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零向量与任何向量正交.
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续5)
定理2 设α1，α2，…，αs为两两正交的非零向量. 则 α1，α2，…，αs线性无关 证明：设k1α1+k2α2+…+ksαs=0. 两边与 αi 作内积,得： ki(αi，αi)=0, ∴ki=0, i=1,2,...,s.
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续7) Schmidt正交化方法
设向量组A: α1，α2，…，αr线性无关, 求与A等价的标准正交向量组.
1.正交化：
取
1 1
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
a1 b1 a2 b2 的内积 定义：n维向量 , a b n n
( , ) a1b1 a2b2 anbn T T
2.( , ) ( , ) ( , );
(i ,i ) 0
∴ α1， α2，…，αs线性无关.
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续6)
定义:设α1，α2，…，αs是向量空间V的一 组基,且两两正交,则称 α1，α2，…，αs为V的一组正交基. 若又有||αi||=1(i=1,2,…,s),则称 α1，α2，…，αs为V的一组标准正交基.
1
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续4) 定理1 | ( , ) ||| || || || .
当α， β均非零向量时，定义α与 β的夹角：
( , ) , arccos || || || ||
(α, β)=0时，称α与 β正交.
第五章 特征值、特征向量 §1.特征值、特征向量 定义1.设A为n阶方阵，λ为数, X n a n1 a f () n1 0 为n维非零列向量.若满足： 叫做A的特征多项式. AX X （1） 求特征值、特征向量方法： 则称λ 为A的特征值，X为A的 1.求| λ E-A|=0的根： 属于 λ 的特征向量 . i 即为A的特征值 如何求A的特征值和特征向量？ 2.求 (i E A) X 0 （1） (E A) X 0（2） 的非零解X=ξ 若齐次方程（2）有非零解X， 即为A的特征向量. 则系数行列式| λ E-A | =0
|| α||=1时，称α为单位向量. 性质：
a1 a2 a n
|| k || (k , k ) k 2 ( , ) | k | || ||
|| 1 |||
|| || 1
( E k T )T ( E k T )
( E k T )( E k T )
E 2k T k 2 T T
E (2k k 2 ) T
0
∴-2k+k2=0,k=2或k=0.
0
T
第四章 向量空间 §3 Rn上的线性变换
1)12 n | A |;
2)1 2 n aii
则β1,β2,…, βr两两正交.
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续8) Schmidt正交化方法
设向量组A: α1，α2，…，αr线性无关, 求与A等价的标准正交向量组.
2.标准化： 令
ei
1 || i ||
i
(i=1,2,...,r)
e1,e2,…,er即为所求标准正交向量组.
称 0
1 || ||
为β的单位化向量（标准化向量）.
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续2) 称 0
1 || ||
为β的单位化向量（标准化向量）.
例1 设α=k β,求α 的单位化向量α0. 解：
1 0 k || || || k ||
1 k 0 | k | || ||
性质：
1.( , ) ( , );
3.(k , ) ( , k ) k ( , );
4.( , ) 0. （等号当且仅当α=0时成立）
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续1)
2 2 || || ( , ) a12 a2 an 定义向量α 的长度：
为Rn的一组基 dimRn=n
(任意n个线性无关的n维实向量均为Rn的一组基)
0 x2 2.V1= xn xi R
ε2, ε3,…, εn为V1的一组基.
dimV1=n-1
第四章 向量空间 §1向量空间及其基、维数、坐标(续5)
解： β=2ε1+3ε2 ∴ β在基(I)下的坐标为2,3; 又 β =3α1- α2 ∴ β在基(II)下的坐标为3,-1.
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基
向量空间是几何空间的抽象.基是坐标系的抽象. 几何空间的直角坐标系、两个向量的夹角、数量积、 垂直、向量的长度等概念，均可推广到向量空间中来.
L Rn
即L为向量空间Rn的子空间，称其为 由向量α1, α2,..., αs生成的子空间.
第四章 向量空间 §1向量空间及其基、维数、坐标(续3)
定义3 设向量空间V中一组向量 A0: α1, α2,..., αr 满足： 1) α1, α2,..., αr线性无关； 2) V中任意向量α均可由向量α1, α2,..., αr线性表 示: α =k1α1 +k2α2+...+krαr, 则称α1, α2,..., αr为V的一组基， 称V为r维向量空间 (V的维数为r),记作:dimV=r.
称k1,k2,...,kr为向量α在A0这组基下的坐标
第四章 向量空间 §1向量空间及其基、维数、坐标(续4)
1.n维实向量全体的集合Rn
1 0 0 0 1 0 1 , 2 ,, n 0 0 1
iT i 1 所以A的列向量两两正交且长度为1. T i j 0(i j )
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续10)
如A= 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 则ATA=E, ∴A为正交矩阵. 0 1 2
( 2 , 1 ) 2 2 1 ( 1 , 1 )
...
( r , 1 ) ( r , 2 ) ( r , r 1 ) r r 1 2 r 1 (1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( r 1 , r 1 )
是
SR
n
V1 R
不是
n
3.V2=
4.n元齐次线性方程AX=0解向量全体的集合S. 是
第四章 向量空间 §1向量空间及其基、维数、坐标(续2)
定义2 设V1,V2是两个向量空间,且V1 则称V1为V2子空间.
V2,
例2 设L=L(α1, α2,..., αs)= {k1 α1+k2 α2+...+ks αs|ki∈R, α i∈Rn} 则L为向量空间，且
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续9) 正交矩阵 定义:若n阶实矩阵A满足：ATA=E，则称A为正交矩阵. 性质：设A为正交矩阵，则 (1) |A|2=1； (2)A-1=AT亦为正交矩阵; (3) A的行（列）向量组为标准正交向量组. 反之亦然. 证：设A= [1 2 n ] 1T 1T 1 1T 2 1T n T T T T 2 2 1 2 2 2 n =E TA= 1 2 n A T T T T n 1 n 2 n n n
3.n元齐次线性方程AX=0的解空间S. 方程的基础解系为S的一组基. dimS=n-R(A). 4. L=L(α1, α2,..., αs)= { k1 α1+k2 α2+...+ks αs |ki∈R, αi∈Rn} α1, α2,..., αs的最大无关组为L的一组基. dimL=R[α1 α2 ... αs]
是
第四章 向量空间 §1向量空间及其基、维数、坐标(续1)
例1.考察下列向量的集合是否为向量空间. 2.V1=
0 x2 xi R xn 1 x2 xi R xn
定义：若对Rn中的任意向量Ｘ，按照某一确定规则T， Rn中总有唯一确定的向量Ｙ与之对应.记为:Y=T(X). 且满足： 1）T(X1+X2)=T(X1)+T(X2); 2）T(kX)=kT(X). (k∈R;X1,X2∈Rn) 则称T为Rn上的线性变换.称Y为X在T下的像. 例 设A=[aij]n×n,对任意X∈Rn,Y=T(X)=AX,则T为Rn上 的一个线性变换（从X到Y的线性变换）. A为可逆矩阵时，称Y=AX为可逆线性变换； A为正交矩阵,称Y=AX为正交变换. 设Y=AX为正交变换，则对任意α, β ∈Rn, ( A , A ) ( A )T ( A ) T AT A T ( , ) 即正交变换保持内积不变，从而保持长度、夹角不变.
例1 设 A为正交矩阵，则A*亦为正交矩阵. 证：A*=|A|A-1, (A*)TA*=(|A|A-1)T(|A|A-1)= |A|2AA-1 ∴A*亦为正交矩阵. =E
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续11) 例2 .设α为n维列向量，且αT α=1, 求实数k,使 H=E- kα αT为正交矩阵. 解:E=HTH
