考研数学一历年真题(2002-2011)版)

考研（数学一）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2011)已知当x→0时，函数f(x)=3sin．x=sin 3x与cxk是等价无穷小，则( )A．k=1，c=4．B．k=1，c=4．C．k=3，c=4．D．k=3，c=-4．正确答案：C解析：因为当x→0时，函数f(x)=3sin x=sin 3x与cxk是等价无穷小，所以从而k-1=2，即k=3，于是故应选C．2．(2012)设函数f(x)=(ex-1)(e2x-2).….(enx-n)，其中n为正整数，则f’(0)=( ) A．(-1)n-1(n-1)!．B．(-1)n(n-1)!．C．(-1)n-1n!．D．(-1)nn!．正确答案：A解析：利用导数的定义求f’(0)．故应选A．3．(2012)曲线的渐近线的条数为( )A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：应同时考虑水平渐近线、铅直渐近线与斜渐近线．因为所以y=1是曲线的水平渐近线，同时说明曲线无斜渐近线．又因为所以x=1是曲线的铅直渐近线，x=-1不是曲线的铅直渐近线．综上所述，应选C．4．(2009)设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵．若｜A｜=2，｜B｜=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：本题主要考查分块矩阵的行列式、伴随矩阵的相关公式以及分块矩阵的逆矩阵．由=(-1)2×2｜A｜｜B｜=6知，矩阵可逆，从而故应选B．5．(2006)设A、B为两个随机事件，且P(B)＞0，P(A｜B)=1，则必有( ) A．P(A∪B)＞P(A)．B．P(A∪B)＞P(B)．C．P(A∪B)=P(A)．D．P(A∪B)=-P(B)．正确答案：C解析：本题主要考查乘法公式与加法公式．由已知条件与乘法公式有P(AB)=P(B)P(A｜B)=P(B)，再由加法公式有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)．故应选C．6．(2003)设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图1所示，则f(x)有( )A．一个极小值点和两个极大值点．B．两个极小值点和一个极大值点．C．两个极小值点和两个极大值点．D．三个极小值点和一个极大值点．正确答案：C解析：本题主要考查导函数y=f’(x)与函数y=f(x)的图形的关系与一元函数的极值(点)．由于已知函数是抽象函数，无法用推理法及反例排除法解决．考虑用y=f’(x)与y=f(x)的图形之间的关系画出y=f(x)的图形，利用定性分析的方法解决该问题．根据y=f’(x)的图形画出y=f(x)的图形，如图2所示，根据y=f(x)的图形知，f(x)有两个极小值点和两个极大值点．故应选C．7．(2011)函数f(x)=ln｜(x-1)(x-2)(x-3)｜的驻点个数为( )A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：因为，所以x=1，x=2，x=3是曲线y=f(x)的铅直渐近线．又，由此可画出f(x)=ln｜(x-1)(x-2)(x-3)｜的草图，如图3所示，由图形可知，存在两点x1，x2，使得f’(x1)=f’(x2)=0，即f(x)有两个驻点．故应选C．8．(2006)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f’’(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( )A．0＜dy＜△y．B．0＜△y＜dy．C．△y＜dy＜0．D．dy＜△y＜0．正确答案：A解析：△y=f(x0+△x)-(x0)=f’(ξ)△x (x0＜ξ＜x0+△x)．因为f’’(x)＞0，所以f’(x)单调增加，从而f’(ξ)＞f’(x0)，于是△y=f’(ξ)△x＞f’(x0)△x=dy．又因为f’(x)＞0，所以0＜dy＜△y．故应选A．9．(1999)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则( )A．P{X+Y≤0}=B．P{X+Y≤1}=C．P{X-Y≤0}=D．P{X-Y≤1}=正确答案：B解析：由于均服从正态分布且相互独立的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，所以由正态分布的几何意义知，正态分布的密度函数关于均值左右对称，于是其小于均值的概率为，从而P{X+Y≤1}=故应选B．10．(2002)设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )A．B．C．D．正确答案：B解析：取，因为排除A、C、D．故应选B．11．(2005)以下四个命题中，正确的是( )A．若f’(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．B．若f(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．C．若f’(x)在(0，1)内有界，则f(x)在(0，1)内有界．D．若f(x)在(0，1)内有界，则f’(x)在(0，1)内有界．正确答案：C解析：取f’(x)=，在(0，1)内连续，但f(x)=lnx在(0，1)内无界，排除A．取f(x)=，在(0，1)内连续，但f(x)在(0，1)内无界，排除B．取f(x)=，在(0，1)内有界，但f’(x)=在(0，1)内无界，排除D．故应选C．12．(2004)设f’(x)在[a，b]上连续，且f’(a)＞0，f’(b)＜0，则下列结论中错误的是( )A．至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＞f(a)．B．至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＞f(b)．C．至少存在一点x0∈(a，b)，使f’(x0)=0．D．至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)=0．正确答案：D解析：取f(x)=2-x2，x∈[-1，1]，则f’(x)=-2x在[a，b]=[-1，1]上连续，且f’(a)=f’(-1)=2＞0，f’(b)=f’(1)=-2＜0，满足已知条件．由f(x)=2-x2的图形可知，在(-1，1)内，f(x)＞1，即对任意x0∈(-1，1)，都有f(x0)≠0，这表明D选项是错误的．故应选D．13．(2001)设f(x)的导数在x=a处连续，又，则( )A．x=a是f(x)的极小值点．B．x=a是f(x)的极大值点．C．(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点．D．x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：B解析：由f(x)的导数在x=a处连续及=f’(a)=0，即x=a是f(x)的驻点．从而所以x=a是f(x)的极大值点．故应选B．14．(2003)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数g(x)=( ) A．在x=0处左极限不存在．B．有跳跃间断点x=0．C．在x=0处右极限不存在．D．有可去间断点x=0．正确答案：D解析：因为f(x)为不恒等于零的奇函数，所以f(0)=0，又f’(0)存在．所以故x=0是g(x)的可去间断点．应选D．15．(2005)设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x+y)+其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )A．B．C．D．正确答案：B解析：取φ(x)=x2，ψ(x)=0，则u(x，y)=(x+y)2+(x-y)2=2x2+2y2．于是由此可知，选项A、C、D都不正确．故应选B．16．(2005)设an＞0，n=1，2，…，若收敛，则下列结论正确的是( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：取收敛，但发散，排除A；发散，排除B；发散，排除C．故应选D．17．(2002)设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)X=0( ) A．当n＞m时仅有零解．B．当n＞m时必有非零解．C．当m＞n时仅有零解．D．当m＞n时必有非零解．正确答案：D解析：(推理法)因为当n＜m时，齐次线性方程组BX=0有非零解，从而线性方程组(AB)X=0有非零解，故应选D．18．(2002)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有( )A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关．C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关．D．α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关．正确答案：A解析：因为β2不能由α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，β2线性无关．取k=0，由B知，α1，α2，α3，β2线性相关，与α1，α2，α3，β2线性无关矛盾，排除B．取k=0，由C知，α1，α2，α3，β1线性无关，则β1不能由α1，α2，α3线性表示，与已知条件矛盾，排除C．取k=1，由D知，α1，α2，α3．β1+β2线性相关，因为α1，α2，α3线性无关，所以β1+β2可由α1，α2，α3线性表示，而β1可由α1，α2，α3线性表示，于是β2可由α1，α2，α3线性表示，与已知条件矛盾，排除D．故应选A．填空题19．(2000)=_____，正确答案：解析：由定积分的几何意义，表示由直线x=0，x=1，y=0与曲线y=所围成的图形的面积，如图5所示，所以(其中S为单位圆(x-1)2+y2≤1的面积)．20．(2001)(x3+sin2x)cos2xdx=_______．正确答案：解析：21．(2012)设区域D是由曲线y=sinx，x=，y=1围成，则(x5y-1)dxdy=_______.正确答案：-π解析：22．(2008)设D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则(x2-y)dxdy=______．正确答案：解析：因为积分区域D关于x轴对称，函数y关于y是奇函数，所以．由轮换对称性以及极坐标下二重积分的计算方法，有23．(2009)设Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1}，则z2dxdydz=_______.正确答案：解析：利用轮换对称性，有再利用球坐标下三重积分的计算有24．(2007)设曲面∑：｜x｜+｜y｜+｜z｜=1，则=_______.正确答案：解析：因为∑关于yOz平面对称，x关于x为奇函数，所以．由轮换对称性，其中S是∑的表面积，记∑在第一卦限部分的面积为S1．如图8所示，则。

考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2004年] 微分方程y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为( )．A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)C．y*=ax2+bx+c+AsinxD．y*=ax2+bx+c+Acosx正确答案：A解析：对应齐次方程y’’+y=0的特征方程为λ2+1=0，特征根为λ=±i．对y’’+y=x2+1=e0x(x2+1)而言，因0不是其特征根，从而其特解形式可设为y1*=ax2+bx+c．对y’’+y=sinx=e0x(0·cosx+1·sinx)(λ=0，w=1)，因λ+iw=0+i·1=i 为特征根，从而其特解形式可设为y2*=x(Asinx+Bcosx)，从而知，y’’+y=x2+1+sinx 的特解形式为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．仅A入选．知识模块：常微分方程2．[2008年] 在下列微分方程中以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x (C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )．A．y’’’+y’’一4y’一4y=0B．y’’’+y’’+4y’+4y=0C．y’’’一y’’一4y’+4y=0D．y’’’-y’’+4y’-4y=0正确答案：D解析：由所给通解可知，其特征根为λ1=1，λ2，3=0+2i，故其特征方程为(λ一1)(λ一2i)(λ+2i)=(λ一1)(λ2+4)=λ3一λ2+4λ一4=0，故所求的微分方程为y’’’一y’’+4y’-4y=0．仅D入选．知识模块：常微分方程3．[2015年] 设是二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+ay’+by=cex的一个特解，则( )．A．a=一3，b=2，c=一1B．a=3，b=2，c=一1C．a=一3，b=2，c=1D．a=3，b=2，c=1正确答案：A解析：因为方程y’’+ay’+by=cex的特解，故为原方程对应的齐次方程的解，因而2，1为特征方程λ2+aλ+b=0的特征根，故a=一(2+1)=一3，b=1×2=2．再由所给原方程的特解易看出xex也为原方程的一个特解，将其代入原方程得c=一1．知识模块：常微分方程4．[2016年] 若y=(1+x2)2一，y=(1+x2)2+再是微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=( )．A．3x(1+x2)B．一3x(1+x2)C．D．正确答案：A解析：利用解的结构和性质，令y1*=(1+x2)2一，y2*=(1+x2)2+，为微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解．可得到y1*—y2*为y’+p(x)y=0的解(因a=1，b=一1，a+b=0)，而将其代入(y1*-y2*)’+p(x)(y1*-y2*)=0，得到又为y’+p(x)y=q(x)的解(因，a+b=1)．易求得将其代入方程y’+p(x)y=q(x)得到即4x(1+x2)+(1+x2)2=q(x)故q(x)=4x(1+x2)一(1+x2)2=4x(1+x2)-x(1+x2)=3x(1+x2)．仅A入选．知识模块：常微分方程填空题5．[2006年] 微分方程y’=y(1一x)／x的通解是______．正确答案：y=Cxe-x (C为任意常数)解析：直接利用分离变量法求解．由原方程易得到即两边积分，得到ln｜y｜=ln｜x｜—x+C1，即=C1一x．故=eC1-x=e-xeC1，所以｜y｜=eC1｜x｜e-x，去掉绝对值符号，改写eC1为C，并认为C可取正值或负值，得到y=Cxe-x．由于y=0也是原方程的解．上式中的C也可为0，于是得通解为y=Cxe-x (C为任意常数)．知识模块：常微分方程6．[2008年] 微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解为______．正确答案：y=1／x解析：由初始条件y(1)=1知，只需考虑xy’+y=0在(0，+∞)内的非负解即可．由dy／(-y)=dx／x得到ln｜y｜=ln｜x｜+C1，即｜x｜｜y｜=eC1，即y=C／x(C=eC1)．又因y(1)=1，故C=1，所以y=1／x．知识模块：常微分方程7．[2014年] 微分方程xy’+y(lnx—lny)=0满足条件y(1)=e3的解为y=______.正确答案：y=xe2x+1(x＞0)解析：在所给微分方程的两边除以x可得①令，则y=xu，y’=xu’+u，代入式①得到xu’+u=ulnu，即分离变量得即两边积分得到ln｜lnu一1｜=lnx+lnc，即lnu-1=cx，故则其通解为y=xecx+1．将y(1)=e3代入上式可得c=2，即得其特解为y=xe2x+1(x＞0)．知识模块：常微分方程8．[2011年] 微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．正确答案：y=e-xsinx解析：注意到y’+y=y’+(x)’y=e-xcosx，在其两边乘上ex得到y’ex+exx’y=exe-xcosx=cosx，即(yex)’=cosx．两边积分得到yex=∫cosxdx+C=sinx+C，即y=e-xsinx+Ce-x．由y(0)=0，得到C=0，故所求特解为y=e-xsinx．知识模块：常微分方程9．[2005年] 微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=一1／9的特解为______．正确答案：y=(x／3)(lnx一1／3)解析：用凑导数法求之．为此在原方程两边乘以x得到x2y’+2xy=x2lnx，即(x2y)’=x2lnx．两边积分得到x2y=∫x2lnxdx=代入初始条件y(1)=一1／9，可得C=0，于是所求的特解为y=(xlnx)／3一x／9=(x／3)(lnx一1／3)．知识模块：常微分方程10．[2013年] 已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=______．正确答案：y= c1e3x+c2ex-xe2x，其中c1，c2均为任意常数解析：先由给出的3个解找出对应的齐次线性微分方程的两个线性无关的解．事实上，利用线性微分方程解的性质知，y1一y3=e3x，y2一y3=ex是对应的齐次线性微分方程的两个线性无关的解．因而该齐次微分方程的通解为Y=c1e3x+c2ex．又y3*=一xe2x显然为该非齐次线性微分方程的特解，则由常系数微分方程解的结构知，所求的通解为y=Y+y*=c1e3x+c2ex-xe2x，其中c1，c2均为任意常数．知识模块：常微分方程11．[2002年] 微分方程yy’’+y’2=0满足初始条件y｜x=0=1，y’｜x=0=1／2的特解是______．正确答案：解析：将y’=p，代入原方程，得到．因而p=0(因不满足初始条件，舍去)，．积分后得到，将初始条件代入得到C1=.再对即2ydy=dx积分，得到y2=x+C2，代入初始条件得C2=1，从而y2=x+1，再由y｜x=0=1＞0，得微分方程的特解. 知识模块：常微分方程12．[2007年] 二阶常系数非齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x的通解为______．正确答案：y= C1ex+C2e2x-2e2x解析：其特征方程为λ2一4λ+3=0，其特征根为λ1=1，λ2=3．对应齐次微分方程y’’一4y’+3y=0的通解为y=C1e*+C2e3x.又设非齐次微分方程y’’-4y’+3y=2e2x的特解为y*=Ae2x，将其代入该非齐次方程得到A=一2，故所求通解为y=Y+y*=C1ex+C2e2x-2e2x．知识模块：常微分方程13．[2012年] 若函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex，则f(x)=______．正确答案：f(x)=ex解析：方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程为r2+r=2一(r+2)(r一1)=0，其特征根为r1=一2，r2=1．于是齐次方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C1ex+C2e-2x，则f’(x)=C1ex-2C2e-2x，f’’(x)=C1ex+4C2e-2x．代入非齐次方程f’’(x)+f(x)=2ex，得到C1ex+4C2e-2x+C1ex+C2e-2x=2C1ex+5C2e-2x=2ex，故C1=1，C2=0，于是所求f(x)=ex．知识模块：常微分方程14．[2017年] 微分方程y’’+2y’+3y=0的通解为y=______．正确答案：y=e-x解析：特征方程为r2+2r+3=0，特征值为λ1，2=，其通解为y=e-x 知识模块：常微分方程15．微分方程xy’’+3y’=0的通解为______．正确答案：y=C1+C2／x2解析：y=C1+C2／x2在所给方程两边乘以x得欧拉方程x2y’’+3xy’=0(a=1，b=3，c=0)．可知，令x=et，可化为常系数线性微分方程，其特征方程为r2+2r=r(r+2)=0，其通解为y=C1e0t+C2e-2t=C1+C2e-2t=C1+C2／x2．知识模块：常微分方程16．[2004年] 欧拉方程(x＞0)的通解是______．正确答案：y=C1／x+C2／x2，其中C1，C2为任意常数解析：作变量代换x=et，其中a=1，b=4，c=2，则此为二阶常系数的线性齐次微分方程．其特征方程为r2+3r+2=(r+2)(r+1)=0，其特征根为r1=一1，r2=一2，故其通解为y=C1e-t+C2e-2t．代入原变量x，得到原方程的通解为y=C1／x+C2／x2，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程17．[2009年] 若二阶常系数线性齐次微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为______．正确答案：y=一xex+x+2解析：由所给通解知，二阶常系数线性齐次微分方程y’’+ay’+by=0的特征根是r1=r2=1．因而特征方程为(r一1)2=r2一2r+1=0．故二阶常系数线性齐次微分方程为y’’一2y’+y=0，故a=一2，b=1．因而非齐次方程为y’’-2y’+y=x．下面求非齐次方程y’’-2y’+y=x ①的特解．由题设条件知，其特解形式为y*=Ax+ B．代入方程①，得到(y*)’’=0，(y*)’=A，于是有一2A+Ax+B=x，即(A 一1)x一2A+B=0，所以A一1=0，B一2A=0，从而A=1，B=2，故一特解为y*=x+2．非齐次方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2．②将y(0)=2，y’(0)=2，代入方程②得C1=0，C2=一1，满足初始条件的解为y=一xex+x+2．知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2011年考研数一真题及答案解析一、选择题1、 曲线()()()()4324321----=x x x x y 的拐点是（ ）（A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。

直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。

【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。

2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞→n n a ，()∑===n k k n n a S 12,1 无界，则幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2]【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。

主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。

【解析】()∑===n k k n n a S 12,1 无界，说明幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≤；{}n a 单调减少，0lim =∞→nn a ，说明级数()11nn n a ∞=-∑收敛，可知幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。

因此，幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。

又由于0x =时幂级数收敛，2x =时幂级数发散。

考研数学一（一元函数积分学）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2010年]设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性( )．A．仅与m的取值有关B．仅与n的取值有关C．与m，n的取值都有关D．与m，n的取值都无关正确答案：D解析：易看出所给的反常积分有两个瑕点x=0与x=1，因而先将该反常积分分解为两个单一型的反常积分之和，即记．下面讨论I1的敛散性．(1)设n＞1，取，因知，I1收敛；(2)设n=1，m=1，2，则，此时I1已不是反常积分，当然收敛；(3)设n=1，m＞2，取P=1—2／m，则0＜p＜1，且有可知I1也收敛．综上所述，无论m，n取何正整数，I1均收敛．下面讨论I2的敛散性．对任意0＜p ＜1，知，对任意正整数n，m，有可得I2=∫1/21f(x)dx收敛．因此对任意正整数m，n，所给反常积分都收敛．仅D入选．知识模块：一元函数积分学2．[2016年]若反常积分收敛，则( )．A．a＜1且b＞1B．a＞1且b＞1C．a＜1且a+b＞1D．a＞1且a+b＞1正确答案：C解析：因收敛，故上述等式右端的两个反常积分收敛，当a＜1时，收敛．当a+b＞1时，收敛，因而仅C入选．知识模块：一元函数积分学3．[2017年] 甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，下图中，实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则( )A．t0=10B．15＜t0＜20C．t0=25D．t0＞25正确答案：C解析：从0到t0时刻，甲、乙的位移分别为∫0t0v1(t)dt与∫0t2v2(t)dt，要使乙追上甲，则有[v2(t)-v1(t)]dt=10，由定积分的几何意义可知，∫025[v2(t)-v1(t)]dt=20—10=10 ，可知t0=25．仅C入选．知识模块：一元函数积分学填空题4．[2002年] =______.正确答案：1解析：故知识模块：一元函数积分学5．[2013年]=______.正确答案：ln2解析：知识模块：一元函数积分学6．[2011年] 曲线y=∫0xtantdt 的弧长s=______．正确答案：解析：因y’(x)=tanx，故知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[考研类试卷]考研数学一（级数）历年真题试卷汇编1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (2000年)设级数收敛，则必收敛的级数为( )2 (2002年)设u n≠0(n=1，2，…)，且则级数为( )（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）收敛性不能判定3 (2004年)设为正项级数，下列结论中正确的是( )4 (2006年)若级数收敛，则级数( )5 (2009年)设有两个数列{a n}，{b n}，若则( )6 (2011年)设数列{a n}单调减少，无界，则幂级数的收敛域为( )（A）(一1，1]（B）[一1，1)（C）[0，2)（D）(0，2-]7 (2015年)若级数条件收敛，则与x=3依次为幂级数的( )（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点8 (1999年)设一∞＜x＜+∞，其中，(n=0，1，2，…)，则等于( )9二、填空题10 (2008年)已知幂级数在x=0处收敛，在x=一4处发散，则幂级数的收敛域为_________。

11 (2017年)幂级数在区间(一1，1)内的和函数s(x)=___________。

12 (2003年)设则a2=____________。

13 (2008年)f(x)=1一x2(0≤x≤π)展开成(以2π为周期的)余弦级数，并求级数的和。

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

14 (1998年)设正项数列{a n}单调减少，且发散，试问级数是否收敛?并说明理由。

15 (1999年)设 (I)求的值； (Ⅱ)试证：对任意的常数λ＞0，级数收敛。

16 (2004年)设有方程x n+nx一1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根x n，并证明当α＞1时，级数收敛。

17 (2014年)设数列{a n}，{b n}满足cosa n一a n=cosb n且级数收敛。

(I)证明 (Ⅱ)证明级数收敛。

历年考研数学一真题数学一是中国研究生入学考试的一门科目，属于理工科类别。

随着研究生教育的普及和竞争的加剧，考研数学一的难度逐年增加，对考生的综合能力要求也越来越高。

以下是历年考研数学一真题的一些例子，供考生们参考和复习。

注意，为了版面整洁，我将部分题目以图片形式呈现，但仍保持文字描述的准确性。

一、解析几何1.2009年考研数学一真题题目解析几何是数学一中的一个重要考点，涉及到直线、平面、曲线等几何图形的性质和变换。

下面是2009年考研数学一真题的一个题目示例：题目描述：已知平面上点A(-2, 2)，B(-2, 0)，C是直线2x+y-5=0上的一点，且BC的斜率等于AC的斜率的绝对值，求点C的坐标。

解答步骤：首先，我们需要计算AC的斜率。

直线AC的斜率为-2/1=-2。

然后，由于BC的斜率等于AC的斜率的绝对值，所以BC的斜率也为2。

根据直线BC的斜率为2，且过点B(-2, 0)，可以列出方程为：y-0=2(x+2)。

将直线2x+y-5=0与直线y-0=2(x+2)联立求解，得到点C的坐标。

2.2014年考研数学一真题题目题目描述：已知椭圆x^2/9+y^2/4=1，点P为椭圆上一点，点A(-3, 0)，直线PA和x轴交于点B，且AB为直线y=1的中垂线，求点B的坐标。

解答步骤：首先，我们需要求出点P的坐标。

将直线y=1代入椭圆方程，得到x^2/9+1/16=1，解方程后得到点P的坐标。

然后，根据点P和点A(-3, 0)，我们可以求出直线PA的方程。

最后，根据直线PA和点P，通过x轴得到点B的坐标。

二、线性代数1.2011年考研数学一真题题目线性代数是数学一中的另一个重要考点，涉及到向量、矩阵、线性变换等概念和运算。

以下是2011年考研数学一真题的一个题目示例：题目描述：设A为3阶方阵，满足A^2-3A+I=0，其中I为3阶单位矩阵，若B=2A-3I，则det(B)的值为多少？解答步骤：首先，根据已知条件A^2-3A+I=0，可以得到A^2=3A-I。

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)⎰∞+exx dx 2ln =_____________.(2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________.(3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________.(4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续,②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续,③),(y x f 在点),(00y x 处可微,④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在.则有:(A)②⇒③⇒①(B)③⇒②⇒①(C)③⇒④⇒①(D)③⇒①⇒④(2)设0≠n u ,且1lim =∞→n n u n ,则级数11()1(11+++-∑n n n u u 为(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则(C)当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x (D)当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数(B))(x f X )(y f Y 必为密度函数(C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数(D))(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分)已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e x t y dt-=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分)计算二重积分22m a x {,}e xy Dd x d y⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D.六、(本题满分8分)起点为(b a ,),终点为(d c ,).记dy xy f y yxdx xy f y y I]1)([)](1[1222-++=⎰,(1)证明曲线积分I 与路径L 无关.(2)当cdab=时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n nn x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e x y y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xyy x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα,1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分)(1)若,A B相似,证明,A B的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当,A B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量X 的概率密度为()f x =1cos 0220 xx x ≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分)设总体X 的概率分布为X 0123P2θ)1(2θθ-2θθ21-其中θ(102θ<<)是未知参数,利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.。

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx2ln = _____________.(2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________. (3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. (4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有:(A)②⇒③⇒① (B)③⇒②⇒① (C)③⇒④⇒①(D)③⇒①⇒④(2)设0≠n u ,且1lim =∞→nn u n ,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为 (A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则 (A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x (D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数(C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e x t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分) 计算二重积分22max{,}e x y Ddxdy ⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,). 记dy xy f y yx dx xy f y y I ]1)([)](1[1222-++=⎰, (1)证明曲线积分I 与路径L 无关.(2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n n n x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e xy y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy 面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量X 的概率密度为()f x = 1cos 0220 xx x≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体X 的概率分布为X 0 1 2 3P2θ)1(2θθ-2θθ21-其中θ(102θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(12)(cos lim x x x +→ = .(2)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . (3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n,则2a = .(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x 01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P . (6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立 (B)n n c b <对任意n 成立 (C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则 (A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点(B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 (C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点 (4)设向量组I:12,,,r ααα 可由向量组II:12,,,s βββ 线性表示,则 (A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关 (C)当s r <时,向量组I 必线性相关(D)当s r >时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解 以上命题中正确的是 (A)①②(B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>,则 (A)2~()Y n χ (B)2~(1)Y n χ-(C)~(,1)Y F n(D)~(1,)Y F n三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1)求D 的面积A .(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.五 、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证: (1)sin sin sin sin ee e e yx y xLLx dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰ .(2)sin sin 2e e 2.y x Lx dy y dx π--≥⎰六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程. (2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分) 设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ,⎰⎰⎰-+=t t D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九 、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax , :2l 032=++a cy bx , :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为()f x = 2()2e 0x θ-- 0x x θ>≤其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1)求总体X 的分布函数()F x . (2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ.(3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ . (3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x的通解为__________ . (5)设矩阵21012001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt txx x⎰⎰⎰===0302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 (A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >(D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n na为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n na收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n na发散(C)若级数∑∞=1n na收敛,则0lim 2=∞→n n a n(D)若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f(B)(2)f (C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110(12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu(B)21α-u(C)21α-u(D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ= (C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()e b a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分12分) 计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10nx nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1n n x α∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分)设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________. (3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(n u∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有 (A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数 (C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数(D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A)2222yux u ∂∂-=∂∂(B)2222y ux u ∂∂=∂∂(C)222y u y x u ∂∂=∂∂∂(D)222x u y x u ∂∂=∂∂∂ (10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程 (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ(C)01=λ(D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则 (A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B (C)交换*A 的第1列与第2列得*-B(D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为X Y0 1 0 0.4 a 1b0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b ==(D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则 (A))1,0(~N X n(B)22~()nS n χ (C))1(~)1(--n t SXn(D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分) 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明: (1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f(19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx y φ++⎰的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx yφ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式.(20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =1001,02x y x <<<<其它 求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z(23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-= 求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim1cos x x x x→+=-.(2)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .(3)设∑是锥面22z x y =+(01z ≤≤)的下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .(5)设矩阵2112⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)22120(,)x xdx f x y dy -⎰⎰(B)22120(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)22120(,)y ydy f x y dx -⎰⎰(C)22120(,)y dy f x y dx -⎰⎰(9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1n n a ∞=∑收敛(B)1(1)n n n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a ∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '= (B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠ (C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s ααα 均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A)若12,,,,s ααα 线性相关,则12,,,,s A αA αA α 线性相关 (B)若12,,,,s ααα 线性相关,则12,,,,s A αA αA α 线性无关(C)若12,,,,s ααα 线性无关,则12,,,,s A αA αA α 线性相关 (D)若12,,,,s ααα 线性无关,则12,,,,s A αA αA α 线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP(B)1-=C PAP(C)T=C P AP(D)T=C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P A B P A > (B)()()P A B P B >(C)()()P A B P A =(D)()()P A B P B =(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ< (B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分10分) 设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.(16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. 求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.(17)(本题满分12分) 将函数()22xf x x x =+-展开成x 的幂级数.(18)(本题满分12分)设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且()22z fx y=+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(1)验证()()0f u f u u'''+=.(2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式.(19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰ .(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解. (1)求A 的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T=Q AQ A .(22)(本题满分9分)随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(1)求Y 的概率密度()Y f y . (2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭.(23)(本题满分9分)设总体X 的概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x +→时,与x 等价的无穷小量是 (A)1ex-(B)1ln1xx+-(C)11x +-(D)1cos x -(2)曲线1ln(1e )x y x=++,渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2(D)3(3)如图,连续函数()y f x =在区间[3,2],[2,3]--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]-的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设0()()xF x f t dt =⎰.则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =-- (B)5(3)(2)4F F =(C)3(3)(2)4F F =(D)5(3)(2)4F F =--(4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是(A)若0()limx f x x→存在,则(0)0f =(B)若0()()limx f x f x x→+- 存在,则(0)0f =(C)若0()lim x f x x→ 存在,则(0)0f '=(D)若0()()lim x f x f x x→-- 存在,则(0)0f '=(5)设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n == 则下列结论正确的是 (A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12u u >,则{n u }必发散(C)若12u u <,则{n u }必收敛(D)若12u u <,则{n u }必发散(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点,N Γ为L 上从点M 到N 的一段弧,则下列小于零的是(A)(,)x y dx Γ⎰(B)(,)f x y dy Γ⎰(C)(,)f x y ds Γ⎰(D)'(,)'(,)x y f x y dx f x y dy Γ+⎰(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A),,122331---αααααα (B),,122331+++αααααα (C)1223312,2,2---αααααα(D)1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ,则A 与B(A)合同,且相似(B)合同,但不相似(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)23(1)p p -(B)26(1)p p -(C)223(1)p p -(D)226(1)p p -(10)设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,()X f x ,()Y f y 分别表示,X Y 的概率密度,则在Y y =的条件下,X 的条件概率密度|(|)XYf x y 为(A)()X f x(B)()Y f y(C)()X f x ()Y f y (D)()()X Y f x f y二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)31211e x dx x⎰=_______. (12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,)yxz f x y =,则zx∂∂=______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32e xy y y -+=的通解为y =____________. (14)设曲面:||||||1x y z ++=∑,则(||)x y ds ∑+⎰⎰=_____________.(15)设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则3A 的秩为________.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本题满分11分)求函数 2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)|4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值.(18)(本题满分10分)计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰其中 ∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧.(19)(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得 ()()f g ξξ''''=.(20)(本题满分10分) 设幂级数nn n a x∞=∑ 在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===(1)证明:22,1,2,.1n n a a n n +==+ (2)求()y x 的表达式.(21)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解.(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记534,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵.(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B .(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他 (1)求{2}.P X Y >(2)求Z X Y =+的概率密度.(24)(本题满分11分)设总体X 的概率密度为1,021(;),12(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12,,n X X X 是来自总体x 的简单随机样本,X 是样本均值(1)求参数θ的矩估计量ˆθ.(2)判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰则()f x '的零点个数(A)0 (B)1(C)2(D)3(2)函数(,)arctan xf x y y=在点(0,1)处的梯度等于 (A)i (B)-i(C)j(D)-j(3)在下列微分方程中,以123cos2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是 (A)440y y y y ''''''+--= (B)440y y y y ''''''+++= (C)440y y y y ''''''--+=(D)440y y y y ''''''-+-=(4)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是 (A)若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛 (B)若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛 (C)若{}()n f x 收敛,则{}n x 收敛(D)若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛(5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则(A)-E A 不可逆,+E A 不可逆(B)-E A 不可逆,+E A 可逆 (C)-E A 可逆,+E A 可逆 (D)-E A 可逆,+E A 不可逆(6)设A 为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(,,)1x x y z y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 在正交变换下的标准方程的图形如图,则A 的正特征值个数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3(7)设随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ,则{}max ,Z X Y =分布函数为 (A)()2Fx(B) ()()F x F y(C) ()211F x --⎡⎤⎣⎦(D) ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(8)设随机变量()~0,1X N ,()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=,则 (A){}211P Y X =--= (B){}211P Y X =-= (C){}211P Y X =-+=(D){}211P Y X =+=二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y = . (10)曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . (11)已知幂级数()02nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛,在4x =-处发散,则幂级数()03nn n a x ∞=-∑的收敛域为 .(12)设曲面∑是224z x y =--的上侧,则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰ .(13)设A 为2阶矩阵,12,αα为线性无关的2维列向量,12120,2==+A αA ααα,则A 的非零特征值为 .(14)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则{}2P X EX == .三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16)(本题满分10分)计算曲线积分()2sin 221Lxdx x ydy +-⎰,其中L 是曲线sin y x =上从点()0,0到点(),0π的一段.已知曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩,求曲线C 距离XOY 面最远的点和最近的点.(18)(本题满分10分) 设()f x 是连续函数, (1)利用定义证明函数()()0xF x f t dt =⎰可导,且()()F x f x '=.(2)当()f x 是以2为周期的周期函数时,证明函数()22()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰也是以2为周期的周期函数.(19)(本题满分10分)()21(0)f x x x π=-≤≤,用余弦级数展开,并求()1211n n n-∞=-∑的和.(20)(本题满分11分)T T =+A ααββ,T α为α的转置,T β为β的转置.证明:(1)()2r ≤A .(2)若,αβ线性相关,则()2r <A .设矩阵2221212n na a a a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,现矩阵A 满足方程=AX B ,其中()1,,T n x x =X ,()1,0,,0=B , (1)求证()1nn a =+A .(2)a 为何值,方程组有唯一解,求1x . (3)a 为何值,方程组有无穷多解,求通解.(22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立,X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-,Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它,记Z X Y =+,(1)求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭. (2)求Z 的概率密度.(23)(本题满分11分)设12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11n i i X X n ==∑,2211()1n ii S X X n ==--∑,221T X S n =- (1)证明T 是2μ的无偏估计量.(2)当0,1μσ==时 ,求DT .2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小,则(A)11,6a b ==- (B)11,6a b ==(C)11,6a b =-=-(D)11,6a b =-=(2)如图,正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =,cos kk D I y xdxdy =⎰⎰,则{}14max k k I ≤≤=(A)1I (B)2I (C)3I(D)4I(3)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()f x2 3x1 -2-11()f x0 2 3x1 -2 -11 1 ()f x-20 2 3x-1O(C)(D)(4)设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞=,则 (A)当1nn b∞=∑收敛时,1n nn a b∞=∑收敛. (B)当1nn b∞=∑发散时,1n nn a b∞=∑发散.(C)当1nn b∞=∑收敛时,221n nn a b∞=∑收敛. (D)当1nn b∞=∑发散时,221n nn a b∞=∑发散.(5)设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23ααα到基122331,,+++αααααα的过渡矩阵为 (A)101220033⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(D)111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(6)设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==A B ,则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为(A)**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭(B)**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭(C)**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭(D)**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭(7)设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭,其中()x Φ为标准正态分布函数,则EX = (A)0 (B)0.3()f x2 3x1 -2-11()f x2 3x1 -1 1(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====,记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2zx y∂=∂∂ .(10)若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12e xy C C x =+,则非齐次方程y ay by x'''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .(11)已知曲线()2:02L y x x =≤≤,则Lxds =⎰ .(12)设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤,则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .(13)若3维列向量,αβ满足2T =αβ,其中Tα为α的转置,则矩阵Tβα的非零特征值为 .(14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量,则k = .三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分9分)求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.(16)(本题满分9分) 设n a 为曲线ny x =与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积,记122111,n n n n S a S a ∞∞-====∑∑,求1S 与2S 的值.(17)(本题满分11分)椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成.(1)求1S 及2S 的方程. (2)求1S 与2S 之间的立体体积.(18)(本题满分11分)(1)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b aξ'-=-. (2)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0lim x f x A +→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=.(19)(本题满分10分) 计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=∑++⎰⎰,其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.(20)(本题满分11分)设111111042--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,1112-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ (1)求满足21=A ξξ的2ξ.231=A ξξ的所有向量2ξ,3ξ. (2)对(1)中的任意向量2ξ,3ξ证明123,,ξξξ无关.](21)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.(1)求二次型f 的矩阵的所有特征值;(2)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值.(22)(本题满分11分)袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(1)求{}10p X Z ==.(2)求二维随机变量(),X Y 概率分布.(23)(本题满分11 分)设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他,其中参数(0)λλ>未知,1X ,2X ,…n X 是来自总体X 的简单随机样本.(1)求参数λ的矩估计量. (2)求参数λ的最大似然估计量.。

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =−−−−的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域为( )(A) (1,1]−． (B) [1,1)−． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P −． (C) 21P P ． (D) 121P P −．(6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos xy y e x −'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．(11) 设函数2sin (,)1xytF x y dt t =+⎰，则222x y F x ==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ．(13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E X Y = ．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x−→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x −=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++−=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分） 设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)【答案】(C)．【解析】记1111,1,0y x y y '''=−==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=−=−= 32333(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=−=−=− 432444(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=−=−=− (3)()y x P x ''=−，其中(3)0P ≠，30x y =''=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以1nn a∞=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得1nn a∞=∑，而已知S n =1nkk a=∑无界，故原幂级数在2x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1(1)nn n a ∞=−∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0x =时1(1)nn n a ∞=−∑收敛．故正确答案为(C)．(3)【答案】(A)． 【解析】(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x∂''=⋅==∂, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,zA f x f y f f x∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂222(0,0)(0,0)22()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''∂−''''==⋅=−=∂ 又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''−=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>．(4)【答案】(B)． 【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x x <<． 故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1AP B =，11A BP −=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即2,P B E =故122B P P −==．因此，121A P P −=，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =−=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413−=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)． 【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞−∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞−∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞−∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞−∞=1=． 所以1221()()f F x f F x +为概率密度．(8)【答案】(B)．【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥⎧==⎨<⎩ {},,min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥⎧==⎨<⎩．所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】(ln 1+．【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (10)【答案】sin xy e x −=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C −−⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C −=+⎰(sin )xe x C −=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy e x −=．(11)【答案】4． 【解析】2sin 1()F xy y x xy ∂=⋅∂+， 22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂−⋅=⋅∂+， 故2(0,2)2|4Fx∂=∂． (12)【答案】π．【解析】取22:0,1S x y z x y +−=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SS dydz dzdx dxdyydydz xdzdx dxdy x y z y xzx∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰．因'',1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得221[(1)(1)1]Sx y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=⋅−+−+⎰⎰⎰⎰．221(1)x y x y dxdy π+≤=−−+=⎰⎰221x y dxdy π+≤==⎰⎰．(13)【答案】1a =．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于310ii A λ===∏，故113101111a a a =⇒=．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦． 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)【解析】110ln(1)lim[]x e x x x−→+0ln(1)1lim[1].1x x x x e e →+−−=2ln(1)limx x xx e →+−=22201()2lim x x x o x x x e→−+−=22201()2lim x x o x x e→−+=12e −=．(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ [][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+． 因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++． (17)(本题满分10分)【解析】显然0x =为方程一个实根． 当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=−()()22arctan 1arctan xx x f x x −+'=． 令()2arctan 1x g x x x R x =−∈+，()()()222222211220111x x x x g x x x x +−⋅'=−=>+++， 即(),0x R g x '∈>． 又因为()00g =，即当0x <时，()0g x <； 当0x >时，()0g x >． 当0x <时，()'0f x <；当0x >时，()'0f x >．所以当0x <时，()f x 单调递减，当0x >时，()f x 单调递增 又由()00lim lim1arctan x x xf x k k x→→=−=−，()lim lim arctan x x xf x k x→∞→∞=−=+∞， 所以当10k −<时，由零点定理可知()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内各有一个零点； 当10k −≥时，则()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内均无零点．综上所述，当1k >时，原方程有三个根．当1k ≤时，原方程有一个根．(18)(本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+−=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++， 亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 结论得证．（II ）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++−=−∑． 先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫−=−+−−=+=−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I ）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫−+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=−>+− ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=−>+−>+−> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛．(19)(本题满分11分) 【解析】11''(,)xy I xdx yf x y dy =⎰⎰11'0(,)x xdx ydf x y =⎰⎰()()111'000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤'=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()11''0(,1)(,)x x xdx f x f x y dy =−⎰⎰．因为(,1)0f x =，所以'(,1)0x f x =．11'(,)xI xdx f x y dy =−⎰⎰11'0(,)x dy xf x y dx =−⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ Dfdxdy =⎰⎰a =．(20)(本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭． 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭， 故112324βααα=+−，2122βαα=+，31235102βααα=+−．(21)(本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=−=，则()()1212,,A αααα=−，即1122,A A αααα=−=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x −=⎧⎨+=⎩． 解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==−====． 令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ −⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， TA Q Q =Λ22122001102201022⎛−⎛⎫⎪ ⎪−⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪− ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭220012200000002210001022⎛−⎛⎫− ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（22）（本题满分11分）【解析】(I)因为{}221P X Y==，所以{}{}222210≠=−==P X Y P X Y．即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y==−=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}1 0,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y====−===．即,X Y的概率分布为(II)Z的所有可能取值为1,0,1−．{}{}111,13P Z P X Y=−===−=．{}{}111,13P Z P X Y=====．{}{}{}101113P Z P Z P Z==−=−=−=．Z XY=的概率分布为(III)因为XY Cov XY E XY E X E Y ρ−⋅==其中()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=．所以()()()0−⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ． （23）（本题满分 11分）【解析】因为总体X 服从正态分布，故设X 的概率密度为202()2()x f x μσ−−=，x −∞<<+∞．(I) 似然函数22002211()()22222211()(;)](2)ni i i x nnnx i i i L f x eμμσσσσπσ=−−−−−==∑===∏∏；取对数：222021()ln ()ln(2)22ni i x n L μσπσσ=−=−−∑； 求导：22022221()ln ()()22()ni i x d L nd μσσσσ=−=−+∑2202211[()]2()nii x μσσ==−−∑．令22ln ()0()d L d σσ=，解得22011()n i i x n σμ==−∑． 2σ的最大似然估计量为02211()ni i X n σμ∧==−∑．(II) 方法1：20~(,)μσi X N ，令20~(0,)i i Y X N μσ=−，则2211n i i Y n σ=∧=∑．2212221()()()()[()]n i i i i i E E Y E Y D Y E Y n σσ=∧===+=∑．2222212221111()()()()n i n i i D D Y D Y Y Y D Y n nnσ∧===+++=∑442244112{()[()]}(3)σσσ=−=−=i i E Y E Y n n n． 方法2：20~(,)μσi X N ，则~(0,1)i X N μσ−，得到()2201~ni i X Y n μχσ=−⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==−∑．()()222222011111()n i i E E X E Y E Y n n n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．()()22444022222111112()2n i i D D X D Y D Y n nn n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．。

考研数学一（随机变量的数字特征）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2009年] 设随机变量X的分布函数为F(x)=0．3ф(x)0．7ф((x—1)／2)，其中ф(x)为标准正态分布函数，则E(X)=( )．A．0B．0．3C．0．7D．1正确答案：B解析：由ф(x)易知对应的随机变量X1的数学期式为μ1=0，ф((x一1)／2)对应的随机变量X2的期望为μ2=1．又a1=0．3＞0，a2=0．7＞0，且a1+a2=0．3+0．7=1，即知E(X)=0．3×0+0．7×1=0．7．知识模块：随机变量的数字特征2．[2014年]设连续型随机变量X1与X2相互独立，且方差均存在，X1与X2的概率密度分别为f1(x)，f2(x)，随机变量Y1的概率密度为fY1(y)=[f1(y)+f2(y)]，随机变量Y2=(X1+X2)，则( )．A．E(Y1)＞E(Y2)，D(Y1)＞D(Y2)B．E(Y1)=E(Y2)，D(Y1)=D(Y2)C．E(Y1)＞E(Y2)，D(Y1)＜D(Y2)D．E(Y1)=E(Y2)，D(Y1)＞D(Y2)正确答案：D解析：则D(Y1)一D(Y2)=一般有E[X1一X2]2≥0，因X1与X2相互独立，故E[X1一X2]2＞0．事实上，若E(X1一X2)2一0，则D(X1-X2)=E[X1一X2]2=[E(X1一X2)]2=0一[E(X1)一E(X2)]2=0，于是X1一X2=c(常数)以概率1成立．这时X1与X2显然不可能独立，与题设矛盾，故[X1一X2]2＞0，因而D(Y1)一D(Y2)＞0，即D(Y1)＞D(Y2)．仅D入选．知识模块：随机变量的数字特征3．[2015年] 设随机变量X，Y不相关，且E(X)=2，E(Y)=1，D(X)=3，则E[X(X+Y一2)]=( )．A．一3B．3C．一5D．5正确答案：D解析：由题知ρxy=0，即cov(X，Y)=E(XY)=E(X)E(Y)=0，故E(XY)=E(X)E(Y)=2×1=2．则E[X(X+Y一2)]=E(X2+XY一2X)=E(X2)+E(XY)一2E(X)=D(X)+[E(X)]2+E(XY)一2×2=3+22+2—4=5．知识模块：随机变量的数字特征4．[2011年] 设随机变量X与Y相互独立，且E(X)与E(Y)存在，记U=max{X，Y}，V=min{X，Y}，则E(UV)=( )．A．E(U)E(V)B．E(X)E(Y)C．E(U)E(Y)D．E(X)E(V)正确答案：B解析：因UV=max{X，Y}·min{X，Y}=而XY=YX，故UV=XY．又因X，Y相互独立，故E(UV)=E(XY)一E(X)E(Y)．仅B入选．知识模块：随机变量的数字特征5．[2004年] 设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且方差为σ2＞0，令Y=，则( )．A．cov(X1，Y)=σ2／nB．cov(X1，Y)=σ2C．D(X1+Y)=(n+2)σ2／nD．D(X1-Y)=(n+1)σ2／n正确答案：A解析：由题设知X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，则cov(X1，Xi)=0(i=2，3，…，n)，cov(X1，X1)=D(X1)=σ2，仅A入选．注意本例独特之处不是利用协方差计算公式cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，而是利用其性质计算协方差．知识模块：随机变量的数字特征6．[2016年] 随机试验E有三种两两不相容的结果A1，A2，A3，且三种结果发生的概率均为，将试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表示2次试验中结果A2发生的次数，则X与Y的相关系数为( ) A．B．C．D．正确答案：A解析：由题设得到P(X=0，Y=0)(2次试验中结果A3发生了2次)=p2=类似可求得其他情况下的概率，得(X，Y)的分布律如下：将上述的概率分布改写为如下同一表格的形式：则E(X)=0·(4／9)+1·(4／9)+2·(1／9)=6／9=2／3，同理可得E(Y)=2／3，E(XY)=2／9．又则E(X2)=8／9，E(Y2)=8／9．D(X)=E(X2)一[E(X)]2=8／9一(2／3)2=4／9，D(Y)=E(Y2)一[E(Y)]2=4／9．故cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=2／9一(2／3)·(2／3)=一2／9，，仅A入选．知识模块：随机变量的数字特征7．[2012年] 将长度为1 m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )．A．1B．1／2C．一1／2D．一1正确答案：D解析：设X，Y分别为所截两段木棒的长度，则P(X+Y=1)，即P(Y=一X+1)．知X与Y处处线性负相关，其相关系数为一1．仅D入选．知识模块：随机变量的数字特征8．[2008年]设随机变量X~N(0，1)，Y～N(1，4)且相关系数ρXY=1，则( )．A．P(Y=一2X一1)=1B．P(Y=2X一1)=1C．P(Y=一2X+1)=1D．P(Y=2X+1)=1正确答案：D解析：由题目及ρXY=1知，Y=aX+b中的a＞0，故排除A、C．又因E(Y)=E(2X一1)=2E(X)一1=一1，而E(Y)=1，故排除B．仅D入选．知识模块：随机变量的数字特征填空题9．[2017年] 设随机变量X的分布函数为F(x)=0．5ф(x)+，其中ф(x)为标准正态分布函数，则E(X)=______．正确答案：2解析：设X的概率密度函数为f(x)，设φ(x)为标准正态分布函数ф(x)的概率密度，则故=∫-∞+∞xφ(x)dx+2∫-∞+∞φ(x)dx=2．知识模块：随机变量的数字特征10．[2002年] 设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ＞0)，且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为1／2，则μ=______．正确答案：4解析：设事件A表示二次方程y2+4y+X=0无实根，则△=42一4X=16—4X ＜0 即A={16—4X＜0}={X＞4}．由题设有P（A）=P(X＞4)=1／2．又X服从正态分布N(μ，σ2)，具有性质P(X≥μ)=P(X≤μ)=1／2，故μ=4．知识模块：随机变量的数字特征11．[2010年] 设随机变量X的概率分布为P(X=k)=c／k!(k=0，1，2，…)，则E(X2)=______．正确答案：2解析：由得到．因=ex，令x=1，得到，于是即c=e-1，则P(X=k)=e-1／k!(k=0，1，2，…)，故知识模块：随机变量的数字特征12．[2011年] 设二维随机变量(X，Y)服从N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)=______．正确答案：μ(σ2+μ2)解析：因(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，故X～N(μ，σ2)，Y～N(μ，σ2)，则E(X)=μ，E(Y2)=D(Y)+[E(Y)]2=μ2+σ2．又因ρ=0，故X，Y相互独立．于是有E(XY2)=E(X)E(Y2)=μ{D(Y)+[E(Y)]2}=μ(σ2+μ2)．知识模块：随机变量的数字特征13．[2015年] 设二维随机变量{X，Y}服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P(XY-Y＜0)=______.正确答案：解析：因{X，Y}～N(1，1；0，1；0)，ρ=0，故X，Y相互独立，则P{XY —Y＜0}=P{(X一1)Y＜0}=P{X～1＜0，Y＞0}+P{X一1＞0，Y＜0}=P{X～1＜0}P{Y＞0}+P{X—1＞0}P{Y＜0}=P{X＜1}P{Y＞0}+P{X＞1}P{Y＜0}因X～N(1，0)，故P{X＜1}=P{X＞1}=；因Y～N(1，1)，故P{Y＞0}=P{Y＜0}=．所以P{XY—Y＜0}= 知识模块：随机变量的数字特征解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[考研类试卷]考研数学一（多元函数积分学）历年真题试卷汇编1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (2004年)设f(x)为连续函数，则F′(2)等于( )（A）2f(2)（B）f(2)（C）一f(2)（D）02 (2006年)设f(x，y)为连续函数，则等于( )3 (2014年)设f(x，y)是连续函数，则4 (2015年)设D是第一象限中由曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x，围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续，则二、填空题5 (2001年)交换二次积分的积分次序：6 (2009年)设Ω={(x，y，z)|x2+y2+z2≤1}，则7 (2015年)设Ω是由平面x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域，则8 (1998年)设L为椭圆其周长记为a，9 (2009年)已知曲线L：y=x2(0≤x≤)，则10 (2004年)设L为正向圆周x2+y=2在第一象限中的部分，则曲线积分的值为____________。

11 (2010年)已知曲线L的方程为y=1一|x|(x∈[一1，1])，起点是(一1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分12 (2017年)若曲线积分在区域D={(x，y)|x2+y2＜1}内与路径无关，则a=___________。

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

13 (2002年)计算二重积分其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}。

14 (2011年)已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0,其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1)，计算二重积分15 (2005年)设D={(x，y)|x2+y2≤x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数。

计算二重积分16 (2016年)已知平面区域D={(r，θ)|2≤r≤2(1+cosθ}，计算二重积分17 (2006年)设区域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0)，计算二重积分I=18 (2015年)已知曲线L的方程为起点为终点为计算曲线积分19 (1999年)求其中a，b为正常数，L为从点A(2a，0)沿曲线到点O(0，0)的弧。

历年考研数一真题答案考研数学一（数学分析、高等代数、概率论与数理统计）是众多考研学子必须面对的科目之一。

历年真题的练习对于考生来说至关重要，它不仅能帮助考生熟悉考试题型，还能检验自己的学习效果。

以下是一些历年考研数一真题的答案，供参考：数学分析部分1. 极限问题：极限是数学分析的基础，历年真题中经常会出现求函数极限的问题。

例如，求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)，答案是1。

2. 导数与微分：导数是研究函数变化率的重要工具。

例如，求函数\(f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 7\) 的导数，答案是 \(f'(x) = 3x^2+ 4x - 5\)。

3. 积分问题：定积分和不定积分是数学分析中的重要内容。

例如，求定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)，答案是 \(\frac{1}{3}\)。

高等代数部分1. 矩阵运算：矩阵是高等代数中的基础概念。

例如，求解矩阵方程\(AX =B\)，其中 \(A\) 是已知矩阵，\(B\) 是已知向量，\(X\) 是未知向量。

2. 线性变换：线性变换是高等代数中的一个核心概念。

例如，给定一个线性变换 \(T\)，求其在标准基下的矩阵表示。

3. 特征值与特征向量：特征值和特征向量在许多数学问题中都有应用。

例如，求矩阵 \(A\) 的特征值和对应的特征向量。

概率论与数理统计部分1. 随机变量及其分布：随机变量是概率论的基础。

例如，给定一个随机变量 \(X\)，求其分布函数 \(F(x)\)。

2. 大数定律与中心极限定理：这两个定理是数理统计中的重要内容。

例如，解释中心极限定理的意义，并给出一个应用实例。

3. 参数估计：参数估计在统计推断中占有重要地位。

例如，给定一组样本数据，估计总体均值或方差。

结束语考研数学一的复习是一个系统的过程，需要考生对各个知识点有深入的理解和大量的练习。

通过历年真题的练习，考生可以更好地掌握考试的出题规律，提高解题能力。

考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A、B、A+B、A—1+B—1均为n阶可逆方阵，则(A—1+B—1)—1= A．A—1+B—1B．A+BC．A(A+B)—1BD．(A+B)—1正确答案：C解析：由(A—1+B—1)[A(A+B)—1B]=(E+B—1A)(A+B)—1B—B—1(B+A)(A+B)—1B=B—1B=E，或A(A+B)—1B=[B—1(A+B)A—1]—1=(B—1AA —1+B—1BA—1)—1=(B—1+A—1)—1=(A—1+B—1)—1即知只有(C)正确．知识模块：矩阵2．设n维行向量α=()，矩阵A=I—αTα，B=I+2αTα，其中I为n阶单位矩阵，则ABA．O．B．一I．C．I．D．I+αTα．正确答案：C解析：AB=(I一αTα)(I+2αTα)=I+2αTα—αTα一2αTααTα=I+αT α一2αT(ααT)α．而ααT+．故得AB=I．知识模块：矩阵3．设三阶矩阵A=，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有A．a=b或a+2b=0．B．a=b或a+2b≠0。

C．a≠b且a+2b=0．D．a≠b且a+2b≠0．正确答案：C解析：由r(A*)=1，知A*至少有一个元素Aij=(一1)i+1Mij≠0．其中Mij为A的(i，j)元素的余子式即A的一个2阶子式，故r(A)≥2，又由0=｜A*｜=｜A2｜．知｜A｜=0，故得，r(A)=2．由0=｜A｜=(a+2b)(a一b)2，得a=b或a+2b=0，若a=b．则显然有r(A)≤1，与r(A)=2矛盾，故a≠b且a+2b=0．知识模块：矩阵4．设矩阵B=，已知矩阵A相似于B，则秩(A一2E)与秩(A—E)之和等于A．2．B．3．C．4．D．5．正确答案：C解析：由条件知存在可逆矩阵P．使P—1AP=B．故有P—1(A一2E)P=P—1AP—2E=B一2E=，P—1(A—E)P=B—E=，利用相似矩阵有相同的秩．得r(A一2E)+r(A—E)==3+1=4．知识模块：矩阵5．设其中A可逆，则B—1等于A．A—1P1P2B．P1A—1P2C．P1P2A—1D．P2A—1P1正确答案：C解析：利用初等变换与初等矩阵的关系．可得B=AP2P1．故B—1=P—1P —1A—1=P1P2A—1．知识模块：矩阵6．设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A 的转置矩阵．若a1，a2，a3为三个相等的正数，则a11为A．B．C．D．正确答案：A解析：由比较A*=AT对应元素知a=A，(i，j=1，2，3)，其中A，为｜Aij｜中aij的代数余子式，利用行列式按行展开法则得｜A｜=a1j2=3a112＞0．又由A*=AT两端取行列式得｜A｜2=｜A｜，→｜A｜=1，故得3a112=1，a11=．知识模块：矩阵填空题7．设则秩(AB)=_________．正确答案：2解析：秩(AB)=秩(A)=2．知识模块：矩阵8．设B≠O满足BA=O，则t=_________．正确答案：t=一3．解析：BA=O且B≠O时，必有｜A｜=0．知识模块：矩阵9．设矩阵B满足A2一AB=2B+4E，则B=_________．正确答案：解析：B=(A+2E)—1(A2一4E)=(A+2E)—1(A+2E)(A一2E)=A一2E= 知识模块：矩阵10．设n(n≥3)阶方阵的秩为n一1，则a=_________．正确答案：解析：r(A)=n一1→｜A｜=[1+(n—1)a](1一a)n—1≠0→a=或a=1而当a=1时，有r(A)=1；而当a=时，有r(A)=n一1．知识模块：矩阵11．设的伴随矩阵为A*，且A*BA=2BA一8E．则矩阵B=_________．正确答案：解析：B=8(2E—A*)—1A—1=8[A(2E—A*)—1=8(2A—AA*)—1=8(2A—｜A｜E)—1=8(2A+2E)=4(A+E)—1=．知识模块：矩阵12．设n≥2为正整数，则An一2An—1=_________．正确答案：O解析：因A2=2A，故当n=2时，An一2An+1=A2一2A=O；当n＞2时，An一2An+1=An—2(A2一2A)=An—2O=O，故恒有An一2An—1=O(n≥2)．知识模块：矩阵13．设A、B分别为m阶和n阶方阵，且｜A｜=a，｜B｜=b，则行列式=_________．正确答案：(一1)mn｜A｜｜B｜解析：(一1)mnab．可用行列式的拉普拉斯展开法则．或经mn次相邻两列的互换，得=(一1)mn｜A｜｜B｜．知识模块：矩阵14．设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_________．正确答案：O解析：0．当r(A4×4)=2时，A中3阶子式全为零=>A*=O．知识模块：矩阵15．设A、B均是n阶矩阵，且｜A｜—2，｜B｜=一3，A*为A的伴随矩阵，则行列式｜2A*B—1｜=_________．正确答案：解析：｜2A*B—1｜=2n｜A*｜｜B—1｜=2n｜A｜n—1｜B｜—1=一．知识模块：矩阵16．设B=(E+A)—1(E—A)，则(E+B)—1=_________．正确答案：解析：E+B=E+(E+A)—1(E—A)，两端左乘E+A，得(E+A)(E+B)=E+A+E—A=2E→[(E+A)](E+B)=E→(E+B)—1=．知识模块：矩阵17．设α为3维列向量，αT是α的转量．若ααT=，则αTα=_________．正确答案：3．解析：设α=，则ααT=故αTα=a12+a22+a32=1+1+1=3．知识模块：矩阵18．设三阶方阵A、B满足A2B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=，则行列式｜B｜=_________．正确答案：解析：由题设方程解得(A—E)B=E，两端取行列式，得2｜B=1，故｜B｜=．知识模块：矩阵19．设n维向量α=(a，0，…，0，a)T，a＜0；E为n阶单位矩阵，矩阵A=E一ααT，B=E+ααT，其中A的逆矩阵为B，则a=_________．正确答案：一1．解析：由αTα=2a2，及E=AB=E+ααT一ααT一α(αTα)αT=E+(一1—2a)ααT，得一1—2a=0，→a=一1．知识模块：矩阵20．设A、B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵．已知AB=2A+B，B=，则(A—E)—1=_________．正确答案：解析：由题设方程得(A—E)B一2A=O，→(A—E)B一2(A—E)=2E，→(A —E)(B一2E)=2E，→(A—E)—1=．知识模块：矩阵21．设A=，B=P—1AP，其中P为3阶可逆矩阵，则B2004—2A2=_________．正确答案：解析：由于A2=，A4=(A2)2=E，A2004=(A4)501=E501=E．故B2004一2A2=P —1A2004P一2A2=E一2A2=．知识模块：矩阵22．设A=(aij)3×3是实正交矩阵，且a11=1，b=(1，0，0)T，则线性方程组Ax=b的解是_________．正确答案：解析：由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组，故A=，又A—1=AT，故方程组Ax=b的解为x=A—1b=ATb=．知识模块：矩阵23．已知α1，α2均为2维向量，矩阵A=[2α1+α2，α1—α2]，β=[α1，α2]，若行列式｜A｜=6，则｜B｜=_________。

考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编4(总分150,考试时间180分钟)选择题1. 1.[2004年] 微分方程y''+y=x2+1+sinx的特解形式可设为( )．A. y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)B. y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)C. y*=ax2+bx+c+AsinxD. y*=ax2+bx+c+Acosx2. 2.[2008年] 在下列微分方程中以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x (C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )．A. y'''+y''一4y'一4y=0B. y'''+y''+4y'+4y=0C. y'''一y''一4y'+4y=0D. y'''-y''+4y'-4y=03. 3.[2015年] 设是二阶常系数非齐次线性微分方程y''+ay'+by=cex的一个特解，则( )．A. a=一3，b=2，c=一1B. a=3，b=2，c=一1C. a=一3，b=2，c=1D. a=3，b=2，c=14. 4.[2016年] 若y=(1+x2)2一，y=(1+x2)2+再是微分方程y'+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=( )．A. 3x(1+x2)B. 一3x(1+x2)C.D.填空题5. 5.[2006年] 微分方程y'=y(1一x)／x的通解是______．6. 6.[2008年] 微分方程xy'+y=0满足条件y(1)=1的解为______．7. 7.[2014年] 微分方程xy'+y(lnx—lny)=0满足条件y(1)=e3的解为y=______.8. 8.[2011年] 微分方程y'+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．9. 9.[2005年] 微分方程xy'+2y=xlnx满足y(1)=一1／9的特解为______．10. 10.[2013年] 已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=______．11. 11.[2002年] 微分方程yy''+y'2=0满足初始条件y｜x=0=1，y'｜x=0=1／2的特解是______．12. 12.[2007年] 二阶常系数非齐次线性微分方程y''-4y'+3y=2e2x的通解为______．13. 13.[2012年] 若函数f(x)满足方程f''(x)+f'(x)-2f(x)=0及f''(x)+f(x)=2ex，则f(x)=______．14. 14.[2017年] 微分方程y''+2y'+3y=0的通解为y=______．15. 15.微分方程xy''+3y'=0的通解为______．16. 16.[2004年] 欧拉方程(x＞0)的通解是______．17. 17.[2009年] 若二阶常系数线性齐次微分方程y''+ay'+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y'+ay'+by=x满足条件y(0)=2，y'(0)=0的解为______．解答题[2018年] 已知微分方程y'+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数．18. 18.若f(x)=x，求方程的通解．19. 19.若f(x)为周期函数，试证微分方程有解与其对应，且该解也为周期函数．20. 20.求微分方程x2y'+xy=y2满足初始条件y｜x=1=1的特解．21. 21.设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f'(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．22. 22.[2010年]求微分方程y''一3y'+2y=2xex的通解．[2003年] 设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．23. 23.试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；24. 24.求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y'(0)=3／2的解．25. 25.[2005年] 用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1一x2)y''-xy'+y=0，并求其满足y｜x=0=1，y'｜x=0=2的特解．26. 26.[2015年] 设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意x0∈I，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式．27. 27.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水密度为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v)．28. 28.[2004年] 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开降落伞以增大阻力使飞机迅速减速并停下．现有一质量为9000 kg的飞机，着陆时的水平速度为700 km／h．经测试，减速伞打开后飞机所受的阻力与飞机的速度成正比(比例系数k=6．0×106)．问从着陆点算起，飞机滑行的最大距离是多少(注：kg表示千克，km／h表示千米／小时)．。

考研数学一历年真题答案2002 2011数学(一)试题 第1页(共13页)2002年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 原式2ln 11.ln ln eed x x x+∞+∞==-=⎰(2)【分析】 方程两边对x 两次求导得'6'620,y e y xy y x +++=① 2'''6''12'20.y y e y e y xy y ++++=②以0x =代入原方程得0y =,以0x y ==代入①得'0,y =,再以'0x y y ===代入②得''(0) 2.y =-(3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.令'()y P y =(以y 为自变量),则'''.dy dP dPy P dx dx dy=== 代入方程得 20dP yPP dy +=,即0dP y P dy+=(或0P =,但其不满足初始条件01'2x y ==). 分离变量得 0,dP dyP y+= 积分得 ln ln ',P y C +=即1C P y=(0P =对应10C =); 由0x =时11,',2y P y ===得11.2C =于是1',2,2y P ydy dx y===积分得22y x C =+. 又由01x y==得21,C =所求特解为 1.y x =+数学(一)试题 第1页(共13页)(4)【分析】 因为二次型T x Ax 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A 的特征值,所以6,0,0是A 的特征值.又因ii i a λ=∑∑,故600, 2.a a a a ++=++⇒=(5)【分析】 设事件A 表示“二次方程042=++X y y 无实根”,则{1640}{A X X =-<=>4}.依题意,有1(){4}.2P A P X =>=而 4{4}1{4}1(),P X P X μΦσ->=-≤=-即414141(),(),0. 4.22μμμΦΦμσσσ----===⇒=二、选择题(1)【分析】 这是讨论函数(,)f x y 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,(,)f x y 的两个偏导数连续是可微的充分条件,若(,)f x y 可微则必连续,故选(A ).(2)【分析】 由1lim 101n n un n→+∞=>⇒充分大时即,N n N ∃>时10n u >,且1lim0,n nu →+∞=不妨认为,0,n n u ∀>因而所考虑级数是交错级数,但不能保证1nu 的单调性. 按定义考察部分和111111111111(1)()(1)(1)nn nk k k n k k k k k k k S u u u u +++===++=-+=-+-∑∑∑数学(一)试题 第1页(共13页)1111111(1)11(1)1(1)(),k n nn l k l k l n n u u u u u ++==+--=-+-=+→→+∞∑∑⇒原级数收敛.再考察取绝对值后的级数1111()n nn u u ∞=++∑.注意111112,11n n n n u u n n n u u n n++++=+⋅→+ 11n n ∞=∑发散⇒1111()n n n u u ∞=++∑发散.因此选(C ).(3)【分析】 证明(B )对:反证法.假设lim ()0x f x a →+∞'=≠,则由拉格朗日中值定理,(2)()'()()f x f x f x x ξ-=→∞→+∞(当x →+∞时,ξ→+∞,因为2x x ξ<<);但这与(2)()(2)()2f x f x f x f x M -≤+≤矛盾(()).f x M ≤(4)【分析】 因为()()23r A r A ==<,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B ).(A )表示方程组有唯一解,其充要条件是()() 3.r A r A ==(C )中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故()2r A =和()3r A =,且A 中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D )中有两个平面平行,故()2r A =,()3r A =,且A 中有两个平行向量共线.(5)【分析】 首先可以否定选项(A )与(C ),因121212[()()]()()21,()()112 1.f x f x dx f x dx f x dx F F +∞+∞+∞-∞-∞-∞+=+=≠+∞++∞=+=≠⎰⎰⎰数学(一)试题 第1页(共13页)对于选项(B ),若121,21,1,01,()()0,0,x x f x f x -<<-<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他，其他，则对任何(,),x ∈-∞+∞ 12()()0f x f x ≡,12()()01,f x f x dx +∞-∞=≠⎰因此也应否定(C ),综上分析,用排除法应选(D ).进一步分析可知,若令12max(,)X X X =,而~(),1,2,i i X f x i =则X 的分布函数()F x 恰是12()().F x F x1212(){max(,)}{,}F x P X X x P X x X x =≤=≤≤1212{}{}()().P X x P X x F x F x =≤≤=三、【解】 用洛必达法则.由题设条件知lim[()(2)(0)](1)(0).h af h bf h f a b f →+-=+-由于(0)0f '≠,故必有10.a b +-=又由洛必达法则00()(2)(0)'()2'(2)limlim1h h af h bf h f af h bf h h →→+-+= (2)'(0)0,a b f =+=及(0)0f '≠,则有20a b +=.综上,得2, 1.a b ==-四、【解】 由已知条件得(0)0,f =22arctan arctan 02'(0)()'1,1xx t xx x e f e dt x --=====+⎰故所求切线方程为y x =.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得02()(0)2()(0)lim ()2lim 2lim 2'(0) 2.2n n x f f f x f n nf f n xn→∞→∞→--==== 五、【分析与求解】 D 是正方形区域如图.因在D 上被积函数分块表示数学(一)试题 第1页(共13页)2222,,max{,}(,),,,x x y x y x y D y x y ⎧≥⎪=∈⎨≤⎪⎩于是要用分块积分法,用y x =将D 分成两块:1212,{},{}.D D D D D y x D D y x ==≤=≥⇒I 222212max{,}max{,}xy xy D D e dxdy e dxdy =+⎰⎰⎰⎰2221212x y x D D D e dxdy e dxdy e dxdy =+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D 关于y x =对称)2102xx dx e dy =⎰⎰(选择积分顺序)22112 1.x xxe dx e e ===-⎰六、【分析与求解】 (1)易知Pdx Qdy +∃原函数,2211()()()()()x Pdx Qdy dx yf xy dx xf xy dy dy ydx xdy f xy ydx xdy y y y+=++-=-++ 0()()()[()].xy x xd f xy d xy d f t dt y y =+=+⎰⇒在0y >上Pdx Qdy +∃原函数,即0(,)()xy xu x y f t dt y=+⎰.⇒积分I 在0y >与路径无关.(2)因找到了原函数,立即可得(,)(,)(,).c d a b c a I u x y d b==- 七、【证明】 与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数3693()13!6!9!(3)!n x x x x y x n =++++++的收敛域是()x -∞<+∞,因而可在()x -∞<+∞上逐项求导数,得数学(一)试题 第1页(共13页)25831'()2!5!8!(31)!n x x x x y x n -=+++++-,4732''()4!7!(32)!n x x x y x x n -=+++++-,所以2'''12!!n x x x y y y x e n ++=+++++=()x -∞<+∞.(2)与'''x y y y e ++=相应的齐次微分方程为'''0y y y ++=,其特征方程为210λλ++=,特征根为1,21322i λ=-±. 因此齐次微分方程的通解为21233(sin )x Y e C x C x -=+. 设非齐次微分方程的特解为x y Ae *=,将y *代入方程'''x y y y e ++=可得13A =,即有13x y e *=.于是,方程通解为212331(cossin )223xx y Y y e C x C x e -*=+=++. 当0x =时,有112121(0)1,23,0.3131'(0)0.223y C C C y C ⎧==+⎪⎪⇒==⎨⎪==-++⎪⎩于是幂级数30(3)!n n x n ∞=∑的和函数为2231()33x x y x e x e -=+()x -∞<+∞八、【分析与求解】 (1)由梯度向量的重要性质:函数),(y x h 在点M 处沿该点的梯度方向0000(,)(,)0000(,){,}{2,2}x y x y h hh x y x y y x x y∂∂==-+-+∂∂grad数学(一)试题 第1页(共13页)方向导数取最大值即00(,)(,)x y h x y grad 的模,22000000(,)(2)(2).g x y y x x y ⇒=-+-(2)按题意,即求(,)g x y 求在条件22750x y xy +--=下的最大值点⇔22222(,)(2)(2)558g x y y x x y x y xy =-+-=+-在条件22750x y xy +--=下的最大值点. 这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数2222(,,)558(75),L x y x y xy x y xy λλ=+-++--则有22108(2)0,108(2)0,750.Lx y x y x Ly x y x y L x y xy λλλ⎧∂=-+-=⎪∂⎪∂⎪=-+-=⎨∂⎪⎪∂=+--=⎪∂⎩ 解此方程组:将①式与②式相加得()(2)0.x y x y λ++=⇒=-或 2.λ=-若y x =-,则由③式得2375x =即5, 5.x y =±=若2,λ=-由①或②均得y x =,代入③式得275x =即3, 3.x y =±=±于是得可能的条件极值点1234(5,5),(5,5),(53,53),(53,53).M M M M ----现比较222(,)(,)558f x y g x y x y xy ==+-在这些点的函数值:1234()()450,()()150.f M f M f M f M ====因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在1234,,,M M M M 中取到.因此2(,)g x y 在12,M M 取到在D 的边界上的最大值,即12,M M 可作为攀登的起点.九、【解】 由432,,ααα线性无关及3212ααα-=知,向量组的秩1234(,,,)3r αααα=,即矩阵A 的秩为3.因此0Ax =的基础解系中只包含一个向量.那么由数学(一)试题 第1页(共13页)123412312(,,,)2010ααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦知,0Ax =的基础解系是(1,2,1,0).T -再由123412341111(,,,)1111A βαααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦知,(1,1,1,1)T 是β=Ax 的一个特解.故β=Ax 的通解是1121,1101k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中k 为任意常数.十、【解】 (1)若,A B 相似,那么存在可逆矩阵P ,使1,P AP B -=故111E B E P AP P EP P AP λλλ----=-=-11().P E A P P E A P E A λλλ--=-=-=-(2)令0100,,0000A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦那么2.E A E B λλλ-==- 但,A B 不相似.否则,存在可逆矩阵P ,使10P AP B -==.从而100A P P -==,矛盾,亦可从()1,()0r A r B ==而知A 与B 不相似.(3)由,A B 均为实对称矩阵知,,A B 均相似于对角阵,若,A B 的特征多项式相等,记特征多项式的根为1,,,n λλ则有A 相似于1,n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B也相似于1.n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦数学(一)试题 第1页(共13页)即存在可逆矩阵,P Q ,使111.n P AP Q BQ λλ--⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是111()().PQ A PQ B ---=由1PQ -为可逆矩阵知,A 与B 相似.十一、【解】 由于311{}cos ,3222x P X dx πππ>==⎰依题意,Y 服从二项分布1(4,)2B ,则有2222111()()4(4) 5.222EY DY EY npq np =+=+=⨯⨯+⨯=十二、【解】22012(1)23(12)34,EX θθθθθθ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=-1(3).4EX θ=- θ的矩估计量为1ˆ(3),4X θ=-根据给定的样本观察值计算1(31303123)8x =+++++++2.=因此θ的矩估计值11ˆ(3).44x θ=-= 对于给定的样本值似然函数为624()4(1)(12),ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12),L L θθθθθθθθ=--=++-+-2ln ()62824286.112(1)(12)d L d θθθθθθθθθθ-+=--=---- 令ln ()0d L d θθ=,得方程2121430θθ-+=,解得71312θ-=(7131,122θ=>不合题意).于是θ的最大似然估计值为713ˆθ-=2003年硕士研究生入学考试（数学一）试题及答案解析一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x ， 所以 原式=.121ee=-【评注】 本题属常规题型（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z 故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x . 【评注】 本题属基本题型。

2002数一考研真题2002年的数学一科考研真题是考生备考过程中重要的参考材料之一。

通过解答这套真题，可以帮助考生了解考试的难度和出题规律，同时也对自己的数学水平进行评估和提升。

本次考试分为两个部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。

第一部分：选择题选择题部分共有40道小题，每小题4分，共计160分。

在解答选择题时，考生应注意题目的解题思路和答题技巧。

以下是本部分部分小题的示例及解答步骤：题目1：设函数$f(x)=\sqrt{x-1}$，则$f(3)-f(2)=$______。

解答步骤：将函数$f(x)$中的$x$值分别代入，计算得到$f(3)=\sqrt{3-1}=2$，$f(2)=\sqrt{2-1}=1$，所以$f(3)-f(2)=2-1=1$。

题目2：设$y=f(\sin x)$，其中$f(u)$为定义在$R$上的偶函数，且$f(u)>0$，则$y$的最小正周期为______。

解答步骤：由题目可知$f(u)$为定义在$R$上的偶函数，即$f(u)=f(-u)$，所以$\sin x=-\sin x$时，$f(\sin x)=f(-\sin x)$。

最小正周期为$2\pi$。

......第二部分：非选择题非选择题部分共有5道大题，每道大题分为若干个小题，每小题的得分不尽相同。

在解答非选择题时，考生应注意结论的证明和推导过程。

以下是本部分部分题目的示例及解答步骤：大题1：证明：若$n$为正整数，则$1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}$为发散数列。

解答步骤：由于该题为证明题，需要进行严谨的证明过程。

首先，我们可以通过数学归纳法证明基本情况下是成立的，然后再证明在$n=k$成立的情况下，$n=k+1$也成立。

通过数学归纳法的证明，可以得出$1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}$为发散数列。

大题2：已知等差数列$a_1,a_2,...,a_n$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=1$，$S_5=20$，求$a_5$。