第三讲 向量及其线性相关性教学目的与要求：理解n 维向量、向量的线性组合与线性表示、向量组线性相（无）关的概念；了解并会运用向量组线性相（无）关的有关性质及判定法；了解向量组的极大线性无关向量组和秩的概念，会求向量组的极大线性无关向量组及秩，了解向量组等价的概念，以及向量组的秩与矩阵的秩之关系，了解n 维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念，了解基变换与坐标变换公式，会求过渡矩阵．重点：n 维向量、向量组的线性相关性、极大无关组与秩.§1 n 维向量空间设F 为数域（简单地说，一个包含0和1的数集F 若对四则运算（除数不为0）封闭，则F 为数域，如有理数集、实数集和复数集都是数域，分别称为有理数域、实数域和复数域，以下所涉及的数域是实数域R 或复数域C ）．1. n 维向量的定义：数域F 上的n 个数组成的有序数组(或) T n a a a α),,,(21L ='21),,,(n a a a L 或称为一个n 维（行或列）向量，其中称为向量),,,(21n a a a αL =i a α的第i 个分量或坐标；当F=R (或C ) 时，称为n 维实（或复）向量；数域F 上的n 维向量全体记为，称为数域F 上的n 维向量空间（或n 维数组空间）． nF 注：（1）当n ＝1、2、3时，n 维向量即几何向量的坐标表示，从而几何意义明显；(2) 0＝(称为零向量，称为T)0,,0,0L T n a a a ),,,(21−−−=−L α()T n a a a ...,,,21=α的负向量．(3) n 维行（或列）向量即1×n （或n ×1）矩阵．（4）矩阵的每一行n m ij a A *)(=)...(21in i i i a a a =α为一个n 维行向量，称为矩阵A 的行向量；而A 的每一列为一个m 维列向量，称为矩阵A 的列向量．(Tmj j j j a a a ...21=β) 2．非负实数22221...n a a a +++=α称为向量的模；T n a a a ),...,,(21),...,,(21n a a a 或模为1 的向量称为单位向量． 显然均为n 维单位向量，称为原始单位向量；T n T T e e e )1,,0,0(,,)0,,1,0(,)0,,0,1(21L L L L ===α＝0⇔|α|＝0．3．向量的线性运算（即矩阵的线性运算）设,),,,(21T n a a a αL =,),,,(21Tn b b b βL=则 Tn n βαβαβαβα）＝（±±±±,,,2211L ，()Tn ka ka ka αk ,,,21L =⋅． 4．运算律 设，nF ∈γβα,,,,F l k ∈ 则(1) αββα+=+；（2）(βα+)＋γ＝)(γβα++；（3）αα=+0；（4）0)(=−+αα；αkl αl k αα)()()6(;1)5(==⋅；（7）αααl k l k +=+)(；（8）βαβαk k k +=+)(．§2 向量组的线性相关性一、3R 中向量的共线与共面 设3,,R ∈γβα 1.两个向量βα,共线使R k ∈∃⇔βα⋅=k 或R l ∈∃使αβ⋅=l l k R l k ,(,∈∃⇔不同时为零)使0=⋅+⋅βαl k ．2.三个向量γβα,,共面R l k ∈∃⇔11,使βαγ11l k +=，或,,2222γl αk βR l k ＋＝使∈∃⇔+∈∃γl βk αR l k 3333,＝使或存在不全为零的实数h ，k ，l 使0=++γβαl k h ．我们称共线的两个向量或共面的三个向量为线性相关的．二、向量组及其线性组合1.向量组：同一个向量空间（如）中的若干个向量nF ,...,...,,21s ααα称为一个向量组．2.向量组的线性组合：表达式s s k k k ααα+++....2211称为向量组s ααα,...,,21的一个线性组合，其中；设),...,2,1(s i F k i =∈),,...,2,1(k ,i s i F F n =∈∃∈若β,...11s s k k ααβ++=使可由向量组则称向量βs ααα，，...,21线性表示．3.显然零向量可由任意的向量组线性表示：L L +⋅++⋅+⋅=s ααα000021； 向量组中任一向量均可由该向量组线性表示:s i i i i αααααα⋅++⋅+⋅+⋅++⋅=+−00100111L L ．....,,...A )(......,),,...,2,1(,.42121221121））（）＝（有解（其中即（向量式）线性方程组线性表示，，由则设T s s s s s n i x x x x b b Ax x x x s i F ====+++⇔=∈βαααβααααααββα 例1 ()()T TT T e e e )100(,010,)001(321321====可由β线性表示即有解线性方程组ββ=++⇔++=332211321321x e x e x e e e e ：x 1=１，x ２=２，x ３=３．5．设（A ）t s βββααα...,B ,...,,:2121，，）：和（为中的两个向量组，如果每一个nF ),...,2,1(t j j =β均可由向量组（A ）线性表示，则称向量组（B ）可由向量组（A ）线性表示；如果向量组（A ）也可由向量组（B ）线性表示，则称向量组（A ）与向量组（B ）可以相互线性表示或等价，记为（A ）～（B ）；向量组之间的等价是“等价关系”，即有（1）（A ）～（A ）；（2）若（A ）～（B ），则（B ）～（A ）；（3）（A ）～（B ）且（B ）～（C ），则（A ）～（C ）． 若向量组（A ）可由向量组（B ）线性表示，则s sj j j j ij k k k t j s i F k αααβ+++===∈∃...),...,2,1;,...2,1(2211使（j=1,2,…,t ）,即t s ij s t k K K *2121)(,)...()...(=⋅=其中αααβββ称为表示矩阵．若，则B 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，表示矩阵为K ． t s s n t n K A B ***⋅= 若,则D 的行向量组可由C 的行向量组线性表示,此时也称H 为表示矩阵． t s s n t n C H D ***⋅= 若A 经行（或列）初等变换成为B ，则A 与B 的行（或列）向量组等价．6. 线性方程组的线性组合、线性表示及等价可类似定义与讨论．三、 向量组的线性相关性 设n s F ∈ααα,,,21L 1．线性相关：若存在一组不全为零的数s s i k k k s i k ααα+++=...),,...,2,1(2211使=0，则称为向量组s ααα,...,,21线性相关；否则称为线性无关．线性相关齐次线性方程组n n F ∈ααα,...,,21⇔0...2211=+++s s x x x ααα有非零解⇔矩阵的秩s R s <),...,,(21ααα例2 （1）例1中的）线性相关（，0)1(321,,321321=−+++ββe e e e e e ， 而（；线性无关321,,e e e )00),,()321321332211===⇔==++k k k k k k e k e k e k T(2) 对一个向量α来说，α线性相关⇔α=0；α线性无关⇔α≠0；对两个向量,,βα来说，,,βα线性相关⇔成比例与即＝或βααββα),,(F l k l k ∈∃=（共线）⇔的坐标对应成比例；与βα三个向量γβα,,线性相关⇔存在不全为零的数)(0,,共面使=++βγβαk h l k h ； (3)含有零向量的向量组0,...,21s ααα，，必线性相()0010...02=⋅+++s αα；反之，线性无关的向量组必不含零向量． 2．定理2 向量组（A ）：)(,...,,21s s s ≥ααα线性相关⇔ (A)中至少有一个向量 （如：i α）能由其余s －1个向量（线性表示),...,,,...,,1121s i i ααααα+−．证 （=>）设（A ）线性相关，即存在不全为零的数，),...,2,1(s i k i =使++2211ααk k0...=+s s k α,不放设111111i ...,0+−−−−+−++−=≠i i i i i i i i k k k k k k k αααα则＋s is k k α−+...． （<=）设s s i i l i i l l l l ααααα+++++=++−−......111111，则.)(01,0...)1(...111111线性相关其中A l l l l l i s s i i i i i ⇒≠−==+++−+++++−−ααααα3．线性无关定理3 设， 则以下（1）―（8）等价n s F ∈ααα,...,,21（1）向量组（A ）：s ααα,....,,21线性无关；（2）不存在不全为零的数使),...,2,1(s i k i ==+++s s k k k ααα...22110； （3）对任一组不全为零的数),...,2,1(s i k i =，0...2211≠+++s s k k k ααα； （4）只有0...,0221121=+++====s s s k k k k k k ααα才使L ； （5）若=+++s s k k k ααα...22110，则021====s k k k L ；（6）(A)中任一向量均不能由其余s －1个线性表示； （7）齐次方程组=+++s s x x x ααα...22110只有零解； （8）矩阵的秩s R s =),.....,,(21ααα．（9）当s ＝n 时还有：线性无关nn F ∈ααα,...,,21⇔行列式D ＝|n ααα,,,21L |0． ≠ 例3 （1）在中任意两个向量1F )(),(b a ==βα必然线性相关（共线）；（2）在中任意三个向量2F γβα,,必然线性相关（共面）；（3）在中任意四个向量3F δγβα,,,必线性相关：（a ）若γβα,,线性相关，即存在不全为零的数使321,,k k k 0,04321＝取k k k k ++βγ=α，则不全为零的数k i （i=1,2,3,4），使线性相关；βγδαβγα,,,04321k k k k δ⇒=+++（此结论可一般化，即若向量组(A)的一部分组(A 1)线性相关，则(A)线性相关，见定理5(2)）；（b ）若γβα,,线性无关，则仿照空间直角坐标系，以γβα,,为三个坐标轴（不共面）建立空间坐标系（称为仿射坐标系），使得中任一向量3F δ均可表示成γβαδ321k k k ++=，从而δγβα,,,线性相关（其中（k 1,k 2,k 3）称为δ在此(仿射)坐标系下的(仿射)坐标）； （4）F n 中任意n ＋1个向量必线性相关（与（３）类似证明，另见例６（２） ）．例4 （1）F n 中()()()1,,0,0,,0,,1,0,0,,0,121L L L L ===n e e e 线性无关；证 若02211=+++n n e k e k e k L 即()()00,,0,0,,,2121====⇒=n Tn k k k k k k L L Ln e e e ,,,21L ⇒线性无关．或每个e i 均不可由其余n －1个线性表示（如的任意线性组合），从而线性无关．121,,,−n e e e L ())1,,0,0(0,,,11111L L L =≠=++−−n Tn n n e k k e k e k n e e e ,,,21L （2）,n e e e ,,,21L ()n a a a ,,,21L =β线性相关：n n e a e a e a +++=L 2211β．例5 （1）设321,,ααα线性无关，试证133322211,,ααβααβααβ+=+=+=线性无关．证 设有0332211=++βββx x x ，即0)()()(133322211=+++++ααααααx x x 亦即0)()()(332221131=+++++αααx x x x x x ，由321,,ααα线性无关得，而⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131x x x x x x 02110011101≠==D ，故321321,,0βββ⇒===x x x 线性无关（1994年研招考题实际即本题）．（2）设s ααα,,,21L 线性无关，s 为奇数，则111211,,,ααβααβααβ+=+=+=−−s s s s s L 线性无关（证明与（1）类似）；（3）设s 为偶数，s ααα,,,21L 为任一向量组，则111211,,,ααβααβααβ+=+=+=−−s s s s s L 线性相关()0121=−++−−s s ββββL（（2）、（3）为1998年研招题）；（4）()()()1,0,1,1,1,0,0,1,1321===βββTTT 线性无关；而()(,0,1,1,0,0,0,1,121=)=γγ()(1,0,0,1,1,1,0,043==)γγ线性相关；（5）设s 为奇数，s ααα,...,,21为线性无关向量组，则向量组++=2211ααβj j j k k线性无关),...,2,1(...s j k s sj =+α⇔D=0*≠ss ijk (证明与（1）类似)；（6）设s 为偶数，s ααα,...,,21为任一向量组，D ＝0*=ss ijk ，则向量组s sj j j j k k k αααβ+++=...2211（j=1,2,…,s ）线性相关．四．线性相关性的性质1．定理4 若s ααα,...,,21线性无关，而s ααα,...,,21，α线性相关，则α可由s ααα,...,,21唯一地线性表示．证 （1）因s ααα,...,,21，α线性相关，即存在一组不全为零的数，k k k k s ,,...,,210...2211=+++ααααk k k k s s ＋使，则k ≠0（否则，若k =0，即有0...2211=++s s k k k ααα＋且不全为零，这与s ,...,,21k k k s ααα,...,,21线性无关矛盾）s s l l l αααα=+++⇒...2211,其中k k l i i −=（i=1,2,…,s ），即α可由s ααα,...,,21线性表示．（2）唯一性：设s s s s l l l k k k ααααααα+++=++=......22112211＋，则有由,0)(...)()(222111−++−+−l k l k l k s s s =αααs ααα,...,,21线性无关得k i =l i （i=1,2,…,s ）,从而唯一性得证．２．定理５ （1）设， 若 ns s F ∈+121,,,,ααααL s ααα,...,,21线性相关则121,,,,+s s ααααL 必线性相关（由定义立得）； （2）若向量组（A ）的某个部分组（A 1）线性相关，则向量组（A ）必线性相关（即若部分相关，则整体相关）； （3）若向量组（A ）线性无关，则向量组（A ）的任一部分组（A 1）必线性无关（即若整体无关，则部分无关）； （4）特别地，若向量组（A ）中含有：一个零向量，或有两个成比例（共线）的向量，或有三个“共面”的向量等；则向量组（A ）必线性相关． 3．定理 6 设（升维），j=1,2,…,s. T j n nj j j j T j n j jj a a a a a a a )...(,)...(12121+==βα （1）若向量组（A ）：s ααα,...,,21线性无关，则向量组（B ）：s βββ,...,,21必线性无关； （2）若向量组（B ）线性相关，则向量组（A ）线性相关．证 （1）向量组（A ）线性无关⇒齐次方程组=+++s s x x x ααα...22110只有零解齐次方程组⇒0...2211+++x x x s s =βββ只有零解⇒向量组（B ）线性无关．4． 定理7 设有nF 中的向量组（A ）：和（B ）：r ααα,...,,21s βββ,...,,21； （1）若向量组（A ）可由（B ）线性表示，且r>s ，则向量组（A ）线性相关； （2）若向量组（A ）可由（B ）线性表示，，且向量组（A ）线性无关，则r ； s ≤ （3）若向量组（A ）与（B ）等价，且均线性无关，则r=s ． 证 （1）设（r ααα,...,,21）＝（21ββr s ij s k K K *)(,)...=⋅β，且设＝即00...2211=+++r r l l l ααα（r ααα,...,,21）＝（⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛r l l l M 21s βββ,...,,21）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅⋅r l l l K M 21因r>s,从而Ｋ的r 个列（s 维）向量线性相关，故存在不全为零的数,使＝0，从而r l l l ,...,,21⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅r l l l K M 210...=+++l l l 2211r r ααα，因此向量组（A ）线性相关．例6 （1）nF 中（线性无关）的任一部分组（仍线性无关）若能由向量组n e e e ,,,21L r i i i e e e ,...,,21s βββ,...,,s 21线性表示，则r ≤；(2) 设s βββ,...,,21为nF 中线性无关的向量组，因s βββ,...,,21可由线性表示，则s ≤n ；反之若n<s ，则n e e e ,...,,21s βββ,...,,21线性相关；特别地，nF 中任意n ＋1个向量必线性相关； (３) nF 中若能由线性无关的向量组n e e e ,,,21L s βββ,...,,21线性表示，（因s βββ,...,,21可由e 线性表示），则二者等价，从而s ＝n ．n e e ,...,,21§3 向量组的秩一、向量组的秩1．定义 设有向量组（A ），若（A ）中存在部分向量组r A ααα,,,:)(210L 满足： （1）（A 0）线性无关，（2）（A ）中任意r ＋1个向量（如果有的话）都线性相关；则称（A 0）为（A ）的一个最（或极）大线性无关向量组，而正整数r 称为向量组（A ）的秩，记为rankA 或R （A ）．并规定仅含零向量的向量组的秩为0，即R （0）＝0．例 1 （1），则)(11,10,01221F e e ∈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ααα,;,;,2121e e e e 均为α,,21e e 的极大无关组，从而2),,(21=αe e R ．（2）因（B ）：线性无关，而F T n T T e e e )1,,0,0(,,)0,,1,0(,)0,,0,1(21L L L L === n 的任意n ＋1个向量均线性相关，故（B ）为F n 的一个最大无关组，从而R （F n ）＝n ； （3）F n 中任意n 个线性无关的向量都构成F n 的一个最大无关组．２．向量组（A ）与其任一最大无关组（A 0）等价；从而向量组（A ）的任意两个最大线性无关组等价．证 因（A 0）线性无关，而对)(A ∈∀α，)A (0与α线性相关)A (0可由α⇒线性表示可由（A )(A ⇒0）线性表示；而（A 0）显然可由（A ）线性表示；故（A ）与（A 0）等价．二、向量组的秩与矩阵的秩的关系１．定理1 矩阵A 的秩与它的行向量组的秩R r （A ）、列向量组的秩R c （A ）都相等． 证 设),,,(21m A αααL =，r A R =)(，并设A 的r 阶子式0≠r D ，记B r 为A 中D r 所在的r 列所成的矩阵，则，即 B r B R r =)(r 的r 个列向量（也是A 中D r 所在的r 个列向量）线性无关；而A 中所有r ＋1阶子式全为0，由定理6（2）知A 中任意r ＋1个列向量线性相关，因此A 中D r 所在的r 个列向量（即B r 的r 个列向量）是A 的列向量组的一个最大线性无关向量组，故．同理可证．r A R c =)(r A R r =)(推论 若矩阵A 的某个s 阶子式0≠s D ，则A 中D s 所在的s 个行（或列）向量线性无关．例2 设，求A 的列向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=97963422644121121112A 51ααL 的最大无关组（A 0）和秩，并把其余向量用（A 0）表示．解 由，而三个非零行的非零首元分别在第1，2，4列，故3)()(00000310000111041211A 11==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−⎯⎯→⎯A R A R A 知＝行变421,,ααα为其最大无关组．再由． 421521321334,00000310003011040101A ααααααα−+=−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−⎯⎯→⎯得＝行变A 定理2 若矩阵A 经行初等变换成为B ，则（1）A 的行向量组（A ）与B 的行向量组（B ）等价；（2）A 的列向量组s ααL 1与B 的列向量组s ββL 1具有相同的线性关系，即有⇔=+011s s k k ααL 011=++s s k k ββL ，F k i ∈．证 （1）若A 经一次初等行变换成为B ，则显然B 的行向量组（B ）可由A 的行向量组（A ）线性表示；反之B 经一次初等行变换（上述逆变换）即成为A ，从而（A ）也可由（B ）线性表示；因此（A ）与（B ）等价成立．)1(⇒ （2）设有011=++s s k k ααL ，即为齐次线性方程组AX ＝0的解，也是的解，即有T s k k x )(1L =T s k k x )(1L =⇒0=BX 011=++ss k k ββL ．推论 若矩阵A 经初等列变换成为B ，则（1）A 的列向量（A ）与B 的列向量组（B ）等价；（2）A 的行向量组与B 的行向量组有相同的线性关系．三、向量组之间的秩关系定理3 若向量组（B ）可由向量组（A ）线性表示，则)()(A R B R ≤．证 设s A αα,,:)(10L 和r B ββ,,:)(10L 分别为（A ）和（B ）的最大无关组，则s A R =)(，，且可由线性表示，即r B R =)()(0B )(0A r s ij k K ×=∃)(使K s r ⋅=)()(11ααββL L ．假设r>s ，因，则方程组r s K R <≤)(0=⋅x K 有非零解，⇒方程组0)(1=Kx s ααL ，即0)(1=x s ββL 有非零解，这与s B ββ,,:)(10L 线性无关矛盾；故s r ≤．推论（1）等价的向量组有相同的秩（显然）；（2）设，则n s s m n m B A C ×××⋅=)}(),(min{)(B R A R C R ≤；（3）设向量组（A ）的部分组（A 0）线性无关，且（A ）可由（A 0）线性表示，即从（A ）中任意加一个向量到（A 0）后即线性相关，则（A 0）为（A ）的极（或最）大无关组．证 （2）C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，B 为此表示的系数阵：;又C 的行向量组可由B 的行向量组线性表示，．)()()()(11A R C R B s n ≤⇒⋅=ααγγL K )()(B R C R ≤⇒ （3）设（A 0）含有r 个向量，则R(A 0)=r ，而（A ）可由（A 0）线性表示，从而A 中任意r ＋1个向量都线性相关，⇒（A ⇒=≤r A R A R )()(00）为（A ）的极大无关组． 注：推论（3）可作为极（或最）大无关组的（等价）定义．例3 设向量组（B ）可由（A ）线性表示，且).(~)(),()(B A B R A R 则= 证法1 只要证（A ）可由（B ）线性表示，从而（A ）～（B ）．设R(A)=R(B)=r ，且设A ，B 的一组最大无关组分别为（A 0）：r r B ββαα,,:)(,,101L L 和．因（B 0）可由（B ）表示，（B ）可由（A ）表示，而（A ）可由（A 0）表示， 表示，即)()(00A B 可由⇒r r K ×∃使K A B 00⋅＝，r K R K R B R r =⇒≤=⇒)()()()(A ),(B 0r 10r 10ααββL L ＝＝，即K 可逆，即（A 111)()(−⋅=⇒K r r ββααL L 0）可由（B 0）线性表示（A ）可由（B ）线性表示（A ）～（B ）．⇒⇒证法2 设向量组（A ）和（B ）一起构成向量组（C ）．则因（B ）能由（A ）表示得（C ）可由（A ）表示．而（A ）能由（C ）表示r C R C A =⇒⇒)()(~)(．于是（B ）的任一最大无关组（B 0）也是（C ）的最大无关组⇒(C) ～( B 0) ～(B) （A ）～（B ）． ⇒例4．已知．证明向量组TT T T )5,3,4,4(,)9,5,6,5(,)1,1,2,3(,)3,1,3,2(1121−−=−−=−−=−=ββαα2121,,ββαα与等价．证法1 只要证明使22×∈∃F Y X ，Y X )()(,)()(21212121ββααααββ==，先求X ，类似于求解线性方程组的方法，对增广矩阵()2121ββαα施行初等行变换化为行最简形矩阵： ()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−=000000002310120159133511462045322121行变ββαα即得． ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=2312X 因01≠=X ，故X 可逆，取,即为所求．因此向量组⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==−23121X Y 2121ββαα与等价（而且将此两个向量组相互线性表示出来：2122112122112,32;2,32ββαββαααβααβ+=+=+−=−=）．证法2 对()21,αα和()21,ββ分别施行初等列变换化为列最简形矩阵：()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−⎯⎯→⎯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=411234521100113112032,21列变αα，()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−⎯⎯→⎯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=411234521100159354645,21列变ββ可见二者由相同的列最简形，于是()21αα可经初等列变换成为()21ββ，由定理2的推论知向量组2121ββαα与等价．证法3 显然21,αα线性无关（二者不成比例），21,ββ线性无关，且由法1知()212121212ββααββαα与⇒=R 都是212,1,,ββαα的最大无关组，从而等价．例5 求向量组54321,,,,ααααα的极大无关组：．()⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−=3110222121022201211121011,,,,54321ααααα 解()⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−⎯⎯→⎯00000000002001011100201010*********200201110021011,,,,54321行变行变ααααα(3,,,,R 54321＝)ααααα⇒；其极大无关组有7组（为什么？）：421,,ααα;,,;,,;,,;,,;,,;,,;532542531521321541αααααααααααααααααα且有421541322,ααααααα−+=−=．例6（1992-Ⅰ,II ）设321,,ααα线性相关，432,,ααα线性无关．问：（1）1α能否由32,αα线性表出？（2）4α能否由321,,ααα线性表出？ 证明你的结论． 解 （1）1α能由32,αα线性表出．因为32,αα4,α线性无关⇒32,αα线性无关，而321,,ααα线性相关⇒1α能由32,αα线性表出．（2）4α不能由321,,ααα线性表出．否则，若4α能由321,,ααα线性表出，由（1）1α能由32,αα线性表出⇒4α能由32,αα线性表出，与432,,ααα线性无关矛盾．故4α不能由321,,ααα线性表出．例7（1995-Ⅳ）已知向量组(Ⅰ)321,,ααα (II) 4321,,,αααα (III) 5321,,,αααα的秩分别为．证明向量组（Ⅳ）4)(,3)()(===ⅢⅡⅠR R R 45321,,,ααααα−的秩为4． 证 因线性无关，(II)线性相关)(3)()(ⅠⅡⅠ⇒==R R 4α⇒可由321,,ααα唯一地线性表出3322114ααααk k k ++=．假设)()(0332211454332211454332211ααααααααααααk k k l l l l l l l l l ++−+++=−+++= 54334322421141)()()(ααααl k l l k l l k l l +−+−+−=， 由即4)(=ⅢR 5321,,,αααα线性无关得0434324241==−=−=−l k l l k l l k l l 04321====⇒l l l l即45321,,,ααααα−线性无关，故4)(=ⅣR ．§4 向量空间设F 是数域，V=F n 为F 上的向量空间，它是数域F 上的线性空间，即其中向量有加法和数乘这两个线性运算，且满足是八条运算律（详见教材第六章）．一、三维实向量空间的基与坐标 （复习与推广）1. 由空间解析几何知道，在R 3中建立直角坐标系（即取定成右手系的相互垂直的单位向量i , j , k ）后，向量组e 1=()001T , e 2=()010T , e 3=()100T 为R 3的一个极大无关组，即e 1，e 2，e 3线性无关，且＝(α∀a 1 a 2 a 3) T ∈R 3均可由e 1，e 2，e 3唯一地线性表示：α＝a 1e 1+a 2e 2+a 3e 3，或R 3可由e 1，e 2，e 3线性生成，故称e 1，e 2，e 3为R 3的一组基，且称R 3为3维实向量空间．2. 称a i (i=1,2,3)为向量α＝(a 1a 2a 3)T 在基e 1，e 2，e 3下的第i 个坐标（分量），且称(a 1 a 2 a 3)T 为α在基e 1，e 2，e 3下的坐标（表示）．3. R 3中任意3个线性无关的向量α1 、α2 、α3均构成R 3的一组极大无关向量组，都可作为R 3的一组基，∈∀α R 3均可由α1 、α2 、α3唯一地线性表示：α＝b 1α1＋b 2α2＋b 3α3 称b i 为 在基α1 、α2 、α3下的第i 个坐标，且称(b 1，b 2，b 3)T 为α在基α1 、α2 、α3下的坐标（表示）．例1 （1） α1＝( )001T ，α2＝( )011T ，α3＝( )111T ，为R 3的一组基，α∀＝（a 1a 2a 3）∈R 3在此基下的坐标为（a 1－a 2，a 2－a 3，a 3）：α＝（a 1－a 2）α1＋（a 2－a 3）α2＋a 3α3．（2）β1＝()111T ，β2＝( )110T ，β3＝( )100T ，为R 3的一组基，α∀＝（a 1a 2 a 3）∈R 3在此基下的坐标为（a 1，a 2－a 1，a 3－a 2）：α＝a 1β1＋(a 2－a 1)β2＋(a 3－a 2)β3．二、向量空间的基、维数和坐标1.基与维：向量空间V=F n 的任一极大线性无关组（必含有n 个向量）称为V 的一组基，于是称n 为V 的维数，记为dimV ，即dimV=n2.坐标：设α1，．．．，αn 为V 的一组基，∈∀αV 可由α1，．．．，αn 唯一地线性表示： α＝a 1α1＋．．．＋a n αn ，称a i 为α在基α1，．．．，αn 下的第i 个坐标（分量），称(a 1，．．．，a n )T 为α在基α1，．．．，αn 下的坐标（向量），记为α＝（α1 ．．．αn ）(a 1 ．．．a n )T 例2、设V=F n ，则（1）e 1=()001L T ，e 2=()010L T ，e n =()100L T , 为V 的基，∈∀αV ，α＝(a 1a 2a L n )T ，则α＝(e 1e 2e L n )(a 1a 2a L n )T ；（2）α1＝()001L T ，α2＝()011L T ，＝()n α,L 111L T ，为V 的基, α∀＝(a 1a 2a L n )T ∈V ，则α＝(α1α2αL n )( a 1－a 2 a 2－a 3 L a n-1－a n a n )T , β1＝()111L T ,β2＝( )110L T ,L βn ＝( )100L T 为V 的基，=∀α(a 1a 2a L n )T ∈V ，则α＝(β1β2L βn )( a 1 a 2－a 1 L a n-1－a n-2 a n-1－a n )T ．3.基变换 设V=F n 的两组基（E ）：e 1e 2L e n 和（D ）：d 1d 2L d n ，则d j ＝t 1j e 1+t 2j e 2+L +t nj e n(j=1,2, L n)；若记T ＝(t ij )n ×n 则有（d 1d 2L d n ）＝（e 1e 2L e n ）T L （1）并且T 可逆（记T ＝（t 1t 2 L t n ）,t j ∈F n 为T 的第j 个列向量，设(t 1t 2 L t n )(k 1k 2L k n )T ＝k 1t 1+k 2t 2+k L n t n =0，k ⇒1d 1+k 2d 2++k L n d n =(d 1d 2L d n )( k 1k 2L k n )T =(e 1e 2L e n )( t 1t 2L t n )( k 1k 2L k n )=0，而d T 1 d 2 L d n 线性无关⇒k 1=k 2= L =k n =0 t ⇒1，t 2, L ,t n 线性无关 T 可逆），于是有（⇒e 1e 2L n e ＝(d 1d 2L d n )T -1L （2）（1）式和（2）式分别称为从旧基（E ）：e 1e 2L e n 到新基（D ）：d 1d 2L d n 和从新基（D ）到旧基（E ）的基变换公式，其中T 称为从旧基（E ）到新基（D ）的过度矩阵．例3 （1）R 3中基e 1e 2e 3到基α1α2α3和基β1β2β3（同例1）的过度矩阵分别为 T １＝（T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1001101111-1=）和T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−1001100112= (T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1110110012-1=)； ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−110011001（2）V=F n 中，从基e 1e 2e L n 到基α1α2αL n 和基β1β2．．．βn （同例2）的过度矩阵 分别为T 1=，（T ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10000110001111011111L L L L L L L L L L 1-1=） ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−10000110000011000011L L L L L L L L L L 和T 2=（T ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111011110001100001L L L L L L L L L L 2-1=）． ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−11000010000001100001L L L L L L L L L L 4. 坐标变换：设∈αV 在旧基（E ）和新基（D ）下的坐标分别为x=(a 1a 2a L n )T 和 y=(b 1b 2b L n )T ，即α＝(e 1e 2e L n ).x=( d 1d 2d L n ).y ，而（e 1e 2e L n ）＝（d 1d 2d L n ）.T -1，从而( d 1d 2d L n ).y ＝( d 1d 2d L n ).T -1.x ，由坐标的唯一性知 y=T -1.x ，此式称为由(向量α的)旧坐标x 到新坐标y 的坐标变换公式，而T -1称为由旧坐标x 到新坐标y 的坐标变换矩阵．例4 （1）设α＝(a 1a 2a 3)T ∈R 3在基α1α2α3（同例1）下的坐标为x=(x 1 x 2 x 3)T ， 即α＝（α1α2α3）x ＝x 1α1＋x 2α2＋x 3α3，则x ＝T 1-1 (a 1a 2a 3)T =(a 1－a 2，a 2－a 3，a 3)T （与例1结果相同）设α＝(a 1a 2a 3)T ∈R 3在基β1β2β3（同例1）下的坐标为y=(y 1 y 2 y 3)T ，即α＝(β1β2β3).y ＝y 1β1+y 2β2+y 3β3，则y=T 2-1(a 1a 2a 3)T ＝（a 1，－a 1＋a 2，－a 2＋a 3），即y 1=a 1，y 2= －a 1＋a 2，y 3=－a 2＋a 3（与例１结果相同）； （2）同理可得α∀＝(a 1a 2a L n )T ∈R n 在例2中的新基α1α2αL n 和β1β2βL n 下的坐标分别为x=T 1-1α和y=T 2-1α，即x=(a 1－a 2，a 2－a 3 ，L a n-1－a n ，a n )T 和y=(a 1，－a 1＋a 2，L －a n-1＋a n )T（3）R 2中由基e 1=()01T ，e 2=()10T 到新基α1= (2121)T ，α2= (2121−)T 的坐标变换即为旋转（4π），其过渡矩阵为T=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−21212121，坐标变换矩阵为T -1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−21212121，坐标变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−=+=x x y x x y 21221121212121（4）平面（R 2）上旋转θ角的坐标变换相的过渡矩阵为T=，坐标变换矩阵为T ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−θθθθcos sin sin cos -1=，坐标变换公式为 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−θθθθcos sin sin cos ⎪⎩⎪⎨⎧+−=+=θθθθcos sin sin cos 212211x x y x x y 三、向量子空间1. 定义：设≠φV F ⊆n ，如果对F n 中向量的加法和数乘两线性运算封闭，即对∈∀βα,V 及∀k ∈F ，有α＋β，k α∈V ，则称V 为F n 的子（向量）空间．注: （1）子（向量）空间本身是一个向量空间，从而有基、维数、坐标等概念．若dimV=m ，（m n ）则称V 为F ≤n 的m 维子空间；当m=n 时，即有V=F n ．（2）显然O ＝{0}为F n 的子空间，称为零子空间，其维数为0；V=F n 是F n 的子空间；O 和F n 称为F n 的平凡子空间，而F n 的其它子空间称为非平凡子空间．2. 生成子空间：对∀α1α2αL s ∈F n ，记V=L[α1α2αL s ]={k 1α1+ k 2α2+L + k s αs | k i ∈F,i=1,2,3,s}，显然V 对向量的加法和数乘封闭，从而V 为F L n 的子空间，称为由向量α1α2αL s 线性生成（或张成）的子空间；设α1α2αL r 为α1α2αL s 的极大线性无关组，则V 中任一向量均有α1α2αL r 线性表示，从而α1α2αL r 为V 的一组基，于是dimV = r (0≤ rn)；若R(≤α1α2αL s )=n ，则V = L(α1α2αL s )=F n ．例5 （1）V 1={α=（0 a 2a L n |a i ∈F ，i=2, L n ）}为F n 的一个子空间，易证 e 2=()010L T , L ，e n = ()100L T 为V 1的一组基，从而dimV 1＝n-1； （2）V 2={α= (1 α2αL n )| a i ∈F,i=2,3, L n}对F n 的加法和数乘都不封闭（α1＋α2＝（2，）∉V L 2，3α＝（3,L ）∉V 2）,从而V 2不是F 的子空间； n （3）V 3＝{α= (,2a )|R }对加法封闭，但对数乘不封闭（(－1)a T a ∈+α＝（－,－2）a a ∉V 3）,故V 3不是R 的子空间；2V 4={()b a ,T |=或=2，b a b a ∈a R}对数乘封闭，但对加法不封闭（ ()a a ,T +()a a 2,T =()a a 3,2T ∉ V 4）,故V 4也不是R 2的子空间．3. 子空间的运算 设V 1,V 2为F n 的两个子空间．(1) 交子空间：V 1∩V 2＝{α|α∈V i ，i=1,2}；(2) 和子空间：V 1＋V 2＝{βα+|α∈V 1 ,β∈V 2}；易证：V 1∩V 2和V 1＋V 2都对加法和数乘封闭，从而都是F n 的子空间；但是V 1∪V 2 ＝{α|α∈V 1或α∈V 2}一般不是F n 的子空间．4. 维数公式（1）dim V1+dim V2=dim(V1＋V2)+dim(V1∩V2)；≥1+dim V2－dimV；（2）dim(V1＋V2)≤ dim V1+dim V2；dim(V1∩V2) dim V若dim V1+dim V2 > dimV，则V1∩V2≠0．例6V=R3,V1={α=(a1，a2，0)T| a i∈R,i=1,2 }, V2={β=(0,b1,b2)T|b i∈R,i=2,3 },则V1，V2均为V的2维子空间（即分别为空间坐标系中的xy面和yz面），V1∩V2＝{γ=(0,c,0)T|c∈R}为1维子空间（即y轴），V1＋V2＝V，满足dimV1+dimV2=4=3+1=dim(V1＋V2)+dim(V1∩V2)．。
