二元一次方程组实际问题(应用题)分类精选精讲

二元一次方程组解应用题专题分类常见十三类常见十三类二元一次方程组解应用题专题分类讲解要点突破：应用领域二元一次方程组化解实际问题的基本步骤总结:（1）认知问题（审题，厘清未知和未明，分析数量关系）（2）制订计划（考量如何根据等量关系设元，列举方程组）（3）继续执行计划（列举方程组并解，获得答案）（4）回顾（检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意）列于方程组思想：找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.（1）行程问题：（2）工程问题;（3）销售中的盈亏问题;（4）储蓄问题;（5）产品配套问题;（6）增长率问题;（7）和差倍分问题;（8）数字问题;（9）浓度问题;（10）几何问题;（11）年龄问题;（12）优化方案问题.一、行程问题（1）三个基本量的关系：路程s=速度v×时间t时间t＝路程s÷速度v速度v＝路程s÷时间t（2）三大类型：①碰面问题：慢行距＋慢行距＝原距②赴援问题：慢行距－慢行距＝原距③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度顺速c逆速=2水速；顺速+逆速=2船速顺水的路程=逆水的路程相遇问题:两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类．．问题叫作碰面问题。

它的特点就是两个运动物体共同步上整个路程。

a车路程b车路程-1-a车路程+b车路程=距离路程总路程=（甲速+乙速）×碰面时间碰面时间=总路程÷（甲速+乙速）．．．．．．．．．．．．．．另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度甲、乙两人在距离18千米的两地同时启程，并肩而行，1小时48分后碰面，如果甲比乙晚启程40分钟，那么在乙出发1小时30分时两人相遇，求甲、乙两人的速度.练：学校距活动东站670米，小明从学校前往活动东站每分钟行80米，2分钟后，小丽从活动东站往学校跑，每分钟行90米，小明启程多少分钟后和小丽碰面？碰面时二人各行了多少米？追及问题:两物体速度不同向同一方向运动，两物体同时运动，一个在前，一个在后，前后相隔的路程若把它叫作“赴援的路程”，那么，在后的冲上前一个的时间叫做“赴援时间”.迎击b车追击路程a车先行路程a车后行路程关系式就是：赴援的路程÷速度差＝赴援时间．．．．．．．．．．．．．．顺速c逆速=2水速；顺速+逆速=2船速顺水的路程=逆水的路程a、b两地距离28千米，甲乙两车同时分别从a、b两地同一方向送出，甲车每小时行32千米，乙车每小时行25千米，乙车在前，甲车在后，几小时后甲车能甩开乙车？甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。

二元一次方程应用题8种类型一、行程问题1. 题目- 甲、乙两人相距30千米，甲速度为x千米/小时，乙速度为y千米/小时，若两人同时出发相向而行，3小时后相遇；若两人同时同向而行，甲在乙后面，5小时后甲追上乙。

求甲、乙两人的速度。

2. 解析- 根据相向而行时，路程 = 速度和×时间，可得到方程3(x + y)=30，化简为x + y = 10。

- 根据同向而行时，路程差=速度差×时间，可得到方程5(x - y)=30，化简为x - y=6。

- 联立方程组x + y = 10 x - y = 6，将两式相加，2x=16，解得x = 8。

- 把x = 8代入x + y = 10，得y = 2。

二、工程问题1. 题目- 一项工程，甲队单独做需要x天完成，乙队单独做需要y天完成，两队合作需要6天完成；甲队单独做比乙队单独做少用5天。

求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？2. 解析- 把工作总量看作单位“1”，根据工作效率 = 工作总量÷工作时间，两队合作的工作效率为(1)/(6)，甲队工作效率为(1)/(x)，乙队工作效率为(1)/(y)，则(1)/(x)+(1)/(y)=(1)/(6)。

- 又因为甲队单独做比乙队单独做少用5天，所以y - x=5，即y=x + 5。

- 将y=x + 5代入(1)/(x)+(1)/(y)=(1)/(6)中，得到(1)/(x)+(1)/(x + 5)=(1)/(6)。

- 去分母得6(x+5)+ 6x=x(x + 5)，展开6x+30+6x=x^2+5x，移项化为一元二次方程x^2-7x - 30 = 0，因式分解(x - 10)(x+3)=0，解得x = 10或x=-3（天数不能为负舍去）。

- 当x = 10时，y=10 + 5=15。

三、利润问题1. 题目- 某商店购进甲、乙两种商品，甲商品进价为x元/件，乙商品进价为y元/件。

已知购进5件甲商品和4件乙商品共花费300元；甲商品每件售价20元，乙商品每件售价30元，全部售出后利润为100元。

实际问题与二元一次方程组知识讲解二元一次方程组是数学中常见的一个问题。

我们通常使用两个含有两个未知数的等式组成一个方程组，通过解方程组，可以找到使得两个方程同时成立的未知数的取值。

在实际问题中，二元一次方程组可以用来描述各种物理、经济、工程等领域的问题，如两个物体运动的相对速度、两个商家的销售情况等等。

让我们以一个例子来说明二元一次方程组的实际应用。

假设你去商场购物，买了若干个苹果和橙子，总共花费了100元。

已知每个苹果的价格是3元，每个橙子的价格是2元，你购买的苹果数量和橙子数量之和是30个。

那么我们可以通过设置一个方程组来解决这个问题。

假设x表示苹果的数量，y表示橙子的数量，那么我们可以得到以下两个方程：3x+2y=100（1）x+y=30（2）我们可以通过解这个方程组来得到购买苹果和橙子的具体数量。

下面是解方程组的步骤：1.将方程（2）转换，得到x=30-y。

2.将x=30-y代入方程（1），得到3(30-y)+2y=100。

3.将这个方程化简，得到90-3y+2y=100。

4.化简后得到-y=10，即y=-10。

5.将得到的y值代入方程（2），得到x+(-10)=30，即x=40。

因此，通过解方程组，我们可以得到购买了40个苹果和-10个橙子，显然橙子的数量是不合理的，因此我们可以得出结论，商场不提供橙子。

这个例子展示了如何利用二元一次方程组来解决实际问题。

在解这个方程组的过程中，我们首先列出了两个方程，然后通过代数运算，将一个方程转换为另一个未知数的表达式，最后将此表达式代入另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的方程。

通过解这个方程，我们可以得到这个未知数的具体值，从而找到问题的解决办法。

在实际问题中，我们还可以利用二元一次方程组来解决各种线性关系的问题。

比如，如果我们知道一个容器中有红色和蓝色的球，总数为100个，其中红色球的数量是蓝色球数量的两倍。

那么我们可以列出以下的方程组：x+y=100（3）x=2y（4）通过解这个方程组，我们可以得到红色球和蓝色球的数量。

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速顺水的路程 = 逆水的路程相遇问题:两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。

它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。

A车路程+B车路程=相距路程总路程=（甲速+乙速）×相遇时间相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，那么在乙出发1小时30分时两人相遇，求甲、乙两人的速度.练习：学校距活动站670米，小明从学校前往活动站每分钟行80米，2分钟后，小丽从活动站往学校走，每分钟行90米，小明出发多少分钟后和小丽相遇？相遇时二人各行了多少米？A甲、乙二人相距2. 甲以5km/h的速度进行有氧体育锻炼，2h后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲。

根据他们两人的约定，乙最快不早于1h追上甲，最慢不晚于1h15min追上甲，则乙骑车的速度应当控制在什么范围？3. 从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3千米长的下坡，如果保持上坡每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲到乙地需90分，从乙地到甲地需102分。

甲地到乙地全程是多少？4. 甲,乙两人分别从甲,乙两地同时相向出发,在甲超过中点50米处甲,乙两人第一次相遇,甲,乙到达乙,甲两地后立即返身往回走,结果甲,乙两人在距甲地100米处第二次相遇,求甲,乙两地的路程.5. 两列火车同时从相距910千米的两地相向出发,10小时后相遇,如果第一列车比第1二列车早出发4小时20分,那么在第二列火车出发8小时后相遇,求两列火车的速度.6. 某班同学去18千米的北山郊游.只有一辆汽车,需分两组,甲组先乘车,乙组步行.车行至A处,甲组下车步行,汽车返回接乙组,最后两组同时达到北山站.已知汽车速度是60千米/时,步行速度是4千米/时,求A点距北山站的距离.7. 通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。

二元一次方程组【四大题型】一、解二元一次方程组【高频考点精讲】1．用“代入法”解二元一次方程组的一般步骤（1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； （2）将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；（4）将求得未知数的值代入变形后的关系式，求出另一个未知数的值； （5）把求得的x 、y 的值写在一起，用的形式表示，就是方程组的解。

2．用“加减法”解二元一次方程组的一般步骤（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数；（2）把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求得x （或y ）的值；（4）将求得未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值； （5）把求得的x 、y 的值写在一起，用的形式表示，就是方程组的解。

【热点题型精练】1．（2023•无锡）下列4组数中，不是二元一次方程2x +y ＝4的解的是（ ） A ．{x =1y =2B ．{x =2y =0C ．{x =0.5y =3D ．{x =−2y =4解：A 、把x ＝1，y ＝2代入方程，左边＝2+2＝右边，所以是方程的解； B 、把x ＝2，y ＝0代入方程，左边＝右边＝4，所以是方程的解； C 、把x ＝0.5，y ＝3代入方程，左边＝4＝右边，所以是方程的解； D 、把x ＝﹣2，y ＝4代入方程，左边＝0≠右边，所以不是方程的解． 答案：D ．2．（2023•南通）若实数x ，y ，m 满足x +y +m ＝6，3x ﹣y +m ＝4，则代数式﹣2xy +1的值可以是（ ） A ．3B ．52C ．2D ．32解：由题意可得{x +y =6−m 3x −y =4−m，解得：{x =5−m 2y =7−m 2， 则﹣2xy +1＝﹣2×5−m 2×7−m2+1=−(5−m)(7−m)2+1 =−m 2−12m+352+1=−(m 2−12m+36)−12+1=−(m−6)22+32≤32，∵3＞52＞2＞32，∴A ，B ，C 不符合题意，D 符合题意， 答案：D ．3．（2023•眉山）已知关于x ，y 的二元一次方程组{3x −y =4m +1x +y =2m −5的解满足x ﹣y ＝4，则m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解：∵关于x 、y 的二元一次方程组为{3x −y =4m +1①x +y =2m −5②，①﹣②，得：2x ﹣2y ＝2m +6， ∴x ﹣y ＝m +3， ∵x ﹣y ＝4， ∴m +3＝4， ∴m ＝1． 答案：B ．4．（2022•株洲）对于二元一次方程组{y =x −1①x +2y =7②，将①式代入②式，消去y 可以得到（ ）A ．x +2x ﹣1＝7B ．x +2x ﹣2＝7C ．x +x ﹣1＝7D ．x +2x +2＝7解：{y =x −1①x +2y =7②，将①式代入②式，得x +2（x ﹣1）＝7， ∴x +2x ﹣2＝7， 答案：B ．5．（2022•雅安）已知{x =1y =2是方程ax +by ＝3的解，则代数式2a +4b ﹣5的值为 ．解：把{x =1y =2代入ax +by ＝3得：a +2b ＝3，则原式＝2（a +2b ）﹣5＝2×3﹣5＝6﹣5＝1． 答案：1．6．（2023•杭州二模）已知二元一次方程x +3y ＝14，请写出该方程的一组整数解 ． 解：x +3y ＝14， x ＝14﹣3y ， 当y ＝1时，x ＝11，则方程的一组整数解为{x =11y =1．答案：{x =11y =1（答案不唯一）．7．（2023•苏州一模）若一个二元一次方程的一个解为{x =2y =−1，则这个方程可能是 ．解：这个方程可能是：x +y ＝1，答案不唯一． 答案：x +y ＝1，答案不唯一． 8．（2023•连云港）解方程组{3x +y =8①2x −y =7②．解：{3x +y =8①2x −y =7②，①+②得：5x ＝15， 解得：x ＝3，将x ＝3代入①得：3×3+y ＝8， 解得：y ＝﹣1，故原方程组的解为：{x =3y =−1．二、由实际问题抽象出二元一次方程组【高频考点精讲】1．由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系；2．一般来说，有几个未知量就列出几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同类量；（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相符。

专题12二元一次方程组应用题知识网络重难突破知识点一二元一次方程组解决实际问题1、一般步骤：（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x，y）表示题目中的两个未知数；（2）找出能够表达实际问题全部含义的两个相等关系；（3）根据这些相等关系列出方程组；（4）解这个方程组，求出未知数的值；（5）检验求出的解是否符合实际意义；（6）写出答案.2、行程问题常用等量关系：（1）s vt=；（2）stv =；（3）svt =．3、工程问题常用等量关系：工作时间×工作效率=工作总量=工作总量工作时间工作效率=工作总量工作效率工作时间4、利润问题常用等量关系：（1）利润=售价-进价（成本）；（2）100%=⨯利润利润率进价； （3）售价=进价×（1+利润率）；（4）售价=标价×打折率．典例1（2019春•常州期末）《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x 钱，共同购买该物品的有y 人，则根据题意，列出的方程组是（ ）A ．8374y x y x -=⎧⎨-=⎩B ．8374y x y x -=⎧⎨-=-⎩C ．8374y x y x -=-⎧⎨-=-⎩D ．8374y x y y -=⎧⎨-=⎩ 【解答】解：设该物品的价格是x 钱，共同购买该物品的有y 人，依题意，得：8374y x y x -=⎧⎨-=-⎩．故选：B ．典例2（2019春•淮安区期末）甲、乙两人一起去检修300长的自来水管道，已知甲比乙每小时少修10m ，两人从管道的两端同时开始检修，3小时后完成任务．问：甲、乙每小时各检修多少m ？【解答】解：设甲每小时检修x 米，乙每小时检修y 米，根据题意得：3()30010x y x y +=⎧⎨=-⎩， 解得：4555x y =⎧⎨=⎩． 答：甲每小时检修45米，乙每小时检修55米．典例3（2019春•铜山区期末）某铁路桥长1000m ，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min ，整列火车完全在桥上的时间共40s ．求火车的速度和长度．【解答】解：设火车的速度为x 米/秒，火车的长度为y 米，由题意，得601000401000x y x y =+⎧⎨=-⎩， 解得：20200x y =⎧⎨=⎩． 答：火车的速度为20米/秒，火车的长度为200米．典例4（2019春•秦淮区期末）某商店销售甲、乙两种商品．现有如下信息：（1）请设计一张表格，并把上述信息中的已知数量填进去；（2）根据情境中的信息，提出一个问题，并用二元一次方程组解决这个问题．【解答】解：（1）可设计如下表格．（2）答案不唯一．例如，甲、乙两种商品零售单价分别是多少元？设甲商品零售单价为x 元/件，乙商品零售单价为y 元/件，根据题意，得53212x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得23x y =⎧⎨=⎩ 答：甲商品零售单价为2元/件，乙商品零售单价为3元/件．典例5（2018•广陵区二模）如图，三个全等的小矩形沿“横-竖-横”排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于 ．【解答】解：设小矩形的长为xm ，宽为ym ，由题意得：2 5.72 4.5x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得： 3.4x y +=．一个小矩形的周长为：3.42 6.8⨯=，故答案为：6.8．知识点二 方案选择问题优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，然后按照题目要求分别求出每种方案的具体结果，进行比较，最后选择最优方案。

二元一次方程组实际问题分类专题一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：1、审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；2、找：找出能够表示题意两个相等关系；3、列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；4、解：解这个方程组，求出两个未知数的值；5、答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案二、典型例题讲解题型一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，贤计划用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套题型二、列二元一次方程组解决行程问题2、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。

相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时候后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时后追上乐拖拉机，这时，汽车、拖拉机各行驶了多少千米？3、一轮船从甲地到乙地顺流航行需4小时，从乙地到甲地逆流航行需6小时，那么一木筏由甲地漂流到乙地需要多长时间？题型三、列二元一次方程解决商品问题4、在“五一”期间，某超市打折促销，已知A商品7.5折销售，B商品8折销售，买20件A商品与10件B商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件A商品和10件B商品共用1090元。

求A、B商品打折前的价格。

题型四、列二元一次方程组解决工程问题5、某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成，问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？题型五：列二元一次方程组解决增长问题6、某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全校在校生将增加9%，则该校现在有初中生多少人？在校高中生有多少人？。

（二元一次方程组实际应用〔1〕（列方程解应用题的根本关系量（〔1〕行程问题：速度×时间=路程顺水速度=静水速度—水流速度逆（水速度=静水速度—水流速度（2〕工程问题：工作效率×工作时间=工作量（3〕浓度问题：溶液×浓度=溶质（4〕银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间（二元一次方程组解决实际问题的根本步骤（1、审题，搞清量和待求量，分析数量关系.〔审题，寻找等量关系〕（2、考虑如何根据等量关系设元，列出方程组．〔设未知数，列方程组〕（3、列出方程组并求解，得到答案．〔解方程组〕（4、检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．〔检验,答〕（列方程组解应用题的常见题型（1〕和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量（2〕产品配套问题：加工总量成比例（3〕速度问题：速度×时间=路程（4〕航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类（1．顺流〔风〕：航速=静水〔无风〕中的速度+水〔风〕速（2．逆流〔风〕：航速=静水〔无风〕中的速度--水〔风〕速（5〕工程问题：工作量=工作效率×工作时间（一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位一的工程问（题（6〕增长率问题：原量×〔1＋增长率〕=增长后的量，原量×〔1＋减少率〕（=减少后的量（7〕浓度问题：溶液×浓度=溶质（8〕银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率（9〕利润问题：利润=售价—进价，利润率=〔售价—进价〕÷进价×100%（10〕盈亏问题：关键从盈〔过剩〕、亏〔缺乏〕两个角度把握事物的总量（11〕数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示（12〕几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式（13〕年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的【典题精析】例1〔南京市〕某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？解析：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆.由题意，得x y 50,6x4y230.x15,解得，35.y故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.例2〔四川省眉山市〕某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨获利〔元〕100250450现在该公司收购了140吨蔬菜，该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨〔两种加工不能同时进行〕．〔1〕如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成以下表格：销售方式全部直接全部粗加工尽量精加工，剩余局部销售后销售直接销售获利〔元〕〔2〕如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，那么应如何分配加工时间？解：〔1〕全部直接销售获利为：100×140=14000〔元〕；全部粗加工后销售获利为：250×140=35000〔元〕；尽量精加工，剩余局部直接销售获利为：450×〔6×18〕＋100×〔140－6×18〕=51800〔元〕.〔2〕设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工.由题意，得x y15,6x16y140.x10,解得，y 5.故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.1、小华买了10分与20分的邮票共16枚，花了2元5角，问10分与20分的3、〔分配问题〕某幼儿园分萍果，假设每人3个，那么剩2个，假设每人4个，邮票各买了多小？解；设共买x枚10分邮票，y枚20分邮票那么有一个少1个，问幼儿园有几个小朋友？解：设幼儿园有x个小朋友，题中的两个相等关系：萍果有y个=总枚数1、10分邮票的枚数可列方程为：+20分邮票的枚数题中的两个相等关系：1、萍果总数可列方程为：2、萍果总数=每人分=3个+2、10分邮票的总价+=全可列方程为：部邮票的总价可列方程为：10X+=4、〔金融分配问题〕需要用多少每千克售元的糖果才能与每千克售元的糖果混合成每千克售糖果为x千克，每千克售元的杂拌糖200千克？解：设每千克售元的糖果为y千克元的2、小兰在玩具工厂劳动，做题中的两个相等关系：4个小狗、7个小汽车用去3小时42分，做5个元的糖果销售总价+=1、每千克售小狗、6个小汽车用去3小时37分，平均做1个小狗、1个小汽车各用多少时可列方程为：间？2、每千克售元的糖果重量+=题中的两个相等关系：可列方程为：1、做4个小狗的时间+=3时42分可列方程为：2、+做6个小汽车的时间=3时37分可列方程为：二元一次方程组实际应用〔1〕〔李老师〕姓名：一、和差倍分例1、甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，那么乙盒球就是甲盒球数的6倍，假设从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少？例2、我区某学校原方案向内蒙察右旗地区的学生捐赠3500册图书，实际共捐赠了4125册，其中初中学生捐赠了原方案的120%，高中学生捐赠了原方案的115%，问初中学生和高中学生各比原方案多捐赠了图书多少册？例3、(2021年浙江省宁波市)为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费下表是该市居民“一户一表〞生活用水阶梯式计费价格表的一局部信息：小王家2021年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元,求a,b的值自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨及以下a超过17吨不超过30吨的局部b超过30吨的局部例4、为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，方案撤除一局部旧校舍，建造新校舍，撤除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.方案在年内撤除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了方案的80%，而撤除旧校舍那么超过了方案的10%，结果恰好完成了原方案的拆、建总面积.1〕求：原方案拆、建面积各是多少平方米？2〕假设绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？同步练习：1、班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，假设设男生人数为x人，女生人数为y人，那么可列方程组为2、甲乙两数的和为10，其差为2，假设设甲数为x，乙数为y，那么可列方程组为3、某工厂现在年产值是150万元，如果每增加1000元的投资一年可增加2500元的产值，设新增加的投资额为x万元，总产值为y万元，那么x,y所满足的方程为4、学校购置35张电影票共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，设甲种票x张，乙种票y张，那么列方程组，方程组的解是5、一根木棒长8米，分成两段，其中一段比另一段长1米，求这两段的长时，设其中一段为x米，另一段为y，那么列的二元一次方程组为6、〔2021广东肇庆〕顺安旅行社组织200人到怀集和德庆旅游，到德庆的人数是到怀集的人数的2倍少1人，那么到两地旅游的人数各分别为7、〔2021湖北咸宁〕某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，那么入住单人间和双人间各5个共需元．8、在一次足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在足球比赛的4场比赛中得6分，那么这个队胜了场，平了场，负了场。

实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的根本思想列方程组解应用题是把"未知〞转化为"〞的重要方法，它的关键是把量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的根本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行.这类问题比拟直观，画线段,用图便于理解与分析.其等量关系式是:两者的行程差＝开场时两者相距的路程；；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行.这类问题也比拟直观，因而也画线段图帮助理解与分析.这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程.(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速.注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.3．商品销售利润问题：(1)利润＝售价－本钱(进价)；(2)；(3)利润＝本钱〔进价〕×利润率；(4)标价＝本钱(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；注意："商品利润＝售价－本钱〞中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.〔例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十〕4．储蓄问题：(1)根本概念①本金：顾客存入银行的钱叫做本金.②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息.③本息和：本金与利息的和叫做本息和.④期数：存入银行的时间叫做期数.⑤利率：每个期数的利息与本金的比叫做利率.⑥利息税：利息的税款叫做利息税.(2)根本关系式①利息＝本金×利率×期数②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数)③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率.④税后利息＝利息× (1－利息税率) ⑤年利率＝月利率×12 ⑥月利率=年利率1 12 .注意：免税利息=利息5．配套问题：解这类问题的根本等量关系是：总量各局部之间的比例=每一套各局部之间的比例.6．增长率问题：解这类问题的根本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；原量×(1－减少率)＝减少后的量.7．和差倍分问题：解这类问题的根本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.8．数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当n 为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的根本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.10．几何问题：解决这类问题的根本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11．年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的12．优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排.需要从几种方案中，选择最正确方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最正确方案.注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比拟几种方案得出最正确方案.知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.要点诠释：(1)解实际应用问题必须写"答〞，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2)"设〞、"答〞两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.(4)列方程组解应用题应注意的问题①弄清各种题型中根本量之间的关系； ②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息； ③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，防止与路程单位混淆； ⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件； ⑥列方程组解应用题一定要注意检验.类型一：列二元一次方程组解决——行程问题1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨：画直线型示意图理解题意：(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程.(2)有两个等量关系： ①相向而行：汽车行驶113小时的路程＋拖拉机行驶113小时的路程＝160千米; ②同向而行：汽车行驶12小时的路程＝拖拉机行驶112⎛⎫+ ⎪⎝⎭小时的路程. 解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.根据题意，列方程组()4160,311122x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 解这个方程组，得: 90,30x y =⎧⎨=⎩ 1111901165,3011853232⎛⎫⎛⎫⨯+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略.类型二：列二元一次方程组解决——工程问题2．一家商店要进展装修，假设请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；假设先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？思路点拨：此题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：假设请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：假设先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元.设甲组单独做一天商店应付*元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8〔*+y〕=3520,由第二层含义可得方程6*+12y=3480.解：(1)设甲组单独做一天商店应付*元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得：解得答：甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元.(2)单独请甲组做，需付款300×12＝3600元，单独请乙组做，需付款24×140＝3360元，故请乙组单独做费用最少.答：请乙组单独做费用最少.总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进展分析.类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元.价风格整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？思路点拨：做此题的关键要知道：利润＝进价×利润率解：甲商品的进价为*元，乙商品的进价为y元，由题意得：，解得：答：两件商品的进价分别为600元和400元.类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？〔利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税〕思路点拨：设教育储蓄存了*元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：教育储蓄一年定期合计现在x y一年后 2.25%+⨯ 2.25%80%x x+⨯⨯2042.75y y解：设存一年教育储蓄的钱为*元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：，解得：答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.总结升华: 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题5．*服装厂生产一批*种款式的秋装，每2米的*种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现方案用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路点拨：此题的第一个相等关系比拟容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题 6. *工厂去年的利润〔总产值—总支出〕为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？思路点拨：设去年的总产值为*万元，总支出为y 万元，则有总产值〔万元〕 总支出〔万元〕 利润〔万元〕 去年* y 200 今年 120%* 90%y 780 根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的量和未知量，可以列出两个等式.解：设去年的总产值为*万元，总支出为y 万元，根据题意得： ，解之得：答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元总结升华：当题的条件较多时，可以借助图表或图形进展分析.类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题7.〔2011年丰台区中考一摸试题〕"爱心〞帐篷厂和"温暖〞帐篷厂原方案每周生产帐篷共9千顶，现*地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，"爱心〞帐篷厂和"温暖〞帐篷厂一周制作的帐篷数分别到达了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周，"爱心〞帐篷厂和"温暖〞帐篷厂各生产帐篷多少千顶？思路点拨：找出量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据方案前后，倍数关系由量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组.解：设原方案"爱心〞帐篷厂生产帐篷*千顶,"温暖〞帐篷厂生产帐篷y 千顶，由题意得：9,1.6 1.514x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：5,4x y =⎧⎨=⎩所以：1.6*=1.65=8, 1.5y =1.54=6答："爱心〞帐篷厂生产帐篷8千顶,"温暖〞帐篷厂生产帐篷6千顶.类型八：列二元一次方程组解决——数字问题8. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数.思路点拨：设较大的两位数为*，较小的两位数为y.问题1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100*＋y 问题2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为： 100y ＋*解：设较大的两位数为*，较小的两位数为y.依题意可得：，解得：答：这两个两位数分别为45，23.类型九：列二元一次方程组解决——浓度问题9．现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg ，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？思路点拨：此题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：〔1〕甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和＝50；〔2〕混合前两种溶液所含纯酒精质量之和＝混合后的溶液所含纯酒精的质量；〔3〕混合前两种溶液所含水的质量之和＝混合后溶液所含水的质量；〔4〕混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比＝混合后溶液所含纯酒精与水的比.解：法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取*kg , ykg.依题意得：，答：甲取20kg，乙取30kg法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取10*kg和5ykg，则甲种酒精溶液含水7*kg，乙种酒精溶液含水ykg，根据题意得：，所以 10*=20,5y=30.答：甲取20kg，乙取30kg总结升华：此题的第〔1〕个相等关系比拟明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等.用它们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了.列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么.有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数.类型十：列二元一次方程组解决——几何问题10．如图，用8块一样的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？思路点拨：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为*，宽为y，就可以列出关于*、y的二元一次方程组.解：设长方形地砖的长*cm,宽ycm，由题意得：，答：每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm.总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在*些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解.类型十一：列二元一次方程组解决——年龄问题11．今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？思路点拨：解此题的关键是理解"6年后〞这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁.今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方程.解：设现在父亲*岁，儿子y岁，根据题意得：，答：父亲现在30岁，儿子6岁.总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化〔增大、减小〕了，其他人也一样增大或减小，并且增大〔或减小〕的岁数是一样的〔一样的时间〕.类型十二：列二元一次方程组解决——优化方案问题：12．*地生产一种绿色蔬菜，假设在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进展粗加工，每天可以加工16吨；如果进展细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进展. 受季节条件的限制，公司必须在15天之将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进展粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进展精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将局部蔬菜进展精加工，其余蔬菜进展粗加工，并恰好在15天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？思路点拨：如何对蔬菜进展加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题. 此题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.解：方案一获利为：4500×140=630000(元).方案二获利为：7500×(6×15)+1000×(140－6×15)=675000+50000=725000(元).方案三获利如下：设将吨蔬菜进展精加工，吨蔬菜进展粗加工，则根据题意，得：，解得：所以方案三获利为：7500×60+4500×80=810000(元).因为630000＜725000＜810000，所以选择方案三获利最多答：方案三获利最多，最多为810000元.总结升华：优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，再进展比拟从中选择最优方案.。

二元一次方程组与实际问题一、本节学习指导应用题从小学以来都是比较难学的，但是通过解决应用题可以把知识运用到实际生活中。

涉及到二元一次方程组的实际问题有些复杂，我们需要熟悉几种常见的题型，课后适当的做一些练习，锻炼一下思维。

做数学题如何想到下一步很关键，就是我一直说的思路。

希望同学们认真学习本节，这一节在考试中分值还是比较大的。

二、知识要点1、实际问题与二元一次方程组（1）、利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程为：审题并找出数量关系式-> 设元（设未知数）-> 根据数量关系式列出方程组-> 解方程组-> 检验并作答（注意：此步骤不要忘记）（2）、列方程组解应用题的常见题型：（1）、和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量- 较小量= 相差量,总量= 倍数×倍量；（2）、产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比例；（3）、速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程= 速度×时间，包括相遇问题、追及问题等；（4）、航速问题：①、顺流（风）：航速= 静水（无风）时的速度+ 水（风）速；②、逆流（风）：航速= 静水（无风）时的速度- 水（风）速；（5）、工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作总量= 工作效率×工作时间，（有时需把工作总量看作1）；（6）、增长率问题：解这类问题的基本关系式是：原量×（1+增长率）= 增长后的量，原量×（1-减少率）= 减少后的量；（7）、盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量；（8）、数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示；（9）、几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式；（10）、年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等。

2、三元一次方程组的解法（1）、概念：由三个方程组成方程组，且方程组**含有三个未知数，每个方程中含有的未知数的次数都是1次，这样的方程组叫三元一次方程组。