·陕西卷改编)设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．若f (x )≥ag (x )恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，1][答案] D[解析] 对f (x )求导，得f ′(x )＝11＋x ，所以g (x )＝xf ′(x )＝x 1＋x.若f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax 1＋x(x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x－a (1＋x )2＝x ＋1－a(1＋x )2. 当a ≤1时，φ′(x )≥0(当且仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， 所以φ(x )在[0，＋∞)上单调递增．又φ(0)＝0，即φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以当a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(当且仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1)，有φ′(x )<0，则φ(x )在(0，a －1]上单调递减，所以φ(a －1)<φ(0)＝0，即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 可知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，1]，故选D.6．(2014·鄂尔多斯模拟)已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A ．0<a <34B.12<a <34C ．a ≥34 D ．0<a <12[答案] C[解析] f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ，由题意当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎨⎧g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎨⎧(－1)2＋(2－2a )·(－1)－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34，故选C.7．已知函数f (x )＝2x 2－ax ＋ln x 在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．(－∞，4)C ．(4，＋∞)D ．[4，＋∞)[答案] C[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，因为f (x )＝2x 2－ax ＋ln x ，所以f ′(x )＝4x －a ＋1x ＝1x (4x 2－ax ＋1)．由函数f (x )在区间(0，＋∞)上不单调可知f ′(x )＝0有两个正解，即4x 2－ax ＋1＝0有两个正解，设为x 1，x 2.故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－a )2－4×4×1>0，x 1＋x 2＝a 4>0，x 1x 2＝14>0，解得a >4.所以a 的取值范围为(4，＋∞)．8．已知三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则f ′(－2)f ′(1)＝() A ．5 B ．－5 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] 对f (x )求导，得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，结合题中图象知，x ＝－1,2为导函数的零点，所以f ′(－1)＝f ′(2)＝0，即⎩⎨⎧3a －2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－c 6，b ＝c4.所以f ′(x )＝－c 2x 2＋c 2x ＋c ＝－c 2(x 2－x －2)，于是f ′(－2)f ′(1)＝4＋2－21－1－2＝－2.故选D.9．(2014·安庆二模)设1<x <2，则ln x x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2，ln x 2x 2的大小关系是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2<ln x x <ln x2x 2 B.ln x x <⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2<ln x 2x 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2<ln x 2x 2<ln xx D.ln x 2x 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2<ln x x[答案] A[解析] 令f (x )＝x －ln x (1<x <2)， 则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0， ∴函数y ＝f (x )在(1,2)内为增函数．∴f (x )>f (1)＝1>0，∴x >ln x >0⇒0<ln xx <1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2<ln x x .又ln x 2x 2－ln x x ＝2ln x －x ln x x 2＝(2－x )ln xx 2>0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2<ln x x <ln x2x 2，故选A. 10．(2014·昆明质检)已知函数f (x )＝e x －ax －b ，若f (x )≥0恒成立，则ab 的最大值为( )A. e B ．e 2 C ．e D.e 2[答案] D[解析] 利用导数求解．当a ≤0时，函数f (x )＝e x －ax －b 在R 上单调递增，f (x )≥0不恒成立，所以a ≤0舍去．当a >0时，由f ′(x )＝e x －a ＝0解得x ＝ln a ，且当x <ln a 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >ln a 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以f (x )≥0恒成立，即f (x )min ＝f (ln a )＝a －a ln a －b ≥0，所以b ≤a －a ln a ，ab ≤a 2－a 2ln a ，a >0.令y ＝x 2－x 2ln x ，x >0，则y ′＝2x －2x ln x －x ＝x (1－2ln x )，x >0，由y ′＝0解得x ＝e ，且x ∈(0，e)时，y ′>0，函数y ＝x 2－x 2ln x 单调递增；x ∈(e ，＋∞)时，y ′<0，函数y ＝x 2－x 2ln x 单调递减，所以当x ＝e 时，函数y ＝x 2－x 2ln x 取得最大值e －12e ＝12e ，所以ab ≤a 2－a 2ln a ≤12e ，即ab 的最大值是12e ，故选D.11．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2＋1，g (x )＝x ＋ln x 的图象分别交于P ，Q 两点，则|PQ |的最小值是( )A ．－12 B.12 C ．1 D ．－12或1[答案] C[解析] 直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2＋1，g (x )＝x ＋ln x 的图象分别交于P (t ，f (t ))，Q (t ，g (t ))两点，则|PQ |＝|f (t )－g (t )|.记h (t )＝f (t )－g (t )＝t 2＋1－(t ＋ln t )．函数h (t )的定义域为(0，＋∞)，h ′(t )＝2t －1－1t ＝1t (2t 2－t －1)＝1t (2t ＋1)(t －1)．由h ′(t )＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．显然当t ∈(0,1)时，h ′(t )<0，函数h (t )单调递减；当t ∈(1，＋∞)时，h ′(t )>0，函数h (t )单调递增．故函数h (t )的最小值为h (1)＝12＋1－(1＋ln 1)＝1，故|PQ |的最小值为1.二、填空题12．(2014·南京、盐城二模)表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为________．[答案] 1∶2[解析] 因为12π＝2πrh ＋2πr 2，rh ＋r 2＝6，所以V ＝πr 2h ＝πr (6－r 2)，0<r < 6.由V ′＝π(6－3r 2)＝0得r ＝ 2.当0<r <2时，V ′>0，当2<r <6时，V ′<0，所以当r ＝2时，V 取极大值，也是最大值，此时h ＝22，r ∶h ＝1∶2.13．(2014·青岛一模)如果对定义在R 上的函数f (x )，以任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝－x 3＋x ＋1；②y ＝3x －2(sinx －cos x )；③y ＝e x＋1；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________．[答案] ②③[解析] 因为x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，即(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，所以函数f (x )在R 上是增函数．由y ′＝－3x 2＋1>0得－33<x <33，即函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫－33，33上是增函数，故①不是“H 函数”；由y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥3－22>0恒成立，所以②为“H 函数”；由y ′＝e x >0恒成立，所以③为“H 函数”；由于④为偶函数，所以不可能在R 上是增函数，所以不是“H 函数”．综上，是“H 函数”的有②③.14．(2014·唐山一模)定义在R 上的函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，当x <0时，f ′(x )<x ，则不等式f (x )＋12≥f (1－x )＋x 的解集为________．[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12[解析] ∵f (x )＋f (－x )＝x 2，∴f ′(x )－f ′(－x )＝2x ，∴f ′(－x )＝f ′(x )－2x ，当x <0时，f ′(x )<x ，∴f ′(－x )＝f ′(x )－2x <x －2x ＝－x ，∴当x >0时，f ′(x )＝f ′(－x )＋2x <－x ＋2x ＝x ，令g (x )＝f (x )＋12－f (1－x )－x ，则g ′(x )＝f ′(x )＋f ′(1－x )－1<x ＋1－x －1＝0，∴g (x )在R 上单调递减，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝0，∴g (x )≥0即g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12. 三、解答题15．(2014·怀化一模)已知函数f (x )＝ax ＋b ln x ＋c (a ，b ，c 是常数)在x ＝e 处的切线方程为(e －1)x ＋e y －e ＝0，且f (1)＝0.(1)求常数a ，b ，c 的值；(2)若函数g (x )＝x 2＋mf (x )(m ∈R )在区间(1,3)内不是单调函数，求实数m 的取值范围．解：(1)由题设知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋b x .∵f (x )在x ＝e 处的切线方程为(e －1)x ＋e y －e ＝0，∴f ′(e)＝－e －1e ，且f (e)＝2－e ，即a ＋b e ＝－e －1e ，且a e ＋b ＋c ＝2－e.又f (1)＝a ＋c ＝0，解得a ＝－1，b ＝1，c ＝1.(2)由(1)知f (x )＝－x ＋ln x ＋1(x >0)，∴g (x )＝x 2＋mf (x )＝x 2－mx ＋m ln x ＋m (x >0)，∴g ′(x )＝2x －m ＋m x ＝1x (2x 2－mx ＋m )(x >0)．令d (x )＝2x 2－mx ＋m (x >0)．①当函数g (x )在(1,3)内有一个极值时，g ′(x )＝0在(1,3)内有且仅有一个根，即d (x )＝2x 2－mx ＋m ＝0在(1,3)内有且仅有一个根．又∵d (1)＝2>0，∴当d (3)＝0，即m ＝9时，d (x )＝2x 2－mx ＋m＝0在(1,3)内有且仅有一个根x ＝32；当d (3)≠0时，应有d (3)<0，即2×32－3m ＋m <0，解得m >9，∴m ≥9.②当函数g (x )在(1,3)内有两个极值时，g ′(x )＝0在(1,3)内有两个根，即二次函数d (x )＝2x 2－mx ＋m ＝0在(1,3)内有两个不等根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4×2×m >0，d (1)＝2－m ＋m >0，d (3)＝2×32－3m ＋m >0，1<m 4<3，解得8<m <9.综上，实数m 的取值范围是(8，＋∞)．16．(2014·长春调研)已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，且x 1≠x 2，证明：f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x .令f ′(x )>0，则ln x >－1＝ln 1e ，∴x >1e ；令f ′(x )<0，则ln x <－1＝ln 1e ，∴0<x <1e ，∴f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e ln 1e ＝－1e ，f (x )无极大值．(2)不防设x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22， 即x 2ln x 2－x 1ln x 1x 2－x 1<ln x 1＋x 22＋1，x 2ln x 2－x 1ln x 1<x 2ln x 1＋x 22－x 1ln x 1＋x 22＋x 2－x 1，∴x 2ln 2x 2x 1＋x 2<x 1ln 2x 1x 1＋x 2＋x 2－x 1， 两边同除以x 1得，x 2x 1ln 2·x 2x 11＋x 2x 1<ln 21＋x 2x 1＋x 2x 1－1， 令x 2x 1＝t ，则t >1，即证：t ln 2t 1＋t <ln 21＋t ＋t －1. 令g (t )＝t ln 2t 1＋t －ln 21＋t－t ＋1，则 g ′(t )＝ln 2t 1＋t ＋t ·1＋t 2t ·2(1＋t )2＋1＋t 2·2(1＋t )2－1 ＝ln 2t 1＋t ＋1－t 1＋t＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋t －1t ＋1－t －1t ＋1， 令t －1t ＋1＝x (x >0)，h (x )＝ln(1＋x )－x ， 则h ′(x )＝11＋x －1＝－x 1＋x<0，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴h (x )<h (0)＝0，即ln (1＋x )<x ，即g ′(t )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t －1t ＋1－t －1t ＋1<0恒成立，∴g (t )在(1，＋∞)上是减函数，∴g (t )<g (1)＝0，∴t ln 2t 1＋t <ln 21＋t＋t －1得证， ∴f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立． 17．(2014·济南针对性训练)已知函数f (x )＝e x －x －1，g (x )＝x 2e ax .(1)求f (x )的最小值；(2)求g (x )的单调区间；(3)当a ＝1时，对于在(0,1)中的任一个常数m ，是否存在正数x 0使得f (x 0)>m 2g (x 0)成立？如果存在，求出符合条件的一个x 0；否则说明理由．解：(1)f (x )的定义域是R ，f ′(x )＝e x －1，且在(－∞，0)上f ′(x )<0，在(0，＋∞)上f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (0)＝0.(2)g ′(x )＝2x e ax ＋ax 2e ax ＝(2x ＋ax 2)e ax .①当a ＝0时，若x <0，则g ′(x )<0，若x >0，则g ′(x )>0.所以当a ＝0时，函数g (x )在区间(－∞，0)内为减函数，在区间(0，＋∞)内为增函数．②当a >0时，由2x ＋ax 2>0，解得x <－2a 或x >0， 由2x ＋ax 2<0，解得－2a <x <0.所以当a >0时，函数g (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 内为增函数， 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ，0内为减函数，在区间(0，＋∞)内为增函数．③当a <0时，由2x ＋ax 2>0，解得0<x <－2a ， 由2x ＋ax 2<0，解得x <0或x >－2a . 所以当a <0时，函数g (x )在区间(－∞，0)内为减函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 内为增函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ，＋∞内为减函数． (3)假设存在这样的x 0满足题意，则f (x 0)>m 2g (x 0)，e x 0－x 0－1>m 2x 20e x 0，m 2x 20＋x 0＋1e x 0－1<0，(*) 要找一个x 0>0，使(*)式成立，只需找到当x >0时，函数h (x )＝m 2x 2＋x ＋1e x －1的最小值h (x )min <0即可， h ′(x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1e x ， 令h ′(x )＝0得e x＝1m ，则x ＝－ln m ，取x 0＝－ln m ， 当0<x <x 0时，h ′(x )<0，当x >x 0时，h ′(x )>0，所以h (x )min ＝h (x 0)＝h (－ln m )＝m 2(ln m )2－m ln m ＋m －1.下面只需证明：当0<m <1时，m 2(ln m )2－m ln m ＋m －1<0成立即可，令p (m )＝m 2(ln m )2－m ln m ＋m －1，m ∈(0,1)，则p ′(m )＝12(ln m )2≥0，从而p (m )在m ∈(0,1)时为增函数，则p (m )<p (1)＝0，从而m 2(ln m )2－m ln m ＋m －1<0得证．于是h (x )的最小值h (－ln m )<0，因此可找到一个正常数x 0＝－lnm (0<m <1)，使得f (x 0)>m 2g (x 0)成立．18．(2014·湖北八市联考)定义在R 上的函数g (x )及二次函数h (x )满足：g (x )＋2g (－x )＝e x＋2e x －9，h (－2)＝h (0)＝1且h (－3)＝－2. (1)求g (x )和h (x )的解析式；(2)对于x 1，x 2∈[－1,1]，均有h (x 1)＋ax 1＋5≥g (x 2)－x 2g (x 2)成立，求a 的取值范围；(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )(x >0)，h (x )(x ≤0)，在(2)的条件下，讨论方程f [f (x )]＝a ＋5的解的个数情况．解：(1)∵g (x )＋2g (－x )＝e x＋2e x －9，① ∴g (－x )＋2g (x )＝e －x＋2e －x －9，即g (－x )＋2g (x )＝2e x ＋1e x －9，② 由①②联立解得，g (x )＝e x －3.∵h (x )是二次函数，且h (－2)＝h (0)＝1，可设h (x )＝ax (x ＋2)＋1， 由h (－3)＝－2，解得a ＝－1，∴h (x )＝－x (x ＋2)＋1＝－x 2－2x ＋1，∴g (x )＝e x －3，h (x )＝－x 2－2x ＋1.(2)设φ(x )＝h (x )＋ax ＋5＝－x 2＋(a －2)x ＋6，F (x )＝g (x )－xg (x )＝e x －3－x (e x －3)＝(1－x )e x ＋3x －3，依题意知，当－1≤x ≤1时，φ(x )min ≥F (x )max .∵F ′(x )＝－e x ＋(1－x )e x ＋3＝－x e x ＋3，在[－1,1]上单调递减， ∴F ′(x )min ＝F ′(1)＝3－e>0，∴F (x )在[－1,1]上单调递增，∴F (x )max ＝F (1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ(－1)＝7－a ≥0，φ(1)＝a ＋3≥0，解得－3≤a ≤7， ∴实数a 的取值范围为[－3,7]．(3)设t ＝a ＋5，由(2)知，2≤t ≤12.f (x )的图象如图所示：设f (x )＝T ，则f (T )＝t .当t ＝2，即a ＝－3时，T ＝－1或者T ＝ln 5，f (x )＝－1有2个解，f (x )＝ln 5有3个解；当2<t <e 2－3，即－3<a <e 2－8时，T ＝ln(t ＋3)且ln 5<T <2，f (x )＝T 有3个解；当t ＝e 2－3，即a ＝e 2－8时，T ＝2，f (x )＝T 有2个解；当e 2－3<t ≤12，即e 2－8<a ≤7时，T ＝ln(t ＋3)>2，f (x )＝T 有1个解．综上所述：当a ＝－3时，方程有5个解；当－3<a <e 2－8时，方程有3个解；当a ＝e 2－8时，方程有2个解；当e 2－8<a ≤7时，方程有1个解．。

2015年河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合{}1,0,1,2,3,A =-，{}220B x x x =->，则A B = _______. A ． {}3 B ．{}2,3C ．{}1,3-D ．{}0,1,2答案：C考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B 中不等式的解集确定出B ，找出A 与B 的交集即可．解答：解：由B 中不等式变形得：()20x x ->，解得：0x <或2x >，即{}02B x x x <>或，{}1,0,1,2,3A =- ，{}1,3A B ∴=- ， 故选：C ．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z 与5i 2-的对应点关于虚轴对称，则z =______ A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --答案:B考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解答：解：()()()()52i 52i 52i i 22i 2i 5----===------ +， 又复数z 与5i 2-的对应点关于虚轴对称， 则z=2﹣i i 2z =-．故选：B ．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n {}n a 中，78a =，前7项和742S =，则其公差是_______. A ． 13- B ．13 C ．23- D ．23 考点：等差数列的通项公式．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得1a 和d 的方程组，解方程组可得．解答：解：设等差数列{}n a 的公差为d ，78a = ，前7项和742S =，168a d ∴=+，1767422a d ⨯=+， 解得14a =，23d = 故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的209a =，76b =，则输出的a 是_______.A ．19B ．3C ．57D ．76答案：A考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a ，b ，c 的值，当0b =时满足条件0b =，退出循环，输出a 的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得209a =，76b =57c =76a =，57b =，不满足条件0b =，19c =，57a =，19b =不满足条件0b =，0c =，19a =，0b =满足条件0b =，退出循环，输出a 的值为19．故选：A ．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设3log πa =，πlog 3b =，cos3c =，则______.A ．b a c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．a b c >>答案：C考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：3log π1a => ，π0log 31b <=<，cos30c =<，a b c ∴>>．故选：D ．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数()()()4sin 0,πy x x ωφωφωφ=><++部分图象如图，其中点2π,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8π,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则____.A ．1=2ω，2π=3φ- B.=1ω，2π=3φ- C ．1=2ω，π=3φ- D ．=1ω，π=3φ- 答案:C考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式． 解答：解：由函数的图象可得π8π2π233T ω==-，12ω∴=． 再根据五点法作图可得12π023φ⋅=+，求得π3φ=-， 故选：C ．点评：本题主要考查由函数()sin y A x ωφ=+的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x ，y 满足约束条件21033020x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪-⎩+≥+≥+≤，则1y z x =+的取值范围是_______. A ．1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．15,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．15,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可． 解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：1y z x =+的几何意义为区域内的点到定点()1,0D -的斜率， 由图象知AD 的斜率最大，BD 的斜率最小，由21020x y x y -=⎧⎨-=⎩++，解得1353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即15,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时5531413z ==+， 由33020x y x y -=⎧⎨-=⎩++，解得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时1123512z ==+， 故1y z x =+的取值范围是15,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：B ．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.1111正视图1侧视图俯视图A．43B．52C．73D．53答案：A考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积11212S=⨯⨯=，高为1；故其体积1111V=⨯=；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积11212S=⨯⨯=，高为1；故其体积2111133V=⨯⨯=；故该几何体的体积124 3V V V==+；故选：A．C 1B 1A 1CA 点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有_____.A ．7种B ．13种C ．18种D ．19种答案：D考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1120=2200=1111+++++++++，即可得出结论．解答：解：由题意4=1120=2200=1111+++++++++，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有122434119C C C =++种，故选：D ．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在ABC △中，2AB BC =，以A ，B 为焦点，经过C 的椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则___.A ．12111e e -=B ．12112e e -=C ．2212111e e -=D ．2212112e e -= 答案：A考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB 所在直线为x 轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB 所在直线为x 轴，其中点为原点，建立坐标系，则()1,0A -，()1,0B ，()1cos ,sin C θθ+，所以AC =对于椭圆而言，22c=，2a AC BC ==+所以11e a c ==； 对于双曲线而言，22c=，21a AC BC =-，所以21e a c =故12111e e -==， 故选：A ．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数()π2f x x =-，()cos sin g x x x x =-，当[]3π,3πx ∈-时，方程()()f x g x =根的个数是___. A ．8 B ．6C ．4D ．2 答案：B考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数()f x 与()g x 都是奇函数，且()f x 是反比例函数，()g x 在[]0,π上是减函数，在[]π,2π上是增函数，在[]2π,3π上是减函数，且()00g =，()ππg =-；()2π2πg =；()3π3πg =-；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可． 解答：解：由题意知，函数()π2f x x=-在[]3π,3π-是奇函数且是反比例函数， ()cos sin g x x x x =-在[]3π,3π-是奇函数；()'cos sin cos sin g x x x x x x x =--=-；故()g x 在[]0,π上是减函数，在[]π,2π上是增函数，在[]2π,3π上是减函数，且()00g =，()ππg =-；()2π2πg =；()3π3πg =-；故作函数()f x 与()g x 在[]3π,3π-上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B ．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题． 12．已知圆:22C x +y =1，点(),2M t ，若C 上存在两点A ，B 满足MA AB = ，则t t 的取值范围是____.A ．[]2,2-B ．[]3,3-C ．⎡⎣D ．[]5,5- 答案：C考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A 是MB 的中点，利用圆221x y =+的直径是2，可得2MA ≤，即点M 到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM 交圆于点D ． MA AB = ，A ∴是MB 的中点，圆221x y =+的直径是2，2M A AB ∴=≤，又M D M A ≤，1OD =，3OM ∴≤，即点M 到原点距离小于等于3，24t 9∴+≤，t ≤，故选：C ．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题 13．已知a = 2b = ，若()a b a ⊥ +，则a 与b 的夹角是______. 答案：150︒考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用． 分析：根据已知条件即可得到()0a b a ⋅= +，所以根据a = 2b =进行数量积的运算即可得到3a < +，0b >=，所以求出，cos ,a b = a 与b 的夹角． 解答：解：()0a b a ⊥ +；()23,0a b a a a b a b ∴⋅=⋅== +++；cos ,a b ∴= a ∴ 与b 的夹角为150︒．故答案为：150︒．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，43n n a S =-，则4S =______． 答案：2027考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：43n n a S =-，当1n =时，1143a a =-，解得1a ．当2n ≥=时，143n n n S S S --=-，化为1313434n n S S -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，利用等比数列的通项公式即可得出． 解答：解：43n n a S =- ，∴当1n =时，1143a a =-，解得11a =．当2n ≥时，143n n n S S S --=-， 化为1313434n n S S -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， ∴数列34n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为14，公比为13-， 33112044327n S ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭． 令4n =，则343112044327S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭+． 故答案为：2027． 点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P ABC -中，ABC △与PBC △都是等边三角形，侧面PBC ⊥底面ABC ，AB =该三棱锥的外接球的表面积为_______.答案：20π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x ，则()22222213r x x ==-++，求出x ，可得r ，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x ，则()222222133r x x ==-++，所以1x =，所以该三棱锥的外接球的表面积为24π20πr =．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．161=与两坐标轴所围成图形的面积是_____． 答案：16考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积1，即(21y =-即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为(()321121200014111236dx x dx x x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰+； 故答案为：16点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题17．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()2222cosB a b a bc -=+． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）D 为边BC 上一点，3BD DC =，π2DAB ∠=，求tan C ． 考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形． 分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2222cos a B a c b =-+，代入已知等式整理得1cos 2A =-，即可求得A ． （Ⅱ）由已知可求π6DAC ∠=，由正弦定理有sin sin AD CD C DAC=∠，又3BD CD =，可得3sin 2sin B C =，由π3B C =-化简即可得解． 解答：解：（Ⅰ）因为2222cos a B a c b =-+，所以()222222a b a c b bc -=-++．… 整理得222a b c bc =++，所以1cos 2A =，即2π3A =．… （Ⅱ）因为π2DAB =△，所以sin AD BD B =⋅，π6DAC ∠=．… 在ACD △中，有sin sin AD CD C DAC=∠，又因为3BD CD =， 所以3sin 2sin B C =，…由π3B C =-3sin 2sin 2C C C -=，…整理得tan C =… 点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，侧面PAD 是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是棱PC ，AB 的中点，且MN CD ⊥．（Ⅰ）求证：AD CD ⊥；（Ⅱ）若AB CD =，求直线MN 与平面PBD 所成角的正弦值．MD CBA 考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用． 分析：（Ⅰ）取PD 边中点E ，连接AE ，EM ，根据MN CD ⊥容易得到CD AE ⊥，而根据已知条件可以说明PO ⊥平面ABCD ，从而得到CD PO ⊥，这样CD 就垂直于平面PAD 内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD CD ⊥；（Ⅱ）取BC 中点F ，连接OF ，由（Ⅰ）便可知道OA ，OF ，OP 三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x ，y ，z 轴，可设2AB =，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量DB ,DP 的坐标，这时候设平面PBD 的法向量为(),,n x y z = ，根据00n DB n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即可求出n 的坐标，若设MN 和平面PBD 所成角为θ，从而根据sin cos ,n MN n MN n MNθ⋅== 即可求得答案． 解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD 中点E ，连AE ，EM ，则EM AN ∥，且EM AN =；∴四边形ANME 是平行四边形，MN AE ∥；MN CD ⊥ ，AE CD ∴⊥，即CD AE ⊥；取AD 中点O ，连PO ，PAD △是等边三角形，则PO AD ⊥； 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =； PO ∴⊥平面ABCD ，PO CD ⊥，即CD PO ⊥；故CD ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ；CD AD ∴⊥，即AD CD ⊥；（Ⅱ）由AB AD =，AD CD ⊥，得四边形ABCD 是正方形； 取BC 边的中点F ，连接OF ，则分别以OA ，OF ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系；设2AB =，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,0,0D -，(0,0,P，1,0,2E ⎛- ⎝⎭； ()2,2,0DB =，(1,0,DP = ；设平面PBD 的法向量(),,n x y z =，则： 00n DB n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ；2x+2y =0=0⎧⎪∴⎨⎪⎩；x y ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，取1z =，()1n ∴= ；3,0,2MN EA ⎛==- ⎝⎭ ； 设直线MN 与平面PBD 所成的角为θ，则：sin cos ,MN n θ=== ．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X 万元，求X 的分布列和期望． 附：()()()()22n ad bc K a b a c b d -=+++考点：独立性检验的应用． 专题：应用题；概率与统计． 分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求2K 的值，从临界值表中可以知道2 5.024K >，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X 的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X 的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）()225608020040240 5.657120*********K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为5.657 5.024>，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1:3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m 家和n 家，则(),m n 可能为()0,9，()1,8，()2,7，()3,6．与之对应，X 的可能取值为90，130，170，210．…()190220P X -=，()27130220P X ==， ()108170220P X ==，()84210220P X ==，…期望271088490130170210180220220220220EX =⨯⨯⨯⨯=+++．…点评：本题考查独立性检验的应用，考查X 的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题． 20．已知抛物线2:4E x y =，m 、n 是过点(),1A a -且倾斜角互补的两条直线，其中m 与E 有唯一公共点B ，n 与E 相交于不同的两点C ，D ． （Ⅰ）求m 的斜率k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得2AC AD AB λ⋅=？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． 考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（Ⅰ）设直线():1m y k x a =-+，():1n y k x a =-+，代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k 的范围；（Ⅱ）假设存在常数λ，使得2AC AD AB λ⋅=，设()00,B x y ，()11,C x y ，()22,D x y ，代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断． 解答：解：（Ⅰ）设直线():1m y k x a =-+，():1n y k x a =-+， 分别代入24x y =，得2440x kx ka -=+（1），24440x kx ka -=++(2)， 由1=0△得210k ka --=，由2>0△得210k ka ->+，故有2210k ->，得21k >，即1k <-，或1k >．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得2AC AD AB λ⋅=， 设()00,B x y ，()11,C x y ，()22,D x y ， 则()()()2120111y y y λ=+++．将()111y k x a =--+，()211y k x a =--+，()001y k x a =-+代入上式，得()()()2120x a x a x a λ--==，即()()2212121x x a x x a x a λ-=-++．由（2）得124x x k =-+，1244x x ka =-+， 由（1）得02x k =，代入上式，得()222444a k ka a λ=-++．又1=0△得210k ka --=，即2444k ka -=， 因此()2244a a λ=++，=1λ．故存在常数=1λ，使得2AC AD AB λ⋅=．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数()1ln f x x a x x =++，()11ln g x x x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭++，其中a ∈R ．（Ⅰ）证明：()1g x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并求()g x 的最大值；（Ⅱ）记()f x 的最小值为()h a ，证明：函数()y h a =有两个互为相反数的零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性． 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数()g x 的解析式，分别计算1g x ⎛⎫⎪⎝⎭，()g x ，可得两者相等；再利用()'g x 求得最大值；（Ⅱ）利用()'f x 可得()f x 的最小值()()11=t ln h a t t g t t t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭++，由（Ⅰ）可知210e g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10g >，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）111111ln ln g x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ++++，()1g x g x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，则()21'1ln g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭+，当()0,1x ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增； 当()1,x ∈∞+时，()'0g x <，()g x 单调递减．所以()g x 的最大值为()111021g ==++．（Ⅱ）()1ln f x x a x x= ++，()22211'1a x ax f x x x x -∴=-=++． 令()'0f x =，即210x ax -=+，则2=0a >△+，不妨取0t >，由此得：210t at -=+或写为：1a t t=-． 当()0,x t ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减；当(),x t ∈∞+时，()'0f x >，()f x 单调递增．从而()f x 的最小值为()111ln ln f t t a t t t t t t t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭++++，即()()11ln h a t t t g t t t ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭++（或()h a a =）．由（Ⅰ）可知()222213e e 0e e g g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，()120g =>，分别存在唯一的()0,1c ∈和()1,d ∈∞+，使得()()0g c g d ==，且1cd =，因为()10a t t t =->是t 的减函数，所以()y h a =有两个零点11a d d =-和21a c c =-，又()110c d d c c d d c cd--=-=+++，所以()y h a =有两个零点且互为相反数． 点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB 为圆O 的直径，PB ，PC 分别与圆O 相切于B ，C 两点，延长BA ，PC 相交于点D ． （Ⅰ）证明：AC OP ∥；（Ⅱ）若2CD =，3PB =，求AB ．PODCBA考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题：选作题；立体几何． 分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB PC =，且PO 平分BPC ∠，可得PO BC ⊥，又AC BC ⊥，可得AC OP ∥；（Ⅱ）由切割线定理得2DC DA DB -⋅，即可求出AB ． 解答：（Ⅰ）证明：因PB ，PC 分别与圆O 相切于B ，C 两点， 所以PB PC =，且PO 平分BPC ∠，所以PO BC ⊥，又AC BC ⊥，即AC OP ∥．… （Ⅱ）解：由PB PC =得5PD PB CD ==+， 在Rt PBD △中，可得4BD =．则由切割线定理得2DC DA DB =⋅， 得1DA =，因此3AB =．…点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键． 【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线():2cos 0C a ρθ=>，π31:cos 32ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，C 与1有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且π3AOB ∠=，求OA OB +的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（I ）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a ；（II ）不妨设A 的极角为θ，B 的极角为π3θ+，则ππ2cos 2cos 36OA OB θθθ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++，利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线():2cos 0C a a ρθ=>，变形2=2cos a ρρθ，化为222x y ax =+，即()222x a y a -=+．∴曲线C 是以(),0a 为圆心，以a 为半径的圆；由π31:cos 32ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开为13cos sin 22ρθθ=， 1∴的直角坐标方程为30x -=．由直线l 与圆C 相切可得32a a -=，解得1a =．（Ⅱ）不妨设A 的极角为θ，B 的极角为π3θ+，则ππ2cos 2cos =3cos 36OA OB θθθθθ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++，当π=6θ-时，OA OB +取得最大值．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【选修4-5：不等式选讲】24．设()121f x x x =--+的最大值为m ．（Ⅰ）求m ；（Ⅱ）若a ，b ，()0,c ∈∞+，2222a b c m =++，求ab bc +的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用． 分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x 的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值； （Ⅱ）由()()22222222a b c a b b c =+++++，运用重要不等式，可得最大值． 解答：解：（Ⅰ）当1x -≥时，()32f x x =+≤； 当11x -<<时，()132f x x =--<； 当1x ≥时，()34f x x =---≤． 故当1x =-时，()f x 取得最大值m=2．（Ⅱ）()()()222222222a 2b a b b c ab 2bc ab bc ==++c +++≥++，当且仅当a b c ===时，等号成立． 此时，ab bc +取得最大值π=12．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。

2015年普通高考测试（二）数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}231x x M =-<，集合{}13x x N =-<<，则MN =（ ）．A ．MB ．NC ．{}12x x -<<D ．{}3x x <2．已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z =（ ）．A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --13．随机变量ξ服从正态分布)4,3(N ，若)2()32(+>=-<a P a P ξξ，则a 的值为（ ）．A ．37 B ．34 C ．3 D ．44．一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积是（ ）．A ．5πB ．6πC ．7πD ．9π 5．在右图所示的程序框图中，输出的i 和s 的值分别为（ ）．A ．3,21B ．3,22C ．4,21D ．4,226．设)(x f 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间]1,2[-上的图像，则)2015()2014(f f +=（ ）．A ．3B ．2C ．1D ．07．若平面向量()1,2a =-与b 的夹角是0180，且53||=b ，则b 的坐标为（ ）．A ．)6,3(-B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(- 8．对于任意正整数n ，定义“!!n ”如下：当n 是偶数时，()()!!24642n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；当n 是偶数时，()()!!24531n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅； 且有()()!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．则如下四个命题：①()()2015!!2016!!2016!⋅=；②10082016!!21008!=⨯；③2015!!的个位数是5；④2014!!的个位数是0． 其中正确的命题有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．） （一）必做题（9～13题）9．曲线x x y sin +=在点（0,0）处的切线方程是________________．10．双曲线C :221916x y -=的离心率是 ． 11．=-⎰dx x |1|20_______________．12．某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥-6252x y x y x ，则该校招聘的教师最多是 名．13．已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有____________种．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）直线l 的参数方程为31x ty t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），则直线l 的倾斜角是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，在梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2A =，C 5B =，点E ．F 分别在AB ．CD 上，且F//DE A ，若34AE =EB ，则F E 的长是 ．三．解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）设函数)(,sin 3cos )(R x x x x f ∈-= （1）求函数)(x f 在区间]2,0[π上的值域（2）记AB C ∆内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，若1)3(=-πA f ，且b a 23=，求B s i n 的值．17．（本小题满分12分）某中学一名数学教师对全班50名学生某次考试成绩分男生女生进行了统计（满分150分），得到右面频率分布表：其中120分（含120分）以上为优秀． （1）根据以上频率表的数据，完成下面的2⨯2列联表；（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（3）若从成绩在[130,140]的学生中任取3人，已知取到的第一个人是男生，求取到的另外2人中至少一名女生的概率．18．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，045BCD 1AD AB 2CD ,,//AB ABCD =∠===⊥⊥，，且，平面DC AD DC PD ． （1）若点M 是PD 的中点，证明：PBC AM//平面;（2）若PBC ∆得面积为2，求二面角D -PC -B 的余弦值．19．（本小题满分14分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，对任意正整数n ，均有()241n n S a =+，且0n a >．()1求1a 及数列{}n a 的通项公式； ()2令114)1(+--=n n n n a a nb ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．20．（本小题满分14分）已知曲线E 上的任一点到点)3,0(1-F 和点)3,0(F 的距离之和为4． （1）求曲线E 的方程；（2）已知点)0,1(),2,0(C A ，设直线)0(,>=k kx y 与曲线E 交于B ．D 两点（B 在第一象限），求四边形ABCD 面积的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数b a bx ax x f ,(,1)(2++=为实数，),0R x a ∈≠． （1）若0)1(=-f ，且函数)(x f 的值域为),0[+∞，求)(x f ；（2）设0,0,)()()(<>⎩⎨⎧-=x x x f x f x F ，0,0,0>>+<a n m mn ，且函数)(x f 为偶函数．证明：0)()(>+n F m F ；（3）设)(,1ln )(x g ex x g x+=的导函数是),(x g '当1==b a 时，证明：对任意实数0>x ，21)(]1)([-+<'-e x g x f ．。

2015 年 高 三 测 试 卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．214．13π 15．1316．2212x y -= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………………2分 所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()2222=-⨯--4=-；……6分 （Ⅱ）因为c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，………8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<，……………………11分 所以当3A π=时，a b +最大，最大值是12分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………………6分（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0,1,2,3；………………………………………………7分(0)P ξ==113，(1)P ξ==613，(2)P ξ==613，(3)P ξ==113，……………………9分所以随机变量ξ的分布列是：随机变量ξ的数学期望是1661012313131313E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=2113．……………………12分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒由余弦定理求得AC=90ACB ∠=︒即BC⊥又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面所以BC AG ⊥，………………………………………3分 在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=，所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）FC AC ⊥，平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以FC ⊥平面ABCD ， 以点C 为原点，,,CA CB CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则)(0,0,0),(0,2,0),1,0)C A B D-,G ，…………………………8分平面BCG 的法向量(3,0,GA =，设平面GCD 的法向量(,,)n x y z =，则0n CG n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而00x z y +=⎧⎪-=，令1x =则(1,3,1)n =-，…………………………………………………………………………10分 所以cos ,n GA <>==，…………………………………………………11分 而二面角D —GCB 为钝角， 故所求二面角的余弦值为．………………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB 最小，因为||OD =2r ==，…………………………………2分因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =，又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b+=⇒=， 所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；………………………5分 （Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x 轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN 的面积S =当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =，…………6分……………………10分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k=--， 圆心O 到直线m的距离为：d =，所以||PQ ==，…………8分 将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=，||MN =所以：四边形PMQN 的面积1||||2S PQ MN =⋅===∈，综上：四边形PMQN的面积的取值范围是．…………………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x-+=+-=(0)x >，记2()221g x x ax =-+………1分 （一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……2分（二）当0a <≤时，因为24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………………………………………………………………3分（三）当a >0()0x g x >⎧⎨>，解得x∈，所以函数()f x 在区间上单调递减，在区间(0,),()2a a +∞上单调递增．…………………………5分（Ⅱ）由（1）知道当(1a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增， 所以(0,1]x ∈时，函数()f x的最大值是(1)22f a =-，对任意的a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln()f x a m a a +>-成立，等价于对任意的(1a ∈，不等式222ln ()a a m a a -+>-都成立，……………………………………6分即对任意的(1a ∈，不等式2ln (2)20a ma m a +-++>都成立， 记2()ln (2)2h a ama m a =+-++，则(1)0h =，1(21)(1)'()2(2)a ma h a ma m a a --=+-+=，因为(1a ∈，所以210a a->， 当1m ≥时，对任意(1a ∈，10ma ->，所以'()0h a >，即()h a 在区间上单调递增，()(1)0h a h >=成立；…………………………………………………………………………9分 当1m <时，存在0(1a ∈使得当0(1,)a a ∈时，10ma -<，'()0h a <，()h a 单调递减，从而()(1)0h a h <=，所以(1a ∈时，()0h a >不能恒成立．综上：实数m 的取值范围是[1,)+∞．……………………………………………………………12分 22．解：AF 是圆的切线，且18,15AF BC ==，∴由切割线定理得到2218(15)12AF FB FC FB FB FB =⋅⇒=⋅+⇒=，…………………3分 ,AB AD ABD ADB =∴∠=∠，则,//FAB ABD AF BD ∠=∠∴，…………………………………………………………………6分 又//AD FC ，∴四边形ADBF 为平行四边形．12,,18AD FB ACF ADB F ACAF ==∠=∠=∠∴==，//,18AE ADAD FC AE BC∴=-，解得8AE =。

2015年山东省临沂市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．2．设集合M={x|x2﹣4x+3≤0}，N={x|log2x≤1}，则M∪N=（）A．[1，2] B．[1，2）C．[0，3] D．（0，3]3．若a＜b＜0，则下列结论中正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．（）a＜（）b D．+＞24．已知F（x）=f（x）﹣x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．4 B．2 C．﹣3 D．﹣45．执行如图的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有序数对为（）A．（9，10） B．（12，13）C．（13，14）D．（13，12）6．已知f（x）=e x﹣x，命题p：∀x∈R，f（x）＞（0），则（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0 B．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0 C．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0 D．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤07．若f（x）=sin（2x+θ），则“f（x）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件8．已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=lnx+x，若f（a）=g（b）=h（c）=0，则（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b9．设平面区域D是由双曲线y2﹣=1的两条渐近线和抛物线y2=﹣8x的准线所围成的三角形区域（含边界），若点（x，y）∈D，则的取值范围是（）A．[﹣1，] B．[﹣1，1] C．[0，] D．[0，]10．若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f （x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ～特征函数”．下列结论中正确的个数为（）①f（x）=0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”；②f（x）=2x+1不是“λ～特征函数”；③“λ～特征函数”至少有一个零点；④f（x）=e x是一个“λ～特征函数”．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11．已知向量与满足||=2，||=，（﹣）⊥，则与的夹角为．12．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有种．13．直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为．14．已知f（n）=sin（nx）dx，若对于∀∈R，f（1）+f（2）+…+f（n）＜|x+3|+|x ﹣1|恒成立，则正整数n的最大值为．15．已知点A，B，C，D均在球O的球面上，AB=BC=1，AC=，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值是，则球O的表面积为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知函数f（x）=2cosxsin（x+）．（I）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，sinB=2sinA，且△ABC的面积为2，求c的值．17．某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）18．一个楔子形状几何体的直观图如图所示，其底面ABCD为一个矩形，其中AB=6，AD=4，顶部线段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=6，二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．设M，N分别是AD，BC的中点．（I）证明：平面EFNM⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线BF与平面EFCD所成角的正弦值．19．已知{a n}满足2na n+1=（n+1）a n（n∈N*），且a1，1，4a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n}满足b n=sin（πa n），S n为数列{b n}的前n项和，求证：对任意n∈N*，S n ＜2+π．20．已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1．（Ⅰ）当a=﹣时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求数a的取值范围．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．2015年山东省临沂市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，利用复数的基本概念，列出方程求解即可．解答：解：依题意．由复数为纯虚数可知，且，求得m=2．故选：A．点评：本题主要考查复数的基本概念与复数的运算．解题的关键是利用复数运算法则进行复数的乘法、除法运算，求解时注意理解纯虚数的概念．2．设集合M={x|x2﹣4x+3≤0}，N={x|log2x≤1}，则M∪N=（）A．[1，2] B．[1，2）C．[0，3] D．（0，3]考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出M，N的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．解答：解：M={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，N={x|log2x≤1}={x|0＜x≤2}，则M∪N={x|0＜x≤3}，故选：D点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．若a＜b＜0，则下列结论中正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．（）a＜（）b D．+＞2考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的性质、函数的单调性即可判断出．解答：解：∵a＜b＜0，∴a2＞b2，ab＞b2，，=2．因此只有D正确．故选：D．点评：本题考查了不等式的性质、函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知F（x）=f（x）﹣x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．4 B．2 C．﹣3 D．﹣4考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用函数的奇偶性化简求解即可．解答：解：F（x）=f（x）﹣x是偶函数，且f（2）=1，F（2）=f（2）﹣2=﹣1．则F（﹣2）=f（﹣2）+2=﹣1，∴f（﹣2）=﹣3．故选：C．点评：本题考查函数的奇偶性，函数值的求法，考查计算能力．5．执行如图的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有序数对为（）A．（9，10） B．（12，13）C．（13，14）D．（13，12）考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，n的值，当n=4时不满足条件n＜4，退出循环，输出数对（9，10）．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=7，y=6n=1满足条件n＜4，x=7，y=8，n=2满足条件n＜4，x=9，y=8，n=3满足条件n＜4，x=9，y=10，n=4不满足条件n＜4，退出循环，输出数对（9，10）故选：A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x，y，n的值是解题的关键，属于基础题．6．已知f（x）=e x﹣x，命题p：∀x∈R，f（x）＞（0），则（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0 B．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0 C．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0 D．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0 考点：命题的否定；复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：判断命题的真假，然后利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：f（x）=e x﹣x，命题p：∀x∈R，f（x）＞（0），是真命题，它的否定是：∃x0∈R，f（x0）≤0．故选：B．点评：本题考查命题的真假的判断，命题的否定，基本知识的考查．7．若f（x）=sin（2x+θ），则“f（x）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若f（x）的图象关于x=对称，则2×+θ=+kπ，解得θ=﹣+kπ，k∈Z，此时θ=﹣不一定成立，反之成立，即“f（x）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．8．已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=lnx+x，若f（a）=g（b）=h（c）=0，则（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b考点：函数的零点．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析： f（a）=g（b）=h（c）=0即为函数y=2x，y=log2x，y=lnx与y=﹣x的交点的横坐标分别为a，b，c，画出它们的图象，即可得到a，b，c的大小．解答：解：f（a）=g（b）=h（c）=0即为函数y=2x，y=log2x，y=lnx与y=﹣x的交点的横坐标分别为a，b，c，画出它们的图象，由图象可得，a＜c＜b．故选：D．点评：本题考查函数的零点的判断和比较，运用函数和方程的思想和数形结合的思想方法是解题的关键．9．设平面区域D是由双曲线y2﹣=1的两条渐近线和抛物线y2=﹣8x的准线所围成的三角形区域（含边界），若点（x，y）∈D，则的取值范围是（）A．[﹣1，] B．[﹣1，1] C．[0，] D．[0，]考点：双曲线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出双曲线的两条渐近线为，抛物线y2=﹣8x的准线为x=2，结合图象可得在点B （2，﹣1）时，=0，在点O（0，0）时，=1，由此求得目标函数的取值范围．解答：解：双曲线y2﹣=1的两条渐近线为y=，抛物线y2=﹣8x的准线为x=2．故可行域即图中阴影部分，（含边界）．目标函数z==2•﹣1中的表示（x，y）与（﹣1，﹣1）连线的斜率，故在点B（2，﹣1）时，=0，在点O（0，0）时，=1，∴2•﹣1∈[﹣1，1]故选：B．点评：本题主要考查抛物线、双曲线的标准方程，以及简单性质，简单的线性规划问题，属于中档题．10．若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f （x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ～特征函数”．下列结论中正确的个数为（）①f（x）=0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”；②f（x）=2x+1不是“λ～特征函数”；③“λ～特征函数”至少有一个零点；④f（x）=e x是一个“λ～特征函数”．A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用新定义“λ～特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案解答：解：对于①，设f（x）=C是一个“λ～特征函数”，则（1+λ）C=0，当λ=﹣1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ～特征函数”，故①不正确；对于②，∵f（x）=2x+1，∴f（x+λ）+λf（x）=2（x+λ）+1+λ（2x+1）=0，即2（λ+1）x=﹣2λ﹣λ，∴当λ=﹣1时，f（x+λ）+λf（x）=﹣2≠0；λ≠﹣1时，f（x+λ）+λf （x）=0有唯一解，∴不存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，∴f（x）=2x+1不是“λ～特征函数”，故②正确；对于③，令x=0，得f（）+f（0）=0，所以f（）=﹣f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=﹣[f（0）]2＜0．又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根．因此任意的“λ～特征函数”必有根，即任意“λ～特征函数”至少有一个零点，故③正确．对于④，假设f（x）=e x是一个“λ～特征函数”，则e x+λ+λe x=0对任意实数x成立，则有eλ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=e x是“λ～特征函数”，故④正确故结论正确的是②③④，故选：C点评：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ～特征函数的概念是关键，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11．已知向量与满足||=2，||=，（﹣）⊥，则与的夹角为45°．考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量垂直的体积转化为数量积为0，然后求解即可．解答：解：向量与满足||=2，||=，（﹣）⊥，可得（﹣）•=0，即，可得2﹣2=0，，所以=45°故答案为：45°．点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力．12．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有30 种．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：先不考虑学生甲，乙不能同时参加同一学科竞赛，从4人中选出两个人作为一个元素，同其他两个元素在三个位置上排列，其中有不符合条件的，即甲乙两人在同一位置，去掉即可解答：解：从4人中选出两个人作为一个元素有C42种方法，同其他两个元素在三个位置上排列C42A33=36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有A33种结果，∴不同的参赛方案共有 36﹣6=30，故答案为：30点评：对于复杂一点的排列计数问题，有时要先整体再部分，有时排列组合和分步计数原理，分类计数原理一起出现，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类．13．直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系以及两点间的距离公式即可得到结论．解答：解：∵△AOB是直角三角形（O是坐标原点），∴圆心到直线ax+by=1的距离d=，即d==，整理得a2+2b2=2，则点P（a，b）与点Q（1，0）之间距离d==≥，∴点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为．故答案为：．点评：本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力．14．已知f（n）=sin（nx）dx，若对于∀∈R，f（1）+f（2）+…+f（n）＜|x+3|+|x ﹣1|恒成立，则正整数n的最大值为 3 ．考点：函数恒成立问题；定积分．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：先根据定积分计算出f（n），再根据绝对值的几何意义求出|x+3|+|x﹣1|的最小值为4，继而得到n的最大值．解答：解：f（n）=sin（nx）dx=﹣cosnx=﹣（cosπ﹣cos0）=，根据绝对值的几何意义，得到|x+3|+|x﹣1|≥4，∵对于∀∈R，f（1）+f（2）+…+f（n）＜|x+3|+|x﹣1|恒成立，∴++++…+=3++++…+＜4，∴正整数n的最大值为3，故答案为：3．点评：本题考查了定积分的计算以及绝对值的几何意义，以及函数恒成立的问题，属于中档题．15．已知点A，B，C，D均在球O的球面上，AB=BC=1，AC=，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值是，则球O的表面积为π．考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：确定∠ABC=120°，S△ABC=，利用三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，可得D到平面ABC的最大距离，再利用射影定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积．解答：解：设△ABC的外接圆的半径为r，则∵AB=BC=1，AC=，∴∠ABC=120°，S△ABC=，∴2r==2∵三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，∴D到平面ABC的最大距离为，设球的半径为R，则12=×（2R﹣），∴R=，∴球O的表面积为4πR2=π．故答案为：π．点评：本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定D到平面ABC的最大距离是关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知函数f（x）=2cosxsin（x+）．（I）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，sinB=2sinA，且△ABC的面积为2，求c的值．考点：余弦定理；三角函数的周期性及其求法．专题：解三角形．分析：（I）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出ω的值，即可确定出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由f（C）=1确定出C的度数，sinB=2sinA利用正弦定理化简得到b=2a，利用三角形面积公式列出关系式，把sinC与已知面积代入求出ab的值，联立求出a与b的值，利用余弦定理求出c的值即可．解答：解：（I）f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，∵ω=2，∴f（x）的最小正周期为π；（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C+）+=1，∴sin（2C+）=，∵＜2C+＜，∴2C+=，即C=，∵sinB=2sinA，∴b=2a①，∵△ABC面积为2，∴absin=2，即ab=8②，联立①②，得：a=2，b=4，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=12，即c=2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及三角函数的周期性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x即可．（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，即可得出1200个企业中有1200×0.12个企业可以申请政策优惠．（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=．因此X～B（4，），可得分布列为P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），再利用E（X）=4×即可得出．解答：解：（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x=0.0125．（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，∴1200×0.12=144．∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠．（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=0.25=．因此X～B（4，），∴分布列为P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），∴E（X）=4×=1．点评：本题考查了频率分布直方图的有关性质、随机变量服从二项分布的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．一个楔子形状几何体的直观图如图所示，其底面ABCD为一个矩形，其中AB=6，AD=4，顶部线段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=6，二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．设M，N分别是AD，BC的中点．（I）证明：平面EFNM⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线BF与平面EFCD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）根据线面平行的性质定理推断出EF∥AB，又M，N是平行四形ABCD两边AD，BC的中点，推断出MN∥AB，进而可知EF∥MN，推断出E，F，M，N四点共面．根据FB=FC，推断出BC⊥FN，又BC⊥MN，根据线面垂直的判定定理推断出，BC⊥平面EFNM，即可证明平面EFNM⊥平面ABCD；（Ⅱ）在平面EFNM内F做MN的垂线，垂足为H，则由第（1）问可知：BC⊥平面EFNM，则平面ABCD⊥平面EFNM，进而可知FH⊥平面ABCD，又因为FN⊥BC，HN⊥BC，可知二面角F ﹣BC﹣A的平面角为∠FNH．在Rt△FNB和Rt△FNH中，分别求得FN和HN，过H做边AB，CD的垂线，垂足为S，Q，建立空间直角坐标系，由此能求出直线BF与平面EFCD所成角的正弦值．解答：（I）证明：∵EF∥平面ABCD，且EF⊂平面EFAB，又∵平面ABCD∩平面EFAB=AB，∴EF∥AB，又M，N是平行四形ABCD两边AD，BC的中点，∴MN∥AB，∴EF∥MN，∴E，F，M，N四点共面．∵FB=FC，∴BC⊥FN，又∵BC⊥AB，∴BC⊥MN，∵FN∩MN=N，∴BC⊥平面EFNM，∵BC⊂平面ABCD，∴平面EFNM⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：在平面EFNM内F做MN的垂线，垂足为H，则由第（I）问可知：BC⊥平面EFNM，则平面ABCD⊥平面EFNM，∴FH⊥平面ABCD，又∵FN⊥BC，HN⊥BC，∴二面角F﹣BC﹣A的平面角为∠FNH．在Rt△FNB和Rt△FNH中，FN=，HNHN=FNcos∠FNH=2，∴FH=8，过H做边AB，CD的垂线，垂足为S，Q，以H为坐标原点，以HS，HN，HF方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则F（0，0，8），S（2，0，0），C（﹣2，2，0），D（﹣2，﹣4，0），则=（2，2，﹣8），=（﹣2，2，﹣8），=（0，﹣6，0）设平面EFCD的一个法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（﹣4，0，1），设直线BF与平面EFCD所成角为θ，则sinθ==．点评：本题主要考查了空间点，线面的位置关系，空间的角的计算．考查学生的空间想象能力和运算能力．属于中档题．19．已知{a n}满足2na n+1=（n+1）a n（n∈N*），且a1，1，4a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n}满足b n=sin（πa n），S n为数列{b n}的前n项和，求证：对任意n∈N*，S n ＜2+π．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）2na n+1=（n+1）a n（n∈N*），当n=1时，a2=a1；当n=2时，4a3=3a2．由a1，1，4a3成等差数列，解得a1．由2na n+1=（n+1）a n，可得，利用等比数列的通项公式即可得出；（II）证明：b n=sin（πa n）=，利用当x∈时，sinx＜x，可得S n＜2+++…+，令T=++…+，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：（I）解：∵2na n+1=（n+1）a n（n∈N*），∴当n=1时，2a2=2a1，即a2=a1；当n=2时，4a3=3a2．∵a1，1，4a3成等差数列，∴2=a1+4a3，∴2=a1+3a1，解得a1=．由2na n+1=（n+1）a n，可得，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，∴a n=．（II）证明：b n=sin（πa n）=，∴S n=1+1+++…+，∵当x∈时，sinx＜x，∴S n＜2+++…+，令T=++…+，T=++…++=+﹣，化简可得：T=π﹣＜π．∴S n＜2+π．点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1．（Ⅰ）当a=﹣时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当时，，求导；从而求极值；（Ⅱ）原题意可化为当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立；设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），求导=；从而求a．解答：解：（Ⅰ）当时，，；由f′（x）＞0解得0＜x＜2，由f′（x）＜0解得x＞2；故当0＜x＜2时，f（x）单调递增；当x＞2时，f（x）单调递减；所以当x=2时，函数f（x）取得极大值；（Ⅱ）因f（x）图象上的点在所表示的平面区域内，即当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立；设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），只需g（x）max≤0即可；由=；（ⅰ）当a=0时，，当x＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立；（ⅱ）当a＞0时，由，令g′（x）=0，得x1=1或；①若，即时，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增函数，g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；②若，即时，函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增，同样g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；（ⅲ）当a＜0时，由，因为x∈（1，+∞），故g′（x）＜0；则函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立．综上，数a的取值范围是a≤0．点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由条件利用椭圆的性质求得 b和a的值，可得椭圆C的方程．（Ⅱ）（i）设AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简，由△＞0，求得t的范围，再利用利用韦达定理可得 x1+x2以及x1+x2的值．再求得P、Q的坐标，根据四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|，计算求得结果．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简求得x2+2=．再把直线PB的方程椭圆C的方程化简求得x2+2 的值，可得 x1+x2以及x1﹣x2的值，从而求得AB的斜率K的值．解答：解：设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（0，），∴b=．再根据离心率===，求得a=2，∴椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）（i）设A（ x1，y1），B（ x2，y2），AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简可得 x2+2tx+2t2﹣4=0，由△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，求得﹣2＜t＜2．利用韦达定理可得 x1+x2=﹣2t，x1+x2=2t2﹣4．在+=1中，令x=2求得P（2，1），Q（2，﹣1），∴四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|===，故当t=0时，四边形APBQ的面积S取得最小值为4．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，设PA的斜率为k，则 PB的斜率为﹣k，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简可得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣8=0，∴x2+2=．同理可得直线PB的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2），x2+2=，∴x1+x2=，x1﹣x2=，∴AB的斜率K======．点评：本题主要考查求圆锥曲线的标准方程，圆锥曲线的定义、性质的应用，直线和圆锥曲线相交的性质，直线的斜率公式、韦达定理的应用，属于难题．。

高考中档题训练(一)1.(2014嘉兴二模)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且=.(1)若C=π,求角B的大小;(2)若b=2,≤C<,求△ABC面积的最小值.解:(1)由正弦定理,得==,则sin B=sin 2C=sin π=.故B=(B=舍去).(2)由(1)中sin B=sin 2C,可得B=2C或B+2C=π.又B=2C时,≤C<,B≥π,即B+C≥π,不符合题意.所以B+2C=π,π-A-C+2C=π,即A=C.设△ABC的边AC上的高为h,则S△ABC=hb=tan C≥,即当C=时,S△ABC的最小值是.2.(2014浙江省“六市六校”联考)已知等差数列{an}的公差不为零,其前n项和为Sn ,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列,(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{}的前n项和为Tn ,求证:≤Tn<.解:(1)设等差数列公差为d(d≠0), 由题知即解得a1=6,d=4或a1=14,d=0(舍去),所以数列的通项公式为an=4n+2.(2)由(1)得Sn=2n2+4n,则==(-),则Tn=(1-+-+-+…+-+-)=(1+--)=-(+),由(+)>0可知-(+)<,即Tn<,由Tn+1-Tn=(-)>0可知{Tn}是递增数列,则Tn≥T1=,可证得:≤Tn<.3.(2014浙江建人高复模拟)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD ∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(1)求证:平面PQB⊥平面PAD;(2)若二面角M BQ C为30°,设=t,试确定t的值.(1)证明:法一∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BQ⊥平面PAD.∵BQ⊂平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.法二∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°.∵ PA=PD,∴PQ⊥AD.∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ.∵ AD⊂平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.(2)解:∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.则平面BQC的一个法向量为n=(0,0,1);Q(0,0,0),P(0,0,),B(0,,0),C(-1,,0). 设M(x,y,z),则=(x,y,z-),=(-1-x,-y,-z),∵=t,∴∴在平面MBQ中,=(0,,0),=(-,,),∴平面MBQ的一个法向量为m=(,0,t).∵二面角M BQ C为30°,∴cos 30°===,∴t=3.高考中档题训练(二)1.(2014嘉兴一模)设数列{an }的前n项和为Sn,4Sn=+2an-3,且a1,a2,a3,a4,…,a11成等比数列,当n≥11时,an>0.(1)求证:当n≥11时,{an}成等差数列;(2)求{an }的前n项和Sn.(1)证明:由4Sn =+2an-3,4Sn+1=+2an+1-3,得4an+1=-+2an+1-2an,(an+1+an)(an+1-an-2)=0,当n≥11时,an >0,所以an+1-an=2,所以当n≥11时,{an}成等差数列.(2)解:由4a1=+2a1-3,得a1=3或a1=-1,又a1,a2,a3,a4,…,a11成等比数列,所以an+1+an=0(n≤10),q=-1,而a11>0,所以a1>0,从而a1=3.当1≤n≤10时,Sn==[1-(-1)n],当n≥11时,a11,a12,…,an成等差数列首项a11=3,公差d=2,于是Sn =S10+a11+…+an==n2-18n+80.所以Sn=2.(2013高考江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1260 m,经测量,cos A=,cosC=.(1)求索道AB的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=³+³=.由正弦定理=,得AB=²sin C=³=1040(m).所以索道AB的长为1040 m.(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2³130t³(100+50t)³=200(37t2-70t+50).由于0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理=,得BC=²sin A=³=500(m).乙从B出发时,甲已走了50³(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在[,](单位:m/min)范围内.3.(2013高考北京卷)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA 1⊥平面ABC;(2)求二面角A 1BC 1B 1的余弦值;(3)证明:在线段BC 1上存在点D,使得AD ⊥A 1B.并求的值.(1)证明:因为AA 1C 1C 为正方形, 所以AA 1⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC, 所以AA 1⊥平面ABC.(2)解:由(1)知AA 1⊥AC, AA 1⊥AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4, 所以AB ⊥AC.如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz, 则B(0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4). 设平面A 1BC 1的法向量为n=(x,y,z), 则即令z=3,则x=0,y=4,所以n=(0,4,3).同理可得,平面B 1BC 1的一个法向量为m=(3,4,0). 所以cos<n,m>==.由题知二面角A 1BC 1B 1为锐角, 所以二面角A 1BC 1B 1的余弦值为. (3)证明:设D(x 1,y 1,z 1)是线段BC 1上一点, 且=λ.所以(x 1,y 1-3,z 1)=λ(4,-3,4).解得x1=4λ,y1=3-3λ,z1=4λ.所以=(4λ,3-3λ,4λ). 由²=0,得9-25λ=0, 解得λ=.因为∈[0,1],所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.此时,=λ=.高考中档题训练(三) 1.已知函数f(x)=4cos xsin(x+)-1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值. 解:(1)∵f(x)=4cos xsin(x+)-1=4cos x(sin x+cos x)-1=sin 2x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),∴f(x)的最小正周期为π.(2)∵-≤x≤,∴-≤2x+≤.∴当2x+=时,即x=时,f(x)取得最大值2,当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-1.2.围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).(1)将y表示为x的函数;(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.解:(1)如图,设矩形的另一边长为a m,则y=45x+180(x-2)+180²2a=225x+360a-360.由已知xa=360,得a=,∴y=225x+-360(x>0).(2)∵x>0,∴225x+≥2=10800.∴y=225x+-360≥10440.当且仅当225x=时,等号成立.即当x=24 m时,修建围墙的总费用最小.最小总费用是10440元.3.(2014温州期末)如图,四边形ABCD为矩形,∠AEB=,BC⊥平面ABE,BF⊥CE,垂足为F.(1)求证:BF⊥平面AEC;(2)已知AB=2BC=2BE=2,在线段DE上是否存在一点 P,使二面角P AC E为直二面角,如果存在,请确定P点的位置,如果不存在,请说明理由.解:以A为原点,AB为y轴,AD为z轴,建立直角坐标系.则A(0,0,0),B(0,2,0),C(0,2,1),D(0,0,1),E(,,0),F(,,),(1)∵=(,-,),=(0,2,1),=(,,0),∴²=0,²=0,所以BF⊥平面AEC.(2)设=t(0≤t≤1),∴=+t=(0,0,1)+t(,,-1)=(t,t,1-t),设平面APC的法向量为n=(x,y,z),∵=(0,2,1),∴令y=1,则z=-2,x=,而平面AEC的一个法向量是=(,-,),∴²--1=0,解得t=,所以存在点P,且DP=DE.高考中档题训练(四)1.(2014温州一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B+bcos A=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,b=1,求△ABC的面积.解:(1)由asin B+bcos A=0得sin Asin B+sin Bcos A=0,tan A=-1,A=.(2)由=得=,sin B=,B=,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=³+³=,S △ABC =absin C=³³1³=.2.(2013江西南昌二模)如表所示是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a 1,1=1,a 2,3=6,a 3,2=8.a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 … a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 … a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 … a 4,1 a 4,2 a 4,3 a 4,4 … … … … … … (1)求数列{a n,2}的通项公式; (2)设b n =+(-1)n a 1,n (n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .解:(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0),则a 2,3=qa 1,3=q(1+2d)⇒q(1+2d)=6, a 3,2=q 2a 1,2=q 2(1+d)⇒q 2(1+d)=8,解得d=1,q=2,所以a 1,2=2,a n,2=2³2n-1=2n . (2)由(1)得a 1,n =n,所以b n =+(-1)n n,S n =(+++…+)+[-1+2-3+…+(-1)n n],记T n =+++…+,则T n =+++…+,两式相减得,T=+++…+-n=1-,=2-,所以Tn=+2-,所以n为偶数时,Sn=-+2-.n为奇数时,Sn3.(2013高考广东卷)如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图②所示的四棱锥A′BCDE,其中A′O=.(1)证明:A′O⊥平面BCDE;(2)求二面角A′CD B的平面角的余弦值.解:(1)由题意,易得OC=3,AC=3,AD=2.连接OD,OE.在△OCD中,由余弦定理可得OD==.由翻折不变性可知A′D=2,所以A′O2+OD2=A′D2,所以A′O⊥OD.同理可证A′O⊥OE,又OD∩OE=O,所以A′O⊥平面BCDE.(2)法一(传统法)过O作OH⊥CD交CD的延长线于H,连接A′H,如图.因为A′O⊥平面BCDE,所以A′H⊥CD,所以∠A′HO为二面角A′CD B的平面角.结合OC=3,∠BCD=45°,得OH=,从而A′H==.所以cos∠A′HO==,所以二面角A′CD B的平面角的余弦值为.法二(向量法)以O点为原点,建立空间直角坐标系O xyz,如图所示,则A′(0,0,),C(0,-3,0),D(1,-2,0),所以=(0,3,),=(-1,2,).设n=(x,y,z)为平面A′CD的一个法向量,则即解得令x=1,得n=(1,-1,),即n=(1,-1,)为平面A′CD的一个法向量.由(1)知=(0,0,)为平面CDB的一个法向量,所以cos<n,>===,即二面角A′CD B的平面角的余弦值为.高考中档题训练(五)1.(2014嘉兴一模)已知函数f(x)=2sin(x+)cos x.(1)若x∈[0,],求f(x)的取值范围;(2)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知A为锐角,f(A)=,b=2,c=3,求cos (A-B)的值.解:(1)f(x)=(sin x+cos x)cos x=sin xcos x+cos2x=sin 2x+cos 2x+=sin(2x+)+,∵x∈[0,],∴2x+∈[,],-≤sin(2x+)≤1.∴f(x)∈[0,1+].(2)由f(A)=sin(2A+)+=,得sin(2A+)=0,又A为锐角,所以A=,又b=2,c=3,所以a2=4+9-2³2³3³cos =7,a=.由=,得sin B=,又b<a,从而B<A,cos B=.所以,cos (A-B)=cos Acos B+sin Asin B=³+³=.2.如图,长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|³S成正比,比例系数为;②其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时,(1)写出y的表达式;(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y 最少.解:(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+,故y=(|v-c|+)=(3|v-c|+10).(2)由(1)知,当0<v≤c时,y=(3c-3v+10)=-15;当c<v≤10时,y=(3v-3c+10)=+15.故y=①当0<c≤时,y是关于v的减函数,=20-.故当v=10时,ymin②当<c≤5时,在(0,c]上,y是关于v的减函数,在(c,10]上,y是关于v的增函数.=.故当v=c时,ymin3.(2014杭州外国语学校)在如图所示的几何体中,△ABC是边长为2的正三角形,AE>1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC, BD=CD,且BD⊥CD.(1)若AE=2,求证:AC∥平面BDE;(2)若二面角A DE B为60°,求AE的长.(1)证明:分别取BC,BA,BE的中点M,F,P,连接DM,MF,FP,DP,则MF∥AC,FP∥AE,且FP=AE=1,因为BD=CD,BD⊥CD,BC=2,M为BC的中点,所以DM⊥BC,DM=1.又因为平面BCD⊥平面ABC,所以DM⊥平面ABC.又AE⊥平面ABC,所以DM∥AE,所以DM∥FP,且DM=FP,因此四边形DMFP为平行四边形,所以MF∥DP,所以AC∥DP.又AC⊄平面BDE,DP⊂平面BDE,所以AC∥平面BDE.(2)解:法一取BC中点M,过M作MN⊥ED,交ED的延长线于N,连接BN,AM,DM,因为BC⊥AM,BC⊥DM,所以BC⊥平面DMAE,因为ED⊂平面DMAE,所以BC⊥ED.所以ED⊥平面BMN,又BN⊂平面BMN,所以ED⊥BN.所以∠MNB为二面角A ED B的平面角,即∠MNB=60°,在Rt△BMN中,BM=1,则MN=,BN=.在Rt△MND中,DN=.设AE=h+1,则DE=,所以NE=+,又BE=,在Rt△BNE 中,BE2=BN2+NE2,即(h+1)2+22=()2+(+)2,解得h=,所以AE=+1.法二由(1)知DM⊥平面ABC,AM⊥MB,建立如图所示的空间直角坐标系M xyz.设AE=h,则M(0,0,0),B(1,0,0),D(0,0,1),A(0,,0),E(0,,h), =(-1,0,1),=(-1,,h),设平面BDE的法向量n1=(x,y,z),则所以令x=1,所以n1=(1,,1).又平面ADE的法向量n2=(1,0,0),所以cos<n1,n2>===. 解得h=+1, 即AE=+1.高考压轴题训练(一)1.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元.(1)用d 表示a 1,a 2,并写出a n+1与a n 的关系式;(2)若公司希望经过m(m ≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示).解:(1)由题意得a 1=2000(1+50%)-d=3000-d, a 2=a 1(1+50%)-d=a 1-d=4500-d.a n+1=a n (1+50%)-d=a n -d.(2)由(1)得a n =a n-1-d=(a n-2-d)-d=()2a n-2-d-d=…=()n-1a 1-d[1++()2+…+()n-2].整理得a n =()n-1(3000-d)-2d[()n-1-1]=()n-1(3000-3d)+2d. 由题意,知a m =4000, 即()m-1(3000-3d)+2d=4000,解得d==.故该企业每年上缴资金d的值为时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元.2.(2014宁波二模)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的离心率为,其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的距离是3.两条直线l1,l2交于点F,其斜率k1,k2满足k1k2=-.设l1交椭圆Γ于A、C两点,l交椭圆Γ于B、D两点.2(1)求椭圆Γ的方程;的函数表达式,并求四边形ABCD的面积S的最(2)写出线段AC的长|AC|关于k1大值.解:(1)设右焦点F(c,0)(其中c=),依题意=,a+c=3,所以a=2,c=1.所以b==,故椭圆Γ的方程是+=1.(2)由(1)知,F(1,0).将通过焦点F的直线方程y=k(x-1)代入椭圆Γ的方程+=1,可得(3+4k2)x2-8k2x+(4k2-12)=0,其判别式Δ=(8k2)2-16(k2-3)(3+4k2)=144(k2+1).特别地,对于直线l1,若设A(x1,y1),C(x2,y2),则|AC|==|x1-x2|=² ,k 1∈R且k1≠0.又设B(x3,y3),D(x4,y4),由于B、D位于直线l1的异侧,所以k1(x3-1)-y3与k1(x4-1)-y4异号.因此B、D到直线l1的距离之和d=+===²|x3-x4|=².综合可得,四边形ABCD的面积S=|AC|²d=.因为k1k2=-,所以t=+≥2|k1k2|=,于是S=f(t) ==6=6当t∈[,+∞)时,f(t)单调递减,所以当t=,即或时,四边形ABCD的面积取得最大值.高考压轴题训练(二)1.设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.解:(1)因为f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,即a<0.由a2≥1知a≤-1,因此,a的取值范围为(-∞,-1].(2)记f(x)的最小值为g(a),则有f(x)=2x2+(x-a)|x-a|=错误！未找到引用源。

提能专训(八) 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2014·贵阳适应性考试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6[答案] A[解析] 由题中图象可知A ＝1，且14T ＝14×2πω＝7π12－π3＝π4，解得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．把⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入，得－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ.∵|φ|<π2，∴7π6＋φ＝3π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故选A. 2．(2014·武汉调研)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6 D ．4，π3 [答案] A[解析] 由图知34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，T ＝π，则ω＝2πT ＝2.注意到函数f (x )在x ＝5π12时取到最大值，则有2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，而－π2<φ<π2，故φ＝－π3，故选A.3．(2014·郑州第一次质量预测)设函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( ) A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数[答案] B[解析] f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ，∵图象关于x ＝0对称，∴π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝π3＋k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2cos 2x .其最小正周期T ＝2π2＝π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，故选B.4．(2014·驻马店高三模拟)如图所示为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f (－1)＝( )A ．2 B. 3 C ．－ 3 D ．－2 [答案] A[解析] 由A ，B 两点之间的距离为5可知，A ，B 两点横坐标差的绝对值为3，所以该函数的周期T ＝6，得ω＝π3.因为图象过点(0,1)，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×0＋φ＝12，又因为点(0,1)在函数图象的递减区间上，得φ＝2k π＋5π6(k ∈Z )，又因为0≤φ≤π，解得φ＝5π6，故f (－1)＝2，故选A.5．函数f (x )＝x ＋cos xx 的图象为()[答案] A[解析] 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故可排除D ； 因为f (－x )＝(－x )＋cos (－x )(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋cos x x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，故可排除B ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2＋cos π2π2＝π2>0，故排除C.故选A.6．(2014·东北三省二联)函数h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与函数f (x )的图象关于点(0,1)对称，则函数f (x )可由h (x )经过________的变换得到．( )A ．向上平移2个单位，向右平移π4个单位B ．向上平移2个单位，向左平移π4个单位 C ．向下平移2个单位，向右平移π4个单位 D ．向下平移2个单位，向左平移π4个单位 [答案] A[解析] 求出f (x )后利用图象变换法则求解．因为函数h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与函数f (x )的图象关于点(0,1)对称，所以f (x )＝2－h (－x )＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋2，函数f (x )可由h (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8向上平移2个单位，向右平移π4个单位得到，故选A.7．(2014·北京顺义一模)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x ，其中x ∈R ，给出下列四个结论：①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数；②函数f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝2π3；③函数f (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0；④函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .则正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 由已知，得f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3－cos 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，不是奇函数，故①错；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝1，故②正确；当x ＝5π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝－sin π＝0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3，故选C.8．(2014·肇庆一模)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫12，4，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ→＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是( ) A ．4 B ．2C ．2 2D ．2 3 [答案] A[解析] 由题意，设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，点Q 的坐标为(x ，y )，则OQ→＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y ) ＝⎝⎛⎭⎪⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝⎛⎭⎪⎫π6，0⇒(x ，y ) ＝12x 0＋π6，4cos x 0⇒⎩⎨⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎩⎨⎧x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，0≤2x －π3≤π3⇒12 ≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是4.故选A.9．(2014·忻州联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( )A.π3 B .2π3 C.4π3 D.π3或π3 [答案] D[解析] 要使方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解，只需函数y ＝f (x )与函数y ＝m 的图象在区间[0，π]上有两个不同的交点，由图象知，两个交点关于直线x ＝π6或关于x ＝2π3对称，因此x 1＋x 2＝2×π6＝π3或x 1＋x 2＝2×2π3＝4π3，故选D.10．(2014·洛阳统考)已知f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>0，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) [答案] B[解析] f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝b a .∵f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x ＝π6是函数f (x )的图象的一条对称轴，即π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>0，∴φ的取值可以是－5π6，∴f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6，由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，故选B.11．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2] [答案] A[解析] f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π4，令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω(k ∈Z )．由题意，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎪⎨⎪⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z )．由4k ＋12<2k ＋54，解得k <38. ω>0，可知k ≥0，所以k ＝0，故ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54，故选A.12．已知f (x )＝2sin ωx (cos ωx ＋sin ωx )的图象在x ∈[0,1]上恰有一个对称轴和一个对称中心，则实数ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，5π8B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π8，5π8 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤3π8，5π8 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，5π8 [答案] B[解析] 因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4＋1，设g (x )＝2ωx －π4，因为g (0)＝－π4，g (1)＝2ω－π4，所以π2≤2ω－π4<π，解得3π8≤ω<5π8，故实数ω的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π8，5π8，故选B.二、填空题13．(2014·上海十三校二联)若关于x 的方程sin 2x ＋cos 2x ＝k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实数解，则k 的取值范围为________．[答案] [1，2)[解析] 原方程可变形为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝k 2，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4，易知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减，又f (0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，∴方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝k 2，当f (0)≤k 2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，即1≤k <2时，有两个不同交点．14．(2014·广东六校联考)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，将函数f (x )的图象向左平移π12个单位后得到函数g (x )的图象，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则φ＝________.[答案] 2π3[解析] ∵f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ ＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ ＝12sin 2x sin φ＋12cos 2x cos φ ＝12cos(2x －φ)，∴g (x )＝12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－φ ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－φ. ∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12， ∴2×π4＋π6－φ＝2k π(k ∈Z )， 即φ＝2π3－2k π(k ∈Z )． ∵0<φ<π，∴φ＝2π3.15．函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x cos 2x 2＋sin x cos 2x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于________．[答案] π6[解析] 因为f (x )＝12sin x cos 2x ＋12sin 2x cos x ＝12|sin 3x |，最小正周期T ＝12×2π3＝π3，所以图象的相邻两条对称轴之间的距离等于12T ＝π6.16．(2014·辽宁三校联考)已知函数f (x )＝|cos x |sin x ，给出下列五个说法：①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 014π3＝－34； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增；④函数f (x )的周期为π；⑤f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0成中心对称．其中正确说法的序号是________． [答案] ①③ [解析] ①f ⎝⎛⎭⎪⎫2 014π3＝f ⎝⎛⎭⎪⎫671π＋π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫671π＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫671π＋π3 ＝cos π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3＝－34，正确．②令x 1＝－π4，x 2＝5π4，则|f (x 1)|＝|f (x 2)|，但x 1－x 2＝－6π4＝－3π2，不满足x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )，不正确．③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12sin 2x ，2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，－12sin 2x ，2k π＋π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增，正确．④f (x )的周期为2π，不正确． ⑤∵f (－π＋x )＝－|cos x |sin x ， f (－x )＝－|cos x |sin x ， ∴f (－π＋x )＋f (－x )≠0，∴f (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0成中心对称，∴不正确．综上可知，正确说法的序号是①③.三、解答题17．(2014·绵阳诊断)已知向量a ＝(sin x,2cos x )，b ＝(2sin x ，sin x )，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝a ·b ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝2×1－cos 2x2＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )．(2)由题意，g (x )＝2sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π4＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋1，由π12≤x ≤7π12，得π4≤2x ＋π12≤5π4， ∴0≤g (x )≤2＋1，即g (x )的最大值为2＋1，最小值为0. 18．(2014·北京海淀区期末)函数f (x )＝cos 2xsin x ＋cos x＋2sin x .(1)在△ABC 中，cos A ＝－35，求f (A )的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程．解：(1)由sin x ＋cos x ≠0，得 x ≠k π－π4，k ∈Z . f (x )＝cos 2xsin x ＋cos x ＋2sin x＝cos 2x －sin 2x sin x ＋cos x ＋2sin x ＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，在△ABC 中，cos A ＝－35<0， 所以π2<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以f (A )＝sin A ＋cos A ＝45－35＝15. (2)由(1)，可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π.因为函数y ＝sin x 图象的对称轴为x ＝k π＋π2，k ∈Z ， 又由x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π4，k ∈Z ， 所以f (x )图象的所有对称轴的方程为x ＝k π＋π4，k ∈Z .19．(2014·广东七校联考)设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，x ∈R .(1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应的x 的取值集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解：(1)f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＝sin ωx －cos ωx .当ω＝12时，f (x )＝sin x 2－cos x2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，而－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4≤1，所以f (x )的最大值为2，此时x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z ， 相应的x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3π2＋4k π，k ∈Z . (2)依题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8－π4＝0，即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ， 整理，得ω＝8k ＋2，又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k <1， 而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π.20．(2014·日照联考)某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .A 为上半圆弧上一点，过A 作l 的垂线，垂足为B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．(1)将S 表示为θ的函数；(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求出最大面积． 解：(1)如图，BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)． 则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ) ＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)． (2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)， 此时θ＝π3.当θ变化时，S ′，S 的变化情况如下表：所以，当θ＝π3时，S 取得最大值S max ＝3 7503m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.。

提能专训(十) 等差与等比数列一、选择题1．(2014·武威凉州区一诊)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝( )A ．54B ．48C ．32D ．16 [答案] D[解析] 解法一：由等比数列的性质，知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，S 20－S 15仍成等比数列，∴2,4,8,16，故选D.解法二：∵S 5＝a 1(1－q 5)1－q ，S 10＝a 1(1－q 10)1－q ，∴S 10S 5＝1＋q 5＝3，q 5＝2.∴a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝q 15(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝23·S 5＝8×2＝16，故选D.2．(2014·广西四市联考)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ，若a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29 [答案] C[解析] 由⎩⎨⎧a 2a 3＝2a 1，a 4＋2a 7＝52，得⎩⎨⎧a 1q 3＝2，a 1q 6＝14， ∴q 3＝18，q ＝12.∴a 1＝16.∴S 5＝16×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝31，故选C.3．(2014·南阳三次联考)等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66 [答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝13，a 6＝9.∴a 4＋a 6＝22. ∴S 9＝a 1＋a 92×9＝a 4＋a 62×9＝99，故选C.4．(2014·郑州质检)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 12等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8[答案] C[解析] ∵a 4－2a 27＋3a 8＝0，∴2a 27＝a 4＋3a 8＝a 7－3d ＋3(a 7＋d )＝4a 7，∴a 7＝2，∴b 7＝2.∴b 2b 12＝b 27＝4，故选C.5．(2014·陕西质检三)已知a ，b ，c 是三个不同的实数．若a ，b ，c 成等差数列，且b ，a ，c 成等比数列，则a ∶b ∶c ＝( )A ．2∶1∶4B ．(－2)∶1∶4C ．1∶2∶4D ．1∶(－2)∶4[解析] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，a 2＝bc ，检验各选项，可知B 正确．6．(2014·合肥二检)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 014＝( )A.16 B ．－16 C ．6 D ．－6[答案] D[解析] 由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，得a n ＋1＝1＋a n1－a n，因为a 1＝2，所以a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，由a 5＝a 1，得数列{a n }的周期为4，因为a 1·a 2·a 3·a 4＝1，所以T 2 014＝T 503×4＋2＝T 2＝a 1·a 2＝－6，故选D.7．(2014·合肥一中、安师大附中等六校素质测试)在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝( )A.56B.65C.23D.32 [答案] D[解析] 由题意可知，a 4·a 6＝6，且a 4＋a 6＝5，解得a 4＝3，a 6＝2，所以a 4a 6＝a 5a 7＝32，故选D.8．(2014·洛阳统考)已知数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 6＝5，数列{b n }是等比数列，且b 5＝a 2＋5a 5，则b 2b 8＝( )A ．1B ．5C ．10D ．15[解析] 由等差数列的通项公式知，a 3＋a 6＝2a 1＋7d (其中d 为等差数列{a n }的公差)，由等比数列的性质知，b 2b 8＝b 25＝a 2＋5a 5＝6a 1＋21d ＝3(2a 1＋7d )＝3(a 3＋a 6)＝15，故选D.9．(2014·合肥第一次质量检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，a 5＝4－a 3，则S 7＝( )A ．7B ．12C ．14D ．21 [答案] C[解析] 因为a n ＋2＝2a n ＋1－a n ⇔a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }是等差数列，因为a 5＝4－a 3，所以a 3＋a 5＝4，所以S 7＝(a 1＋a 7)×72＝(a 3＋a 5)×72＝14，故选C. 10．(2014·安徽六校联考)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11[答案] B[解析] 设{b n }的公差为d ，∵b 10－b 3＝7d ＝12－(－2)＝14，∴d ＝2. ∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6. ∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62·d ＝7×(－6)＋21×2＝0.又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3＝0，∴a 8＝3.故选B.11．(2014·辽宁五校联考)设函数f (x )＝e x (sin x －cos x )(0≤x ≤2 012π)，则函数f (x )的各极小值之和为( )A ．－e 2π(1－e 2 012π)1－e 2πB ．－e 2π(1－e 1 006π)1－e πC ．－e 2π(1－e 1 006π)1－e 2πD ．－e 2π(1－e 2 010π)1－e 2π[答案] D[解析] f ′(x )＝(e x )′(sin x －cos x )＋e x (sin x －cos x )′＝2e x sin x ，若f ′(x )<0，则x ∈(π＋2k π，2π＋2k π)，k ∈Z ；若f ′(x )>0，则x ∈(2k π，π＋2k π)，k ∈Z .所以当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，f (x )取得极小值，其极小值为f (2π＋2k π)＝e 2k π＋2π[sin(2π＋2k π)－cos(2π＋2k π)]＝e 2k π＋2π×(0－1)＝－e 2k π＋2π，k ∈Z .因为0≤x ≤2 012π，又在两个端点的函数值不是极小值，所以k ∈[0，1 004]，所以函数f (x )的各极小值构成以－e 2π为首项，以e 2π为公比的等比数列，共有1 005项，故函数f (x )的各极小值之和为S 1 005＝－e 2π－e 4π－…－e 2 010π＝－e 2π(1－e 2 010π)1－e 2π，故选D.12．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 2 0122 012－S 1010＝2 002，则S 2 014的值等于( )A ．2 011B ．－2 012C ．2 014D ．－2 013 [答案] C[解析] 等差数列中，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n n ＝a 1＋(n －1)d2，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为a 1＝－2 012，公差为d 2的等差数列．因为S 2 0122 012－S 1010＝2 002，所以(2 012－10)·d 2＝2 002，d2＝1，所以S 2 014＝2 014×[(－2 012)＋(2 014－1)×1]＝2 014，故选C.二、填空题13．(2014·浙江名校联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．[答案] 13[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 1,2S 2,3S 3成等差数列，得4S 2＝S 1＋3S 3，∴4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3a 1＋3a 1q ＋3a 1q 2，解之，得q ＝13(q ＝0舍去)．14．(2014·衡水中学二调)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8·a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.[答案] －53[解析] ∵1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，而a 8a 9＝a 7a 10，∴1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9 ＝158－98＝－53. 15．(2014·上海静安区一模)已知数列{a n }(n ∈N *)的公差为3，从{a n }中取出部分项(不改变顺序)a 1，a 4，a 10，…组成等比数列，则该等比数列的公比是________．[答案] 2[解析] a 4＝a 1＋3d ＝a 1＋9，a 10＝a 1＋9d ＝a 1＋27，由a 24＝a 1a 10，得(a 1＋9)2＝a 1(a 1＋27)，解得a 1＝9.从而得公比q ＝a 4a 1＝a 1＋9a 1＝189＝2.16．(2014·北京顺义一模)设等差数列{a n }满足公差d ∈N *，a n ∈N *，且数列{a n }中任意两项之和也是该数列的一项．若a 1＝35，则d 的所有可能取值之和为________．[答案] 364[解析] 设a n ，a m (m ≠n )是等差数列{a n }中的任意两项，由已知，得a n ＝35＋(n －1)d ，a m ＝35＋(m －1)d ，则a m ＋a n ＝2×35＋(m ＋n －2)d ，设a m ＋a n 是数列{a n }中的第k 项，则有a m ＋a n ＝35＋(k －1)d ，即2×35＋(m ＋n －2)d ＝35＋(k －1)d ，d ＝35k ＋1－(m ＋n )，d ∈N *，m ，n ，k ∈N *，所以k ＋1－(m ＋n )＝35,34,33,32,31,30，则d 的所有可能取值为1,3,32,33,34,35，其和为1－361－3＝364.三、解答题17．(2014·浙江名校联考)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝a 1且b n ＝a n ＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 6＝55，a 3＋a 6＝a 2＋a 7＝16.∵公差d >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11，∴d ＝2，a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝a n ＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)， ∴b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)．∵b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1(n ≥2，n ∈N *)，且b 1＝a 1＝1，∴b n ＝2n －1＋2n －3＋…＋3＋1＝n 2(n ≥2，n ∈N *)． ∴b n ＝n 2(n ∈N *)．18．(2014·西安八校联考)在各项均为正数的等差数列{a n }中，对任意的n ∈N *都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝12a n a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)设数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1－b n ＝2a n ，求证：对任意的n ∈N *都有b n b n ＋2<b 2n ＋1.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 令n ＝1，得a 1＝12a 1a 2.由a 1>0，得a 2＝2. 令n ＝2，得a 1＋a 2＝12a 2a 3， 即a 1＋2＝a 1＋2d ，得d ＝1.从而a 1＝a 2－d ＝1.故a n ＝1＋(n －1)·1＝n . (2)证明：因为a n ＝n ，所以b n ＋1－b n ＝2n ，所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1 ＝2n －1.又b n b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝－2n <0， 所以b n b n ＋2<b 2n ＋1.19．(2014·陕西质检)在等比数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋1＝a n ＋2n .(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)数列{a n }中是否存在这样的两项a p ，a q (p <q )，使得a p ＋a q ＝2 014？若存在，求符合条件的所有的p ，q ；若不存在，请说明理由．解：(1)a 2＝a 1＋21， a 3＝a 2＋22， …a n ＝a n －1＋2n －1(n ≥2)． 各式相加，可得a n ＝a 1＋21＋22＋…＋2n －1＝2＋(1－2n －1)×21－2＝2n (n ≥2)．又a 1＝2＝21， ∴a n ＝2n .(2)假设存在这样的两项a p ，a q (p <q )满足条件，则当q >p ≥2时，a p ＋a q ＝2p ＋2q ＝2p (1＋2q －p )是4的倍数，但2 014不是4的倍数．当p ＝1时，2 014＝a p ＋a q ＝21＋2q ，故2q ＝2 012. ∵不存在正整数q 使2q ＝2 012， ∴不存在满足条件的p ，q .20．(2014·武汉武昌区调研)在公差不为零的等差数列{a n }中，已知a 1＝1，且a 1，a 2，a 5依次成等比数列．数列{b n }满足b n ＋1＝2b n －1，且b 1＝3.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ·a n ＋1的前n 项和为S n ，试比较S n 与1－1b n 的大小． 解：(1)因为a 1＝1，且a 1，a 2，a 5依次成等比数列，所以a 22＝a 1·a 5，即(1＋d )2＝1·(1＋4d )，所以d 2－2d ＝0，解得d ＝2(d ＝0不合要求，舍去)， 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.因为b n ＋1＝2b n －1，所以b n ＋1－1＝2(b n －1)，所以{b n －1}是首项为b 1－1＝2，公比为2的等比数列． 所以b n －1＝2×2n －1＝2n . 所以b n ＝2n ＋1.(2)因为2a n ·a n ＋1＝2(2n －1)(2n ＋1)＝12n －1－12n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1， 于是S n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1b n ＝1－12n ＋1－1＋12n ＋1＝12n ＋1－12n ＋1＝2n －2n(2n ＋1)(2n ＋1).所以，当n ＝1,2时，2n ＝2n，S n ＝1－1b n；当n ≥3时，2n <2n，S n <1－1b n.。

【成才之路】2015届高考数学二轮复习 专题2 第1讲 三角函数的概念、图象与性质素能训练（文、理）一、选择题1．(2013·北京海淀期中)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(π2，π)上为减函数的是( )A ．y ＝sin2xB ．y ＝2|cos x |C ．y ＝cos x2D ．y ＝tan(－x )[答案] D[解析] 逐个判断，用排除法．y ＝cos x2的最小正周期为4π，故C 排除；函数y ＝sin2x在区间(π2，π)上不具有单调性，故A 排除；函数y ＝2|cos x |在区间(π2，π)上是增函数，故B 排除；D 正确．2．如果sin α＝45，那么sin(α＋π4)－22cos α等于( )A.225 B ．－225C.425D ．－425[答案] A[解析] sin(α＋π4)－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225.3．(文)(2014·唐山市二模)已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A.22 B. 2 C ．－22D ．－ 2[答案] A[解析] ∵sin α＋2cos α＝3， ∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3，∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3， ∴tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3，∴2tan 2α－22tan α＋1＝0，∴tan α＝22. (理)(2013·浙江理，6)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43[答案] C[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系． 将sin α＋2cos α＝102两边平方可得， sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，∴4sin αcos α＋3cos 2α＝32.将左边分子分母同除以cos 2α得，3＋4tan α1＋tan 2α＝32，解得tan α＝3或tan α＝－13， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 4．(文)(2014·浙江理，4)为了得到函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图像，可以将函数y ＝2sin3x 的图像( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位[答案] D[解析] 本题考查三角函数图象变换．y ＝sin3x ＋cos3x ＝2sin(3x ＋π4)，只需将函数y ＝2sin3x 的图象向左平移π12个单位，选D. (理)(2014·福建文，7)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(－π2，0)对称 [答案] D[解析] 本题考查了正弦函数图象平移变换、余弦函数图象性质．平移后图象对应函数为y ＝sin(x ＋π2)，即y ＝cos x ，则由y ＝cos x 图象性质知D 正确．5．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )A ．f (x )既是偶函数又是周期函数B ．f (x )最大值是1C ．f (x )的图像关于点(π2，0)对称D ．f (x )的图像关于直线x ＝π对称 [答案] B[解析] f (－x )＝cos(－x )sin 2(－x )＝cos x sin 2x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数．f (x ＋2π)＝cos(x ＋2π)sin 2(x ＋2π)＝cos x sin 2x ，∴2π是f (x )一个周期，故A 选项正确．f (x )＝cos x sin 2x ＝－cos 3x ＋cos x ，令t ＝cos x 则t ∈[－1,1]，g (t )＝－t 3＋t ，g ′(t )＝－3t 2＋1令g ′(t )＝0，则t ＝±33，易知f (x )在区间[－1，－33)上单调递减，在(－33，33)上单调递增，在(33，1]上单调递减，g (－1)＝0，g (33)＝239， ∴g (t )max ＝239≠1，故B 项错误．6．(文)(2013·天津文，6)函数f (x )＝sin(2x －π4)在区间[0，π2]上的最小值为( )A ．－1B ．－22C.22D ．0[答案] B[解析] 本题考查正弦型函数的最值.令t ＝2x －π4，因为x ∈[0，π2]，所以t ∈[－π4，3π4]，f (x )＝sin(2x －π4)变为y ＝sin t ，由正弦函数的图象可知，当t ＝－π4，即x ＝0时，f (x )取得最小值为－22.(理)用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1、x 2、x 3、x 4、x 5且x 1＋x 5＝3π2，则x 2＋x 4( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π[答案] C[解析] 由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象性质可知x 1、x 5关于x 3对称，x 2、x 4也关于x 3对称，∴x 2＋x 4＝x 1＋x 5＝3π2，故选C.二、填空题7．(2014·陕西文，13)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b ＝0，则tan θ＝________.[答案] 12[解析] 本题考查向量垂直、向量坐标运算等．∵a ·b ＝0，∴sin2θ－cos 2θ，即cos θ(2sin θ－cos θ)＝0. 又0<θ<π2，∴cos θ≠0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12.8．(2013·宝鸡二模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f (x )＝________.[答案]2sin(π8x ＋π4)[解析] 由题意得A ＝2，函数的周期为T ＝16， 又T ＝2πω⇒ω＝π8，此时f (x )＝2sin(π8x ＋φ)，又f (2)＝2，即sin(π8×2＋φ)＝sin(π4＋φ)＝1，解得π4＋φ＝2k π＋π2⇒φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π4.所以函数的解析式为f (x )＝2sin(π8x ＋π4)．9．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数：①f (x )＝sin x ＋cos x; ②f (x )＝2(sin x ＋cos x )； ③f (x )＝sin x; ④f (x )＝2sin x ＋ 2.其中为“互为生成”函数的是________(填序号)． [答案] ①④[解析] 首先化简题中的四个解析式可得：①f (x )＝2sin(x ＋π4)，②f (x )＝2sin(x ＋π4)，③f (x )＝sin x ，④f (x )＝2sin x ＋2，可知③f (x )＝sin x 的图象要与其他的函数图象重合，单纯经过平移不能完成，必须经过伸缩变换才能实现，所以③f (x )＝sin x 不能与其他函数成为“互为生成”函数，同理①f (x )＝2sin(x ＋π4)的图象与②f (x )＝2sin(x ＋π4)的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f (x )＝2sin x ＋2的图象向左平移π4个单位，再向下平移2个单位即可得到①f (x )＝2sin(x ＋π4)的图象，所以①④为“互为生成”函数．三、解答题10．(文)(2013·北京文，15)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求a 的值．[解析] (1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x＝cos2x sin2x ＋12cos4x＝12(sin4x ＋cos4x )＝22sin(4x ＋π4) 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f (α)＝22，所以sin(4α＋π4)＝1. 因为α∈(π2，π)，所以4α＋π4∈(9π4，17π4)，所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.(理)(2014·甘肃三诊)已知f (x )＝3sin ωx －2sin 2ωx2(ω>0)的最小正周期为3π.(1)当x ∈[π2，3π4]时，求函数f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )，求sin A 的值． [解析] ∵f (x )＝3sin(ωx )－2·1－cos ωx2＝3sin(ωx )＋cos(ωx )－1＝2sin(ωx ＋π6)－1，由2πω＝3π得ω＝23，∴f (x )＝2sin(23x ＋π6)－1. (1)由π2≤x ≤3π4得π2≤23x ＋π6≤2π3，∴当sin(23x ＋π6)＝32时，f (x )min ＝2×32－1＝3－1.(2)由f (C )＝2sin(23C ＋π6)－1及f (C )＝1，得sin(23C ＋π6)＝1，而π6≤23C ＋π6≤5π6， 所以23C ＋π6＝π2，解得C ＝π2. 在Rt △ABC 中，∵A ＋B ＝π2，2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )， ∴2cos 2A －sin A －sin A ＝0，∴sin 2A ＋sin A －1＝0，解得sin A ＝－1±52.∵0<sin A <1，∴sin A ＝5－12.一、选择题11．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f (π8＋t )＝f (π8－t )，且f (π8)＝－3，则实数m 的值等于( )A ．－1B ．±5C ．－5或－1D ．5或1[答案] C[解析] 依题意得，函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，于是x ＝π8时，函数f (x )取得最值，因此有±2＋m ＝－3，∴m ＝－5或m ＝－1，选C.12．(2013·浙江文，6)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos2x 的最小正周期和振幅分别是( )A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2[答案] A[解析] 本题考查了辅助角公式、倍角公式和正弦型函数的性质．f (x )＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)，周期T ＝π，振幅为1，故选A. 13．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期为π，则函数f (x )图象的一个对称中心是( )A ．(π3，1)B ．(π12，0)C ．(5π12，0)D ．(－π12，0)[答案] B[解析] 由题意知T ＝π，∴ω＝2，由函数图象关于直线x ＝π3对称，得2×π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝－π6＋k π(k∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6，∴f (x )＝A sin(2x －π6)，令2x －π6＝k π(k ∈Z )，则x ＝π12＋k2π(k ∈Z )．∴一个对称中心为(π12，0)，故选B.14.(2013·广东佛山二模)如图所示为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象，其中A 、B 两点之间的距离为5，那么f (－1)等于( )A ．2 B. 3 C ．－ 3 D ．－2[答案] A[解析] 设函数f (x )的最小正周期为T ，因为A ，B 两点之间的距离为5，所以T22＋42＝5，解得T ＝6.所以ω＝2πT ＝π3.又图象过点(0,1)，代入得2sin φ＝1，所以φ＝2k π＋π6或φ＝2k π＋5π6(k ∈Z )．又0≤φ≤π，所以φ＝π6或φ＝5π6.故f (x )＝2sin(π3x ＋π6)或f (x )＝2sin(π3x ＋5π6)．对于函数f (x )＝2sin(π3x ＋π6)，当x 略微大于0时，有f (x )>2sin π6＝1，与图象不符，故舍去；综上，f (x )＝2sin(π3x ＋5π6)．故f (－1)＝2sin(－π3＋5π6)＝2.故选A.二、填空题15．(2013·新课标Ⅱ文，16)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象重合，则φ＝________.[答案]5π6[解析] 本题考查三角函数的平移变换y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位得， y ＝cos[2(x －π2)＋φ]＝cos(2x －π＋φ)＝sin(2x －π＋φ＋π2)＝sin(2x ＋φ－π2)，而它与函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象重合，令2x ＋φ－π2＝2x ＋π3得，φ＝5π6，符合题意．16．(2013·合肥第一次质检)定义一种运算：(a 1，a 2)⊗(a 3，a 4)＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝(3，2sin x )⊗(cos x ，cos2x )的图象向左平移n (n >0)个单位长度所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为________．[答案]5π12[解析] f (x )＝3cos2x －2sin x cos x ＝3cos2x －sin2x ＝2cos(2x ＋π6)，将f (x )的图象向左平移n 个单位长度对应的函数解析式为f (x )＝2cos[2(x ＋n )＋π6]＝2cos(2x ＋2n ＋π6)，要使它为偶函数，则需要2n ＋π6＝k π(k ∈Z )，所以n ＝k π2－π12(k ∈Z )，因为n >0，所以当k ＝1时，n 有最小值5π12. 三、解答题17．(文)已知向量m ＝(sin 2x ＋1＋cos2x 2，sin x )，n ＝(12cos2x －32sin2x,2sin x )，设函数f (x )＝m ·n ，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈[0，π2]，求函数f (x )的值域．[解析] (1)∵cos2x ＝2cos 2x －1，∴m ＝(sin 2x ＋1＋cos2x 2，sin x )＝(1，sin x )，f (x )＝m ·n ＝12cos2x －32sin2x ＋2sin 2x ＝1－12cos2x －32sin2x ＝1－sin(2x ＋π6)． ∴其最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝1－sin(2x ＋π6)，∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]．∴函数f (x )的值域为[0，32]．(理)(2014·中原名校第二次联考)已知函数f (x )＝sin x ·cos(x －π6)＋cos 2x －12.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值x 时的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝12，b ＋c ＝3.求a 的最小值．[解析] (1)f (x )＝sin x (32cos x ＋12sin x )＋cos 2x －12＝32sin x cos x ＋12cos 2x ＝12(32sin2x ＋12cos2x )＋14＝12sin(2x ＋π6)＋14. ∴函数f (x )的最大值为34.当f (x )取最大值时sin(2x ＋π6)＝1，∴2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π6，k ∈Z .故x 的取值集合为{x |x ＝k π＋π6，k ∈Z }．(2)由题意f (A )＝12sin(2A ＋π6)＋14＝12，化简得sin(2A ＋π6)＝12.∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈(π6，13π6)，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝3，知bc ≤(b ＋c2)2＝94，即a 2≥94. ∴当b ＝c ＝32时，a 取最小值32.。

数学（理科）班级：__________________ 姓名：__________________第一部分 知识复习专题专题综合检测(八)专题八 思想方法专题(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＝14x 的实数解的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．以上均不对答案：B2．已知f(x)＝(x －a)(x －b)－2(其中a<b)，且α，β是方程f(x)＝0的两根(α<β)，则实数a ，b ，α，β的大小关系为( )A ．α<a<b<βB ．α<a<β<bC ．a<α<b<βD ．a<α<β<b答案：A3．已知y ＝f(x)是定义在R 上的单调函数，实数x 1≠x 2，λ≠－1，α＝x 1＋λx 21＋λ，β＝x 2＋λx 11＋λ，若|f(x 1)－f(x 2)|<|f (α)－f (β)|，则( )A ．λ<0B ．λ＝0C ．0<λ<1D ．λ≥1 答案：A4．一给定函数y ＝f(x)的图象在下图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f(a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1>a n (n ∈N *)，则该函数的图象是( )答案：A5．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，x 12，x ＞0.若f(x 0)＞1，则x 0的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∩(1，＋∞) 答案：D6．已知不等式x 2－log m x<0在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1 C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，116 答案：B7．已知函数f(x)＝ax 3＋bx2＋cx ＋d 的图象如图所示，则( )A ．b ∈(－∞，0)B ．b ∈(0，1)C ．b ∈(1，2)D ．b ∈(2，＋∞)答案：A8．设定义域为R 的函数f(x)＝⎩⎨⎧|lg|x －1||，x ≠1，0，x ＝1，则关于x 的方程f 2(x)＋bf(x)＋c ＝0有7个不同实数解的充要条件是( )A ．b<0且c>0B ．b>0且c<0C ．b<0且c ＝0D ．b ≥0且c ＝0 答案：C二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把正确答案填在题中横线上)9．曲线y ＝1＋4－x 2(－2≤x ≤2)与直线y ＝r(x －2)＋4有两个交点，则实数r 的取值范围为________．解析：方程y ＝1＋4－x 2(－2≤x ≤2)表示的曲线为半圆，y ＝r(x －2)＋4为过(2，4)的直线．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤512，3410．(4cos θ＋3－2t)2＋(3sin θ－1＋2t)2(θ，t 为参数)的最大值是________．解析：联想到距离公式，两点坐标为A(4cos θ，3sin θ)，B(2t －3，1－2t)，点A 的几何图形是椭圆，点B 表示直线．考虑用点到直线的距离公式求解．答案：72211．(2014·天津卷)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．解析：分别作出函数y ＝f(x)与y ＝a|x|的图象，由图知，a ＜0时，函数y ＝f(x)与y ＝a|x|无交点，a ＝0时，函数y ＝f(x)与y ＝a|x|有三个交点，故a ＞0.当x ＞0，a ≥2时，函数y ＝f(x)与y ＝a|x|有一个交点，当x ＞0，0＜a ＜2时，函数y ＝f(x)与y ＝a|x|有两个交点，当x ＜0时，若y ＝－ax 与y ＝－x 2－5x －4，(－4＜x ＜－1)相切，则由Δ＝0得：a ＝1或a ＝9(舍)，因此当x ＜0，a ＞1时，函数y ＝f(x)与y ＝a|x|有两个交点，当x ＜0，a ＝1时，函数y ＝f(x)与y ＝a|x|有三个交点，当x ＜0，0＜a ＜1时，函数y ＝f(x)与y ＝a|x|有四个交点，所以当且仅当1＜a ＜2时，函数y ＝f(x)与y ＝a|x|恰有4个交点．答案：(1，2)12. (2014·安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|BF 1|，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．解析：如下图，∵AF 2⊥x 轴，∴AF 2＝b 2a＝b 2，设A(c ，b 2)，又∵|AF 1|＝3|BF 1|，则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c ，－13b 2，代入椭圆为⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b 22b 2＝1，b 2＝1－c 2，解得c 2＝13，b 2＝23，所以椭圆的方程为x 2＋322＝1.答案：x 2＋32y 2＝113．(2014·上海卷)设f(x)＝⎩⎨⎧x ，x ∈（－∞，a ），x 2，x ∈[a ，＋∞），若f(2)＝4，则a 的取值范围为________．解析：由题意，若a ＞2，则f(2)＝2不合题意，因此a ≤2，此时x ∈[a ，＋∞)时，f(x)＝x 2，满足f(2)＝4.答案：(－∞，2]14．设函数f(x)的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝sinnx 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，πn 上的面积为2n (n ∈N *)，则(1)y ＝sin 3x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，2π3上的面积为______；(2)y ＝sin(3x －π)＋1在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，4π3上的面积为______．解析：本题给出了y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn 上的面积为2n ，需要由此类比y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积及y ＝sin(3x －π)＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上的面积，这需要寻求相似性，其思维的依据就是已知条件给出的面积的定义和已知函数的面积，因此要研究这个已知条件，要注意已知条件所给出的是半个周期的面积，而第(1)问则是n ＝3时一个周期的面积为43；第(2)问，画出y ＝sin(3x －π)＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上的图象，就可以容易地得出答案π＋23.答案：(1)43 (2)π＋23三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)设A ＝{x|－2≤x ≤a}，B ＝{y|y ＝2x ＋3，且x ∈A}，C ＝{z|z ＝x 2，且x ∈A}，若CB ，求实数a 的取值范围．解析：∵y ＝2x ＋3在[－2，a]上是增函数，∴－1≤y ≤2a ＋3，即B ＝{y|－1≤y ≤2a ＋3}，作出z ＝x 2的图象，该函数定义域右端点x ＝a 有如下三种不同的位置情况：①当－2≤a ≤0时， a 2≤z ≤4即C ＝{z|a 2≤z ≤4}，要使C B ，必须且只需2a ＋3≥4，得a ≥12，与－2≤a ≤0矛盾；②当0＜a ≤2时，0≤z ≤4即C ＝{z|0≤z ≤4}，要使C B ，由图可知：必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3≥4，0＜a ≤2.解得12≤a ≤2；③当a>2时，0≤z ≤a 2，即C ＝{z|0≤z ≤a 2}，要使CB ，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2a ＋3，a ＞2.解得2<a ≤3；④当a<－2时，A ＝，此时B ＝C ＝，则C B 成立．综上所述，a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3.16．(12分)已知A(1，1)为椭圆x 29＋y 251内一点，F 1为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点．求|PF 1|＋|PA|的最大值和最小值．解析：由x 29＋y 25＝1可知a ＝3，b ＝5，c ＝2，左焦点F 1(－2，0)，右焦点F 2(2，0)．由椭圆定义，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝6－|PF 2|，∴|PF 1|＋|PA|＝6－|PF 2|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF 2|.如图：由|||PA|－|PF 2|≤|AF 2|＝（2－1）2＋（0－1）2＝2， 知－2≤|PA|－|PF 2|≤ 2.当P 在AF 2延长线上的P 2处时，取右“＝”号； 当P 在AF 2的反向延长线的P 1处时，取左“＝”号． 即|PA| － |PF 1| 的最大值和最小值分别为2，－ 2. 于是|PF 1|＋|PA|的最大值是6＋2，最小值是6－ 2.17．(14分)若函数f(x)＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，试求实数a 的取值范围．思路点拨：这是一个利用导数研究函数单调性的问题．首先把函数的增、减性转化为导数的正、负来研究．求f(x)的导数，得f ′(x)＝ x 2－ax ＋a －1.于是将问题转化为求二次函数x 2－ax ＋a －1在区间(1，4)内为负，在区间(6，＋∞)内为正的充要条件，而这个问题则完全是二次函数的问题，解决时必须借助图形．解析：对函数f(x)求导，得 f′(x)＝x 2－ax ＋a －1，由此得出方程x 2－ax ＋a －1 ＝ 0的两个根为x ＝1和x ＝a －1，然后再借助图形进行研究．显然，函数f′(x)＝x 2－ax ＋a －1是开口向上，与x 轴至少有一个交点的抛物线．①当a －1≤1时，函数f′(x)与x 轴的另一个交点横坐标a －1在1的左侧，在区间(1，4)内f ′(x)＞0，如下图(左)所示，那么f(x)在(1，4)内为增函数，不合题意．②当1＜a －1＜4时，函数f′(x)与x 轴的另一个交点的横坐标a －1在1与4之间，在区间(1，4)内f′(x)＜0不恒成立，如上图(右)所示，那么f(x)在(1，4)内不为减函数，不合题意．③当4≤a －1≤6时，函数f′(x)与x 轴的另一个交点的横坐标a －1在区间 [ 4，6 ] 上，在区间(1，4)内f′(x)＜0；在区间(6，＋∞)内f′(x)＞0，如下图(左)所示．那么f(x)在(1，4)内为减函数，在(6，＋∞)内为增函数．此时5≤a ≤7，满足题意．④当a －1＞6时，函数f′(x)与x 轴的另一个交点在6的右侧，在区间(6，＋∞)内f′(x)＞0不恒成立，如上图(右)所示，那么f(x)在(6，＋∞)内为增函数不成立，不合题意．综上所述，a 的取值范围是[5，7]．18．(14分)已知关于x 的不等式1－x 2>ax ＋b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，试求实数a ，b 的值．解析：记y 1＝1－x 2，y 2＝ax ＋b ，如图，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35的充要条件是当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35时，圆弧AB ︵在直线y 2＝ax ＋b 的上方，即直线y 2＝ax ＋b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－45a ＋b ＝3535a ＋b ＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝17b ＝57.19．(14分)设函数f(x)＝x 2＋1－ax ，其中a>0，解不等式f(x)≤1.解析：f(x)≤1即x 2＋1≤1＋ax ，利用数形结合，设y 1＝1＋ax 1，设y 2＝x 22＋1，y 22－x 22＝1(y 2>0)，所以研究的问题变为直线L ：y 1＝1＋ax 1位于双曲线C ：y 22－x 22＝1上半支上方时x 的取值范围，如图所示：①当0<a<1时，直线L 与双曲线C 有两个交点，其对应横坐标分别为x ＝0，x ＝2a 1－a ，所以0≤x ≤2a 1－a ； ②当a ≥1时，直线L 与双曲线C 只有(0，1)一个交点，所以只要x ≥0，原不等式就成立．综上可知，当0<a<1时，所给不等式的解集为{x|0≤x ≤2a 1－a 2}；当a ≥1时，所给不等式的解集为{x|x ≥0}．20．(14分)(2014·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝aln x ＋1－a 2x 2－bx(a ≠1)，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f(x 0)＜a a －1，求a 的 取值范围．解析：(1)f′(x)＝a x＋(1－a)x －b ， 由题设知f′(1)＝0，解得b ＝1.(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝aln x ＋1－a 2x 2－x ， f ′(x)＝a x ＋(1－a)x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1)． ①若a ≤12，则a 1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)在(1，＋∞)单调递增，所以，存在x 0≥1，使得f(x 0)＜a a －1的充要条件为f(1)＜a a －1，即1－a 2－1＜a a －1， 所以－2－1＜a ＜2－1.②若12＜a ＜1，则a 1－a＞1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x)＜0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x)＞0；f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞单调递增，所以，存在x 0≥1，使得f(x 0)＜a a －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＜a a －1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝aln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1＞a a －1，所以不合题意． ③若a ＞1，则f(1)＝1－a 21＝－a －12＜aa －1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．。

2015届石家庄高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合21{|log ,1},{|,2}U y y x x P y y x x==>==>，则U C P = A ．1(0,)2 B ．(0,)+∞ C ．1[,)2+∞ D ．1(,0)[,)2-∞+∞2、下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是A ．2xy -= B ．tan y x = C ．3y x = D ．3log y x = 3、已知复数z 满足2015(1)i z i --(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为A ．12 B ．12- C ．12i D ．12i - 4、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32175,2S a a a =+=，则5a = A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 5、设变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为A ．6B ．7C ．8D ．23 6、投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为 A ．536 B ．16 C ．215 D ．112 7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．103 B ．53 C ．203D ．4 8、执行右下方的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S 的值为A ．1111234+++ B ．1111232432+++⨯⨯⨯ C ．111112345++++ D ．111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 9、在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(sin,cos )88P ππ，则sin(2)12πα-=A B ．．12 D ．12- 10、在四面体S-ABC 中，SA ⊥平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠====， 则该四面体的外接球的表面积为 A ．11π B ．7π C ．103π D ．403π11、已知F 是抛物线24x y =的焦点，直线1y kx =-与该抛物线交于第一象限 内的零点,A B ，若3AF FB =，则k 的值是A ．2 C ．3 D ．312、设函数()()2212,2(),,0,1,2,,9999i if x x f x x x a i ==-==，记1021|()()||()()|k k k k k S f a f a f a f a =-+- 9998|()()|,1,2k k f a f a k ++-=，则下列结论正确的是A ．121S S =<B ．121S S =>C ．121S S >>D ．121S S <<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

填空题的解法【题型特点概述】1．填空题的特征填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一，填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活．从历年高考成绩看，填空题得分率一直不是很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．2．解填空题的基本原则解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方法：直接法、特例法、数形结合法、构造法、归纳推理法等．方法一直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例1已知椭圆C ：x 24＋y23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为()解析由椭圆方程知c ＝4－3＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，因为椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A(1，y 0)，代入椭圆方程可得y 20＝94，所以y 0＝±32.设P(x 1，y 1)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 2A →＝(0，y 0)，所以F 1P →·F 2A →＝y 1y 0，因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3，F 1P →·F 2A →的最大值为332.答案332思维升华直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．已知复数z ＝a ＋(a －1)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则复数zi 在复平面上所对应的点的坐标为________．答案(0,1)解析因为复数z ＝a ＋(a －1)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，所以a －1＝0，解得a ＝1.所以复数z ＝1，所以zi ＝i.所以复数zi 在复平面上所对应的点的坐标为(0,1)．方法二特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．例2如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________. 解析方法一∵AP →·AC →＝AP →·(AB →＋BC →)＝AP →·AB →＋AP →·BC→＝AP →·AB →＋AP →·(BD →＋DC →)＝AP →·BD →＋2AP →·AB →，∵AP ⊥BD ，∴AP →·BD →＝0.又∵AP →·AB →＝|AP →||AB →|cos ∠BAP ＝|AP →|2，∴AP →·AC →＝2|AP →|2＝2×9＝18. 方法二把平行四边形ABCD 看成正方形，则P 点为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC →＝18.答案18思维升华求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．本题中的方法二把平行四边形看作正方形，从而减少了计算量．(1)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD→＝________.(2)cos 2α＋cos 2(α＋120°)＋cos 2(α＋240°)的值为________________．答案(1)3(2)32解析(1)不妨取|BD →|＝2，则|BC →|＝23，∠ADB ＝π3，∴AC →·AD →＝(BC →－BA →)·A D →＝BC →·AD →－BA →·AD →＝23×1×cos π3＋0＝ 3.(2)令α＝0°，则原式＝cos 20°＋cos 2120°＋cos 2240°＝32.方法三数形结合法(图解法)对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn 图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．例3已知函数f(x)＝x|x －2|，则不等式f(2－x)≤f(1)的解集为________．解析函数y ＝f(x)的图象如图，由不等式f(2－x)≤f(1)知，2－x ≤2＋1，从而得到不等式f(2－x)≤f(1)的解集为[－1，＋∞)．答案[－1，＋∞)思维升华图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．(2013·北京)设D 为不等式组x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域．区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．答案255解析作不等式组表示的平面区域，如图所示(△OAB 及其内部)，易观察知，所求最小值为点P(1,0)到2x －y ＝0的距离d ＝|2×1－0|22＋－12＝255. 方法四构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．例4(1)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB ＝BC＝2，则球O的体积等于________．(2)e416，e525，e636(其中e为自然对数的底数)的大小关系是________．解析(1)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝22＋22＋22＝2R，所以R＝62，故球O的体积V＝4πR33＝6π．(2)由于e416＝e442，e525＝e552，e636＝e662，故可构造函数f(x)＝e xx2，于是f(4)＝e416，f(5)＝e525，f(6)＝e636.而f′(x)＝(e xx2)′＝e x·x2－e x·2xx4＝e x x2－2xx4，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，因此有f(4)<f(5)<f(6)，即e416<e525<e636.答案(1)6π(2)e416<e525<e636思维升华构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．第(1)题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决．(1)已知a＝ln12 013－12 013，b＝ln12 014－12 014，c＝ln12 015－12 015，则a，b，c的大小关系为________．(2)已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．答案(1)a>b>c(2)①②④解析(1)令f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝1x－1＝1－xx.当0<x<1时，f′(x)>0，即函数f(x)在(0,1)上是增函数．∵1>12 013>12 014>12 015>0，∴a>b>c.(2)用正方体ABCD—A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的投影是一条直线及其外一点．故①②④正确．方法五归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．例5观察下列算式：13＝1,23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，,，若某数m3按上述规律展开后，发现等式右边含有“ 2 015”这个数，则m＝________.解析由题意可得第n个算式的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n个算式的第一个数为a n，则有a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝7－3＝4，,，a n－a n－1＝2(n－1)，以上n－1个式子相加可得a n－a1＝n－1[2＋2n－1]2，故a n＝n2－n＋1，可得a45＝1 981，a46＝2 071，故可知2 015在453的展开式中，故m＝45.答案45思维升华归纳推理主要用于与自然数有关的等式或不等式的问题中，一般在数列的推理中常涉及．即通过前几个等式或不等式出发，找出其规律，即找出一般的项与项数之间的对应关系，一般的有平方关系、立方关系、指数变化关系或两个相邻的自然数或奇数相乘基本关系，需要对相应的数字的规律进行观察、归纳，一般对等式或不等式中的项的结构保持一致．(1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，,，第n个三角形数为n n＋12＝12n2＋12n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝12n2＋12n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝32n2－12n，六边形数N(n,6)＝2n2－n ,,,,,,,,,,,,,,,可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.(2)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．答案(1)1 000(2)6n＋2解析(1)由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝k－22n2＋4－k2n，∴N(10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.(2)观察题图①，共有8根火柴，以后依次增加6根火柴，即构成首项为8，公差为6的等差数列，所以，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋2.1．解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法．解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果．2．解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面：(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确；(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；(3)要重视对所求结果的检验及书写的规范性．。

安徽师大附中2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设U=R，P={x|x＞1}，Q={x|x（x﹣2）＜0}，则∁U（P∪Q）=（）A．{x|x≤1或x≥2} B．{x|x≤1} C．{x|x≥2} D．{x|x≤0}2．（5分）已知i为虚数单位，复数z=，则复数在复平面上的对应点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3．（5分）已知各项不为0的等差数列{a n}，满足a72﹣a3﹣a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b6b8=（）A．2B．4C．8D．164．（5分）若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且，则A•ω=（）A．B．C．D．5．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣π6．（5分）某校2015届高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（）A．144种B．150种C．196种D．256种7．（5分）已知斜率为﹣的直线l交椭圆C：+=1（a＞b＞0）于A，B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C．D．8．（5分）设集合S={x||x+3|+|x﹣1|＞m}，T={x|a＜x＜a+8}，若存在实数a使得S∪T=R，则m∈（）A．{m|m＜8} B．{m|m≤8} C．{m|m＜4} D．{m|m≤4}9．（5分）考察底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱，甲从这9条棱中任选一条，乙从这9条棱中任选一条，则这两条棱互相垂直的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2•3lna）2+（c•d+2）2=0，且a∈（0，1），则（a•c）2+（b•d）2的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在相应位置.11．（5分）在的展开式中，x4的系数为．12．（5分）执行如图所示的程序框图，输出结果S的值为．13．（5分）已知满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是．14．（5分）若点P在平面区域上，则u=的取值范围为．15．（5分）有下列命题：①若集合{x|ax2﹣2x﹣1=0}为单元素集，则实数a=﹣1；②函数f（x）=2x﹣x2的零点有2个；③函数y=cos（x﹣）cos（x+）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；④函数y=的图象关于点（1，1）对称；⑤函数y=sinx（x∈[﹣π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=sinxdx；⑥若ξ﹣N（1，σ2），且P（0≤ξ≤1）=0.3，则P（ξ≥2）=0.2．其中所有真命题的序号是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分。

普通高中2015年高考数学（理）增分直通车专题12 选考内容1.【2014江西】若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ）A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤2. 【2014江西】对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.43.【2012湖北】如图，点D 在O e 的弦AB 上移动，4AB =，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交O e 于点C ，则CD 的最大值为4.【2012湖南】在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则a =.5.【2012陕西】若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .6.【2014陕西】设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=的最小值为7.【2014陕西】如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =,则EF =OD EBA第7题图C第3题图 第6题8.【2014陕西】在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是9.【2013陕西】已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值 为 .10.【2013陕西】如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE .11.【2013陕西】如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 .12.【2012江西】在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为_________。

第三篇题型专练选择、填空题训练(一)【选题明细表】知识点、方法题号集合与常用逻辑用语1、3平面向量13不等式12、15函数2、7、8、14三角函数与解三角形5、16数列9、11立体几何4、6解析几何10、17一、选择题1.(2014高考新课标全国卷Ⅱ)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N等于( D )(A){1} (B){2}(C){0,1} (D){1,2}解析:N={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},M={0,1,2},∴M∩N={1,2}.故选D.2.下列函数中,在其定义域内,既是奇函数又是减函数的是( C )(A)f(x)= (B)f(x)=(C)f(x)=2-x-2x(D)f(x)=-tan x解析:对于选项A,函数是奇函数,但其单调减区间是(-∞,0)和(0,+∞),在定义域内不是单调函数;对于选项B,其定义域为(-∞,0],其定义域不关于原点对称,是非奇非偶函数;对于选项D,函数在每个区间（kπ-,kπ+）(k∈Z)上是减函数,也不能说在定义域内是减函数.故选C.3.(2014嘉兴二模)已知a,b∈(0,+∞),则“ab>2”是“log2a+log2b>0”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若ab>2,则log2a+log2b=log2(ab)>log22=1>0,反之,若log2a+log2b>0,则log2(ab)>0,ab>1.故选A.4.(2014宁波高三十校联考)若直线l,m与平面α、β、γ满足β∩γ=l,l∥α,m ⊂α,m⊥γ,则有( D )(A)m∥β且l⊥m (B)α∥β且α⊥γ(C)α⊥β且m∥γ (D)α⊥γ且l⊥m解析:由m⊂α,m⊥γ知α⊥γ,由m⊥γ,l⊂γ知m⊥l.故选D.5.为了得到函数f(x)=sin 2 x的图象,只需将函数g(x)=的图象( B )(A)向右平移个单位(B)向右平移个单位(C)向右平移π个单位(D)向右平移个单位解析:由于g(x)===cos2x=sin2（x+）,因此只需将函数g(x)的图象向右平移个单位即可得到f(x)的图象.6.已知几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A )(A)64+4π(B)48+4π(C)64+16π(D)48+16π解析:该几何体上面是一个圆柱,下面是一个正方体,其总体积为V=43+π·12·4=64+4π.7.(2014浙江省“六市六校”联考)已知f(x)=定义fn (x)=f(fn-1(x)),其中f1(x)=f(x),则f2014（）等于( B )(A)(B)(C)(D)解析:f1（）=f（）=,f2（）=f（）=,f3（）=f（）=,f4（）=,f5（）=,f6（）=,f7（）=f（）=…因此fn（）是以6为周期的周期函数,故又2014=335×6+4,于是f2014（）=f4（）=.故选B.8.(2013高考山东卷)函数y=xcos x+sin x的图象大致为( D )解析:由y=xcos x+sin x为奇函数,可排除选项B;x=π时y=-π,排除选项A;x=时y=1,可排除选项C.故选D.9.(2014宁波高三十校联考)设a∈R,数列{(n-a)2}(n∈N*)是递增数列,则a的取值范围是( D )(A)a≤0 (B)a<1 (C)a≤1 (D)a<解析:由题知(n+1-a)2-(n-a)2>0对任意n∈N*恒成立,即2a<2n+1恒成立,则a<.故选D.10.(2013厦门模拟)过抛物线x2=-2py(p>0)的焦点F的直线l与抛物线相交于A、B两点,O是坐标原点,则三角形ABO的形状是( C )(A)直角三角形 (B)锐角三角形(C)钝角三角形 (D)不能确定解析:依题意,直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y+=kx,由可得x2+2pkx-p2=0,若设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-p2,所以y1y2=,因此·=x1x2+y1y2=-<0,得∠AOB是钝角,故三角形ABO的形状是钝角三角形.二、填空题11.(2013杭州模拟)在等比数列{an }中,an>0(n∈N*),且a6-a4=24,a3a5=64,则{an}的前6项和是.解析:由a3a5==64得a4=8,于是a6=32,设公比为q,则q2==4,得q=2,a1=1,故{an }的前6项和为S6==63.答案:6312.(2013杭州模拟)设x,y满足约束条件:则z=2x-y的最小值为.解析:如图,在直角坐标系中画出约束条件表示的可行域为△ABC及其内部(含边界),其中A（1,）,B(1,8),C(4,2),所以当动直线z=2x-y过B(1,8)时,z=2x-y的最小值为-6.答案:-613.(2013泰顺模拟)已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,|c|=4,且向量a,b,c 两两所成的角相等,则|a+b+c|= .解析:∵a,b,c成等角,∴a,b,c两两成0°或120°,当a,b,c两两成0°时,|a+b+c|=1+2+4=7;当a,b,c两两成120°时,|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=1+4+16-2-4-8=7,|a+b+c|=.答案:7或14.(2012高考新课标全国卷)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= .解析:f(x)===1+,令g(x)=,则g(x)为奇函数,对于一个奇函数来说,其最大值与最小值之和为0,即g(x)max +g(x)min=0,而f(x)max =1+g(x)max,f(x)min =1+g(x)min,所以f(x)max +f(x)min=2.答案:215.(2013浙江省五校联考)已知正实数x,y满足ln x+ln y=0,且k(x+2y)≤x2+4y2恒成立,则k的最大值是.解析:由ln x+ln y=0可得xy=1.又因为k≤==(x+2y)-,由于x+2y≥2=2,令x+2y=t,则g(t)=t-≥2-=.因此当k≤恒成立时,k的取值范围是k≤,故k的最大值为.答案:16.(2013杭州模拟)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,c=2,且1+=,则角C的值为.解析:由正弦定理可知1+·=,即=,又∵sin(A+B)=sin C,∴cos A=,∵0°<A<180°,∴sin A=.由=知sin C=,又c<a,所以C=45°.答案:45°17.(2014温州中学月考)若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点P（1,）作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是.解析:由题意可设PA垂直于x轴,于是A(1,0),∴c=1,设PB:y-=k(x-1),即kx-y+-k=0,则有=1,∴k=-,∴k=,OB∴B（,）,∴直线AB的方程为y=-2x+2,令x=0,得y=2,∴b=2,∴a=,∴椭圆方程为+=1.答案:+=1选择、填空题训练(二)【选题明细表】知识点、方法题号集合与常用逻辑用语1、2平面向量9、14不等式11、16函数4、10、15三角函数与解三角形6、8数列7、13立体几何5、12解析几何3、17一、选择题1.(2013浙江省名校新高考研究联盟第一次联考)设P={x|2x>1},Q={x|logx>1},2则( A )(A)P∪Q=P (B)P∪Q=Q(C)P∩Q Q (D)P∩Q Q解析:P={x|2x>1}={x|x>0},x>1}={x|x>2},Q={x|log2所以Q P,P∪Q=P,P∩Q=Q,故选A.2.(2013浙江省金华十校高三模拟)“a=2”是“直线y=-ax+2与y=x-1垂直”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:a=2时,直线方程分别为y=-2x+2和y=x-1,此时两直线斜率之积为-1,所以两直线垂直;若直线y=-ax+2与y=x-1垂直,则有-a×=-1,所以a=±2.所以“a=2”是“直线y=-ax+2与y=x-1垂直”的充分不必要条件.故选A.3.已知椭圆+=1(a>b>0),A(4,0)为长轴的一个端点,弦BC过椭圆的中心O,且·=0,|-|=2|-|,则其焦距为( C )(A)(B)(C)(D)解析:由题意,可知||=||=||,且a=4,又|-|=2|-|,所以||=2||.故||=||.又·=0,所以⊥.故△OAC为等腰直角三角形,||=||=2.不妨设点C在第一象限,则点C的坐标为(2,2),代入椭圆方程,得+=1,解得b2=.所以c2=a2-b2=42-=,c=.故其焦距为2c=.故选C.4.(2013浙江省名校新高考研究联盟第一次联考)已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:因为f(x)==1+,所以f(a)=1+=,所以=-,f(-a)=1-=1-（-）=,故选C.5.(2014宁波高三十校联考)设m,n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题正确的是( B )(A)m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n(B)m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n(C)m⊥α,n⊂β,m⊥n,则α⊥β(D)m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β解析:对于选项A,m与n可能平行也可能异面、相交,对于选项C,平面α与β可能平行,也可能相交不垂直,对于选项D,只有m与n是相交直线时才有α∥β,故选B.6.(2013杭州模拟)函数y=sin（x+）+cos（-x）的最大值为( C )(A)(B)(C)(D)解析:因为y=sin（x+）+cos（-x）=cos x+cos x+sin x=cos x+sin x,所以函数的最大值为===.7.(2013淮北市高三二模)已知数列{an }是等差数列,an>0.若2lg a2=lg a1+lg a4,则的值是( B ) (A)(B)1或(C)(D)1或解析:设数列{an }的首项为a1,公差为d.由2lg a2=lg a1+lg a4知=a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),解得d=0或d=a1. 当d=0时,=1,当d=a1时,an=na1,于是==.故选B.8.(2013潍坊模拟)在锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若b=2,B=,且sin 2A+sin(A-C)=sin B,则△ABC的面积等于( C )(A)2 (B) (C) (D)2解析:∵sin 2A=sin B-sin(A-C),∴2sin Acos A=sin(A+C)-sin(A-C),∴2sin Acos A=2cos Asin C.∵△ABC是锐角三角形,∴cos A≠0,∴sin A=sin C,即A=C=B=,∴S△ABC=×2×2×=.9.△ABC中,∠B=60°,AB=3,∠ABC的角平分线BD交AC于点D,设=x+(x∈R),则||等于( B )(A)(B)2 (C)3 (D)无法确定解析:如图,过点D作DE∥BC,DF∥AB,则四边形DEBF为菱形.且=+,又=x+,所以=.由于==,AB=3,所以AE=1,于是BF=DF=2.△BFD中由余弦定理知|BD|=2.故选B.10.已知R上的增函数f(x)=1+x-+-+…+,设F(x)=f(x+4),且函数F(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z)内,圆x2+y2=b-a的面积的最小值是( A ) (A)π(B)2π (C)3π (D)4π解析:因f(x)为R上的增函数,且f(0)=1>0,f(-1)=(1-1)+（--）+…+（--）<0,∴函数f(x)的唯一零点在[-1,0]内,函数F(x)=f(x+4)的唯一零点在[-5,-4]内.由题意可知,b-a的最小值为1,∴圆x2+y2=b-a的面积的最小值为π.故选A.二、填空题11.(2013豫东、豫北十所名校联考)如果实数x,y满足条件那么目标函数z=2x-y的最小值为.解析:作不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,易知当直线z=2x-y经过点A时,z有最小值.由解得A(-2,-1),所以zmin=2×(-2)-(-1)=-3.答案:-312.(2013聊城模拟)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是.解析:由三视图可知该几何体是放倒的三棱柱,三棱柱的高为,三角形的两直角边分别为1,,所以三棱柱的体积为×1××=1.答案:113.(2013海南模拟)已知数列{an }的首项a1=1,其前n项和Sn=n2·an(n∈N*),则a9= .解析:由Sn =n2·an可知,当n≥2时有Sn-1=(n-1)2an-1,两式相减可得an =n2an-(n-1)2an-1,于是=,于是a9=··…··a1=××××…××1=.答案:14.(2013温岭中学模拟)在△ABC中,若BC=4,cos B=,则·的最小值为.解析:在△ABC中,设角A、B、C所对的边分别为a、b、c,·=·(+)=c2+4c×（-）=c2-c=（c-）2-≥-,故当c=时,取最小值-.答案:-15.若函数f(x)=a x(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在[0,+∞)上是增函数,则a= .解析:若a>1,有a2=4,a-1=m,此时a=2,m=,此时g(x)=-为减函数,不合题意.若0<a<1,有a-1=4,a2=m,故a=,m=,检验知符合题意.答案:16.(2013浙江嘉兴模拟)若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为.解析:由x2+ax-2>0可得a>-x,令g(x)=-x,则函数g(x)在[1,5]上单调递减,所以g(x)在[1,5]的最小值g(x)min=g(5)=-,因此当不等式有解时,a的取值范围是a>-.答案:a>-17.(2013抚顺模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的半焦距为c(c>0),左焦点为F,右顶点为A,抛物线y2=(a+c)x与椭圆交于B、C两点,若四边形ABFC是菱形,则椭圆的离心率是.解析:由于四边形ABFC是菱形,所以BC与AF垂直,且经过AF的中点（,0）,因此B、C两点的横坐标均为,又因为抛物线过B、C两点,可求得B（,b）,而B点也在椭圆上,故+=1,整理得4c2-8ac+3a2=0,即4e2-8e+3=0,解得e=,e=(舍去).答案:选择、填空题训练(三)【选题明细表】知识点、方法题号集合与常用逻辑用语1、2平面向量8不等式14函数3、10、17三角函数与解三角形5、11数列7、13立体几何6、12解析几何4、9、15、16一、选择题1.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且y=x},则A∩B的元素个数为( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:法一A为圆心在原点的单位圆,B为过原点的直线,故直线与圆有2个交点.故选C.法二由可得或故选C.2.(2014温州一模)设a,b∈(0,+∞),则“a-b>1”是“a2-b2>1”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若a-b>1,则(a-b)(a+b)>1,反之若a2-b2>1,则a-b>1不一定成立,如()2-()2>1,而-1<1.所以a-b>1是a2-b2>1的充分不必要条件.故选A.3.若lg a+2a=lg b+3b,则正实数a,b的大小关系是( A )(A)a>b (B)a≥b (C)a<b (D)a≤b解析:因为lg a+2a=lg b+2b+b,由于b>0,所以lg a+2a>lg b+2b,而函数f(x)=lg x+2x在(0,+∞)上单调递增,所以a>b.4.(2014浙江省“六市六校”联考)已知F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过F1的直线MF1是圆F2的切线,则椭圆的离心率为( A ) (A)-1 (B)2-(C)(D)解析:由题意知MF2⊥MF1,|MF2|=c,|F1F2|=2c,|MF1|=c,由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=(+1)c=2a,因此椭圆的离心率为=-1.故选A.5.(2013嘉兴市高三二模)函数y=cos 2x+sin 2x,x ∈R 的值域是( A ) (A)[0,1] (B)[,1] (C)[-1,2] (D)[0,2] 解析:y=cos 2x+sin 2x =cos 2x+=cos 2x+,因为cos 2x ∈[-1,1], 所以y=cos 2x+∈[0,1].故选A.6.(2014温州一模)m 是一条直线,α,β是两个不同的平面,以下命题正确的是( D )(A)若m ∥α,α∥β,则m ∥β (B)若m ∥α,m ∥β,则α∥β (C)若m ∥α,α⊥β,则m ⊥β (D)若m ∥α,m ⊥β,则α⊥β 解析:A 中可能有m ⊂β,不正确; B 中,α,β可能相交; C 中,可能有m ∥β. 故选D.7.(2014温州期末)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6>S 7>S 5,则满足S n S n+1<0的正整数n 的值为( C ) (A)10 (B)11 (C)12 (D)13解析:由S 6>S 7>S 5得a 6>0,a 7<0,a 6+a 7>0, 所以S 11=×11=11a 6>0,S 12=·12=6(a 6+a 7)>0,S 13=·13=13a 7<0,则S 12·S 13<0,n=12. 故选C.8.(2012浙江温州质检)已知在△ABC 中,AB=AC=4,BC=4,点P 为边BC 所在直线上的一个动点,则关于·(+)的值,下列选项正确的是( B )(A)最大值为16 (B)为定值8(C)最小值为4 (D)与P的位置有关解析:设BC的中点为O,则AO⊥BC且AO2=AB2-(BC)2=4,∴·(+)=2·=2·||·||cos∠PAO=2·||(||cos∠PAO)=2||2=8.故选B.9.(2013日照模拟)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M 是抛物线C上的点,若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆面积为9π,则p等于( B )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8解析:外接圆的面积为9π,所以外接圆的半径为3,又△OFM的外接圆的圆心一定在线段OF的垂直平分线上,故外接圆圆心的横坐标是,又因为△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,所以外接圆的半径为+==3,解得p=4.10.(2013邯郸市高三一模)已知f(x)=且函数y=f(x)-1恰有3个不同的零点,则实数a的取值范围是( D )(A)(-1,+∞) (B)(-2,0](C)(-2,+∞) (D)(0,1]解析:y=f(x)-1=即y=f(x)-1=作出函数图象如图,可知当x>0时,函数有一个零点x=1;要使函数恰有3个零点,则当x≤0时,函数图象应与x轴有两个交点,则有即解得0<a≤1.故选D.二、填空题11.(2014宁波高三期末)△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若=+,且2abcos C=c2,则m的值为.解析:由=+得msin Asin Bcos C=sin2C,由正弦定理得mabcos C=c2,所以m=2.答案:212.(2014宁波二模)已知某锥体的三视图(单位:cm )如图所示,则该锥体的体积为.解析:由三视图知几何体为四棱锥,高为2 cm,底面是直角梯形.两底分别为1 cm,2 cm,高为2 cm,于是锥体体积为×2××(1+2)×2=2 cm3. 答案:2 cm313.(2013宁波市高考适应性考试)已知等比数列{an }的前n项和为Sn,若a 2a8=2a3a6,S5=-62,则a1的值是.解析:设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0,由a2a8=2a3a6知a 2a6q2=2a2qa6,∴q=2.由S5==-62,解得a1=-2.答案:-214.(2014温州一模)若不等式组表示的平面区域是三角形,则实数k的取值范围是.解析:x+y-1=0与x-2y-1=0如图.kx+y+1=0为过(0,-1)的直线,当k>0时,若满足题意,则-k>-1,得k<1,当k<0时,若满足题意,则-k<得k>-.又k=0时,满足题意,综上-<k<1.答案:(-,1)15.(2013深圳模拟)已知双曲线的两条渐近线均和圆C:(x-1)2+y2=相切,且双曲线的右焦点为抛物线y2=4x的焦点,则该双曲线的标准方程为.解析:抛物线y2=4x的焦点为(,0),故双曲线焦点在x轴上,设其方程为-=1(a>0,b>0),则c=.一条渐近线方程为y=x,即bx-ay=0,所以=,解得b=1,a2=4,故双曲线的标准方程为-y2=1.答案:-y2=116.(2014嘉兴二模)已知集合A={f(x,y)=0|f(x,y)=(x-a)2+(y-a)2-,a=±1,±2,±3},B={g(x,y)=0|g(x,y)=x+y-b,b=±1,±2,±3},则A中方程的曲线与B中方程的曲线的交点个数是.解析:a=1,2,3时, f(x,y)=0表示圆,C1:(x-1)2+(y-1)2=,C2:(x-2)2+(y-2)2=2,C3:(x-3)2+(y-3)2=,圆C2经过圆C1,圆C3的圆心,b=1,2,3时,g(x,y)=0表示一组平行直线, l1:x+y-1=0,l2:x+y-2=0,l3:x+y-3=0,直线l1,l2,l3分别与圆C1,C2,C3相切,于是直线l1,l2,l3与三个圆C1,C2,C3共有1+3+3=7个交点,由对称性知A中方程的曲线与B中方程的曲线有7×2=14个交点. 答案:1417.(2013浙江五校联盟高三第二次联考)已知正实数x,y满足ln x+ln y=0,且k(x+2y)≤x2+4y2恒成立,则k的取值范围是.解析:法一由ln x+ln y=0可得xy=1,且x>0,y>0,由k(x+2y)≤x2+4y2可得k≤==(x+2y)-,.令m=x+2y,则k≤(m-)min因为m=x+2y≥2=2,且f(m)=m-在[2,+∞)上单调递增,所以m=2时,(m-)=2-=,min所以k≤.法二由ln x+ln y=0,知xy=1,且x>0,y>0,令t=x+2y≥2=2,因此t2-kt-4≥0对t∈[2,+∞)恒成立,记f(t)=t2-kt-4,则f(2)=4-2k≥0⇒k≤.答案:k≤选择、填空题训练(四)【选题明细表】知识点、方法题号集合与常用逻辑用语1、7不等式8、14函数12、16、17三角函数与解三角形6、10、11数列3、13立体几何4、5、15解析几何2、9、14一、选择题1.(2014高考广东卷)已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N等于( C )(A){0,1} (B){-1,0,2}(C){-1,0,1,2} (D){-1,0,1}解析:M∪N={-1,0,1,2}.故选C.2.(2013潍坊模拟)已知椭圆方程是+=1,双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 ( C )(A)(B)(C)2 (D)3解析:椭圆的右焦点为(1,0),右顶点为(2,0),即双曲线中a=1,c=2,所以双曲线的离心率为e===2,选C.3.(2014温州二模)已知等比数列{an}的各项均为正数,对k∈N*,ak ak+5=a,ak+10ak+15=b,则ak+15ak+20等于( B )(A)(B)(C)(D)解析:设{an}的公比为q,b=ak+10ak+15=akq10·ak+5q10=aq20,∴q10=,∴ak+15ak+20=akq15·ak+5q15=aq30=a()3=.故选B.4.(2014宁波高三期末)正三棱柱ABC A1B1C1中,AB=2,AA1=,则三棱锥C ABC1的体积为( A )(A)1 (B )3 (C) (D)解析:==S△ABC ·AA1=××22×=1.故选A.5.(2014浙江建人高复模拟)设b、c表示两条直线,α、β表示两个平面,下列命题中真命题是( C )(A)若b⊂α,c∥α,则b∥c (B)若b⊂α,b∥c,则c∥α(C)若c∥α,c⊥β,则α⊥β(D)若c∥α,α⊥β,则c∥β解析:选项A中b,c可能异面;B中c可能在α内;对于C,由c∥α可知α内存在a ∥c,又由c⊥β得a⊥β,从而α⊥β,即C正确;D中c与β位置关系不确定.故选C.6.(2014高考新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC= ,则AC等于( B )(A)5 (B)(C)2 (D)1解析:由S=acsin B得△ABC××1×sin B=,∴sin B=,cos B=±,∴若cos B=-,由余弦定理得AC===.若cos B=,则AC=1,此时△ABC为直角三角形不合题意.故选B.7.(2013昆明模拟)非零向量a,b使得|a+b|=|a|-|b|成立的一个充分非必要条件是( B )(A)a∥b (B)a+2b=0(C)=(D)a=b解析:要使|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,且方向相反,且|a|>|b|,故选B.8.(2013高考新课标全国卷Ⅱ)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y 的最小值为1,则a等于( B )(A)(B)(C)1 (D)2解析:由已知约束条件,作出可行域如图中△ABC内部及边界部分,由目标函数z=2x+y的几何意义为直线l:y=-2x+z在y轴上的截距,知当直线l过可行域内的点B(1,-2a)时,目标函数z=2x+y的最小值为1,则2-2a=1,a=.故选B.9.(2013高考山东卷)抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:如图在同一坐标系中画出C1、C2草图,知C1焦点F(0,),C 2右焦点F2(2,0).由C2渐近线方程为y=±x.直线FF2方程为+=1.联立C1与直线FF2方程得①代入②得2x2+p2x-2p2=0.设M(x0,y),即2+p2x-2p2=0. ③由C1得y′=x,所以x0=,即x=p. ④由③④得p=.故选D.10.(2013西安模拟)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c且2b>2a,logsin2b<logsin 2c,b2+c2=a2+bc,若·<0,则cos B+sin C的取值范围是( D )(A)(B)(C)(D)解析:由已知得b>a,b>c.因为b2+c2=a2+bc,cos A===,所以A=,B+C=π-=,因为b>c,所以B>C,即=B+C<B+B=2B,所以B>.因为·<0,所以·=||·||cos (π-B)=-||·||cos B<0,所以cos B>0,所以<B<.又因为cos B+sin C=cos B+sin =cos B+sin B=sin ,因为<B<,所以<B+<,故sin <sin <sin ,即<sin <,所以<sin <.即cos B+sin C的取值范围是.故选D.二、填空题11.(2013浙江高三五校联考)已知α∈[,π],sin α=,则sin 2α= .解析:∵α∈[,π],sin α=,∴cos α=-=-,∴sin 2α=2sin αcos α=2××(-)=-.答案:-(x+3),则12.(2013嘉兴市高三一模)已知奇函数f(x),当x>0时,f(x)=log2f(-1)= .(1+3)=2.解析:依题意,f(1)=log2又f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-2.答案:-213.(2013浙江金华十校联考)已知数列{an }是公差为1 的等差数列,Sn是其前n项和,若S8是数列{Sn}中的唯一最小项,则数列{an}的首项a1的取值范围是.解析:依题意应有即解得-8<a1<-7.答案:(-8,-7)14.(2014温州期末)设抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线交该抛物线于A,B两点,则|AF|+9|BF|的最小值为 .解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),当AB垂直于x轴时可得|AF|+9|BF|=20, 当AB不垂直于x轴时,设AB方程为y=k(x-1)代入y2=4x整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,∴x1x2=1,∴|AF|+9|BF|=10+x1+9x2=10++9x2≥16,当且仅当x1=x2时等号成立.答案:1615. (2014杭州二中)已知正四面体的俯视图如图所示,其中四边形ABCD是边长为2的正方形,则这个正四面体的体积为.解析:该四面体为棱长为2的正方体被切去“四个角”(如图)后剩余的部分,其体积V=8-4×××23=.答案:16.(2014宁波高三十校联考)已知正实数a、b满足2a+b=1,则4a2+b2+的最小值为.解析:4a2+b2+=(2a+b)2-4ab+=1-4ab+,又1=2a+b≥2,1≥8ab,即0<ab≤,而函数y=1-4x+为(0,+∞)上的减函数.于是1-4ab+的最小值为1-+8=.答案:17.(2013温州市高三一模)方程(x-1)sin πx=1在(-1,3)上有四个不同的根x 1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= .解析:显然x-1≠0,∴方程(x-1)·sin πx=1可化为sin πx=,设y1=sin πx,y2=.在同一坐标系内作出y1,y2的大致图象如图所示.可知四交点关于点(1,0)对称,所以x1+x2+x3+x4=4.答案:4选择、填空题训练(五)【选题明细表】知识点、方法题号集合与常用逻辑用语1、3平面向量5、9不等式 4函数10、15、17 三角函数与解三角形2、11、12数列7、16立体几何8、14解析几何6、13一、选择题1.(2014嘉兴二模)已知集合A={x|x≤2},B={x|x2<4x},则A∩∁B等于( A )R(A)(-∞,0] (B)(-∞,0)(C)[-1,1] (D)(0,2)B={x|x≤0或x≥4},解析:B={x|0<x<4},∁RB={x|x≤0}.故选A.∴A∩∁R2.(2013济宁模拟)将函数 f(x)=sin的图象向右平移个单位后,所得的图象对应的解析式为( D )(A)y=sin 2x (B)y=cos 2x(C)y=sin(D)y=sin解析:将函数f(x)=sin的图象向右平移个单位得到y=sin =sin,选D.3.(2014宁波期末)“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的( C )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当m>n>0时,0<<,方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆;反之,当方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆时,>>0,即m>n>0.故选C.4.(2014高考新课标全国卷Ⅱ)设x,y满足约束条件,则z=2x-y的最大值为( B )(A)10 (B)8 (C)3 (D)2解析:画出可行域如图所示,目标函数z=2x-y斜率为k=2,如图当直线过点A(5,2)时,z最大,=2×5-2=8.∴zmax故选B.5.(2013浙江杭州模拟)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:如图,以OP、OQ为邻边作平行四边形OPMQ,则+=.由图知=,故选C.6.(2013温州市高三一模)已知椭圆+=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则该椭圆的离心率为( B )(A)(B)(C)(D)解析:抛物线的焦点为(2,0),依题意,椭圆中c=2.∴a2=b2+c2=12+4=16,∴a=4.∴离心率e==.故选B.}是首项为1的等比数列,若{}是等差7.(2013杭州市高三二模)设数列{an数列,则(+)+(+)+…+(+)的值等于( C )(A)2015 (B)2018 (C)3021 (D)3023}的公比为q,解析:设等比数列{an∵{}是等差数列.∴+=,即+=,∴q2-2q+1=0.解得q=1,=1,∴an∴(+)+(+)+…+(+)==×2014=3021.故选C.8.(2014瑞安调研)已知a,b,c为三条不同的直线,且a⊂平面M,b⊂平面N,M∩N=c.①若a与b是异面直线,则c至少与a、b中的一条相交;②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直;③若a∥b,则必有a∥c;④若a⊥b,a⊥c,则必有M⊥N.其中正确的命题的个数是( C )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3解析:若c与a,b都不相交,又c与a共面,c与b共面,则c∥a,c∥b,于是a∥b 与a,b异面矛盾,即①正确;②不正确,如b⊥c,a∥c,则a⊥b;③正确,由a∥b可得a∥N,又a⊂M,M∩N=c,所以a∥c;④不正确,当b∥c时,不一定有M⊥N.故选C.9.(2014杭州二中)平面向量a,b,e满足|e|=1,a·e=1,b·e=2,|a-b|=2,则a·b 的最小值为( B )(A)1 (B)(C)2 (D)4解析:由a·e=1,b·e=2得(a+b)·e=3,设a+b与e的夹角为θ,则|a+b|=,所以a·b=-=-1=-1≥,当且仅当cos2θ=1时取等号.故选B.10.(2013烟台模拟)定义域为R的偶函数f(x)满足对∀x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3] 时,f(x)=-2x2+12x-18,若函数y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则a的取值范围是( B )(A)(B)(C)(D)解析:令x=-1,由题意知f(-1+2)=f(-1)-f(1),即2f(1)=f(-1),又f(-1)=f(1),∴f(1)=0.故对任意x∈R有f(x+2)=f(x).设x∈[1,2],则4-x∈[2,3],由于x∈[2,3]时f(x)=-2x2+12x-18=-2(x2-6x+9)=-2(x-3)2,因此f(4-x)=-2(x-1)2,∴f(x)=f(-x)=f(4-x)=-2(x-1)2.因此可画出函数y=f(x)的草图如图所示.令y=g(x)=loga (|x|+1),函数y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,即函数f(x)与g(x)的图象在(0,+∞)上至少有三个交点,当x>0时,g(x)=loga (|x|+1)=loga(x+1),过定点(0,0).由图象可知当a>1时,不成立.所以0<a<1.因为f(2)=-2,所以要使两函数图象至少有三个交点,则有g(2)>-2,即g(2)=loga 3>-2=logaa-2,所以3<a-2,即a2<,所以0<a<,即a的取值范围是,故选B.二、填空题11.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知2a-b=2ccos B,则角C= .解析:由余弦定理及条件知2a-b=2c·,整理得a2+b2-c2=ab,所以cos C=.又C∈(0,π),所以C=.答案:12.(2013嘉兴模拟)在△ABC中,已知a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,S为△ABC的面积.若向量p=(4,a2+b2-c2),q=(1,S)满足p∥q,则∠C= .解析:因为p∥q,所以4S=a2+b2-c2,由三角形的面积公式和余弦定理得4×absinC=2abcos C,所以sin C=cos C,所以∠C=.答案:13.(2013高考辽宁卷)已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点,若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为. 解析:由题意,双曲线C:-=1的左焦点F(-5,0),所以点A(5,0)是双曲线的右焦点,虚轴长为8.从而|PQ|=16.由双曲线定义及题意知|PF|-|AP|=2a=6 ①|QF|-|QA|=2a=6 ②①+②得:|PF|+|QF|-|PQ|=12,∴△PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44.答案:4414.(2014乐清模拟)一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都是半径为1的圆,且这个几何体是实心球体的一部分,则这个几何体的表面积为 .解析:该几何体为半径为1的球,被从直径出发的两个半平面切去后剩余的部分,表面积S=S球面+2S半圆=×4π+π=4π.答案:4π15.(2013浙江宁波模拟)设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-ax,x∈[-2,2]为偶函数,则实数a的值为.解析:由已知得g(x)=当-2≤x≤0时,-x∈[0,2].所以g(-x)=-x-1+ax.由于g(x)是偶函数,因此有-1-ax=-x-1+ax.解得a=.答案:16.(2013浙江省湖州模拟)已知数列{an }满足a1=1,(2n+5)an+1-(2n+7)an=4n2+24n+35(n∈N*),则数列{an}的通项公式为.解析:由已知得-=1,所以{}是公差为1的等差数列,于是=+(n-1),=.整理得an答案:a=(n∈N*)n17.(2013茂名二模)设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意x ∈M(M⊆D),有x+l∈D,且f(x+l)≥f(x),则称f(x)为M上l高调函数.现给出下列命题:①函数f(x)=lo x为(0,+∞)上l高调函数;②函数f(x)=sin x为R上的2π高调函数;③如果定义域为[-1,+∞)的函数f(x)=x2为[-1,+∞)上m高调函数,那么实数m的取值范围是[2,+∞).其中正确的命题的序号为.解析:①中f(x)为减函数,故不可能是(0,+∞)上l高调函数;②中,f(x+2π)=f(x),故②正确;由f(x)=x2(x≥-1)的图象(图略)可知,要使得f(-1+m)≥f(-1)=1,有m≥2,x≥-1时,恒有f(x+2)≥f(x),故m≥2即可,③正确.答案:②③选择、填空题训练(六)【选题明细表】知识点、方法题号集合与常用逻辑用语1、2、11平面向量17不等式12、16函数5、9、10三角函数与解三角形6、7数列3、14立体几何4、13解析几何8、15一、选择题B等于1.(2014嘉兴一模)已知集合A={x|x2-2x<0},B={x≤-1或x>1},则A∩∁R( C )(A){x|0<x<1} (B){x|1≤x<2}(C){x|0<x≤1} (D){x|1<x<2}解析:A={x|0<x<2},∁RB={x|-1<x≤1},∴A∩∁RB={x|0<x≤1}.故选C.2.(2013浙江名校联盟高三联考)已知a,b为两个非零向量,则“a∥b”是“|a|=|b|”成立的( D )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件解析:非零向量a∥b|a|=|b|,反之|a|=|b|a∥b.因此“a∥b”是“|a|=|b|”成立的既不充分又不必要条件.故选D.3.(2013浙江六校联考)已知数列{an }为等比数列,a4+a7=2,a5·a6=-8,则a1+a10的值为( D )(A)7 (B)-5 (C)5 (D)-7 解析:由于{an}是等比数列,所以a5·a6=a4·a7=-8,又a4+a7=2.因此a4=-2,a7=4或a4=4,a7=-2,设等比数列{an}公比为q, 则q3=-2或q3=-因此有a1=1,a10=-8或a1=-8,a10=1,故a1+a10=-7,故选D.4.(2014嘉兴高三期末)已知α,β是两个不同平面,a,b是两条不同直线,且a∥α,b⊥β,则下列说法正确的是( D )(A)若a⊥b,则α∥β(B)若a⊥b,则α⊥β(C)若α⊥β,则a∥b (D)若α∥β,则a⊥b解析:当a⊥b时, α与β可能平行,也可能相交,因此A、B都不正确;C中a与b 平行、相交、异面都可能;若α∥β,则由b⊥β可得b⊥α,又a∥α,可得a⊥b,即D正确.故选D.5.(2014宁波高三十校联考)已知函数f(x)=则f(2014)的值为( D )(A)(B)2 (C)-(D)-2解析:x>1时,f(x)=-f(x-3),因此x>1时,f(x)是以6为最小正周期的周期函数,f(2014)=f(6×335+4)=f(4)=-f(1)=-2.故选D.6.(2013韶关市高三调研)△ABC中,角A、B、C所对的边为a、b、c, 若a=3,C=120°,△ABC面积S=,则c等于( D )△ABC(A)5 (B)6 (C) (D)7=.∴absin C=,解析:∵S△ABC即×3×b×sin 120°=,∴b=5.在△ABC中,由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C=32+52-2×3×5×cos 120°=49.∴c=7.故选D.7.(2013烟台模拟)当x=时,函数f(x)=Asin (x+ϕ)(A>0)取得最小值,则函数y=f是( C )(A)奇函数且图象关于点对称(B)偶函数且图象关于点(π,0)对称(C)奇函数且图象关于直线x=对称(D)偶函数且图象关于点对称解析:当x=时,函数f(x)=Asin (x+ϕ)(A>0)取得最小值,即+ϕ=-+2kπ,k∈Z,即ϕ=-+2kπ,k∈Z,所以f(x)=Asin(A>0),所以y=f=Asin=-Asin x(A>0),所以函数为奇函数且图象关于直线x=对称, 故选C.8.点P在双曲线-=1(a>0,b>0)上,F1,F2是双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( D )(A)(B)(C)2 (D)5解析:不妨设点P在双曲线的右支上,且F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则由双曲线的定义,可得r1-r2=2a,由已知,可得2r1-r2=2c.解得r1=2c-2a,r2=2c-4a.因为+=4c2,所以将r1=2c-2a,r2=2c-4a代入上式且两边同除以a2,得e2-6e+5=0,解得e=1或e=5. 又e>1,所以e=5. 故选D.9.(2014温州一模)对于函数f(x)=4x-m·2x+1,若存在实数x0,使得f(-x)=-f(x)成立,则实数m的取值范围是( B ) (A)m≤(B)m≥(C)m≤1 (D)m≥1解析:由题意知,存在x满足-m·=-+m·,即m=(+-),令t=+∈[2,+∞),即m=(t-),t∈[2,+∞), 则m∈[,+∞).故选B.10.(2013温州市高三一模)若实数a、b、c满足loga 2<logb2<logc2,则下列关系中不可能成立的是( A ) (A)a<b<c (B)b<a<c (C)c<b<a (D)a<c<b解析:由题意知,a、b、c均为不为1的正数,不等式loga 2<logb2<logc2等价于<<.①若log2a,log2b与log2c均大于0,则a>b>c>1.②若log2a<0,log2b>0,log2c>0,则0<a<1<c<b.③若log2a<0,log2b<0,log2c>0,则0<b<a<1<c.④若log2a<0,log2b<0,log2c<0,则1>a>b>c>0.综上知选项B、C、D均有可能.故选A.二、填空题11.命题p:∃x∈(0,),使得cos x≤x,则命题﹁p为: .解析:命题p是一个特称命题,其否定是一个全称命题.因此﹁p为:∀x∈(0,),使得cos x>x.答案:∀x∈(0,),使得cos x>x12.(2013河南省普通高中新课程高考适应性考试)已知x,y满足则z=x-3y的最大值是.解析:作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分所示,作出直线y=x-z,可知当直线经过点B 时,z 有最大值.由可解得B(2,1).∴z max =x-3y=2-3×1=-1. 答案:-113.(2014温州中学模拟)在三棱锥D ABC 中,AC=BC=CD=2, CD ⊥平面ABC,∠ACB=90°.若其正视图,俯视图如图所示,则其侧视图的面积为 .解析:由题意可知,其侧视图是两直角边分别为2和的直角三角形,面积S=.答案:14.(2014杭州二中)在等差数列{a n }中,a 1>0,a 10·a 11<0,若此数列的前10项和S 10=36,前18项和S 18=12,则数列{|a n |}的前18项和为 . 解析:由a 1>0,a 10·a 11<0可知n ≤10时,a n >0, 当n ≥11时a n <0,所以|a 1|+|a 2|+…+|a 18|=a 1+a 2+…+a 10-(a 11+a 12+…+a 18) =S 10-(S 18-S 10) =2S 10-S 18 =72-12 =60. 答案:6015.抛物线y 2=8x 的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,又点A(-2,0),则的最大值是 .解析:由抛物线的定义,可得|PF|=x+2, 又|PA|==,所以===.当x=0时,=1;当x≠0时,=.因为x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,故x++4≥8,0<≤1,所以∈(1,].综上,∈[1,],所以的最大值是.答案:16.(2013高考天津卷)设a+b=2,b>0,则+的最小值为. 解析:由a+b=2,b>0.则+=+=++,由a≠0,若a>0,则原式=++≥+2=.当且仅当b=2a=时,等号成立.若a<0,则原式=---≥-+2=.当且仅当b=-2a即a=-2,b=4时等号成立.综上得当a=-2,b=4时,+取最小值.答案:17.(2013浙江龙游中学高三期中)已知向量a,b,c,满足|a|=|b|=a·b=2,(a-c)·(b-2c)=0,则|b-c|的最小值为.解析:设a,b夹角为θ,∵|a|=|b|=a·b=2,∴cos θ==.∴θ=,由题意不妨设=a=(2,0),c=(x,y),则=b=(1,).∵(a-c)·(b-2c)=0,∴(2-x,-y)·(1-2x,-2y)=0.∴(2-x)(1-2x)-y(-2y)=0.整理得(x-)2+(y-)2=.而|b-c|=,因此|b-c|的最小值为B(1,)与圆心(,)两点间距离与半径之差,即|b-c|=-min=.答案:选择、填空题训练(七)【选题明细表】知识点、方法题号集合与常用逻辑用语1、2平面向量14、16不等式7、10函数9、11三角函数与解三角形6、13数列5、15立体几何4、17解析几何3、8、12一、选择题1.(2014宁波模拟)设集合M=,N=,则M∩N等于( A )(A)[0,) (B)(-,1](C)[-1,) (D)(-,0]解析:N={x|0≤x≤1},∴M∩N=[0,).故选A.2.(2013浙江五校联考)下列命题是真命题的为( C )(A)若x=y,则= (B)若x2=1,则x=1。