2019-2020学年高中数学 第一章 常用逻辑用语复习小结测标题新人教A版选修2-1

word第一章 常用逻辑用语注意事项：1．答题前，先将自己的某某、某某号填写在试题卷和答题卡上，并将某某号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知原命题“若2a b +>，则a 、b 中至少有一个不小于1”，原命题与其逆命题的真假情况是（ ） A ．原命题为假，逆命题为真 B ．原命题为真，逆命题为假 C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题2．已知命题p ：∀x ∈R ，0x a >(a >0且a ≠1)，则（ ） A ．¬p ：∀x ∈R ，0x a ≤ B ．¬p ：∀x ∈R ，0x a > C ．¬p ：0x ∃∈R ，00x a >D ．¬p ：0x ∃∈R ，00x a ≤3．若命题“p ∧q ”为假，且“¬p ”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假4．“a ＝－3”是“圆22=1x y +与圆()224x a y ++=相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知p 是R 的充分不必要条件，s 是R 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．设x 、y 、z ∈R ，则“lg y 为lg x ，lg z 的等差中项”是“y 是x ，z 的等比中项”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有20x >；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝8．命题“t a n x ＝0”是命题“co sx ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知命题p ：“对x ∀∈R ，m ∃∈R ，使4210x x m ++=”．若命题¬p 是假命题， 则实数m 的取值X 围是（ ） A ．－2≤m ≤2 B ．m ≥2C ．m ≤－2D ．m ≤－2或m ≥210．下列命题中，错误的是（ ）A ．命题“若2560x x -+=，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则2560x x -+≠”B ．已知x ，y ∈R ，则x ＝y 是22x y xy +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立的充要条件C ．命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则¬p ：x ∀∈R ，则210x x ++≥D ．已知命题p 和q ，若p q ∨为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 11．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；word②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆2212x y +=相切． 其中真命题的序号是（ ） A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③12．设a 、b ∈R ，现给出下列五个条件：①a ＋b ＝2；②a ＋b >2；③a ＋b >－2； ④ab >1；⑤log ab <0，其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件为（ ） A ．②③④ B ．②③④⑤C ．①②③⑤D ．②⑤二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．命题“若|x |>1，则x >1”的否命题是__________________．(填“真”或“假”) 14．写出命题“若方程()200ax bx c a -+=≠的两根均大于0，则0ac >”的一个等价命题是______________________________________________．15．已知p (x )：220x x m +->，如果p （1）是假命题，p （2）是真命题，则实数m 的取值X 围是__________________．16．若p 的逆命题是r ，r 的否命题是s ，则s 是p 的否命题的__________________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)命题：已知a 、b 为实数，若关于x 的不等式20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥，写出命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．18．(12分)写出下列命题的否定，并判断其真假： （1）p ：∀m ∈R ，方程20x x m +-=必有实数根； （2）q ：∃x ∈R ，使得210x x ++≤．word19．(12分)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，{}2430Q x x x =-+<，且x P ∈是x Q ∈的必要条件，某某数a 的取值X 围．20．(12分)已知命题p ：1,[]1m -∀∈，不等式253a a --≥；命题q ：∃x ，使不等式220x ax ++<．若p 或q 是真命题，¬q 是真命题，求a 的取值X 围．word21．(12分)求使函数()()()2245413f x a a x a x +---+=的图象全在x 轴上方成立的充要条件．22．(12分)已知命题p ：方程2220x ax a +-=在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数0x 满足不等式200220x ax a ++≤，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值X 围．word2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语（二）答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】B【解析】逆否命题为：a ，b 都小于1，则a +b ≤2是真命题，所以原命题是真命题， 逆命题为：若a 、b 中至少有一个不小于1，则2a b +>，例如，当a =2，b =﹣2时，满足条件，当()220a b +=+-=，这与2a b +>矛盾，故为假命题．故选B ． 2．【答案】D【解析】∵命题p 为全称命题，∴¬p 为特称命题，由命题的否定只否定结论知0x a >的否定为0xa ≤，∴故选D ． 3．【答案】B【解析】∵“¬p ”为假，∴p 为真，又∵p ∧q 为假，∴q 为假，p 或q 为真．故选B ． 4．【答案】A【解析】当3a =-时，圆()2234x y -+=的圆心为()3,0，半径12R =， 与圆221x y +=相外切，当两圆相内切时，a ＝±1，故选A ． 5．【答案】A【解析】图示法/p R s q⇒⇐⇒⇒，故/q p ⇒，否则q ⇒p ⇒R ⇒q ⇒p ，则R ⇒p ，故选A ． 6．【答案】A【解析】由题意得，“lg y 为lg x ，lg z 的等差中项”，则22lg lg lg y x z y xz =+⇒=，则“y 是x ，z 的等比中项”；而当2y xz =时，如1x z ==，1y =-时，“lg y 为lg x ，lg z 的等差中项”不成立， 所以“lg y 为lg x ，lg z 的等差中项”是“y 是x ，z 的等比中项”的充分不必要条件， 故选A ． 7．【答案】D【解析】命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以选项D 正确．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断． 8．【答案】B【解析】x ＝π时，t a n x ＝0，但co sx ＝－1；co sx ＝1时，s in x ＝0，故t a n x ＝0． 所以“t a n x ＝0”是“co sx ＝1”的必要不充分条件． 9．【答案】C【解析】由题意可知命题p 为真，即方程4210x x m ++=有解，∴4122x x m +=-≤--，当且仅当0x =时取等号，所以m ≤－2．10．【答案】D【解析】由逆否命题的定义知A 正确；当x ＝y 时，22x y xy +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立；22x y xy +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭||2x y +≥，故x ＝y ，∴B 为真命题；由特称命题的否定为全称命题知C 为真命题；∵p q ∨为假，∴p 假且q 假，∴D 为假命题． 11．【答案】C【解析】对于①，设球半径为R ，则34π3V R =，12R R =， ∴33141π1π3268R V R V ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，故①正确； 对于②，两组数据的平均数相等，标准差一般不相等； 对于③，圆心()0,0，圆心()0,0到直线的距离d =，故直线和圆相切，故①，③正确． 12．【答案】D【解析】①2a b +=可能有1a b ==；word②a ＋b >2时，假设a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2矛盾； ③a ＋b >－2可能a <0，b <0； ④ab >1，可能a <0，b <0；⑤log ab <0，∴0<a <1，b >1或a >1，0<b <1，故②⑤能推出．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】真【解析】原命题的否命题为“若|x |≤1，则x ≤1”， ∵|x |<1，∴－1<x <1，故原命题的否命题为真命题．14．【答案】若a c≤0，则方程()200ax bx c a -+=≠的两根不全大于0． 【解析】根据原命题与它的逆否命题是等价命题可直接写出． 15．【答案】3≤m <8【解析】∵p （1）是假命题，p （2）是真命题，∴3080m m -≤⎧⎨->⎩，解得3≤m <8．16．【答案】逆命题【解析】解法1：依据四种命题的关系图解．由图示可知？处应为互逆关系． 解法2：用特殊命题探究p ：若x >2，则x >1，r ：若x >1，则x >2，s ：若x ≤1，则x ≤2，p 的否命题：若x ≤2，则x ≤1，故s 是p 的否命题的逆命题．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】见解析．【解析】逆命题，已知a 、b 为实数，若240a b -≥，则关于x 的不等式20x ax b ++≤有非空解集．否命题：已知a 、b 为实数，若关于x 的不等式20x ax b ++≤没有非空解集， 则240a b -<．逆否命题：已知a 、b 为实数，若240a b -<，则关于x 的不等式20x ax b ++≤没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题． 18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）¬p ：∃m ∈R ，使方程20x x m +-=无实数根．若方程20x x m +-=无实数根，则140Δ=m +<，∴14m <-，∴¬p 为真．（2）¬q ：∀x ∈R ，使得210x x ++>．∵22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，∴¬q 为真．19．【答案】－1≤a ≤5．【解析】P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}．∵x P ∈是x Q ∈的必要条件，∴x Q ∈⇒x P ∈，即Q ⊆P ． ∴4143a a -≤⎧⎨+≥⎩，51a a ≤⎧⎨≥-⎩，∴－1≤a ≤5．20．【答案】221a -≤≤-．【解析】根据p 或q 是真命题，¬q 是真命题，得p 是真命题，q 是假命题．∵,1[]1m ∈-2822,3m ⎡⎤+⎣⎦． 因为1,[]1m -∀∈，不等式22538a a m --=+2533a a --≥，∴a ≥6或a ≤－1．故命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1．又命题q ：∃x ，使不等式220x ax ++<，∴280Δ=a ->，∴22a >22a <- 从而命题q 为假命题时，2222a -≤word所以命题p 为真命题，q 为假命题时，a 的取值X 围为1a -≤≤-． 21．【答案】1≤a <19．【解析】∵函数()f x 的图象全在x 轴上方，∴()()22245016144530a a Δa a a ⎧+->⎪⎨=--+-⨯<⎪⎩，或245010a a a ⎧+-=⎨-=⎩， 解得1<a <19或a ＝1，故1≤a <19．所以使函数()f x 的图象全在x 轴的上方的充要条件是1≤a <19． 22．【答案】{a |a >2或a <－2}．【解析】由2220x ax a +-=得(2x －a )(x ＋a )＝0，∴2ax =或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时12a≤或|－a |≤1，∴|a |≤2． 又“只有一个实数0x 满足200220x ax a ++≤”，即抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，∴2480Δ=a a -=，∴a ＝0或a ＝2． ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2． ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2． ∵命题“p 或q ”为假命题，∴a >2或a <－2． 即a 的取值X 围为{a |a >2或a <－2}．。

1．2 集合间的基本关系1．下列四个关系式：①{a，b}⊆{b，a}；②∅＝{∅}；③∅{0}；④0∈{0}．其中正确的个数是( )A．4 B．3C．2 D．1[解析] 对于①，任何集合是其本身的子集，正确；对于②，相对于集合{∅}来说，∅∈{∅}，也可以理解为∅⊆{∅}，错误；对于③，空集是非空集合的真子集，故∅{0}正确；对于④，0是集合{0}的元素，故0∈{0}正确．[答案] B2．集合A＝{x|－1≤x<2，x∈N}的真子集的个数为( )A．4 B．7C．8 D．16[解析] A＝{－1,0,1}，其真子集为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，共有22－1＝4(个)．[答案] A3．已知集合A＝{3，－1}，集合B＝{|x－1|，－1}，且A＝B，则实数x等于( ) A．4 B．－2C．4或－2 D．2[解析] ∵A＝B，∴|x－1|＝3，解得x＝4或x＝－2.[答案] C4．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．[解析] 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．[答案] 65．设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B⊆A.(1)求实数m的取值范围；(2)当x∈N时，求集合A的子集的个数．[解] (1)当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝∅，符合题意．当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠∅.由B⊆A，借助数轴(如图)，得⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－1，2m ＋1≤6，解得0≤m ≤52. 综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m <－2或0≤m ≤52.(2)当x ∈N 时，A ＝{0,1,2,3,4,5,6}， ∴集合A 的子集的个数为27＝128.。

2019新人教版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语知识点总结的表示法是将a放在大括号中，表示一个只含有a这一个元素的集合。

2）描述法中，要注意符号的使用和表达的准确性。

3）在交集与并集的性质中，要注意交集和并集的交换律和结合律。

4）在全集和补集的性质中，要注意补集的定义和符号的使用。

第一章集合和常用逻辑用语1.1 集合的含义和表示集合是由一些元素组成的总体。

元素具有确定性、互异性和无序性。

我们通常用大写的拉丁字母A、B、C等表示集合，用小写拉丁字母a、b、c等表示元素。

如果元素x在集合A中，我们称x属于A，记为x∈A，否则称x不属于A，记作x∉A。

常用的数集有非负整数集（即自然数集）记作N，正整数集记作N*或N+，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。

集合的表示法有列举法、描述法和图示法。

列举法是把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法是用集合所含元素的公共特征表示集合的方法，可以用语言描述法和数学式子描述法。

图示法是用Venn图表示集合和元素之间的关系。

1.2 集合间的基本关系集合间有“包含”关系和“相等”关系。

如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为A⊆B，例如N⊆Z。

子集的个数为2的n次方（n为集合中元素个数）。

如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。

真子集的个数为2的n次方减1（n为集合中元素个数）。

如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。

空集是不含任何元素的集合，用∅来表示。

空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

1.3 集合的基本运算集合有交集和并集两种基本运算。

交集是指集合A和集合B中共同拥有的元素组成的集合，记为A∩B。

并集是指集合A和集合B中所有元素组成的集合，记为A∪B。

交集和并集有交换律和结合律。

全集是指包含所有元素的集合，通常用U来表示。

补集是指集合A中不属于集合B的元素组成的集合，记为CBA。

章末综合测评(一) 常用逻辑用语(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句中是命题的为()①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④∀x∈R,5x－3>6．A．①③B．②③C．②④D．③④D[①不能判断真假，②是疑问句，都不是命题；③④是命题．]2．命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是() A．若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等B．若△ABC中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形C．若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形D．若△ABC中任何两个内角相等，则它是等腰三角形C[将原命题的条件否定作为结论，为“△ABC是等腰三角形”，结论否定作为条件，为“有两个内角相等”，再调整语句，即可得到原命题的逆否命题，为“若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形”，故选C．]3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B[根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B．]4．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．]5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立B ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立C ．∀x ∈R ，使得f (x )＞0成立D ．∀x ∈R ，f (x )≤0成立A [“关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于“存在实数x 0，使得f (x 0)＞0成立”．故选A ．]6．若命题(p ∨(q ))为真命题，则p ，q 的真假情况为( )A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假C [由(p ∨(q ))为真命题知，p ∨(q )为假命题，从而p 与q 都是假命题，故p 假q 真．]7．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x ≤1B [因为全称命题∀x ∈M ，p (x )的否定为∃x 0∈M ，p (x )，故p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1．]8．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0＜0．下列选项中为真命题的是( )A ．pB ．p ∨qC ．q ∧pD ．qC [很明显命题p 为真命题，所以p 为假命题；由于函数y ＝2x ，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以q 是真命题．所以p ∨q 为假命题，q ∧p 为真命题，故选C ．]9．条件p ：x ≤1，且p 是q 的充分不必要条件，则q 可以是( )A ．x >1B ．x >0C ．x ≤2D ．－1<x <0B [∵p ：x ≤1，∴p ：x >1，又∵p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q ，q 推不出p ，即p 是q 的真子集．]10．下列各组命题中，满足“p ∨q ”为真，且“p ”为真的是( )A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：在△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；q ：函数y ＝sin x 在第一象限是增函数C ．p ：a ＋b ≥2ab (a ，b ∈R )；q ：不等式|x |>x 的解集为(－∞，0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：过点M (0,1)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切的直线有两条C [A 中，p 、q 均为假命题，故“p ∨q ”为假，排除A ；B 中，由在△ABC 中，cos 2A ＝cos 2B ，得1－2sin 2A ＝1－2sin 2B ，即(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝0，所以A －B ＝0，故p 为真，从而“p ”为假，排除B ；C 中，p 为假，从而“p ”为真，q 为真，从而“p ∨q ”为真；D 中，p 为真，故“p ”为假，排除D ．故选C ．] 11．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值X 围为( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]A [由题意知p ，q 均为假命题，则p ，q 为真命题．p ：∀x ∈R ，mx 2＋1>0，故m ≥0，q ：∃x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0，则Δ＝m 2－4≥0，即m ≤－2或m ≥2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2得m ≥2．故选A ．] 12．设a ，b ∈R ，则“2a ＋2b ＝2a ＋b ”是“a ＋b ≥2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [利用基本不等式，知2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ·2b ，化简得2a ＋b ≥22，所以a ＋b ≥2，故充分性成立；当a ＝0，b ＝2时，a ＋b ＝2,2a ＋2b ＝20＋22＝5,2a ＋b ＝22＝4，即2a ＋2b ≠2a ＋b ，故必要性不成立．故选A ．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．命题“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”的逆否命题是________．若－3≤x ≤2，则x 2＋x －6≤0[“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”即为：“若x 2＋x －6>0，则x <－3或x >2”，根据逆否命题的定义可得：若－3≤x ≤2，则x 2＋x －6≤0．]14．写出命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的否命题为________．若x 2≠4，则x ≠2且x ≠－2 [命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的否命题为“若x 2≠4，则x ≠2且x ≠－2”．]15．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________． (－∞，－1][命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题．则∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0是真命题，∴Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1．∴实数a 的取值X 围是(－∞，－1]．]16．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值X 围是________．[－1,6][p ：－4<x －a <4⇔a －4<x <a ＋4，q ：(x －2)(3－x )>0⇔2<x <3．因为p 是q 的充分条件，即p ⇒q ，所以q 是p 的充分条件，即q ⇒p ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6．] 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．[解]“若p ，则q ”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．(真命题)逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．(真命题) 否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．(真命题)逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．(真命题)18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．(1)q ：所有的矩形都是正方形；(2)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(3)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋3＝0．[解](1)q ：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题． (2)r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)s ：∀x ∈R ，x 3＋3≠0，假命题．这是由于当x ＝－33时，x 3＋3＝0． 19．(本小题满分12分)(1)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件？(2)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件？[解](1)欲使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊆{x |x <－1或x >3}， 则只要－m 2≤－1，即m ≥2， 故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊇{x |x <－1或x >3}， 则这是不可能的，故不存在实数m 使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件．20．(本小题满分12分)已知p ：x 2－8x －33>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0(a >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值X 围．[解]解不等式x 2－8x －33>0，得p ：A ＝{x |x >11或x <－3}；解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0，得q ：B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q 但q p ，说明A B ．于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤11，1－a >－3或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a <11，1－a ≥－3，解得0<a ≤4，所以正实数a 的取值X 围是(0,4]．21．(本小题满分12分)证明：函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a ＝1． [证明](充分性)若a ＝1，则函数化为f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )．因为f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝12x－112x ＋1＝1－2x 1＋2x＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数． (必要性)若函数f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，所以a ·2－x ＋a －22－x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1， 所以a ＋(a －2)·2x 2x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1， 所以a ＋(a －2)·2x ＝－a ·2x －a ＋2，所以2(a －1)(2x ＋1)＝0，解得a ＝1．综上所述，函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a ＝1． 22．(本小题满分12分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R ．若p ∨q 为真，q 为假，某某数m 的取值X 围．[解]由方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根，得Δ＝m 2－4>0，解得m >2或m <－2． ∴命题p 为真时，m >2或m <－2；命题p 为假时，－2≤m ≤2．由不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R ，得方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0的根的判别式Δ′＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3．∴命题q 为真时，1<m <3；命题q 为假时，m ≤1或m ≥3．∵p ∨q 为真，q 为假，∴p 真q 假，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >2或m <－2，m ≤1或m ≥3，解得m <－2或m ≥3． ∴实数m 的取值X 围为(－∞，－2)∪[3，＋∞)．。

高中数学必修 1 知识梳理（新教材）第一章集合与常用逻辑用语一、集合的概念1.集合的定义：某些指定的对象集在一起就构成一个集合，集合中的每个对象叫集合的元素。

2.元素的性质：(1)确定性。

给定一个集合，集合中的元素是确定的；(2)互异性。

集合里不允许有相同的元素重复出现；(3)无序性。

集合里的元素构成与元素的顺序无关。

3.元素与集合的关系：属于“∈”与不属于“∉”的关系。

4.集合的表示方法：(1)列举法。

把集合中的元素一一列举出来。

(2)描述法。

集合中的元素公共属性描述出来。

(3)图示法。

①Venn 图：用一条封闭的曲线的内部来表示的一个集合。

如用V enn 图表示A包含于B。

AB②数轴法。

5.集合的分类(1)有限集。

含有有限个元素的集合；(2)无限集。

含有无限个元素的集合；(3)空集∅。

不含任何元素的集合。

6.常用集合(1)N：非负整数集 (或自然数集)(2)N*或N+：正整数集(3)Z：整数集(4)Q：有理数集(5)R：实数集二、集合间的基本关系1.包含关系：（1）子集：对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)。

规定：①任何一个集合是它本身的子集。

对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。

②空集是任何集合的子集；空集是是任何非空集合的真子集。

（2）真子集：如果集合 A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合 A 是集合 B的真子集，记作 A⊊ B2.相等关系：例如：A={4,1, 2,3} , B={1, 2,3, 4}，记作：{A⊆BB⊆A⟺A=B。

即A，B中的元素是一样的。

3.关于子集的结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n 个，其真子集数为2n - 1个，其非空真子集数为2n - 2 个，其非空子集数为2n - 1个。

特别地，空集的子集个数为 1，真子集个数为 0。

三、集合的基本运算1. 交集： 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与B 的交集，记作 A∩B 。

2019-2020年高一数学 第一章 集合与常用逻辑用语 新人教A 版1.1 集合的概念与运算 一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若A a ∉则B a ∈），则称集合A 为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ；如果A ⊆B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A.4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ⊆B 、B ⊇A ，则A=B.5.补集：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为 A C s .6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ⋂B.8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ⋃B.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N +或N *，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R .二、疑难知识1.符号⊆，，⊇，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“⊆”包括“”和“=”两种情况，同样“⊇”包括“”和“=”两种情况.符号∈，∉表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B =Φ易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用. 9.含有n 个元素的集合的所有子集个数为：n 2，所有真子集个数为：n 2-1三、经典例题[例1] 已知集合M={y |y =x 2＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ）A ．（0，1），（1，2）B ．{（0，1），（1，2）}C ．{y|y=1,或y=2}D ．{y|y≥1}错解：求M∩N 及解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或 ⎩⎨⎧==21y x ∴选B 错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y )，因此M 、N 是数集而不是点集,M 、N 分别表示函数y =x 2＋1(x∈R)，y =x ＋1(x∈R)的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集．正解：M={y |y =x 2＋1,x∈R}={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R}．∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, ∴应选D ．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x2＋1,x ∈R}、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ．错解：由x 2－3x ＋2=0得x =1或2．当x =1时，a =2， 当x =2时，a=1．错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A .当a =0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或 ∴C={0，1，2}[例3]已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有： （ ）A ．m +n ∈A B. m +n ∈B C.m +n ∈C D. m +n 不属于A ，B ，C 中任意一个错解：∵m ∈A ，∴m =2a ,a Z ∈,同理n =2a +1,a ∈Z, ∴m +n =4a +1,故选C错因是上述解法缩小了m +n 的取值范围.正解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z, 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z ,∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B, 故选B.[例4］ 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若BA ，求实数p 的取值范围．错解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x≤5．欲使B A ，只须3351212≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-+≤-p p p∴ p 的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设． 正解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5.由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2}．若A=B ，求c 的值．分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2－2ac=0，a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c 2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．（2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2－ac －a=0，∵a≠0，∴2c 2－c －1=0，即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－21．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6] 设A 是实数集，满足若a∈A，则a-11∈A ，1≠a 且1∉A.⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－a1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒ 21∈A ⇒ 2∈A ∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a-11即12+-a a ＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶a∈A ⇒ a -11∈A ⇒ a --1111∈A ⇒111---a a ∈A ，即1－a 1∈A ⑷由⑶知a∈A 时，a-11∈A， 1－a 1∈A .现在证明a,1－a 1, a -11三数互不相等.①若a=a -11,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a ≠a-11②若a=1－a 1，即a 2-a+1=0，方程无解∴a ≠1－a1 ③若1－a 1 =a -11，即a2-a+1=0，方程无解∴1－a 1≠a -11.综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.四、典型习题1．集合A={x|x 2－3x －10≤0，x ∈Z}，B={x|2x 2－x －6＞0， x ∈ Z}，则A ∩B 的非空真子集的个数为（ ）A ．16B ．14C ．15D ．322．数集{1，2，x 2－3}中的x 不能取的数值的集合是（ ）A ．{2，-2 }B ．{－2，－5 }C ．{±2，±5 }D ．{5，－5}3. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={y|y=x 2＋1,x∈R}，则P∩Q 等于（ ）A ．PB ．QC ．D ．不知道4. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={(x ，y)|y=x 2,x∈R}，则必有（ ）A ．P∩Q=B ．P QC ．P=QD ．PQ 5．若集合M ＝｛11|<xx ｝，N ＝{x |2x ≤x }，则M N ＝ （ ） A ．}11|{<<-x x B ．}10|{<<x xC ．}01|{<<-x xD ．∅6.已知集合A={x|x 2＋(m ＋2)x ＋1=0,x∈R }，若A∩R ＋=，则实数m 的取值范围是_________．7.设a R ∈，函数2()22.f x a x x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。

2020高一数学期末复习试卷练习汇编【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册全册期末复习2020高一数学期末复习期末复习（一）——集合与常用逻辑用语一．单选题1．已知全集U R =，集合2{|}A x x x =，{|21}x B x =，则()(UAB = )A ．(0,)+∞B ．[1，)+∞C ．(,1)-∞D ．(0,1)2．已知x R ∈，条件2:p x x <，条件1:1q x>，则p 是q 的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件3．已知实数0a >，1b e>，则“22a b >”是“a b a b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ，b R ∈，则“a b =”是“2a b+=( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．“1(0,)3m ∈”是“函数(31)4,1(),1m x m x f x mx x -+<⎧=⎨-⎩是定义在R 上的减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若命题0x R ∃∈，使得20420x x k ++<”是假命题，则实数k 的取值范围是( )A ．2kB ．2kC ．2k <D ．2k >7．已知{|0A x x =或3}x ，{|1B x x a =-或1}x a +，若()R A B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．12aB ．12a <<C ．1a 或2aD ．1a <或2a >8．1[,)3x ∃∈+∞，使得2210ax x -+>成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[3-，)+∞B ．(3,)-+∞C ．[1，)+∞D ．(1,)+∞二．多选题9．若a ，b 是正实数，则a b >的充要条件是( ) A ．lna lnb >B ．11a b> C ．sin sin a b > D ．a b a b e e -<-10．设不大于x 的最大整数为[]x ，如[3.6]3=．已知集合{|[]1}A x x ==-，{|0[22]3}B x x =<+<，则( )A ．{|10}A x x =-<B ．1|12AB x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭C ．[3=-D ．1|02AB x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭11．函数()y f x =图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数．有同学据此推出以下结论，其中正确的是( )A ．函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称的图形的充要条件是为奇函数B ．32()3f x x x =-的图象的对称中心为(1,2)-C ．函数()y f x =的图象关于x a =成轴对称的充要条件是函数()y f x a =-是偶函数D ．32()|32|g x x x =-+是关于1x =对称12．若存在实数t ，对任意的(0x ∈，]s ，不等式2(2)(1)0x x t t x ----恒成立．则s 的值可以为( )A B C D 三．填空题13．设集合{(,)|4x A x y y ==，}x R ∈，{(,)|628x B x y y ==⨯-，}x R ∈，则AB = ．14．若集合{|121}A x a x a =+-是2{|3100}B x x x =--的子集，则a 的取值范围是 ．15．设集合2{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，A B A =，则实数a 的取值集合为 ．16．已知:14x α，224:log 4log 10x a x β-+，若α是β成立的必要条件，则实数a 的取值范围是 ． 四．解答题17．设全集为R ，集合{|36}A x x =<，2{|11180}B x x x =-+<．（1）分别求AB ，()U B A ；（2）已知{|1}C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值构成的集合．18．已和知集合2{|()()0}A x x a x a =--<，集合2|11x B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，命题:p x A ∈，命题:q x B ∈．（1）当实数a 为何值时，p 是q 的充要条件；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．设2:{|212}p x P x m x m m ∈=--≠∅，2:{|230}q x S x x x ∈=--，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 20．已知不等式513x --的解集为A ，集合2{|2(2)0}B x ax ab x b =+--<．（1）求集合A ；（2）当0a >，1b =时，求集合B ；（3）是否存在实数a ，b 使得x A ∈是x B ∈的充分条件，若存在，求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，说明理由．期末复习（一）——集合与常用逻辑用语答案1．解：{|0A x x =或1}x ，{|0}B x x =，U R =，{|0AB x x ∴=或1}x ，()(0UAB =，1)．故选：D ．2．解：求解二次不等式2x x <，可得01x <<，则{|01}A x x =<<，求解分式不等式11x> 可得01x <<，则{101}B x =<<， 因为A B =，所以p 是q 的充分必要条件． 故选：C ．3．解：因为0a >．1b e >，所以122a b a b e>⇔>>． 令函数()f x xlnx =，则()1f x lnx '=+，令()0f x '=，得1x e=， 所以函数()f x xlnx =在1(0,)e 上单调递减，在1(e，)+∞上单调递增，因此当1a b e>>时，f （a ）f >（b ），即alna blnb >，即a b a b >，故充分性成立， 但是反之未必，比如12b =，15a =，易知11154e<<，所以111111554422ln ln ln >=，即alna blnb >，即a b a b >，但是不满足1a b e >>，因此“22a b >”是“a b a b >”的充分不必要条件， 故选：A ．4．解：由“a b =”不能推出“2a b +=，如1a b ==-，则12a b+=-1=；反之成立，由“2a b+=，两边平方，即得“a b =”，∴ “a b =”是“2a b+ 故选：B ．5．解：若函数(31)4,1(),1m x m x f x mx x -+<⎧=⎨-⎩是定义在R 上的减函数，则3100m m -<⎧⎨-<⎩，且314m m m -+-，解得1183m <，即11[,)83m ∈，故“1(0,)3m ∈”是“函数(31)4,1(),1m x m x f x mx x -+<⎧=⎨-⎩是定义在R 上的减函数”的必要不充分条件， 故选：B ．6．解：命题0x R ∃∈，使得20420x x k ++<”是假命题， 则它的否定命题：x R ∀∈，都有2420x x k ++”是真命题， 所以△1680k =-， 解得2k ；所以实数k 的取值范围是2k ． 故选：B ．7．解：{|0A x x =或3}x ，{|1B x x a =-或1}x a +， 所以{|11}R B x a x a =-<<+；又()R AB ≠∅，所以10a -<或13a +>， 解得1a <或2a >；所以实数a 的取值范围是1a <或2a >． 故选：D ．8．解：1[,)3x ∈+∞时，不等式2210ax x -+>，可化为221ax x >-，即212a x x>-+； 设212()f x x x =-+，则21()(1)1f x x=--+；当1[3x ∈，)+∞，1(0x∈，3]，()f x 的最小值为21()(31)133f =--+=-，所以实数a 的取值范围是(3,)-+∞． 故选：B ．9．解：若a ，b 是正实数，由0a b >>，可得：lna lnb >，反之，lna lnb >，可得0a b >>；故lna lnb >是0a b >>的充要条件，故A 正确；由0a b >>，可得：11a b <，反之，由11a b >可得0a b <<或0a b <<．11a b>是0a b >>既不充分也不必要的条件，故B 错误；由sin y x =在(0,)+∞不是单调函数，故由0a b >>推不出sin sin a b >，反之，sin sin a b >也推不出0a b >>；故sin sin a b >，是0a b >>既不充分也不必要的条件，故C 错误； 令()x f x e x =-，0x >，()10x f x e '=->，可得：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，a b e a e b ∴->-，即a b a b e e -<-．反之：由a b a b e e -<-，即a b e a e b a b ->-⇒>；故a b a b e e -<-是0a b >>充要的条件，故D 正确；因此，若a ，b 是正实数，a b >的充要条件为：lna lnb >，a b a b e e -<-． 故选：AD ．10．解：集合{|[]1}[1A x x ==-=-，0)，1{|0[22]3}{|1233}[2B x x x x =<+<=+<=-，1)2，故[1AB =-，1)2，1[2AB =-，0)，3104<<，[4∴=-，故选：AD ．11．解：对于A ，函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称的图形的充要条件是是为奇函数，说法错误，比如函数3(1)y x =-的图象关于点(1,0)成中心对称的图形，但是函数3(1)y x =-不是奇函数，A 错误；对于B ，323()3(1)3(1)2f x x x x x =-=----，函数3y x =为奇函数，其图象关于原点对称，而函数32()3f x x x =-的图象是由函数3y x =的图象向右平移一个单位，向下平移两个单位得到，故32()3f x x x =-的图象的对称中心为(1,2)-，B 正确；对于C ，因为函数()y f x =的图象关于0x =成轴对称的充要条件是函数()y f x =是偶函数， 所以函数()y f x =的图象关于x a =成轴对称的充要条件是函数()y f x a =+是偶函数，因此C 不正确；对于D ，作出函数的图象，如图所示 由图可知，D 正确． 故选：BD ．12．解：存在实数t ，对任意的(0x ∈，]s ，不等式2(2)(1)0x x t t x ----恒成立；等价于2(2)(1)0t x x t x +-+-恒成立；即：22010x x t t x ⎧--⎨--⎩，得到22t x x -，或1t x -，所以221x x x --，即2310x x -+，解得35x+或35x -，由于对任意的(0x ∈，]s ，上述不等式恒成立，所以S =． 故选：AC ．13．解：由题意，令4628xxy y ⎧=⎨=⨯-⎩，消去y ，得4628x x =⨯-，解得1x =或2x =； 当1x =时，4y =；当2x =时，16y =； 所以集合{(1,4)AB =，(2,16)}．故答案为：{(1,2)，(2,16)}．14．解：当121a a +>-，即2a <时，集合A 为空集，满足题意， 当集合A 非空，即2a 时，由于集合{|25}B x x =-， 此时应满足：12215a a +-⎧⎨-⎩，即33a a -⎧⎨⎩，据此可得：23a -．综上可得，实数a 的取值范围是{|3}a a ． 故答案为：{|3}a a ． 15．解：若AB A =，则B A ⊆，B =∅时，0a =， B ≠∅时，1{|}B x x a==，而2{|230}{3A x x x =--==，1}-， 故13a =或11a=-，解得：13a =或1a =-， 综上：a 是取值集合是{0，1-，1}3，故答案为：{0，1-，1}3． 16．解：由题意，224{|log 4log 10}{|14}x x a x x x -+⊆令2log t x =，[0t ∈，2]，则β即2210(*)t at -+，显然0t =不满足(*)式，于是原问题可转化为11|()(0,2]2t a t t ⎧⎫+⊆⎨⎬⎩⎭， 即水平直线y a =位于11()2y t t=+图象上方（含重合）时对应的t 的取值集合为(0，2]的子集，数形结合可得实数a 的取值范围是5(,]4-∞． 故答案为：(-∞，5]4．17．解：（1）{|36}A x x =<，{|29}B x x =<<， {|36}A B x x ∴=<，{|2UB x x =或9}x ，(){|2U B A x x =或36x <或9}x ； （2）C B ⊆，∴219a a ⎧⎨+⎩，解得28a ， a ∴的取值构成的集合为：[2，8]．18．解：（1）211x x <-，即211011x x x x +-=<--，有(1)(1)0x x -+<，解得11x -<<，故(1,1)B =-， 因为p 是q 的充要条件，所以A B =，故2|()()0x a x a --<的解集也为(1,1)-，所以211a a =-⎧⎨=⎩，即1a =-； （2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集， ①当A =∅，此时2a a =即1a =或0，符合题意，②当A ≠∅时，当0a <或1a >时，2a a >，即2(,)A a a =，此时21a ，解得10a -<， 由当1a =-时，(1,1)A B =-=，不合题意，所以10a -<< 当01a <<时，2a a <，即2(A a =，)a ，此时1a ，解得01a <<， 综上所述a 的取值范围为(1-，1]．19．解：由2{|212}x m x m m --≠∅，得：2212m m m --，解得：1m 或12m ， 由2{|230}x x x --，得：13x -，故满足q 的集合{|13}B x x =-， 由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，即q 是p 的必要不充分条件，故[21m -，22][1m m --，3]，即221123m m m --⎧⎨-⎩，解得：302m ， 而1m 或12m ， 故m 的取值范围是[0，1][12，3]2． 20．解：（1）不等式513x --，即203x x +-，解得2x -或3x >， (A ∴=-∞，2](3,)-+∞；（2）0a >，1b =，则22(2)10ax a x +--<，即(21)(1)0x ax -+<，解得112x a -<<， 即1(B a =-，1)2；（3）x A ∈是x B ∈的充分条件，则A B ⊆， 由22(2)0ax ab x b +--<可得(1)(2)0ax x b +-<，当0a =时，20x b -<，解得2b x <，不满足A B ⊆， 当0a >时，1(B a =-，)2b 或(2b ，1)a -或∅，不满足A B ⊆， 当0a <时，(1)(2)0ax x b +-<可化为1()()02b x x a +->， 由于A B ⊆，103a ∴<-且232b -<， 即13a -且46b -<， 综上所述存在实数a ，b 满足13a -且46b -<时，使得x A ∈是x B ∈的充分条件．。

2019-2020学年高中数学第一章常用逻辑用语单元质量评估（含解析）新人教A版选修1-1一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列各命题中为真命题的是( )A.∀x∈R,x≥0B.如果x<5,则x<2C.∃x∈R,x2≤-1D.∀x∈R,x2+1≠0【解析】选D.A中,若x取负数,x≥0不成立,故A错;B中,若取x=4<5,x<2不成立,故B错;C 中,∀x∈R,x2≥0,故C错;D中,∀x∈R,x2≥0,故x2+1≠0成立.2.(2017·济南高二检测)若非空集合M⊆N,则“a∈M或a∈N”是“a∈(M∩N)”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若a∈N,则有可能a∉(M∩N).3.设a,b为向量,则“”是“a∥b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.a,b为向量,设a与b的夹角为θ.由从而得=1,cosθ=±1,所以θ=0或π,能够推得a∥b,反之也能够成立,为充分必要条件.【补偿训练】(2017·烟台高二检测)已知p:α≠β,q:cosα≠cosβ,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】根据原命题与其逆否命题的真假性相同,要判断p是q的什么条件,只需判断q 是p的什么条件.【解析】选B.p:α=β;q:cosα=cosβ,显然p⇒q成立,但q⇒/p,所以q是p的必要不充分条件,即p是q的必要不充分条件.4.(2017·太原高二检测)“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为( )A.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B都不是锐角B.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角C.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B都不一定是锐角D.在△ABC中,若∠A,∠B不都是锐角,则∠C≠90°【解析】选B.命题“若p,则q”的否命题为“若p,则q”,条件和结论都要否定.5.设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a ∥c.则下列命题中真命题是( )A.p∨qB.p∧qC.(p)∧(q)D.p∧(q)【解析】选A.命题p中的a与c可能为共线向量,故命题p为假命题,由a,b,c为非零向量,可知命题q为真命题.故p∨q为真命题.6.(2017·杭州高二检测)命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A.a≥4B.a≤4C.a≥5D.a≤5【解析】选C.命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4,故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4,+∞)的非空真子集,正确选项为C.7.(2017·广州高二检测)已知命题p:若不等式x2+x+m>0恒成立,则m>;命题q:在△ABC 中,A>B是sinA>sinB的充要条件,则( )A.p假q真B.“p且q”为真C.“p或q”为假D.p假q真【解析】选B.易判断出命题p为真命题,命题q为真命题,所以p为假,q为假.结合各选项知B正确.8.(2017·烟台高二检测)下列各小题中,p是q的充分必要条件的是( )①p:cosα=cosβ,q:tanα=tanβ;②p:=1,q:y=f(x)是偶函数;ðB UðA;③p:A∩B=A;q:U④p:m<-2或m>6;q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点.A.①②B.②③C.③④D.②③④【解析】选C.当α=,β=-时,cosα=cosβ,tanα≠tanβ,故p q,同理p q,①不符合;由=1⇒f(x)=f(-x)⇒f(x)为偶函数,而逆命题为假,如f(x)=x2,②不符合;A∩B=A⇔A⊆B⇔UðB⊆UðA,③符合;函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点的充要条件为Δ=m2-4(m+3)>0,即(m+2)(m-6)>0,解得m<-2或m>6,④符合.9.下列命题的否定是真命题的是( )A.在△ABC中,存在A>B,使sinA>sinBB.空间中任意两条没有公共点的直线都平行C.任两个全等三角形的对应角都相等D.∃x,y∈R,x2+y2-4x+6y=0【解析】选B.选项A,C,D原命题都正确,其否定错误,B中两直线可能平行,也可能异面,所以B中原命题为假,否定为真.10.(2017·西安高二检测)若命题p的逆命题是q,命题p的逆否命题是r,则q与r的关系是( )A.互为逆命题B.互为否命题C.互为逆否命题D.不能确定【解析】选B.设命题p为“若a,则b”,则命题q为“若b,则a”,命题r为“若b,则a”,故命题q与r互为否命题.【补偿训练】下面说法正确的是( )A.命题“∃x0∈R,使得+x0+1≥0”的否定是“∀x∈R,使得x2+x+1≥0”B.实数x>y是x2>y2成立的充要条件C.设p,q为简单命题,若“p∨q”为假命题,则“p∧q”也为假命题D.命题“若α=0,则cosα=1”的逆否命题为真命题【解析】选D.对A,命题的否定是:“∀x∈R,使得x2+x+1<0”,故不正确.对于B,由x>y x2>y2,且x2>y2 x>y,故不正确.对于C,若“p∨q”为假命题,则“p∧q”为真命题,故不正确.对于D,若α=0,则cosα=1是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确.11.已知命题p:“对∀x∈R,∃m∈R,使4x+2x m+1=0”.若命题p是假命题,则实数m的取值范围是( )A.-2≤m≤2B.m≥2C.m≤-2D.m≤-2或m≥2【解析】选C.因为p假,所以p真.对∀x∈R,t=2x>0,即求使t2+mt+1=0(t>0)成立的m的范围,而二次函数y=t2+mt+1开口向上,且恒过定点(0,1),故所以m≤-2.12.(2017·武汉高二检测)定义域为R的偶函数f(x)满足对∀x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=-2(x-3)2,若函数y=f(x)-log a(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则a的取值范围为( )A. B.C. D.【解题指南】对函数恒等式进行赋值,探究函数的周期性、对称性,画出函数图象,建立不等式求解.【解析】选 B.由于定义域为R的偶函数f(x)满足对∀x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),得f(-1+2)=f(-1)-f(1)=0,故f(x+2)=f(x),可知f(x)的周期T=2,图象以x=2为对称轴,作出f(x)的部分图象,如图,因为y=log a(x+1)的图象与f(x)的图象至少有三个交点,即有log a(2+1)>f(2)=-2且0<a<1,解得a∈.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.命题“若a∉A,则b∈B”的逆否命题是________.【解析】逆否命题既否定其条件又否定其结论,然后交换其顺序.答案:若b∉B,则a∈A14.命题p:|x+1|>2;命题q:>1.则p是q的________条件.【解析】p:x>1或x<-3,q:2<x<3,所以p:-3≤x≤1,q:x≤2或x≥3,所以p是q的充分不必要条件.答案:充分不必要15.(2017·武汉高二检测)设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.【解析】由Δ=16-4n≥0得n≤4,又因为n∈N*,故n=1,2,3,4,验证可知n=3,4,符合题意;反之,当n=3,4时,可以推出一元二次方程有整数根.答案:3或4【补偿训练】已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(3-x)>0,若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是________.【解析】p:a-4<x<a+4,q:2<x<3,因为p是q的充分条件(即p⇒q),所以q⇒p,所以所以-1≤a≤6.答案:[-1,6]16.下列几个命题中,①“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充要条件;②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的充要条件;③函数y=的最小值为2.其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上)【解析】①“k=1”可以推出“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”,但是函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π,即y=cos2kx,T==π,k=±1.②“a=3”不能推出“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”,反之垂直推出a=;③函数y===+,令=t,t≥,y min=+=.答案:①②③三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)把下列命题作为原命题,分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题.(1)若α=β,则sinα=sinβ.(2)若梯形的对角线相等,则梯形为等腰梯形.(3)已知a,b,c,d都是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d.【解析】(1)逆命题:若sinα=sinβ,则α=β;否命题:若α≠β,则sinα≠sinβ;逆否命题:若sinα≠sinβ,则α≠β.(2)逆命题:若梯形为等腰梯形,则它的对角线相等;否命题:若梯形的对角线不相等,则梯形不是等腰梯形;逆否命题:若梯形不是等腰梯形,则它的对角线不相等.(3)逆命题:已知a,b,c,d都是实数,若a+c=b+d,则a=b,c=d;否命题:已知a,b,c,d都是实数,若a≠b或c≠d,则a+c≠b+d;逆否命题:已知a,b,c,d都是实数,若a+c≠b+d,则a≠b或c≠d.18.(12分)判断命题“已知a,x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,那么a≥1”的逆否命题的真假.【解析】方法一:(直接法)逆否命题:已知a,x为实数,如果a<1,那么关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.判断如下:二次函数y=x2+(2a+1)x+a2+2的图象开口向上,判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.因为a<1,所以4a-7<0.即二次函数y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点,所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,故逆否命题为真.方法二:(先判断原命题的真假)因为a,x为实数,且关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,所以Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,即4a-7≥0,解得a≥,因为a≥>1,所以原命题为真.又因为原命题与其逆否命题等价,所以逆否命题为真.19.(12分)(2017·临沂高二检测)已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0,若p是q的充分不必要条件,求正实数a的取值范围.【解析】p:A={x|x<-2或x>10},q:B={x|x<1-a或x>1+a,a>0},如图:依题意,p⇒q,但q p,所以A B,所以解得0<a≤3,所以实数a的取值范围是0<a≤3.20.(12分)(2017·宿州高二检测)已知命题p:方程x2-2mx+m=0没有实数根;命题q:∀x∈R,x2+mx+1≥0.(1)写出命题q的否定“q”.(2)如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数m的取值范围.【解析】(1)q:∃x 0∈R,+mx0+1<0.(2)若方程x2-2mx+m=0没有实数根,则Δ=4m2-4m<0,解得0<m<1,即p:0<m<1.若∀x∈R,x2+mx+1≥0,则m2-4≤0,解得-2≤m≤2,即q:-2≤m≤2.因为“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,所以p,q两命题应一真一假,即p真q假或p假q真.则或解得-2≤m≤0或1≤m≤2.21.(12分)已知二次函数f(x)=ax2+x.对于∀x∈[0,1],|f(x)|≤1成立,试求实数a的取值范围.【解析】|f(x)|≤1⇔-1≤f(x)≤1⇔-1≤ax2+x≤1,x∈[0,1]. ①当x=0时,a≠0,①式显然成立;当x∈(0,1]时,①式化为--≤a≤-在x∈(0,1]上恒成立.设t=,则t∈[1,+∞),则有-t2-t≤a≤t2-t,所以只需⇒-2≤a≤0,又a≠0,故-2≤a<0.综上,所求实数a的取值范围是[-2,0).22.(12分)(2017·保定高二检测)已知命题:“∀x∈{x|-1≤x≤1},都有不等式x2-x-m<0成立”是真命题.(1)求实数m的取值集合B.(2)设不等式(x-3a)(x-a-2)<0的解集为A,若x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【解析】(1)命题:“∀x∈{x|-1≤x≤1},都有不等式x2-x-m<0成立”是真命题,得x2-x-m<0在-1≤x≤1时恒成立,所以m>(x2-x)max,得m>2,即B={m|m>2}.(2)不等式(x-3a)(x-a-2)<0,①当3a>2+a,即a>1时,解集A={x|2+a<x<3a},若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则A B,所以2+a≥2,此时a∈(1,+∞).②当3a=2+a,即a=1时,解集A=∅,若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则A B成立.③当3a<2+a,即a<1时,解集A={x|3a<x<2+a},若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则A B成立,所以3a≥2,此时a∈.综上①②③可得a∈.。