北京市高考数学一轮复习讲义 第29讲 导数及其应用经典回顾 理

§3.1导数的概念及其意义、导数的计算课标要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．知识梳理1．导数的概念(1)设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值y 从f (x 0)变到f (x 1)，则函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝()()101010lim x x f x f x x x →--＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义．3．基本初等函数的导数公式函数导数y ＝c (c 是常数)y ′＝0y ＝x α(α是实数)y ′＝αx α－1y ＝a x (a >0，a ≠1)y ′＝a x ln_a ，特别地(e x )′＝e x y ＝log a x (a >0，a ≠1)y ′＝1x ln a ，特别地(ln x )′＝1xy ＝sin x y ′＝cos_x y ＝cos x y ′＝－sin_x y ＝tan xy ′＝1cos 2x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)；[kf (x )]′＝kf ′(x )(k ∈R )．5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (φ(x ))对x 的导数为：y ′x ＝[f (φ(x ))]′＝f ′(u )φ′(x )，其中u ＝φ(x )．常用结论1．在点处的切线与过点的切线的区别(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．2.1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.(×)(4)(e －x )′＝－e －x .(√)2．若函数f (x )＝3x ＋sin 2x ，则()A ．f ′(x )＝3x ln 3＋2cos 2xB ．f ′(x )＝3x ＋2cos 2xC ．f ′(x )＝3xln 3＋cos 2xD ．f ′(x )＝3xln 3－2cos 2x答案A3．曲线y ＝12x 2－2处的切线的倾斜角是．答案π4解析y ′＝x ，所以切线的斜率k ＝1，所以倾斜角为π4.4．设曲线y ＝e 2ax 在点(0,1)处的切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为．答案－14解析∵y ＝e 2ax ，∴y ′＝e 2ax ·(2ax )′＝2a ·e 2ax ，∴在点(0,1)处的切线斜率k ＝2a e 0＝2a ，又∵切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，∴2a ×2＝－1，∴a ＝－14.题型一导数的运算例1(1)(多选)下列求导正确的是()A ．[(3x ＋5)3]′＝9(3x ＋5)2B ．(x 3ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2′＝2x cos x ＋4sin xx 3D ．(ln 2x )′＝12x答案AB解析对于A ，[(3x ＋5)3]′＝3(3x ＋5)2(3x ＋5)′＝9(3x ＋5)2，故A 正确；对于B ，(x 3ln x )′＝(x 3)′ln x ＋x 3(ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2，故B 正确；对于C ＝(2sin x )′x 2－2sin x (x 2)′x 4＝2x cos x －4sin x x 3，故C 错误；对于D ，(ln 2x )′＝2·12x ＝1x，故D 错误．(2)(2023·河南联考)已知函数f (x )满足f (x )＝2f ′(1)ln x ＋xe (f ′(x )为f (x )的导函数)，则f (e)等于()A ．e －1 B.2e ＋1C ．1D ．－2e＋1答案D解析f ′(x )＝2f ′(1)x＋1e ，当x ＝1时，f ′(1)＝2f ′(1)＋1e ，解得f ′(1)＝－1e，故f (x )＝－2ln x e ＋xe，所以f (e)＝－2ln e e ＋e e ＝－2e＋1.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1(多选)下列命题正确的是()A ．若f (x )＝x sin x －cos x ，则f ′(x )＝sin x －x cos x ＋sin xB ．设函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝eC ．已知函数f (x )＝3x 2e x ，则f ′(1)＝12eD ．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝－94答案BD解析对于选项A ，f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋sin x ，故选项A 不正确；对于选项B ，f ′(x )＝ln x ＋1，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e ，故选项B 正确；对于选项C ，f ′(x )＝6x e x ＋3x 2e x ，则f ′(1)＝6e ＋3e ＝9e ，故选项C 不正确；对于选项D ，f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，则f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94，故选项D正确．题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(1)(2023·全国甲卷)曲线y ＝e xx ＋1在点()A ．y ＝e4xB ．y ＝e2xC ．y ＝e 4x ＋e4D ．y ＝e 2x ＋3e4答案C解析因为y ＝e xx ＋1，所以y ′＝e x (x ＋1)－e x (x ＋1)2＝x e x(x ＋1)2，所以当x ＝1时，y ′＝e4，所以曲线y ＝e x x ＋1在点y －e 2＝e 4(x －1)，即y ＝e 4x ＋e4.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y ＝ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为，.答案y ＝1ex y ＝－1ex解析先求当x >0时，曲线y ＝ln x 过原点的切线方程，设切点为(x 0，y 0)，则由y ′＝1x ，得切线斜率为1x 0，又切线的斜率为y 0x 0，所以1x 0＝y0x 0，解得y 0＝1，代入y ＝ln x ，得x 0＝e ，所以切线斜率为1e ，切线方程为y ＝1e x .同理可求得当x <0时的切线方程为y ＝－1e x .综上可知，两条切线方程为y ＝1e x ，y ＝－1e x .命题点2求参数的值(范围)例3(1)(2024·泸州模拟)若直线y ＝kx ＋1为曲线y ＝ln x 的一条切线，则实数k 的值是()A ．eB ．e 2 C.1eD.1e 2答案D解析设直线y ＝kx ＋1在曲线y ＝ln x 上的切点为P (x 0，y 0)，因为y ＝ln x ，所以y ′＝1x ，所以切线在点P 处的斜率k ＝1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，又y 0＝ln x 0，所以切线方程为y ＝1x 0·x －1＋ln x 0，又切线方程为y ＝kx ＋1，＝1x 0，＝－1＋ln x 0，0＝e 2，＝1e2.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．答案(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为000(,()e )xA x x a +，O 为坐标原点，依题意得，切线斜率k OA ＝0000()e (1)e x x x a x a x +++=，化简，得x 20＋ax 0－a ＝0.因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以关于x 0的方程x 20＋ax 0－a ＝0有两个不同的根，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．(2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 的切线”．跟踪训练2(1)(2023·深圳质检)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝x 3－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程是()A ．2x －y －2＝0B ．4x －y －4＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．4x ＋y －4＝0答案C解析当x <0时，f (x )＝x 3－x ，则f ′(x )＝3x 2－1，所以f ′(－1)＝2，由f (x )为偶函数，得f ′(1)＝－f ′(－1)＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程是y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.(2)若函数f (x )＝x －1x ＋a ln x 存在与x 轴平行的切线，则实数a 的取值范围是．答案(－∞，－2]解析f ′(x )＝1＋1x 2＋ax(x >0)，依题意得f ′(x )＝1＋1x 2＋ax ＝0有解，即－a ＝x ＋1x有解，∵x >0，∴x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号，∴－a ≥2，即a ≤－2.题型三两曲线的公切线例4(1)(2024·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为()A ．2B ．5C ．1D ．0答案C解析根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a ＞0，由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率k ＝f ′(a )＝－4a ，由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率k ＝g ′(a )＝－3a－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a －1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ，可得m ＝1.(2)若两曲线y ＝ln x －1与y ＝ax 2存在公切线，则正实数a 的取值范围是()A ．(0,2e] B.12e －3，12e －3D ．[2e ，＋∞)答案B解析设公切线与曲线y ＝ln x －1和y ＝ax 2的切点分别为(x 1，ln x 1－1)，(x 2，ax 22)，其中x 1>0，对于y ＝ln x －1有y ′＝1x，则切线方程为y －(ln x 1－1)＝1x 1(x －x 1)，即y ＝xx 1＋ln x 1－2，对于y ＝ax 2有y ′＝2ax ，则切线方程为y －ax 22＝2ax 2(x －x 2)，即y ＝2ax 2x －ax 22，2ax 2，x 1－2＝－ax 22，则－14ax 21＝ln x 1－2，即14a＝2x 21－x 21ln x 1(x 1>0)，令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，x >0，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝32e ，当x ∈32(0,e )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈32(e ,) 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )max ＝32(e )g ＝12e 3，故0<14a ≤12e 3，即a ≥12e －3.思维升华公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3(1)(2023·青岛模拟)若曲线C 1：f (x )＝x 2＋a 和曲线C 2：g (x )＝4ln x －2x 存在有公共切点的公切线，则a ＝.答案－3解析f (x )＝x 2＋a ，g (x )＝4ln x －2x ，则有f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝4x －2.设公共切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝4x 0－2，f (x 0)＝x 20＋a ，g (x 0)＝4ln x 0－2x 0.x 0＝4x 0－2，20＋a ＝4ln x 0－2x 0，0>0，0＝1，＝－3.(2)已知f (x )＝e x －1，g (x )＝ln x ＋1，则f (x )与g (x )的公切线有()A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条答案C解析根据题意，设直线l 与f (x )＝e x －1相切于点(m ，e m －1)，与g (x )相切于点(n ，ln n ＋1)，对于f (x )＝e x －1，有f ′(x )＝e x ，则直线l 的斜率k ＝e m ，则直线l 的方程为y ＋1－e m ＝e m (x －m )，即y ＝e m x ＋(1－m )e m －1，对于g (x )＝ln x ＋1，有g ′(x )＝1x ，则直线l 的斜率k ＝1n，则直线l 的方程为y －(ln n ＋1)＝1n (x －n )，即y ＝1n x ＋ln n m ＝1n ，－m )e m ＝ln n ＋1，可得(1－m )(e m －1)＝0，即m ＝0或m ＝1，则切线方程为y ＝e x －1或y ＝x ，故f (x )与g (x )的公切线有2条．课时精练一、单项选择题1．若函数f (x )＝e x sin 2x ，则f ′(0)等于()A ．2B ．1C ．0D ．－1答案A解析因为f (x )＝e x sin 2x ，则f ′(x )＝e x (sin 2x ＋2cos 2x )，所以f ′(0)＝e 0(sin 0＋2cos 0)＝2.2.函数y ＝f (x )的图象如图所示，f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列大小关系正确的是()A ．2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)B ．2f ′(3)<2f ′(5)<f (5)－f (3)C ．f (5)－f (3)<2f ′(3)<2f ′(5)D ．2f ′(5)<2f ′(3)<f (5)－f (3)答案A解析由图可知，f ′(3)<f (5)－f (3)5－3<f ′(5)，即2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)．3．(2023·榆林模拟)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2的图象在x ＝1处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，则a ＋b 等于()A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案B解析因为f (x )＝a ln x ＋x 2，所以f ′(x )＝ax＋2x .又函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，所以f ′(1)＝a ＋2＝3，解得a ＝1，则f (x )＝ln x ＋x 2，所以f (1)＝1，代入切线方程得3－1＋b ＝0，解得b ＝－2，故a ＋b ＝－1.4．(2023·成都川大附中模拟)若点P 是曲线y ＝ln x －x 2上任意一点，则点P 到直线l ：x ＋y －4＝0距离的最小值为()A.22B.2C ．22D ．42答案C解析过点P 作曲线y ＝ln x －x 2的切线，当切线与直线l ：x ＋y －4＝0平行时，点P 到直线l ：x ＋y －4＝0的距离最小．设切点为P (x 0，y 0)(x 0>0)，又y ′＝1x－2x ，所以切线斜率k ＝1x 0－2x 0，由题意知1x 0－2x 0＝－1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍)，所以P (1，－1)，此时点P 到直线l ：x ＋y －4＝0的距离d ＝|1－1－4|2＝2 2.5．直线l 与曲线y ＝e x ＋1和y ＝e x ＋1均相切，则l 的斜率为()A.12B ．1C ．2D ．e答案B解析由y ＝e x ＋1，可得y ′＝e x ；由y ＝e x ＋1，可得y ′＝e x ＋1，设两个切点分别为(x 1，1e x ＋1)和(x 2，21e x +)，直线l 的斜率k ＝121e e x x +=，故x 1＝x 2＋1，即x 1≠x 2，所以k ＝21121e e 1x x x x +---＝－1－1＝1，即直线l 的斜率为1.6．若函数f (x )＝x 2－2ax2＋ln(x ＋1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a 的取值范围是()A ．a ≤1B ．a <0C ．a ≥1D ．a ≤0答案A解析因为函数f (x )＝x 2－2ax2＋ln(x ＋1)(x >－1)，所以f ′(x )＝x ＋1x ＋1－a ＝x ＋1＋1x ＋1－a －1≥2(x ＋1)·1x ＋1－a －1＝1－a ，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立，因为函数f (x )的图象上不存在互相垂直的切线，所以f ′(x )min ≥0，即1－a ≥0，解得a ≤1.二、多项选择题7．对于函数f (x )＝ln x －1，则下列判断正确的是()A ．直线y ＝xe 2是f (x )过原点的一条切线B ．f (x )关于y ＝x 对称的函数是y ＝e x－1C ．若过点(a ，b )有2条直线与f (x )相切，则ln a <b ＋1D ．f (x )≤x －2答案ACD解析对于A ，设切点为(m ，ln m －1)，则k ＝f ′(m )＝1m ＝ln m －1－0m －0，∴ln m －1＝1m ·m ，∴ln m ＝2，∴m ＝e 2，k ＝1e2∴过原点的切线方程为y ＝xe2，故A 正确；对于B ，由反函数的概念可得y ＋1＝ln x ⇒e y ＋1＝x ，故与f (x )关于y ＝x 对称的函数为y ＝e x ＋1，故B 错误；对于C ，若过点(a ，b )有2条直线与f (x )相切，则点(a ，b )在f (x )上方，如图所示，即b >f (a )，即b >ln a －1，故C 正确；对于D ，由于∀x >0，设g (x )＝x －ln x －1⇒g ′(x )＝x －1x ，令g ′(x )>0⇒x >1，令g ′(x )<0⇒0<x <1，∴g (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，∴g (x )≥g (1)＝0⇒ln x ≤x －1⇒f (x )≤x －2，故D 正确．8．(2023·唐山质检)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D ()A ．f (x )＝sin x －cos xB ．f (x )＝ln x －3xC ．f (x )＝－x 3＋3x －1D ．f (x )＝x e －x答案BCD解析对于A ，f ′(x )＝cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－sin x ＋cos x ＝－2sin当x ，f ″(x )＝－2sin ，故A 错误；对于B ，f ′(x )＝1x －3，f ″(x )＝－1x 2<0B 正确；对于C ，f ′(x )＝－3x 2＋3，f ″(x )＝－6x <0C 正确；对于D ，f ′(x )＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x ，f ″(x )＝－e －x －(1－x )e －x ＝－(2－x )e －x ，因为x 2－x >0，所以f ″(x )＝－(2－x )e －x<0D 正确．三、填空题9．(2024·呼和浩特模拟)若曲线y ＝2sin x －2cos x x －ay ＋1＝0垂直，则实数a ＝.答案－2解析∵y ＝2sin x －2cos x ，∴y ′＝2cos x ＋2sin x ，∴曲线y ＝2sin x －2cos x k ＝2cos π2＋2sin π2＝2，∵切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，∴直线x －ay ＋1＝0的斜率为－12，即1a ＝－12，∴a ＝－2.10．(2023·本溪模拟)请写出与曲线y ＝sin x 在原点(0,0)处具有相同切线的另一个函数．答案y ＝x 3＋x (答案不唯一)解析∵y ＝sin x 的导函数为y ′＝cos x ，又y ＝sin x 过原点，∴y ＝sin x 在原点(0,0)处的切线斜率k ＝cos 0＝1，∴y ＝sin x 在原点(0,0)处的切线方程为y ＝x .所求曲线只需满足过点(0,0)且在x ＝0处的导数值y ′＝1即可，如y ＝x 3＋x ，∵y ′＝3x 2＋1，∴y ＝x 3＋x 在原点处的切线斜率为1，又y ＝x 3＋x 过原点，∴y ＝x 3＋x 在原点(0,0)处的切线方程为y ＝x .11．(2023·南京模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝ax 2和y ＝ln x 均相切，则a ＝.答案14解析设直线y ＝x ＋m 与y ＝ln x 相切于点(x 0，ln x 0)，因为y ＝ln x 的导函数为y ′＝1x ，所以1x 0＝1，且ln x 0＝x 0＋m ，解得x 0＝1，m ＝－1.因为直线y ＝x －1与曲线y ＝ax 2相切，联立得ax 2－x ＋1＝0，a ≠0且Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14.12．已知直线y ＝k 1x 与y ＝k 2x (k 1>k 2)是曲线y ＝ax ＋2ln|x |(a ∈R )的两条切线，则k 1－k 2＝.答案4e解析由已知得，曲线的切线过点(0,0)，当x >0时，曲线为y ＝ax ＋2ln x ，设x 1>0，直线y ＝k 1x 在曲线上的切点为(x 1，ax 1＋2ln x 1)，y ′＝a ＋2x 1，∴切线方程为y －(ax 1＋2ln x 1)x －x 1)，又切线过点(0,0)，∴－ax 1－2ln x 1－x 1)，∴x 1＝e ，k 1＝a ＋2e；同理，当x <0时，曲线为y ＝ax ＋2ln(－x )，设x 2<0，直线y ＝k 2x 在曲线上的切点为(x 2，ax 2＋2ln(－x 2))，y ′＝a ＋2x 2，∴切线方程为y －[ax 2＋2ln(－x 2)]x －x 2)，又切线过点(0,0)，∴－ax 2－2ln(－x 2)－x 2)，∴x 2＝－e ，k 2＝a －2e ，∴k 1－k 2＝4e .四、解答题13．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x .(1)求f ′(e)及f (e)的值；(2)求f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线方程．解(1)∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，∴f ′(e)＝－1e ，f (x )＝－2xe ＋ln x ，∴f (e)＝－2ee＋ln e ＝－1.(2)∵f (x )＝－2x e ＋ln x ，f ′(x )＝－2e ＋1x ，∴f (e 2)＝－2e 2e ＋ln e 2＝2－2e ，f ′(e 2)＝－2e ＋1e2，∴f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线方程为y －(2－2e)－2e ＋x －e 2)，即(2e －1)x ＋e 2y －e 2＝0.14．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12，又∵f ′(x )＝a ＋bx 2，a －b 2＝12，＋b 4＝74，＝1，＝3，∴f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为yx －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，∴切线与直线x ＝0令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，∴切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．∴曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12|－6x 0|·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.15．已知函数f (x )＝ln x ＋x 的零点为x 0，过原点作曲线y ＝f (x )的切线l ，切点为P (m ，n )，则00e x mx 等于()A.1eB ．e C.1e 2D ．e 2答案B解析f ′(x )＝1x＋1，切点为P (m ，ln m ＋m )，则切线方程为yx －m )＋ln m ＋m ，因为l 过原点，所以0－m )＋ln m ＋m ，解得m ＝e ，则P (e ，e ＋1)，由ln x 0＋x 0＝0，可得x 0＝－ln x 0，故00e xmx ＝e x 0·0ln ex －＝e x 0·1x 0＝e.16．(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f (x )＝|e x －1|，x 1<0，x 2>0，函数f (x )的图象在点A (x 1，f (x 1))和点B (x 2，f (x 2))的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则|AM ||BN |的取值范围是．答案(0,1)解析由题意得，f (x )＝|e x －1|－e x ，x <0，x －1，x ≥0，则f ′(x )e x ，x <0，x ，x ≥0，所以点A (x 1,1－1e x)和点B (x 2，2e x－1)，k AM ＝1e x－，k BN ＝2e x，所以12e e xx⋅－＝－1，x 1＋x 2＝0，所以AM ：y －1＋1e x＝11111(),(0,e e 1),e x x xM x x x -+－－所以|AM |=x 1|，同理|BN |·|x 2|，所以|AM ||BN |1e x ===∈(0,1)．。

§3.2导数与函数的单调性课标要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )>0f (x )在区间(a ，b )上单调递增f ′(x )<0f (x )在区间(a ，b )上单调递减f ′(x )＝0f (x )在区间(a ，b )上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数f (x )的定义域；第2步，求出导数f ′(x )的零点；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．2．若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．(√)(2)在(a ，b )内f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个，则f (x )在(a ，b )内单调递减．(√)(3)若函数f (x )在定义域上都有f ′(x )>0，则f (x )在定义域上一定单调递增．(×)(4)函数f (x )＝x －sin x 在R 上是增函数．(√)2.(多选)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是()A ．在区间(－2,1)上f (x )单调递增B ．在区间(2,3)上f (x )单调递减C ．在区间(4,5)上f (x )单调递增D ．在区间(3,5)上f (x )单调递减答案BC解析在区间(－2,1)上，当x ∈－2，－32f ′(x )<0，当x ∈－32，1f ′(x )>0，故f (x )在区间－2，－32在区间－32，1A 错误；在区间(3,5)上，当x ∈(3,4)时，f ′(x )<0，当x ∈(4,5)时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(3,4)上单调递减，在区间(4,5)上单调递增，C 正确，D 错误；在区间(2,3)上，f ′(x )<0，所以f (x )单调递减，B 正确．3．已知f (x )＝x 3＋x 2－x 的单调递增区间为________．答案(－∞，－1)，13，＋∞解析令f ′(x )＝3x 2＋2x －1>0，解得x >13或x <－1，所以f (x )＝x 3＋x 2－x 的单调递增区间为(－∞，－1)13，＋∞4．已知f (x )＝2x 2－ax ＋ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，5]解析f ′(x )＝4x －a ＋1x ＝4x 2－ax ＋1x，x ∈(1，＋∞)，故只需4x 2－ax ＋1≥0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，则a ≤4x ＋1x 在x ∈(1，＋∞)上恒成立，令y ＝4x ＋1x，因为y ′＝4－1x 2＝4x 2－1x 2>0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，所以y ＝4x ＋1x 在(1，＋∞)上单调递增，故4x ＋1x>5，所以a ≤5.题型一不含参函数的单调性例1(1)函数f(x)＝x ln x－3x＋2的单调递减区间为________．答案(0，e2)解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x－2，当x∈(0，e2)时，f′(x)<0，当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(0，e2)．(2)若函数f(x)＝ln x＋1e x，则函数f(x)的单调递增区间为________．答案(0,1)解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ln x－1e x，令φ(x)＝1x－ln x－1(x>0)，φ′(x)＝－1x2－1x<0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，即f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)．思维升华确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．跟踪训练1已知函数f(x)＝x sin x＋cos x，x∈[0,2π]，则f(x)的单调递减区间为()A.0，π2 B.π2，3π2C．(π，2π) D.3π2，2π答案B解析由题意f(x)＝x sin x＋cos x，x∈[0,2π]，则f ′(x )＝x cos x ，当x f ′(x )>0，当x f ′(x )<0，故f (x )题型二含参数的函数的单调性例2已知函数g (x )＝(x －a －1)e x －(x －a )2，讨论函数g (x )的单调性．解g (x )的定义域为R ，g ′(x )＝(x －a )e x －2(x －a )＝(x －a )(e x －2)，令g ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝ln 2，①若a >ln 2，则当x ∈(－∞，ln 2)∪(a ，＋∞)时，g ′(x )>0，当x ∈(ln 2，a )时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，ln 2)，(a ，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a )上单调递减；②若a ＝ln 2，则g ′(x )≥0恒成立，∴g (x )在R 上单调递增；③若a <ln 2，则当x ∈(－∞，a )∪(ln 2，＋∞)时，g ′(x )>0，当x ∈(a ，ln 2)时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，a )，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a ，ln 2)上单调递减．综上，当a >ln 2时，g (x )在(－∞，ln 2)，(a ，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a )上单调递减；当a ＝ln 2时，g (x )在R 上单调递增；当a <ln 2时，g (x )在(－∞，a )，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a ，ln 2)上单调递减．思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练2(2023·北京模拟)已知函数f (x )＝2x －a(x ＋1)2.(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )的单调区间．解(1)当a ＝0时，f (x )＝2x(x ＋1)2(x ≠－1)，则f (0)＝0，因为f ′(x )＝－2x ＋2(x ＋1)3，所以f ′(0)＝2.所以曲线y ＝f (x )在(0,0)处的切线方程为y ＝2x .(2)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．f ′(x )＝(－2x ＋2a ＋2)(x ＋1)(x ＋1)4＝－2(x －a －1)(x ＋1)3，令f ′(x )＝0，解得x ＝a ＋1.①当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，f ′(x )＝－2x －2(x ＋1)3＝－2(x ＋1)(x ＋1)3＝－2(x ＋1)2<0，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；②当a ＋1<－1，即a <－2时，令f ′(x )<0，则x ∈(－∞，a ＋1)∪(－1，＋∞)，令f ′(x )>0，则x ∈(a ＋1，－1)，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，a ＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a ＋1，－1)；③当a ＋1>－1，即a >－2时，令f ′(x )<0，则x ∈(－∞，－1)∪(a ＋1，＋∞)，令f ′(x )>0，则x ∈(－1，a ＋1)，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(a ＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a ＋1)．综上所述，当a ＝－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；当a <－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，a ＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a ＋1，－1)；当a >－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(a ＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a ＋1)．题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例3(1)(多选)(2024·深圳模拟)若0<x 1<x 2<1，则()A ．21e e xx－>ln x 2＋1x 1＋1B ．21e e xx－<ln x 2＋1x 1＋1C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x x x x <答案AC解析令f (x )＝e x －ln(x ＋1)且x ∈(0,1)，则f ′(x )＝e x －1x ＋1>0，故f (x )在区间(0,1)上单调递增，因为0<x 1<x 2<1，所以f (x 1)<f (x 2)，即1e x－ln(x 1＋1)<2e x－ln(x 2＋1)，故21e e x x －>lnx 2＋1x 1＋1，所以A 正确，B 错误；令f (x )＝e xx 且x ∈(0,1)，则f ′(x )＝e x (x －1)x 2<0，故f (x )在区间(0,1)上单调递减，因为0<x 1<x 2<1，所以f (x 1)>f (x 2)，即1212e e >x x x x ，故1221e e x x x x >，所以C 正确，D错误．常见组合函数的图象在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果．典例(多选)如果函数f (x )对定义域内的任意两实数x 1，x 2(x 1≠x 2)都有x 1f (x 1)－x 2f (x 2)x 1－x 2>0，则称函数y ＝f (x )为“F 函数”．下列函数不是“F 函数”的是()A ．f (x )＝e xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝sin x答案ACD解析依题意，函数g (x )＝xf (x )为定义域上的增函数．对于A ，g (x )＝x e x ，g ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，－1)上单调递减，故A 中函数不是“F 函数”；对于B ，g (x )＝x 3在R 上为增函数，故B 中函数为“F 函数”；对于C ，g (x )＝x ln x ，g ′(x )＝1＋ln x ，x >0，当x g ′(x )<0，∴g (x )故C 中函数不是“F 函数”；对于D ，g (x )＝x sin x ，g ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x －π2，g ′(x )<0，∴g (x )－π2，故D 中函数不是“F 函数”．(2)(2023·成都模拟)已知函数f (x )＝e x －e －x－2x ＋1，则不等式f (2x －3)＋f (x )>2的解集为________．答案(1，＋∞)解析令g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x －2x ，定义域为R ，且g (－x )＝e －x －e x ＋2x ＝－g (x )，所以g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x －2x 为奇函数，f (2x －3)＋f (x )>2变形为f (2x －3)－1>1－f (x )，即g (2x －3)>－g (x )＝g (－x )，g ′(x )＝e x ＋e －x －2≥2e x ·e －x －2＝0，当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时，等号成立，所以g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x －2x 在R 上单调递增，所以2x －3>－x ，解得x >1，所以所求不等式的解集为(1，＋∞)．命题点2根据函数的单调性求参数例4已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)．(1)若f (x )在[1,4]上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解(1)因为f (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，f ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x2－2x 恒成立．设G (x )＝1x 2－2x ，x ∈[1,4]，所以a ≥G (x )max ，而G (x )－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以实数a 的取值范围是－716，(0，＋∞)．(2)因为f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，则f ′(x )<0在[1,4]上有解，所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x 有解，又当x ∈[1,4]＝－1(此时x ＝1)，所以a >－1，又因为a ≠0，所以实数a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．思维升华由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立．(2)函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集．跟踪训练3(1)(2024·郑州模拟)函数f (x )的图象如图所示，设f (x )的导函数为f ′(x )，则f (x )·f ′(x )>0的解集为()A ．(1,6)B ．(1,4)C ．(－∞，1)∪(6，＋∞)D ．(1,4)∪(6，＋∞)答案D解析由图象可得，当x <4时，f ′(x )>0，当x >4时，f ′(x )<0.结合图象可得，当1<x <4时，f ′(x )>0，f (x )>0，即f (x )·f ′(x )>0；当x >6时，f ′(x )<0，f (x )<0，即f (x )·f ′(x )>0，所以f (x )·f ′(x )>0的解集为(1,4)∪(6，＋∞)．(2)已知函数f (x )＝(1－x )ln x ＋ax 在(1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是()A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)答案A解析依题意f ′(x )＝－ln x ＋1x＋a －1，故f ′(x )在(1，＋∞)上有零点，令g (x )＝－ln x ＋1x ＋a －1，令g (x )＝0，得a ＝ln x －1x ＋1，令z (x )＝ln x －1x ＋1，则z ′(x )＝1x ＋1x2，由x >1，得z ′(x )>0，z (x )在(1，＋∞)上单调递增，又由z(1)＝0，得z(x)>0，故a＝z(x)>0，所以a的取值范围是(0，＋∞)．课时精练一、单项选择题1．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递减区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)答案A解析由已知得，f′(x)＝e x＋(x－3)e x＝(x－2)e x，当x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，2)，单调递增区间是(2，＋∞)．2．已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案D解析根据导函数的图象可得，当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减；当0<x<2时，f′(x)>0，f(x)在(0,2)上单调递增；当x>2时，f′(x)<0，f(x)在(2，＋∞)上单调递减，所以只有D选项符合．3．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝13ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析由题意知，f′(x)＝ax2＋2x＋1，若f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0恒成立，>0，＝4－4a≤0，解得a≥1，故“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件．4．(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝a e x－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为()A．e2B．e C．e－1D．e－2答案C解析依题可知，f′(x)＝a e x－1x≥0在(1,2)上恒成立，显然a>0，所以x e x≥1a在(1,2)上恒成立，设g(x)＝x e x，x∈(1,2)，所以g′(x)＝(x＋1)e x>0，所以g(x)在(1,2)上单调递增，g(x)>g(1)＝e，故e≥1a，即a≥1e＝e－1，即a的最小值为e－1.5．(2024·苏州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝e x＋sin x，则不等式f(2x－1)<eπ的解集是()答案D解析当x≥0时，f′(x)＝e x＋cos x，因为e x≥1，cos x∈[－1,1]，所以f′(x)＝e x＋cos x≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(－π)＝f(π)＝eπ，所以由f(2x－1)<eπ可得－π<2x－1<π，解得x6．(2023·信阳模拟)已知a＝1100，b＝99100e-，c＝ln101100，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 答案B解析设函数f(x)＝e x－x－1，x∈R，则f′(x)＝e x－1，当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(0)＝0，即e x≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号，∵e x≥1＋x，∴99100e->1－99100＝1100，∴b>a，由以上分析可知当x>0时，有e x－1≥x成立，当x＝1时取等号，即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号，∴ln 101100<101100－1＝1100，∴a>c，故b>a>c.二、多项选择题7．(2023·临汾模拟)若函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[m －1，m ＋1]上单调，则实数m 的值可以是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案BD解析f ′(x )＝x －9x ＝x 2－9x (x >0)，令f ′(x )>0，得x >3，令f ′(x )<0，得0<x <3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(0,3)，因为函数f (x )在区间[m －1，m ＋1]上单调，－1>0，＋1≤3或m －1≥3，解得1<m ≤2或m ≥4.8．(2024·邯郸模拟)已知函数f (x )x ，且a ＝f b ＝f c ＝12(e )f ，则()A ．a >bB ．b >aC ．c >bD ．c >a答案ACD解析由f (x )x ，得f ′(x )x 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，因为c ＝f 0<1e <23<45<1，所以f f f c >a >b .三、填空题9．函数f (x )＝e －x cos x (x ∈(0，π))的单调递增区间为________．答案解析f ′(x )＝－e －x cos x －e －x sin x ＝－e －x (cos x ＋sin x )＝－2e －x当x e －x >0，，则f ′(x )<0；当x e －x >0，，则f ′(x )>0，∴f (x )在(0，π)10．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋x 恰有三个单调区间，则实数b 的取值范围为________．答案(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析由题意得f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋1，函数f (x )＝x 3＋bx 2＋x 恰有三个单调区间，则函数f (x )＝x 3＋bx 2＋x 有两个极值点，即f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋1的图象与x 轴有两个交点，则判别式Δ＝4b 2－12>0，解得b >3或b <－ 3.所以实数b 的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．11．(2024·上海模拟)已知定义在(－3,3)上的奇函数y ＝f (x )的导函数是f ′(x )，当x ≥0时，y ＝f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式f ′(x )x>0的解集为________．答案(－3，－1)∪(0,1)解析依题意f (x )是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，f (x )在区间(－3，－1)，(1,3)上单调递减，f ′(x )<0；f (x )在区间(－1,1)上单调递增，f ′(x )>0.所以f ′(x )x>0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．12．已知函数f (x )＝3x a－2x 2＋ln x (a >0)，若函数f (x )在[1,2]上不单调，则实数a 的取值范围是________．答案解析f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在[1,2]上单调，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a≤h (1)，即3a ≥152或3a≤3，又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1.因为f (x )在[1,2]上不单调，所以25<a <1.四、解答题13．(2024·毕节模拟)已知函数f (x )＝(a －x )ln x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围．解(1)根据题意，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (1)＝0，f ′(x )＝－ln x ＋a －x x，∴f ′(1)＝a －1，∴曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝(a －1)(x －1)．(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－ln x ＋a －x x ＝－x ln x －x ＋a x，令g (x )＝－x ln x －x ＋a ，则g ′(x )＝－ln x －2，令g ′(x )＝0，则x ＝1e2，令g ′(x )>0，则0<x <1e2，令g ′(x )<0，则x >1e2，∴g (x )g (x )max ＝＝1e 2＋a ，∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，即1e2＋a ≤0，∴a ≤－1e2.14．(2023·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋1.(1)若f (x )≤x ＋c ，求c 的取值范围；(2)设a >0，讨论函数g (x )＝f (x )－f (a )x －a的单调性．解(1)f (x )≤x ＋c 等价于ln x －x ≤c －1.令h (x )＝ln x －x ，x >0，则h ′(x )＝1x －1＝1－x x.当0<x <1时，h ′(x )>0，所以h (x )在(0,1)上单调递增；当x >1时，h ′(x )<0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减．故h (x )max ＝h (1)＝－1，所以c －1≥－1，即c ≥0，所以c 的取值范围是[0，＋∞)．(2)g (x )＝ln x ＋1－(ln a ＋1)x －a ＝ln x －ln a x －a(x >0且x ≠a )，因此g ′(x )＝x －a －x ln x ＋x ln a x (x －a )2，令m (x )＝x －a －x ln x ＋x ln a ，则m ′(x )＝ln a －ln x ，当x >a 时，ln x >ln a ，所以m ′(x )<0，m (x )在(a ，＋∞)上单调递减，当0<x <a 时，ln x <ln a ，所以m ′(x )>0，m (x )在(0，a )上单调递增，因此有m (x )<m (a )＝0，即g ′(x )<0在x >0且x ≠a 上恒成立，所以函数g (x )在区间(0，a )和(a ，＋∞)上单调递减．15．已知函数f (x )＝e x x －ax ，当0<x 1<x 2时，不等式f (x 1)x 2－f (x 2)x 1<0恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．(－∞，e)B ．(－∞，e]－∞，e 2答案D解析因为当0<x 1<x 2时，不等式f (x 1)x 2－f (x 2)x 1<0恒成立，所以f (x 1)x 2<f (x 2)x 1，即x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，令g (x )＝xf (x )＝e x －ax 2，则g (x 1)<g (x 2)，又因为0<x 1<x 2，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )＝e x －2ax ≥0在(0，＋∞)上恒成立，分离参数得2a ≤e x x恒成立，令h (x )＝e x x(x >0)，则只需2a ≤h (x )min ，而h ′(x )＝e x ·x －1x2，令h ′(x )>0，得x >1，令h ′(x )<0，得0<x <1，所以h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h (x )≥h (1)＝e ，故2a ≤e ，即a ≤e 2.16．已知偶函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，当x ＞0时，f (x )x＞－f ′(x )，且f (2)＝1，则不等式(x 2－x )f (x 2－x )＞2的解集为()A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－1,2)答案C 解析令g (x )＝xf (x )，由于f (x )为偶函数，则g (x )为奇函数，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )．因为当x ＞0时，f (x )x ＞－f ′(x )，即f (x )＋xf ′(x )x＞0，所以f(x)＋xf′(x)＞0，即g′(x)＞0.所以当x＞0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为g(x)在R上为奇函数且在R上存在导函数，所以g(x)在R上为增函数．因为f(2)＝1，所以g(2)＝2f(2)＝2，又(x2－x)f(x2－x)＞2等价于g(x2－x)＞g(2)，所以x2－x＞2，解得x＜－1或x＞2.综上所述，x的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。

高考数学一轮复习讲义第29讲导数及其应用经典回顾理A 、B、C、D、题二：若上是减函数，则的取值范围是（）、A、B、C、D、考点梳理1、导数的概念（1）函数在某一点处的导数对于函数，如果自变量在处有增量，那么函数相应地有增量、如果当时，有极限，我们就说在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数，记作或，即、对于这一定义，我们应该明确如下四点：① 函数在及其附近有定义（否则无意义），在处的增量，是自变量，并且、据此，函数在处的导数定义的另一种表达形式是、② 函数在点处可导，是指当时，比值有极限、否则，若不存在，则称函数在点处不可导、③ 在处的导数不是一个变数，而是一个确定的数值、④ 函数在点处的导数，其几何意义是曲线在点即处切线的斜率，于是，曲线在点处的切线方程为、（2）导函数若函数在开区间内每一点都可导，则称为开区间内的可导函数、这时对于开区间内每一个确定的值，都有一个确定的导数值与之对应，即在开区间内构成了一个新的函数，我们称这一新函数为在开区间内的导函数，简称导数，记作或，即、2、导数公式及求导法则（1）几种常见函数的导数公式（为常数）；()；；；；；；、（2）和、差、积、商的求导法则；；、（3）复合函数的求导法则设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点处也有导数，且，或写作、3、定积分的基本性质（1）；（2）；（3）、4、微积分基本定理如果是区间上的连续函数，并且，那么、金题精讲题一：等于（）、A、B、2C、D、题二：设定函数，且方程的两个根分别为1，4、（Ⅰ）当且曲线过原点时，求的解析式；（Ⅱ）若在内无极值点，求的取值范围、题三：设为实数，函数、(Ⅰ)求的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当且时，、名师寄语导数是微积分最基本的知识点之一，也是高中数学的重要内容之一，学好这部分知识，应着重处理好以下五类问题：一是正确理解导数的概念，掌握几种常见函数的求导公式，和、差、积、商的求导法则以及复合函数求导法则，并能利用它们求一些简单函数的导数；二是熟练掌握利用导数研究函数的单调性和极值的方法，会求闭区间上连续函数的最大值和最小值；三是理解导数的几何意义，并能解决与曲线的切线有关的问题；四是能利用导数证明不等式；五是简单函数的定积分及其简单应用、开心自测题一：A 题二：C金题精讲题一：D题二：（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范围是、题三：(Ⅰ)的减区间是，增区间是，、(Ⅱ)略。

一、知识梳理１．定积分的概念在错误!f（x）d x中，a，b分别叫作积分下限与积分上限，区间[a，b]叫作积分区间，f（x）叫作被积函数，x叫作积分变量，f（x）d x叫作被积式．２．定积分的性质（１）错误!kf（x）d x＝k错误!f（x）d x（k为常数）；（２）错误![f１（x）±f２（x）]d x＝错误!f１（x）d x±错误!f２（x）d x；（３）错误!f（x）d x＝错误!f（x）d x＋错误!f（x）d x（其中a<c<b）．３．微积分基本定理一般地，如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，且F′（x）＝f（x），那么错误!f（x）d x＝F（b）—F（a），这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿­莱布尼茨公式．其中F（x）叫作f（x）的一个原函数．为了方便，常把F（b）—F（a）记作F（x）错误!，即错误!f（x）d x＝F（x）错误!＝F（b）—F （a）．常用结论１．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．２．若函数f（x）在闭区间[—a，a]上连续，则有（１）若f（x）为偶函数，则错误!f（x）d x＝２错误!f（x）d x.（２）若f（x）为奇函数，则错误!f（x）d x＝0．二、教材衍化１．设f（x）＝错误!则错误!f（x）d x的值是（）Ａ．错误!x２d xＢ．错误!２x d xＣ．错误!x２d x＋错误!２x d xＤ．错误!２x d x＋错误!x２d x解析：选Ｄ．由分段函数的定义及定积分运算性质，得错误!f（x）d x＝错误!２x d x＋错误!x２d x.故选Ｄ．２．错误!错误!d x＝________．解析：错误!错误!d x＝ln（x—１）|错误!＝ln e—ln １＝１．答案：１３．若错误!（sin x—a cos x）d x＝２，则实数a等于________．解析：由题意知（—cos x—a sin x）错误!＝１—a＝２，a＝—１．答案：—１４．汽车以v＝（３t＋２）m/s作变速直线运动时，在第１s至第２s间的１s内经过的位移是________m.解析：s＝错误!（３t＋２）d t＝错误!错误!１＝错误!×４＋４—错误!＝１0—错误!＝错误!（m）．答案：错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）设函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，则错误!f（x）d x＝错误!f（t）d t.（）（２）若f（x）是偶函数，则错误!f（x）d x＝２错误!f（x）d x.（）（３）若f（x）是奇函数，则错误!f（x）d x＝0．（）（４）曲线y＝x２与直线y＝x所围成的区域面积是错误!（x２—x）d x.（）答案：（１）√（２）√（３）√（４）×二、易错纠偏错误!错误!（１）误解积分变量致误；（２）不会利用定积分的几何意义求定积分；（３）f（x），g（x）的图象与直线x＝a，x＝b所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错．１．定积分错误!（t２＋１）d x＝________．解析：错误!（t２＋１）d x＝（t２＋１）x|错误!＝２（t２＋１）＋（t２＋１）＝３t２＋３．答案：３t２＋３２．错误!错误!d x＝________解析：错误!错误!d x表示以原点为圆心，错误!为半径的错误!圆的面积，故错误!错误!d x＝错误!π×（错误!）２＝错误!.答案：错误!３．如图，函数y＝—x２＋２x＋１与y＝１相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是________．解析：由错误!得x１＝0，x２＝２．所以S＝错误!（—x２＋２x＋１—１）d x＝错误!（—x２＋２x）d x＝错误!错误!＝—错误!＋４＝错误!.答案：错误![学生用书P５３]定积分的计算（多维探究）角度一利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!cos x d x；（３）错误!错误!d x.【解】（１）因为（ln x）′＝错误!，所以错误!错误!d x＝２错误!错误!d x＝２ln x错误!＝２（ln ２—ln １）＝２ln ２．（２）因为（sin x）′＝cos x，所以错误!cos x d x＝sin x错误!＝sin π—sin 0＝0．（３）因为（x２）′＝２x，错误!′＝—错误!，所以错误!错误!d x＝错误!２x d x＋错误!错误!d x＝x２错误!＋错误!错误!＝错误!.角度二利用定积分的几何意义求定积分计算下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!（３x３＋４sin x）d x.【解】（１）根据定积分的几何意义，可知错误!错误!d x表示的是圆（x—１）２＋y２＝１的面积的错误!（如图中阴影部分）．故错误!错误!d x＝错误!.（２）设y＝f（x）＝３x３＋４sin x，则f（—x）＝３（—x）３＋４sin（—x）＝—（３x３＋４sin x）＝—f（x），所以f（x）＝３x３＋４sin x在[—５，５]上是奇函数．所以错误!（３x３＋４sin x）d x＝—错误!（３x３＋４sin x）d x.所以错误!（３x３＋４sin x）d x＝错误!（３x３＋４sin x）d x＋错误!（３x３＋４sin x）d x＝0．错误!计算定积分的解题步骤（１）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．（２）把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．（３）分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．（４）利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[提醒] 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分．１．错误!e|x|d x的值为（）Ａ．２Ｂ．２eＣ．２e—２Ｄ．２e＋２解析：选Ｃ．错误!e|x|d x＝错误!e—x d x＋错误!e x d x＝—e—x错误!＋e x错误!＝[—e0—（—e）]＋（e—e0）＝—１＋e＋e—１＝２e—２，故选Ｃ．２．错误!错误!d x＝________．解析：错误!错误!d x＝错误!错误!d x＋错误!错误!x d x，错误!错误!x d x＝错误!，错误!错误!d x表示四分之一单位圆的面积，为错误!，所以结果是错误!.答案：错误!利用定积分求平面图形的面积（师生共研）（一题多解）求由抛物线y２＝２x与直线y＝x—４围成的平面图形的面积．【解】如图所示，解方程组错误!得两交点的坐标分别为（２，—２），（8，４）．法一：选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和，即S＝２错误!错误!d x＋错误!（错误!—x＋４）d x＝１8．法二：选取纵坐标y为积分变量，则图中阴影部分的面积S＝错误!错误!d y＝１8．错误!设阴影部分的面积为S，则对如图所示的四种情况分别有：（１）S＝错误!f（x）d x.（２）S＝—错误!f（x）d x.（３）S＝错误!f（x）d x—错误!f（x）d x.（４）S＝错误!f（x）d x—错误!g（x）d x＝错误![f（x）—g（x）]d x.１．已知曲线C：y＝x２＋２x在点（0，0）处的切线为l，则由C，l以及直线x＝１围成的区域的面积等于________．解析：因为y′＝２x＋２，所以曲线C：y＝x２＋２x在点（0，0）处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝２，所以切线方程为y＝２x，所以由C，l以及直线x＝１围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S＝错误!（x ２＋２x—２x）d x＝错误!x２d x＝错误!错误!＝错误!.答案：错误!２．已知函数f（x）＝—x３＋ax２＋bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为错误!，则a的值为________．解析：f′（x）＝—３x２＋２ax＋b，因为f′（0）＝0，所以b＝0，所以f（x）＝—x３＋ax２，令f （x）＝0，得x＝0或x＝a（a＜0）．S阴影＝—错误!（—x３＋ax２）d x＝错误!a４＝错误!，所以a＝—１．答案：—１定积分在物理中的应用（师生共研）（１）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7—３t＋错误!（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）Ａ．１＋２５ln ５B．8＋２５ln 错误!Ｃ．４＋２５ln ５D．４＋５0ln ２（２）一物体在力F（x）＝错误!（单位：N）的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝４（单位：m）处，则力F（x）做的功为________J.【解析】（１）令v（t）＝0得，３t２—４t—３２＝0，解得t＝４错误!.汽车的刹车距离是错误!错误!d t＝[7t—错误!t２＋２５ln（t＋１）]错误!＝４＋２５ln ５．（２）由题意知，力F（x）所做的功为W＝错误!F（x）d x＝错误!５d x＋错误!（３x＋４）d x＝５×２＋错误!错误!＝１0＋错误!＝３6（J）．【答案】（１）C （２）３6错误!定积分在物理中的两个应用（１）求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v（t），那么从时刻t＝a 到t＝b所经过的路程s＝错误!v（t）d t.（２）变力做功，一物体在变力F（x）的作用下，沿着与F（x）相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F（x）所做的功是W＝错误!F（x）d x.１．物体A以v＝３t２＋１（m/s）的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方５m处，同时以v＝１0t（m/s）的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t （s）为（）Ａ．３B．４Ｃ．５D．6解析：选Ｃ．因为物体A在t秒内行驶的路程为错误!（３t２＋１）d t，物体B在t秒内行驶的路程为错误!１0t d t，因为（t３＋t—５t２）′＝３t２＋１—１0t，所以错误!（３t２＋１—１0t）d t＝（t３＋t—５t２）错误!＝t３＋t—５t２＝５，整理得（t—５）（t２＋１）＝0，解得t＝５．２．设变力F（x）作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝１运动到x＝１0，已知F（x）＝x２＋１且方向和x轴正向相同，则变力F（x）对质点M所做的功为________J（x的单位：m；力的单位：N）．解析：变力F（x）＝x２＋１使质点M沿x轴正向从x＝１运动到x＝１0所做的功为W＝错误!F（x）d x＝错误!（x２＋１）d x，因为错误!′＝x２＋１，所以原式＝３４２（J）．答案：３４２[学生用书P２7４（单独成册）][基础题组练]１．定积分错误!（３x＋e x）d x的值为（）Ａ．e＋１Ｂ．eＣ．e—错误!Ｄ．e＋错误!解析：选Ｄ．错误!（３x＋e x）d x＝错误!错误!＝错误!＋e—１＝错误!＋e.２．若f（x）＝错误!f（f（１））＝１，则a的值为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．—１Ｄ．—２解析：选Ａ．因为f（１）＝lg １＝0，f（0）＝错误!３t２d t＝t３错误!＝a３，所以由f（f（１））＝１得a３＝１，所以a＝１．３．若f（x）＝x２＋２错误!f（x）d x，则错误!f（x）d x＝（）Ａ．—１Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．１解析：选Ｂ．因为f（x）＝x２＋２错误!f（x）d x，所以错误!f（x）d x＝错误!|错误!＝错误!＋２错误!f（x）d x，所以错误!f（x）d x＝—错误!.４．设f（x）＝错误!则错误!f（x）d x的值为（）Ａ．错误!＋错误!Ｂ．错误!＋３Ｃ．错误!＋错误!Ｄ．错误!＋３解析：选Ａ．错误!f（x）d x＝错误!错误!d x＋错误!（x２—１）d x＝错误!π×１２＋错误!错误!＝错误!＋错误!，故选Ａ．５．由曲线y＝x２和曲线y＝错误!围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由错误!解得错误!或错误!所以阴影部分的面积为错误!（错误!—x２）d x＝错误!.故选Ａ．6．定积分错误!（x２＋sin x）d x＝________．解析：错误!（x２＋sin x）d x＝错误!x２d x＋错误!sin x d x＝２错误!x２d x＝２·错误!错误!＝错误!.答案：错误!7．错误!（x２tan x＋x３＋１）d x＝________．解析：因为x２tan x＋x３是奇函数．所以错误!（x２tan x＋x３＋１）d x＝错误!１d x＝x|错误!＝２．答案：２8．一物体受到与它运动方向相反的力：F（x）＝错误!e x＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝１时F （x）所做的功等于________．解析：由题意知W＝—错误!错误!d x＝—错误!错误!＝—错误!—错误!.答案：—错误!—错误!9．求下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!（cos x＋e x）d x.解：（１）错误!错误!d x＝错误!x d x—错误!x２d x＋错误!错误!d x＝错误!错误!—错误!错误!＋ln x错误!＝错误!—错误!＋ln ２＝ln ２—错误!.（２）错误!（cos x＋e x）d x＝错误!cos x d x＋错误!e x d x＝sin x错误!＋e x错误!＝１—错误!.１0．已知函数f（x）＝x３—x２＋x＋１，求其在点（１，２）处的切线与函数g（x）＝x２围成的图形的面积．解：因为（１，２）为曲线f（x）＝x３—x２＋x＋１上的点，设过点（１，２）处的切线的斜率为k，则k＝f′（１）＝（３x２—２x＋１）|x＝１＝２，所以过点（１，２）处的切线方程为y—２＝２（x—１），即y＝２x.y＝２x与函数g（x）＝x２围成的图形如图中阴影部分所示，由错误!可得交点A（２，４），O（0，0），故y＝２x与函数g（x）＝x２围成的图形的面积S＝错误!（２x—x２）d x＝错误!错误!＝４—错误!＝错误!.[综合题组练]１．由曲线xy＝１，直线y＝x，x＝３所围成的封闭平面图形的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．４—ln ３Ｃ．４＋ln ３Ｄ．２—ln ３解析：选Ｂ．画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy＝１，直线y＝x，x＝３所围成的封闭的平面图形如图所示：由错误!得错误!或错误!由错误!得错误!故阴影部分的面积为错误!错误!d x＝错误!错误!＝４—ln ３．２．设函数f（x）＝ax２＋c（a≠0），若错误!f（x）d x＝f（x0），0≤x0≤１，则x0的值为________．解析：错误!f（x）d x＝错误!（ax２＋c）d x＝错误!错误!＝错误!a＋c＝f（x0）＝ax错误!＋c，所以x错误!＝错误!，x0＝±错误!.又因为0≤x0≤１，所以x0＝错误!.答案：错误!３．错误!（错误!＋e x—１）d x＝________．解析：错误!（错误!＋e x—１）d x＝错误!错误!d x＋错误!（e x—１）d x.因为错误!错误!d x表示单位圆的上半部分的面积，所以错误!错误!d x＝错误!.而错误!（e x—１）d x＝（e x—x）错误!＝（e１—１）—（e—１＋１）＝e—错误!—２，所以错误!（错误!＋e x—１）d x＝错误!＋e—错误!—２．答案：错误!＋e—错误!—２４．若函数f（x）在R上可导，f（x）＝x３＋x２f′（１），则错误!f（x）d x＝________．解析：因为f（x）＝x３＋x２f′（１），所以f′（x）＝３x２＋２xf′（１）．所以f′（１）＝３＋２f′（１），解得f′（１）＝—３．所以f（x）＝x３—３x２.故错误!f（x）d x＝错误!（x３—３x２）d x＝错误!错误!＝—４．答案：—４５．如图，在曲线C：y＝x２，x∈[0，１]上取点P（t，t２），过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x＝0，x＝１及直线l围成的图形包括两部分，面积分别记为S１，S２.当S１＝S２时，求t的值．解：根据题意，直线l的方程是y＝t２，且0＜t＜１．结合题图，得交点坐标分别是A（0，0），P（t，t２），B（１，１）．所以S１＝错误!（t２—x２）d x＝错误!错误!＝t３—错误!t３＝错误!t３，0＜t＜１．S２＝错误!（x２—t２）d x＝错误!错误!＝错误!—错误!＝错误!t３—t２＋错误!，0＜t＜１．由S１＝S２，得错误!t３＝错误!t３—t２＋错误!，所以t２＝错误!.又0＜t＜１，所以t＝错误!.所以当S１＝S２时，t＝错误!.。

[考纲传真] １．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.２．了解微积分基本定理的含义．１．定积分的概念与几何意义（１）定积分的定义如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点δi（i＝１,２，…，n），作和式s′＝f（δ１）Δx１＋f（δ２）Δx２＋…＋f（δi）Δx i＋…＋f（δn）Δx n.当每个小区间的长度Δx趋于0时，s′的值趋于一个常数Ａ．我们称常数A叫作函数f（x）在区间[a，b]上的定积分，记作错误!f（x）dx，即错误!f（x）dx＝Ａ．在错误!f（x）dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式．（２）定积分的几何意义图形阴影部分面积S＝错误!f（x）dxS＝—错误!f（x）dxS＝错误!f（x）dx—错误!f（x）dxS＝错误!f（x）dx—错误!g（x）dx＝错误![f（x）—g（x）]dx２．定积分的性质（１）错误!１dx＝b—a；（２）错误!k f（x）dx＝k错误!f（x）dx（k为常数）；（３）错误![f１（x）±f２（x）]dx＝错误!f１（x）dx±错误!f２（x）dx；（４）错误!f（x）dx＝错误!f（x）dx＋错误!f（x）dx（其中a<c<b）．３．微积分基本定理如果连续函数f（x）是函数F（x）的导函数，即f（x）＝F′（x），那么错误!f（x）dx＝F（b）—F （a），这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿­莱布尼茨公式．通常称F（x）是f（x）的一个原函数．为了方便，常把F（b）—F（a）记作F（x）|错误!，即错误!f（x）dx＝F（x）|错误!＝F（b）—F（a）．错误!函数f（x）在闭区间[—a，a]上连续，则有（１）若f（x）为偶函数，则错误!—af（x）dx＝２错误!f（x）dx.（２）若f（x）为奇函数，则错误!—af（x）dx＝0．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）设函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，则错误!f（x）dx＝错误!f（t）dt. （）（２）定积分一定是曲边梯形的面积．（）（３）若错误!f（x）dx＜0，那么由y＝f（x）的图像，直线x＝a，直线x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．（）[答案] （１）√（２）×（３）×２．错误!e x dx的值等于（）Ａ．eＢ．１—eＣ．e—１Ｄ．错误!（e—１）C[错误!e x dx＝e x错误!＝e—１．]３．（教材改编）已知质点的速率v＝１0t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是（）Ａ．１0t错误!Ｂ．５t错误!Ｃ．错误!t错误!Ｄ．错误!t错误!B[S＝∫t00v dt＝∫t00１0tdt＝５t２|t00＝５t错误!.]４．（教材改编）曲线y＝x２与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．错误![如图，阴影部分的面积即为所求．由错误!得A（１,１）．故所求面积为S ＝错误!（x —x ２）dx ＝错误!错误!错误!＝错误!.] ５．错误!错误!dx ＝________.错误! [错误!错误!dx 表示曲线y ＝错误!与直线x ＝—１，x ＝１及x 轴围成的曲边梯形的面积，故错误!错误!dx ＝错误!.]定积分的计算１．（２0１9·玉溪模拟）计算错误!错误!dx 的值为（ ） Ａ．错误! Ｂ．错误!＋ln ２ Ｃ．错误!＋ln ２Ｄ．３＋ln ２B [错误!错误!dx ＝错误!错误!错误!＝２＋ln ２—错误!＝错误!＋ln ２．故选 Ｂ．]２．（２0１8·吉林三模）错误!|x —１|dx ＝（ ） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３Ｄ．错误!D [错误!|x —１|dx ＝错误!（１—x ）dx ＝错误!错误!错误!＝１—错误!＝错误!.] ３．设f （x ）＝错误!则错误!f （x ）dx 等于（ ） Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．错误!Ｄ．不存在C [如图，错误!f （x ）dx ＝错误!x ２dx ＋错误!（２—x ）dx ＝错误!x ３错误!＋错误!错误!错误! ＝错误!＋错误!＝错误!.]４．错误!（sin x —cos x ）dx ＝________.２ [错误!（sin x —cos x ）dx ＝（—cos x —sin x ）|错误!＝１+１＝２．] [规律方法] １．运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 （１）对被积函数要先化简，再求积分．（２）求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．（３）对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分．（４）注意用“F′（x）＝f（x）”检验积分的对错．２．根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分．定积分的几何意义【例１】（１）（２0１9·皖南八校联考）用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，设f（x）＝min错误!错误!，则由函数f（x）的图像，x轴与直线x＝错误!和直线x＝２所围成的封闭图形的面积为________．（２）（２0１9·黄山模拟）已知曲线y＝x２与直线y＝k x（k＞0）所围成的曲边图形的面积为错误!，则k＝________.（１）错误!＋ln２（２）２[（１）由题意，围成的封闭图形如图中阴影部分，由题意，S＝错误!错误!错误!dx＋错误!错误!dx＝错误!x错误!１错误!＋ln x错误!＝错误!错误!＋ln２＝错误!＋ln２，故答案为错误!＋ln２．（２）由错误!得错误!或错误!则曲线y＝x２与直线y＝k x（k＞0）所围成的曲边梯形的面积为错误!（k x—x２）dx＝错误!|错误!＝错误!—错误!k３＝错误!，即k３＝8，所以k＝２．][规律方法] 利用定积分求平面图形面积的步骤１根据题意画出图形.２借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限.３把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和.４计算定积分，写出答案.易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论.（２）如图所示，由抛物线y＝—x２＋４x—３及其在点A（0，—３）和点B（３,0）处的切线所围成图形的面积为________．（１）错误!（２）错误![（１）如图所示，由y＝错误!及y＝—x＋２可得交点横坐标为x＝１．由定积分的几何意义可知，由y＝错误!，y＝—x＋２及x轴所围成的封闭图形的面积为错误!错误!dx＋错误!（—x＋２）dx＝错误!x错误!|错误!＋错误!|错误!＝错误!.（２）由y＝—x２＋４x—３，得y′＝—２x＋４，∴y′|x＝0＝４，y′|x＝３＝—２，∴抛物线在A点处的切线方程为y＝４x—３，在B点处的切线方程为y＝—２x＋6，联立方程错误!解得错误!∴两切线交点的横坐标为错误!，定积分在物理中的应用【例２】（１）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7—３t ＋错误!（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）Ａ．１＋２５ln５Ｂ．8＋２５ln错误!Ｃ．４＋２５ln５Ｄ．４＋５0ln２（２）（２0１9·渭南模拟）一物体在变力F（x）＝５—x２（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成３0°方向作直线运动，则由x＝１运动到x＝２时，F（x）做的功为（）Ａ．错误!JＢ．错误!JＣ．错误!JＤ．２错误!J（１）C（２）C[（１）由v（t）＝7—３t＋错误!＝0，可得t＝４错误!，因此汽车从刹车到停止一共行驶了４s，此期间行驶的距离为错误!v（t）dt＝错误!错误!dt＝错误!|错误!＝４＋２５ln５．（２）变力F在位移方向上的分力为Fcos３0°，故F（x）做的功为W＝错误!（５—x２）cos３0°dx ＝错误!错误!（５—x２）dx＝错误!５x—错误!x３错误!＝错误!.][规律方法] 定积分在物理中的两个应用１求物体变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v t，那么从时刻t＝a 到t＝b所经过的路程s＝错误!v t dt.２变力做功，一物体在变力F x的作用下，沿着与F x相同方向从x＝a运动到x＝b时，力F x所做的功是W＝错误!F x dx.２线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方５m处以v＝１0t（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是________m.１３0 [设A追上B时，所用的时间为t0，则S A＝S B＋５，即∫t00（３t２＋１）dt＝∫t00（１0t）dt＋５，∴（t３＋t）t00＝５t错误!＋５∴t错误!＋t0＝５（t错误!＋１）即t0＝５，∴S A＝５t错误!＋５＝５×５２＋５＝１３0（m）．]。