广州市高二下学期期末数学试卷(理科)(A卷)C卷

2022-2023学年广东省广州市高二下学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}03M x x =<<，163N x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则()R M N ⋂=ð（）A ．{}06x x <≤B ．133x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}36x x <≤D ．{}36x x ≤≤【答案】D【分析】先求集合M 的补集R M ð，再取R M ð与集合N 的交集即可.【详解】由{}03M x x =<<，可得{}R 03M x x x =≤≥或ð则(){}{}R 1036363M N x x x x x x x ⎧⎫⋂=≤≥⋂≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭或ð故选：D 2．复数4i1iz =+，则z =（）A ．22i --B ．22i-+C ．22i+D ．22i-【答案】D【分析】先计算z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】根据复数除法的运算法则可得41i z i =+()()()414422112i i i i i i -+===+-+，所以可得其共轭复数22z i =-.故选：D.3．函数(sin sin 2)y x x x =-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD ，即可.【详解】由()(sin sin 2)y f x x x x ==-，得()()()()()sin sin 2sin sin 2f x x x x x x x f x -=----=--+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故排除BD.当π2x =时，ππππ(sin sin π)02222y f ⎛⎫==-=> ⎪⎝⎭，排除A.故选：C.4．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为35π，则原圆锥的母线长为（）A ．2B ．5C ．4D ．25【答案】D【分析】设圆台的母线长为l ，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解.【详解】设圆台的母线长为l ，因为该圆台侧面积为35π，则由圆台侧面积公式可得π(12)3π35πl l +==，所以5l =，设截去的圆锥的母线长为l '，由三角形相似可得12l l l '='+，则25l l ''=+，解得5l '=，所以原圆锥的母线长5525l l '+=+=，故选：D .5．某兴趣小组研究光照时长x （h ）和向日葵种子发芽数量y （颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉()10,2D 后，下列说法正确的是（）A ．相关系数r 变小B ．决定系数2R 变小C ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强【答案】D【分析】从图中分析得到去掉()10,2D 后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断即可．【详解】从图中可以看出()10,2D 较其他点，偏离直线远，故去掉()10,2D 后，回归效果更好，对于A ，相关系数r 越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D 后，相关系数r 变大，故A 错误；对于B ，决定系数2R 越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D 后，决定系数2R 变大，故B 错误；对于C ，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D 后，残差平方和变小，故C 错误；对于D ，若去掉()10,2D 后，解释变量x 与预报变量y 的相关性变强，且是正相关，故D 正确．故选：D ．6．已知函数()()e e 2x xx f x --=，则21log3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，然后再比较43342log 3,2,2-的大小，再根据函数的单调性可得结果【详解】()f x 的定义域为R ，因为()()()e e ee ()22x xxx x x f x f x ------===，所以()f x 为偶函数，所以()()2221log log 3log 33a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，443322c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x >时，()()()e e e e 2xx x xx f x ---++'=，因为0x >，所以e 1,0e 1x x -><<，所以e e 0x x -->，(e e )0x x x -+>，所以()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为2x y =在R 上单调递增，且340143-<<<，所以43013402222-<<<<，即433402122-<<<<，因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，即21log 32<<，所以4334202log 32-<<<，所以()433422log 32f f f -⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选：A7．已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率大于零的直线l 与1C 及抛物线22:4C y x =-的所有公共点从左到右分别为点A B C ､､，则BC =（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【分析】设直线l 的方程为1(0)x my m =+>，代入22:4C y x =-，化简后由Δ0=求出m 的值，从而可得直线方程，再代入21:4C y x =化简，结合弦长公式可得答案.【详解】由题意可得()1,0F ，设直线l 的方程为1(0)x my m =+>，由题意可得直线l 与抛物线1C 必有2个交点，与抛物线2C 相切，联立方程组214x my y x=+⎧⎨=-⎩，可得2440y my ++=，所以2Δ16160m =-=，解得1m =，故直线l 的方程为1x y =+，与抛物线1C 方程联立214x y y x=+⎧⎨=⎩，得2610x x -+=，设()()1122,,,B x y C x y ，则126x x +=，所以1228BC x x =++=.故选：C.8．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点P 作两坐标轴的平行线，其在x 轴和y 轴上的截距,a b 分别作为点P 的x 坐标和y 坐标，记(),P a b .若斜坐标系中，x 轴正方向和y 轴正方向的夹角为θ，则该坐标系中()11,M x y 和()22,N x y 两点间的距离为（）A ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+-+--B ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+----C ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+-+--D ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+----【答案】A【分析】建立直角坐标系，求出直角坐标，即可得解.【详解】以O 为坐标原点,原x 轴正方向为x 轴，垂直于x 轴的方向为y 轴建立平面直角坐标系，则在直角坐标系下，()111cos s n ,i M x y y θθ+，()222cos s n ,i N x y y θθ+,则()()22211221cos cos sin sin MN x y x y y y θθθθ+---=+()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ=-+-+--.故选：A.二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．若随机变量X 服从两点分布，1(1)2P X ==，则()12E X =B ．若随机变量Y 的方差()2D Y =，则(32)8D Y +=C ．若随机变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则1(3)4P ξ==D ．若随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，则(28)0.8P η<<=【答案】ACD【分析】根据二点分布的期望公式，可判定A 正确；根据方差的性质，可判定B 错误；根据二项分布的概率计算公式，可判定C 正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定D 正确.【详解】对于A 中，由随机变量X 服从两点分布且1(1)2P X ==，则()11122E X =⨯=，故A 正确；对于B 中，由随机变量Y 的方差()2D Y =，可得()2(32)318D Y D X +==，故B 错误；对于C 中，由变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则334111(3)C ()(1)224P ξ==-=，所以C 正确；对于D 中，由随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，根据正态分布曲线的对称性，可得(28)1(2)0.8P P ηη<<=-<=，所以D 正确.故选：ACD.10．已知函数21()3sin cos cos 2f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的图象的对称轴方程为()ππZ 12x k k =+∈D ．函数()f x 的图象可由cos 2y x =的图象向左平移π12个单位长度得到【答案】AB【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，再结合正弦函数的性质逐项判断作答.【详解】2131cos 21()3sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=-+=-+31πsin 2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故A 正确；函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故B 正确；由ππ2π()62x k k Z -=+∈，得ππ(Z)32k x k =+∈，故C 错误；由cos 2y x =的图象向左平移π12个单位长度，得ππcos 2cos 2cos 212623ππy x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πsin sin π2π2π223sin 33x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝+⎭⎝⎦-⎭⎣，故D 错误.故选：AB11．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A 1：第一次取出的是红球；事件A 2：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（）A ．事件1A ，2A 为互斥事件B ．事件B ，C 为独立事件C ．()25P B =D ．()234P C A =【答案】ACD【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB ，由组合知识求得()P B 判断C ，根据条件概率的定义求得2(|)P C A 判断D ．【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A 正确；由于是红球有3个，白球有2个，事件B 发生时，两球同为白色或同为红色，2325223225C C ()3()C C ()4C P BC P C P B ===+，事件B 不发生，则两球一白一红，()1P C =，,B C 不独立，B 错；223225C C 2()C 5P B +==，C 正确；事件2A 发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件C 才发生，所以23(|)4P C A =，D 正确．故选：ACD ．12．已知函数()sin ln f x x x =+，将()f x 的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列{}n x ，对于正整数n ，则下列说法中正确的有（）A ．()1ππn n x n-<<B ．1πn n x x +-<C ．(21)π2n n x ⎧-⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列D ．()2(41)π1ln2n n f x ->-+【答案】AC【分析】()f x 的极值点为()f x '的变号零点，即为函数cos y x =与函数1y x=-图像在()0,∞+交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.A 选项，利用零点存在性定理及图像可判断选项；BC 选项，由图像可判断选项；D 选项，注意到(41)π(41)π1ln22n n f --⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由图像可得()f x 单调性，后可判断选项.【详解】()f x 的极值点为()1cos f x x x'=+在()0,∞+上的变号零点.即为函数cos y x =与函数1y x=-图像在()0,∞+交点的横坐标.又注意到()0,x ∈+∞时，10x -<，N k ∈时，()1212cos π+ππ+πk k =-<-，N k *∈，022222πππ,∪π,πx k k ⎛⎫⎛⎫∈-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，cos 0x >.据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.A 选项，注意到N k ∈时，120222ππππf k k ⎛⎫'+=> ⎪⎝⎭+，()12102ππππf k k '+=-+<+，31203222ππππf k k ⎛⎫'+=> ⎪⎝⎭+.结合图像可知当21，N n k k *=-∈，()()112π,ππ,πn x n n n n ⎛⎫⎛⎫∈-⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当2，N n k k *=∈，()()()1112π,ππ,πn x n n n n ⎛⎫⎛⎫∈--⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故A 正确；B 选项，由图像可知325322π，πx x ><，则32πx x ->，故B 错误；C 选项，(21)π2n n x --表示两点(),0n x 与12π,0n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭间距离，由图像可知，随着n 的增大，两点间距离越来越近，即(21)π2n n x ⎧-⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列.故C 正确；D 选项，由A 选项分析可知，()241212π,π，N n n x n n *⎛⎫-∈-∈ ⎪⎝⎭，又结合图像可知，当()2412,πn n x x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，1cos x x >-，即此时()0f x ¢>，得()f x 在()2412,πn n x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，则()2(41)π(41)π1ln 22n n n f x f --⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题涉及函数的极值点，因函数本身通过求导难以求得单调性，故将两相关函数画在同一坐标系下，利用图像解决问题.三、填空题13．函数()ln f x x x =⋅在e x =处的切线方程为．【答案】2ey x =-【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.【详解】因为()ln f x x x =⋅，则()e e ln e e f =⋅=，又()ln 1f x x '=+，则()e ln e 12f '=+=，所以函数()ln f x x x =⋅在e x =处的切线方程为()e 2e y x -=-，即2e y x =-.故答案为：2ey x =-14．若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是.【答案】60【分析】先根据二项式系数之和求出n ，然楼根据展开式的通式，令x 的次数为零即可得常数项.【详解】由12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64得264n=，解得6n =，即612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其展开式的通式为()()366621661C 212C rr r r r r rr T x xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令3602r-=得4r =，()42441612C 60T +∴=-=故答案为：60.15．某高中学校在新学期增设了“传统文化”､“数学文化”､“综合实践”､“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有种.（用数字作答）【答案】36【分析】分两类：所选课程恰有一门相同和没有相同，利用排列、组合分别求出每类的种数，再利用分类计数原理即可求出结果.【详解】当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时：相同的课程为“数学文化”时，有24A 12=种，相同的课程不是“数学文化”时，有1134C C 12=种，所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共有24种，当小明和小华两位同学所选的课程没有相同时，有1243C C 12=,所以，两位同学不同的选课方案有241236+=，故答案为：3616．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线（1F ，2F 为焦点）上一点，点P 处的切线平分12F PF ∠．已知双曲线C ：22142x y -=，O 为坐标原点，l 是点103,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线，过左焦点1F 作l 的垂线，垂足为M ，则OM =．【答案】2【分析】延长2PF 交1F M 延长线于点N ，结合题意得点M 为1F N 的中点，1PN PF =，从而得到212OM F N =，再结合双曲线的定义即可求解．【详解】如图，延长2PF 交1F M 延长线于点N ，因为点M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，所以点M 为1F N 的中点，所以1PN PF =，又点O 为12F F 的中点，且1224PF PF a -==，所以()()22111142222OM F N PN PF PN PF ==-=-+=．故答案为：2．四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，满足12542,30,2a b S b ===+是3b 与5b 的等差中项.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设()(1)n n n n c a b =-+，求数列{}n c 的前20项和20T .【答案】(1)2n a n =，12n n b -=；(2)202+593【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，利用12a =，515452S a d ⨯=+求出d 值即可得到{}n a 的通项公式；再由题意得4352(2)b b b +=+，结合12b =可求出q 值，进一步可得{}n b 的通项公式；（2）由()392021(246840)12222T =-+-+-++-+-+-+ ，利用等比数列求和公式，结合分组求和即可求出20T ．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为12a =，所以55410302S d ⨯=+=，解得2d =，所以22(1)2n a n n =+-=，由题意知：()43522b b b +=+，因为22b =，所以()2322222q q q +=+，解得2q =，所以12n n b -=；（2）由（1）得()11(1)22(1)2(1)2n n n n n n c n n --=-+=-⋅+-⋅，()392021(246840)12222T =-+-+-++-+-+-+ ()220200112212+59210201(2)33⎡⎤-⨯---⎣⎦=⨯+=+=--.18．近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式.可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任.某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡.食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造.为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄､褐两种颜色的蜂蜡罐，对,M N 两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：黄色蜂蜡罐褐色蜂蜡罐M 品种蜜蜂4020N 品种蜜蜂5010(1)依据小概率值0.05α=的独立性检验，分析蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐是否与蜜蜂种类有关联？(2)假设要计算某事件的概率()P B ，常用的一个方法就是找一个与B 事件有关的事件A ，利用公式：()()()()()()()P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=⋅+⋅求解，现从装有a 只M 品种蜜蜂和b 只N 品种蜜蜂的蜂蜡蠸中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M 品种蜜蜂为事件A ，第二次抽到M 品种蜜蜂为事件B ，求()P B （用,a b 表示()P B ）附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】(1)蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联；(2)()a P B a b =+【分析】（1）由已知数据结合公式求2χ，比较其与临界值的大小，由此确定蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，进一步求频率判断；（2）由古典概型概率公式和条件概率公式求()()()(),,,P A P B A P A P B A ，再代入所给公式求解.【详解】（1）根据列表得2212060040 4.444 3.841609309χ⨯==≈>⨯⨯，所以依据0.05α=的独立性检验，蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，M 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为23，M 品种进入褐色蜂蜡罐的频率为13，N 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为56，N 品种进入褐色蜂蜡罐的频率为16，依据频率分析，M 品种的蜜蜂选择褐色蜂蜡罐的频率是N 品种的蜜蜂的两倍，所以品种M N ､的蜜蜂选择进入黄色蜂蜡罐与褐色蜂蜡罐有显著差异；（2）由已知上式知，()()()()1,,,11a a b a P A P B A P A P B A a b a b a b a b -====++-++-则()()()()()()()P B P AB P AB P A P B A P A P B A=+=⋅+⋅，所以1()11a a b a P B a b a b a b a b -=⋅+⋅++-++-，所以()()()()11a a b a P B a b a b a b +-==++-+，所以()a P B a b =+.19．如图，在平面四边形ABCD 中，4AC =，BC CD ⊥．(1)若2AB =，3BC =，15CD =，求△ACD 的面积；(2)若2π3B ∠=，π6D ∠=，求3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭的最大值．【答案】(1)7154(2)463【分析】（1）先用余弦定理求出cos ACB ∠，再利用面积公式求解；（2）设BCA θ∠=，运用正弦定理分别表示出,BC AD ，再利用恒等变换以及三角函数的性质求解.【详解】（1）在ABC 中，22216947cos 22438AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯，因为BC CD ⊥，所以7sin cos 8ACD ACB ∠=∠=，所以ACD 的面积117715sin 4152284S AC CD ACD =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=；（2）设BCA θ∠=，π03θ<<，则π2ACD θ∠=-，π3BAC θ∠=-．在ABC 中，2ππsin sin 33BC AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8πsin 33BC θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在ACD 中，ππsin sin 62AD AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8cos AD θ=，所以31438π4cos sin 62333AD BC θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭434346πcos sin sin 3334θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当π4θ=时，3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭取得最大值463；综上，ACD 的面积为7154，3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭的最大值463.20．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，2AB AP ==，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点.(1)求证：平面EFG⊥平面PAC；(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为13，且G点不是线段PC的中点，求三棱锥E ABG-体积.【答案】(1)证明见解析(2)1 9【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用坐标法求出G点坐标，然后求解即可.【详解】（1）证明：如图：连接BD，在正方形ABCD中BD AC⊥，又PA⊥平面ABCD，故PA BD⊥.而PA，AC是平面PAC上的两条相交直线，所以BD⊥平面PAC.在PBD△中，EF为中位线，故EF BD∥.所以EF⊥平面PAC.又EF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAC.（2）如图：以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()002P ,,，()0,2,0D ，()1,0,1E ，()0,1,1F ，()1,0,1AE =uuu r ，()0,1,1AF = ，设平面AEF 的一个法向量为()111,,m x y z = ，则00AE m AF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x z y z +=⎧⎨+=⎩，取()1,1,1m =- ，设101,2PG PC λλλ⎛⎫=<<≠ ⎪⎝⎭ ，则(0,0,2)(2,2,2)(2,2,22)AG AP PG AP PC λλλλλ=+=+=+-=- .则222621sin cos ,3344(22)m AG λθλλλ-===⨯++- ，整理得212810λλ-+=，解得16λ=或12λ=（舍去），故16PG PC = ，故G 到平面PAB 的距离1163h BC ==，故1226EBG S BE h =⋅=△.因为()()1,0,10,1,00AE BC ⋅=⋅= ，所以AE BC ⊥，又()()1,0,12,0,20AE BP ⋅=⋅-= ，所以AE BP ⊥，又BP BC P = ，所以EA ⊥平面PBC ，故A 到平面BEG 的距离为2EA =.三棱锥E ABG -体积为112123369E ABG A EBG EBG V V S EA --==⋅=⨯⨯=△.21．已知函数()()2ln 21f x a x x a x =+-+，其中0a >.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当102a <<时，判断函数()f x 零点的个数.【答案】(1)答案见解析(2)一个零点，理由见解析【分析】（1）求出()f x '，分12a =、102a <<、12a >讨论可得答案；（2）由（1）当102a <<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得函数()f x 的极大值()f a ，再利用导数证明()0f a <可得答案.【详解】（1）()()()()()212210x x a a f x x a x x x --'=+-+=>，令()0f x '=得21,2x x a ==，当12a =时，()0f x '≥，则函数()f x 在()0,∞+上单调递增，当102a <<时，0x a <<或12x >时，()0f x ¢>，12a x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当12a >时，102x <<或x a >时，()0f x ¢>，12x a <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),a +∞上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述，当12a =时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当102a <<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当12a >时，函数()f x 的单调递增区间为在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),a +∞，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）当102a <<时，函数()f x 仅有一个零点的个数，理由如下，由（1）得当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 在()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；则函数()f x 的极大值为()()()2ln 21ln 1f a a a a a a a a a =+-+=--，且极小值为()12f f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，令()ln 1g x x x =--，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1110x g x x x -'=-=>，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()g x 在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()13ln 2022g x g ⎛⎫<=--< ⎪⎝⎭，所以当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()ln 10f a a a a =--<，()()()()224222e ln e e 21e e 1e 2f a a a =+-+=--，因为10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,1a ∈，22e 10,e 20a ->->，可得()2e 0f >，如下图，作出函数()f x 的大致图象，由图象可得当102a <<时，函数()f x 仅有一个零点的个数.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想与运算求解能力.22．已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点()23P ,，且它的离心率12e =（I ）求椭圆的标准方程；（II ）与圆()2211x y -+=相切的直线:l y kx t =+交椭圆于M 、N 两点，若椭圆上一点C 满足OM ON OC λ+= ，求实数λ的取值范围【答案】（1）22186x y +=；（2）()()2,00,2-⋃【分析】（1）根据题意先设出椭圆的标准方程，然后根据椭圆上的点及离心率可求出方程中的待定系数，进而可得所求的方程；（2）由直线和圆相切可得212t k t-=(t≠0)，然后将直线方程代入椭圆方程后得到关于x 的一元二次方程，根据根据系数的关系可得点C 的坐标，代入椭圆方程后整理得到2222222234111t k t t λ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，根据t 的范围可得202λ<<，进而得到所求范围．【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，，，解得2286a b ⎧=⎨=⎩，，所以椭圆的标准方程为22186x y +=.（2）因为直线l ：y ＝kx ＋t 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，所以21t kk ++＝1，整理得212t k t-=(t≠0)．由22186y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0，因为直线l 与椭圆交于M ，N 两点，所以()()()2222226443442416243180k t k t k t ∆=-=-+>＋－，将212t k t-=代入上式可得0∆>恒成立．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－2834kt k +，所以y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k(x 1＋x 2)＋2t ＝2634t k +，因为OC λ= ()1212,x x y y ++2286,3434kt t k k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭)，所以可得C ()()2286,3434kt t k k λλ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭，又因为点C 在椭圆上，所以()22222834k t k λ+＋()2222634t k λ+＝1,所以2222222234111t k t t λ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为t 2＞0，所以221t ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋21t ＋1＞1，所以202λ<<，所以λ的取值范围为()()2,00,2-⋃.【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。

广东省广州市第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知{}(){}42,lg 10A x x B x x =-≤≤=-<，则A B =I （ ） A ．{}42x x -≤< B ．{}42x x -≤≤ C ．{}12x x <<D ．{}12x x <≤2．已知复数1i z =+（i 是虚数单位），则izzz =+（ ） A ．31i 55+B ．11i 55+C ．31i 55-+D ．11i 55-+3．已知向量(3,1)a =-r ，(2,1)b m =--r ，若(2)a a b ⊥+r r r ，则m =（ ） A ．1-B ．2-C ．1D ．04．若nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128-，则展开式中2x 的系数为（ ） A ．2835- B ．945 C ．2835 D ．945-5．若π(0,)2α∈，2cos tan 232sin ααα=-，则tan α等于（ ）A B ．18C D 6．已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为12，则球与圆台的体积之比为（ ）A ．14B ．12C ．23D ．347．当a<0时，函数()()2e xf x x ax =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()1f x +为奇函数，()2g x -为偶函数，()()121f x g x -=-+，()11f -=，则()()20232024f g =（ ）A ．1-B ．1C ．2023D ．2024二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ）A ．设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，若()1P X p ≥=，则(10)12P X p -<<=-B ．某人在10次答题中，答对题数为X ，()10,0.7X B :，则答对7题的概率最大C ．基于小概率值α的检验规则是：当2x αχ≥时，我们就推断0H 不成立，即认为X 和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当2x αχ<时，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为X 和Y 独立D ．将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()332f x x x =--，则（ ）A ．()f x 的极大值点为1-B ．函数()y f x = 3C ．函数()()y f f x =的零点个数为7D ．()()0f f x >的解集为()()2,02,-+∞U11．费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知1F 、2F 分别是以34y x =?为渐近线且过点()A 的双曲线C 的左、右焦点，在双曲线C 右支上一点()()0000,4,0P x y x y >>处的切线l 交x 轴于点Q ，则（ ）A ．双曲线CB ．双曲线C 的方程为221169x y -=C ．过点1F 作1F K PQ ⊥，垂足为K ，则8OK =D ．点Q 的坐标为016,0x ⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题12．等差数列{}n a 中，148121520a a a a a ++++=，则15S =．13．已知函数()32f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()210f m f n f +-=，则12m n+的最小值是14．某校高三年级有(2,N )n n n *>∈个班，每个班均有(30)n +人，第k （1,2,3,,k n =⋅⋅⋅）个班中有(10)k +个女生，余下的为男生.在这n 个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是813，则n =.四、解答题15．已知a ，b ，c 分别为ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，且2cos 2a cC b-=． (1)求角B 的大小； (2)若3b =，sin C ABC V 的面积． 16．已知函数()2e ,R xf x x a x =-+∈，曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为y bx =．(1)求()f x 的解析式；(2)当x ∈R 时，求证：()2f x x x ≥-+；(3)若()f x kx ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，3AB ==，2AD DB =，O 为BC 的中点，1AO ⊥平面ABC .(1)求证：1AA OD ⊥；(2)若1AA =1BAA 和平面1AAO 夹角的余弦值. 18．已知点()2,3在双曲线2222:12x y C a a -=+上． (1)求双曲线C 的方程；(2)设点Q 为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点Q 到C 的两条渐近线的距离之积为定值；(3)过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭作斜率为k 的动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MH PNHN=．（ⅰ）求斜率k 的取值范围；（ⅱ）证明：点H 恒在一条定直线上．19．对于数列{}n a ，如果存在等差数列{}n b 和等比数列{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N ，则称数列{}n a 是“优分解”的．(1)证明：如果{}n a 是等差数列，则{}n a 是“优分解”的．(2)记()2*11ΔΔΔΔn n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈N ，，证明：如果数列{}n a 是“优分解”的，则()2*Δ0n a n =∈N 或数列{}2Δn a 是等比数列．(3)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n a 和{}n S 都是“优分解”的，并且123346a a a ===，，，求{}n a 的通项公式．。

广州市高二下学期数学期末考试试卷 A 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017 高一下·磁县期末) 已知集合 A={x|log2x＜1}，B={y|y=2x ， x≥0}，则 A∩B=（ ）A.∅B . {x|1＜x＜2}C . {x|1≤x＜2}D . {x|1＜x≤2}2. （2 分） 某几何体的三视图如图所示,它的体积为（ ）A. B. C. D. 3. （2 分） (2017 高二上·钦州港月考) 执行如右图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为（ ）第 1 页 共 13 页A . 80 B . 84 C . 88 D . 92 4. （2 分） 已知 A. B. C. D. 5. （2 分） 已知 A.2 B. C.3，则 ，的值为 （ ），若， 则 x 等于（ ）第 2 页 共 13 页D. 6. （2 分） 下列四个函数中，在（0，1）上为增函数的是（ ） A . y=﹣log2x B . y=sinxC. D . y=arccosx 7. （2 分） 已知直线 平面 ， 直线 平面 ， 给出下列命题,其中正确的是（ ）①②③④A . ①③ B . ②③④ C . ②④ D . ①②③8. （2 分） (2018·延边模拟) 已知，则（）A.B.C.D. 9. （2 分） 若 a＞0，b＞0，且 a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（ ）第 3 页 共 13 页A. B. C.D.10. （2 分） (2018 高一上·嘉兴期中) 如果 A.，那么（ ）B.C.D.11. （2 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，圆 C 的方程为 x2+y2﹣8x+15=0，若直线 y=kx+2 上至少存在一点，使 得以该点为圆心，半径为 1 的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最小值是（ ）A.-B.-C.-D.-12. （2 分） 在直角坐标系中，定义两点 P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直角距离”为 d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|，现给出四个命题：①已知 P(1,3),Q(sin2x,cos2x),， 则 d(P,Q)为定值；第 4 页 共 13 页②用|PQ|表示 P,Q 两点间的“直线距离”，那么；③已知 P 为直线 y=x+2 上任一点，O 为坐标原点，则 d(P,Q)的最小值为 ； ④已知 P,Q,R 三点不共线，则必有 d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,Q). A . ②③ B . ①④ C . ①② D . ①②④二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017 高二下·河北期末) 已知数列 满足，________．，则 最小值为14. （1 分） (2018 高二上·南宁期中) 某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取 40 名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按 1～200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组(1～5 号为第 1 组，6～10号为第 2 组，…，196～200 号为第 40 组)．若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号码是 ．若用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取 人,则________．15. （1 分） (2016 高一下·张家港期中) 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，且边 a=4，c=3，则△ABC 的面积等于________．16.（1 分）(2018 高三上·酉阳期末) 定义域为 的偶函数且当时，取值范围是________.，若函数满足对 在，有，上至多有三个零点，则 的第 5 页 共 13 页三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17. （10 分） (2018 高二下·辽宁期中) 设关于 的不等式．（1） 若，求此不等式解集；（2） 若此不等式解集不是空集，求实数 的取值范围．18. （10 分） (2017 高二下·寿光期末) 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1） 求圆 C 的极坐标方程；（φ 为参数），（2） 直线 l 的极坐标方程是 2ρsin（θ+ 的交点为 Q，求线段 PQ 的长．）=3，射线 OM：θ= 与圆 C 的交点为 O、P，与直线 l19. （10 分） (2018 高一上·华安期末) 已知（1） 化简；（2） 若 是第三象限角，且，求的值．20. （10 分） (2018 高二上·舒兰月考) 在锐角边，且．中， 、 、 分别为角 、 、 所对的（1） 确定 的大小；（2） 若，且的周长为，求的面积．21. （10 分） (2020·厦门模拟) 已知函数有两个零点.（1） 求 的取值范围；（2） 记的极值点为 ，求证：.22. （5 分） (2017·成都模拟) 已知函数 f（x）=xln（x+1）+（第 6 页 共 13 页﹣a）x+2﹣a，a∈R．（I）当 x＞0 时，求函数 g（x）=f（x）+ln（x+1）+ x 的单调区间； （Ⅱ）当 a∈Z 时，若存在 x≥0，使不等式 f（x）＜0 成立，求 a 的最小值．第 7 页 共 13 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、参考答案第 8 页 共 13 页15-1、 16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17-1、 17-2、 18-1、18-2、 19-1、19-2、第 9 页 共 13 页20-1、 20-2、21-1、第 10 页 共 13 页21-2、。

2015-2016学年广东省实验中学、广雅中学、佛山一中联考高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2+2x﹣8≤0}，则A∪B=（≤6}，集合B={x|3x ） 1．设集合A={x|0≤x，] C．[0，6]D．[﹣2，A．[0﹣，]B．[26]，则．若） z=1+2i2=（A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4xy4．已知实数x，y满足1＜a＜a（0≤a≤1），则下列关系式恒成立的是（）22+1） ln（（B．lnxy+1A．）＞＞22C．sinx＞siny D．x＞y5．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是（）A．24 B．96 C．144 D．210成等差数列，则=，，}6．已知等比数列{a中，各项都是正数，且a2a2n1（）2 ﹣ 3+2D．3C1B．A1+ ．﹣．7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）1 / 20A．16 B．17 C．14 D．15，又f（x）dx=0，则函数fx=sin（﹣φ）且|φ|（＜x）的8．已知函数f（x））图象的一条对称轴是（D．A．x= B．．x= Cx=x=9．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该3四棱锥的体积为（）m．． C．3 DA．4 B．2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一F、F10．设图21|=ab，则该双曲线的离心率为（ |PF ） |=3b点P使得|PF|+|PF，|PF|?2112． D．3． BC． A11．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S′（t）的图象大致为（）．C． BA．．D2 / 20与l处的切线，P，（x）P=图象上点，12．设直线ll分别是函数f12112的面积的取值范围是B，则△PABy，l分别与轴相交于点A，l垂直相交于点P，且l212）（ +∞） D．（1，∞），A．（01）B．（0，2） C．（0，+分．20二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共13．．已知向量夹角为 45°，且= ，则x+y）的展开式中x（用数字作答）y．（14x﹣y）2736的系数为（15．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．16．在平面内，定点A、B、C、D满足：||=||=||， ?==?=﹣2，动点P、M满足：||=1， =，则||的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若b=，c=1，求△ABC的面积．）=0 S﹣（n﹣（n+n﹣1）满足：．正项数列18{a}的前n项和SS nnnn（1）求数列{a}的通项公222+n式a；nnNn∈的前n项和T，证明：对于任意的}2（）令b=，求数列{b nnn*，都有T．n19．为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：优秀非优秀总计男生 40 20 60女生 20 30 50总计 60 50 110（Ⅰ）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望． 附：2= 0.5000.400 K0.100 0.010 0.0012≥KP （k ）3 / 20k 0.455 0.708 2.706 6.635 10.828EF=DE=BDBD ，，ABCD 于BD ，EF ∥20．梯形BDEF 所在平面垂直于平面AB=AD=2，DE ⊥BD=BC=CD=BC ．（Ⅰ） 求证：DE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ） 求平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值．，且其中一个焦点与抛物线的焦的中心在坐标原点，离心率21．已知椭圆C 点重合． C 的方程；（1）求椭圆，0）的动直线l 交椭圆SC （于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在）过点（2一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．．已知函数f（x）=alnx﹣x，a∈R，222（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x≥1时，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设a＞0，若A（x，y），B（x，y）为曲线y=f（x）上的两个不同点，满足0＜x12121＜x，且?x ∈32＜． xAB处的切线与直线）在（），使得曲线x，（xy=fxx=x平行，求证：33214 / 202015-2016学年广东省实验中学、广雅中学、佛山一中联考高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．﹣8≤0}，则A∪B=（≤x≤6}，集合B={x|3x ） 1．设集合A={x|02+2x，] C．[0，6]2D．[﹣2，6]A．[0．，]B[﹣【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．}=[﹣x2，≤0}=（x|﹣2，【解答】解：集合A={x|0≤x≤6}=[06]，B={x|3x≤+2x﹣82≤]，∴A∪B=[﹣2，6]，故选：D．，则=（ 2．若z=1+2i）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．==iz=1+2i ．，则 =【解答】解：故选：C ．3．设随机变量ξ服从正态分布N （2，9），若P （ξ＞c ）=P （ξ＜c ﹣2），则c 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N （2，9），得到曲线关于x=2对称，根据P （ξ＞c ）=P （ξ＜c ﹣2），结合曲线的对称性得到点c 与点c ﹣2关于点2对称的，从而做出常数c 的值得到结果． 【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N （2，9）， ∴曲线关于x=2对称， ∵P （ξ＞c ）=P （ξ＜c ﹣2），∴， ∴c=3 故选：C ．xy（0≤a ≤1a1yx4．已知实数，满足＜＜a ），则下列关系式恒成立的是（ ）5 / 2022+1）（y ln （xlnA+1．）＞＞ B ．22C ．sinx ＞sinyD ．x ＞y 【考点】指数函数的图象与性质．xy（0＜a ＜1），得到y ＜x ＜a ＜0，对于B ．C ．D 分别举反例【分析】实数x ，y 满足1＜a 2在（﹣∞，0y=x ）上单调递减，即可判断出正误 即可否定，对于A ：由于xy（0＜aa ＜1），解：∵实数【解答】x ，y 满足1＜a ＜∴y ＜x ＜0，＜+1，即．若＞，则等价为xx+1＜yAy2222B．若ln（x+1）＞ln（y+1），则等价为x 2222，恒成立＞y成立，当x=﹣1，y=﹣2，满足x＞y时，22但x＞y，不成立，﹣π，y=﹣π时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立． C．当x=22D．当x=﹣1，y=﹣2，满足x ＞y时，但x＞y，不成立，故选：A5．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是（）A．24 B．96 C．144 D．210【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共4=96种． 4×A有4故选：B．成等差数列，则=，，．已知等比数列{a}中，各项都是正数，且a2a621n（）2﹣ D．1．3﹣ C． 3+2A．1+ B 【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．）=a×（+2a【分析】先根据等差中项的性质可知得2，进而利用通项公式表示出21q=1+2q，求得q2，代入中即可求得答案．×（）=a+2a，解：依题意可得【解答】2 212 =a即，aq，整理得+2a=1+2q，2316 / 20±，求得q=1∵各项都是正数q=1+ 0，∴q＞=3+2 =∴故选C7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．16 B．17 C．14 D．15【考点】程序框图．【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．，n=2；【解答】解：第一次循环：S=log 2，n=3；+log 第二次循环：S=log22，n=4+log第三次循环：S=log；+log 222…，n=n+1+log…；第n次循环：S=log+log=log+log +22222＜﹣15．3，解得nlog令＞2∴输出的结果是n+1=16．故选：A．，又f（x）dx=0，则函数f||x=sinxf8．已知函数（）（﹣φ）且φ＜（x）的图象的一条对称轴是（）7 / 20x= D．x= C．A．x=x= B．【考点】正弦函数的图象．利用f（x）dx=0求出φ值，然后找出使三角函数f（【分析】x）取得最值的x即可．|φ|，＜x【解答】解：函数f（x）=sin（﹣φ）且（cos﹣φ）x﹣φ）=﹣dx=sin（x﹣φ）dx=﹣cos所以f（x）（+cosφ=0，φ=+kπ，k∈Z所以，解得tanφ=；，∴φ=φ又||；≤﹣x=sin（x）；所以f（）﹣xx）的图象的对称轴是所以函数；=kπ，+k∈Z f（+，k∈Z； x=kπ即x=x）其中一条对称轴为所以f（．故选：A．9．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该3．m）四棱锥的体积为（． C．3 4 A．BD．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该四棱锥的底面是底边为2，高为1的平行四边形，四棱锥的高为3．利用体积计算公式即可得出．8 / 20【解答】解：由三视图可知：该四棱锥的底面是底边为2，高为1的平行四边形，四棱锥的高为3．3．×∴该四棱锥的体积3=2mV= ．故选：D的左、右焦点，双曲线上存在一、F分别为双曲线10．设图F21|=ab，则该双曲线的离心率为（），使得|PF|+|PF|=3b|PF|?|PF点P2211． DC．A． B3．【考点】双曲线的简单性质．【分析】要求离心率，即求系数a，c间的关系，因此只需用系数将题目已知的条件表示出来即可．本题涉及到了焦点弦问题，因此注意结合定义求解．【解答】解：由双曲线的定义得：|PF|﹣|PF|=2a，（不妨设该点在右支上）21，所以，|=3b 又|PF|+|PF21=a两式相乘得．结合c+b得222．e=故．B 故选时刻五角星11．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t）的图象大致为t），则导函数）（（St）（S0=0y=S′（露出水面部分的图形面积为（）．C ．B ．A．D【考点】函数的图象．9 / 20【分析】本题利用逐一排除的方法进行判断，结合选项根据最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，以及总面积一直保持增加，没有负的改变量，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断进行判定即可．【解答】解：最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A．故选A．=图象上点P，）P处的切线，l与12．设直线l，l分别是函数f（x12211l垂直相交于点P，且l，l 分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是221（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出点P，P的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l与l的斜率，由两2121直线垂直求得P，P的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两21点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．【解答】解：设P（x，y），P（x，y）（0＜x＜1＜x），21221211=，）＞1时，f′（x＜x＜1时，f′（x），当=x当0的斜率的斜率， l，∴l21∵l与l垂直，且x＞x＞0，1212∴，即xx=1．21：．，l直线l：21取x=0分别得到A（0，1﹣lnx），B（0，﹣1+lnx），21|AB|=|1﹣lnx﹣（﹣1+lnx）|=|2﹣（lnx+lnx）|=|2﹣lnxx|=2．211212x=，的横坐标为 P联立两直线方程可得交点=．?|x |=|AB|∴Py=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x＜∵函数1，1，则，∴10 / 20∴．）．PAB∴△的面积的取值范围是（0，1 ．故选：A分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20，则= ．45°，且313 ．已知向量夹角为平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【考点】，代入 =【分析】由已知可得，==|2|=可求=解：∵ =1【解答】，∴ =|2 |==∴==解得故答案为：3x y14．（x﹣y）0 （x+y）二项式系数的性质．【考点】6327（用数字作答）的系数为的展开式中xyxy，xy，x+y【分析】由题意依次求出（）中72722，2xy+y）（x+y））436257项的系数，求和即可．（=（xx+yy【解答】解：多项式（x﹣）﹣r﹣r7r7x+y），的通项公式为T=Cyx设（7r+1666xy=7xy令r=6，则T=C，7752525xyy=21x=C令r=5，则T，7643344y．=CTxy=35x令r=4，则75637235=0×，7﹣2×）∴（x ﹣y）（x+y21+1的展开式中xy1的系数为：× 0．故答案为：有公共点，则）与Dx+1D15．记不等式组所表示的平面区域为．若直线y=a（4] ．， a的取值范围是[ 【考点】简单线性规划．11 / 20本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件【分析】）中，求（x+1的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a a的端点值即可．y=a（x+1）对应的出解：满足约束条件【解答】的平面区域如图示： 0）．x+1）过定点（﹣1，因为y=a（，，4）时，得到a=4（所以当y=ax+1）过点B（01）时，对应．a=y=a（x+1）过点A（1，当有公共点．（x+1）与平面区域D又因为直线y=a．a≤4所以≤4]故答案为：，[﹣?D满足：=||=||=||=， =?B16．在平面内，定点A、、C、的最大值是 = ||，．，则、2，动点PM满足：||=1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件可知A，B，C三点共圆，M为PC的中点，于是=（）．建立得出模长关于平面直角坐标系得出的坐标，计算α的函数，利用三角函数的恒等变换得出模长的最大值．【解答】解：∵||=||=||，∴A，B，C在以D为圆心的圆D上，∵?==?=﹣2，∴两两夹角相等均为120°，∴|DA|=2，），C（﹣1，），以D为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），则B（﹣1，﹣∴=（0，2）．∵||=1，∴P在以A为圆心，以1为半径的圆A上，∵=，∴M为PC的中点，∴=（）．），设P（2+cosα，sinα），则=（3+cosα，sinα+12 / 20+ =cosα（sinα+），，∴++∴）=3sin（sinα（α++sinα+）==（cosα+22）+，|的最大值为．∴|=．故答案为：分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．6小题，共70三、解答题：本大题共）sinA﹣c，已知cosC+（cosAA，B，C所对的边分别为a，b，17．在△ABC中，角．cosB=0 的大小；）求角B（1ABC的面积．b=，c=1（2）若，求△【考点】正弦定理；余弦定理．）利用诱导公式、两角和的余弦公式、商的关系化简已知的式子，根据内角的（1【分析】 B的值；范围和特殊角的三角函数值求出 ABC的面积．）由条件和余弦定理列出方程求出a的值，由三角形的面积公式求出△（2，sinA）），cosC+（cosAcosB=0﹣1【解答】解：（）在△ABC中，∵C=π﹣（A+B﹣﹣﹣（A+B）+cosAcosBsinAcosB=0∴﹣cos﹣﹣﹣即sinAsinBsinAcosB=0tanB=cosB=0，即，﹣﹣∵sinA≠0，∴sinB﹣B﹣﹣＜π，∴∵0＜222）由余弦定理得，b+c=a﹣2ac?cosB，（2+1﹣代入得，把b=，c=13=aa2 a=2，解得﹣﹣2=0a即a﹣﹣2，﹣﹣∴﹣﹣13 / 20）n=0 ﹣1）满足：的前n项和SSS﹣（n﹣（+n18．正项数列{a}nnnn（1）求数列{a}的通项公222+n式a；nnNn∈n项和T）令（2b，证明：对于任意的=，求数列{b}的前nnn*，都有． T n【考点】数列的求和；数列递推式．（1）因式分解可得（S﹣（n+n））（S+1）=0，从而求得S=n+n，从而判断出nnn{a}为等差22【分析】数列，从而解得；n﹣），从而求其前n（（2）裂项b项和前证明不等式即==n可．解：（1）∵S﹣（n+n﹣1）S﹣（n+n）=0，nn2+n））（S+1）S﹣（n=0，∴（nn2∴S=n+n，222【解答】或S=﹣1（舍去），nn故正项数列{a}为等差数列，n其中a=1+1=2，a=S﹣S=4，1122故a=2+2（n ﹣1）=2n；n﹣），= （2）∵b（=n﹣=﹣…++﹣T+（1）﹣ +∴n﹣1+）﹣=（（﹣=+）；＜T 故．n19．为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：优秀非优秀总计男生 40 20 60女生 20 30 50总计 60 50 110（Ⅰ）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数，求X的分布列与数学期望．附：0.5000.4000.1000.0100.00114 / 202 K=k）（K Pk 0.455 0.708 2.706 6.635 10.8282≥【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．（Ⅰ）由题意求出K，由此得到有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关．2【分析】（II）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E （X）．7.822≈）由题意：7.822K≈ K【解答】解：（I ，6.635 的把握认为环保知识是否优秀与性22＞别有关．∴有99% 的可能取值为0，1，2，3，（II）由题意X，，，， X的分布列为：∴1 2 X 0 3PE（X）=．=2，EFABCD20．梯形BDEF所在平面垂直于平面于BD，∥BD，EF=DE=BD．BCDEBD=BC=CD=AD=2AB=，⊥求证：DE⊥平面；ABCD （Ⅰ）与平面求平面（Ⅱ） AEFCEF 所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC，交BD于O，推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而DE⊥AC，再由DE⊥BC，能证明DE⊥平面ABCD．15 / 20（Ⅱ）分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF 与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于O，∵BD=BC=CD，且AB=AD，∴AC⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，交线为BD，且AC?平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF，∵DE?平面BDEF，∴DE⊥AC，又DE⊥BC，且AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABCD．…EF=BD，且O是，BD中点，∴ODEF是平行四边形，解：（Ⅱ）∵EF∥BD∴OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，…分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，（﹣，0，0），E（0，﹣1，1），F（0，A（10，0），C，0，1），（），），= （0，1，0（﹣=1，0，1=），的法向量=（x，AEFy，z），设平面，得=（1，0，1），…则，取x=1的法向量，设平面CEF，﹣），…，0 则，取a=11，得=（=．＜＞==cos∴所成的锐二面角的余弦值为．… AEF与平面CEF即平面，且其中一个焦点与抛物线的焦21．已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率点重合．）求椭圆（1C的方程；16 / 20（，0）的动直线l交椭圆C于A（2）过点S、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）先设处椭圆的标准方程，根据离心率求的a和c的关系，进而根据抛物线的焦点求得c，进而求得a，则b可得，进而求的椭圆的标准方程．，若直线l垂直于x轴，则以与x轴重合，则以AB为直径的圆是xAB+y（2）若直线l22=1）．联立两个圆的方程求得其交点的坐标，推断两圆相切，进为直径的圆是（+y而可判断22=x+因此所求的点T如果存在，只能是这个切点．证明时先看直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．再看直线l不垂直于x轴，可设出直线方程，与圆方程联立消去y，记点A（x，y），B（x，y），根据伟大定理求得x+x和xx的表达式，代21212112?=0，进而推断TA⊥TB，即以AB入为直径的圆恒过点?T的表达式中，求得（1，0）．，，抛【解答】，离心率解：（Ⅰ）设椭圆的方程为2+=1，椭圆），所以C的方程是物线的焦点为（0，1x22（Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x+y=1，若直线l垂直于x轴，则以+y=AB为直径的圆是（ x+）22．解得即两圆相切于点（1，0由）．因此所求的点T如果存在，只能是（1，0）．事实上，点T（1，0）就是所求的点．证明如下：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．x+）．y=k（ l若直线l不垂直于x轴，可设直线：2=0．x+由即（k+2）xk+k2222﹣），则，xB），，xA记点（y（y211217 / 20）﹣1=（x）（x﹣1）﹣（x1，y+y），y?=（x﹣=又因为（x﹣1，y1），=112212112）（x）+k（x）+（x﹣12212 +222+1+k﹣1）（x=（k+x+1）xx+k（）2112k+﹣=（k1+1+1=0）+）（）．1，0，即以AB为直径的圆恒过点T（所以TA⊥TB ）满足条件22，1，0所以在坐标平面上存在一个定点T（xR，ax22．已知函数f（）=alnx ）的单调区间；（x（Ⅰ）求函数f 的取值范围；恒成2，∈﹣立，求实数af（x）≤0（Ⅱ）若x≥1时，x＜）上的两个不同点，满足0）为曲线y=f（xx，y），B（x，y（Ⅲ）设a＞0，若A（11221 x∈，且＜x?32＜AB平行，求证：x．x），使得曲线y=f（x）在x=x处的切线与直线（x，3213利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大【考点】值、最小值问题中的应用．）的增减性，从而求出单调区（xx）的导数，利用导数来判断f【分析】（Ⅰ）求函数f（间；∞）上的最大值，令最大值小于或等，+x）在（1（Ⅱ）根据f（x）的单调区间，求出f（ a的取值范围；于0，求出的关系+xx与xAB的斜率k，由直线AB与切线平行，得出a（Ⅲ）当＞0时，求出直线231AB式；x恒成立即可．＜构造函数g（t），利用函数的单调性证明不等式32，∈Rx＞0，解：（Ⅰ）∵函数f（x）=alnx﹣xa，【解答】；）2x==﹣∴f′（x x）在定义域上是减函数；0，∴f（0时，∵x＞0，∴f′（x）＜≤当ax=，）=0，即a﹣2x=0当a＞0时，令f′（x2，解得（0，fx）是减函数，∴x时，f′（＞x）＜f（x）是增函数；，时，f′（x0＜x＜）＞0 +∞），）的减区间是（0，x综上，a≤0时，f（）；，，）的减区间是（+∞），增区间是（0（＞a0时，fx ∞），0，+）的减区间是（时，（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，a≤0f（x2 0a0，则﹣）＜（令f10x＜恒成立，∴≤满足题意；18 / 20，）； +∞），增区间是（00时，f（x，）的减区间是（a＞≤1，即0＜a≤2时，f（x）在（1，+∞）上是减函数，∴0＜a当≤2满足题意；（）≤0，）的最大值是f （），令f＞1，即a＞2时，f（x当﹣≤0，解得a≤2e，即2即＜a?lna≤2e满足题意；综上，a的取值范围是a≤2e；（Ⅲ）当a＞0时，A（x，y），B（x，y）为曲线y=f（x）上的两个不同点，满足0＜x11221＜x时，?x∈（x，x），使得曲线y=f（x）在x=x处的切线与直线AB平行，如图所示；32132∴=，= ∴k AB=﹣2x，又∵f′（x）=﹣2xx）． =f′（∴k3l3=﹣2x∴．3=﹣2x在（0），+∞）上是减函数，∵f′（x）＞f′（），f′（，即证明x ∴欲证：x＜33＞﹣（x即+x），21＞，变形为19 / 20＞2?，ln∴＞2?；ln∴设=t（t＞1），＞2?，则上述不等式等价于lnt即（t+1）lnt＞2（t﹣1）；=lnt+﹣1， t构造函数g（）=，﹣时，g′（t）= 当t＞1 ∞）上为增函数；，+∴g′（t）在（1 ，1t）＞g′（）=0∴g′（时是增函数，t＞1t∴g（）在）=0；（t）＞g（1g∴∞）上恒成立，在（1，+0g∴（t）＞）恒成立．12）lnt＞（t﹣t+1即（＜恒成立．x∴320 / 20。

第二学期期末考试 高二数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，集合2{|(1)1}A x x =-<，则A C U 等于 A ．(-∞，0] B ． [2，)+∞ C ．(-∞，0][2，)+∞ D ．[0，2]2．如图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若80分以上为优秀，根据图形信息可知：这次考试的优秀率为 A ．25%B ．30%C ．35%D ．40%3．复数,z ai a R ∈，且22z =+，则a 的值为 A ．1 B ． 1- C ．1或1- D ．24．在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是A ．10-B ．10C ．5-D ．5 5．在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少．．发生一次的概率为6364，则事件A 恰好．．发生一次的概率为 A ．14 B ．34 C ．964D ．2764 6．已知命题p ：直线l ⊥平面α，直线l //平面β，则α⊥β； 命题q ：一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行；则下列命题中为真命题的是A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝7．设变量,x y 满足约束条件：34,|3|2y x x y z x y x ≥⎧⎪+≤=-⎨⎪≥-⎩则的最大值为A ．10B ．8C ．6D ．48．已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表：()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示。

下列关于函数()f x 的命题： ① 函数()y f x =是周期函数； ② 函数()f x 在[]02，是减函数；③ 如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.从甲地到乙地，若一天中有火车5班、汽车12班、飞机3班、轮船6班，则一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有不同走法的种数是( )A. 18B. 20C. 26D. 10802.某质点A 沿直线运动，位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点A 2023-2024学年广东省广州市七区高二（下）期末数学试卷在时的瞬时速度为( )A. B.C.D.3.数列，则是这个数列的( )A. 第5项B. 第6项C. 第7项D. 第8项4.现有5个节目准备参加比赛，其中3个舞蹈类节目，2个语言类节目.如果不放回地依次抽取2个节目，则在第1次抽到舞蹈类节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率为( )A.B.C. D. 5.在等差数列中，，，直线l 过点，，则直线l的斜率为( )A. 2B.C. 4D.6.在下列求导数的运算中正确的是( )A. B. C.D.7.在送课下乡支教活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名教师到三所薄弱学校支教，每所学校至少安排一名教师，且甲、乙两名教师安排在同一学校支教，丙、丁两名教师不安排在同一学校支教，则不同的安排方法总数为( )A. 20 B. 24C. 30D. 368.设，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.B. C.D. 二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列有关回归分析的结论中，正确的有( )A. 在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，增加个单位B. 决定系数的值越接近于1，回归模型的拟合效果越好C. 样本相关系数r的绝对值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱D. 在一元线性回归模型的残差图中，残差分布的带状区域的宽度越宽，说明模型拟合效果越好10.已知随机变量X的分布列为，，，则( )A. B.C. D.11.如图，等边的边长为2cm，取等边各边的中点D，E，F，作第2个等边，然后再取等边各边的中点G，H，I，作第3个等边，依此方法一直继续下去.设等边的面积为，后继各等边三角形的面积依次为，，…，，…，则下列选项正确的是( )A.B. 是和的等比中项C. 从等边开始，连续5个等边三角形的面积之和为D. 如果这个作图过程一直继续下去，那么所有这些等边三角形的面积之和将趋近于12.我国南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，给出了表示二项式系数规律的三角形数阵，现称为“杨辉三角”如图所示，下列选项正确的是( )A. 若用表示三角形数阵的第i行第j个数，则B. 该数阵第10行各数之和为1024C. 该数阵第98行中存在三个相邻的数，它们依次所成的比为4：5：6D. 在该数阵中去掉所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的前50项和为3047三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·江门期中) 的展开式中的第3项系数为（）A . 10B . 20C . 40D . 802. （2分） (2018高二下·集宁期末) 已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为（）X4a9P0.50.1bA . 5B . 6C . 7D . 83. （2分）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A . 至少有一个是白球与都是白球B . 至少有一个是白球与至少有一个是红球C . 至少有一个是白球与都是红球D . 恰有一个是白球与恰有两个是白球4. （2分）设随机变量X～，则P(X=3)的值是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·大名期中) 已知随机变量X～B（6，0.4），则当η=﹣2X+1时，D（η）=（）A . ﹣1.88B . ﹣2.88C . 5.76D . 6.766. （2分）(2016·安徽) 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（）A . 1或3B . 1或4C . 2或3D . 2或47. （2分） (2016高二下·长治期中) 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A .B .C .D .8. （2分）已知f（x），g（x），都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），设a，b分别为连续两次抛掷同一枚骰子所得点数，若f（x）﹣axg（x）=0， + ≥ ，则关于x的方程abx2+8x+1=0有两个不同实根的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）(2016·四川理) 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A . 24B . 48C . 60D . 7210. （2分） (2018高二下·龙岩期中) 某天某校的校园卫生清扫轮到高二(5)班，该班劳动委员把班级同学分为5个劳动小组，该校共有A、B、C、D四个区域要清扫，其中A、B、C三个区域各安排一个小组，D区域安排2个小组，则不同的安排方法共有（）A . 240种B . 150种C . 120种D . 60种11. （2分）(2018·宁德模拟) 福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开．组委会预备在会议期间将这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有（）A . 15种B . 18种C . 20种D . 22种12. （2分）(2013·上海理) （1+x）10的二项展开式中的一项是（）A . 45xB . 90x2C . 120x3D . 252x4二、填空题 (共4题；共18分)13. （1分） (2016高二下·信阳期末) （理）设整数m是从不等式x2﹣2x﹣8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ=m2 ，则ξ的数学期望E（ξ）=________．14. （1分） (2020高二下·武汉期中) 在张家口市的高二期末考试中，全市学生的数学成绩，已知，则从全市学生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为________．15. （1分）(2017·河北模拟) 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1﹣0.14 ．其中正确结论的序号是________（写出所有正确结论的序号）．16. （15分）已知等差数列{an}的公差为d，a3=5，且（a1x+d）5的展开式中x2与x3的系数之比为2：1．（1）求（a1x﹣a2）6的展开式中二项式系数最大的项；（2）设[a1x2﹣（a3﹣a1）x+a3]n=b0+b1（x﹣2）+b2（x﹣2）2+…+b2n（x﹣2）2n ，n∈N* ，求a1b1+a2b2+…+a2nb2n的值；（3）当n≥2时，求证：＞11×16n+8n4 ．三、三.解答题 (共8题；共75分)17. （10分） (2017高二下·中山期末) 在（2 ﹣）6的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数．（2）含x2的项．18. （10分） (2020高二下·开鲁期末) 已知函数， .（1）当，时，求不等式的解集；（2）若的最小值为2，求证： .19. （10分） (2018高二下·牡丹江月考) 已知，且(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn.（1）求n的值；（2）求a1＋a2＋a3＋…＋an的值．20. （10分）(2018·德阳模拟) 已知函数， .（1）解不等式；（2）若存在、，使得成立，求实数的取值范围.21. （5分） (2017高二下·和平期末) 从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：（Ⅰ）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？（Ⅱ）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？（Ⅲ）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？22. （10分） (2016高二下·吉林期中) 某种产品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如表对应数据：x24568y3040605070（1）求回归直线方程；附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．（2）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？23. （10分）(2020·晋城模拟) “绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展，下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份20142015201620172018销量（万台）810132524某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主624女性车主2总计30（1）求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数，并判断与是否线性相关；（2）请将上述列联表补充完整，并判断是否有的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；参考公式：，，其中 .，若，则可判断与线性相关.附表：0．100.050.0250.0100.0012.7063.841 5.024 6.63510.82824. （10分）(2017·郴州模拟) 某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共18分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、答案：16-3、考点：解析：三、三.解答题 (共8题；共75分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、。

广东省2022年高二下学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）满足f(x)=f'(x)的函数是（）A . f(x)＝1－xB . f(x)＝xC . f(x)＝0D . f(x)＝12. （2分）已知ξ～N（3，a2），若P（ξ≤2）=0.2，则P（ξ≤4）=（）A . 0.2B . 0.3C . 0.7D . 0.83. （2分） (2019高二下·浙江期中) 已知“a，b，c是不全相等的实数”，有下列结论：① ；② 与及中至少有一个成立；③ ，，不能同时成立.其中正确的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 34. （2分） (2020高二下·宁波期末) 已知字母x，y，z各有两个，现将这6个字母排成一排，若有且仅有一组字母相邻（如），则不同的排法共有（）种A . 36B . 30C . 24D . 165. （2分） i是虚数单位，复数的虚部为（）A . 2B . -2C . 1D . -16. （2分） (2020高二下·中山期中) 若，则（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·南充模拟) 在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，，，的面积分别为 , ，，则该三棱锥的体积为（）A .B .C . 6D .8. （2分） (2016高二下·宜春期中) 从标有数字3，4，5，6，7的五张卡片中任取2张不同的卡片，事件A=“取到2张卡片上数字之和为偶数”，事件B=“取到的2张卡片上数字都为奇数”，则P（B|A）=（）A .B .C .D .9. （2分）(2020·成都模拟) 已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·汪清期末) 若某一射手射击所得环数的分布列为456789100.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数”的概率是（）A . 0.88B . 0.12C . 0.79D . 0.0911. （2分） (2017高二上·长沙月考) 若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二下·玉溪期中) 已知f（1）=1，f（2）=3，f（3）=4，f（4）=7，f（5）=11，…，则f（10）=（）A . 28B . 76C . 123D . 199二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）经调查知，奇瑞汽车的销售量y（辆）与广告费x（万元）之间的回归直线方程为y=250+4x，当广告费为50万元时，预计汽车销售量为________辆．14. （1分） (2020高二下·广东月考) 现有一个由甲、乙、丙、丁共4人组成的参观团要参观广雅、省实和华附三间中学，要求每人只能参观一间学校，每间学校至少有一个人参观，则不同的参观方法有________种.15. （2分） (2020高三上·台州期中) 有五个球编号分别为号，有五个盒子编号分别也为号，现将这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为________（用数字作答），记为盒子与球的编号相同的个数，则随机变量的数学期望 ________.16. （1分） (2020高二上·西安期末) 设，则的最小值为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）综合题。

2022-2023学年广东省广州市天河区高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N （2，σ2），若P （2＜ξ＜4）＝0.2，则P （ξ＜0）＝（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.42．已知随机变量X ～B(4，23)，则P （X ≥1）的值为（ ） A ．8081B ．1681C ．6581D ．1813．已知数列{a n }满足a n +1﹣a n ＝3（n ∈N *），a 1＝﹣6，则|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|+|a 6|＝（ ） A ．27B ．18C ．9D ．04．已知抛物线x ＝2y 2上的点M 到其焦点的距离为2，则点M 的横坐标是（ ） A ．32B ．74C ．158D ．31165．古希腊时期，人们把宽与长之比为√5−12的矩形称为黄金矩形，把这个比值√5−12称为黄金分割比例，其中√5−12≈0.618．如下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD ，BCFE ，CFGH ，FGJI ，GJKL ，JKMN 均为黄金矩形，若M 与K 之间的距离超过2m ，C 与F 之间的距离小于14.5m ，则该古建筑中B 与C 之间的距离可能是（ ）（参考数据：0.6182≈0.382，0.6183≈0.236，0.6184≈0.146，0.6185≈0.090，0.6186≈0.056，0.6187≈0.034）A ．22mB ．23mC ．24mD ．25m6．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则4次传球后球在乙手中的概率为（ ） A ．14B ．13C ．38D ．5167．某校高二年级羽毛球社团为了解喜欢羽毛球运动是否与性别有关，随机在高二年级抽取了若干人进行调查．已知抽取的女生人数是男生人数的3倍，其中女生喜爱羽毛球运动的人数占女生人数的25，男生喜爱羽毛球运动的人数占男生人数的35．若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为喜爱羽毛球运动与性别有关”的结论，则被调查的男生至少有（ ）参考公式及数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)A ．35人B ．32人C ．31人D ．30人8．已知函数f （x ）＝alnx +12x 2，若对任意正数x 1，x 2（x 1≠x 2），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞2恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A ．（0，1]B ．（0，2]C ．[1，+∞）D ．[2，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．已知（2﹣x ）8＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则（ ） A ．a 0＝28B ．a 1＝210C ．a 1+a 2+…+a 8＝﹣28D ．展开式中所有项的二项式系数的和为2810．设离散型随机变量X 的概率分布列如表，若E （X ）＝1，Y ＝2X +1，则下列各式正确的是（ ）A ．P （X ＝6）=14B ．a ＝b =14C ．E （Y ）＝3D ．D （Y ）＝3411．已知函数f （x ）＝e 2x ﹣2ax ，a ∈R ，则下列结论中正确的有（ ） A ．f （x ）必有唯一极值点B ．若a ＝1，则f （x ）在（﹣1，1）上有极小值1C ．若a ＝1，对∀x ∈[0，+∞）有f （x ）≥kx 恒成立，则k ≤2e ﹣2D ．若存在x 0∈[2，3]，使得f （x 0）≤0成立，则a ≥e 6612．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线右支上的一点，且直线P A 1与P A 2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的渐近线方程为y =±√3xB ．若PF 1⊥PF 2，且S △PF 1F 2=6，则a ＝1C ．分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆内切D ．∠PF 2A 1＝2∠P A 1F 2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．椭圆y 29+x 27=1的离心率为 ．14．有4名同学和2位老师排成一排合影，其中2位老师必须相邻，则不同的排法有 种．（用数字作答）15．要做一个无盖的长方体箱子，其体积为36m 3，底面长方形长与宽的比为2：1，则当它的宽为 m 时，可使其表面积最小，最小表面积为 m 2．16．已知等比数列{a n }满足：a 1+a 2＝20，a 2+a 3＝80．数列{b n }满足b n ＝log 2a n （n ∈N *），其前n 项和为S n ，若b n S n +8≤λ恒成立，则λ的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx （a ∈R ，b ∈R ），其图象在点（1，4）处的切线方程为y ＝4． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在区间[12，4]上的最值． 18．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的焦点坐标为F 1（﹣1，0）、F 2（1，0），点A(1，√22)为椭圆C 上一点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）经过点F 2且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 的面积．19．（12分）5月25日是全国大、中学生心理健康日，“5.25”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”．学校将举行心理健康知识竞赛，第一轮选拔共设有A ，B ，C 三个问题，每位参加者按问题A ，B ，C 顺序作答，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A ，B ，C 分别加2分、4分、5分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；③当答完三题，若累计分数大于或等于14分，则答题结束，进入下一轮；否则，答题结束，淘汰出局．假设甲同学对问题A ，B ，C 回答正确的概率依次为34，23，12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求甲同学进入下一轮的概率；（2）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答对的个数，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）．20．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a n2+a n＝2S n（n∈N*）．数列{b n}是公比为2的等比数列，且b1＝a2．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{a n}，{b n}的所有项按照“当n为奇数时，b n放在前面；当n为偶数时，a n放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n}：b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求数列{c n}的前4n+3项的和T4n+3．21．（12分）某医疗团队为研究M市的一种疾病发病情况与该市居民的年龄关系，从该市疾控中心得到以下数据：（1）若将每个区间的中点数据记为x i，对应的发病率记为y i（i＝1，2，3，4，5），根据这些数据可以建立发病率y（‰）关于年龄x（岁）的经验回归方程y=b x+a，求a；（2）医学研究表明，化验结果有可能出现误差．现有M市某一居民年龄在[40，50），A表示事件“该居民化验结果呈阳性”，B表示事件“该居民患有这种疾病”．用频率估计概率，已知P（A|B）＝0.9，P(A|B)=0.8，求P（A）．参考公式及数据：b=∑(x i−x)(y i−y)ni=1∑n i=1(x i−x)2，∑5i=1x i2=11125，∑5i=1x i y i=78.522．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax2，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝1时，证明：f（x）≤x2+x﹣1；（3）求证：对任意的n∈N*且n≥2，都有：(1+122)(1+132)(1+142)⋯(1+1n2)＜√e23．（其中e≈2.718为自然对数的底数）2022-2023学年广东省广州市天河区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N （2，σ2），若P （2＜ξ＜4）＝0.2，则P （ξ＜0）＝（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4解：ξ服从正态分布N （2，σ2），P （2＜ξ＜4）＝0.2， 则P （0＜ξ＜2）＝P （2＜ξ＜4）＝0.2，P （ξ＜2）＝0.5， P （ξ＜0）＝P （ξ＜2）﹣P （0＜ξ＜2）＝0.5﹣0.2＝0.3． 故选：C ．2．已知随机变量X ～B(4，23)，则P （X ≥1）的值为（ ） A ．8081B ．1681C ．6581D ．181解：随机变量X ～B(4，23)， 则X 的可能取值为0，1，2，3，4，P （X ＝0）=C 40(23)0(13)4=181，则P （X ≥1）＝1﹣P （X ＝0）＝1−181=8081． 故选：A ．3．已知数列{a n }满足a n +1﹣a n ＝3（n ∈N *），a 1＝﹣6，则|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|+|a 6|＝（ ） A ．27B ．18C ．9D ．0解：数列{a n }满足a n +1﹣a n ＝3（n ∈N *），a 1＝﹣6， 则a 2＝﹣3，a 3＝0，a 4＝3，a 5＝6，a 6＝9． ∴|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|+|a 6|＝6+3+0+3+6+9＝27． 故选：A ．4．已知抛物线x ＝2y 2上的点M 到其焦点的距离为2，则点M 的横坐标是（ ） A ．32B ．74C ．158D ．3116解：抛物线x ＝2y 2的标准方程为：y 2=12x ， 所以准线方程为x =−18，设点M 的横坐标为x 0，由M 到焦点的距离为2及抛物线的性质可得2＝x 0+18， 解得x 0=158， 故选：C ．5．古希腊时期，人们把宽与长之比为√5−12的矩形称为黄金矩形，把这个比值√5−12称为黄金分割比例，其中√5−12≈0.618．如下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD ，BCFE ，CFGH ，FGJI ，GJKL ，JKMN 均为黄金矩形，若M 与K 之间的距离超过2m ，C 与F 之间的距离小于14.5m ，则该古建筑中B 与C 之间的距离可能是（ ）（参考数据：0.6182≈0.382，0.6183≈0.236，0.6184≈0.146，0.6185≈0.090，0.6186≈0.056，0.6187≈0.034）A ．22mB ．23mC ．24mD ．25m解：设|AB |＝x 米，a =√5−12≈0.618，因为矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形， 所以|BC |＝ax ，|CF |＝a 2x ，|GF |＝a 3x ，|GJ |＝a 4x ，|JK |＝a 5x ，|KM |＝a 6x ， 又因为M 与K 间的距离超过2米，C 与F 间的距离小于14.5米，所以{a 6x ＞2a 2x ＜14.5，解得2a 6＜x ＜14.5a 2，所以2a 5＜ax ＜2a ，则22.2＜ax ＜×23.5，比较各选项可知该古建筑中B 与C 间的距离可能是23米． 故选：B ．6．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则4次传球后球在乙手中的概率为（ ） A ．14B ．13C ．38D ．516解：画出树状图，如图所示：所以4次传球后球在乙手中的概率为516．故选：D ．7．某校高二年级羽毛球社团为了解喜欢羽毛球运动是否与性别有关，随机在高二年级抽取了若干人进行调查．已知抽取的女生人数是男生人数的3倍，其中女生喜爱羽毛球运动的人数占女生人数的25，男生喜爱羽毛球运动的人数占男生人数的35．若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为喜爱羽毛球运动与性别有关”的结论，则被调查的男生至少有（ ）参考公式及数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)A ．35人B ．32人C ．31人D ．30人解：设抽取的男生人数为x ，由题意可得列联表如下表：X 2=4x(3x 5⋅9x 5−6x 5⋅2x 5)2x⋅3x⋅9x 5⋅11x5=433x ，因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论， 所以有X 2≥3.841，即433x ≥3.841，解得x ≥31.688，又因为上述列联表中的所有数字均为整数，x 最小为35． 故选：A ．8．已知函数f （x ）＝alnx +12x 2，若对任意正数x 1，x 2（x 1≠x 2），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞2恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A ．（0，1]B ．（0，2]C ．[1，+∞）D ．[2，+∞）解：因为对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞2恒成立，设x 1＞x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）＞2x 1﹣2x 2， 即f （x 1）﹣2x 1＞f （x 2）﹣2x 2恒成立， 令函数F （x ）＝f （x ）﹣2x ，问题等价于F （x ）＝alnx +12x 2﹣2x 在（0，+∞）上为增函数， 所以F ′（x ）=ax+x ﹣2≥0在（0，+∞）上恒成立， 即a ≥2x ﹣x 2在（0，+∞）上恒成立， 所以a ≥（2x ﹣x 2）max ＝1， 即实数a 的取值范围是[1，+∞）． 故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．已知（2﹣x ）8＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则（ ） A ．a 0＝28 B ．a 1＝210C ．a 1+a 2+…+a 8＝﹣28D ．展开式中所有项的二项式系数的和为28 解：（2﹣x ）8＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8， 令x ＝0，则28＝a 0，故A 正确；（2﹣x ）8的展开式的通项公式为T r +1=C 8r 28−r (−1)r x r ，令r ＝1，则a 1＝﹣8×27，故B 错误； 令x ＝1，则1＝a 0+a 1+a 2+…+a 8，所以a 1+a 2+…+a 8＝1﹣a 0＝1﹣28，故C 错误；展开式中所有项的二项式系数的和为28，故D 正确． 故选：AD ．10．设离散型随机变量X 的概率分布列如表，若E （X ）＝1，Y ＝2X +1，则下列各式正确的是（ ）A ．P （X ＝6）=14B ．a ＝b =14C ．E （Y ）＝3D ．D （Y ）＝34解：∵E （X ）＝1，∴（﹣1）×12+6b ＝1①； 又12+a +b ＝1②，联立①②，解得a ＝b =14，故B 正确； P （X ＝6）＝b =14，故A 正确；E （Y ）＝E （2X +1）＝2E （X ）+1＝3，故C 正确；∵D （X ）＝（﹣1﹣1）2×12+（0﹣1）2×14+（6﹣1）2×14=172， ∴D （Y ）＝D （2X +1）＝4D （X ）＝34，故D 正确． 故选：ABCD ．11．已知函数f （x ）＝e 2x ﹣2ax ，a ∈R ，则下列结论中正确的有（ ） A ．f （x ）必有唯一极值点B ．若a ＝1，则f （x ）在（﹣1，1）上有极小值1C ．若a ＝1，对∀x ∈[0，+∞）有f （x ）≥kx 恒成立，则k ≤2e ﹣2D ．若存在x 0∈[2，3]，使得f （x 0）≤0成立，则a ≥e 66解：已知f （x ）＝e 2x ﹣2ax ，a ∈R ，函数定义域为R ， 由题意得 f '（x ）＝2e 2x ﹣2a ，当a ≤0时，f ′（x ）≥0，f （x ）单调递增，无极值点，故选项A 错误； 当a ＝1时，f （x ）＝e 2x ﹣2x ，f '（x ）＝2e 2x ﹣2， 当x ＜0时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当x ＞0时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ＝0时，f （x ）取得极小值，极小值f （0）＝1， 则f （x ）在（﹣1，1）上有极小值1，故选项B 正确；若对∀x ∈[0，+∞）有f （x ）≥kx 恒成立，此时k ≤e 2x −2x x =e 2xx−2，不妨设g （x ）=e 2xx −2，可得g ′（x ）=2xe 2x −e 2x x 2=e 2x (2x−1)x 2，当0≤x ＜12时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减； 当x ＞12时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，所以当x =12时，g （x ）取得极小值也是最小值，最小值g （12）＝2e ﹣2则k ≤2e ﹣2，故选项C 正确；若存在x 0∈[2，3]，使得f （x 0）≤0成立， 即当x 0∈[2，3]时，2a ≥（e 2x x）min ，不妨设h （x ）=e 2xx，函数定义域为R ， 可得h ′（x ）=2xe 2x −e 2x x 2=e 2x (2x−1)x 2，当2≤x ≤3时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增， 所以h （x ）min ＝h （2）=e 42， 即2a ≥e 42，解得a ≥e 44，故选项D 错误．故选：BC ． 12．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线右支上的一点，且直线P A 1与P A 2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的渐近线方程为y =±√3xB ．若PF 1⊥PF 2，且S △PF 1F 2=6，则a ＝1C ．分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆内切D ．∠PF 2A 1＝2∠P A 1F 2解：对于A ，设P （x ，y ），则y 2＝b 2（x 2a 2−1），因为A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），直线P A 1与P A 2的斜率率之积等于3，所以k PA 1•k PA 2=yx+a •y x−a =y 2x 2−a 2=b 2a 2=3，得b a=√3，所以双曲线C 的渐近线方程为y =±√3x ，故A 正确；对于B ：由A 可得e =√1+b2a2=2，所以c ＝2a ，而P 为双曲线的右支上一点，根据双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， 又PF 1⊥PF 2，且S △PF 1F 2＝6，则|PF 2|•|PF 1|＝12，由|PF 2|2+|PF 12|＝（2c ）2，可得（|PF 2|﹣|PF 1|）2+2|PF 2|•|PF 1|＝4c 2，即4a 2+24＝16a 2，解得a =√2，故B 错误；对于C ：设PF 1的中点为O 1，O 为坐标原点，则OO 1为△PF 1F 2的中位线， 所以|OO 1|=12|PF 2|=12（|PF 1|﹣2a ）=12|PF 1|﹣a ， 则以线段PF 1为直径的圆，圆心为O 1，半径r 1=12|PF 1|， 以线段PF 2为直径的圆，圆心为O ，半径r 2＝a ，所以|OO 1|=12|PF 1|﹣a ＝r 1﹣r 2，故两个圆内切，故C 正确；对于D ：设P （x 0，y 0），则x 0＞a ，不妨取y 0＞0，∵e ＝2，∴c ＝2a ，b =√3a ， 则渐近线方程为y ＝±√3x ，∴∠P A 1F 2∈（0，π3），∠PF 2A 1∈（0，2π3），又tan ∠PF 2A 1=−y 0x 0−c =−y 0x 0−2a ，tan ∠P A 1F 2=y0x 0+a ，tan2∠P A 1F 2=2y 0x 0+a 1−(y 0x 0+a )2=2y 0(x 0+a)(x 0+a)2−y 02=2y 0(x 0+a)(x 0+a)2−b 2(x 02a 2−1)=2y 0(x 0+a)(x 0+a)2−3(x 02−a 2)=−y 0x 0−2a=tan ∠PF 2A 1． ∵2∠P A 1F 2∈（0，2π2），∴∠PF 2A 1＝2∠P A 1F 2，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．椭圆y 29+x 27=1的离心率为√53． 解：椭圆y 29+x 27=1，可得a ＝3，b =√7，所以c =√2，所以椭圆的离心率为：e =ca =√23． 故答案为：√23．14．有4名同学和2位老师排成一排合影，其中2位老师必须相邻，则不同的排法有240种．（用数字作答）解：将2位老师看作是一个整体，与另外4个人全排列，即A22A55=240．故答案为：240．15．要做一个无盖的长方体箱子，其体积为36m3，底面长方形长与宽的比为2：1，则当它的宽为3m 时，可使其表面积最小，最小表面积为54m2．解：设长方体中底面长方形的宽为xm，则长方体中底面长方形的长为2xm，由于长方体的体积为36cm3，则其高为362x2=18x2m，则其表面积S＝f（x）＝2x2+2x⋅18x2+4x•18x2=2x2+108x=2x2+54x+54x≥3√2x2⋅54x⋅54x3=54．当且仅当2x2=54x，即x＝3时等号成立．∴当它的宽为3m时，可使其表面积最小，最小表面积为54m2．故答案为：3，54．16．已知等比数列{a n}满足：a1+a2＝20，a2+a3＝80．数列{b n}满足b n＝log2a n（n∈N*），其前n项和为S n，若b nS n+8≤λ恒成立，则λ的最小值为310．解：设数列{a n}的公比为q，则q=a2+a3a1+a2=8020=4，因为a1+a2＝20＝a1+4a1，所以a1＝4，所以a n＝4•4n﹣1＝4n，所以b n＝log2a n＝log24n＝2n，S n=(b1+b n)n2=(2+2n)n2=n2+n，所以b nS n+8=2nn2+n+8=2n+8n+1（n∈N*），由对勾函数的性质知，当n＝3时，n+8n+1取得最小值为203，此时b nS n+8=2n+8n+1取得最大值为310，所以λ≥310，即λ的最小值为310．故答案为：310．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a∈R，b∈R），其图象在点（1，4）处的切线方程为y＝4．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在区间[12，4]上的最值． 解：（1）f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，所以f （x ）在点（1，4）处切线的斜率为k ＝f ′（1）＝3+2a +b ， 因为切线方程为y ＝4，所以切线的斜率为0，且f （1）＝4， 所以{3+2a +b =01+a +b =4，解得a ＝﹣6，b ＝9， 所以f （x ）＝x 3﹣6x 2+9x ．（2）由（1）知f （x ）＝x 3﹣6x 2+9x ． f ′（x ）＝3x 2﹣12x +9＝3（x ﹣1）（x ﹣3）， 令f ′（x ）＝0得x ＝1或3，所以在（12，1）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，在（1，3）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 在（3，4）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以x ＝1处f （x ）取得极大值f （1）＝4， x ＝3处f （x ）取得极小值f （3）＝0， 又f （12）＝（12）3﹣6（12）2+9（12）=258，f （4）＝43﹣6×42+9×4＝4，所以f （x ）在[12，4]上的最大值为4，最小值为0．18．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的焦点坐标为F 1（﹣1，0）、F 2（1，0），点A(1，√22)为椭圆C 上一点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）经过点F 2且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 的面积．解：（1）由题意可得{c =11a 2+12b2=1c 2=a 2−b 2，解得a 2＝1，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为：x 22+y 2＝1；（2）由题意设直线l 的方程为x ＝y +1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{x =y +1x 2+2y 2=2，整理可得：3y 2+2y ﹣1＝0， 显然Δ＞0，y 1+y 2=−23，y 1y 2=−13，所以S △OMN =12•1•|y 1﹣y 2|=12•√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12√49−4⋅(−13)=23．即△OMN 的面积为23．19．（12分）5月25日是全国大、中学生心理健康日，“5.25”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”．学校将举行心理健康知识竞赛，第一轮选拔共设有A ，B ，C 三个问题，每位参加者按问题A ，B ，C 顺序作答，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A ，B ，C 分别加2分、4分、5分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；③当答完三题，若累计分数大于或等于14分，则答题结束，进入下一轮；否则，答题结束，淘汰出局．假设甲同学对问题A ，B ，C 回答正确的概率依次为34，23，12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求甲同学进入下一轮的概率；（2）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答对的个数，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）． 解：（1）记答对A ，B ，C 分别为事件D 1，D 2，D 3， 甲同学进入下一轮为事件E ，则P(E)=P(D 1D 2+D 1D 2D 3+D 1D 2D 3)=34×23+34×13×12+14×23×12=1724； （2）由题意知ξ的可能取值为0，1，2， P(ξ=0)=P(D 1D 2)=14×13=112，P(ξ=1)=P(D 1D 2D 3+D 1D 2D 3)=34×13×12+14×23×12=524， P(ξ=2)=P(D 1D 2+D 1D 2D 3+D 1D 2D 3)=34×23+34×13×12+14×23×12=1724， 所以ξ的分布列为：数学期望E(ξ)=0×112+1×524+2×1724=138． 20．（12分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 2+a n ＝2S n （n ∈N *）．数列{b n }是公比为2的等比数列，且b 1＝a 2．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前4n +3项的和T 4n +3．解：（1）由a n 2+a n ＝2S n ，知a n+12+a n+1=2S n +1，两式相减得，（a n+12−a n 2）+（a n +1﹣a n ）＝2a n +1，整理得（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣1）＝0，因为a n ＞0，所以a n +1+a n ＞0，所以a n +1﹣a n ＝1，在a n 2+a n ＝2S n 中，令n ＝1，则a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列， 所以a n ＝1+（n ﹣1）×1＝n ，因为数列{b n }是公比为2的等比数列，且b 1＝a 2＝2， 所以b n ＝2•2n ﹣1＝2n ．（2）T 4n +3＝（b 1+a 1）+（a 2+b 2）+（b 3+a 3）+…+（b 2n ﹣1+a 2n ﹣1）+（a 2n +b 2n ）+（b 2n +1+a 2n +1）+a 2n +2 ＝（b 1+b 2+…+b 2n +b 2n +1）+（a 1+a 2+…+a 2n +1+a 2n +2）=2(1−22n+1)1−2+(1+2n+2)⋅(2n+2)2=4n +1+2n 2+5n +1．21．（12分）某医疗团队为研究M 市的一种疾病发病情况与该市居民的年龄关系，从该市疾控中心得到以下数据：（1）若将每个区间的中点数据记为x i ，对应的发病率记为y i （i ＝1，2，3，4，5），根据这些数据可以建立发病率y （‰）关于年龄x （岁）的经验回归方程y =b x +a ，求a ；（2）医学研究表明，化验结果有可能出现误差．现有M 市某一居民年龄在[40，50），A 表示事件“该居民化验结果呈阳性”，B 表示事件“该居民患有这种疾病”．用频率估计概率，已知P （A |B ）＝0.9，P(A|B)=0.8，求P （A ）．参考公式及数据：b=∑(x i−x)(y i−y)ni=1∑n i=1(x i−x)2，∑5i=1x i2=11125，∑5i=1x i y i=78.5解：（1）由题意，x=（25+35+45+55+65）÷5＝45，y=（0.09+0.18+0.30+0.40+0.53）÷5＝0.30，b＝（∑5i=1x i y i−5xy）÷（∑5i=1x i2−5x2）＝（78.5﹣5×45×0.30）÷（11125﹣5×452）＝0.011，a=y−bx=0.30﹣0.011×45＝﹣0.195；（2）由题意得P（B）＝0.0003，所以P（B）＝0.9997，由贝叶斯公式得P（A）＝P（A|B）P（B）+P（A|B）P（B）＝0.9×0.0003+0.2×0.9997＝0.20021．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax2，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝1时，证明：f（x）≤x2+x﹣1；（3）求证：对任意的n∈N*且n≥2，都有：(1+122)(1+132)(1+142)⋯(1+1n2)＜√e23．（其中e≈2.718为自然对数的底数）解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1x +2ax=2ax2+1x，当a≥0时，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当a＜0时，令f′（x）＝0，得x=√−12a或−√−12a（舍），所以在（0，√−12a）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（√−12a，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（0，√−12a）上单调递增，在（√−12a，+∞）上单调递减．（2）证明：当a＝1时，f（x）＝lnx+x2，要证明f（x）≤x2+x﹣1，即证lnx+x2≤x2+x﹣1，需证lnx﹣x+1≤0，令g（x）＝lnx﹣x+1，x＞0，g′（x）=1x −1=1−xx，令g′（x）＝0得x＝1，所以在（0，1）上g′（x）＞0，g（x）单调递增，在（1，+∞）上g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝0，所以g（x）≤0，得证．（3）证明：由（2）可得lnx≤x﹣1（当且仅当x＝1时等号成立），令x＝1+1n2，n＝1，2，3，…，则ln（1+122）＜1n2＜1n2−14=1n−12−1n+12，故ln（1 +122）+ln（1+132）+…+ln（1+1n2）＜12−12−12+12+13−12−13+12+⋯+1n−12−1n+12=23−1n+12＜23，即ln[(1+122)(1+132)(1+142)⋯(1+1n2)]＜23=ln√e23，故(1+122)(1+132)(1+142)⋯(1+1n2)＜√e23．。