群考-2011考研数学重点难点归纳辅导

【连续、可导、可微】对于一元函数：连续函数不一定可导（y=x的绝对值），可导函数一定连续；对于多元函数则两者都不一定，即不能互相推出。

而不论是一元还是多元函数，可微都等同于可导【极值与导数】（取极值的必要条件）设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取极值，则f'(x0)=0. （取极值的第一充分条件）设函数f(x)在x0的某一邻域内可微，且f'(x0)=0（或f(x)在x0处连续，但f'(x0)不存在.）(1)若当x经过x0时，f'(x)由“+”变“-”，则f(x0)为极大值；(2)若当x经过x0时，f'(x)由“-”变“+”，则f(x0)为极小值；(3)若f'(x)经过x=x0的两侧不变号，则f(x0)不是极值.(取极值的第二充分条件)设f(x)在点x0处有f''(x)≠0，且f'(x0)=0，则当f''(x0)<0时，f(x0)为极大值；当f''(x0)>0时，f(x0)为极小值.注：如果f''(x0)＝0，此方法失效【渐进线】水平渐近线：自变量趋近于无穷大时，因变量趋近于某常数垂直渐近线：自变量趋近于某常数时，因变量趋近于无穷大斜渐近线：若a=limx→∞f(x),b=li m[f(x)-ax]，则y=ax+b称为y=f(x)的斜渐近线x→∞x【凹凸性】根据图形的斜率来记忆，凹凸的方向是相对于y轴的正方向而言公式定理基本概念辨析注意事项【常用的等价无穷小当x→x时】 sinx⎫arcsinx⎪1⎪1-cosx x2tanx⎪2⎪⎬ x,1arctanx⎪1(1+x)n-1 xnln(1+x)⎪⎪ex-1⎪⎭【基本导数与微分表】y=tanx y'=y=cotx y'=-1=se2cx 2cosx1=-cs2cx 2sinxny=secx y'=secxtaxt y=cscx y'=-cscxcoxy=arcsinxy'= y=arccosxy'=y=arctanx y'=1 1+x21 1+x2y=arccotx y'=-【基本积分公式】1⎰x=lnx+C（注意绝对值）1⎰sinxdx=⎰cscxdx=lncscx-cotx+C 1⎰cosxdx=⎰secxdx=lnsecx+tanx+C⎰secxtanxdx=secx+C⎰cscxcotxdx=-cscx+C ⎰tanxdx=-lncosx+C⎰cotxdx=lnsinx+C ⎰a2dx1x=arctan+C2aa+x⎰1+xdx2=arctanx+C =arcsinx+C 2=arcsinx+Cadx1a+x=ln2⎰a-x2aa-x+Cdx11+x=2⎰1-x2ln1-x+C=lnxC【积分重点公式】(1)设f(x)在[-l,l]上连续，则⎰l-lf(x)dx=⎰[f(x)+f(-x)]dx =⎪⎨0lfx）为奇函数⎧0,当（2f(x)dx,当（fx）为偶函数⎪⎩⎰0l（2）设（fx）是以T为周期的连续函数，a为任意实数，则⎰a+Taf(x)dx=⎰T0f(x)dx=1a24⎰T2T-2f(x)dx. (3)⎰0=⎧n-1n-31π ,当n为偶数⎪⎪ nn-222nn(4)⎰2sinxdx=⎰2cosxdx⎨00⎪n-1n-3 2 1,当n为奇数⎪nn-23⎩ππ（5）⎰sinnxcosmxdx=⎰-ππ2π0⎧π,n=m sinnxcosmxdx=⎨⎩0,n≠m⎰π-πsinnxcosmxdx=⎰sinnxcosmxdx=0 02π⎰π-πcosnxcosmxdx=⎰2π0⎧π,n=m cosnxcosmxdx=0=⎨⎩0,n≠m【常用高阶导数公式】(sinkx)(n)=knsin(kx+n⋅) 2(coskx)(n)=kncos(kx+n⋅) 2ππ莱布尼兹公式：若u(x),v(x)均n阶可导，则 (uv)【重点公式】Th1(费马定理)若函数f(x)满足条件： (n)i(i)(n-i)，其中u(0)=u，v(0)=v=∑cnuvi=0n(1)函数f(x)在x0的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有f(x)≤f(x0)或f(x)≥f(x0),(2) f(x)在x0处可导,则有 f'(x0)=0Th2 (罗尔定理) 设函数f(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在(a,b)内可导，则在(a,b)内∃一个ξ，使f'(ξ)=0 Th3 (拉格朗日中值定理) 设函数f(x)满足条件：(1)在[a,b]上连续；(2)在(a,b)内可导；则在(a,b)内∃一个ξ，使 f(b)-fa()=f'(ξ) b-a Th4 (柯西中值定理) 设函数f(x)，g(x)满足条件：(1)在[a,b]上连续；(2)在(a,b)内可导且f'(x)，g'(x)均存在，且g'(x)≠0则在(a,b)内∃一个ξ，使 f(b)-f(a)'fξ() =g(b)-g(a)'gξ()泰勒公式: 设函数f(x)在点x0处的某邻域内具有n+1阶导数，则对该邻域内异于x0的任意点，在x0与之间至少∃一个ξ，使得xxf(x=)fx0f(x0)n12 +(x-x)+R)'''+(fx)x-x(+f)x(x-x)+ (0n(x)000n!2!(n)(n+1)f(ξ) 其中 Rn(x)=(x-x0)n+1称为f(x)在点x0处的n阶泰勒余项.令x0=0，则n 阶泰(n+1)!勒公式1f(n)(0)n2f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x+ +x+Rn(x)……(1)其中 2!n!f(n+1)(ξ)n+1，在0与之间.(1)式称为麦克劳林公式ξxRn(x)=x(n+1)!常用五种函数在x0=0处的泰勒公式121nxn+1ξe=1+x+x+ +x+e 或 =1+x+1x2+ +1xn+o(xn)2!n!(n+1)!2!n!x13xnnπxn+1n+1sinx=x-x+ +sin+sin(ξ+π) 或 3!n!2(n+1)!213xnnπ=x-x+ +si+ox(n )3!n!212xnnπxn+1n+1cosx=1-x+ +cos+cos(ξ+π) 或 2!n!2(n+1)!212xnnπn )=1-x+ +co+ox(2!n!2n1213(-1)nxn+1n-1x 或 ln(1+x)=x-x+x- +(-1)+n+123n(n+1)(1+ξ)n1213n-1x=x-x+x- +(-1)+o(xn)23n(1+x)m=1+mx+m(m-1)2m(m-1) (m-n+1)n +m(m-1) (m-n+1)xn+1(1+ξ)m-n-1 x++x(n+1)!2!n!或 (1+x)m=1+mx+m(m-1)x2+ 2!+m(m-1) (m-n+1)nx+o(xn)n!估值定理：设m≤f(x)≤M,x∈[a,b],其中m,M为常数，则m(b-a)≤⎰f(x)dx≤M(b-a)ab 积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少∃一个ξ,使⎰f(x)dx=(b-a)f(ξ)ab【不等式证明公式】定积分不等式证明中常用的不等式(1)a2+b2≥2ab (2a)>0a,+(3)柯西不等式：(⎰f(x)g(x)dx)2≤ab1≥ 2a(⎰baf2(x)dx ⎰g2(x)dx,a)(b) 其中（fx），（gx）在［a，b］上连续【多元函数的极值公式】Th（取极值的必要条件）1设z=f(x,y)在P(x0,y0)点的一阶偏导数存在，且'⎧⎪fx(x0,y0)=0P(x0,y0)是z=f(x,y)的极值点，则⎨'⎪⎩fy(x0,y0)=0Th（函数取极值的充分条件）2设z=f(x,y)在P(x0,y0)点的某邻域内有连续的二阶偏导数,且f'x(x0,y0)=0,f'y(x0,y0)=0[f"xy(x0,y0)]2-f"x2(x0,y0) f"y2(x0,y0)<0 则P(x0,y0)是z=f(x,y)的一个极值点(1)若f"x2(x0,y0)>0(或f"y2(x0,y0)>0),则P(x0,y0)为极小值点。

6.可微与可导的关系f x 在0x 处可微 f x 在一般地， y f x ，则dy 所以导数 dyf x dx也称为微商，就是微分之商的含义。

00f f 曲线y x 在原点的切线不存在（见上图）【例2】设函数试确定a b 、的值，使 f x 解 可导一定连续， f x 由110lim x f f())a 和(,())B b f b 之间是连续曲线［包之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于处纵坐标相等。

点之间［不包括点A 和B］至少有一点，它的切线b01x 四、泰勒定理（泰勒公式）定理1（皮亚诺余项的n 阶泰勒公式）设 f x 在0x 处有n 阶导数，则有公式0001!f x f f x f x x x0x 其中 00nn R x o x x x x0lim 0n n x x R x x x有三个驻点和一个不可导点，考察它们两侧导数的符号，用第一充分判别法可知，另一个较小驻点为极小值点，原点为不可导点是极大值点，∴12=33f 为极小值【例3】设()f x 在0x 邻域内有定义，且00()()lim()nx x f x f x k x x ®-=-，其中n 为极值.解00()()()()nf x f x k x x x a -=+-，其中()()()n f x f x k x x a -=-+又可以用第一换元积分法，那么一般用第（2）22x x e dx注：复杂图形分割为若干个小图形，使其中每一个符合模型Ⅰ或模型Ⅱ加以计算，再相加．803．参数形式表出的曲线所围成的面积设曲线C 的参数方程()()x t y t j y ì=ïïíï=ïî()t a b ＃()a j a =，()b y b =，()t j 在 ，（或 ，）上有连续导数，且()0t j ³且连续则曲边梯形面积（曲线C 与直线x a =，x b =和x 轴所围成)()()b S ydx t t dtb y j ¢==蝌，y d =和y 轴围成绕y 轴旋转一周四、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积(数学一和数学二)轴一周所得旋转曲面的面积为S．β）处法线与曲线所围成图形的面积的另一交点为932，21623y dy【例2】设1D 是由抛物线是极大值点，也是最大值点.此时1V+xdxsin d常微分方程基本概念和一阶微分方程解得23u x x ，即223y x x 则2223322x y为空间一个点集则称 u f x y z ，，它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

[白金指导手册]大纲后的考研数学复习(概率论与数理统计)从考研数学大纲颁布来看，不管数一还是数三，概率方面没有做一点改变，所以我们目前就根据近几年考研真题谈一下对概率与数理统计的复习：尽管概率统计和线性代数所占分数比例完全相同。

但是概率论与数理统计部分得分一般均低于线性代数部分，因为大多数考生在复习和答卷时，把概率论与数理统计放在最后，常因时间紧迫，思虑不周而造成准备不充分，进而导致答卷失误。

概率论与数理统计部分是大多数考生在数学统考中的一个弱项，是关系考生在选拔性考试中竞争力强弱的关键一环，对中等水平的考生来说，尤为如此。

我认为处于现阶段的考生在数学科目的复习安排上，要先从最薄弱的一环开始，也就是说，在目前整个数学课程复习之初，要按照考研大纲规定的内容，将概率论与数理统计一节一节地复习，一个概念一个概念地领会，一个题一个题地做，以达到正确理解和掌握基本概念、基本理论和基本方法。

要特别指出的是：在这一阶段复习时，不要轻视对教科书中一般习题的练习，一定要配合各章节内容做一定数量的习题，总结一般题型的解题方法与思路。

这一阶段一般最迟应在国庆节之前完成。

尽管这一阶段仅仅是概率论与数理统计乃至数学全面复习的先导，但它是为开始全面冲刺复习打基础的阶段。

在此过程中，不要过多地去追求难题、技巧，要脚踏实地、全面仔细地复习，从10年的真题告诉考生，凡是考纲上有的内容，就要不遗漏，出现掌握和会用的考点要弄会、搞透。

这个阶段虽然涉及综合性提高性题型不多，但基础打得好将为下阶段全面冲刺复习创造一个有利前提，更何况，很多综合性、灵活性强的考题，其关键之处也在于考生是否能够适当运用有关的最基本概念、理论和方法。

下面总结一下常考题型：常有的题型有：填空题、选择题、计算题和证明题，试题的主要类型有：(1) 确定事件间的关系，进行事件的运算；(2) 利用事件的关系进行概率计算；(3) 利用概率的性质证明概率等式或计算概率；(4) 有关古典概型、几何概型的概率计算；(5) 利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率；(6) 有关事件独立性的证明和计算概率；(7) 有关独重复试验及伯努利概率型的计算；(8) 利用随机变量的分布函数、概率分布和概率密度的定义、性质确定其中的未知常数或计算概率；(9) 由给定的试验求随机变量的分布；(10) 利用常见的概率分布（例如(0-1)分布、二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布等）计算概率；(11) 求随机变量函数的分布(12)确定二维随机变量的分布；(13) 利用二维均匀分布和正态分布计算概率；(14) 求二维随机变量的边缘分布、条件分布；(15) 判断随机变量的独立性和计算概率；(16) 求两个独立随机变量函数的分布；(17) 利用随机变量的数学期望、方差的定义、性质、公式，或利用常见随机变量的数学期望、方差求随机变量的数学期望、方差；(18) 求随机变量函数的数学期望；(19) 求两个随机变量的协方差、相关系数并判断相关性；(20) 求随机变量的矩和协方差矩阵；(21) 利用切比雪夫不等式推证概率不等式；(22) 利用中心极限定理进行概率的近似计算；(23) 利用t分布、χ2分布、F分布的定义、性质推证统计量的分布、性质；(24) 推证某些统计量(特别是正态总体统计量)的分布；(25) 计算统计量的概率；(26) 求总体分布中未知参数的矩估计量和极大似然估计量；(27) 判断估计量的无偏性、有效性和一致性；(28) 求单个或两个正态总体参数的置信区间；(29) 对单个或两个正态总体参数假设进行显著性检验；(30) 利用χ2检验法对总体分布假设进行检验。

2011考研数学理⼯类真题难度较2010年偏难　主持⼈：各位考⽣好，2011年全国考研数学刚刚结束，我们请到了海天考研辅导名师曹显兵来为我们做第⼀时间的真题解析，曹⽼师你好，欢迎你做客我们的访谈，先给⼤家打个招呼吧。

曹显兵：各位友好。

主持⼈：真题现在⼤家都已经看到了，您也第⼀时间拿到了数学真题，您觉得今年真题和往年相⽐，难度上有什么变化吗? 曹显兵：好的，我刚刚来到易，易第⼀时间把题给我看了⼀下，数学⼀、数学⼆、数学三，虽然只是初步看了⼀下，但给我的感觉，这三门还是强调了数学考试的⽬的就是对基本概念、基本性质、基本原理的考察，这类考试性质没有变。

具体来说，从整体试卷来看，理⼯类(数学⼀、数学⼆)⽐经济类(数学三)的难度略微⾼⼀点，这是给我的第⼀感觉，当然我没有去做，感觉要难⼀点，强调了基础性的题，平常我们上课当中着⼒强调的，应该说偏题怪题没有出现。

主持⼈：没有考⽣所说的“变态题”。

曹显兵：⽬前没有看见，当然，这⾥⾯有个别题是有点难度的，包括⼀些选择题，如果平常复习仅仅是死记硬背，对于知识点不能灵活掌握运⽤，这种题做起来会有困难。

主持⼈：也就是说，还是有对基础的考察? 曹显兵：对。

主持⼈：我在上看了⼀些友在考试结束后发的微博，有些友说，和去年相⽐，今年的考题好象不是特别难，您怎么看这种评论呢? 曹显兵：可能这不是很符合实际，作为⼀个⽼师，按照我的判断，拿到这个题，也就是10分钟，略微看了⼀下，⾥⾯有很多题，像是填空、宣布，⼀眼就能看出答案来，有个别题，虽然我能看出答案，但考⽣不⼀定能，所以还是有点难度的。

我个⼈感觉应该说是难度上没有出现⼤的起伏，理⼯类也⽐去年的难⼀些，尤其是数学⼆，和去年相⽐，今年数学⼆的难度⽐去年略微降低了⼀些。

主持⼈：现在⼤家已经拿到了真题，之前也做过很多考前辅导，看到题⽬之后，您有没有兴奋?有没有⾃⼰押中的题⽬? 曹显兵：今天拿到题，说⽼实话，⾸先看⼀遍题，在讲课的过程中我关注的是有没有给同学讲偏，复习⽅向是不是正确，三套题看下来，我⾃⼰⽐较满意，说⼏个问题吧。

考研数学常见考点重点关注的知识点考研数学是考生们备战考研的重点科目之一，也是很多人认为最困难的科目之一。

在备考过程中，了解常见考点并重点关注相关知识点，可以帮助考生提高备考效率和应对考试的能力。

本文将重点介绍考研数学常见考点，并对每个考点中需要重点关注的知识点进行分析。

一、高等数学高等数学是考研数学的基础，也是其他数学学科的重要基础。

在考研数学中，高等数学的考查内容主要有极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、二元函数及多重积分等。

其中，常见考点包括：1. 级数级数是高等数学中的重要概念，也是考研数学中常见的考点之一。

在级数中，需要重点关注收敛级数与发散级数的判定方法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。

2. 微分中值定理微分中值定理是微分学的重要定理之一，也是考研数学中的常见考点。

在微分中值定理中，需要重点关注拉格朗日中值定理、柯西中值定理等的应用。

3. 二元函数与多重积分二元函数与多重积分是高等数学中的重要概念，也是考研数学中的常见考点。

在二元函数与多重积分中，需要重点关注二重积分与三重积分的计算方法，以及极坐标和球坐标下的积分计算。

二、线性代数线性代数是考研数学中的另一个主要考点，其重要性不亚于高等数学。

在线性代数中，需要重点关注向量空间与线性方程组、矩阵与行列式、特征值与特征向量等内容。

1. 向量空间与线性方程组向量空间与线性方程组是线性代数的核心内容之一，也是考研数学中常见的考点。

在向量空间与线性方程组中，需要重点关注向量空间的基本概念与性质，以及线性方程组的解的情况与求解方法。

2. 矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数中的重要内容，也是考研数学中的常见考点。

在矩阵与行列式中，需要重点关注矩阵与行列式的基本运算法则，以及行列式的性质和计算方法。

3. 特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，也是考研数学中常见的考点。

在特征值与特征向量中，需要重点关注特征值与特征向量的定义与性质，以及计算特征值与特征向量的方法。

2011考研必备：超经典的考研数学考点与题型归类分析总结 1高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于0型和∞∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞1型的题目则是先转化为00型或∞∞型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim=→xx x 、e x x x =+→1)1(lim 、e xxx =+∞→)1(1lim ；4.夹逼定理。

1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。

对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。

在此只提醒一点：不定积分⎰+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。

所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分⎰dxx f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是⎰+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。

第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于⎰-aa dx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有⎰-aadx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有⎰-aadx x f )(=2⎰adx x f 0)(；对于⎰2)(πdxx f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用xt -=2π的代换是常用方法。

考研数学复习重点讲解考研数学是众多考研学子心中的一座大山，其难度和重要性不言而喻。

要想在考研数学中取得优异成绩，必须有清晰的复习思路和重点把握。

以下将为大家详细讲解考研数学的复习重点。

一、高等数学1、函数、极限与连续这部分是高等数学的基础，必须牢固掌握。

要理解函数的概念、性质和各种类型的函数，熟练掌握求极限的方法，如四则运算、洛必达法则、等价无穷小替换等。

连续的概念和间断点的类型也是常考的知识点。

2、一元函数微分学导数的定义、几何意义和物理意义要清楚。

掌握基本初等函数的导数公式和求导法则，能够熟练求函数的导数。

导数的应用是重点，如函数的单调性、极值与最值、凹凸性和拐点等。

3、一元函数积分学不定积分和定积分的概念、性质、基本公式要牢记。

掌握换元积分法和分部积分法，能够熟练计算积分。

定积分的应用，如求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等，也是常考内容。

4、多元函数微积分学多元函数的概念、偏导数和全微分的计算是基础。

要掌握多元函数的极值和条件极值的求法，以及二重积分的计算方法，特别是直角坐标系和极坐标系下的计算。

5、无穷级数级数的收敛与发散的判定是重点，掌握常见级数的敛散性，如正项级数的比较判别法、比值判别法和根值判别法，以及幂级数的收敛半径和收敛区间的求法。

6、常微分方程要熟悉各种类型常微分方程的解法，如可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、二阶常系数线性方程等。

二、线性代数1、行列式行列式的性质和计算方法要熟练掌握，特别是行列式按行（列）展开定理。

2、矩阵矩阵的运算、逆矩阵、矩阵的秩是重点。

要理解矩阵的概念和性质，掌握矩阵的乘法、求逆矩阵的方法和矩阵秩的计算。

3、向量向量组的线性相关性是核心内容，要会判断向量组的线性相关性，掌握向量组的秩和极大线性无关组的求法。

4、线性方程组线性方程组的解的结构和求解方法是重点，要能够用矩阵的方法求解线性方程组。

5、特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念和计算方法要熟练掌握，会求矩阵的相似对角化。

2011年考研数学解题快捷定理总结考研数学作为一门逻辑性非常强的学科，在学习上除了要学会举一反三，不断的通过大量做题提高自己的熟练程度之外，无疑在解题上还要掌握一定的答题技巧。

下面，辅导专家就结合多年的辅导经验为广大20 11年考研学生简单的归纳概括一下高数、现代、概率和数理统计几门科目的快捷定理，希望对考生们能够有所帮助。

一、高等数学1.在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式。

2.在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下。

3.在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理。

4.对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)。

二、线性代数1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。

2.若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

3.若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。

4.若要证明一组向量a1,a2,…,as线性无关，先考虑用定义。

5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理。

6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零。

7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理。

8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理。

三、概率与数理统计1.如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式;当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式。

2.若给出的试验可分解成(0-1)的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式。

考研培训中的数学复习重点整理考研数学是考研考试中最为重要的科目之一，也是让很多考生感到头疼的科目之一。

为了帮助考生更好地备考数学，下面将对考研培训中的数学复习重点进行整理。

一、高等数学在高等数学的复习中，考生需要重点掌握以下几个方面：1. 极限与连续考生需要熟练使用极限的定义，了解极限与数列、函数、级数之间的关系，并能灵活运用于实际问题的解决。

另外，连续性也是非常重要的，考生需要了解连续函数的定义及性质，能够判断函数的连续性，并运用中值定理解决相关的问题。

2. 导数与微分导数是高等数学中的重点内容之一，考生需要掌握导数的定义、性质以及常用的求导法则，并能够运用导数在函数图像和函数极值、最值等问题的应用。

另外，微分与导数紧密相关，考生也需要了解微分的定义和微分法则，并能灵活运用求函数的微分。

3. 定积分定积分是数学分析中的重要内容，考生需要了解定积分的概念、性质以及常用的求积分法则，并能够运用定积分求解曲线下面积、求解平均值等相关问题。

同时，考生还需要掌握定积分与不定积分之间的关系，并能够熟练运用牛顿—莱布尼茨公式。

4. 无穷级数无穷级数也是高等数学中的重点内容，考生需要了解级数的概念、收敛性以及收敛级数的性质，并能够判断级数的收敛性，掌握常用的收敛判别法则。

另外，在运用级数解决问题时，考生需要熟悉级数展开的思想和方法。

二、线性代数在线性代数的复习中，考生需要重点掌握以下几个方面：1. 行列式与矩阵行列式是线性代数中的重要内容，考生需要掌握行列式的定义、性质以及常用的行列式计算方法，并能够运用行列式求解线性方程组的问题。

另外，矩阵也是线性代数中不可或缺的重要内容，考生需要了解矩阵的定义、性质以及矩阵的基本运算，能够对矩阵进行加法、乘法运算，并能够求解线性方程组。

2. 向量空间与线性变换向量空间是线性代数中的核心内容，考生需要了解向量空间的定义、性质以及子空间的性质，并能够判断向量的线性相关性与线性无关性。

|||生活|一个人总要走陌生的路，看陌生的风景，听陌生的歌，然后在某个不经意的瞬间，你会发现，原本费尽心机想要忘记的事情真的就这么忘记了..|-----郭敬明线性代数知识点框架（一）线性代数的学习切入点：线性方程组。

换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。

我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。

对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。

我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。

系数矩阵和增广矩阵。

高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。

阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。

换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。

阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。

对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若r<n，则方程组有无穷多解。

2011年硕士研究生统一考试数学真题命题分析启航教育数学研究中心启航的数学教育团队具有多年辅导经验，深谙考研数学的命题思路和规律。

在2011年全国研究生入学数学考试结束的第一时间，启航考研数学中心工作人员对2011年考研数学真题做了细致的分析，同时也为广大2012的考生提供了备考的意见和建议。

一、命题特点2011的数学大纲跟10相比没有变化，今年数学真题的命题特点与启航在考前所做的预测基本一致。

先总体分析一下今年的大题（以数三为例）：高数的大题总体来说命题思路比较常规，强调基础，突出了考试大纲中所要求的重难点。

总体难度不大。

启航考研，线性代数部分的两道大题一道考在向量与线性方程组这一部分，另一道考在特征值与特征向量这一块，是最常见的出题方式。

考题还是以考查考生对基本概念、核心定理的记忆和理解，以计算能力为重。

概率论与数理统计的两道考题集中在多维随机变量这部分，其中离散型一道题，连续型一道题，出题的方式比较常规，比较偏重考查考生的对基本的计算公式的掌握程度，总结今年考题的命题思路主要有以下两个方面：1．试题难度稳中有降纵观整个试卷应该是仍然延续了前两年的考试趋势，覆盖大纲的面比较广，考查的均是大纲所要求的基本内容和重难点，没有偏题，没有怪题，难度适中。

跟往年相比，就数三来讲由于2008、2009连续考了两个书上的定理，2010年把原来出的证明题转化成两个证明题，因此相对来说难度稍有提高。

启航考研，2008、2009年相对来说计算量大，难度适中，2010年由于多了两个证明题，显得计算量偏小，难度稍有提高。

2011年出题总体来说还是延续了以往的思路：以考查考生的计算能力和综合运用知识的能力为主。

高等数学的这类证明题已经好多年没有考过了，很多人没有预测到。

但它实际上也是对这一块基本思想和基本方法的应用，比2010年的证明要简单，这种题型的思想其实大家在做小题的时候经常会遇得到，考察的还是基础的内容和方法的应用。

2011全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲考试科目微积分、线性代数、概率论与数理统计微 积 分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则 单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin 1lim 1,lim(1)x x x x e x x→→∞=+= 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5. 了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念.6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法.7．理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系.8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念 导数的几何意义和经济经意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L ’Hospital ）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数.3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.5.理解罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）中值定理，了解泰勒（Taylor ）定理、柯西（Cauchy ）中值定理，掌握这四个定理的简单应用.6．会用洛必达法则求极限.7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用..8．会用导数判断函数图形凹凸性（注：在区间内，设具有二阶导数。

数学考研复习重难点解析与归纳一、概论数学考研是重要的学科，也是考验学生数学功底和解题能力的一门考试。

在考研复习过程中，掌握数学的重难点是提高成绩的关键。

本文将从数学考研的重点和难点入手，分析解析并归纳总结，以帮助考生更好地备考。

二、数学分析数学分析是数学考研中的一项基础重要内容，也是考生复习中的难点之一。

1. 极限与连续在数学分析中，极限与连续是基本概念。

考生需要掌握函数极限和数列极限的定义以及相关性质。

在复习过程中，要注意理解和掌握函数连续性的定义和判定方法，以及连续函数的性质和应用。

2. 导数与微分导数与微分是数学分析中的重要概念和方法。

考生应该熟悉导数的定义和性质，了解函数的可导性和导数的存在性定理。

在复习过程中，注重掌握各种常见函数的导数和高阶导数的计算方法，并能熟练应用导数的基本公式和求导法则解题。

3. 积分与不定积分积分与不定积分是数学分析的另一项重点难点内容。

考生需要掌握积分的定义和性质，了解不定积分的计算方法和基本公式，掌握换元积分法、分部积分法等积分方法的应用。

在复习过程中，要注重积分的几何和物理意义以及积分在连续函数中的应用。

4. 数项级数和函数项级数数项级数和函数项级数是数学分析中的重要内容。

考生需要掌握级数的概念和性质，了解数项级数的收敛和发散判别法，熟悉常见级数的求和公式和级数展开。

在复习过程中，要注重掌握级数的收敛性判定方法以及级数展开在数学和物理问题中的应用。

三、线性代数线性代数是数学考研中的另一项重点内容，也是考生复习中的难点之一。

1. 矩阵与向量矩阵与向量是线性代数的基本概念，也是考生复习的重点。

考生需要熟悉矩阵的运算规则和性质，了解矩阵的秩和行列式的计算方法，灵活运用矩阵的运算和性质解题。

此外，考生还要熟悉向量的线性相关性和线性无关性，掌握向量组的秩和解的存在唯一性等相关概念和性质。

2. 线性方程组线性方程组是线性代数的重要内容之一。

考生需要掌握线性方程组的解的存在唯一性条件和求解方法，了解齐次线性方程组的解的结构和非齐次线性方程组的解的判定法，则。

各位新浪网友大家好，欢迎大家来到今天的新浪嘉宾聊天室，我是娄雷。

2011年考研大纲即将对外界公布，我们将会继续对考研大纲进行点评，今天我们关注的学科是数学学科，为大家请到的嘉宾是海文的考研名师、我们的老朋友铁军老师，来到聊天室和大家交流。

铁军老师先跟各位网友打声招呼吧。

大家都知道考研大纲是我们考研复习的非常重要资料，包括我们命题组的老师也会依据它进行命题，所以它究竟有那些变化对我们也很重要，您刚刚拿到考研大纲，对比完毕之后今年我们的考研大纲有什么变化呢？这是全国考生比较关心的问题，今年考研大纲大家反映比较好，因为现在已经是9月份了，很多同学是按照去年大纲复习的，所以教育部非常人性化，考虑到大家的情况，不想增加大家的复习负担，所以我们今天的考研大纲保持了连续性、稳定性，和2010年考研大纲保持一样的。

这样大家在复习的时候站在有利的位置上，希望大家在这样好的条件下，发挥自己的聪明才智考出自己的水平。

大家在暑假是按照去年大纲复习的，如果考研大纲没有发生变化对大家来说是好消息，因为前面的复习都是在点上。

在接下来的复习当中，您给从学介绍一下应该怎么样的应考？经过暑期的辅导，很多同学参考书、基础知识都已经复习到位了，当然了各位同学非常辛苦，到了秋天的时候各位同学是希望对解题能力有所突破，大家还是要研究考研大纲的要求以纲为纲才能做到位。

第一、我们到秋天复习的时候一定要紧扣大纲的内容，大纲里的知识点一定要抓透，很多同学还是这个科目擅长一些，其他的科目就是就要弱一些，一定要把弱的东西补上来，把弱项变成强项。

比如说有的同学概率弱一些，有些同学线性代数弱一些，有些同学说后面的章节还没有复习到位，大纲里面都有强调。

具体的考试题型是同学们关心的，今年大纲给出的试卷结构，题型分数的分配比例也都没有什么变化，这对大家是一个好事。

我们具体来说，大纲是纲领化的东西，里面主要是范围、原则，看具体化的东西还是要以高等教育出版社还有国家教育部考试中心，还有原来一些命题组的组长，他们编的2011年研究生考试数学大纲有一个配套的指导。

2011考研数学常见疑难知识点精析（一）《高等数学》第一章 函数、极限、连续1.1 无界变量一定是无穷大量吗？答：不一定是．无界变量：设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得()f x M ≤，x X D ∀∈⊂ 则称函数()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1x X ∈，使1()f x M >，那么函数()f x 在X 上无界．无穷大量：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >，则称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大．注意相互关系: 无穷大变量一定是无界变量, 无界变量不一定是无穷大变量. 根据以上叙述, 很容易举出无界变量不一定是无穷大变量的反例:例1.1．()(),,0,x x n f x x g x x n ≠⎧==⎨ =⎩，()lim lim x x f x x →∞→∞==∞， 即当 x →∞时, ()f x 是无穷大量；对于()g x , 当x →∞时, ()g x 的值总可以大于任何的正数M, 但是也总有可能等于0 ()()0g n =. 所以当 x →∞时, ()g x 是无界变量但不是无穷大量. 例1.2． 当 ()g x 时, ()sin f x x x π=是无界变量, 不是无穷大量.1.2 当0a ≠时，0lim ()x f x a →=，可以推出0lim ()x f x a →=成立；反之，若0lim ()x f x a →=， 可以推出成立0lim ()x f x a →=吗？当0a =的时候呢？ 答：当0a ≠时，反过来是不一定成立的．例如：若11n n a n ⎧=⎨- ⎩为偶数为奇数, 则此时n a 的绝对值极限为1，而本身极限不存在． 当0a =时，00lim ()lim ()x x f x a f x a →→=⇔=，并且对于任意的极限过程都是成立的．1.3 设n n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则一定存在吗？答：不一定存在．分析：若lim lim 0n n n n x y a →∞→∞==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞=≠．取， 11(1),(1),(1)n n n n n n x y z n n=--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=， 但lim n n z →∞不存在．遇到此类问题一定要会用反例．1.4 和函数的极限一定等于函数的极限和吗？答：不一定．例1.3： 22212lim(...)12n n n n n n n n n→∞+++++++++ 22212lim lim ...lim 12n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞=+++++++++ 00...00=+++=，对吗？显然不对．原因在于：错用了极限的运算法则中“和的极限等于极限的和”，这一法则只适用于有限项的和，不适用无限项的和．正确答案：因为，2222221212......12n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++≤+++++++++++++++ 22212 (111)n n n n n n n ≤+++++++++ 所以， 22222(1)12(1)...2()122(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n ++⇒≤+++≤++++++++++ 而，22(1)(1)1limlim 2()2(1)2n n n n n n n n n n n →∞→∞++==++++，故由夹逼准则得， 222121lim(...)122n n n n n n n n n →∞+++=++++++ 例1.4：求极限1lim ...n n →∞+解答：因为，1lim ...n n →∞+1lim n n k n ππ→∞==11lim ()n k n k k f x n ππ→∞==∆∑其中，()k f x x n π=∆=，所以，原式001cos 2x dx πππππ===⎰⎰如何求此类函数的极限值呢？通常有两种方法：①用“夹逼准则”，适当的“放大”和“缩小”所求的式子，求出其极限．如例1.3；②用“定积分定义”，把所求的式子看做是某个函数在某个区间上的积分，利用积分求出其极限值．如例1.4．。

考研数学复习重难点梳理考研数学作为考生备战研究生招考的一项重要科目，其涉及内容繁多，知识点又难度参差不齐。

为了帮助考生更好地备考数学，下文将对考研数学的重难点进行梳理和总结，以便考生可以有针对性地进行复习。

1. 高等数学复习重难点高等数学是考研数学的基础，对于这一部分的复习，考生应特别关注以下几个重点难点。

1.1 极限与连续极限与连续是高等数学的核心概念，也是考研数学的基础。

在极限与连续的学习中，考生需重点掌握极限的定义、常用的极限计算方法和连续函数的性质。

此外，对于间断点、无穷点和反函数的连续性也需要进行深入理解和掌握。

1.2 一元函数的导数与微分一元函数的导数与微分是高等数学中的重要部分，也是微积分的基础。

在复习这一部分时，考生应重点学习导数的定义、导数的计算法则以及微分的应用。

此外，对于高阶导数、隐函数与参数方程的导数计算也需要进行深入理解。

1.3 不定积分与定积分不定积分与定积分是微积分中的关键内容，对于这部分的复习，考生应重点学习不定积分的基本性质和常用的积分计算方法，如换元积分法、分部积分法等。

同时，需要加强对定积分的理解，掌握定积分的性质和计算方法，如定积分的几何和物理意义等。

2. 线性代数复习重难点线性代数是考研数学中的一门重要课程，其中的知识点较多且难度较大，考生在复习线性代数时需注意以下几个重点难点。

2.1 矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数的基础知识，考生需重点学习矩阵的运算法则、矩阵的特征值与特征向量以及矩阵的相似对角化等内容。

同时，在行列式的学习中，需要重点掌握行列式的定义、计算方法以及行列式的性质和应用。

2.2 线性方程组线性方程组是线性代数的重要内容，其解法多种多样。

在复习线性方程组时，考生应理解线性方程组解的存在唯一性条件，掌握高斯消元法、矩阵的初等变换和向量的线性相关性等常用的解法和判断标准。

2.3 线性空间和线性映射线性空间和线性映射是线性代数的重要概念，在复习这一部分时，考生需详细了解向量空间的定义和性质，熟悉线性空间的子空间和欧几里得空间。

2011考研数学常见疑难知识点精析（二）《高等数学》第一章 函数、极限、连续1.6 含参数的数列极限中常见的问题.例1.6： lim(1)1lim 11lim(1)nx nx n nx nx n n e e e e --→∞--→∞→∞--==++，这样做对吗？ 这样做是不对的，错误在于，忽视了对参数取值范围的讨论.正确解答，当0x ≥时, lim(1)1lim 11lim(1)nx nx n nx nx n n e e e e --→∞--→∞→∞--==++. 当0x <时, lim (1)1lim11lim (1)nx nx nxn nx nx nx n n e e ee e e --→∞--→∞→∞--==-++ 注：含参数数列或函数求极限时，注意对参数进行讨论．1.7 如果函数极限不存在，那么极限一定是无穷大吗？ 答：不一定．当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例1.7：函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，当0x →时()f x 的极限不存在．1.8 如果0lim ()0x x f x →=，那么是否有01lim()x x f x →=∞？ 答：不一定．例 1.8：()0xx f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则0lim ()0x x f x →=，但由于1()f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论1()f x 在0x =的极限． 结论：如果li m ()0x x f x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，则1l i m()x x f x →=∞．反之，()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小．1.9 求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等，遇到间断点求极限要注意左右极限是否相等．例1.9：求极限10lim ,lim xxx x e e →∞→解：lim ,lim 0x x x x e e →+∞→-∞=+∞=，因而x →∞时x e 极限不存在．1100lim 0,lim x xx x e e →-→+==+∞，因而0x →时1xe 极限不存在．1.10 利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．例1.10：求极限30tan sin limx x xx→- 解：3300tan sin lim lim 0x x x x x xx x→→--== 利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题．若~',~'ααββ,则~''αβαβ--.考察这个命题，lim lim lim 11αβααβαβββαββαααβββ''''-⋅-''-==---，当lim 1αβ≠时,这个命题是真命题；当lim1αβ=时,命题是假命题． 对于例1.10，因为， sin ,tan ,''x x x αβαβ====，00sin limlim 1tan x x x xαβ→→== 所以，证明的结论是错误的．正确解答:2333000tan sin tan (1cos )12lim lim lim 2x x x x xx x x x x x x →→→--==. 例1.11：求201sin(sin )limx x x x→ 错误解答: 2200011sin(sin )sin1limlim lim sin 0x x x x x x x x x x x→→→=== 错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换：()2211sin sin sin ,0x x x x x⎛⎫ → ⎪⎝⎭而根据无穷小的比较的定义，当1()x n Z n π∈取时，21sin(sin )x x 和21sin x x均为0，所以不能用等价无穷小的代换．正确解答：当0x ≠时，22211sin(sin )sin x x x x x ≤≤，2211sin(sin )sinx x x x x x x≤≤0(0)x →→ 所以，由夹逼准则知原函数极限为0．例1.12：求极限sin limx xxπ→解：本题切忌将sin x 用x 等价代换，导致结果为1．应该为：sin sin lim 0x x x πππ→==.注意：（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式来求极限．（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换．1.11 函数连续性的判断（1）设()f x 在0x x =间断，()g x 在0x x =连续，则()()f x g x ±在0x x =间断．而2()(),(),()f x g x f x f x ⋅在0x x =可能连续．例如，设0()1x f x x ≠⎧=⎨=⎩，()sin g x x =，则()f x 在0x =间断，()g x 在0x =连续，()()()sin 0f x g x f x x ⋅=⋅=在0x =连续．若设1()1x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，()f x 在0x =间断，但2()()1f x f x =≡在0x =均连续． （2）“()f x 在0x 点连续”是“()f x 在0x 点连续”的充分不必要条件．分析：由“若0lim ()x x f x a →=，则0lim ()x x f x a →=”可得“如果00lim ()()x x f x f x →=，则0lim ()()x x f x f x →=”，因此，()f x 在0x 点连续，则()f x 在0x 点连续．再由上例可得，()f x 在0x 点连续并不能推出()f x 在0x 点连续．（3）()x ϕ在0x x =连续，()f u 在00()u u x ϕ==连续，则(())f x ϕ在0x x =连续．其余结论均不一定成立．。

2011考研必备：超经典的考研数学考点与题型归类分析总结1高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》1.2 求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于00型和∞∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞1型的题目则是先转化为00型或∞∞型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim 0=→x x x 、e x x x =+→10)1(lim 、e x x x =+∞→)1(1lim ；4.夹逼定理。

1.3 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。

对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。

在此只提醒一点：不定积分⎰+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。

所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分⎰dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是⎰+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。

第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于⎰-a a dx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有⎰-a a dx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有⎰-a a dx x f )(=2⎰a dx x f 0)(；对于⎰20)(πdx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -=2π的代换是常用方法。

2011 考研数学之导数应用函数的零点和符号的讨论方法1．利用闭区间上连续函数的性质主要利用两个定理：介值（零点）定理和最值定理。

【参考题】 1．证明方程 4 x = 2 x 至少有一个小于1 的正根. 22．设函数 f ( x) 在[0，1] 上连续， 0 ≤ f ( x) ≤ 1 ，求证存在 ξ ∈ [0，1]，使得 f (ξ) = ξ 。

已知 f ( x) 在[0， 上非负连续， f (0) = f (1) = 0 ，则对于任意一个实数 L 0 < L < 1 ） 1] （ ， 3． x0 ∈ [0，1]，使得 f ( x0 ) = f ( x0 + L) .介值定理除了表现为零点定理以外，以下这种形式要格外重视： 若函数在一个闭区间上连续，则它可以取得介于函数在该区间上的最大值和最小值之间 的任何一个数。

例 1．010210 设 f ( x) 在 [ a, a ] 上二阶连续可导（ a > 0 ） f (0) = 0 。

1）写出 f ( x) 的 ， （ 带 拉 格 朗 日 余 项 的 一 阶 麦 克 劳 林 公 式 ； 2 ） 证 明 在 [ a, a ] 内 至 少 存 在 一 点 η ， 使 得 （a 3 f ′′(η) = 3∫ f ( x)dx 。

a a比较： 若 二 阶 导 数 f ′′( x) 在 [2 ， 4] 连 续 ， 且 f (3) = 0 ， 求 证 在 [2 ， 4] 必 有 一 点 ξ ， 使 得f ′′(ξ) = 3∫ f ( x)dx ．24【真题】020308 设 f ( x) ， g (x) 在 [a, b] 连续，且 g ( x) > 0 。

利用闭区间上连续函数的性质， 证明在 [a, b] 存在一点 ξ ，使得 ∫ f ( x) g ( x)dx = f (ξ) ∫ g ( x)dx 。

b b a a-1-2011 考研数学之导数应用反证法的使用在此类问题的证明中是重要的叙述手段。